1. Préstamos y Bonos III
Universidad Católica Argentina
Relación Precio/ Yield
• Una característica fundamental de los
bonos es que los precios se mueven en
relación inversa a las tasas de interés.
• Cuando las tasas de interés sube, los
precios de los títulos bajan y viceversa.
1
2. Relación Precio/ Yield
Precio
Yield
Riesgos de Cambio de Precio
• Riesgo de Tasa de Interés
– Es un riesgo sistemático asociado a la suba
de las tasas de interés.
• Riesgo de Reinversión
– Riesgo de no poder reinvertir los flujos de
fondos del bono a la yield a la cual se
adquirió.
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3. Valuación de Bonos
C C2 C3 Cn M
P0 = + + + ... + +
(1 + y ) (1 + y )2 (1 + y )3 (1 + y )n (1 + y )n
• P= precio del bono
• n= cantidad de períodos
• C= cupón (tasa de interés por M)
• y= rendimiento requerido
• M= valor nominal
Sensibilidad Precio/Yield
C C2 C3 Cn M
P0 = + + + ... + +
(1 + y ) (1 + y )2 (1 + y )3 (1 + y )n (1 + y )n
Para poder estimar los cambios en el
precio de un bono ante variaciones de
la yield, tenemos que calcular la
derivada parcial del precio respecto de
la tasa de interés.
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4. Sensibilidad Precio/Yield
C C2 C3 Cn M
P0 = + + + ... + +
(1 + y ) (1 + y )2 (1 + y )3 (1 + y )n (1 + y )n
Derivamos
dP (−1)C (−2)C2 (−3)C3 (− n)Cn ( − n) M
= + + + ... + +
dy (1 + y )2 (1 + y )3 (1 + y )4 (1 + y )n +1 (1 + y )n+1
Dividimos por P y reordenamos
dP 1 1 C 2C2 3C3 nCn nM 1
=− + + + ... + +
dy P 1 + y (1 + y ) (1 + y ) (1 + y )
2 3
(1 + y ) (1 + y )n P
n
Duration
dP 1 1 C 2C2 3C3 nCn nM 1
=− + + + ... + +
dy P 1 + y (1 + y ) (1 + y ) (1 + y )
2 3
(1 + y ) (1 + y )n P
n
C 2C2 3C3 nCn nM
+ + + ... + +
Macaulay duration =
(1 + y ) (1 + y ) (1 + y )
2 3
(1 + y ) (1 + y )n
n
P
dP 1
=−
Macaulay duration Modified
dy P 1+ y Duration
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5. Duration
• Originalmente fue concebida como una
media de la vida promedio de un bono.
Mide el tiempo promedio que toma a un
bono, considerando un flujo de fondos
descontado, el pago de la obligación original
• Es una medida de riesgo (mayor Duration
mayor riesgo).
• También es una medida de elasticidad.
Variación del precio ante un cambio de 1%
en el rendimiento requerido (yield)
Propiedades de la Duration
• La duration de un bono siempre es menor
que el vencimiento (maturity).
• La duration de bonos Zero Coupon es la
misma que el maturity.
• Cuanto más pequeño sea el cupón mayor
será la duration, y viceversa.
• Cuanto más alta sea la yield menos variará
el precio, por lo tanto menor será la
duration.
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6. Relación Precio/ Yield
Precio
Alta Duration
Baja Duration
Yield
Duration
( Ct + M t )
n
(1 + y ) t
Duration (años) = ∑ t *
t =1
P
t: Plazo en años desde el momento actual hasta cada cupón
C+M: Cupón de interés y amortización del principal
n: Período n
P: Valor del bono (flujo de fondos del bono descontado)
y: Yield (tasa de descuento de mercado)
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7. Ejemplo de Cálculo de Duration
Flujo de FF Desc.
