1. UNIVERSIDAD “GABRIEL RENE MORENO”
FACULTAD POLITECNICA
UNIDAD DE POSTGRADO
ESTADISTICA APLICADA
Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris
Mgs. Educación Superior
martinezsolaris@cotas.com.bo
24/07 al 21 de Agosto
http://www.docstoc.com/profile/fmartinezsolaris/APUNTES
DE ESTADISTICA APLICADA 2010
2. CURSO DE ESTADISTICA APLICADA
• INTRODUCCION/NOCIONES GENERALES
• ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
– Métodos Tabulares
– Métodos Gráficos
• METODOS NUMÉRICOS
– Medidas de Tendencia Central
– Medidas de Dispersión
• DEFORMACION DE CURVAS
• REGRESION Y CORRELACION LINEAL SIMPLE
• PROBABILIDAD
3. ESTADISTICA APLICADA
Nociones Generales
Número de Tipo de Anemia
Total
especies Leve Moderada Severa
parásitas n % n % n % n %
1 3 100 0 0 0 0 3 2.61
2 12 70.59 5 29.41 0 0 17 14.78
3 30 69.77 11 25.58 2 4.65 43 37.39
4 21 67.74 9 29.03 1 3.23 31 26.96
5 11 68.75 5 31.25 0 0 16 13.91
6 3 60.00 2 40.00 0 0 5 4.35
Total 80 69.57 32 27.83 3 2.61 115 100
Severa
50 Moderada
Número de estudiantes
1.63%
17.39% Normal
40
37.50%
30
20
10
0
5 6 7 8 9 10 11 12 13
Edad (años) de los estudiantes Leve
43.48%
5. ESTADISTICA APLICADA
Nociones Generales
Ciencia encargada de la Recolección,
Manipulación, Organización y
Presentación de información de
manera tal que ésta tenga una
Confiabilidad determinada
6. ESTADISTICA APLICADA
Nociones Generales
INFERENCIA
ESTIMACION
Población
N
Muestra
Parámetros
Deducción n=?
µ, σ2, p,
Estadísticos
etc
Estadígrafos
TECNICAS DE
MUESTREO
7. ESTADISTICA APLICADA
Nociones Generales
CENSO INFORMACIÓN MUESTREO
Población Muestra
N n=?
Parámetros Estadísticos
µ, σ2, p, Estadígrafos
etc.
8. ESTADISTICA APLICADA
Nociones Generales
Probabilístico MAS, MAP y MAE
MUESTREO
No Probabilística
Probabilístico
Azar
MUESTRA Tipos
No Probabilística
Arbitraria
9. ESTADISTICA APLICADA
Nociones Generales
CUÁNDO SE USA CENSO O MUESTREO
CENSO MUESTREO
Cuando la verificación de Cuando la verificación de
la información no daña o la información daña o
perjudica la unidad de perjudica la unidad de
análisis análisis
Se tienen los recursos Cuando es imposible
necesarios para hacerlo estudiar la población
(económico, humano, completa o bien no se
tiempo) poseen los recursos
10. ESTADISTICA APLICADA
Nociones Generales
POBLACION MUESTRA • Nombre
• Definición
Atributo • Rango de Valores
• Clasificación
Cambiar
Variable Elementos
Cualitativas Categorías
Tipos
Discretas
Cuantitativas
Continuas
11. ESTADISTICA APLICADA
Nociones Generales
• Nombre
Variable Elementos • Definición
• Rango de Valores
+ • Clasificación
Nominal
Medirse
Ordinal
Escalas de
De Intervalo
Medición
De Razón
12. ESTADISTICA APLICADA
Métodos Tabulares
DESCRIPTIVA
Sea X y Y dos variables y sea x1, x2, … xn y
y1, y2, … yn, valores que toman las variables
METODOS X y Y, y sean “a” y “b” dos constantes.
