Basisinformationstechnologie I 
Universität zu Köln. Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung 
Jan G. W...
Inhalte der heutigen Sitzung 
Rechnen im Binärsystem 
 Addition von Binärzahlen 
 Multiplikation von Binärzahlen 
 Subt...
Kurzwiederholung
Vier Zahlensysteme gegenübergestellt 
Dezimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
Binär 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 
Oktal 0 1 2 3 4 5 6...
Umwandlung Binärsystem  Dezimalsystem 
Zur Umwandlung: Multiplikation der entsprechenden 
Ziffern mit den Zweierpotenzen:...
Übung: Binärzahl  Dezimalzahl 
Übungsaufgaben 
1011 => welche Zahl im Dezimalsystem? 
1 1110 => welche Zahl im Dezimalsys...
Übung: Binärzahl  Dezimalzahl 
Übungsaufgaben 
1011 => 11 
1 1110 => 30 
0 0011 => 3
Umwandlung DezimalBinärsystem 
Eine Dezimalzahl lässt sich über die Division durch 2 und 
Aufschreiben der Reste in eine ...
Übung: Dezimalzahl  Binärzahl 
Übungsaufgaben 
9 = Welche Binärzahl? 
38 = Welche Binärzahl? 
57 = Welche Binärzahl?
Übung: Dezimalzahl  Binärzahl 
Übungsaufgaben 
9 = 1001 
38 = 10 0110 
57 = 11 1001
Rechnen im Binärsystem
Rechnen im Binärsystem: Addition 
Additionsregeln 
 0 + 0 = 0 
 0 + 1 = 1 
 1 + 0 = 1 
 1 + 1 = 0 mit 1 Übertrag  1 0...
Übungsaufgaben Addition 
1101 1000 
+ 0011 0111 
---------------- 
0101 1011 
+ 0000 1101 
---------------- 
1000 1000 
+ ...
Übungsaufgaben Addition 
1101 1000 
+ 0011 0111 
---------------- 
1 0000 1111 
0101 1011 
+ 0000 1101 
---------------- 
...
Multiplikation im 
Binärsystem
Rechnen im Binärsystem: Multiplikation 
Bei jeder 1 auf der rechten Seite (von links nach rechts): 
Vollständige Zahl der ...
Übungsaufgaben Multiplikation 
Berechnen Sie im Binärsystem: 
 17 * 3 
 23 * 15 
 4 * 7
Übungsaufgaben Multiplikation 
17*3 = ? 
 10001*11 
10001 
10001 
--------- 
110011 = 51
Übungsaufgaben Multiplikation 
23*15 = ? 
 10111*1111 
10111 
10111 
10111 
10111 
--------------- 
101011001 = 345
Übungsaufgaben Multiplikation 
4*7 = ? 
 100*111 
100 
100 
100 
--------- 
11100=28
Subtraktion im Binärsystem 
 Subtraktion: Addition einer negativen Zahl
ℤ 
-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Binärdarstellung ganzer Zahlen 
Wie ℤ darstellen? 
Möglichkeit I: 
MSB (Most Significant Bit, 
d.h.: erstes Bit, ganz link...
Binärdarstellung ganzer Zahlen 
Probleme! 
 0 zweimal codiert 
 Rechnen verkompliziert 
0000 = +0 1000 = -0 
0001 = +1 1...
Zweierkomplementdarstellung
Zweierkomplementdarstellung 
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 
0000 = 0 0100 = 4 
0001 = 1 0101 = 5 
0010 = 2...
Zweierkomplementdarstellung 
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 
1000 = -8 1100 = -4 0000 = 0 0100 = 4 
1001 = ...
Standardformate für ganze Zahlen 
Größe Java C++ Wertebereich 
8 Bit byte char 
-27 ... 27-1 
oder 
-128 ... 127 
16 Bit s...
Zweierkomplement: Umrechnung 
Umwandlung 6 in -6: 
 Schritt 0: Binärdarstellung bilden: 0110 
 Schritt I: Einerkomplemen...
Zweierkomplement: Umrechnung 
Umwandlung 6 in -6: 
 Schritt 0: Binärdarstellung bilden: 0110 
 Schritt I: Einerkomplemen...
Übungsaufgaben Zweierkomplement 
 Wenn MSB == 1: Auffüllen mit 0 auf nächst 
größeres Nibble (wg. Wertebereich), das erle...