Año Fondos (yield 12%) FFD*T/P
1 120 107,1 0,1071
2 120 95,7 0,1913
3 120 85,4 0,2562
4 120 76,3 0,3050
5 120 68,1 0,3405
6 120 60,8 0,3648
7 1.120 506,6 3,5464
1.000,0 5,1114
Duration: 5,1114 años
Cuando la tasa cambia al 13%
• Valor presente del bono 13%: $ 955,8
• Pérdida de capital: $44,2 (4.42%)
Notas:
Pérdida de capital del bono: $1.000 – $955,8 = 44,2
Pérdida en porcentaje: 44,2 / 1.000 = 4.42 %
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8. Usando la duración modificada
Duration
5,1114
Variación = − ** ∆Tasa
0,01
(1(1,+ y ))
+ 012
• Duration Modified: -4,56%
• Variación de precio real: -4,42%
• La fórmula no es totalmente exacta
• La fórmula da resultados exactos ante
cambios muy pequeños
Duration de un Portfolio
n
Portfolio Duration = ∑ (Part t * Duration t )
t =1
Part: Participacion en el portfolio del bono t
n: Número total de bonos
t: Bono t
Duration: Duration del Bono t
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9. Duration de un Portfolio
Dado:
• Bono A, adquirido en $ 853. Valor nominal $ 1000.
Valor actual $ 801. Duration 3,5 años.
• Bono B, adquirido en $ 1.500. Valor nominal $
1.500. Valor actual $ 1.283. Duration 5,25 años.
• Bono C, adquirido en $ 1.350. Valor nominal $
2.000. Valor actual $ 482. Duration 1.23 años.
¿Cual es el valor actual del porfolio?
Calcular la duration del portfolio
Duration de un Portfolio
Duration
Bono Precio Duration Part.% Pond.
A 801 3,50 31,2% 1,09
B 1.283 5,25 50,0% 2,63
C 482 1,23 18,8% 0,23
2.566 100,0% 3,95
Portfolio Duration: 3,95 años
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10. Duration modificada de un Portfolio
Dado:
• Un bono A, de valor actual $ 1.450 con un duration 3,23
años.
• Un bono B, de valor actual $ 742 con un duration de 9,5
semestres.
• Tasa de mercado del 6.00 % equivalente semestral.
• El bono A y B fueron emitidos a tasa fija.
Se pide:
• Calcular el duration del porfolio en años
• Calcular el valor actual teórico del bono A y B después
de una suba de tasas de 64 puntos básicos anuales
Duration modificada de un Portfolio
Valor Duration
Bono Actual Duration Part.% Pond.
A 1.405 3,23 66,15% 2,137
B 742 4,75 33,85% 1,608
2.566 100,0% 3,745
Portfolio Duration: 3,745 años
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11. Duration modificada de un Portfolio
Bono A Bono B Portfolio
Valor Actual 1.405 742 2.192
Duration (años) 3,23 4,75 3,745
Modified Duration 2,875 4,227 3,333
Incremento Tasa 0,0064 0,0064 0,0064
Variacion (MD*IT) -0,0184 -0,0184 -0,0184
Variacion % -1,84% -1,84% -1,84%
Nuevo Valor 1.423,32 721,93 2.145,25
Pérdida 26,68 20,07 46,75
Relación Precio/ Yield
Precio
Aproximación del
Precio por Duration
Error de convexity
Yield
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12. Convexity
• Herramienta utilizada para corregir la
diferencia que se produce al utilizar la
duration modificada
• Matemáticamente es la segunda derivada
de la curva precio-yield (precio-
rendimiento)
• Convexity es el cambio incremental en
el precio real del bono ante un cambio
en la Tasa no atribuible a la duración
modificada
Convexity
Tasa Precio Var%precio total -DM*varTasa Fact Convexity
10.00% 89,875 0,00% 0,00% 0,00%
10.01% 89,850 -0,03% -0,03% 0,00%
10.10% 89,600 -0.31% -0,32% 0,01%
11.00% 87,180 -3,00% -3,48% 0,48%
