1) O documento discute a importância de desenvolver o pensamento algébrico nos alunos desde os primeiros anos de escolaridade, generalizando padrões e relações. 2) É necessário procurar nos temas do 1o ciclo as possíveis ligações com o pensamento algébrico, como contagens, sequências numéricas e investigação de regularidades. 3) O trabalho com sequências pictóricas e numéricas ajuda os alunos a progredirem de raciocínios recursivos para relacionais.

1. 1.º Ciclo

2. Uma aula que não dê aos alunos a oportunidade de generalizar não é uma aula de matemática” (Mason & Johnston-Wilder, 2004, p.137).

3. O que é o pensamento alg é brico? Poderemos defini-lo como uma extensão da aritm é tica e da fluência de c á lculo t í picas dos primeiros anos de escolaridade à considera ç ão mais profunda da estrutura matem á tica subjacente (Cai & Moyer (2008). O desenvolvimento do pensamento alg é brico nos primeiros anos requer o desenvolvimento de modos de pensamento que resultam de analisar rela ç ões entre quantidades, reparar na estrutura, estudar a mudan ç a e, particularmente, generalizar. Normalmente as pessoas associam a palavra álgebra à resolução de equações e inequações, àquele momento em que a matemática se torna mais complexa porque começa a lidar com letras. E para os professores do 1º e 2º ciclos, esse tema estava definitivamente fora das suas atribuições. No entanto, se consultarmos o novo Programa de Matemática do Ensino Básico (ME-DGIDC, 2007) podemos ver: As ideias algébricas aparecem logo no 1º ciclo no trabalho com sequências, ao estabelecerem--se relações entre números e entre números e operações, e ainda no estudo de propriedades geométricas como a simetria. No 2º ciclo, a Álgebra já aparece como um tema matemático individualizado, aprofundando-se o estudo de relações e regularidades e da proporcionalidade directa como igualdade de duas razões (p.7).

4. Continuação… Como vemos, as coisas estão a mudar. H á altera ç ões neste novo programa que nos levam a debru ç ar-nos sobre este tema. Claro que não se pretende, a n í vel do 1 º e 2 º ciclos, a aprendizagem formal da resolu ç ão de equa ç ões, mas preparar os alunos para aprendizagens posteriores. Voltando ao programa: A altera ç ão mais significativa em rela ç ão ao programa anterior é o estabelecimento de um percurso de aprendizagem pr é vio no 1 º e 2 º ciclos que possibilite um maior sucesso na aprendizagem posterior, com a considera ç ão da Á lgebra como forma de pensamento matem á tico, desde os primeiros anos (p.7). Contudo, o trabalho pr é -alg é brico não se resume a este objectivo de prepara ç ão para estudos posteriores, pois possui in ú meras potencialidades, quer no desenvolvimento de capacidades transversais de resolu ç ão de problemas, racioc í nio e comunica ç ão, quer na profundidade e variedade das conexões que possibilita com todos os temas da matem á tica. Os alunos devem assim passar por diversas experiências de aprendizagem que valorizem, por um lado, a descoberta, continua ç ão e constru ç ão de padrões e o percurso em direc ç ão à explicita ç ão de uma lei de forma ç ão, e, por outro, a generaliza ç ão de propriedades dos n ú meros ou das opera ç ões. Esta é uma visão da aritm é tica não como um campo isolado mas como parte da á lgebra, em que os n ú meros são tratados como instâncias de ideias mais gerais.

5. Sequências e regularidades O tópico Sequências e Regularidades percorre todo o ensino básico, tendo como principal objectivo contribuir para o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos. No 1.º ciclo, este tópico integra o tema Números e operações, envolvendo a exploração de regularidades numéricas em sequências e em tabelas de números. Os alunos identificam a lei de formação de uma dada sequência e expressam-na por palavras suas. Este trabalho contribui para o desenvolvimento do sentido de número nos alunos e constitui uma base para o desenvolvimento da sua capacidade de generalização. Nos 2.º e 3.º ciclos, este tópico está incluído no tema Álgebra, envolvendo tanto a exploração de sequências como o uso da linguagem simbólica para as representar. No 2.º ciclo, os alunos contactam com conceitos como ‘termo’ e ‘ordem’. No 3.º ciclo, usa-se a linguagem algébrica para expressar generalizações, nomeadamente para representar o termo geral de uma sequência e promover a compreensão das expressões algébricas e o desenvolvimento da capacidade de abstracção nos alunos. Ponte, J.; Branco, N.; Matos, A. (2009:41). “Álgebra no Ensino Básico”. I n Ministério da Educação – Direcção Geral de Inovação e Desenvolvimento Curricular [ME-DGIDC] (2009),

