Basisinformationstechnologie I
Wintersemester 2013/14
30. Oktober 2013 – Grundlagen III: Rechnen im Binärsystem

Universit...
Inhalte der heutigen Sitzung
Rechnen im Binärsystem
 Addition von Binärzahlen
 Multiplikation von Binärzahlen
 Subtrakt...
Kurzwiederholung
Vier Zahlensysteme gegenübergestellt

Dezimal

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Umwandlung Binärsystem  Dezimalsystem
Zur Umwandlung: Multiplikation der entsprechenden
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Übung: Binärzahl  Dezimalzahl
Übungsaufgaben
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Übung: Binärzahl  Dezimalzahl
Übungsaufgaben
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Eine Dezimalzahl lässt sich über die Division durch 2 und
Aufschreiben der Reste in eine Bi...
Übung: Dezimalzahl  Binärzahl
Übungsaufgaben

9

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Übung: Dezimalzahl  Binärzahl
Übungsaufgaben

9

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= 10 0110

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Rechnen im Binärsystem
Rechnen im Binärsystem: Addition
Additionsregeln
 0+ 0 = 0
 0+ 1 = 1
 1+ 0 = 1
 1 + 1 = 0 mit 1 Übertrag  1 0



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Übungsaufgaben Addition
1101 1000
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+ 0000 1101
---------------1000 1000
+ 1010 1011
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Übungsaufgaben Addition
1101 1000
+ 0011 0111
---------------1 0000 1111
0101 1011
+ 0000 1101
---------------110 1000
100...
Multiplikation im
Binärsystem
Rechnen im Binärsystem: Multiplikation
Bei jeder 1 auf der rechten Seite (von links nach rechts):
Vollständige Zahl der li...
Übungsaufgaben Multiplikation
Berechnen Sie im Binärsystem:
 17 * 3
 23 * 15
4*7
Übungsaufgaben Multiplikation
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 10001*11
10001
10001
--------110011 = 51
Übungsaufgaben Multiplikation
23*15 = ?
 10111*1111
10111
10111
10111
10111
--------------101011001 = 345
Übungsaufgaben Multiplikation
4*7 = ?
 100*111
100
100
100
--------11100=28
Subtraktion im Binärsystem
 Subtraktion: Addition einer negativen Zahl
ℤ
-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Binärdarstellung ganzer Zahlen
Wie ℤ darstellen?

MSB (Most Significant Bit,
d.h.: erstes Bit, ganz links)
zur Kennzeichnu...
Binärdarstellung ganzer Zahlen
Probleme!
 0 zweimal codiert
 Rechnen verkompliziert

0000 = +0

1000 = -0

0001 = +1

10...
Zweierkomplementdarstellung
Zweierkomplementdarstellung

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0000 = 0

0100 = 4

0001 = 1

0101 = 5

0010 = ...
Zweierkomplementdarstellung

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1000 = -8

1100 = -4

0000 = 0

0100 = 4

1001 ...
Standardformate für ganze Zahlen
Größe

Java

C++

8 Bit

byte

char

16 Bit

short

int/short

32 Bit

int

int/long

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Zweierkomplement: Umrechnung
Umwandlung 6 in -6:
 Schritt 0: Binärdarstellung bilden: 0110
 Schritt I: Einerkomplement b...
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Übungsaufgaben Zweierkomplement
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Übungsaufgaben Zweierkomplement
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Übungsaufgaben Zweierkomplement
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Übungsaufgaben Zweierkomplement
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1 0001 = 0001 0001

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Subtraktion im Binärsystem
Subtraktion: Addition von Zweierkomplementzahlen
Subtraktion = Addition der zu subtrahierenden Zahl:
5 - 7 = 5 +(- 7)
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Übungsaufgaben
Berechnen Sie im Binärsystem unter Verwendung
des Zweierkomplements:

 13-5
 -7+11
 12-11
 3-12
 127-5...
Übungsaufgaben
Berechnen Sie:
 13-5
13/2=6, Rest 1
6/2 =3, Rest 0
3/2 =1, Rest 1
1/2 =0, Rest 1
13 = 0000 1101

5/2=2, Re...
Übungsaufgaben
Berechnen Sie:
 -7+11
 =11+(-7)
11/2=5, Rest 1
5/2 =2, Rest 1
2/2 =1, Rest 0
1/2 =0, Rest 1
11=0000 1011
...
Übungsaufgaben
Berechnen Sie:
 12-11
12/2=6, Rest 0
6/2 =3, Rest 0
3/2 =1, Rest 1
1/2 =0, Rest 1
12=1100

11=0000 1011
Ei...
Übungsaufgaben
Berechnen Sie:
 3-12
 =3+(-12)
3/2=1, Rest 1
1/2 =0, Rest 1

3=0011

12/2=6, Rest 0
6/2=3, Rest 0
3/2=1, ...
Übungsaufgaben
Berechnen Sie:
 127-50
 =127+(-50)
127=0111 1111

50=0011 0010
Einerkomplement: 1100 1101
Zweierkomplemen...
...hiermit haben wir uns heute beschäftigt...
Zahlensysteme
 Hexadezimal Dezimal Binärsystem

Umwandlung vom

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Hausaufgaben
Aufgabe 1: Umwandlung Dezimal- in Binärzahl
Wandeln Sie die Dezimalzahlen 375 und 75 in Binärzahlen um. Prüfe...
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Bit WiSe 2013 | Basisinformationstechnologie I - 03: Grundlagen III: Rechnen im Binärsystem