Entonces:
TABULARES x1 + x2 + x3 + …xn y1 + y2 + y3 + …yn
n n
xi yi
Sumatoria i 1 i 1
Propiedades
15. ESTADISTICA APLICADA
Cuadro de Frecuencia
Edad
fi fr Fia Fra
Cuadros de (años)
Frecuencia 15 1 8.3 1 8.3
16 2 16.7 3 25.0
17 2 16.7 5 41.7
18 4 33.3 9 75.0
19 1 8.3 10 83.3
20 1 8.3 11 91.7
21 1 8.3 12 100
Total 12 100
16. ESTADISTICA APLICADA
Cuadro de Frecuencia
EC MC EC BC MC CD CD CD
EC BC MC EC CD BC BC MC
BC EC BC MC MC MC EC CD
BC MC MC BC BC CD MC MC
EC Excelente Calidad
BC Buena Calidad
MC Mediana Calidad
CD Calidad Deficiente
18. ESTADISTICA APLICADA
Cuadro de Frecuencia
67.7 39.2 52.5 42.3 69.8 61.2
63.9 37.2 45.7 41.7 69.1 55.5
64.9 38.9 52.4 41.9 69.2 58.9
68.3 39.2 52.6 42.7 70.0 61.9
68.3 39.2 53.3 45.5 70.1 63.2
La Estadística ofrece otra
Cuadro de Baja alternativa Tablas de
Frecuencia Eficiencia Frecuencias Absolutas y
Relativas
19. ESTADISTICA APLICADA
Tabla de Frecuencia
Procedimiento
Definir el Número de
≥ 5 ó ≤ 20 ó 25
Intervalos
Sturges
Ac = A/k
A = Valor Máx.- Valor Mín.
K = 1 + 3.33* log10 n
Tipo de Intervalos
(Li - LS]
Ac = Ajustada
RI = Ac*K > A
MD = (RI – A)/2
20. ESTADISTICA APLICADA
Tabla de Frecuencia
Intervalos de Clases PMC fi fr Fia Fra
37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27
42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37
48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50
53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57
59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70
64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1
30 1
21. ESTADISTICA APLICADA
Métodos Gráficos
Diagrama de Puntos
Histograma
Métodos Gráficos Clásicos Polígono de Frecuencias
Ojiva
Diagrama de Sectores
23. ESTADISTICA APLICADA
Histograma
Histograma de Frecuencias Absolutas
10
9
8
7
6
5
fi
4
3
2
1
0
Intervalos de clases
24. ESTADISTICA APLICADA
Polígono de Frecuencias
Polígono de Freecuencia Absoluta
10
9
8
7
6
5
fi
4
3
2
1
0
34.35 39.85 45.35 50.85 56.35 61.85 67.35 72.85
Puntos Medios de Ckases
25. ESTADISTICA APLICADA
Ojiva
Ojiva o Polígono de Frecuencias
Acumuladas (menor que)
35
30
25
20
Fia
15
10
5
0
37.1 42.6 48.1 53.6 59.1 64.6 70.1
Tiempo (minutos)
26. ESTADISTICA APLICADA
Diagrama de Sectores
(19*360)
137-------360
X= = 49.9
19 ------- x
137
Lugar de realización de n Grados
estudios Postgraduales
Extranjero 19 49.927
Universidad de Interés 87 228.613
Otras universidades
bolivianas 31 81.460
Total 137 360
27. ESTADISTICA APLICADA
Diagrama de Sectores
Otras
universidades Diagrama de Sectores
bolivianas , Extranjero ,
81.45985 49.92701
Universidad
de Interés ,
228.61314
28. ESTADISTICA APLICADA
Métodos Numéricos (Medidas de Tendencia Central)
Cuando se desea comparar dos o más
poblaciones o bien muestras, y si las
variables de interés son de carácter
numérico …
Los métodos tabulares no son los más
recomendables
La Estadística oferta otra herramienta
llamada Métodos Numéricos
29. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Tendencia Central
Localizan el centro de
una base de datos
numéricas
Medidas de Tendencia
Central
Cuantifican cuánto se
dispersan los datos de una
Métodos Numéricos medida de tendencia
central
Medidas de Dispersión
30. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Tendencia Central
Promedio
Media Ponderada
Medidas de Tendencia
Central Mediana
Moda
31. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Tendencia Central/Promedio
Media µ
Población
Poblacional
Es la sumatoria de las observaciones que
Promedio toma una variable dividido entre el total
de éstas
Media
Muestra x
Muestral
Se interpreta como el punto de equilibrio
de una base de datos numéricas
32. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Tendencia Central
Tiempo
Desviaciones
(minutos)
xi x
52.6
-4.15
38.9
-17.85
68.3
11.55
67.2
10.45
63.9
7.15
64.9
xi x 0
n
8.15 Propiedad
68.3 i 1
11.55
39.2
-17.55
42.3
-14.45
61.9
Suma 5.15
567.5 Suma
0
56.75
Promedio
33. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Tendencia Central
Media en datos tabulados
Si la tabla no presenta clases abierta es
posible hacer una estimación de la media
tomando en cuenta lo siguiente:
• PMC es el promedio de las observaciones de las
observaciones que caben dentro del intervalos.
