1. PROPORCIÓN ÁUREA

2. PARA TRAZAR UN
RECTÁNGULO ÁUREO

3. 1. Hacer un cuadrado

4. 2. Marcar la mitad

5. 3. Trazar una línea a la esquina

6. 4. Abatir la línea trazando un arco.
Con esta medida trazamos un
rectángulo, añadido al cuadrado
x

7. 5. Hacer el rectángulo sin borrar el cuadrado. Ya
tenemos el RECTÁNGULO ÁUREO

8. Ahora vemos un cuadrado y un
rectángulo que unidos forman un
rectángulo mayor
Si en el rectángulo más pequeño volvemos a
trazar un cuadrado, observamos que se cumple lo
que hemos hecho en el anterior.
Esto significa que cada rectángulo más pequeño
tiene la misma proporción que el grande
Si lo seguimos haciendo con las que quedan
vamos haciendo cada vez otros más pequeños y
con la misma proporción

9. 6. Observamos el giro en el cuadrado pequeño.
El rectángulo exterior tiene la misma proporción
entre sus lados que el que acabamos de trazar

10. 7. Esto se repite en cada nuevo rectángulo que
trazamos

11. 8.- La medida del radio se puede calcular en
función del lado por Pitágoras
2
 x 2 2 x2 + 4x2 x
  +x =r ⇒r = = 5
2 4 2
r
x
x/2
x 1-x
1

12. 9.- Para calcular el valor de Phi establecemos una proporción
entre el rectángulo exterior y el que acabamos de construir, de
manera que suponemos que la base del rectángulo mayor es “x”
y el lado del cuadrad inicial es una unidad
x 1
=
1 1 1 x −1
1 X-1
-------------------------------x unidad-------------------------------

13. 10.- Calculamos el valor de Phi resolviendo la
ecuación de segundo grado
x 1
=
1 x −1
2 2
⇒ x − x = 1 ⇒ x − x −1 = 0 ⇒
1+ 1+ 4 1+ 5
x= =
2 2
 x = 1,618.. = φ

descartamo s la solución negativa

14. 11.-Si trazamos círculos tomando como radio un
lado del cuadrado, formamos una espiral

15. 12.-Otra espiral gnómica basada en el número áureo: se construye
tomando como base un triángulo isósceles cuyo ángulo menor mide 36°.
.•A partir de cada triángulo se construye otro triángulo isósceles
cuyo lado menor coincide con el mayor del triángulo anterior
•Los cocientes entre el lado mayor y el lado menor
de cada triángulo tiende hacia el número de oro Phi
•La espiral se construye uniendo mediante arcos
de circunferencia los vértices consecutivos de estos triángulos.
•El resultado es otra similar cuya pulsación,
el factor de crecimiento, es el número áureo.

16. Esta espiral la encontramos en lo natural y lo que
construye el hombre. Si la escalera se diseña con
esta forma se puede ver entera desde la parte
superior

17. Estas proporciones también aparecen en un pentágono.
La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición,
el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban
que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde
sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que
en su propio símbolo se encontrara un número raro: el número de
oro.
Así la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el
número de oro.
AC 1 + 5
= =
AB 2
1,61803......... = φ
También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP,
que se hallan en la estrella pentagonal están en proporción áurea.

18. Serie de Fibonacci
Descubre una serie de números ordenados que
aparecen en la vida real en un montón de cosas
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 …..
La serie cumple la condición de que cada número
se obtiene sumando los dos anteriores
Pero hay más, si cada número se divide entre el
anterior va dando unos resultados que a medida
que avanzamos nos acercamos más al valor de Phi

19. Relación con el número áureo
Dividimos cada número con el anterior y el resultado tiende al
número áureo
1/1=1
2/1=2
3/2=1,5
5/3=1,6666
8/5=1,60
13/8=1,625
21/13=1,615
34/21=1,619
55/34=1,617
1,6181818 que es casi Phi
89/55=
En realidad el resultado es un
LÍMITE

20. Leonardo Fibonacci la elabora en 1202 a partir de la conjetura
de los conejos:
1 1 2 3 5 8

21. Cría de conejos
Partimos de un par de conejos.
• Cada pareja cría una vez por
estación, cada camada se compone
de 2 conejos.
• Cada pareja nueva necesita una
estación para madurar.

22. Esquema de la producción por estaciones

23. Está en todo lo que crece naturalmente
Desde lo más grande … hasta lo más pequeño.

24. En los productos cotidianos

25. Esta proporción está en la naturaleza
•Las margaritas tienen generalmente 34,
55 u 89 pétalos.
•En este girasol se pueden contar 21
espirales en un sentido y 34 en el otro
•La proporción entre
machos y hembras en
muchas poblaciones de
animales también es
0.618

26. En las obras de arte, tanto arquitectura
como pintura

27. En la música
Cada octava esta dividido en 8 teclas blancas y 5
teclas negras, haciendo un total de 13 teclas. El
número de teclas coincide con la sucesión de
Fibonacci.

28. Curiosidades
•La altura de una persona entre la distancia desde el suelo al ombligo da Phi.
•Los girasoles, los pétalos de las rosas y las caracolas siguen la serie de Fibonacci
•Las estructuras formales de las sonatas de Mozart, la quinta de Beethoven
•Las obras de Schubert.
•La distancia total de tu brazo entre la distancia de la punta de los dedos al codo.

29. El Homo Cuadratus de Leonardo (Academia de
Bellas Artes. Venecia).
a b
=φ
b a

30. •Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo
a
b
se dibuja la circunferencia.
=φ
•El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que
coincide en un cuerpo armonioso, con la longitud entre
los extremos de los dedos de
ambas manos cuando los brazos
están extendidos y formando
un ángulo de90º con el tronco
•Resulta que el cociente
entre la altura del hombre
(lado del cuadrado) y
la distancia del
ombligo a la punta de
la mano (radio de
la circunferencia) es
el número áureo

31. Las divisiones al revés tienden a 0,618 = 1 / Phi
VITRUBIO

32. El pentagrama místico pitagórico en rosetones góticos:
1. Iglesia de Santa María en Lemgo (Alemania).
2. Catedral de Amiens.
3. Ermita templaria de San Bartolomé en el Cañón del Río
Lobos (Ucero, Soria)
4. Pentagrama místico pitagórico en un rosetón mudéjar de
Calatayud (Zaragoza)

34. La dimensión exclusivamente geométrica se mantiene
durante toda la Antigüedad (grecolatino). Tiene una gran
dimensión estética y filosófica, de orientación platónico-
pitagórica. Durante este periodo se conoció como
"Proporción áurea", de donde también se denomina a
veces como "número Áureo".
En el Renacimiento italiano se mantuvo la dimensión
exclusivamente geométrica, con toda la carga estética
antigua, pero quizá más cercana a su aplicación en el arte
que a su dimensión teórica estricta. En esta época se llama
"Divina Proporción".

35. A finales del siglo XIX vuelve a surgir el tema,
acentuándose más la dimensión filosófica y científica que
artística. Ahora es cuando se perfecciona su dimensión
matemática, llegando a ser conocido, en aritmética, como
"número Phi", o simplemente "Phi", por la letra griega
"φ". Se trata de una letra griega, como en el caso de otro
número que todos conocemos como regidor de la
medición de la circunferencia y círculo, que se llama
"Numero Pi " o "π". La comparación con este número es
bastante adecuada, debido a sus infinitas cifras decimales
y a su amplio uso, aunque Pi no ha tenido la misma
relación con la estética ni con el arte