  1. 1. Basisinformationstechnologie I Wintersemester 2013/14 30. Oktober 2013 – Grundlagen III: Rechnen im Binärsystem Universität zu Köln. Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Jan G. Wieners // jan.wieners@uni-koeln.de
  2. 2. Inhalte der heutigen Sitzung Rechnen im Binärsystem  Addition von Binärzahlen  Multiplikation von Binärzahlen  Subtraktion von Binärzahlen Vorzeichenbehaftete Zahlen  Zweierkomplementdarstellung
  3. 3. Kurzwiederholung
  4. 4. Vier Zahlensysteme gegenübergestellt Dezimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Binär 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 Oktal 0 1 2 3 4 5 6 7 10 Hexadezimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Dezimal 9 10 11 12 13 14 15 16 Binär 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 Oktal 11 12 13 14 15 16 17 20 Hexadezimal 9 A B C D E F 10
  5. 5. Umwandlung Binärsystem  Dezimalsystem Zur Umwandlung: Multiplikation der entsprechenden Ziffern mit den Zweierpotenzen: 10111 = 1*20 + 1*21 + 1*2² + 0*2³ + 1*24 = 1*1 + 1*2 + 1*4 + 0*8 + 1*16 = 23
  6. 6. Übung: Binärzahl  Dezimalzahl Übungsaufgaben 1011 1 1110 0 0011 => => => welche Zahl im Dezimalsystem? welche Zahl im Dezimalsystem? welche Zahl im Dezimalsystem?
  7. 7. Übung: Binärzahl  Dezimalzahl Übungsaufgaben 1011 1 1110 0 0011 => => => 11 30 3
  8. 8. Umwandlung DezimalBinärsystem Eine Dezimalzahl lässt sich über die Division durch 2 und Aufschreiben der Reste in eine Binärzahl umwandeln (das ist eine Möglichkeit, häufig lässt sich das auch im Kopf lösen). Beispiel: Die Zahl 76 soll ins Binärsystem umgewandelt werden        76 / 2 = 38; Rest 0 38 / 2 = 19; Rest 0 19 / 2 = 9; Rest 1 9 / 2 = 4; Rest 1 4 / 2 = 2; Rest 0 2 / 2 = 1; Rest 0 1 / 2 = 0; Rest 1 1001100
  9. 9. Übung: Dezimalzahl  Binärzahl Übungsaufgaben 9 = Welche Binärzahl? 38 = Welche Binärzahl? 57 = Welche Binärzahl?
  10. 10. Übung: Dezimalzahl  Binärzahl Übungsaufgaben 9 = 1001 38 = 10 0110 57 = 11 1001
  11. 11. Rechnen im Binärsystem
  12. 12. Rechnen im Binärsystem: Addition Additionsregeln  0+ 0 = 0  0+ 1 = 1  1+ 0 = 1  1 + 1 = 0 mit 1 Übertrag  1 0   1 + 1 + Übertrag = 1 + Übertrag 1 + 1 + Übertrag + Übertrag = 1+1+1+1 (4x1)
  13. 13. Übungsaufgaben Addition 1101 1000 + 0011 0111 ---------------0101 1011 + 0000 1101 ---------------1000 1000 + 1010 1011 ----------------
  14. 14. Übungsaufgaben Addition 1101 1000 + 0011 0111 ---------------1 0000 1111 0101 1011 + 0000 1101 ---------------110 1000 1000 1000 + 1010 1011 ---------------1 0011 0011
  15. 15. Multiplikation im Binärsystem
  16. 16. Rechnen im Binärsystem: Multiplikation Bei jeder 1 auf der rechten Seite (von links nach rechts): Vollständige Zahl der linken Seite notieren. Bei jeder 0: Nullen notieren. Beispiel: 47 * 17 = 101111 * 10001 101111* 10001 101111 000000 000000 000000 101111 --------------------1100011111
  17. 17. Übungsaufgaben Multiplikation Berechnen Sie im Binärsystem:  17 * 3  23 * 15 4*7
  18. 18. Übungsaufgaben Multiplikation 17*3 = ?  10001*11 10001 10001 --------110011 = 51
  19. 19. Übungsaufgaben Multiplikation 23*15 = ?  10111*1111 10111 10111 10111 10111 --------------101011001 = 345
  20. 20. Übungsaufgaben Multiplikation 4*7 = ?  100*111 100 100 100 --------11100=28
  21. 21. Subtraktion im Binärsystem  Subtraktion: Addition einer negativen Zahl
  22. 22. ℤ -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
