Trabalho final de curso. Engenharia Física. Modelagem de mancais hidrodinâmicos radiais.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – UFSCar
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA – CCET
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA FÍSICA
TRABALHO DE FINAL DE CURSO - TFC
"MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE MANCAIS HIDRODINÂMICOS RADIAIS"
AUTOR: FÁBIO XAVIER DE MELO
ORIENTADOR: PROF. DR. FLÁVIO YUKIO WATANABE
SÃO CARLOS / 2010

2. RESUMO
Uma das principais preocupações da engenharia moderna é construir
máquinas precisas, confiáveis, eficientes, capazes de trabalharem acima das
condições limites tradicionais. Nas máquinas rotativas, os limites de operação e
desempenho são estabelecidos por problemas de instabilidade e níveis elevados de
vibração, resultantes do comportamento dinâmico de seus componentes rotativos,
estruturais e dos mancais. Mancais são dispositivos responsáveis pela ligação entre
a parte móvel e a estrutura fixa de uma máquina rotativa. As características
dinâmicas de um sistema rotor-mancais são fortemente influenciadas pelas
características dos mancais, uma vez que a rigidez do sistema completo é
determinada pela rigidez dos mancais atuando em série com a rigidez do rotor e,
além disso, o amortecimento do sistema é em grande parte devido aos mancais.
Existem diversos tipos de mancais, porém, neste trabalho foi realizado um estudo
dos Mancais Hidrodinâmicos Radiais (MHR) devido a sua grande aplicabilidade
como elemento de máquina. De maneira simplificada um MHR pode ser descrito
como sendo um conjunto mecânico formado por um eixo e uma bucha, no qual, o
diâmetro do eixo é muito próximo ao diâmetro interno da bucha de tal modo que,
quando montados, a folga existente entre estes dois elementos seja muito pequena
e acomode um filme de óleo lubrificante que impeça o contato direto entre as parte
durante sua operação, situação em que se atinge o regime de lubrificação
hidrodinâmica. O filme de óleo é o responsável pela sustentação da carga imposta
ao mancal, e este fenômeno é possível devido à geração de um campo de pressão
no óleo, resultante do movimento do rotor e das características geométricas de
construção do mancal. Para a construção do modelo matemático do MHR parte-se
de uma representação geométrica do sistema mecânico formado pela bucha, rotor e
filme de fluido lubrificante, através da qual foi possível determinar parâmetros
importantes como excentricidade radial, velocidade periférica do rotor e espessura
do filme de fluido. Aplicando-se a lei de conservação de massa e a segunda lei de
Newton a um elemento infinitesimal do fluido lubrificante, obteve-se a equação da
continuidade e as equações de Navier-Stokes, que descrevem o comportamento do
fluido lubrificante existente na folga entre o rotor e a bucha do mancal. A partir
destas equações e considerando-se o lubrificante um fluido newtoniano, isoviscoso e
incompressível, derivou-se a equação de Reynolds. A solução analítica da equação
de Reynolds só pode ser atingida considerando-se várias hipóteses simplificadoras
que tornam possível a obtenção de soluções clássicas para dois casos especiais de
mancais, os curtos (solução de Ocvirk), e os infinitamente longos (solução de
Sommerfeld). Para a obtenção de uma solução numérica da equação de Reynolds
empregou-se o método das diferenças finitas. Os resultados obtidos englobam o
campo de pressão no fluido, a capacidade de carga do mancal, o atrito rotor/mancal,
o coeficiente de atrito e o ângulo de atitude do mancal, parâmetros estes que são
importantes para o projeto de máquinas rotativas.

3. SUMÁRIO
1. Tribologia e Mancais 1
1.1 Tribologia 1
1.2 Tipos de Mancais 2
2. Características Geométricas e Condições de Operação de Mancais
Hidrodinâmicos Radiais 7
2.1 Excentricidade Radial do Rotor 9
2.2 Folga Radial ou Espessura do Filme de Fluido Lubrificante 12
2.3 Velocidade Periférica do Rotor 16
3. Fundamentos de Mecânica dos Fluidos 20
3.1 Conservação de Massa 23
3.2 Conservação da Quantidade de Movimento 26
3.3 A Equação de Reynolds para MHR 33
4. A Solução da Equação de Reynolds 50
4.1 Condições de Contorno 50
4.2 Solução para Mancais Infinitamente Longos 52
4.2.1 Pressão no Filme de Óleo em Mancais Infinitamente Longos 53
4.2.2 Solução de Sommerfeld para Mancais Infinitamente Longos 58
4.2.3 Solução de Gümbel para Mancais Infinitamente Longos 79
4.3 Solução para Mancais Curtos 87
4.3.1 Pressão no filme de óleo em Mancais Curtos 89
4.3.2 Solução de Gümbel para Mancais Curtos 90
4.4 Solução numérica 102
i

4. 4.4.1 O Método das Diferenças Finitas - MDF 102
4.4.2 Implementação do Programa Computacional para Solução
Numérica 106
5. Resultados 108
Conclusões 119
Referências 121
ii

5. LISTA DE FIGURAS
1.1 Componentes da carga atuante em um rotor 2
1.2 Mancal plano de encosto 3
1.3 Mancal Hidrodinâmico Radial 4
1.4 Mancal de rolamento de esferas 4
1.5 Mancal hidrostático 5
2.1 Características geométricas do Mancal Hidrodinâmico Radial 7
2.2 Superfície planificada do mancal 8
2.3 O rotor e as pequenas perturbações 9
2.4 Folga radial ou espessura do filme lubrificante 13
2.5 Velocidade periférica do rotor 16
3.1 Escoamento entre duas placas planas paralelas 21
3.2 Volume de controle infinitesimal 23
3.3 Tensões que agem sobre um elemento de fluido 28
3.4 Balanço de forças 28
3.5 Vista planificada do mancal 33
3.6 Aceleração de uma partícula de fluido 39
3.7 Escoamento entre duas superfícies em movimento relativo 41
3.8 Componentes da velocidade do rotor 47
3.9 Distribuição de pressão 48
3.10 Efeito de cunha 48
3.11 Esmagamento do filme de óleo lubrificante 49
iii

6. 4.1 Condições de contorno para equação de Reynolds 51
4.2 Distribuição de pressão em um mancal infinitamente longo pelas condições de
contorno de Sommerfeld 63
4.3 Componentes das forças atuantes no mancal 66
4.4 Posição do centro do eixo 74
4.5 Força no filme de óleo sob as condições de contorno de Gümbel 81
4.6 Mancal curto 87
4.7 Malha para aplicação do MDF 104
4.8 Fluxograma do programa implementado 107
5.1 Distribuição - Modelo do Mancal Curto 109
5.2 Distribuição de pressão – MIL - Solução de Gümbel 109
5.3 Distribuição de pressão – MIL - Solução de Sommerfeld 110
5.4 Distribuição de pressão – Solução Numérica 111
5.5 Capacidade de carga adimensional em função de – Gümbel 111
5.6 Capacidade de carga adimensional em função de – Sommerfeld 112
5.7 Capacidade de carga adimensional em função de – MC 113
5.8 Comparação entre os modelos 113
5.9 Variação da espessura do filme 114
5.10 Força de atrito [adim] em função de – MIL - Sommerfeld 115
5.11 Coeficiente de atrito em função de – MIL - Sommerfeld 115
5.12 Força de atrito [adim] em função de – MIL - Gümbel 116
5.13 Coeficiente de atrito em função de – MIL - Gümbel 117
5.14 Força de atrito [adim] em função de – Mancal Curto 117
iv

7. 5.15 Coeficiente de atrito em função de – Mancal Curto 118
v

8. LISTA DE TABELAS
2.1Principais parâmetros geométricos dos mancais hidrodinâmicos radiais 8
5.1 Propriedades e Unidades 108
vi

9. NOMENCLATURA
folga radial nominal do mancal
diâmetro do rotor
diâmetro do mancal
excentricidade
excentricidade estática
excentricidade na direção
excentricidade na direção
coeficiente de atrito
força de atrito
componentes de forças de campo na direção
componentes de forças de campo na direções
componentes de forças de campo na direções
espessura do filme de óleo lubrificante
largura do mancal
pressão no filme de fluido lubrificante
raio do rotor
raio do mancal
número de Reynolds
número de Sommerfeld
componente da velocidade do fluido na direção
componente da velocidade do fluido na direção
velocidade no centro do rotor
velocidade periférica do rotor
eixos do sistema de coordenadas cartesianas local
eixos do sistema de coordenadas cartesianas
inercial
componente da velocidade do fluido na direção
capacidade de carga
vii

10. componente da capacidade de carga na direção
componente da capacidade de carga na direção
massa específica do fluido lubrificante
viscosidade do absoluta
viscosidade cinemática
coordenada auxiliar com origem no eixo
razão de excentricidade
coordenada angular auxiliar
ângulo de atitude
ângulo de atitude estático
excentricidade dinâmica
ângulo de atitude dinâmico
velocidade angular
viii

