Basisinformationstechnologie I
Wintersemester 2013/14
27. November 2013 – Rechnertechnologie III

Universität zu Köln. His...
Themenüberblick „Rechnertechnologie III“
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Boolesche- / Schaltalgebra
De Morgan‘sche Gesetze: Umformung von
Termen...
…weil‘s so schön ist…
Übungsaufgabe 1
Zum gemütlichen Start: Bestimmen Sie bitte die
vollständigen Wahrheitstabellen für die folgenden
beiden Fu...
Übungsaufgabe 1
Y = (A ⋁ B)  (B ⋀ A)
A B A⋁ B

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Übungsaufgabe 1
Y = (A ⋁ B) ⋀ (A ⋀ C) ⋀ B
A B C A ⋁ B A ⋀ C (A ⋁ B) ⋀ (A ⋀ C) = X

Y= X ⋀ B

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Stellen Sie die zu der logischen Schaltung gehörende Wahrheitstabelle auf
und beschreiben Sie die Schaltung mit Hilfe eine...
Stellen Sie die zu der logischen Schaltung gehörende Wahrheitstabelle auf und
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De Morgan‘sche Gesetze
De Morgan‘sche Gesetze
Augustus De Morgan
(1806 – 1871)
Erstes Gesetz: Z = ¬(A ⋀ B) = ¬A ⋁ ¬B
A B A ⋀ B ¬(A ⋀ B) ¬A

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De Morgan‘sche Gesetze
Augustus De Morgan
(1806 – 1871)
Erstes Gesetz: Z = ¬(A ⋀ B) = ¬A ⋁ ¬B
A B A ⋀ B ¬(A ⋀ B) ¬A

¬B ¬A...
De Morgan‘sche Gesetze
Zweites Gesetz: Z = ¬(A ⋁ B) = ¬A ⋀ ¬B
A B A ⋁ B ¬(A ⋁ B) ¬A
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¬B ¬A ⋀ ¬B
De Morgan‘sche Gesetze
Zweites Gesetz: Z = ¬(A ⋁ B) = ¬A ⋀ ¬B
A B A ⋁ B ¬(A ⋁ B) ¬A

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…und die Praxis….
Zur Realisierung der Schaltungen stehen nur
bestimmte Gattertypen (UND, ODER, NOR, NAND)
zur Verfügung.
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…und die Praxis….
Zur Realisierung der Schaltungen stehen nur
bestimmte Gattertypen (UND, ODER, NOR, NAND)
zur Verfügung.
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…und die Praxis….
Zur Realisierung der Schaltungen stehen nur
bestimmte Gattertypen (UND, ODER, NOR, NAND)
zur Verfügung.
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…und die Praxis….
Beispiel 3: Ein etwas längerer Term

Z

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…und die Praxis….
Beispiel 3: Ein etwas längerer Term

Z

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…und die Praxis….
Beispiel 3: Ein etwas längerer Term

Z

=A⋀ B⋀ C
=A⋀ B⋀ C
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…und die Praxis….
Beispiel 4: Und noch ein etwas längerer Term

Z

=A⋀ B⋀ C
…und die Praxis….
Beispiel 4: Und noch ein etwas längerer Term

Z

=A⋀ B⋀ C
=A⋀ B⋀ C
…und die Praxis….
Beispiel 4: Und noch ein etwas längerer Term

Z

=A⋀ B⋀ C
=A⋀ B⋀ C
=A⋁B⋁C
Übungsaufgabe
Realisieren Sie die Schaltung für den Term
A ⋁ B, indem Sie ausschließlich NAND-Gatter
verwenden.
Übungsaufgabe
Realisieren Sie die Schaltung für den Term
A ⋁ B, indem Sie ausschließlich NAND-Gatter
verwenden.
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Übungsaufgabe
Realisieren Sie die Schaltung für den Term
A ⋁ B, indem Sie ausschließlich NAND-Gatter
verwenden.
Z

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Rechenschaltungen
Rechenschaltungen: Halbaddierer
Ein Halbaddierer kann zwei Binärziffern nach den
folgenden Regeln addieren:
0+0= 0
0+1= 1
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Übung
Bestimmen Sie bitte die Wahrheitstabelle für die im
Folgenden dargestellte Schaltung:

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Rechenschaltungen: Halbaddierer
Aus der Zuordnung der Ziffer 0 mit dem binären
Zustand 0 und der Ziffer 1 mit dem binären ...
Rechenschaltungen: Volladdierer
Zur Realisierung von Addierwerken werden
Schaltungen benötigt, die drei Dualziffern addier...
Schaltungen mit
Speicherwirkung
SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop
Schaltungen mit Speicherwirkung: Flipflops

Flipflops = bistabile Kippstufen; verfügen über die
Möglichkeit, einen Zustand...
Nicht-taktgesteuerte Flipflops: NOR-Latch

Ein einfaches nicht-taktgesteuertes Flipflop lässt
sich aus zwei NOR-Gattern au...
SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop – stabile Zustände

NOR-Latch im Zustand 0

NOR-Latch im Zustand 1
SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Annahme Q=0
NOR-Latch im Zustand Q=0 – so funktioniert‘s
 Grundannahmen (sehr wichtig!)...
SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Annahme Q=1

NOR-Latch im Zustand Q=1 – so funktioniert‘s
 Grundannahmen :
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SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Eingang S=1

NOR-Latch im Zustand S=1
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 Ruhezustand: S=R=0, Q=0
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 Wir setzen S auf 1, während R auf 0 gesetzt ist.

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SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Eingang S=1

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SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Eingang S=0

NOR-Latch im Zustand S=0
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 Wir setzen S erneut auf 0

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SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Eingang R=1

NOR-Latch im Zustand R=1
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Was geschieht?

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SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Eingang R=1

Schritt 1
 Detailverlauf:
 Wird R auf 1 gesetzt, so liegt am unteren Gatt...
SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop
Zusammenfassung:
 Wird S kurzzeitig auf 1 gesetzt, so nimmt das
Latch unabhängig von sein...
Flipflops und die Praxis
Mit Flipflops lassen sich Speicher
realisieren – z.B. Register oder
Cache-Speicher.
Hauptspeicher...
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Bit WiSe 2013 | Basisinformationstechnologie I - 06: Rechnertechnologie II: De Morgansche Gesetze, Halbaddierer, Flip-Flop
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Bit WiSe 2013 | Basisinformationstechnologie I - 06: Rechnertechnologie II: De Morgansche Gesetze, Halbaddierer, Flip-Flop

