2. Glosario
Números Reales
La Recta Numérica
Valor Absoluto
Ecuaciones e Inecuaciones con Valor Absoluto
Exponentes y Propiedades
Radicales y Propiedades
Radicación
3. Números Reales
Se representan con la letra R.
El conjunto de los Números Reales (R ) está integrado por:
El conjunto de los Números Racionales (Q) que corresponden a la unión de todos los números cuya
expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica.
El conjunto de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números que admiten
una expresión infinita no periódica.
Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o
infinita; es decir, el conjunto de los Números Reales (R) está formado por los elementos del conjunto Q
unido con I.
4. Recta Numérica
La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números
enteros son:
Mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente.
Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando
especialmente números negativos.
Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta
numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en
morado.
5. Valor Absoluto
En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin
tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor
absoluto de 3 y de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes
contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede
generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados,
cuerpos o espacios vectoriales.
6. Ecuaciones e Inecuaciones con
Valor Absoluto
ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros,
en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados
mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o
constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras
operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se
pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son
constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la
satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla
la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:
7. Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo
no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la
incógnita que haga cierta una dada igualdad. También puede ocurrir que haya varios o incluso
infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.
INECUACIONES
Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad;
siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede
tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como
Intervalo.
En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos. La
notación a < b significa que a es menor que b; y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas
relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a = b (a es menor o igual a
b); y a = b (a es mayor o igual que b).
8. Exponentes y Propiedades
El exponente o potencia surge al considerar un número como factor tantas veces como se desee.
Los exponentes indican que un número se esta multiplicando por si mismo n veces.
Así 33 indica que se quiere realizar la operación (3)(3)(3) y se lee 3 al cubo. a2, indica que la base a, se va a
multiplicar por sí misma 2 (exponente) veces. Y se lee a al cuadrado. x4 indica que el número x se va a utilizar
como factor 4 veces, es decir (x)(x)(x)(x) y se lee x a la cuarta potencia.
Para exponentes mayores a 3, se lee, para cualquier variable x, x4;; “x a la cuarta”,x7; “x a la séptima”, y así
sucesivamente.
9. Un número puede descomponerse en n factores deseados
a0 = 1
a1 = a
a2 = aa
a3 = aa2 = aaa
a4 = aa3 = aaaa
an = aan-1 = aa…a n factores
de donde puede obtenerse la regla del producto para los exponentes: a3 a2 = a3 + 2 = a5
Regla del producto para exponentes:
Para toda variable a,b; pertenecientes al conjunto de números naturales, entonces xaxb = xa + b
Como puedes ver, en un producto de expresiones, se conserva la base y se suman los exponentes.
Se considera importante señalar que la regla del producto para exponentes solo puede utilizarse en aquellas
expresiones que tienen la misma variable como base.
Cualquier variable x0 = 1
Considerando otros ejemplos
(a0)3 = a0 a0 a0 = a0+0+0 = (a0)3 = 1
10. De los ejemplos anteriores se puede obtener la regla de potencia para los exponentes.
Regla de potencia para los exponentes:
Para toda variable a,b; (xa)b = xab (xy)a = xaya para y diferente de 0
Hay que tener cuidado en los casos en que la variable x = 0 ya que 0 0 es un número indefinido. Es decir, la base
nunca puede ser cero, en ningún caso. Es conveniente aprender aquí a expresar el número 1 en términos de
fracciones. Dicha forma de expresión será muy útil posteriormente. Así el 1 puede expresarse como una
expresión fraccional donde el denominador es idéntico al numerador.
Exponente negativo: xmx-m = xm-m = x0 = 1
Para que este resultado sea congruente con las reglas hasta aquí mencionadas, entonces es necesario que x -m, sea
el inverso multiplicativo de xm. Es decir que es necesario que , resultado que es congruente con las propiedades
mencionadas. Entonces se puede dar la siguiente definición:
11. Regla del cociente
Ejemplo: (32) (3-2) = 32 - 2 = 30 = 1
Para finalizar con este apartado, tenemos el siguiente teorema:
RESUME
12. Radicales y Propiedades
Un radical es una expresión de la forma
n√¯a.
Simplificación de radicales si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los
exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente.
Reducción de radicales a índice común un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal
que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un
radical equivalente.
1 Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.
2 Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus
exponentes correspondientes.
13. Extracción de factores fuera del signo radical
Se descompone el radicando en factores. Si: Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se
deja en el radicando. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando. Un
exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente
del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.
Introducción de factores dentro del signo radical
Se introduce los factores elevados al índice correspondiente del radical
an√¯b= n√¯anb
Suma de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son
radicales con el mismo índice e igual radicando.
an√¯k+ bn√¯k+ cn√¯k=(a+b+c) n√¯k
14. Radicación
La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite
facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos:
Racionalización del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por √¯c
15. Racionalización del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por n√¯c n-m
Racionalización del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:
16. También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".