11. 1
CAPÍTULO 1
TRIBOLOGIA E MANCAIS
1.1 TRIBOLOGIA
A tribologia é definida como a ciência e a tecnologia da interação entre
superfícies com movimento relativo e dos assuntos relacionados à lubrificação, atrito
e desgaste. Quando duas superfícies sólidas interagem ocorre a dissipação de
energia, na forma de calor e ruído, devida a resistência ao movimento relativo entre
elas. Durante o processo de escorregamento relativo, as superfícies têm as suas
características básicas modificadas podendo tornar-se mais lisas, rugosas,
apresentarem alterações de propriedades físicas como a dureza, além de sofrerem
perda de massa por desgaste. Algumas destas mudanças podem ser benéficas, por
exemplo, no caso de amaciamento de máquinas para produzir condições de
operação próximas às ideais. Porém, em outros casos essas modificações sofridas
podem ser desastrosas quando ocasionam falha da superfície (com perda da função
técnica), implicando na substituição da peça.
Um dos elementos de máquinas que estão bastante propensos a estas
modificações citadas são os mancais. Mancais são dispositivos responsáveis pela
ligação entre a parte móvel e a estrutura fixa de uma máquina rotativa. De maneira
mais geral, sempre que duas partes têm movimento relativo, elas constituem um
mancal por definição, sem levar em conta sua forma ou configuração (HARNOY,
2003).
O principal objetivo no projeto de um mancal é aumentar a sua vida útil nas
máquinas, através da redução do atrito, perda de energia e desgaste durante sua
operação, e com isso evitar a paralisação das máquinas e os gastos com
manutenção.
A escolha do tipo de mancal apropriado para uma determinada aplicação é
essencial para o seu correto funcionamento como elemento de máquina, e este
cuidado é fundamental durante o projeto. A maior parte do trabalho de manutenção
nas máquinas é devido à lubrificação dos mancais e também a substituição
daqueles que estão danificados ou gastos devido ao uso. Ou seja, a escolha

12. 2
adequada do mancal para a aplicação no projeto reduz o risco de falhas precoces
devido ao desgaste ou fadiga, assegurando uma vida útil maior ao mancal
(HARNOY, 2003).
1.2 TIPOS DE MANCAIS
De acordo com o tipo carregamento aplicado nos rotores das máquinas, os
mancais podem ser classificados em radiais ou axiais. Mancais radiais suportam
cargas impostas na direção radial dos rotores, já os mancais axiais ou de encosto
suportam cargas impostas na direção axial dos rotores. Toda força imposta aos
rotores são suportadas pelos mancais, constituindo-se no que é denominado de
capacidade de carga dos mancais.
A Figura 1.1 ilustra como a carga imposta a um rotor (eixo) de uma máquina
pode decomposta em duas componentes, uma na direção axial, , e outra na
direção radial, .
Figura 1.1 Componentes da carga atuante em um rotor.
Quanto à forma construtiva e o princípio de funcionamento, os mancais
podem ser classificados em dois tipos principais: os de rolamentos, e os de
deslizamento. Os mancais de rolamento podem ser de esféricos, de rolos ou de

13. 3
agulhas. Os mancais de deslizamento podem ser planos (Figura 1.2) ou radiais
(Figura 1.3). A seguir será feita uma breve descrição dos principais tipos de mancais.
Figura 1.2 Mancal plano de encosto. Fonte: adaptada de Shigley’s (2006).
a. MANCAIS HIDRODINÂMICOS RADIAIS
De maneira simplificada um mancal hidrodinâmico radial pode ser descrito
como sendo um conjunto mecânico formado por um eixo e uma bucha, no qual, o
diâmetro do eixo é muito próximo ao diâmetro interno da bucha de tal modo que,
quando montados, a folga existente entre estes dois elementos seja muito pequena
e acomode um filme de óleo lubrificante que impeça o contato direto entre as parte
durante sua operação, situação em que se atinge o regime de lubrificação
hidrodinâmica. O filme de óleo é o responsável pela sustentação da carga imposta
ao mancal, e este fenômeno é possível devido à geração de um campo de pressão
no óleo, resultante do movimento do rotor e das características geométricas de
construção do mancal (HARNOY, 2003).

14. 4
Figura 1.3 Mancal Hidrodinâmico Radial. Fonte: adaptada de Harnoy (2003).
b. MANCAIS DE ROLAMENTO
Os mancais de rolamento são mancais em que a carga principal é transferida
por meio de elementos em contato por rolamento em vez de deslizamento. Em um
mancal de rolamento o atrito estático é aproximadamente o dobro do atrito dinâmico,
mas ainda é desprezível comparado ao atrito estático de um mancal de
deslizamento.
Os mancais de rolamento são fabricados para suportarem cargas radiais,
axiais ou uma combinação de ambas. Quanto ao tipo podem ser esféricos, de
agulha, de rolos cilíndricos ou cônicos. A Figura 1.4 apresenta um mancal de
rolamento de esferas (HARNOY, 2003).
Figura 1.4 Mancal de rolamento de esferas.Fonte: SKF.

15. 5
c. MANCAIS HIDROSTÁTICOS
São mancais nos quais o óleo lubrificante é injetado com auxilio de uma
bomba o que garante que o eixo não tenha contato com a bucha do mancal mesmo
antes do inicio da operação, evitando-se assim o desgaste comum no início da
operação dos mancais hidrodinâmicos. A Figura 1.5 a seguir apresenta o sistema
necessário para operação de um mancal hidrostático.
Em comparação com os mancais hidrodinâmicos, os hidrostáticos possuem
um custo maior de operação devido ao uso de equipamentos auxiliares. Em algumas
aplicações a lubrificação hidrostática é associada a hidrodinâmica, neste caso,
inicialmente injeta óleo no mancal promovendo a separação do rotor e da bucha,
conforme a velocidade de operação vai aumentando o mancal atinge o regime
hidrodinâmico e não é mais necessário a injeção de óleo (HARNOY, 2003).
Figura 1.5 Mancal hidrostático. Fonte: adaptada de Harnoy (2003).
Conforme ilustrado, existem diversos tipos de mancais, porém, neste trabalho
será realizado um estudo analítico e numérico dos Mancais Hidrodinâmicos Radiais
(MHR) muito utilizado em grandes máquinas rotativas como turbinas e geradores.
Em muitas situações os projetistas optam pela utilização de mancais de
rolamento simplesmente pela facilidade com que estes são encontrados nos
catálogos dos fabricantes. No entanto, para o correto projeto de máquinas este não
deve ser o critério adotado. O correto é realizar um estudo detalhado sobre as
vantagens e desvantagens da utilização dos diversos tipos de mancais existentes e
escolher aquele que melhor se adeque a aplicação desejada.

16. 6
A correta seleção de um mancal tem implicação direta no tempo de vida útil
dos equipamentos e na prevenção de falhas durante a operação das máquinas. Em
algumas ocasiões as falhas podem ocasionar prejuízo econômico, já em outras
aplicações como, por exemplo, na aviação, as conseqüências podem ser mais
devastadoras resultando na perda de vidas (HARNOY, 2003).

17. 7
CAPÍTULO 2
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E CONDIÇÕES DE
OPERAÇÃO DE MANCAIS HIDRODINÂMICOS RADIAIS
As principais características geométricas do mancal hidrodinâmico radial que
será modelado neste trabalho estão representadas na figura 2.1. Adotaremos um
sistema inercial de coordenadas cartesianas com origem no ponto , centro do
mancal. Assume-se que o rotor, com centro em , gira em torno do seu próprio eixo
no sentido anti-horário com velocidade angular constante , e que está carregado
na direção , no sentido positivo do eixo, por uma força externa de magnitude
constante resultando em uma excentricidade radial, , definida pela distância
entre os centros do mancal e do rotor (WATANABE, 2003).
Figura 2.1 Características geométricas do Mancal Hidrodinâmico Radial.
Fonte: adaptada de Harnoy (2003).
A nomenclatura utilizada para descrever a parâmetros geométricos utilizados
na construção do modelo é dada na Tabela 2.1.

18. 8
Tabela 2.1 Principais parâmetros geométricos dos mancais hidrodinâmicos radiais
Principais parâmetros da geometria do MHR
Raio do mancal
Diâmetro do mancal
Raio do rotor
Diâmetro do rotor
Folga radial nominal do mancal
Largura do mancal
Um sistema local de coordenadas cartesianas é adotado na superfície
planificada do mancal, conforme mostrado na figura abaixo.
y
superfície do rotor
x
Figura 2.2 Superfície planificada do mancal. Fonte: Watanabe (2003).
Durante o funcionamento do mancal, o eixo do rotor apresenta um
desalinhamento radial e angular em relação ao eixo do mancal, entretanto, neste
trabalho somente a contribuição radial do desalinhamento do rotor será considerada.
O método das pequenas perturbações no qual se assume que o rotor oscila
harmonicamente com pequenas amplitudes, em torno da posição de equilíbrio
estático descentrada, quando aplicado a este problema possibilita a obtenção de
expressões matemáticas que descrevem a excentricidade radial, a folga radial ou
espessura do filme lubrificante do mancal e a velocidade periférica do rotor,
utilizados na modelagem matemática do mancal.