• PMC*fi proporciona una estimación de la suma de las
observaciones que caben en el intervalo y como una
tabla tiene k-ésimo intervalos entonces:
34. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Tendencia Central
Intervalos PMC*fi
PMC fi
de Clases
37.1 a 42.6 39.85 8 318.8
42.6 a 48.1 45.35 3 136.05
48.1 a 53.6 50.85 4 203.4
1624.5
53.6 a 59.1 56.35 2 112.7 x= 30
= 54.15
59.1 a 64.6 61.85 4 247.4
64.6 a 70.1 67.35 9 606.15
30 1624.5
35. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Tendencia Central
Cuando los datos tienen diferente peso dentro de la
base de datos, si desea obtener el promedio, la media
aritmética no es la más indicada
Cargo fi Salario
Rector 1 2000
Asesores 2 1200
Vic. Académico 1 1150
Vic. Administrativo 1 1250
Jefe de Carrera C.S 2 1000
Jefe de Carrera 5 800
Administrativo 2 600
Secretarias 9 120
36. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Tendencia Central
Salario Xiwi
Cargo fi (wi) (xi)
Rector 1 2000 2000
Asesores 2 1200 2400
Vic. Académico 1 1150 1150
15080
Vic. Administrativo 1 1250 1250 xw = = 655.65
23
Jefe de Carrera C.S 2 1000 2000
Jefe de Carrera 5 800 4000
Administrativo 2 600 1200
Secretarias 9 120 1080
15080
37. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Tendencia Central
Si los datos no se distribuyen
simétricamente (curva simétrica) el
promedio no es la mejor medida para
localizar el centro de los mismos •Ordenar
Impar
n Me = xn/2 + 0.5
Datos sin tabular
Par
Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2
Mediana (Me)
(b-a)(0.5- c)
Datos tabulados Me = a +
d
38. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Tendencia Central
Tiempo Tiempo
(minutos) (minutos)
38.9 38.9
39.2
Me = xn/2 + 0.5
39.2
42.3 42.3
52.6
n es impar 52.6
61.9 61.9
63.9
Me
63.9
64.9 64.9
67.2 67.2
68.3 68.3
39. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Tendencia Central
Tiempo Tiempo
(minutos) (minutos)
38.9 38.9 Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2
39.2 39.2
42.3 42.3 61.9 + 63.9
n es par 52.6 52.6 Me = = 62.9
61.9 61.9 2
62.9
63.9 63.9
64.9 64.9
67.2 67.2 Mediana es aquella medida
68.3 68.3
de tendencia central que
antes y después de ella no
68.3 68.3
existe más del 50% de la
información
40. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Tendencia Central
(b-a)(0.5- c)
Me = a +
d
Clase de la Mediana
a = Límite inferior de la • Complete la columna Fia
clase de la Me • Localice la menor Fia >
b = Límite superior de la n/2
clase de la Me • La clase a la que
c = Fra una clase antes de pertenece esta frecuencia
la clase de la Me (Nj-1) es la clase de la mediana
(Nj)
d = fr de la clase de la Me
• La Clase antes de Nj es
Nj -1
41. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Tendencia Central
(b-a)(0.5- c) a = Límite inferior de la
Me = a + clase de la Me
d b = Límite superior de la clase de
la Me
(59.1-53.6)(0.5- 0.5) c = Fra una clase antes de la
Me = 53.6 + = 53.6 clase de la Me (Nj-1)
0.07 d = fr de la clase de la Me
Intervalos
PMC fi fr Fia Fra
de Clases Ubicación de la
37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27 clase de la Me
42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37
n = 30
48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50
n/2 = 15
53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57
Nj = 17… (53.6 – 59.1)
59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70 Nj- 1 = (48.1 – 53.6)
64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1
42. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Tendencia Central
Connotancia de Moda Tiempo
(Mo) en Estadística (minutos)
38.9
39.2
En caso de existir es la 42.3
(s) observación (nes) 52.6
que más se repiten en 61.9
una base de datos 63.9
64.9
Distribuciones: 67.2
68.3
Unimodales
68.3 Mo
Bimodales
Etc.
43. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Tendencia Central
(ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)
Donde:
Licmo: Límite inferior de la Clase Modal
Acmo: Ancho de clase de la Clase Modal
Ficmo: Frecuencia absoluta de la Clase Modal
Ficpremo: Frecuencia absoluta de la Clase Premodal
Ficpostmo: Frecuencia absoluta de la Clase Postmodal
Clase Modal es la (s) que tiene(n) la mayor (es) fi
44. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Tendencia Central
(ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)
Intervalos
PMC fi
de Clases
37.1 a 42.6 39.85 8
(9 - 4)
42.6 a 48.1 45.35 3
Mo = 64.6 + 5.5 = 66.56
48.1 a 53.6 50.85 4 (9 - 4) + (9 – 0)
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
45. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Dispersión
Una medida de tendencia central por si sola no es tan
importante. Por esta razón debe estar acompañada de
una medida de dispersión
Rango/Distancia/Amplitud o Recorrido
Varianza (Variancia)
Medidas de Dispersión
Desviación Típica o Estándar
Coeficiente de Variación
46. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Dispersión
Rango Rango = Valor Máximo – Valor Mínimo
xi
N 2
Población ( σ²) 2
i 1
N
Es el promedio de las desviaciones al
Varianza cuadrado de las observaciones que
toma una variable respecto a su media
Muestra (S²)
48. ESTADISTICA APLICADA
Si la tabla no presenta clases abierta es posible
hacer una estimación de la varianza de la siguiente
forma:
Intervalos de PMC fi
Clases
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
49. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Dispersión
91693.475
1624.5 2
S2 30 128.5103
30 1
Intervalos de PMC*fi PMC2*fi
PMC fi S 128.5103 11.3362
Clases
37.1 a 42.6 39.85 8 318.8 12704.18
42.6 a 48.1 45.35 3 136.05 6169.8675
48.1 a 53.6 50.85 4 203.4 10342.89
53.6 a 59.1 56.35 2 112.7 6350.645
59.1 a 64.6 61.85 4 247.4 15301.69
64.6 a 70.1 67.35 9 606.15 40824.203
1624.5 91693.475
50. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Dispersión
Todas las medidas de dispersión expuestas
anteriormente son dimensionales (toman las unidades
de medidas de las variables)
Existe otra medida de dispersión pero adimensional
llamadas Coeficiente de Variación o Dispersión
Relativa
S S
C.V C.V *100
x x
51. ESTADISTICA APLICADA
Medidas de Dispersión
Las medidas de dispersión cuantifican cuánto se
dispersan los datos alrededor de una medida de
tendencia central, pero, ¿Para donde se desvían los
datos?, a la izquierda de la media, a la derecha o se
distribuyen simétricamente.
Existen otras medidas aplicable solo a curvas
unimodales que tratan de las deformación de curvas
tanto de forma horizontal como vertical
52. ESTADISTICA APLICADA
Deformación de Curvas Unimodales
Asimetría Positiva x > Me > Mo
Curvas Simétricas x = Me = Mo
Asimetría
Asimetría Negativa x < Me < Mo
54. ESTADISTICA APLICADA
Deformación de Curvas Unimodales
Curva Leptocúrtica Kur > 3
Curva Mesocúrtica Kur = 3
Curtosis
Curva Platicúrtica Kur < 3
55. ESTADISTICA APLICADA
Regresión Lineal Simple
En el desarrollo de los eventos,
X1 puede ser que una variable sea
Y X2 afectada por el comportamiento de
. otra (s) variable (s)
.
