1. ПРАВИЛА ЗАКЉУЧИВАЊА И ДОКАЗИ

2. • Зашто правила закључивања?
• За науку је изезузетно важно правилно закључивати.
• Рачунар је машина.
• Машина ради само оно што јој кажемо.
• Зато правила закључивања морају бити јасна и недвосмислена.
• Логичка закључивања често могу бити погрешна што је последица примене
правила ограниченог простора дејства.
• У вештачкој интелигенцији ‘простор стања’ дефинише сва стања неког
проблема, искуства, чињенице и како их повезати.
• Погрешна предпоствака не може да доведе до тачног заључка .
• Тачна предпоставка не мора да доведе до тачног закључка.

3. ДЕДУКЦИЈА И ИНДУКЦИЈА
• Знања у науци деле се на:
емпиријска и
априорна.
• Емпириска знања су базирана на искуству.
• Априориорна знања се не морају оправдати искуством, она постоје и без
искуства.
• У откривању знања, човек се мора користити неким методама закључивања.
• Закључивање је мисаони процес у коме изводимо једно тврђење на основу
једног или више других.
• У суштини постоје да основна принципа закључивања:
то су дедукција и
индукција.

4. ДЕДУКТИВНА МЕТОДА
• Дедукција је принцип закључивања од од познатог ка непознатом, од
општег ка посебном.
• Дедуктивном методом до закључка долазимо на основу других раније
познатих ставова које зовемо предпоставке , хипотезе или премисе.
• Дедуктивност значи изводљивост.
• Дедуктивни закључак ослања се на правила и законитости математилче логике.
• Важна напомена: код дедукције нас у принципу не интересује да ли су
предпоставке и закључци истинити, већ нас једино интересује да ли се из датих
предпоставки може извести закључак, односно да ли је тачан принцип
закључивања.
• Математика је у суштини дедуктивна наука.
• У дедуктивне или теоријске методе спадају:
• метода доказивања,
• метода анализе,
• метода синтезе, и др.

5. • Први који је користио дедуктивни начин закључивања био је грчки филозоф
Талес из Милета ( 624-542 пре нове ере).
• Талес је дедукцију употребио у доказивању подударности троуглова.
• Касније ову методу је прихватио Питагора ( 569-475 пре нове ере).
• Питагорејци уочавају законитост међу закључцима, изводе једне из других.
• Свима знана, Питагорина теорема, била је позната и раније, али ју је Питагора
први долазао дедуктивним путем.
• Основне принципе дедуктивне организације математике поставио је грчки
математичар Еуклид ( 325-265 пре наше ере ).
• У свом чувеном делу Елементи изложио је аксиоматски принцип дефинисања
пре свега геометрије, а самим тим и математике уопште.

6. ИНДУКТИВНА МЕТОДА
• Индукција је метод закључивања којим се из ставова који се односе на одређен
број појединачних случајева изводи став који се односи на све случајеве те
врсте.
• Овај метод закључивања често се користи у природним наукама, где се
посматрањем или експериментом долази до одређених сазнања о некој појави,
па се на основу ових појединачних случајева изводи општи став.
• Таква индукција се назива непотпуна или емпиријска индукција. Овакав
начин закључивања није добар, јер се често на основу одређеног броја тачних
појединачних случајева не добија тачан закључак у оштем случају.
• Пример:
n
 nN
2 2 1,
Фермаов проблем: Да ли су прости бројеви облика ?
Заменом за н=1,2,3,4 добијају се прости бројеви.
То би могло да доведе до закључка да су бројеви заиста прости.
Међутим за н=5, добија се број дељив са 641, значи број који није прост.

7. • У индуктивне или емпириске методе спадају:
• метода експеримента,
• метода посматрања,
• метода мерења,
• метода аналогије и др.
• Напомена:
• Дедукцију и индукцију је у пракси често тешко раздвојити, али то су две
различите методе и оне се у суштини међусобно искључују.
• Ако би их упоређивали, можемо рећи да дедукција води за нужним закључцима,
док индукција ка вероватним закључцима.
• Дедуктивне методе се баве искључивањем погрешних претпоставки, али не
и утврђивањем истинитости
• Индуктивне методе се баве утврђивањем чињеничне истинитости.