19. 9
2.1. EXCENTRICIDADE RADIAL DO ROTOR
Num determinado instante de tempo, a posição instantânea descentrada do
centro do rotor, com relação ao centro do mancal (origem do sistema de
coordenadas XYZ) é definida pela excentricidade , e pelo ângulo de atitude ;
representados de forma ampliada na Figura 2.3.
Figura 2.3 O rotor e as pequenas perturbações.
Fonte: Watanabe (2003).
No equilíbrio estático a posição descentrada fica definida pela excentricidade
estática e pelo ângulo de atitude estático . Assumi-se que em torno desta
posição de equilíbrio estático o rotor encontra-se sujeito a perturbações harmônicas
de pequenas amplitudes definidas pela excentricidade dinâmica e pelo ângulo de
atitude dinâmico , ou seja:
(2.1)
(2.2)
Decompondo-se a excentricidade em suas componentes ortogonais e , temos:

20. 10
(2.3)
(2.4)
Da suposição de pequenas oscilações em torno da posição de equilibrio estático,
tem-se:
e
Substituindo nas equações (2.3) e (2.4) as expressões de e dadas pelas
equações (2.1) e (2.2), e desprezando-se os termos de segunda ordem em e
obtém-se:
(2.5)
Analogamente para componente :
(2.6)
As componentes dinâmicas e , por serem harmônicas, podem ser
descritas pela parte real de funções exponenciais complexas, ou seja:
(2.7)
(2.8)

21. 11
Onde, e são as amplitudes das funções harmônicas e respectivamente,
e é a freqüência da perturbação. Substituindo nas equações (2.5) e (2.6) as
expressões dadas pelas equações (2.7) e (2.8), encontraremos as seguintes
expressões para as componentes cartesianas da excentricidade:
(2.9)
(2.10)
Onde:
Em algumas situações durante a modelagem será mais conveniente trabalhar
com grandezas adimensionais, pelo fato de a adimensionalização ser extremamente
útil em análises comparativas de parâmetros característicos de mancais com
diferentes dimensões e condições de operação (WATANABE, 2003). Neste
instante, defini-se a grandeza adimensional denominada razão de excentricidade ,
e o parâmetro . Sendo que é dado por
Com estas novas definições podemos reescrever as equações (2.1), (2.2), (2.9) e
(2.10) resultando nas seguintes equações para razão de excentricidade e ângulo de
atitude dinâmico:

22. 12
(2.11)
(2.12)
e nas seguintes equações para as componentes cartesianas da razão de
excentricidade:
(2.13)
(2.14)
Conforme for surgindo à necessidade, novas adimensionalizações serão
empregadas na modelagem do mancal hidrodinâmico radial.
2.2. FOLGA RADIAL OU ESPESSURA DO FILME DE FLUIDO
LUBRIFICANTE
Anteriormente foram determinadas expressões matemáticas para
excentricidade do rotor, o próximo passo será encontrar uma expressão matemática
para folga radial ou espessura do filme de fluido lubrificante .
A folga radial é definida na direção perpendicular a superfície do mancal e é
expressa em função da posição do rotor caracterizada pela excentricidade , pelo
ângulo de atitude e pela folga radial nominal .
A equação da folga radial pode ser determinada analisando-se o triângulo
com vértices nos pontos , e presente na Figura 2.4.

23. 13
O Y
e (R-h)
J   P h
 r Q

hmin
X
Figura 2.4 Folga radial ou espessura do filme lubrificante. Fonte: Watanabe (2003).
Aplicando-se a lei dos cossenos as triangulo temos:
(2.15)
Sendo que:
(2.16)
Substituindo a expressão dada pela equação (2.16) na equação (2.15) tem-se:
Na prática os parâmetros , e são da ordem de , muito pequenos
comparados com as dimensões usuais de projeto dos mancais hidrodinâmicos
radiais que possuem raios da ordem de a , portanto, os termos de ordem

24. 14
superior a 1 e termos onde aparecem produtos destas grandezas podem ser
desprezados.
Logo tem-se:
(2.17)
Analisando-se a Figura 2.4 verifica-se que:
(2.18)
Substituindo-se a expressão dada pela equação (2.18) na equação (2.17) obtém-se:
(2.19)
Definindo-se:
, tem-se:
Com isso, a equação (2.19) pode ser reescrita como segue:
(2.20)
Lembrando-se que a excentricidade e o ângulo de atitude são expressos,
respectivamente, pelas equações (2.1) e (2.2), e, definindo-se uma nova coordenada
angular , da seguinte forma:
(2.21)
De modo que:
(2.22)

25. 15
É possível então reescrever a expressão para folga radial, equação (2.20),
acrescentando estas informações. Tem-se então:
Como o problema está sendo modelado supondo-se pequenas perturbações do
rotor em torno da posição de equilíbrio podemos assumir que:
Como as perturbações são pequenas os termos de segunda ordem podem ser
desprezados. Resultando em:
(2.23)
Sendo que:
(2.24)
É possível expressar a folga radial na forma adimensional, basta dividir a equação
(2.23), por , ou seja, pela folga radial nominal.
(2.25)
Substituindo-se as expressões dadas pelas equações (2.7) e (2.8) na equação
(2.25) podemos expressar a folga radial adimensional pela equação apresentada a
seguir:

26. 16
(2.26)
2.3. VELOCIDADE PERIFÉRICA DO ROTOR
A determinação da velocidade periférica do rotor se faz necessária devido ao
fato de que é através dela que se consegue incluir na modelagem matemática do
mancal efeitos hidrodinâmicos e de esmagamento do filme de fluido lubrificante.
Estes efeitos serão tratados com maior riqueza de detalhes no capítulo que discute a
teoria da lubrificação hidrodinâmica.
Um ponto genérico localizado na superfície do rotor pode ter sua velocidade
determinada somando-se vetorialmente à velocidade do centro do rotor, que
decorre das pequenas perturbações, com a velocidade tangencial do rotor em
torno do centro .


 r Y
O e 
e
 

Je
vJ r
P Q j i

 
- 
i
hmin j 
k
X 
Figura 2.5 Velocidade periférica do rotor. Fonte: Watanabe (2003).
Da análise da Figura 2.5 verifica-se facilmente que a velocidade no ponto é
dada por:
(2.27)

27. 17
Na qual a velocidade no ponto central do rotor é dada por:
(2.28)
Os versores e podem ser escritos em termos dos versores cartesianos:
(2.29)
(2.30)
Analisando-se a Figura 2.5 as seguintes relações são facilmente obtidas:
Portanto:
Resultando nas seguintes relações:
Que quando inseridas na equação (2.29) resultam em:
Como o problema está sendo modelado supondo pequenas perturbações do
rotor em torno da posição de equilíbrio , podemos afirmar que é pequeno o
suficiente para aproximar o valor do seno ao seu argumento, , e do cosseno a 1.
Resultando em:
(2.31)

28. 18
De maneira análoga determina-se a equação para o outro versor:
(2.32)
Agora, é possível expressar , dada pela equação (2.28), em termos dor
versores e , substituindo-se as expressões dadas pelas equações (2.31) e (2.32)
na equação (2.28).
Desprezando-se os termos de segunda ordem, e lembrado-se que ,
obtém-se:
(2.33)
Substituindo-se a expressão dada pela equação (2.33) na equação (2.27) é possível
escrever a velocidade no ponto , situado na superfície do rotor, em coordenadas
cartesianas, conforme apresentado a seguir:
(2.34)
Conforme deduzido anteriormente, a expressão para a folga radial do mancal, , é
dada pela equação (2.23), tomando-se a derivada de , em relação ao tempo,
obtém-se:
(2.35)

29. 19
Derivando-se a equação (2.35) em relação à , tem-se:
(2.36)
Comparando estas duas últimas equações com a equação (2.34) obtida para ,
chega-se ao seguinte resultado:
(2.37)
Como a folga é pequena compara ao raio do mancal, podemos concluir que o
ângulo é pequeno o suficiente para fazermos as seguintes aproximações:
Definindo-se:
A equação (2.37) pode ser reescrita do seguinte modo:
(2.38)

30. 20
CAPÍTULO 3
FUNDAMENTOS BÁSICOS DE MECÂNICA DOS
FLUIDOS
Na natureza a matéria existe basicamente em dois estados físicos, o estado
sólido e o estado fluido, este último normalmente dividido nos estados gasoso e
líquido. De uma maneira bem simplificada pode-se diferenciar os sólidos dos fluidos
levando-se em conta a magnitude do movimento de suas partículas constituintes, e
o espaçamento entre elas. Os sólidos apresentam uma estrutura coesa, essa
coesão é menor para os líquidos e bastante reduzida nos gases. Isso explica o fato
dos sólidos serem rígidos e os fluidos assumirem a forma do recipiente no qual
estão armazenados (FORTUNA, 2000).
Outra característica que diferencia sólidos de fluidos é que os sólidos
suportam tensões de cisalhamento sem se deformarem, dentro do limite elástico,
enquanto que os fluidos são incapazes de resistir a tais tensões, não importa o quão
pequena seja, o resultado disto é que os fluidos se deformam e escoam. Existe uma
classe de fluidos que necessitam de uma tensão de cisalhamento mínima para
começarem a escoar, tais fluidos são objetos de estudo da reologia e não serão
tratados neste trabalho.
Existe uma propriedade intimamente relacionada à taxa de deformação dos
fluidos, a esta propriedade dá-se o nome de viscosidade. Considere o escoamento
entre duas placas planas separadas por uma distância , conforme ilustrado na
Figura 3.1, no qual a placa inferior permanece estática enquanto que a placa
superior se move na direção com velocidade , resultado da ação da força
tangencial .