La importancia de la convexity se hace más
evidente cuanto más grandes son las
diferencias respecto del precio inicial
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13. Formula de Convexity
1 T
(t 2 + t) * CFn
Convexity = *∑
Precio * (1 + y)2 n =1 (1 + y ) n
1
Factor Convexity = * Convexity * (∆y ) 2
2
T: Plazo en años desde el momento actual hasta cada cupón
CF: Cupón de interés y/o amortización del principal
n: Periodo n
Precio: Valor del bono (flujo de fondos del bono descontado)
Y: Yield (tasa de descuento de mercado)
Duration + Convexity
1
Cambio en el precio = - DM * ∆Tasa + convexity * (∆Tasa) 2
2
La incorporación del factor convexity al calculo
de las variaciones en el precio nos permite
obtener una mejor estimación del
comportamiento del bono de la que surge de
emplear únicamente la duration modificada
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14. Conclusiones
• El cálculo de duration es la base de los
arbitrajes de títulos
• La duration otorga parte de la información
necesaria para realizar coberturas ante el
riesgo de tasa
• Convexity otorga mayor precisión a los
calculos
Duration + Convexity
• En un bono a 5 años que paga el 8% anual y se está
vendiendo a $1041. VN $1000
• Determinar:
1.Cual es la actual tasa de interés de mercado (Tasa
efectiva anual)
2.Cual es la duration del bono
3.Cuanto es la duration modificada del bono
4.Cual es la convexity del bono
5.Suponga que hay un incremento en la tasa de interés
de mercado del 2%. Determine el porcentaje de cambio
en el valor del bono y el nuevo precio.
(Determinarlo utilizando “duration” y “duration +
convexity”)
14
18. Portfolio duration
Dado:
• Bono A. Valor técnico $876. Valor actual $750. Duration 3
meses.
• Bono B. Valor técnico $1.400. Valor actual $1.500.
Duration 1.25 años.
• Bono C. Valor técnico $2.500. Valor actual $1.200.
Duration 11.5 semestres.
• La tasa de mercado es 4% cuatrimestral
1. Calcular el duration del portfolio en años
2. Calcular en cuanto se perjudicara/beneficiara este
portfolio ante una baja de las tasa de 50 bp anual
Bono Valor Part.% Duration Duration Pond.
A 750,0 21,74% 0,25 0,05
B 1.500,0 43,48% 1,25 0,54
C 1.200,0 34,78% 5,75 2,00
3.450,0 2,598 años
18
19. Bono A Bono B Bono C Portfolio
VA 750 1.500 1.200 3.450
Duration (años) 0,25 1,25 5,750 2,598
Modified Duration 0,222 1,111 5,112 2,309
Incremento en Tasa -0,0050 -0,0050 -0,0050 -0,0050
Variacion (MD* Inc) 0,0011 0,0056 0,0256 0,0115
Variacion % 0,11% 0,56% 2,56% 1,15%
Nuevo Valor 750,83 1.508,33 1.230,67 3.489,84
Ganancia 0,83 8,33 30,67 39,84
Duration + Convexity
El 1 de enero del 2000 se emitió un bono de VN $100 a 5 años
de plazo, pagando una tasa del 14% anual en forma semestral
(30 de junio y 31 de diciembre) y amortizando el capital original
al final de cada año de la siguiente manera:
DIC 2000 DIC 2001 DIC 2002 DIC 2003 DIC 2004
0% 10% 20% 30% 40%
1. Calcular la valuación del bono al 1 de enero 2003. La tasa de
mercado en este momento es del 3.5% equivalente trimestral.
2. Determinar el “duration” y el “duration modificada” del bono
expresado en años.
3. Si se produce una suba en la tasa de interés de mercado de
115 puntos básicos. ¿Cual va ser el valor de mercado a julio
2003, una vez que se ajuste ante el cambio de las tasas de
interés de mercado?