Übungsaufgaben Zweierkomplement 
15 = 1111 
 Auf nächsthöheres Nibble auffüllen: 
1111 = 0000 1111 
 Einerkomplement bil...
Übungsaufgaben Zweierkomplement 
 Wenn MSB == 1: Auffüllen mit 0 auf nächst 
größeres Nibble (wg. Wertebereich) 
 Welche...
Übungsaufgaben Zweierkomplement 
45 = 10 1101 
 Auf nächsthöheres Nibble auffüllen: 
10 1101 = 0010 1101 
 Einerkompleme...
Übungsaufgaben Zweierkomplement 
17 = 1 0001 
 Auf nächsthöheres Nibble auffüllen: 
1 0001 = 0001 0001 
 Einerkomplement...
Subtraktion im Binärsystem
Subtraktion: Addition von Zweierkomplementzahlen 
Subtraktion = Addition der zu subtrahierenden Zahl: 
5 - 7 = 5 +(- 7) 
I...
Übungsaufgaben 
Berechnen Sie im Binärsystem unter Verwendung 
des Zweierkomplements: 
 13-5 
 -7+11 
 12-11 
 3-12 
...
Übungsaufgaben 
Berechnen Sie: 
 13-5 
13/2=6, Rest 1 5/2=2, Rest 1 
6/2 =3, Rest 0 2/2=1, Rest 0 
3/2 =1, Rest 1 1/2=0, ...
Übungsaufgaben 
Berechnen Sie: 
 -7+11 
 =11+(-7) 
11/2=5, Rest 1 7/2=3, Rest 1 
5/2 =2, Rest 1 3/2=1, Rest 1 
2/2 =1, R...
Übungsaufgaben 
Berechnen Sie: 
 12-11 
12/2=6, Rest 0 
6/2 =3, Rest 0 
3/2 =1, Rest 1 
1/2 =0, Rest 1 
12=1100 11=0000 1...
Übungsaufgaben 
Berechnen Sie: 
 3-12 
 =3+(-12) 
3/2=1, Rest 1 12/2=6, Rest 0 
1/2 =0, Rest 1 6/2=3, Rest 0 
3/2=1, Res...
Übungsaufgaben 
Berechnen Sie: 
 127-50 
 =127+(-50) 
127=0111 1111 50=0011 0010 
Einerkomplement: 1100 1101 
Zweierkomp...
Inhalte der vergangenen beiden Sitzungen 
Zahlensysteme 
 Hexadezimal- 
 Dezimal- 
 Binärsystem 
Umwandlung vom 
 Dezi...
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BIT I WiSe 2014 | Basisinformationstechnologie I - 03: Grundlagen III

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  • Um Dezimalzahlen über das Zweierkomplement abzubilden, wird von 0 beginnend aufwärts gezählt, bis die obere Grenze +7 erreicht ist. Anschließend wird an der unteren Grenze -8 fortgefahren und aufwärts gezählt, bis die Zahl -1 erreicht ist. Die Grafik zeigt, wie das für 4 Bit ausschaut.
    Vorteile: Die Null ist nur einmal codiert.
    Wir sehen über das führende Bit, dass es sich um eine negative Zahl handelt.
  • Um Dezimalzahlen über das Zweierkomplement abzubilden, wird von 0 beginnend aufwärts gezählt, bis die obere Grenze +7 erreicht ist. Anschließend wird an der unteren Grenze -8 fortgefahren und aufwärts gezählt, bis die Zahl -1 erreicht ist. Die Grafik zeigt, wie das für 4 Bit ausschaut.
    Vorteile: Die Null ist nur einmal codiert.
    Wir sehen über das führende Bit, dass es sich um eine negative Zahl handelt.