8. ДОКАЗ МАТЕМАТИЧКИХ ПОЈМОВА
дефиниције, аксиоме и докази
• У математици постоје појмови који се не дефинишу. Они се схватају уз помоћ
интуиције, искуства или договора.
• Њих називамо основним или примитивним појмовима.
• Например, појмови тачка, скуп или природни број 1 су основни појмови. Свима
су ти појмови интуитивно јасни и сваки покушај њиховог дефинисањиа кроз
историју математике нису довели до резултата. Велики математичар Еуклид у
своме делу Елементи дао је дефиницију тачке. Рекао је „ тачка је оно чији је део
ништа “. Наравно ово је непотребна дефиниција, која је насмејала не само
математичаре и која је временом нестала.
• Сви остали нови појмови се морају дефинисати, користећи само основне
појмове или оне које смо већ дефинисали.
• Дефиниције служе да би се појмови прецизно одредили.
• Дефиниција је исказ или суд којим се недвослисмено одређује садржај појма.
Пример:
• Дефиниција: За сваке две праве а и б кажемо да се секу ако имају тачно једну
заједничку тачку.
• Дефиниција: Две праве су паралелне, ако леже у истој равни и немају
заједничких тачака или се поклапају.

9. • Дефиниције су често облика:
• еквиваленције, А ако и само ако Б, у ознаци ,
• једнакости, А једнако Б, у ознаци
Пример:
def
AB
def
AB
n ! 1 2
n
a a a a n N a R
,
def
def
n
n
 
   

10. Исто тако постоје и тврђења која није потребно доказивати. То су аксиоме.
Помоћу њих изграђују се математичке теорије.
• Аксиоме или постулати су трвђења која се не доказују, која су сама по себи
увек истинита.
• Први систем аксиома дефинисао је Еуклид у 3 в.п.е.
Пример:
• Аксиома: За било које две различите тачке постоји тачно једна права која их
садржи.
• Аксиома: За сваку праву п и тачку А ван ње, постоји тачно једна права која
садржи тачку А и паралелна је правој п.
Друга наведена аксиома је позната аксиома паралелности. Њу је дефинисао
још Еуклид и позната је под именом 5 постулат. Вековима су математичари
покушавали да је докажу, све док у првој половини 19. века математичар
Лобачевски није доказао да је то аксиома која је неопходна скупу аксиома
еуклидске геометрије.
Лобачевски и Гаус су поставили питање која од ових геометрија представља
стварну слику света, обавили су и пар експеримената, али питање је остало без
одговора.
• Аксиоме треба изабрати да нису противречне и да их има довољно за
доказивање теорема.

11. • Последице аксиоме су теореме.
• Свака теорема састоји се од претпоставке – хипотезе и закључка –
последице.
• Све теореме (тврђења, ставове) морамо доказати.
• Логичко расуђивање помоћу кога долазимо до закључака је доказ.
• Доказ се састоји од низа корака и садржи:
а) Дефиниције, аксиоме и већ доказане теореме
б) правила извођења и логичке законе закључивања.
• Свака терема има бар 1 доказ.
• Докази могу бити директни и индиректни:
• Да из услова А,Б,Ц,…. следи последица Ф и користимо се симболиком у
писању
A B C
, , ,
ili A , B ,
C F
F

• Доказ преставља заштитни знак математике. Правилна употреба доказа је од
суштинског значаја за математику.