  1. 1. Basisinformationstechnologie I Wintersemester 2013/14 27. November 2013 – Rechnertechnologie III Universität zu Köln. Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Jan G. Wieners // jan.wieners@uni-koeln.de
  2. 2. Themenüberblick „Rechnertechnologie III“     Boolesche- / Schaltalgebra De Morgan‘sche Gesetze: Umformung von Termen Rechenschaltung: Halb- und Volladdierer Eine Schaltung mit Speicherwirkung: Flipflop
  3. 3. …weil‘s so schön ist…
  4. 4. Übungsaufgabe 1 Zum gemütlichen Start: Bestimmen Sie bitte die vollständigen Wahrheitstabellen für die folgenden beiden Funktionsgleichungen:  Y = (A ⋁ B)  (B ⋀ A)  Y = (A ⋁ B) ⋀ (A ⋀ C) ⋀ B
  5. 5. Übungsaufgabe 1 Y = (A ⋁ B)  (B ⋀ A) A B A⋁ B A⋀ B Y 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1
  6. 6. Übungsaufgabe 1 Y = (A ⋁ B) ⋀ (A ⋀ C) ⋀ B A B C A ⋁ B A ⋀ C (A ⋁ B) ⋀ (A ⋀ C) = X Y= X ⋀ B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
  7. 7. Stellen Sie die zu der logischen Schaltung gehörende Wahrheitstabelle auf und beschreiben Sie die Schaltung mit Hilfe eines logischen Ausdrucks:
  8. 8. Stellen Sie die zu der logischen Schaltung gehörende Wahrheitstabelle auf und beschreiben Sie die Schaltung mit Hilfe eines logischen Ausdrucks: D C E A B C D E Z 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 Z = (A ⋀ B) ⋁ (A ⋀ B)  Exklusives ODER
  9. 9. De Morgan‘sche Gesetze
  10. 10. De Morgan‘sche Gesetze Augustus De Morgan (1806 – 1871) Erstes Gesetz: Z = ¬(A ⋀ B) = ¬A ⋁ ¬B A B A ⋀ B ¬(A ⋀ B) ¬A 0 0 0 1 1 0 1 1 ¬B ¬A ⋁ ¬B
  11. 11. De Morgan‘sche Gesetze Augustus De Morgan (1806 – 1871) Erstes Gesetz: Z = ¬(A ⋀ B) = ¬A ⋁ ¬B A B A ⋀ B ¬(A ⋀ B) ¬A ¬B ¬A ⋁ ¬B 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0
  12. 12. De Morgan‘sche Gesetze Zweites Gesetz: Z = ¬(A ⋁ B) = ¬A ⋀ ¬B A B A ⋁ B ¬(A ⋁ B) ¬A 0 0 0 1 1 0 1 1 ¬B ¬A ⋀ ¬B
  13. 13. De Morgan‘sche Gesetze Zweites Gesetz: Z = ¬(A ⋁ B) = ¬A ⋀ ¬B A B A ⋁ B ¬(A ⋁ B) ¬A ¬B ¬A ⋀ ¬B 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0
  14. 14. …und die Praxis…. Zur Realisierung der Schaltungen stehen nur bestimmte Gattertypen (UND, ODER, NOR, NAND) zur Verfügung. Beispiel 1: Umformung UND zu ODER X=A⋀B=A⋀B
  15. 15. …und die Praxis…. Zur Realisierung der Schaltungen stehen nur bestimmte Gattertypen (UND, ODER, NOR, NAND) zur Verfügung. Beispiel 1: Umformung UND zu ODER X=A⋀B=A⋀B=A⋁B
  16. 16. …und die Praxis…. Zur Realisierung der Schaltungen stehen nur bestimmte Gattertypen (UND, ODER, NOR, NAND) zur Verfügung. Beispiel 1: Umformung UND zu ODER X=A⋀B=A⋀B=A⋁B Beispiel 2: Umformung UND zu ODER Y=A⋁B=A⋁B=A⋀B
  17. 17. …und die Praxis…. Beispiel 3: Ein etwas längerer Term Z =A⋀ B⋀ C
  18. 18. …und die Praxis…. Beispiel 3: Ein etwas längerer Term Z =A⋀ B⋀ C =A⋀ B⋀ C
  19. 19. …und die Praxis…. Beispiel 3: Ein etwas längerer Term Z =A⋀ B⋀ C =A⋀ B⋀ C =A⋁B⋁C
  20. 20. …und die Praxis…. Beispiel 4: Und noch ein etwas längerer Term Z =A⋀ B⋀ C
  21. 21. …und die Praxis…. Beispiel 4: Und noch ein etwas längerer Term Z =A⋀ B⋀ C =A⋀ B⋀ C
  22. 22. …und die Praxis…. Beispiel 4: Und noch ein etwas längerer Term Z =A⋀ B⋀ C =A⋀ B⋀ C =A⋁B⋁C
  23. 23. Übungsaufgabe Realisieren Sie die Schaltung für den Term A ⋁ B, indem Sie ausschließlich NAND-Gatter verwenden.
  24. 24. Übungsaufgabe Realisieren Sie die Schaltung für den Term A ⋁ B, indem Sie ausschließlich NAND-Gatter verwenden. Z =A⋁ B =A⋁ B =A⋀ B
  25. 25. Übungsaufgabe Realisieren Sie die Schaltung für den Term A ⋁ B, indem Sie ausschließlich NAND-Gatter verwenden. Z =A⋁ B A =A⋁ B =A⋀ B Z B
  26. 26. Rechenschaltungen