  • BIT I WiSe 2014 | Basisinformationstechnologie I - 03: Grundlagen III

    1. 1. Basisinformationstechnologie I Universität zu Köln. Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Jan G. Wieners // jan.wieners@uni-koeln.de Wintersemester 2014/15 05. November 2014 – Grundlagen III: Rechnen im Binärsystem
    2. 2. Inhalte der heutigen Sitzung Rechnen im Binärsystem  Addition von Binärzahlen  Multiplikation von Binärzahlen  Subtraktion von Binärzahlen Vorzeichenbehaftete Zahlen  Zweierkomplementdarstellung
    3. 3. Kurzwiederholung
    4. 4. Vier Zahlensysteme gegenübergestellt Dezimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Binär 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 Oktal 0 1 2 3 4 5 6 7 10 Hexadezimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Dezimal 9 10 11 12 13 14 15 16 Binär 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 Oktal 11 12 13 14 15 16 17 20 Hexadezimal 9 A B C D E F 10
    5. 5. Umwandlung Binärsystem  Dezimalsystem Zur Umwandlung: Multiplikation der entsprechenden Ziffern mit den Zweierpotenzen: 10111 = 1*20 + 1*21 + 1*2² + 0*2³ + 1*24 = 1*1 + 1*2 + 1*4 + 0*8 + 1*16 = 23
    6. 6. Übung: Binärzahl  Dezimalzahl Übungsaufgaben 1011 => welche Zahl im Dezimalsystem? 1 1110 => welche Zahl im Dezimalsystem? 0 0011 => welche Zahl im Dezimalsystem?
    7. 7. Übung: Binärzahl  Dezimalzahl Übungsaufgaben 1011 => 11 1 1110 => 30 0 0011 => 3
    8. 8. Umwandlung DezimalBinärsystem Eine Dezimalzahl lässt sich über die Division durch 2 und Aufschreiben der Reste in eine Binärzahl umwandeln (das ist eine Möglichkeit, häufig lässt sich das auch im Kopf lösen). Beispiel: Die Zahl 76 soll ins Binärsystem umgewandelt werden  76 / 2 = 38; Rest 0  38 / 2 = 19; Rest 0  19 / 2 = 9; Rest 1  9 / 2 = 4; Rest 1  4 / 2 = 2; Rest 0  2 / 2 = 1; Rest 0  1 / 2 = 0; Rest 1 1 0 0 1 1 0 0
    9. 9. Übung: Dezimalzahl  Binärzahl Übungsaufgaben 9 = Welche Binärzahl? 38 = Welche Binärzahl? 57 = Welche Binärzahl?
    10. 10. Übung: Dezimalzahl  Binärzahl Übungsaufgaben 9 = 1001 38 = 10 0110 57 = 11 1001
    11. 11. Rechnen im Binärsystem
    12. 12. Rechnen im Binärsystem: Addition Additionsregeln  0 + 0 = 0  0 + 1 = 1  1 + 0 = 1  1 + 1 = 0 mit 1 Übertrag  1 0  1 + 1 + Übertrag = 1 + Übertrag  1 + 1 + Übertrag + Übertrag = 1+1+1+1 (4x1)
    13. 13. Übungsaufgaben Addition 1101 1000 + 0011 0111 ---------------- 0101 1011 + 0000 1101 ---------------- 1000 1000 + 1010 1011 ----------------
    14. 14. Übungsaufgaben Addition 1101 1000 + 0011 0111 ---------------- 1 0000 1111 0101 1011 + 0000 1101 ---------------- 110 1000 1000 1000 + 1010 1011 ---------------- 1 0011 0011
    15. 15. Multiplikation im Binärsystem
    16. 16. Rechnen im Binärsystem: Multiplikation Bei jeder 1 auf der rechten Seite (von links nach rechts): Vollständige Zahl der linken Seite notieren. Bei jeder 0: Nullen notieren. Beispiel: 47 * 17 = 101111 * 10001 101111* 10001 101111 000000 000000 000000 101111 --------------------- 1100011111
    17. 17. Übungsaufgaben Multiplikation Berechnen Sie im Binärsystem:  17 * 3  23 * 15  4 * 7
    18. 18. Übungsaufgaben Multiplikation 17*3 = ?  10001*11 10001 10001 --------- 110011 = 51
    19. 19. Übungsaufgaben Multiplikation 23*15 = ?  10111*1111 10111 10111 10111 10111 --------------- 101011001 = 345