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24. Estructura temporal
de la tasa de intéres
Estructura
temporal de la tasa de interés
• Es la relación existente entre el tiempo
hasta la madurez de una serie de bonos
y los correspondientes rendimientos de
esos bonos
– La curva más conocida es la de los bonos
del tesoro americano (Bonds, Notes y Bills)
• Las tasas de interés de corto plazo están
implícitamente incluidas en yield curve
• La confección de la curva se realiza a
partir de la TIR y la duration
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25. Curva de rendimiento
de títulos del tesoro americano
US. Treasury Yield Curve Rates
5,2
5,0
Previous
4,8
Current
4,6
4,4
4,2
4,0
3,8
3,6
3,4
3,2
3,0
1 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr
Fuente: Department of the Treasury – USA – 29/08/07
Curva de rendimiento
de títulos Públicos Argentinos
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26. Teorías que explican la
forma de la curva de rendimientos
• Teoría de las expectativas
• Teoría de preferencia por la liquidez
• Teoría de la segmentación de los
mercados
Teoría de las expectativas
• Explica la estructura temporal de las tasas de
interés en función de las tasas de contado (spot
rate)
• La tasa de interés de largo plazo es el promedio
geométrico de las tasas actuales y futuras
(1 + rn)n = [(1 + r1)(1 + f2)..... (1 + fn)]
rn = Retorno del bono con plazo a n años
n = años hasta el vencimiento
r1 = Tasa de interés actual a un año
f = Tasa futura a un año entre J y J+1
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27. Teoría de las expectativas
Bono a 6 años, retorno anual = 8%
2000 2005 2006
Bono a un año
Bono a 5 años, retorno =7%
retorno esperado a 5
años = ?
Teoría de las expectativas
Suponiendo: (hoy año 2000)
– La tasa a 6 años es el 8% anual
– La tasa a 5 años es el 7% anual
– ¿Cuál es la tasa esperada a un año en el año
cinco (2005)?
(1 + 0.08)6 1.5869
1+f5,1 = = =1.1314
(1 + 0.07)5 1.4026
f5,1 =13.14%
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28. Teoría de preferencia por la liquidez
Los bonos de largo plazo pagan más alto retornos
que los de corto porque son mas riesgosos
(1 + rn)n = [(1 + r1)(1 + f2-L2)..... (1 +f n-Ln)]
rn = Retorno del bono con plazo a n años
n = años hasta el vencimiento
r1 = Tasa de interés actual a un año
fj = Tasa futura a un año entre J y J+1
Lj = Premio por la liquides en el año J
Teoría de preferencia por la liquidez
Suponiendo: (hoy año 2000)
– La tasa a 6 años es el 8% anual
– La tasa a 5 años es el 7% anual
– El premio por la liquidez de un bono a 5 años es 0,2%
– El premio por la liquidez de un bono a 6 años es 0,25%
– ¿Cuál es la tasa esperada a un año en el año cinco (2005)?
(1 + 8%-0. 25%)6 1.5649
1+r5 = = =1.1262
(1 + 7%-0.2%) 5
1.389
r5=12.62%
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29. Teoría de preferencia por la liquidez
TIR
Curva de
rendimiento
observada
Premio por
la liquidez
Tasa de interés
previstas
Plazo
Teoría de la
segmentación de los mercados
• Esta teoría resulta de la observación de
que tanto inversores como emisores de
deuda parecen tener fuertes preferencias
por cierto plazo.
• Las tasas de interés vigentes para cada
plazo dependerán de las curvas de oferta
y demanda de fondos
• Según esta teoría la forma de la curva no
tendría que ser creciente
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30. Usos de la
estructura de la tasa de interés
• Predecir las tasas de interés
– El mercado da el consenso sobre la predicción
de las tasas de interés futuras
– La teoría de las expectativas domina la curva
• Predicción de las recesiones
– Curva chata o invertida son buenos indicadores
de recesiones
• Decisiones de inversión o financiamiento
– Los tomadores o prestadores toman sus
decisiones en base a ella
– Cobertura con bonos
Análisis de la Curva de Rendimientos
US. Treasury Yield Curve Rates
5,2
5,0
Previous
4,8
Current
4,6
4,4
4,2
4,0
3,8
3,6
3,4
3,2
3,0
1 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr
Fuente: Department of the Treasury – USA – 22/08/07
29/08/07
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