31. 21
Figura 3.1 Escoamento entre duas placas planas paralelas.
Fonte: adaptada de Shigley’s (2006).
Esta força gera uma tensão de cisalhamento entre a placa superior e o fluido
adjacente a ela. Suponha que o fluido existente entre as placas pode ser modelado
por camadas empilhadas que inicialmente encontram-se em repouso, mas devido da
ação da força começam a se mover e se deformarem. Para muitos fluidos é
observado experimentalmente que existe uma relação linear entre a tensão de
cisalhamento e a taxa de deformação das laminas de fluido, ou seja,
(3.1)
No limite
(3.2)
Isaac Newton supôs que a constante de proporcionalidade entre a tensão de
cisalhamento e a taxa de deformação fosse uma propriedade do fluido, a qual ele
deu o nome de viscosidade, ou seja:
(3.3)

32. 22
No SI,
Fluidos que satisfazem a equação (3.3) são denominados fluidos
newtonianos. Quanto mais viscoso for o fluido, maiores serão as tensões de
cisalhamento entre suas “laminas” e, consequentemente, maior será a dissipação de
energia. A viscosidade dos fluidos diminui com o aumento da temperatura, no
entanto, é pouco afetada pela variação de pressão.
No estudo da mecânica dos fluidos é conveniente assumir que gases e
líquidos sejam distribuídos continuamente, ou seja, o fluido é tratado como um
contínuo (POTTER & WIGGERT, 2009). Existe uma propriedade dos fluidos que é
de grande utilidade para verificar se a ideia de contínuo é apropriada, tal propriedade
é a massa específica , definida por:
(3.4)
Na qual, corresponde a um incremento de massa contida no volume incremental
.
Certamente não é possível fazer com que indiscriminadamente, pois
neste caso a massa contida no elemento de volume varia descontinuamente e a
ideia de contínuo não é mais válida. Fisicamente a definição de massa específica
seria mais aceitável se o limite tendendo a zero fosse substituído por um volume
muito pequeno, mas que contenha um número grande de partículas. Para a maioria
das aplicações em engenharia o volume é extremamente pequeno, por exemplo,
em um milímetro cúbico de ar, nas condições normais, existem 2,7x moléculas,
sendo assim o volume certamente posse ser tomado como sendo muito menor
que um milímetro cúbico e mesmo assim conter um grande número de moléculas,
dessa forma a hipótese de contínuo torna-se válida (POTTER & WIGGERT, 2009).
A importância da validade da ideia de contínuo é que as propriedades dos
fluidos podem ser adotadas e aplicadas uniformemente em todos os pontos da
região em qualquer instante de tempo. Isto significa que é possível escrever, por
exemplo, que a massa específica é uma função (em coordenadas cartesianas)
contínua de e , ou seja, .

33. 23
3.1. CONSERVAÇÃO DE MASSA
A equação da continuidade aparece em vários contextos na Física, de fato,
sempre que há uma lei de conservação de alguma quantidade que flui no espaço
(matéria, carga, etc.) essa lei é regida por uma equação da continuidade. Na
ausência de fontes ou sorvedouros, toda massa que entra em um sistema deve sair
e/ou se acumular no mesmo. Esta é uma forma simples de enunciar esta lei de
conservação, que quando aplicada a um elemento infinitesimal de volume fornece a
equação diferencial da continuidade que relaciona os campos de massa específica e
de velocidade (FORTUNA, 2000). Considere o fluxo de massa através de cada face
do elemento de volume infinitesimal esboçado na Figura 3.2. Fixando-se o fluxo de
massa líquido que entra no elemento de volume igual à taxa de variação de massa
do elemento, ou seja:
(3.5)
Onde é o fluxo de massa, ou vazão em massa, e é a massa do elemento de
fluido.
Figura 3.2 Volume de controle infinitesimal.

34. 24
E, efetuando-se o balanço de massa neste elemento de volume, tomando
como referência o seu centro, obtém-se a seguinte relação:
Subtraindo-se os termos apropriados e dividindo-se por tem-se:
(3.6)
Adotando-se a descrição euleriana para o movimento do fluido, ou seja, as
propriedades do fluido tais como a massa específica e a velocidade são funções
do espaço e do tempo.
(3.7)
(3.8)
(3.9)

35. 25
Tendo-se em vista estas informações a equação (3.6) pode ser reescrita da seguinte
forma:
(3.10)
Pela regra da cadeia tem-se que:
(3.11)
Sendo que:
São as componentes da velocidade do fluido nas direções e respectivamente.
A expressão:
é conhecida como derivada substancial ou material, o nome é dado pelo fato de
estar sendo analisado o movimento de uma partícula distinta do fluido, ou seja,
segue-se a substância ( ou material) (POTTER & WIGGERT, 2009).
O operador gradiente em coordenadas cartesianas é escrito da seguinte
forma:
(3.12)
Atuando com este operador no vetor velocidade, equação (3.9), obtém-se o seguinte
resultado:

36. 26
(3.13)
Portanto, a equação da continuidade, pode ser escrita de forma mais compacta
como:
(3.14)
Para um escoamento incompressível, escoamento no qual a massa específica de
uma partícula de fluido não muda conforme segue sua trajetória, ou seja,
Logo a equação da continuidade para um escoamento incompressível, toma a forma
(3.15)
Ou, na forma vetorial,
(3.16)
Ou seja, para um escoamento incompressível o divergente da velocidade do fluido é
nulo.
3.2. CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
A equação da conservação da quantidade de movimento é obtida a partir da
aplicação da segunda lei de Newton (taxa de variação temporal do momento de uma
partícula é igual à resultante das forças que nela atuam). Nesse ponto, se faz
necessário definir os tipos de força que atuam sobre uma partícula de fluido.

37. 27
Basicamente estas forças podem ser classificadas em dois tipos: forças de campo e
forças de superfície.
Forças de campo são forças que agem sobre a massa de fluido como um
todo, isto é, sobre cada ponto de um elemento de fluido. Enquadram-se nesta
categoria a força da gravidade, eletromagnética, centrífuga e de Coriolis. Como
estas forças nem sempre possuem uma magnitude grande o suficiente para
influenciar o escoamento, as expressões matemáticas dessas forças são,
geralmente, adicionadas como termos auxiliares nas equações de momento. Esses
termos podem ser expressos de forma geral como sendo , sendo que
pode ser qualquer uma das forças anteriormente citadas, como também pode ser a
soma vetorial de todas elas, dependendo da particularidade do problema que está
sendo estudado (FORTUNA, 2000).
Forças de superfície, como próprio nome sugere, agem somente sobre a
superfície do elemento de fluido. São decorrentes da pressão exercida sobre o fluido
por um elemento exterior e das tensões viscosas normais e de cisalhamento devido
ao atrito com os elementos de fluido adjacentes em movimento. Uma vez que estas
forças são intrínsecas ao fluido, elas aparecem como termos constitutivos das
equações de movimento.
A equação diferencial da conservação de momento é vetorial, portanto,
fornece três equações escalares. A resolução das equações das componentes
determina os campos de velocidade e pressão. No entanto, existe uma dificuldade
na determinação destas equações que é o uso das componentes da tensão para
determinarmos as forças necessárias para escrever as equações da conservação de
momento.
Existem nove componentes de tensão que atuam em um ponto particular de
um escoamento, elas são as nove componentes do tensor tensão , que pode ser
representado pela matriz abaixo (POTTER & WIGGERT, 2009):
(3.17)
As tensões que agem em um elemento de fluido são mostradas na Figura 3.3.