    20. 20. Übungsaufgaben Multiplikation 4*7 = ?  100*111 100 100 100 --------- 11100=28
    21. 21. Subtraktion im Binärsystem  Subtraktion: Addition einer negativen Zahl
    22. 22. ℤ -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
    23. 23. Binärdarstellung ganzer Zahlen Wie ℤ darstellen? Möglichkeit I: MSB (Most Significant Bit, d.h.: erstes Bit, ganz links) zur Kennzeichnung verwenden  MSB == 0, dann positive Zahl  MSB == 1, dann negative Zahl …Probleme? 0000 = +0 1000 = -0 0001 = +1 1001 = -1 0010 = +2 1010 = -2 0011 = +3 1011 = -3 0100 = +4 1100 = -4 0101 = +5 1101 = -5 0110 = +6 1110 = -6 0111 = +7 1111 = -7
    24. 24. Binärdarstellung ganzer Zahlen Probleme!  0 zweimal codiert  Rechnen verkompliziert 0000 = +0 1000 = -0 0001 = +1 1001 = -1 0010 = +2 1010 = -2 0011 = +3 1011 = -3 0100 = +4 1100 = -4 0101 = +5 1101 = -5 0110 = +6 1110 = -6 0111 = +7 1111 = -7
    25. 25. Zweierkomplementdarstellung
    26. 26. Zweierkomplementdarstellung -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0000 = 0 0100 = 4 0001 = 1 0101 = 5 0010 = 2 0110 = 6 0011 = 3 0111 = 7 Darstellbarer Zahlenbereich: -2n-1 bis 2n-1-1
    27. 27. Zweierkomplementdarstellung -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1000 = -8 1100 = -4 0000 = 0 0100 = 4 1001 = -7 1101 = -3 0001 = 1 0101 = 5 1010 = -6 1110 = -2 0010 = 2 0110 = 6 1011 = -5 1111 = -1 0011 = 3 0111 = 7 Darstellbarer Zahlenbereich: -2n-1 bis 2n-1-1
    28. 28. Standardformate für ganze Zahlen Größe Java C++ Wertebereich 8 Bit byte char -27 ... 27-1 oder -128 ... 127 16 Bit short int/short -215 ... 215-1 oder -32.768 ... 32.767 32 Bit int int/long -231 ... 231-1 oder -2.147.483.648 ... 2.147.483.647
    29. 29. Zweierkomplement: Umrechnung Umwandlung 6 in -6:  Schritt 0: Binärdarstellung bilden: 0110  Schritt I: Einerkomplement bilden, d.h. Negation aller Bits 0110  1001  Schritt II: Addition von 1 1001 + 0001 = 1010 1010 ist die Entsprechung der Dezimalzahl -6 im Binärsystem (unter Verwendung der Zweierkomplementdarstellung)
    30. 30. Zweierkomplement: Umrechnung Umwandlung 6 in -6:  Schritt 0: Binärdarstellung bilden: 0110  Schritt I: Einerkomplement bilden, d.h. Negation aller Bits 0110  1001  Schritt II: Addition von 1 1001 + 0001 = 1010 1010 ist die Entsprechung der Dezimalzahl -6 im Binärsystem (unter Verwendung der Zweierkomplementdarstellung) 1000 = -8 1100 = -4 0000 = 0 0100 = 4 1001 = -7 1101 = -3 0001 = 1 0101 = 5 1010 = -6 1110 = -2 0010 = 2 0110 = 6 1011 = -5 1111 = -1 0011 = 3 0111 = 7
    31. 31. Übungsaufgaben Zweierkomplement  Wenn MSB == 1: Auffüllen mit 0 auf nächst größeres Nibble (wg. Wertebereich), das erleichtert mitunter die Umrechnung…  Welche Binärzahl (Stichw. Zweierkomplement) entspricht der Dezimalzahl -15?  Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -45?  Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -17?
    32. 32. Übungsaufgaben Zweierkomplement 15 = 1111  Auf nächsthöheres Nibble auffüllen: 1111 = 0000 1111  Einerkomplement bilden: 1111 0000  Zweierkomplement bilden, d.h. 1 addieren: 1111 0000 + 1 --------------- 1111 0001  -15 = 1111 0001
    33. 33. Übungsaufgaben Zweierkomplement  Wenn MSB == 1: Auffüllen mit 0 auf nächst größeres Nibble (wg. Wertebereich)  Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -45?  Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -17?