  23. 23. Binärdarstellung ganzer Zahlen Wie ℤ darstellen? MSB (Most Significant Bit, d.h.: erstes Bit, ganz links) zur Kennzeichnung verwenden  MSB == 0, dann positive Zahl  MSB == 1, dann negative Zahl …Probleme? 1000 = -0 0001 = +1 1001 = -1 0010 = +2 1010 = -2 0011 = +3 1011 = -3 0100 = +4 1100 = -4 0101 = +5 1101 = -5 0110 = +6 Möglichkeit I: 0000 = +0 1110 = -6 0111 = +7 1111 = -7
  24. 24. Binärdarstellung ganzer Zahlen Probleme!  0 zweimal codiert  Rechnen verkompliziert 0000 = +0 1000 = -0 0001 = +1 1001 = -1 0010 = +2 1010 = -2 0011 = +3 1011 = -3 0100 = +4 1100 = -4 0101 = +5 1101 = -5 0110 = +6 1110 = -6 0111 = +7 1111 = -7
  25. 25. Zweierkomplementdarstellung
  26. 26. Zweierkomplementdarstellung -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0000 = 0 0100 = 4 0001 = 1 0101 = 5 0010 = 2 0110 = 6 0011 = 3 0111 = 7 Darstellbarer Zahlenbereich: -2n-1 bis 2n-1-1
  27. 27. Zweierkomplementdarstellung -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1000 = -8 1100 = -4 0000 = 0 0100 = 4 1001 = -7 1101 = -3 0001 = 1 0101 = 5 1010 = -6 1110 = -2 0010 = 2 0110 = 6 1011 = -5 1111 = -1 0011 = 3 0111 = 7 Darstellbarer Zahlenbereich: -2n-1 bis 2n-1-1
  28. 28. Standardformate für ganze Zahlen Größe Java C++ 8 Bit byte char 16 Bit short int/short 32 Bit int int/long Wertebereich -27 ... 27-1 oder -128 ... 127 -215 ... 215-1 oder -32.768 ... 32.767 -231 ... 231-1 oder -2.147.483.648 ... 2.147.483.647
  29. 29. Zweierkomplement: Umrechnung Umwandlung 6 in -6:  Schritt 0: Binärdarstellung bilden: 0110  Schritt I: Einerkomplement bilden, d.h. Negation aller Bits 0110  1001  Schritt II: Addition von 1 1001 + 0001 = 1010 1010 ist die Entsprechung der Dezimalzahl -6 im Binärsystem (unter Verwendung der Zweierkomplementdarstellung) 1000 = -8 1100 = -4 0000 = 0 0100 = 4 1001 = -7 1101 = -3 0001 = 1 0101 = 5 1010 = -6 1110 = -2 0010 = 2 0110 = 6 1011 = -5 1111 = -1 0011 = 3 0111 = 7
  30. 30. Übungsaufgaben Zweierkomplement  Wenn MSB == 1: Auffüllen mit 0 auf nächst größeres Nibble (wg. Wertebereich), das erleichtert mitunter die Umrechnung…  Welche Binärzahl (Stichw. Zweierkomplement) entspricht der Dezimalzahl -15?  Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -45?  Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -17?
  31. 31. Übungsaufgaben Zweierkomplement 15 = 1111  Auf nächsthöheres Nibble auffüllen: 1111 = 0000 1111  Einerkomplement bilden: 1111 0000  Zweierkomplement bilden, d.h. 1 addieren: 1111 0000 + 1 --------------1111 0001  -15 = 1111 0001
  32. 32. Übungsaufgaben Zweierkomplement  Wenn MSB == 1: Auffüllen mit 0 auf nächst größeres Nibble (wg. Wertebereich)  Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -45?  Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -17?
  33. 33. Übungsaufgaben Zweierkomplement 45 = 10 1101  Auf nächsthöheres Nibble auffüllen: 10 1101 = 0010 1101  Einerkomplement bilden: 1101 0010  Zweierkomplement bilden, d.h. 1 addieren: 1101 0010 + 1 --------------1101 0011  -45 = 1101 0011
  34. 34. Übungsaufgaben Zweierkomplement 17 = 1 0001  Auf nächsthöheres Nibble auffüllen: 1 0001 = 0001 0001  Einerkomplement bilden: 1110 1110  Zweierkomplement bilden, d.h. 1 addieren: 1110 1110 + 1 --------------1110 1111  -17 = 1110 1111
  35. 35. Subtraktion im Binärsystem
