1. RAPOARTE ŞI PROPORŢII
Prof BIZON MARCELICĂ
Scoala Gimnaziala nr.1 Albestii de
Muscel
Judetul Arges
.

2. RAPOARTE ŞI PROPORŢII
a
Raportul numerelor rationale a si b, b≠0 este a:b si se scrie a si b se
numesc termenii raportului. b
Exercitiul 1. Sa se afle valoarea raportului dintre numerele a = 12 si b = 16.
(4
a 12 3 a 12
Rezolvare: = = sau = = 0,75
b 16 4 b 16
PROPORTIA este egalitatea a doua Aflarea unui termen necunoscut dintr-o
rapoarte. Daca avem a, b, c, d, asa incat: proportie:
a c este o proportie, cu extremii a un extrem = produsul mezilor
= si d si mezii b si c. celalalt extrem
b d EXEMPLU
x 5
PROPRIETATEA FUNDAMENTALA
Aflati x din: =
A PROPORTIILOR: 9 3
a c 9 ⋅ 5 45
= daca si numai daca a⋅ d=b⋅ c x= = = 15.
b d 3 3
.

3. DERIVAREA PROPORŢIILOR
Derivarea unei proportii cu aceiasi termeni
a) Schimband extremii intre ei 2 8 12 8
=
3 12
⇒ =
3 2
b) Schimband mezii intre ei 2 8 2 3
=
3 12
⇒ =
8 12
c) Inversand rapoartele 2 8 3 12
⇒ =
3 12
=
2 8
Derivarea unei proportii cu alti termeni
a c a ⋅k c
-se inmultesc/impart termenii unui raport cu acelasi numar nenul: = ⇒ =
b d b⋅k d
a c a⋅k c⋅k
-se inmultesc/impart numitorii/numaratorii cu acelasi numar nenul: = ⇒ =
b d b d
a c a+b c+d
-se aduna/scad la numaratori numitorii: = ⇒ =
b d b d
a c a c
-se aduna/scad la numitori numaratorii: = ⇒ =
b d b+a d +c
-se egaleaza un raport cu raportul obtinut prin adunarea/scaderea a c a c a+c
numaratorilor si respectiv a numitorilor: = ⇒ = =
b d b d b+d
.

4. ŞIRUL DE RAPOARTE EGALE
Daca avem:
a b c a b c a+b+c
1. = = atunci: = = =
m n p m n p m+n+ p
r) s) t)
a b c a b c ar + bs + ct
2. = = atunci: = = =
m n p m n p mr + ns + pt
a b c a b
(r (s
c
(t
a:r +b:s+c:t
3. = = atunci: = = =
m n p m n p m:r +n:s+ p:t
a b c k
 a  b  c 
k
a k + bk + c k
k
4. = = atunci:   =  =  = k
 
m n p m n  p m + nk + pk
a b c a b c
5. = = atunci: = = = k ; a = mk ; b = nk ; c = pk .
m n p m n p
Observatie: Daca este nevoie ca un termen al unui raport sa fie negativ, atunci
ambii termeni ai aceluiasi raport trebuie sa fie negativi !

5. DIRECTA ŞI INVERSA
PROPORŢIONALITATE
Daca avem doua multimi: A = {a, b, c, d} si B = {l, m, n, p} atunci:
1. Multimile A si B sunt in relatie de 2. Multimile A si B sunt in relatie de
directa proportionalitate, si: inversa proportionalitate, si:
a b c d
a b c d = = =
= = = 1 1 1 1
l m n p l m n p
EXEMPLU:
1 4
Impartiti numarul 111 in trei parti invers proportionale cu: 3; si .
Daca cele trei parti sunt invers proportionale cu numerele date, 2 3
REZOLVARE:
atunci se formeaza un sir de rapoarte egale, cu numitorii inverselor numerelor date:
a b c a + b + c 111 12
= = = = = 111 ⋅ = 36.
1 2 3 1 2 3 37 37
+ +
3 1 4 3 1 4 12 3
1 2
Atunci: a = ⋅ 36 = 12; b= ⋅ 36 = 72; c = ⋅ 36 = 27.
3 1 4

6. REPREZENTAREA GRAFICA A
DEPENDENTEI DIRECT PROPORTIONALE
Fie multimile A si B in care elementele sunt intr- Reprezentarea grafica a
o relatie de directa proportionalitate. dependentei direct proportionale
A B y
4 2
3 5
6
3
10
5 2
4 6 10 O
= = =2 4 6 10 x
2 3 5

7. REPREZENTAREA GRAFICA A
DEPENDENTEI INVERS PROPORTIONALE
Fie multimile A si B in care elementele sunt intr- y
o relatie de inversa proportionalitate.
A 6
B
2 6
4
3 4
2,4
5 2,4
2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4 = 5 ⋅ 2,4 = 12
O 2 3 5 x

8. PROCENTE p
Rapoartele de forma
100 se noteaza cu p% si se numesc rapoarte procentuale.
EXEMPLE:
( 20 ( 25
25 1 40 2 125 5
25% = = 40% = = 125% = =
100 4 100 5 100 4
Din propozitia p% din a = b rezulta urmatoarele tipuri de probleme:
60 3300
1. Daca se cunosc p si a atunci b = p% ⋅ a 60% din 55 = ⋅ 55 = = 33
100 100
2. Daca se cunosc p si b, atunci a este: Aplicatie: 30% din cat este egal cu 18?
30 ( 30
30% din a = 18; ⋅ a = 18; a = 18 ⋅
100 1800
= = 60.
100 30 30
3. Daca se cunosc a si b, atunci p este:
p 100 1600
( 64
Aplicatie: Cat % din 64 este 16 ? ⋅ 64 = 16; p = 16 ⋅ = = 25.
100 64 64

9. O PROBLEMA CU PROCENTE
Pretul unui produs se modifica de doua ori: prima data creste cu 40% iar a doua
oara scade cu 25% din noul pret.
a) Daca pretul final este de 63 de lei, aflati pretul initial.
b) Cu cat la suta s-a modificat pretul de la cel initial la cel final?
c) Care a fost pretul dupa prima modificare de pret?
REZOLVARE Vom propune o varianta eficace de rezolvare:
1. Vom rezolva punctul b), afland procentul ce inlocuieste cele doua procente:
a ⋅b
Putem folosi formula: p = a + b + unde a si b sunt valorile procentuale.
100
Atentie: daca sunt majorari, valorile vor fi pozitive iar daca sunt reduceri valorile vor fi negative.
40 ⋅ ( −25)
p = 40 − 25 + = 15 − 10 = 5. Asta inseamna ca pretul a crescut cu 5%.
100
2. Vom rezolva punctul a), cunoscand rezultatul de la punctul b).
Daca pretul creste cu 5%, atunci el devine 105%.
(105
105 100 6300
⋅ x = 63; x = 63 ⋅ = = 60lei.
100 105 105
3. Vom rezolva punctul c) dupa ce am aflat pretul initial:
Daca pretul creste cu 40%, 140 8400
140% din60 = ⋅ 60 = = 84lei.
atunci el devine 140% 100 100
.