    34. 34. Übungsaufgaben Zweierkomplement 45 = 10 1101  Auf nächsthöheres Nibble auffüllen: 10 1101 = 0010 1101  Einerkomplement bilden: 1101 0010  Zweierkomplement bilden, d.h. 1 addieren: 1101 0010 + 1 --------------- 1101 0011  -45 = 1101 0011
    35. 35. Übungsaufgaben Zweierkomplement 17 = 1 0001  Auf nächsthöheres Nibble auffüllen: 1 0001 = 0001 0001  Einerkomplement bilden: 1110 1110  Zweierkomplement bilden, d.h. 1 addieren: 1110 1110 + 1 --------------- 1110 1111  -17 = 1110 1111
    36. 36. Subtraktion im Binärsystem
    37. 37. Subtraktion: Addition von Zweierkomplementzahlen Subtraktion = Addition der zu subtrahierenden Zahl: 5 - 7 = 5 +(- 7) Im Binärsystem: 0101  5 + 1001  Zweierkomplementdarst. von 7 ------ 1110  Führendes Bit == 1: Negative Zahl Da negative Zahl: Wieder umwandeln, um Betrag zu bestimmen: Einerkomplement von 1110 = 0001 Zweierkomplement von 1110 = 0010 = (-)2
    38. 38. Übungsaufgaben Berechnen Sie im Binärsystem unter Verwendung des Zweierkomplements:  13-5  -7+11  12-11  3-12  127-50
    39. 39. Übungsaufgaben Berechnen Sie:  13-5 13/2=6, Rest 1 5/2=2, Rest 1 6/2 =3, Rest 0 2/2=1, Rest 0 3/2 =1, Rest 1 1/2=0, Rest 1 1/2 =0, Rest 1 13 = 0000 1101 5 = 101 = 0000 0101 Einerkomplement: 1111 1010 Zweierkomplement:1111 1011 0000 1101 +1111 1011 ---------------- 10000 1000 Zahl ist positiv (MSB==0)  Die führende 1, die aus der Addition ad infinitum resultiert, überschreitet den Wertebereich und wird gestrichen 13-5=1000=8
    40. 40. Übungsaufgaben Berechnen Sie:  -7+11  =11+(-7) 11/2=5, Rest 1 7/2=3, Rest 1 5/2 =2, Rest 1 3/2=1, Rest 1 2/2 =1, Rest 0 1/2=0, Rest 1 1/2 =0, Rest 1 11=0000 1011 7=111=0000 0111 Einerkomplement: 1111 1000 Zweierkomplement: 1111 1001 0000 1011 +1111 1001 ---------------- 10000 0100 0100  Zahl ist positiv (MSB==0), also Ergebnis = 0100 = 4
    41. 41. Übungsaufgaben Berechnen Sie:  12-11 12/2=6, Rest 0 6/2 =3, Rest 0 3/2 =1, Rest 1 1/2 =0, Rest 1 12=1100 11=0000 1011 Einerkomplement: 1111 0100 Zweierkomplement: 1111 0101 0000 1100 +1111 0101 ----------------- 10000 0001  Zahl ist positiv (MSB==0), also Ergebnis = 0001 = 1
    42. 42. Übungsaufgaben Berechnen Sie:  3-12  =3+(-12) 3/2=1, Rest 1 12/2=6, Rest 0 1/2 =0, Rest 1 6/2=3, Rest 0 3/2=1, Rest 1 1/2=0, Rest 1 3=0011 12=0000 1100 Einerkomplement: 1111 00 11 Zweierkomplement: 1111 0100 0000 0011 +1111 0100 --------------- 1111 0111 Einerkomplement: 0000 1000; Zweierkomplement: 1001 3-12=1001=-9
    43. 43. Übungsaufgaben Berechnen Sie:  127-50  =127+(-50) 127=0111 1111 50=0011 0010 Einerkomplement: 1100 1101 Zweierkomplement: 1100 1110 0111 1111 +1100 1110 ---------------- 10100 1101 Übertrags-Eins geht über Wertebereich hinaus; Zahl ist positiv (MSB==0), also Ergebnis = 0100 1101 = 77
    44. 44. Inhalte der vergangenen beiden Sitzungen Zahlensysteme  Hexadezimal-  Dezimal-  Binärsystem Umwandlung vom  Dezimal- ins Binärsystem  Binärsystem ins Dezimalsystem  Dezimal- ins Hexadezimalsystem  Hexadezimal- ins Dezimalsystem Vorzeichenlose Zahlen Binärsystem: Darstellung ganzer Zahlen, d.h. negativer Zahlen  Zweierkomplementdarstellung Rechnen im Binärsystem  Addition  Subtraktion (Addition der negativen Zahl)  Multiplikation  Division Wer sich dafür interessiert: Reelle Zahlen  IEEE 754
    45. 45. /

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