.
Es de interés poder cuantificar
Xi este tipo de relación de manera
que se pueda predecir una variable
en función de otra
Y: Variable Dependiente En Regresión Lineal Simple es de
X: Variable Independiente interés cuando una variable afecta
el comportamiento de otra variable
Y = f(X)
Propósito de la R.L.S: Predicción
56. ESTADISTICA APLICADA
Regresión Lineal Simple
Por análisis de regresión se entiende al conjunto de métodos
estadísticos que tratan con la formulación de modelos
matemáticos que describen la relación entre variables y el
uso de estas relaciones modeladas con el propósito de
predecir e inferir.
Por Regresión Lineal Simple se entiende …
“Y” es una variable aleatoria cuya
distribución probabilística depende
de “X”
Supuestos del Análisis Modelo de la Línea Recta
de Regresión Lineal Homogeneidad de Varianza
Simple
Normalidad
Independencia
57. ESTADISTICA APLICADA
Regresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión
Llamado también Ploteo de Datos, tiene como propósito
mostrar la posible tendencia (en caso de existir) entre las
variables “X” y “Y”.
Consiste en llevar los pares de valores “x, y” a un sistema de
coordenadas (bidimensional)
Y
(x, y)
X
60. ESTADISTICA APLICADA
Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados
El supuesto No 2 de RLS plantea que de existir una relación
entre “X” y “Y”, ésta es una línea recta, por lo tanto se puede
pensar en una ecuación de la siguiente forma:
Parámetros
Estimación
De tal manera que se llegue a obtener una ecuación de la
siguiente naturaleza:
61. ESTADISTICA APLICADA
Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados
Uso de la Técnica de
Mínimos Cuadrados (Carl
Gauss)
A partir de muestras (x1, y1), (x2, y2), …(xi, yi) de las variables
“X” y “Y”, se trata de obtener los estimadores . Para ello la
Técnica de Mínimos Cuadrados minimiza la suma de cuadrado de
las distancias entre los valores observados y los estimados de
tal manera que :
63. ESTADISTICA APLICADA
Regresión Lineal Simple/Recta de Estimación
Estimada una vez la recta de Predicción y teniendo en cuenta
que el propósito de la R.L.S es la predicción, se hace
necesario estar seguro que la ecuación estimada es capaz de
predecir.
Por esta razón es necesario validar la ecuación estimada
64. ESTADISTICA APLICADA
Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de Estimación
Validación
Cálculo de Coeficiente Análisis de Varianza
de Determinación R² de la Regresión “ANARE”
Cuantifica la cantidad de la
variabilidad de “Y” que
puede ser explicada por “X”
R² ≥ 70%
65. ESTADISTICA APLICADA
Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de
Estimación/ANARE
Por análisis de Varianza se entiende, de forma general, a la
partición de la variación total en fuente de variación conocida
que en el caso de R.L.S son de acuerdo al siguiente modelo
aditivo lineal:
xi= Variación debida a Regresión
εi = Variación debida al Error
FV gl SC CM Fc Ft (Pr>F)
CMRegresión
Regresión 1 SCRegresión CMRegresión
/CMError
Error n-2 SCError CMError
Total n.1 SCTotales
Regla de Decisión
NRHo : Fc ≤ Ft
RHo : Fc > Ft
66. ESTADISTICA APLICADA
Correlación Lineal Simple
Así como existen técnicas que cuantifican los cambios de una
variable dependiente por un único cambio de la variable
independiente, existen técnicas que cuantifican la asociación
lineal entre dos variables, esta técnica es llamada Correlación
Lineal Simple que se exprese como el coeficiente de
correlación (r)
Este coeficiente indica el sentido de la asociación como
también la magnitud de ésta, partiendo del hecho que el
coeficiente de correlación lineal simple toma valores en el
rango de: r es -1 ≤ r ≤ 1. Entre más se acerca a 1 el valor de
r mayor es la asociación entre dichas variables.