12. ПРАВИЛА ЗАКЉУЧИВАЊА
МОДУС ПОНЕНС
• Модус поненс је најчешће примењивано, а уједно и најједноставније правило
доказивања.
• Назив је латински и у преводу значи метод потврђивања.
• Ово је пример директног доказа
A, A B

B
p  pqq
• Може да се чита, ако из А и А следи Б, онда Б.
• Ово правило закључивања оправдава таутологија
• Пример:
• А : Напољу пада киша.
• AB
Ако напољу пада киша, понећу кишобран.
• Б: Понећу кошобран
• Пример:
• А: 2000 је дељиво да 5,
• AB
Ако је Н дељиво са 5, онда је Н преступна година.
• Б: 2000 је преступна година.

13. МОДУС ТОЛЕНС
Ово је такође пример директног доказа
 
• Назив је такође латински и значи метода оповргавања.
• Ово правило закључивања оправдава таутологија
• Пример:
• 
A: Нисам извршио злочин
• Ако извршим злочин, бићу ухапшен.
• : Нисам ухапшен.
A, A B
B

p  pqq
AB
B

14. ПРАВИЛО КОНТРАДИКЦИЈЕ
• Доказ свођења на противречност, контрадикцијом, (редуцио ад абсурдум )
је облика
   
• Ово правило закључивања оправдава таутологија
• Ово је пример индиректног доказа. За доказ тврђења А довољно је доказати да
из можемо извести противречност или контрадикцију.
Пример:
није рационалан број.
2
p
q
• Ако ово тврђење желимо да докажемо контрадикцијом, предпоставићемо да
2

јесте рационалан број. Онда се он може написати у облику разломка, тј.
2
p
где су п и q узајамно прости бројеви, (немају заједничког делиоца).
2   p 2 
2
q
2
Одавде је
2 q
2 p
односно да 4n2 је  2q2 паран q  број, 2n
па сами тиме и п је паран број и може се написати
п=2н, односно .То значи и да је q паран број.
Ако су оба броја парна, они нису узајамно 2
прости.
Значи полазна предпоставка да је рационалан број није одржива.
A B B
A
pq q p
A

15. • Пример:
Ако је 3н+2 непаран број, тада је н непаран број.
Доказ методом контрадикције.
Предоставимо да:
Ако је 3н+2 непаран број, тада је н паран број.
Ако је н паран број, може се написати као н=2к, онда
3н+2=3(2к)+2=6к+2=2(3к+1), односно добијамо паран број, што је супротно
предпоставци задатка.
Занчи наша предпоставла није добра, и тиме доказујемо полазно трвтђење.

16. Пример:
У покушају да докажу 5. постулат који је дефинисао Еуклид у 4 веку п.н.е. ,
Лобачевски је креунуо од контрадикције тога става, односно предпоставио је да
кроз тачку А која се налази ван праве п је могуће поставити две праве које су
паралелне са правом п, а самим тим и бесконачно много.
Међутим, ова предпоставка га није довела до контрадикције и то је указало на
постојање неке нове нееуклидске геометрије, која се зове геометрија
Лобачевског у којој важе другачија схватања односа у простору. ( Напр. Збир
углова у троуглу је мањи од 2 права угла)

17. ПРАВИЛО КОНТРАПОЗИЦИЈЕ
• Доказ контрапозицијом
B A
A B
  

• Ово правило закључивања оправдава таутологија
Пример:
• Потребно је бити јак да би био боксер,
контрапозиција гласи:
• Ако ниси боксер није потребно бити јак.
 pqqp

18. Пример:
f x  2x 1
• Испитати да ли је функција пресликавање 1-1.
      1 2 1 2 1 2 x , x R x  x  f x  f x
• Ако је испуњено пресликавање је “1-1”.
• Изрази који у себи садрже неједнакости се тешко доказују и једноставније је
користити контрапозицију предходног израза која гласи
.
    1 2 1 2 f x  f x x  x
Дакле , чиме смо доказали да је пресликавање “1-1”.

19. Пример:
2 n
• Ако је паран број, онда је и н паран број.
• Контрапозиција би била: Ако је н непаран број, онда је и непаран број.
n n
n n n n n n
 
       
2 1
2 1 4 4 1 2 2 2 1
• Значи тачна је наша полазна предпоставка
2 n
2  2 2  2 
 pqqp

20. ПРАВИЛО ТРАНЗИТИВНОСТИ
ИМПЛИКАЦИЈЕ И ЕКВИВАЛЕНЦИЈЕ
• Правило транзитивности за импликацију ( правило силогизма) и
еквиваленцију:
A B,B C
 
A 
C
A B,B C
 
A 
C
• Ова правила закључивања оправдавају таутологије
 pq qr pr  pq qr pr
• Пример:
• Ако је човек уметник, онда је он је срећан.
• Ако је човек срећан, онда он дуго живи.
Закључак
• Уметници дуго живе .
• Пример:
• Ако је број дељив са 18 онда је дељив са 6.
• Ако је број дељив са 6 онда је дељив са 3.
• Ако је број дељив са 18 онда је дељив са 3.

21. ДОКАЗ КОНТРАПРИМЕРОМ
• Довољно је да нађемо неку вредност променљиве x за које тврђење није тачно,
да оборимо тачност полазног тврђења.
Пример:
• Производ свака два ирационална броја је ирационалан.
Контрапример: ако су дати ирационални бројеви и , њихов
производ
је рационалан број.
12 x  3 y 
xy  36  6

22. • Генерализација – уопштавање
• Специјализација
A B
A B A B
A B A B
A B
 
• Код ове врсте закључивања постоји вишак информација, непотребне се
одбацује , а пажња се усмерава само ка жељеном својству.
Пример:
• Желимо да одредимо да ли је студент положио математику, која је испит прве
године.
• Утврђујемо да је студент положио све предмете прве године.
• Значи, студент је положио математику.
• Елиминација
A  B  B A  B 
A
• Када имамо две могућности, а једну од њих искључимо, друга мора да важи.
Пример:
• Наћи сва позитивна решења једначине
• Решавањем једначине добијају се два решења , али пото тражимо само
позитивна решења узимамо само x=1.
,
,
, ,
,
A B
2 x 1 0
x  1

23. Modus ponens
• Modus tolens
• Kontrapozicija
A, A 
B
B
A, A B
 
B

B A
A B
  

A B
A B A B
• Generalizacija-uopštavanje
•
• Tranzitivnost implikacije-silogizam
• Tranzitivnost ekvivalencije
   
• Kontradikcija –protivrečnost
• Eliminacija-disjunktivni silogizam
• Specijalizacija -simplifikacija
,
A  B B  C A  B B 
C
, ,
,
A C A C
 
A B B
A
A  B  B A  B 
A
, ,
,
A B
A B A B
A B
 
,

24. Грешке закључивања
• Често се појављују грешке закључивања:
1. Исправност закључка није условљена истинитишћу предпоставки.
Слаткиши су добри за линију
Чоколада је слаткиш
Чоколада је добра за линију

25. • Грешке конверзије:
• Сви фудбалери су спортисти -------не повлачи
• Сви спортисти су фудбалери

26. Провера исправности закључивања
• Грешке конверзије:

27. Пример:
• Испитати да ли је следеће закључивање добро
 

• Овом изразу можемо да придрузимо исказну формулу
 T T
• Из таблице за испитивање истинитости види се да у четвртом реду из тачних
предпоставки не добија се тачан закључак.
A B, A
B
 pqpq
p q
T T T
T T
T T
p
q pq p
 




T T



28. • Пример:
• Испитати да ли је следеће закључивање добро
•
• Овом изразу можемо да придружимо таутологију
• Што значи да је закључивање исправно.
•
• До истог закључка се може доћи применом правила закључивања.
• модус поненс
• контрапозиција
• модус поненс
p   q, r 
q, r
p

 pq rq rp
r 
q, r
q
p  
q
q  
p
q p,q
 

p

29. МАТЕМАТИЧКА ИНДУКЦИЈА
• Математика је више дедуктивна наука, тј. метод закључивања је од општег ка
посебном.
• Међутим, многе математичке проблеме могуће је проучавати индуктивном
методом, односно истраживачки, стваралачки поступак по правилу је
индуктиван.
• Принцип математичке индукције искључује могућност грешке, која може да
се појави у емпиријској индукцији, јер се односи на све могуће случајеве.
• Нека је Т(н) теорема, тврђење, чија формулација садржи природни број .
• Ако је теорема тачна за н=1 ,
• под претпоставком да је тачна за било који природни број н=к ,
• ако докажемо да важи за н=к+1,
• онда је теорема тачна за све природне бројеве.

30. Пример:
 1
n n

n n N
1  2  3    , 
.
2
• Доказати да важи једнакост
• 1. За н=1 имамо 1 1 1
једнакост је тачна.
1
 
2

 1
k k

• 2. За н=к имамо . Претпостављамо да је једнакост
тачна.
1 2 3
2
k
    
 k  1 k

2
• 3. За н=к+1 је . Треба да докажемо, под
 k

1 2 3 1
2
     
претпоставком 2, да је једнакост 3 тачна.
• Ако обема страна једнакости додамо сабирак добијамо
1
     
k k k k k
1  2  3     1   1  
1
2
   
 
k k k k
1 2 3 1 1 1
          
 
1
2
 
 k  1   k

2

k k
1 2 3 1
2
      
чиме смо доказали да је под претпоставком 2, једнакост тачна и за н=к+1 ,
одакле закључујемо да је формула тачна за све природне бројеве.

31. Пример:
6n  5n  4
• Доказати да је израз дељив са 5
• 1. За н=1 имамо , 6-5+4=5, израз је дељив са 5.
• 2. За н=к имамо , претпостављамо да је израз дељив са 5.
• 3. За н=к+1 је
6 5 4 k  k 
  1 6 5 1 4 k k    
Треба да испитамо дељивост са 5 , под претпоставком 2.
k k
1 6 5 1 4 6 6 5 5 4 6 5 6 4
             
 
k k k
 k

k k
6 6  5  4  25 
25
Како је сваки сабирак дељив са 5, произилази и да је цео збир дељив са 5,
одакле закључујемо да је формула тачна за све природне бројеве.

32. Пример:
n
1  1 , 1, 0 , 2
• Доказати Бернулијеву неједнакост
 h   nh h  h  n 
• 1. За н=2 имамо , неједнакост је тачна.
 2 1 h 1 2h  h 2 1 2h
1  k
1
• 2. За н=к имамо претпостављамо да је ова неједнакост
тачна.
 h   kh
k
h k h
 
1
1    1   
1
 • 3. За н=к+1 је .Треба да докажемо, под претпоставком
• 2, да је неједнакост тачна.
• Користећи неједнакости 2 добијамо:
k k
h h h kh h k h kh k h
  
1 1    1    1     1   1    1    1   2  1   
1
 чиме смо доказали да је једнакост тачна и за , одакле закључујемо да је
формула тачна за све природне бројеве.

33. ЗАДАЦИ ИЗ ИНДУКЦИЈЕ
Применом математичке индукције доказати
 
n n
   
n n n
 
2
1 3 2 1
2 2 2 2
2 2
n
3 3 3 3
n n
n
2 2 2 1
1 2 1
1 2 3
6
1
1 2 3
4
1 2 2 2 2 n

1     
 
    

    
     
n n deljivo sa


 
11 6
n n
 
deljivo sa
9 2 11
   
n n n deljivo sa
1 2 1 6
 
3
1 6 1
4 2
n
n
2 4
1 3 5 2 n
1 1
2 4 6 2 n 3 n
1

 

  


34. ПИТАЊА ЗА ПОНАВЉАЊЕ
• Шта је дедукција ?
• Шта је индукција?
• Која је разлика између емпириске и математичке индукције?
• Шта садржава свака математичка теорија?
• Шта су дефиниције, аксиоме, теореме?
• Која су најважнија правила закључивања? ( дефиниција сваког од њих)