1. Optimisation Robuste de
Portefeuilles en présence de
chocs non-prédictibles
S’exposer à la croissance mondiale en
absorbant des chocs non-prédictibles et en
contribuant à une stabilisation du marché
Journées MODE Rennes
Jeudi 27 mars 2014
http://hjnet.math.cnrs.fr/MODE-Rennes.html

2. Introduction
2

3. 3
Optimisation robuste de portefeuilles
• De nombreux papiers ont été publiées depuis les années 2000, une synthèse
assez récente a été produite par Bertsimas (MIT), Brown et Caramis
Bertsimas, Dimitris, David B. Brown, and Constantine Caramanis. Theory and
Applications of Robust Optimization. SIAM Review 53 (3) (2011)
• Le principe de base est consiste « jouer » contre les incertitudes:
• Sur les données
• Sur le modèle
• Sur des chocs exogènes possibles
• A quoi sert d’employer des modèles robustes si le processus d’investissement,
si ses principes fondamentaux ne sont pas eux-mêmes robustes/durables?

4. 4
Enjeu : exposer l’épargne des économies occidentales à la
croissance mondiale (4%) tout en absorbant des chocs non
prévus – est-ce possible?
« Ainsi, après avoir gagné 3% en 2013, le produit intérieur brut (PIB) du globe devrait
progresser de 3,7% cette année, soit 0,1 point de plus que prévu en octobre, avant
d'accélérer sa course en 2015 à +3,9%, selon les nouvelles projections de l'institution de
Washington (FMI). » La Tribune, Janvier 2014.

5. Depuis 1200 ans l’ingénierie mécanique et séismique
construit des structures absorbantes non-prédictives
5
Concevoir et construire des structures robustes/résilientes
plutôt que chercher à prédire l’imprédictible!

6. Oscillateur amorti moderne
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Tuned mass dampers stabilize against violent motion caused by harmonic
vibration. A tuned damper reduces the vibration of a system with a
comparatively lightweight component so that the worst-case vibrations are
less intense.
Taipei 101's largest tuned mass damper

7. Commande robuste en aéronautique
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Response of the system excited by one unit of force, with
(red) and without (blue) the 10% tuned mass. The peak
response is reduced from 9 units down to 5.5 units.
While the maximum response force is reduced, there are
some operating frequencies for which the response force
is increased.
L. El Ghaoui and F. Oustry and M. Ait Rami. A cone complementary linearization algorithm for
static output-feedback and related problems. IEEE Transaction and Automatic Control, August
1997.

8. Feu Markowitz – Vive Markowitz!
(Prix Nobel d’Economie 1990)
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9. Harry Markowitz
9
In 1952, Harry Markowitz went to work for the RAND Corporation, where he met George Dantzig. With Dantzig's
help, Markowitz continued to research optimization techniques, further developing the critical line algorithm for the
identification of the optimal mean-variance portfolios, relying on what was later named the Markowitz frontier. In
1955, he received a PhD from the University of Chicago with a thesis on the portfolio theory. The topic was so novel
that, while Markowitz was defending his dissertation, Milton Friedman argued his contribution was not economics.
Markowitz won the Nobel Memorial Prize in Economic Sciences in 1990 while a professor of finance at Baruch
College of the City University of New York. In the preceding year, he received the John von Neumann Theory Prize
from the Operations Research Society of America (now Institute for Operations Research and the Management
Sciences, INFORMS) for his contributions in the theory of three fields: portfolio theory; sparse matrix methods; and
simulation language programming (SIMSCRIPT).

10. Efficience des marchés: la grande illusion
Quand le meilleur peut devenir l’ennemi du bien ….
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Risque
Rendement
Rf
Portefeuille
de marché
R
σ2
La grande illusion/ce qu’on attend souvent: les deux approches d’investissement {Min σ2(w) s.c μ’w ≥ R-Rf} et {Max μ’w s.c
σ2(w) ≤ σ2 } sont « équivalentes » (sur le graphe cela se voit bien!) – il existe d’ailleurs une forme de « dualité » entre les
deux formulations! La seconde formulation est d’ailleurs la plus naturelle dans l’industrie: pour un budget de risque donné
le métier du gérant est d’en extraire la meilleure performance!
Attention!: le « naturel » et le « raisonnable » pour notre caisse de retraite sont ici opposés!!! En jeu
répété et en présence d’incertitudes les deux approches sont radicalement différentes.

11. Approche dangereuse: Maximisation de la
rentabilité
Max μ’w
w’Γw ≤ σ2
w’e ≤ 1
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Avec Γ définie positive et le domaine des contraintes non-vide, KKT est une
CNS d’optimalité – on se place dans le cas où la contrainte de cash n’est pas
saturée et le budget de risque l’est – on pose également: μ = |μ|x μ1 où |μ|
est l’amplitude/intensité du rendement et μ1 caractérise la direction des
rendements
R* = |μ|/σ (μ1’Γ-1μ1)1/2
w* = σ (μ1’Γ-1μ1)-1/2 x Γ-1μ1
En d’autres termes, quelque soit l’intensité des rendements réalisés ou
attendus |μ|entre T et T+1, à direction égale, l’investisseur Max Ret maintient
l’intensité de son pari – il en demande toujours plus!