6. Procure no Novo Programa os tópicos relacionados com a álgebra do seu nível de ensino. Discuta com os colegas a possibilidade da utilização com os seus alunos das indicações constantes no Programa como “Notas”.

7. Tipos de tarefas que podem promover o pensamento algébrico Iniciar com contagens Vamos contar Trabalho com toda a turma. Um aluno lan ç a um dado para marcar o “ salto ” . Outro aluno lan ç a outro dado para marcar o n ú mero inicial (este pode ser omitido nas primeiras experiências). Levar os alunos (um à vez) a contar segundo o “ salto ” anunciado no dado (e.g. de dois em dois, de cinco em cinco). Posteriormente essa contagem poder á ser feita a partir do n ú mero anunciado no segundo dado. (e.g. de três em três a partir do dois).

8. Quantas formigas? Podes contá-las uma a uma, mas vai levar algum tempo. Tenta descobrir um processo rápido. Escreve a expressão numérica que traduz essa contagem.

9. Uma piza, que bom! Se contares os pedaços de tomate um a um a piza arrefece. Vamos então contá-los rapidamente. E os de pimento? Esses são bem mais fáceis. Escreve a expressão numérica que traduz essa contagem.

10. As luzes Estou a tentar dormir mas não consigo. Em vez de contar carneiros conto as janelas iluminadas do prédio em frente. Sê brilhante e diz quantas janelas do prédio estão iluminadas. Escreve a expressão numérica que traduz essa contagem

12. Cai, J. & Moyer, J. (2008). Developing Algebraic Thinking in Earlier Grades: Some Insights from Internacional Comparative Studies. Em Carole Greenes & Rheta Rubenstein (Eds.), Algebra and Algebraic Thinking in School Mathematics – Seventieth Yearbook (pp.169-180). Reston: NCTM. Jacobs, V, Franke, M., Carpenter, T., Levi, L. & Battey, D. (2007). Professional Development Focused on Children’s Algebraic Reasoning in Elementary School. Journal for Research in Mathematics education , Vol.38, No. 3, 258-288. Kaput, J. & Blanton, M. (2001). Algebrafying the Elementary Mathematics Experience. Part I: Transforming Task Structure. Proceedings of the ICMI-Algebra Conference . Melbourne, Australia, Dec.2001. Acedido Outubro 3, 2007 em http://www.scps.k12.fl.us/scctm/TextFiles/Educational%20Articles/Algebrafying%20elementary%20mathematicsPart%20I.pdf Mason, J. & Johnston-Wilder, S. (Eds.) (2004). Fundamental Constructs in Mathematical Education . London: Routledge-Falmer and The Open University. Ministério da Educação – Direcção Geral de Inovação e Desenvolvimento Curricular [ME-DGIDC] (2007). P rograma de Matemática do Ensino Básico. Acedido Outubro 7, 2008, em http://sitio.dgidc.min-edu.pt/matematica/Documents/ProgramaMatematica.pdf Ministério da Educação – Direcção Geral de Inovação e Desenvolvimento Curricular [ME-DGIDC] (2009). Acedido em 22 de Fevereiro, 2011, em http://area.dgidc.min-edu.pt/materiais_NPMEB/home.htm National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school mathematics . Reston: NCTM. Schliemann, A., Carraher, D. & Brizuela, B. (2007). Bringing out the algebraic character of arithmetic. From children’s ideas to classroom practice. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

13. Os alunos podem ser questionados quanto à continuação da sequência, identificando alguns dos termos seguintes. Nesta situação, o professor deve atender à possibilidade de os alunos interpretarem os termos apresentados de diferentes maneiras , identificando relações entre eles e, por isso, continuarem a sequência de modos distintos. Dada a possibilidade dos alunos apresentarem sequências diferentes mas com alguns termos em comum, torna-se fundamental solicitar-lhes que apresentem o seu raciocínio e justifiquem as suas opções . Além disso, em algumas tarefas podem ser dados um ou mais termos da sequência, que não sejam termos iniciais, pedindo aos alunos para indicar termos anteriores. A auto-avaliação realizada pelos alunos é fundamental . No ponto seguinte, apresenta-se uma proposta possível a apresentar aos alunos.