  27. 27. Rechenschaltungen: Halbaddierer Ein Halbaddierer kann zwei Binärziffern nach den folgenden Regeln addieren: 0+0= 0 0+1= 1 1+0= 1 1 + 1 = 10 Aufbau / Anforderungen:  Eingänge: Die eine zu addierende Binärziffer erhält den Variablennamen A, die andere den Variablennamen B  Ausgänge: Die Schaltung muss über zwei Ausgänge verfügen  Einen Ausgang Z für die Wertigkeit 20 und  Einen Ausgang Ü für den Übertrag, d.h. 21
  28. 28. Übung Bestimmen Sie bitte die Wahrheitstabelle für die im Folgenden dargestellte Schaltung: A B ¬A ¬B C D Z Ü
  29. 29. Rechenschaltungen: Halbaddierer Aus der Zuordnung der Ziffer 0 mit dem binären Zustand 0 und der Ziffer 1 mit dem binären Zustand 1 ergibt sich folgende Wahrheitstabelle für den Halbaddierer: Fall A B Ü Z 1 0 0 0 0 2 0 1 0 1 3 1 0 0 1 4 1 1 1 0  Der Übertrag Ü ist wahr (und nur dann wahr) bzw. 1, wenn beide Eingänge Geschaltet sind. Ü=A⋀B  Z ist wahr, wenn einer der beiden Eingänge geschaltet ist, nicht jedoch beide gleichzeitig geschaltet sind.  Z = (A ⋀ B) ⋁ (A ⋀ B) Vgl.: Beuth, Klaus: Digitaltechnik. 9., überarbeitete Auflage. Würzburg, Vogel Verlag. 1992. S. 461 ff.
  30. 30. Rechenschaltungen: Volladdierer Zur Realisierung von Addierwerken werden Schaltungen benötigt, die drei Dualziffern addieren können, d.h. bei der Addition von zwei Binärzahlen die Überträge berücksichtigen  Ein Volladdierer ist eine Schaltung, die drei Dualziffern addieren kann Der Volladdierer verfügt über drei Eingänge (einen für jede zu addierende Zahl) und zwei Ausgänge  Ein Volladdierer lässt sich aus zwei Halbaddierern und einem ODER-Gatter aufbauen. Vgl.: Beuth, Klaus: Digitaltechnik. 9., überarbeitete Auflage. Würzburg, Vogel Verlag. 1992. S. 461 ff.
  31. 31. Schaltungen mit Speicherwirkung
  32. 32. SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop
  33. 33. Schaltungen mit Speicherwirkung: Flipflops Flipflops = bistabile Kippstufen; verfügen über die Möglichkeit, einen Zustand (d.h. ein Bit) zu speichern  Basale Schaltung, die eine Datenmenge von einem Bit über eine lange Zeit speichern kann Unterscheidung von Flipflops in  Taktgesteuerte (Zusätzlich zu den zwei Eingängen wird ein Taktsignal eingespeist)  Taktzustandsgesteuerte Flipflops  Auffang-Flipflops  Taktflankengesteuerte Flipflops  …  Nicht taktgesteuerte Flipflops  Speicher-Flipflops (Latch-Flipflops) Vgl.: Beuth, Klaus: Digitaltechnik. 9., überarbeitete Auflage. Würzburg, Vogel Verlag. 1992. S. 184.
  34. 34. Nicht-taktgesteuerte Flipflops: NOR-Latch Ein einfaches nicht-taktgesteuertes Flipflop lässt sich aus zwei NOR-Gattern aufbauen  wird als NOR-Latch (latch = Klinke, einrasten) bzw. SR-Latch bezeichnet Ein SR-Latch verfügt über:  Zwei Eingänge:  S zum Setzen  R zum Zurücksetzen (reset, löschen)  Zwei Ausgänge: Q  ¬Q
  35. 35. SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop – stabile Zustände NOR-Latch im Zustand 0 NOR-Latch im Zustand 1
  36. 36. SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Annahme Q=0 NOR-Latch im Zustand Q=0 – so funktioniert‘s  Grundannahmen (sehr wichtig!):  Wir nehmen an, dass S und R gleich 0 sind – dieser Zustand wird als der Normal- oder Ruhezustand bezeichnet  Wir nehmen an, dass Q gleich 0 ist  Ablauf:  Da Q in das obere NOR-Gatter zurückgespeist wird (Rückgekoppelte Schaltung), liegen beide Eingänge des Gatters auf 0, der Ausgang ¬Q entsprechend auf 1.  Die 1 von ¬Q wird in das untere Gatter eingespeist, das dann die Eingangsbelegung 1 und 0 hat. Daraus ergibt sich Q gleich 0.   Das NOR-Latch erreicht einen stabilen Zustand Vgl.: Tanenbaum: Computerarchitektur. Strukturen – Konzepte – Grundlagen. 2006, 5.Auflage. S. 179 ff)