12. Approche Min Vol
Min w’Γw
μ’w ≥ R-Rf
w’e ≤ 1
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Avec Γ définie positive et le domaine des contraintes non-vide, KKT est une CNS d’optimalité –
on se place dans le cas où la contrainte de cash n’est pas saturée et contrainte de rendement
l’est, on a
[σ*]2 = [R-Rf]2/[|μ|x (μ1’Γ-1μ1)]
w* = [R-Rf] /[|μ|x (μ1’Γ-1μ1)] x Γ-1μ1
En d’autres termes, si |μ| augmente entre T et T+1, à direction égale, l’investisseur Min Vol va
être encouragé à monétiser les gains réalisés – si notamment un mouvement de hausse
inhabituel se produit et que |μ| est la norme du vecteur de performance moyenne réalisée
par mes actifs
 l’investisseur va prendre une position contrariante: réduire sa position sur les actifs s’étant
appréciés (renoncer à alimenter la tendance) et inversement renforcer sa position dans un
marché baissier. Il aura ainsi un impact systémique positif/stabilisateur par rapport à cette
variation d’ordre 1 du marché.

13. Exemple: portage auto-assuré de la croissance mondiale
sans revendication de prédiction au premier-ordre
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Min Vol SP500
Perf 7.23% (GDP+3%) 4.49%
Volatilité 5.37% 21.69%
Pire semaine -2.69% -19.79%
Ratio Perf/Vol 1.35 0.21

14. Interdépendances et moments d’ordre
supérieurs
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15. Moments pairs et impairs
• Les actifs qui ont fait l’objet de co-mouvements symétriques dans le
passé sont de bons candidats pour connaître des co-mouvements à la
baisse dans le futur!
• Les moments impairs, les asymétries de rendements dans le marché
ne sont que furtives et détruisent la convexité (et la capacité de
stabiliser les marchés), lorsque par hasard l’investisseur se retrouve à
surfer une telle asymétrie, il doit quitter la pour préserver la capacité
de résilience de ses investissements et ainsi participer à plus de
stabilité systémique!
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16. Min Vol avec détection et répulsion
des asymétries positives
Min w’Γw
μ’w ≥ R-Rf
Σijk wiwjwk Hijk ≥ s
w’e ≤ 1
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Avec Hijk = E[(ri-ri)(rj-rj)(rk-rk)] est le tenseur d’ordre 3 pouvant être représenté par
un vecteur de N matrices H[i]=[Hijk]1≤j,k≤N de telle sorte que la contrainte sur le
moment d’ordre 3 s’écrit alors:
Σi wi w’H[i]w = Σi wi <H[i], W> = w’z ≥ s,
avec W = ww’ , <X,Y> = Trace(XY) le produit scalaire de Frobenius sur les matrices
N x N symétriques, z = H *. W et H * est l’opérateur adjoint de
H: RN  SN
z  Σi zi H[i]
(HM3)

17. Relaxation SDP de (HM3)
On introduit la variable matricielle augmentée X de taille (2N+1) x
(2N+1):
X11 X12 w ww’ wz’ w w w T
X = X12’ X22 z = zw’ zz’ z = z z - matrice SDP de rang 1
w’ z’ 1 w’ z’ 1 1 1
On considère alors la relaxation SDP de (HM3) suivante
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Min <Γ,X11> + <X22>
μ’w ≥ R-Rf
Trace(X12) ≥ s
z = H.X11, X33 = 1
X ≥ 0 (sdp)
w’e ≤ 1, Trace(X) ≤ M
- δ ≤ Trace(X – mm’) ≤ δ
(SDP3)

18. La relaxation (HM3) inclut (HM2)
Dans le cas particulier où (H,s) = (0,0), on a alors z = 0. En rappelant que X ≥ 0
et en utilisant le complément de Schur (Issai Schur 1875-1941) dont la forme
riche dit (See Lemaréchal-Oustry 1999):
On obtient
X11 X12 w w T X11 – ww’ X12
≥ ou encore ≥ 0
X12’ X22 0 0 X12’ X22
Si (X11,w,X12, X22) est optimal alors X22 = 0 (donc par Schur X12 aussi) sinon
(X11,w,0, 0) produirait une valeur strictement inférieure
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19. La relaxation (HM3) inclut (HM2)
On obtient la relaxation
Lemme: v(HM3(0)) = v(HM2)
Preuve
• w réalisable pour HM2  (ww’,w) réalisable pour HM3(0)
 v(HM3(0)) ≤ v(HM2)
• Pour (X11,w) solution de HM3(0), X11≥ ww’
 Γ1/2X11Γ1/2≥ Γ1/2ww’ Γ1/2
 v(HM3(0)) = Trace(Γ1/2X11Γ1/2) = <Γ,X11> ≥ Trace(Γ1/2ww’ Γ1/2) = w’ Γ w ≥ v(HM2)
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Min <Γ,X11>
μ’w ≥ R-Rf
X11≥ ww’
w’e ≤ 1
SDP3(0)

20. Lemme de Durville
Soit B l’intersection du cône SDP, SN
+, avec le demi-espace <W,IN> ≤ 1. La
fonction d’appui de B est la fonction λmax(.)+:
Pour tout X appartenant à SN,
σB (X) := Sup w ε B <X,W> = λmax(X)+
Preuve:
• <W,X> = Σi λi <qiqi’,W> ≤ λmax(X) <Σi qiqi’,W> = λmax(X) <W,IN> ≤ λmax(X)+
La borne est atteinte pour W = qmaxqmax’ lorsque que λmax(X) >0 et W=0 sinon
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21. Théorème : tout SDP borné est un
problème de valeur propre
On considère le problème SDP suivant
Max <X,C>
<X,Ai> ≤ bi
Trace(X) ≤ 1, X ≥ 0
La fonction duale (partielle) est:
Θ(z) := SupX ε B <C – A.z,X> + b’z = λmax(C – A.z)+ + b’z
Et donc (SDP)* = Inf z Θ(z) est un problème de valeur propre max pouvant
être résolu de manière efficace
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(SDP)

22. Conclusion
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• Objectif: détecter le portage de bulles et les oscillations de liquidité et de
confiance dans le marché pour des investisseurs institutionnels
responsables
• MERCI pour votre attention!