38. 28
Figura 3.3 Tensões que agem sobre um elemento de fluido.
O primeiro subscrito de uma componente de tensão indica em qual face ela
atua, o segundo subscrito denota a direção de atuação. Uma componente de tensão
que age perpendicularmente a uma face é chamada de tensão normal ( , , ).
Uma componente de tensão que age tangencialmente a uma face é chamada de
tensão de cisalhamento ( , , , , , ).
Considere as forças que atuam em um elemento infinitesimal de fluido
conforme ilustrado na Figura 3.4.
Figura 3.4 Balanço de forças.
Uma vez que o campo de tensão varia suavemente, seu valor foi expandido
em série de Taylor a partir do seu valor no centro do fluido. De acordo com a
segunda lei de Newton temos:

39. 29
Para direção
Realizando as simplificações necessárias temos:
(3.18)
Dividindo-se a equação (3.18) por , obtém-se:
(3.19)
Pela simetria das equações, tem-se que para as direções e , o balanço de forças
resulta nas seguintes equações:
(3.20)
(3.21)

40. 30
Portanto, através balanço de forças que atuam no elemento de volume de fluido
determinou-se as equações (3.19), (3.20) e (3.21), abaixo agrupadas nesta
sequência.
Conforme discutido anteriormente, muitos fluidos exibem uma relação linear
entre as componentes da tensão e o gradiente da velocidade, tais fluidos são
chamados de fluidos newtonianos. Se além desta linearidade considerarmos o fluido
como sendo isotrópico, ou seja, as propriedades do fluido são independentes da
direção em uma dada posição; é possível relacionar as componentes da tensão e os
gradientes da velocidade, usando apenas duas propriedades do fluido a viscosidade
, e o segundo coeficiente da viscosidade (POTTER & WIGGERT, 2009). As
relações tensão-gradiente de velocidade, também chamadas equações constitutivas
são apresentadas a seguir
(3.22)
(3.23)
(3.24)
(3.25)
(3.26)

41. 31
(3.27)
Utilizando-se a seguinte condição:
(3.28)
conhecida como hipótese de Stokes, nas equações constitutivas (3.22) a (3.24), e
assumindo-se que o escoamento seja incompressível ( ), tem-se:
(3.29)
Ou seja, a média negativa das três tensões normais é igual à pressão. Substituindo-
se as equações constitutivas, juntamente com a hipótese de Stokes, na equação
(3.19) obtida no balanço de quantidade de movimento, obtém-se:
(3.30)
Procedendo-se da mesma forma para as equações (3.20) e (3.21) obtém-se
respectivamente para as direções e :
(3.31)

42. 32
(3.32)
Adotando-se o escoamento como sendo incompressível, ou seja, , as
equações (3.30), (3.31) e (3.32) podem ser rescritas da seguinte maneira:
(3.33)
(3.34)
(3.35)
As equações (3.33), (3.34) e (3.35) são conhecidas como equações de
Navier-Stokes, assim chamadas em homenagem a Louis M.H. Navier (1785-1836) e
George Stokes (1819-1903); com estas três equações, mais a equação da
continuidade, obtém-se um sistema de quatro equações diferenciais parciais de
segunda ordem e quatro incógnitas, , , e . A viscosidade e a massa específica
são propriedades do fluido que supostamente são conhecidas (POTTER &
WIGGERT, 2009). É possível representar as equações de Navier-Stokes de maneira
mais compacta, na sua forma vetorial:
(3.36)

43. 33
3.3. A EQUAÇÃO DE REYNOLDS PARA MHR
A equação de Reynolds é derivada a partir das equações de Navier-Stokes e
da continuidade, considerando-se que o fluido lubrificante seja newtoniano,
isoviscoso e incompressível. A equação de Reynolds descreve as características do
fluxo do fluido lubrificante na folga radial do mancal, sua resolução permite
determinar o campo de pressão no fluido do mancal, a partir do qual, as forças
desenvolvidas pelo mancal e que atuam no rotor são obtidas, o que fornece
informações importantes como a capacidade de carga, coeficiente dinâmico de
rigidez e amortecimento (WATANABE, 2003).
A Figura 3.5 é uma representação da vista planificada do mancal onde temos
definido um sistema de coordenadas local , no qual escreveremos as equações
da continuidade e de Navier – Stokes, anteriormente definidas.
y
superfície do rotor
x
Figura 3.5 Vista planificada do mancal. Fonte: Watanabe (2003).
As equações de Navier – Stokes no sistema de coordenadas do problema
podem ser escritas da seguinte maneira:
(3.37)
(3.38)
(3.39)

44. 34
Com a hipótese de escoamento incompressível, a equação da continuidade
do fluido na folga do mancal é dada pela equação (3.15).
Os parâmetros que caracterizam estas equações são os seguintes:
 massa específica do fluido lubrificante;
 - viscosidade do fluido
 – pressão no filme de fluido lubrificante;
 – componentes da velocidade do fluido nas direções ,
respectivamente;
 - componentes de forças de campo nas direções ,
respectivamente.
As equações de Navier-Stokes, juntamente com a equação da continuidade,
podem ser simplificadas através de uma análise da magnitude dos termos que as
compõem, proposta por Childs (1993 apud WATANABE, 2003). Para isso, é
necessário efetuar uma série de adimensionalizações das variáveis. As variáveis
e o tempo são usualmente adimensionalizadas como mostrado nas
equações a seguir:
(3.40)
As componentes da velocidade circunferencial, , e axial, , são adimensionalizadas
em função da velocidade tangencial da superfície do rotor, .
(3.41)
Substituindo-se estas adimensionalizações na equação da continuidade para o fluido
presente na folga do mancal obtém-se:

45. 35
(3.42)
Na prática, nos mancais hidrodinâmicos radiais as dimensões e são da mesma
ordem de grandeza, ou seja: . Além disso, temos também que: .
Uma adimensionalização para a componente da velocidade , que produzirá
termos de mesma ordem de grandeza na equação (3.42) é dada por:
(3.43)
Para obter a equação de Reynolds, além destas adimensionalizações,
emprega-se também a definição do número de Reynolds. O número de Reynolds é
uma grandeza adimensional que serve como ferramenta de previsão dos regimes de
escoamento, grosso modo, se o número de Reynolds é relativamente pequeno, o
escoamento é laminar, se é grande, o escoamento é turbulento. Vale ressaltar o fato
de que o número de Reynolds assume valores distintos dependendo da geometria
do escoamento.
Um regime de escoamento depende de três parâmetros físicos que
descrevem as condições do escoamento. O primeiro parâmetro é um comprimento
de escala do campo de escoamento, tal como o diâmetro de uma tubulação ou a
espessura de uma camada limite. Se esse comprimento de escala é suficientemente
grande, a perturbação do escoamento pode aumentar e o escoamento pode ser
turbulento. O segundo parâmetro é uma velocidade de escala, tal como uma média
espacial da velocidade; para uma velocidade suficientemente alta, o escoamento
pode ser turbulento. O terceiro parâmetro é a viscosidade cinemática, para
viscosidades suficientemente pequenas o escoamento pode ser turbulento. Estes
três parâmetros podem ser combinados em um único parâmetro que é o numero de
Reynolds (POTTER & WIGGERT, 2009). Essa quantidade recebe este nome em
homenagem a Osborne Reynolds (1842-1912) e é definida como:
(3.44)

46. 36
Na qual, L e V são um comprimento característico e uma velocidade,
respectivamente, e é a viscosidade cinemática definida da seguinte forma:
(3.45)
Para o caso da modelagem do mancal, o numero de Reynolds foi definido por
Someya (1989 apud WATANABE, 2003) da seguinte forma:
(3.46)
Define-se também uma adimensionalização para pressão:
(3.47)
Desconsiderando-se as componentes da força de campo, e substituindo-se este
conjunto de adimensionalizações nas equações de Navier-Stokes ( (3.37) a (3.39)),
obtém-se as seguintes equações:
Para direção
(3.48)

47. 37
Analogamente para a direção
(3.49)
Pelo fato da adimensionalização da componente da velocidade de escoamento do
fluido ser diferente da adotada para as componentes e , para direção uma
equação diferente das demais é obtida. Substituindo-se as adimensionalizações, na
equação (3.38), tem-se:
(3.50)
Abaixo estão reunidas as equações (3.48), (3.49) e (3.50) , correspondentes as três
direções e , respectivamente.
Sabendo-se que nos projetos de mancais hidrodinâmicos radiais o parâmetro ,
folga radial nominal, é da ordem de , e que estes mancais são construídos
com raios da ordem de , tem-se que:

48. 38
Com base nestas informações podemos simplificar o as equações (3.48), (3.49) e
(3.50), resultando em:
(3.51)
(3.52)
(3.53)
Retornando a forma dimensional teremos o seguinte conjunto de equações:
(3.54)
(3.55)
(3.56)
Devido ao pequeno valor de , o gradiente de pressão na direção é
inteiramente desconsiderado, portanto, o escoamento do fluido pode ser
considerado como sendo bidimensional, apenas com componentes de velocidade
e .
Para uma análise mais simples do mancal os efeitos de inércia do fluido são
desprezados. Isso significa assumir um regime de escoamento laminar, ou seja,
desconsiderar os termos de aceleração local e convectiva nas equações de Navier –
Stokes.
A aceleração de uma partícula de um fluido é obtida considerando-se uma
partícula específica, conforme ilustrado na Figura 3.6.