14. AVALIAÇÃO DA ACTIVIDADE Agora que terminaste a tarefa, avalia individualmente a actividade e a aula em que esta foi realizada: 1. Consegui resolver a ficha de trabalho: Lendo apenas a ficha □ Com a ajuda dos colegas □ Com a ajuda da professora □ 2. As aulas decorreram: Num ambiente calmo e organizado □ Num ambiente confuso □ 3. As maiores dificuldades foram: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4. O que aprendeste nesta aula: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5. Dá a tua opinião sobre a aula: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

15. Como pudemos analisar vários aspectos do pensamento algébrico estão presentes no novo programa de matemática para o ensino básico, a generalizar a partir de 2010/2011. Enquanto no 2º ciclo existe um capítulo próprio sobre relações e regularidades, no 1º ciclo é necessário procurar em todos os temas as possíveis ligações com o desenvolvimento do pensamento algébrico: “• Resolver problemas envolvendo relações numéricas.” “• Contar a partir de um número dado, de 2 em 2, 3 em 3, 5 em 5, 6 em 6, 10 em 10.” “• Elaborar sequências de números segundo uma dada lei de formação e investigar regularidade em sequências e em tabelas de números.” “• Realizar contagens progressivas e regressivas a partir de números dados.” “• Utilizar estratégias de cálculo mental e escrito para as quatro operações utilizando as suas propriedades.” “• Investigar regularidades numéricas.” “• Resolver problemas que envolvam o raciocínio proporcional.” “• Compreender e utilizar as fórmulas para calcular a área do quadrado e do rectângulo.”  …

16. A iniciação ao estudo da álgebra pode ser facilmente integrada nos temas relativos ao sistema de numeração decimal, na aritmética dos números inteiros e no estudo das medidas, conteúdos fundamentais dos primeiros anos. É importante que os alunos compreendam a estrutura algébrica subjacente às operações aritméticas, as propriedades das operações e relações entre elas, utilizando-as em diferentes contextos e situações. Não é portanto difícil ligar a álgebra com conteúdos temáticos do programa. Além dos já referidos, pode acrescentar-se a ligação à proporcionalidade directa, aos diferentes meios de representação de dados (tabelas, gráficos de diversos tipos) ou mesmo à geometria, a partir, por exemplo, das relações numéricas que se podem estabelecer em entes geométricos, no plano ou no espaço.

17. Ao longo de todo o ensino básico, os alunos trabalham com sequências pictóricas e numéricas. Na análise de uma sequência pictórica identificam regularidades e descrevem características locais e globais das figuras que a compõem e também da sequência numérica que lhe está directamente associada. O trabalho com sequências pictóricas e com sequências numéricas finitas ou infinitas (estas últimas chamadas sucessões) envolve a procura de regularidades e o estabelecimento de generalizações. Note-se que a descrição dessas generalizações em linguagem natural já exige uma grande capacidade de abstracção. A sua progressiva representação de um modo formal, usando símbolos matemáticos adequados, contribui para a compreensão dos símbolos e da linguagem algébrica, nomeadamente a compreensão da variável como número generalizado e das regras e convenções que regulam o cálculo algébrico. Ao longo de toda a escolaridade, a análise de sequências permite aos alunos progredir de raciocínios recursivos para raciocínios envolvendo relações funcionais. Como refere o NCTM (2007), o trabalho com sequências pode constituir uma base para a compreensão do conceito de função. Note-se, ainda, que nos primeiros anos, a generalização exprime-se na linguagem natural dos alunos. As tarefas envolvendo generalizações, para além de promoverem a capacidade de abstracção, visam também desenvolver a capacidade de comunicação e o raciocínio matemático.