67. ESTADISTICA APLICADA
Correlación Lineal Simple
-1 ≤ r < -0.8 Asociación 0 ≤ r < 0.4 No hay
fuerte y asociación
negativa
-0.8 ≤ r < -0.4 Asociación 0.4 ≤ r < 0.8 Asociación
débil y débil y
negativa positiva
-0.4 ≤ r ≤ 0 No hay 0.8 ≤ r ≤ 1 Asociación
asociación fuerte y
positiva
69. ESTADISTICA APLICADA
Correlación Lineal Simple
Regresión Lineal Simple Correlación Lineal Simple
Mide la cantidad de cambios en “Y” Mide asociación lineal
por un único cambio en “X”. entre dos variables
Existe una variable dependiente y Es indistinto x, y ó y, x
otra independiente
β1 puede tomar cualquier valor en la El coeficiente de
recta numérica correlación toma valores en
el intervalo -1 ≤ r ≤ 1
70. PROBABILIDADES
Experimentos Aleatorios
Espacio Muestral,Eventos y Sucesos
Tipos de Experimentos Aleatorios
Probabilidad Relaciones entre Eventos
Enfoques de Probabilidad/Teoremas
Básicos de Probabilidad
Eventos Dependientes/Independientes
Probabilidad Total/Teorema de Bayes
71. PROBABILIDADES
Sus resultados se conocen con
Determinísticos anticipación sin necesidad de
realizar el experimento
Experimentos
Sus resultados se conocen
una vez que el experimento
ha finalizado
No Determinísticos
Se pueden describir los
Es un proceso planificado a
posibles resultados pero no se
través del cual se obtiene
puede decir cuál de ellos
una observación (o una
ocurrirá
medición) de un fenómeno
Son experimentos no Experimentos Aleatorios
determinísticos cuyos resultados
están regidos por el azar
72. PROBABILIDADES
Supóngase que se lanzan dos monedas legales al mismo
tiempo y que a una cara de cada moneda se la llama
“Cara” a la otra “Sol” entonces:
={CC, CS, SC, SS}
Experimentos
Supóngase ahora que se lanza un
Aleatorios
dado legal. Entonces:
={1, 2, 3, 4, 5, 6,}
Son aquellos experimentos no determinísticos
cuyos resultados están regidos por la
casualidad (azar)
73. PROBABILIDADES
Retomando el caso del lanzamiento de las dos
monedas, ¿hay otro posible resultado en este
experimento?.
O bien en el caso del lanzamiento
del dado Espacio Muestral
M = {CC, CS, SC, SS}
Son todos los resultados
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,} que están asociados a un
experimento aleatorio
Supóngase que el lanzamiento del Es subconjunto del espacio
dado se está interesado en la muestral, es decir, sus
ocurrencia de una cara impar resultados pertenecen al
espacio muestral
A = {1,3,5} Evento
74. PROBABILIDADES
Espacio Muestral
M
2
A Evento
1
3 5
Suceso (wi)
Letras
4 6 Mayúsculas del
Alfabeto
A= (wiεA /wi ε M
75. PROBABILIDADES
Simples Un solo experimento aleatorio
Experimentos
Cuando ocurren dos o más
Aleatorios experimentos simples al mismo
tiempo o bien uno después del
Compuestos otro
Unidos por la Unidos por la
partícula “ó” (v) partícula “y” ( )
Los experimentos simples que Los experimentos simples que
lo componen ocurren de lo componen ocurren al mismo
forma sucesiva tiempo
M = {M1UM2U…Mi} M = {M1∩M2…Mi}
76. PROBABILIDADES
Simples Un solo experimento aleatorio
Experimentos M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}
Aleatorios
Cuando ocurren dos o más
experimentos simples al mismo
Compuestos
tiempo o bien uno después del
otro
M = {CC, CS, SC, SS}
77. PROBABILIDADES
Experimentos compuestos El espacio muestral es el
unidos por la partícula “y” producto cartesiano de los
espacios muestrales simples
que lo conforman
M3
M2 M1*M2 C S
M1 C S
CC CCC CCS
C CC CS
CS CSC CSS
S SC SS
SC SCC SCS
SS SSC SSS
78. PROBABILIDADES
3era Moneda
Experimentos compuestos
2da Moneda C CCC unidos por la partícula “y”