  37. 37. SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Annahme Q=1 NOR-Latch im Zustand Q=1 – so funktioniert‘s  Grundannahmen :  Wir nehmen an, dass S und R gleich 0 sind.  Wir nehmen an, dass Q gleich 1 ist  Ablauf:  Da Q in das obere NOR-Gatter zurückgespeist wird, liegen die Eingänge des oberen Gatters auf 0 (von S) und 1 (von Q), der Ausgang ¬Q entsprechend auf 0.  Da ¬Q in das untere Gatter eingespeist wird, liegt an Q der Wert 1 an.   Das NOR-Latch erreicht einen stabilen Zustand Vgl.: Tanenbaum: Computerarchitektur. Strukturen – Konzepte – Grundlagen. 2006, 5.Auflage. S. 179 ff)
  38. 38. SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Eingang S=1 NOR-Latch im Zustand S=1 Schritt 0: Ruhezustand:  Ruhezustand: S=R=0, Q=0 Vgl.: Tanenbaum: Computerarchitektur. Strukturen – Konzepte – Grundlagen. 2006, 5.Auflage. S. 179 ff)
  39. 39. SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Eingang S=1 Schritt 1  Wir setzen S auf 1, während R auf 0 gesetzt ist. Was geschieht?
  40. 40. SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Eingang S=1 Schritt 1  Detailverlauf:  Wird S auf 1 gesetzt, so wird ¬ Q = 0 (vgl. Wahrheitstabelle für NOR Gatter)  Die 0 von ¬Q wird eingespeist in das untere NOR Gatter. Somit verändert sich der Wert Qs von 0 auf 1, denn: ¬(¬Q ⋁ R) = ¬ (0 ⋁ 0) = ¬0 = 1 1  Das Ergebnis: Wird S auf 1 gesetzt, wechselt der Zustand Qs von 0 auf 1.
  41. 41. SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Eingang S=0 NOR-Latch im Zustand S=0  Schritt 0:  Wir gehen davon aus, dass zuvor mittels S=1 das Flipflop gesetzt wurde. Nun soll S wieder auf 0 gesetzt werden; dabei soll der Zustand Q=1 erhalten bleiben 1 Vgl.: Tanenbaum: Computerarchitektur. Strukturen – Konzepte – Grundlagen. 2006, 5.Auflage. S. 179 ff)
  42. 42. SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Eingang S=0 Schritt 1  Wir setzen S erneut auf 0 Was geschieht? A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
  43. 43. SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Eingang S=0 Schritt 1  Detailverlauf:  Wird S auf 0 gesetzt, so liegt am oberen Gatter 0 (von S) und 1 (von Q) an. so wird ¬ Q = 0  Die 0 von ¬Q wird eingespeist in das untere NOR Gatter. Am unteren Gatter liegen somit an: 0 und 0 (von R).  Der Wert von Q ändert sich nicht, bleibt gesetzt.
  44. 44. SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Eingang R=1 NOR-Latch im Zustand R=1  Schritt 0:  Wir gehen davon aus, dass zuvor mittels S=1 das Flipflop gesetzt wurde. Und anschließend S=0 gesetzt ist – der Wert von Q folglich eine 1 gespeichert hat.  Nun soll R auf 1 gesetzt werden, um die Schaltung zurückzusetzen Vgl.: Tanenbaum: Computerarchitektur. Strukturen – Konzepte – Grundlagen. 2006, 5.Auflage. S. 179 ff)
  45. 45. SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Eingang R=1 Schritt 1  Wir setzen R auf 1  Was geschieht? A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
  46. 46. SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop  Eingang R=1 Schritt 1  Detailverlauf:  Wird R auf 1 gesetzt, so liegt am unteren Gatter 0 (von ¬Q) und 1 (von R) an.  Q wird somit zu 0  Am oberen Gatter liegt nun 0 (von S) und 0 (von Q) an. Somit wird ¬ Q = 1  Ergo: Indem wir R mit 1 belegen, setzen wir die Schaltung zurück (Q=0)
  47. 47. SR-Latch / SR-Speicher-Flipflop Zusammenfassung:  Wird S kurzzeitig auf 1 gesetzt, so nimmt das Latch unabhängig von seinem vorherigen Zustand den Zustand Q=1 an.  Wird R kurzzeitig auf 1 gesetzt, geht das Latch in den Zustand Q=0 über.   Die Schaltung merkt sich, ob S oder R zuletzt auf 1 gesetzt war.
  48. 48. Flipflops und die Praxis Mit Flipflops lassen sich Speicher realisieren – z.B. Register oder Cache-Speicher. Hauptspeicher wird zumeist nicht über Flipflops, sondern über einzelne Transistoren und Kondensatoren realisiert.  Pro: Günstig in der Produktion  Contra: Kondensatoren müssen regelmäßig aufgefrischt werden, da sie ansonsten ihre Ladung verlieren.
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