  36. 36. Subtraktion: Addition von Zweierkomplementzahlen Subtraktion = Addition der zu subtrahierenden Zahl: 5 - 7 = 5 +(- 7) Im Binärsystem: 0101  5 + 1001  Zweierkomplementdarst. von 7 -----1110  Führendes Bit == 1: Negative Zahl Da negative Zahl: Wieder umwandeln, um Betrag zu bestimmen: Einerkomplement von 1110 = 0001 Zweierkomplement von 1110 = 0010 = (-)2
  37. 37. Übungsaufgaben Berechnen Sie im Binärsystem unter Verwendung des Zweierkomplements:  13-5  -7+11  12-11  3-12  127-50
  38. 38. Übungsaufgaben Berechnen Sie:  13-5 13/2=6, Rest 1 6/2 =3, Rest 0 3/2 =1, Rest 1 1/2 =0, Rest 1 13 = 0000 1101 5/2=2, Rest 1 2/2=1, Rest 0 1/2=0, Rest 1 5 = 101 = 0000 0101 Einerkomplement: 1111 1010 Zweierkomplement:1111 1011 0000 1101 +1111 1011 ---------------10000 1000 Zahl ist positiv (MSB==0)  Die führende 1, die aus der Addition ad infinitum resultiert, überschreitet den Wertebereich und wird gestrichen 13-5=1000=8
  39. 39. Übungsaufgaben Berechnen Sie:  -7+11  =11+(-7) 11/2=5, Rest 1 5/2 =2, Rest 1 2/2 =1, Rest 0 1/2 =0, Rest 1 11=0000 1011 7/2=3, Rest 1 3/2=1, Rest 1 1/2=0, Rest 1 7=111=0000 0111 Einerkomplement: 1111 1000 Zweierkomplement: 1111 1001 0000 1011 +1111 1001 ---------------10000 0100 0100  Zahl ist positiv (MSB==0), also Ergebnis = 0100 = 4
  40. 40. Übungsaufgaben Berechnen Sie:  12-11 12/2=6, Rest 0 6/2 =3, Rest 0 3/2 =1, Rest 1 1/2 =0, Rest 1 12=1100 11=0000 1011 Einerkomplement: 1111 0100 Zweierkomplement: 1111 0101 0000 1100 +1111 0101 ----------------10000 0001  Zahl ist positiv (MSB==0), also Ergebnis = 0001 = 1
  41. 41. Übungsaufgaben Berechnen Sie:  3-12  =3+(-12) 3/2=1, Rest 1 1/2 =0, Rest 1 3=0011 12/2=6, Rest 0 6/2=3, Rest 0 3/2=1, Rest 1 1/2=0, Rest 1 12=0000 1100 Einerkomplement: 1111 00 11 Zweierkomplement: 1111 0100 0000 0011 +1111 0100 --------------1111 0111 Einerkomplement: 0000 1000; Zweierkomplement: 1001 3-12=1001=-9
  42. 42. Übungsaufgaben Berechnen Sie:  127-50  =127+(-50) 127=0111 1111 50=0011 0010 Einerkomplement: 1100 1101 Zweierkomplement: 1100 1110 0111 1111 +1100 1110 ---------------10100 1101  Zahl ist positiv (MSB==0), also Ergebnis = 0100 1101 = 77
  43. 43. ...hiermit haben wir uns heute beschäftigt... Zahlensysteme  Hexadezimal Dezimal Binärsystem Umwandlung vom     Dezimal- ins Binärsystem Binärsystem ins Dezimalsystem Dezimal- ins Hexadezimalsystem Hexadezimal- ins Dezimalsystem Vorzeichenlose Zahlen Binärsystem: Darstellung ganzer Zahlen, d.h. negativer Zahlen  Zweierkomplementdarstellung Rechnen im Binärsystem     Addition Subtraktion (Addition der negativen Zahl) Multiplikation Division Wer sich dafür interessiert: Reelle Zahlen  IEEE 754
  44. 44. /
  45. 45. Hausaufgaben Aufgabe 1: Umwandlung Dezimal- in Binärzahl Wandeln Sie die Dezimalzahlen 375 und 75 in Binärzahlen um. Prüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die Binärzahlen anschließend wieder zurück konvertieren. Aufgabe 2: Multiplikation von Binärzahlen Berechnen Sie bitte im Binärsystem:  5*2+7  3 * 9 + 11 Aufgabe 3: Subtraktion von Binärzahlen Berechnen Sie bitte im Binärsystem unter Verwendung des Zweierkomplements:  17 - 13  42 – 47 Aufgabe 4 Beschreiben Sie zwei Möglichkeiten zur Darstellung ganzer Zahlen und stellen sie die negative Dezimalzahl -23 mit beiden Möglichkeiten als Binärzahl dar. Welche Vor- oder Nachteile haben die Möglichkeiten jeweils?
  46. 46. /

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