C Diagrama del Árbol
1ra Moneda S CCS
Diagrama de Senderos
C CSC
C S
S
C CSS
M C
S SCC
S
SCS
C
SSC
S
S
SSS
79. PROBABILIDADES
De acuerdo a cómo ocurren los eventos se pueden
establecer algunas relaciones entre ellos tales como:
A B M A B M
AUB AUB
A B M
M
A´
A
AΠB
80. PROBABILIDADES
Probabilidad A priori. Llamada
Clásico También Probabilidad de
Laplace
Enfoques de
Subjetivo
Probabilidades
Frecuencia
Probabilidad A posteriore
Relativa
81. PROBABILIDADES
Todos los sucesos de un
Supuesto experimento aleatorio tienen
la misma posibilidad de
ocurrir, entonces:
Probabilidad
Subjetivo
P A
na
Clásica
M
0 PA 1
Frecuencia
Probabilidad A posteriore
Relativa
Si en la realización de
experimento aleatorio aparece
P A
n
un evento A “n veces ≤
N
N”,entonces:
82. PROBABILIDADES
P[AUB] = P [A] + P [B]
P[AUB] = P [A] + P [B] – P[AΠB]
Teoremas Básicos de P[Ø] = 0
Probabilidades
P[M] = 1
P Ac 1 PA
0 P A 1 / 0 P A 100%
83. PROBABILIDADES
Eventos Dependientes
Cuando la ocurrencia de un evento está en dependencia de otro
evento, se dice que éste es dependiente.
Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A
es un evento dependiente de B sí;
P A P A ; PB 0
B
o bien:
P B P B ; PA 0
A
B PPB; PB 0
PA
A
B
A PPA; PA 0
PB
B
A
Estas probabilidades se pueden calcular de dos formas:
• Respecto al espacio muestral original
• Respecto al espacio muestral del evento condicionante
84. PROBABILIDADES
En una institución de Educación Superior se tiene 300 docentes,
de los cuales 100 son casados y 30 divorciados. En dicha
institución hay 200 hombres, 85 de los cuales son casados y 95
son solteros. Determinar cual es la probabilidad de seleccionar un
docente al azar:
a. Que sea mujer
b. Que sea soltero (a)
c. Que sea un hombre y esté casado (a)
d. Que sea una mujer divorciada
e. Dado que el docente es casado (a), ¿cuál es la probabilidad
que sea hombre?
f. Si el docente seleccionado es hombre, ¿cuál es la probabilidad
que sea casado?
85. PROBABILIDADES
En una universidad el 70% de los estudiantes son de Ciencias,
30% de Letras. De los estudiantes de Ciencias el 60% son
varones y los de Letras son varones el 40%. Si se elige al azar
un estudiante, calcule la probabilidad que:
a. Sea mujer
b. Se estudiante varón dado si es de Ciencias
c. Sea estudiante de Ciencias dado que es varón
d. Sea estudiante de Ciencias y varón.
86. PROBABILIDADES
Eventos Independientes
Cuando la ocurrencia de un evento no está en dependencia de la
ocurrencia de otro evento, se dice que éstos son independientes.
Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A
es un evento independiente de B sí se cumple con cualquiera de
las siguientes condiciones:
B PPB PA; PB 0
PA
A
B
A PPA PB; PA 0
PB
B
A
PA B PA* PB
87. PROBABILIDADES
Probabilidad Total
Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio
muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1],
P[A2], P[A3]…, P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak]
son probabilidades conocidas entonces:
PB PA1PB / A1 P[ A2]P[ B / A2] ...P[ Ak ]P[ B / Ak ]
Probabilidad Total = PB i 1 PAk PB / Ak
k
88. PROBABILIDADES
Teorema de Bayes
Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio
muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1],
P[A2], P[A3]…, P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak].
Si B ya ha ocurrido y se está interesado en saber a cual de los
eventos que forman la partición muestral se ha debido su
ocurrencia, entonces se usa el denominado Teorema de Bayes
B PAk P B Ak
PAk PB
P Ak
k
i 1 Ak