49. 39
Figura 3.6 Aceleração de uma partícula de fluido.
A velocidade da partícula muda de no tempo para no tempo
. A aceleração é por definição:
(3.57)
Como é dado por:
(3.58)
A quantidade usando a regra da cadeia será:
(3.59)
Uma vez que , isso implica que a aceleração e dada por:
(3.60)
Na qual:
(3.61)

50. 40
A aceleração dada pela equação (3.60) é, então, expressa como:
(3.62)
As equações das componentes escalares da equação vetorial acima, para
coordenadas retangulares, são escritas como:
(3.63)
(3.64)
(3.65)
O termo da derivada temporal do lado direito das equações anteriores é
chamado de aceleração local, os termos remanescentes correspondem à aceleração
convectiva. Uma maneira simples de entender a diferença entre estas duas
contribuições para a aceleração da partícula é analisar o escoamento em uma
tubulação. Em uma tubulação a aceleração local resulta, por exemplo, do ato de
abrir ou fechar uma válvula. Já a aceleração convectiva ocorrerá nas vizinhanças de
uma mudança na geometria da tubulação, tal como um estreitamento da linha ou um
cotovelo. Em ambos os casos, as partículas do fluido mudam de velocidade, mas
por razões totalmente distintas (POTTER & WIGGERT, 2009).
Reconhecendo-se os termos de aceleração local e convectiva nas equações
de Navier – Stokes, executa-se a simplificação citada anteriormente, ou seja,
desconsiderar os efeitos de inércia do fluido que nada mais é do que eliminar os
termos de aceleração local e convectiva nas equações (3.54) e (3.56), obtendo-se
com isso:

51. 41
(3.66)
(3.67)
As funções e , soluções destas equações diferenciais, fornecem os perfis de
velocidade do fluido. Para determiná-las basta resolver as equações com as
condições de contorno apropriadas.
Primeiramente estas equações diferenciais forma resolvidas para um caso
mais geral, conforme ilustrado na Figura 3.7, na qual temos um filme de fluido de
espessura entre duas superfícies sólidas que apresentam movimento relativo.
Figura 3.7 Escoamento entre duas superfícies em movimento relativo.
Fonte: adaptada de Hori (2006).
As condições de contorno para tal problema são dadas por:
(3.68)
(3.69)

52. 42
Para solucionar a equação (3.66), inicialmente efetua-se uma integração com
relação à variável
Resultando em:
Na qual, é uma função que a princípio pode depender de e também de .
Integrando-se esta expressão, novamente com relação à variável :
Aplicando-se as condições de contorno
Temos que
Da condição de contorno, , obtém-se:

53. 43
Portanto, a função que descreve o perfil de velocidade na direção é dada por
(3.70)
Para determinar o perfil de velocidade na direção , basta resolver a equação (3.67).
Integrando-se com relação à variável
Integrando-se a expressão obtida novamente com relação à variável :
Aplicando-se a condição de contorno , tem-se que
Aplicando-se a segunda condição de contorno dada por: , tem-se:

54. 44
Portanto:
(3.71)
Agora que os perfis das componentes de velocidade do fluido e são
conhecidos, é possível obter a equação de Reynolds, para o caso mais geral,
integrando-se a equação da continuidade na direção da espessura do filme de fluido
lubrificante, ou seja:
(3.72)
Utilizando-se da regra de Leibniz para diferenciação de integrais, dada por:
(3.73)
Aplicando-se equação (3.73) na equação (3.72):
(3.74)
Resolvendo-se as integrais presentes na equação (3.74):
(3.75)
(3.76)

55. 45
(3.77)
(3.78)
(3.79)
Substituindo-se estes valores na equação (3.74):
(3.80)
É possível simplificar a equação de Reynolds, que foi deduzida para um caso mais
geral, levando em consideração as condições de operação do mancal
hidrodinâmico.
Em geral, não existe movimento do mancal na direção , ou seja:

56. 46
Nas direções e , somente o rotor se movimenta e a bucha do mancal é fixa,
portanto:
Levando-se em conta estas informações a equação de Reynolds pode ser escrita da
seguinte forma:
(3.81)
Considerando-se que o eixo seja um corpo rígido, podemos desprezar o primeiro
termo do lado direito da equação anterior, resultando em
(3.82)
Desconsiderando-se os efeitos das pequenas perturbações, a velocidade na
superfície do rotor é dada por:
(3.83)
Porém, a velocidade , não é paralela a direção , por isso se faz necessário a
decomposição desta velocidade em duas componentes, conforme ilustrado na
Figura 3.8.
Figura 3.8 Componentes da velocidade do rotor. Fonte: adaptada de Hori (2006).

57. 47
Através da análise da Figura 3.8 conclui-se que:
(3.84)
(3.85)
O ângulo , formado entre as superfícies do rotor e do mancal é muito pequeno,
pois a folga existente entre o eixo e a bucha do mancal é da ordem de .
Então, as seguintes aproximações podem ser feitas.
(3.86)
(3.87)
Sendo que,
(3.88)
Logo:
(3.89)
Substituindo-se os valores de e na equação (3.82), tem-se:
(3.90)
A análise dos termos presentes na equação de Reynolds permite identificar os
mecanismos geradores de pressão no filme de fluido lubrificante. Esta análise será
feita a partir da equação (3.81), pelo fato de esta ser mais geral.

58. 48
O lado esquerdo da equação de Reynolds indica como se dá a distribuição de
pressão no filme de fluido lubrificante em função das coordenadas e . Um esboço
desta distribuição está representado na Figura 3.9.
Figura 3.9 Distribuição de pressão. Fonte: adaptada de Hori (2006).
Por sua vez, o lado direito representa as causas da geração de pressão no
filme de fluido lubrificante. O primeiro termo do lado direito da equação de Reynolds
corresponde ao efeito de cunha (wedge effect) representado na Figura 3.10.
Figura 3.10 Efeito de cunha. Fonte: adaptada de Shigley’s (2006).
A Figura 3.10(a) mostra um eixo que inicia seu movimento de rotação no
sentido horário. Durante o arranque o mancal estará seco, ou parcialmente seco,
como conseqüência o eixo subirá através da superfície interna da camisa do mancal.
Agora suponha que um fluido lubrificante seja introduzido no topo do mancal, figura
3.10(b), a movimentação do eixo bombeará o óleo ao redor do mancal, sentido
horário, o lubrificante é então bombeado em um espaço em forma de cunha
forçando o eixo para o outro lado. Uma espessura mínima de filme é formada
deslocada do centro do mancal devido ao fato de que uma pressão no filme de fluido

59. 49
alcança um valor máximo nessa posição. Isso faz com que o ocorra uma separação
entre o eixo e a camisa do mancal (HORI, 2006).
O segundo termo corresponde ao efeito elástico (stretch effect) no qual a
contribuição para gerar a pressão no fluido é devida a deformação das superfícies.
Em materiais mais rígidos este efeito é desprezível, mas se tratando de materiais
como, por exemplo, algumas borrachas o mesmo não deverá ser negligenciado.
O terceiro termo é representação matemática do esmagamento do filme de
óleo lubrificante (squeeze effect), no qual a pressão é gerada devido à variação da
espessura do filme do fluido lubrificante (HORI, 2006). Uma ilustração para esse
efeito é dada na Figura 3.11.
Figura 3.11 Esmagamento do filme de óleo lubrificante. Fonte: adaptada de
Shigley’s (2006).
Estes efeitos atuando conjuntamente são os responsáveis por gerar o campo
de pressão responsável pela capacidade de sustentação de cargas em mancais
hidrodinâmicos.

60. 50
CAPÍTULO 4
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE REYNOLDS
Devido a sua complexidade a equação de Reynolds não possui solução
exata. Para solucioná-la é necessário recorrer a métodos numéricos, porém, existem
soluções analíticas clássicas que podem ser obtidas quando dois casos idealizados
de mancais são considerados, o mancal curto e o mancal infinitamente longo.
Ao assumir o mancal infinitamente longo na direção axial (ao longo de seu
comprimento) pode-se desprezar o gradiente de pressão na direção , ou seja,
desprezar os efeitos de borda e considerar a pressão aproximadamente constante
na direção , assim, consegue-se resolver analiticamente a equação resultante.
Se por outro lado o mancal for assumido como sendo curto, ou seja, a
dimensão na direção muito menor que na direção , o pico de pressão deve cair
mais rapidamente para pressão ambiente na direção do que na direção . Logo, o
gradiente de pressão na direção é muito maior que o gradiente de pressão na
direção , e este último pode ser desprezado e a equação resultante é passível de
ser solucionada analiticamente (HARNOY, 2003).
4.1. CONDIÇÕES DE CONTORNO
Para encontrar uma solução a equação de Reynolds é necessário conhecer
as condições de contorno do problema que está sendo modelado. No caso dos MHR
tem-se que na direção axial, mais especificamente nas extremidades dos mancais, a
pressão no filme de óleo é igual à pressão atmosférica, ou seja, seu valor é bem
definido. No entanto, na direção radial esta análise não é tão simples de ser feita e
pode ser ainda mais dificultada se levar em conta, por exemplo, o fenômeno de
ruptura do filme de óleo, que torna a determinação do valor de pressão nestas
circunstâncias uma atividade bastante complexa.
Por simplicidade considere um MHR infinitamente longo no qual o fenômeno
da ruptura do filme de óleo é desprezado. Esta suposição não configura um absurdo,

61. 51
uma vez que para atingir tal situação basta supor que a folga radial do mancal esteja
completamente preenchida pelo óleo lubrificante. Em tais condições, a solução da
equação de Reynolds apresenta um valor positivo de pressão para o semicírculo do
mancal no qual a folga radial diminui, e um valor de pressão negativo para
semicírculo no qual a folga radial aumenta. No entanto estes valores são iguais em
termos absolutos.
Este fato será verdadeiro somente na situação em que a pressão no filme de
óleo for suficientemente baixa. No caso em que o valor da pressão no filme de óleo
for relativamente elevado, o valor absoluto da pressão negativa não pode cair além
de certo valor, caso isto ocorra, acontecerá à ruptura do filme de óleo.
A Figura 4.1 apresenta as condições de contorno que são aplicadas para
solucionar a equação de Reynolds no caso dos MHR.
Figura 4.1 Condições de contorno para equação de Reynolds. Fonte: adaptada
de Hori (2006).
Condição de contorno de Sommerfeld – Aplica-se nos casos em que a
pressão no filme de óleo é baixa e não se observa o efeito da ruptura do filme de
óleo. Matematicamente esta condição é expressa da seguinte maneira:

62. 52
Condição de contorno de Gümbel – Nesta condição de contorno a pressão
é calculada desconsiderando-se a ruptura do filme de óleo, mas somente a pressão
positiva no semicírculo de intervalo é considerada. A pressão negativa
presente no outro semicírculo é considera como sendo nula (i.e., pressão
atmosférica). O filme de óleo inicia em e termina em . Esta condição é
aplicada nos casos em que a pressão no filme de óleo é suficientemente alta, esta
condição às vezes é denominada de meia condição de Sommerfeld.
Condição de contorno de Reynolds – Assume-se que o filme de óleo
termine na posição na qual a pressão e o gradiente de pressão são
ambos nulos, simultaneamente. Esta condição elimina a descontinuidade do fluxo de
óleo em , uma contradição física presença na condição Gümbel. No entanto, é
necessário determinar o valor de , esta condição é também conhecida como
condição de Swift-Stieber (HORI, 2006).
4.2. SOLUÇÃO PARA MANCAIS INFINITAMENTE LONGOS
A solução da equação de Reynolds fornece a distribuição de pressão no filme
lubrificante. Por meio da integração desta distribuição de pressão encontra-se a
força desenvolvida no filme de óleo lubrificante. A partir das condições de equilíbrio
desta força com a carga do mancal pode-se determinar os seguintes parâmetros:
excentricidade radial, capacidade de carga e força de atrito (WATANABE, 2003).
Ao assumir o mancal infinitamente longo na direção axial (ao longo de seu
comprimento) é possível desprezar o gradiente de pressão na direção , ou seja,
desprezar os efeitos de borda e considerar a pressão aproximadamente constante
na direção , assim, consegue-se resolver analiticamente a equação resultante.
A equação de Reynolds foi deduzida no capítulo 3 e é dada pela equação
(3.90) reescrita abaixo para facilitar o desenvolvimento.
Sendo que, para mancais infinitamente longos o gradiente de pressão na direção é
nulo:

63. 53
(4.1)
Logo a equação (3.90) é simplificada para a equação abaixo.
(4.2)
As derivadas parciais passam a ser derivadas simples pelo fato de que em mancais
infinitamente longos a pressão só depende da variável .
4.2.1 PRESSÃO NO FILME DE ÓLEO EM MANCAIS
INFINITAMENTE LONGOS
Para obtenção da expressão para o cálculo da pressão no filme de óleo em
mancais infinitamente longo é necessário resolvermos a equação (4.2). Integrando-
se a equação (4.2) obtém-se:
(4.3)
Onde, é uma constante de integração. É conveniente trocarmos pelo valor da
espessura do filme de óleo, , no ponto onde ocorre um pico de pressão, ou seja,
no ponto onde:

64. 54
Portanto:
(4.4)
Lembrando-se que anteriormente foi derivada uma expressão para espessura do
filme de fluido lubrificante dada pela equação (2.23), abaixo reproduzida para facilitar
o acompanhamento dos cálculos:
Por simplicidade desconsidera-se os termos perturbativos (solução estática), ou
seja:
Lembrando-se que , tem-se que . Portanto, a equação
(4.4) é reescrita da seguinte forma:
(4.5)
O passo seguinte é resolver a equação anterior, para isso, algumas
manipulações serão necessárias.

65. 55
(4.6)
Onde é uma constante resultante do processo de integração.
Através da mudança de variável efetuada anteriormente, o perfil de pressão
inicia-se em e nesta posição seu valor é dado por . A magnitude de
dependerá da maneira como o suprimento de óleo é fornecido para o mancal, ou
seja, pela forma como o óleo é injetado no interior do mancal. Se o óleo esta
estocado em um reservatório e sua introdução se da por meio simplesmente da
força de gravidade, a magnitude de é levemente superior a da pressão
atmosférica e por isso pode ser considerada como sendo nula, suporemos esta
condição na modelagem. Caso o óleo seja introduzido no mancal com auxílio de
uma bomba o valor de será dado pela pressão de bombeamento.
As integrais presentes na equação anterior não possuem soluções triviais,
porém, podem ser resolvidas analiticamente se adotarmos a seguinte mudança de
variável, (G.I TAYLOR & E.R VAN DRIEST).
(4.7)
Na qual a nova variável , transforma o intervalo no mesmo intervalo
. Da mudança de variável proposta tem-se que:
Sabendo que:

66. 56
Tem-se que:
Sendo que ,tem-se então:
(4.10)
(4.11)
Derivando-se a equação (4.11) em relação à :
(4.12)
Substituindo-se os valores anteriormente determinados para e (equações
4.10 e 4.11) em função de , na equação (4.12) obtém-se:

67. 57
(4.13)
Retomando a expressão dada pela equação (4.6):
É necessário expressar as integrais do lado direito da equação (4.6) em função da
variável . Isso é possível de ser feito se substituirmos a expressão dada pela
equação (4.13) nas integrais presentes na equação (4.6).
Iniciando-se este procedimento pela segunda integral presente no lado direito
as equação (4.6):
Lembrando-se que: , tem-se:

68. 58
(4.14)
Fazendo-se o mesmo para a primeira integral presente no lado direito da
equação (4.6), obtém-se:
(4.15)
Substituindo-se as integrais presentes na equação (4.6) pelas expressões dadas
pelas equações (4.14) e (4.15), pode-se reescrevê-la da seguinte forma:
(4.16)
A equação (4.16) é uma expressão geral para perfil de pressão no mancal.
4.2.2 SOLUÇÃO DE SOMMERFELD PARA O MANCAL
INFINITAMENTE LONGO

69. 59
Na seção anterior foi encontrada a equação abaixo para o perfil de pressão
do mancal infinitamente longo (equação (4.16)):
A solução do problema ainda não está completamente definida, uma vez que,
é preciso determinar as duas constantes resultantes do processo de integração, e
. Isso é possível a partir das condições de contorno do problema.
a. PRESSÃO NO FILME DE ÓLEO
As condições de contorno de Sommerfeld são expressas matematicamente
da seguinte forma:
Para primeira condição de contorno, , temos que:
(4.17)
Logo, temos que .
Aplicando a segunda condição de contorno, :

70. 60
(4.18)
Agora, com as constantes de integração determinadas, basta substituir seus valores
na equação (4.16), este procedimento resulta na seguinte solução para o mancal
infinitamente longo:
(4.19)
Lembrando-se de que foi efetuada uma mudança de variável com a finalidade
de facilitar o cálculo das integrais presentes na equação (4.6). Neste ponto do
desenvolvimento retornar-se a coordenada inicial do problema, ou seja, .
Para isso, retoma-se a equação (4.7) que correlaciona às duas variáveis:

71. 61
Anteriormente demonstrou-se nas equações (4.10) e (4.11), respectivamente, que:
Manipulando-se estas equações encontram-se os seguintes resultados:
(4.20)
Manipulando-se a equação (4.10):
(4.21)
Substituindo as expressões dadas pelas equações (4.20) e (4.21) na equação
(4.19), obtém-se:
Agrupando-se os termos que possuem no denominador o fator , tem-se:

72. 62
Agrupando-se os termos que possuem o fator no denominador:
Encontrando-se um denominador comum para expressão anterior, tem-se:
(4.22)

73. 63
Definindo-se:
(4.23)
Podemos reescrever a equação (4.22) da seguinte maneira:
(4.24)
Figura 4.2 Distribuição de pressão em um mancal infinitamente longo pelas
condições de contorno de Sommerfeld.Fonte: adaptada de Harnoy (2003).
Da análise da Figura 4.2 verifica-se que a distribuição de pressão é simétrica
com relação ao ponto em que , além disso, os valores de máximo e de
mínimo de pressão são iguais em termos absolutos. Determina-se a posição na qual
ocorrem estes extremos a partir da seguinte condição:

74. 64
Em que é dada pela equação (4.22). Derivando-se a equação (4.22) em relação à
variável tem-se o seguinte resultado:
Aplicando a condição:

75. 65
Da relação trigonométrica , podemos obter que:
. Substituindo esta informação na última equação obtemos:
(4.25)
b. FORÇA NO FILME DE ÓLEO E CAPACIDADE DE CARGA DO MANCAL
A Figura 4.3 mostra a capacidade de carga, , de um mancal hidrodinâmico
radial e suas duas componentes e . A direção de é ao longo da linha de
simetria do mancal . O ângulo medido entre a linha de atuação da força externa
F (carga) e a linha , é o ângulo de atitude do mancal, , definido anteriormente.
A direção da componente é normal a direção de (HARNOY,2003).

76. 66
Figura 4.3 Componentes das forças atuantes no mancal. Fonte: adaptada de
Harnoy (2003).
Uma quantidade infinitesimal da capacidade de carga do mancal, , atua na
direção normal da superfície do eixo do mancal. Ela é o produto da pressão no
fluido, , e um elemento de área da superfície do eixo do mancal dado por:
(4.26)
Portanto, um elemento de força do fluido representado por:
(4.27)
É dado por:
(4.28)
A pressão atua na direção normal à superfície do eixo do mancal, e é
uma quantidade infinitesimal da força que atua sobre o eixo do mancal, responsável
pela sustentação da carga imposta ao mancal, cuja direção é orientada para o
centro do eixo conforme se observa na Figura 4.3.
Se o problema consistisse no escoamento de um fluido entre duas placas
paralelas a pressão atuaria apenas em uma direção, no caso do mancal em estudo,
a direção em que a pressão é atuante varia ao longo da superfície do eixo do
mancal o que não possibilita obter a força resultante através de uma integração
simples da quantidade (HARNOY, 2003). Para alcançarmos este propósito se faz
necessária a decomposição de componentes na direção X e na direção Y, o que
possibilita a integração em cada uma destas direções. Os módulos dos elementos
de força nas direções X e Y são dados por:
(4.29)
(4.30)

77. 67
O sinal negativo de é devido ao fato de este estar orientado no sentido negativo
do eixo X, conforme ilustrado está na Figura 4.3. Portanto, as componentes nas
direções X e Y são dadas respectiva mente por:
(4.31)
(4.32)
Além disso, verifica-se que o ângulo de atitude, , é dado pela razão:
(4.33)
Todas as informações necessárias para resolver estas equações estão disponíveis,
uma vez que anteriormente determinou-se uma expressão para o campo de pressão
, equação (4.24). No entanto, a integral a ser resolvida neste procedimento de
cálculo é complexa. Esta tarefa árdua pode ser simplificada se as componentes da
capacidade de carga forem calculadas a partir da equação do gradiente de pressão,
equação (4.5), que a seguir é resgatada para melhor entendimento:
Da teoria do cálculo diferencial sabemos que se e são funções de uma
única variável independente, temos, pela regra da derivação do produto de duas
funções que:
Ao integrarmos esta expressão obtemos:

78. 68
Que é conhecida no meio acadêmico como a fórmula da integração por partes.
Comparando esta fórmula com a expressão da componente da capacidade de carga
na direção X dada pela equação (4.31).
É possível estabelecer as seguintes igualdades:
Portanto:
(4.34)
Adotando-se o mesmo procedimento para a componente da capacidade de carga na
direção Y obtém-se:
(4.35)
Observa-se facilmente que os primeiros termos do lado direito das duas
equações anteriores são nulos, portanto as expressões podem ser simplificadas da
seguinte maneira:

79. 69
(4.36)
(4.37)
Substituindo a expressão do gradiente de pressão dado pela equação (4.5) na
equação (4.36) teremos:
Para resolver a integral basta efetuar a seguinte mudança de variável:
Logo:
Retornando a variável inicial temos:
Analogamente tem-se que:
Isso implica que a equação (4.36) é dada por:

80. 70
E, portanto, o resultado da equação (4.31) é:
Agora, substituindo-se a expressão do gradiente de pressão dado pela
equação (4.5) na equação (4.37) tem-se para a componente da capacidade de
carga do mancal infinitamente longo a seguinte equação:
(4.39)
As integrais presentes no lado direito da última equação pode ser calculadas
facilmente empregando-se a técnica das frações parciais. Iniciando este
procedimento com a primeira delas, ou seja:
Expandindo em frações parciais:
Esta igualdade será verdadeira se as seguintes condições forem satisfeitas
Sendo assim:

81. 71
Portanto:
Logo:
(4.40)
Adotando-se o mesmo procedimento para segunda integral, presente no lado
direito da equação (4.39), dada por:
Expandindo em frações parciais:
Esta igualdade será verdadeira se,
Sendo que:

82. 72
Logo
Portanto:
(4.41)
As integrais presentes nas equações (4.40) e (4.41) são da forma:
E já foram calculadas anteriormente na seção 4.2.1 sendo que:
Substituindo-se estes resultados nas equações (4.40) e (4.41), respectivamente,
tem-se:
(4.42)

83. 73
(4.43)
Substituindo as equações (4.42) e (4.43) na equação (4.39):
(4.44)
Portanto, o resultado da equação (4.39) é dado por:
Uma vez que:
Tem-se:
Portanto, a capacidade de carga para o mancal infinitamente longo, sob as
condições de contorno de Sommerfeld, é em módulo igual a . Uma vez que
(4.45)

84. 74
Anteriormente foi demonstrado que o ângulo de atitude do mancal pode ser
calculado pela equação (4.33). Conforme calculado, tem-se que, , isso
implica que , portanto, .
Figura 4.4 Posição do centro do eixo.
Isso significa que a linha de simetria do mancal, , é normal a direção do vetor
capacidade de carga.
c. FORÇA DE ATRITO
A força de atrito, , a qual o mancal em estudo encontra-se submetido
durante sua operação é de origem viscosa, ou seja, é devida a resistência oferecida
pelo fluido lubrificante ao movimento de rotação do eixo do mancal. Sua definição
matemática é dada pela equação abaixo, na qual representa o raio do mancal e
o torque de atrito.
(4.46)
Através da operação matemática da integração é possível calcular a força de
atrito a partir da expressão da tensão de cisalhamento, conforme a equação a
seguir:
(4.47)

85. 75
Na qual:
(4.48)
A integral é realizada sobre toda superfície do eixo do mancal, que possui o seguinte
elemento de área . Portanto a equação (4.47) pode ser reescrita da
seguinte maneira:
(4.49)
A tensão de cisalhamento do fluido pode ser facilmente obtida, uma vez que, o perfil
de velocidade já foi determinado anteriormente e é dado pela equação (3.70)
apresentada a seguir:
Ou seja, substituindo na equação (4.48), tem-se:
(4.50)
A tensão de cisalhamento está expressa como uma função da variável , em
a expressão fornece o valor de tensão de cisalhamento na superfície da bucha
do mancal (parte fixa), já em a expressão fornece o valor da tensão de
cisalhamento na superfície do eixo do rotor (parte móvel) exatamente o valor de
tensão de cisalhamento que é necessário para calcular a força de atrito. O valor da
tensão de cisalhamento na superfície do eixo do mancal é dado pela equação a
seguir:

86. 76
(4.51)
O gradiente de pressão também já foi determinado anteriormente e é dado pela
equação:
Sendo que a expressão para folga radial, ou espessura do filme de óleo, , é dada
por .
Logo:
Portanto, a equação (4.51) pode ser reescrita como:
(4.52)
Logo, a equação (4.49) fica:
(4.53)
As integrais da forma:

87. 77
Já foram calculadas anteriormente, sendo que:
Substituindo-se estes valores na equação (4.53) tem-se:
(4.54)
Agora que a expressão para força de atrito foi determinada é possível obter o valor
do coeficiente de atrito. Sendo que, corresponde a capacidade de carga do
mancal.
(4.55)
(4.56)
Substituindo os valore de e na equação (4.56) tem-se: