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Fernando Simeone
Computação
Numérica
1 1 1 1 1… …
Sumário
1. Cálculo de Funções
2. Computação Numérica
3. Operações Sequenciais
4. Criando uma Linguagem de Programação
5. Considerações Finais
Cálculo de
Funções1
Máquina de Turing
Reconhecimento de Linguagens
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0)
q0 qs
qn
q1
q2
B a c c b B B B B B B… …Entrada:
Máquina de Turing
Reconhecimento de Linguagens
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0)
q0 qs
qn
q1
q2
B a c c b B B B B B B… …
x Não aceita
✓ Aceita
Entrada:
Máquina de Turing
Cálculo de Funções
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf)
q0 qf
Fim da
computação
B a c c b B B B
Entrada:
M
Máquina de Turing
Cálculo de Funções
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf)
q0 qf
Fim da
computação
B a c c b B B B
Entrada:
B a a B B B B B
Resultado:
M
Máquina de Turing
Cálculo de Funções (Turing computáveis)
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf)
q0 qf
Fim da
computação
B a c c b B B B
Entrada:
B B B B B B B B
Resultado:
q1 q2
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
(b, b, ➞)
(b, b, ➞)
(a, a, ➞)
(a, a, ➞) (B, B, ➞)
(b, B, ➞)
(a, B, ➞)
Máquina de Turing
Cálculo de Funções
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑*
q0 qfq1 q2
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
(b, b, ➞)
(b, b, ➞)
(a, a, ➞)
(a, a, ➞) (B, B, ➞)
(b, B, ➞)
(a, B, ➞)
Máquina de Turing
Cálculo de Funções
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑*
q0 qfq1 q2
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
(b, b, ➞)
(b, b, ➞)
(a, a, ➞)
(a, a, ➞) (B, B, ➞)
(b, B, ➞)
(a, B, ➞)
• Apenas uma transição partindo do estado q0: δ(q0,B) = [qi, B, ➞];
Máquina de Turing
Cálculo de Funções
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑*
q0 qfq1 q2
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
(b, b, ➞)
(b, b, ➞)
(a, a, ➞)
(a, a, ➞) (B, B, ➞)
(b, B, ➞)
(a, B, ➞)
• Apenas uma transição partindo do estado q0: δ(q0,B) = [qi, B, ➞];
• Não há transições que retornam para q0;
Máquina de Turing
Cálculo de Funções
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑*
q0 qfq1 q2
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
(b, b, ➞)
(b, b, ➞)
(a, a, ➞)
(a, a, ➞) (B, B, ➞)
(b, B, ➞)
(a, B, ➞)
• Apenas uma transição partindo do estado q0: δ(q0,B) = [qi, B, ➞];
• Não há transições que retornam para q0;
• Não há transições na forma δ(qf,B);
Máquina de Turing
Cálculo de Funções
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑*
q0 qfq1 q2
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
(b, b, ➞)
(b, b, ➞)
(a, a, ➞)
(a, a, ➞) (B, B, ➞)
(b, B, ➞)
(a, B, ➞)
• Apenas uma transição partindo do estado q0: δ(q0,B) = [qi, B, ➞];
• Não há transições que retornam para q0;
• Não há transições na forma δ(qf,B);
• A MT com entrada u para com configuração q0
BvB se f(u) = v;
Máquina de Turing
Cálculo de Funções
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑*
q0 qfq1 q2
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
(b, b, ➞)
(b, b, ➞)
(a, a, ➞)
(a, a, ➞) (B, B, ➞)
(b, B, ➞)
(a, B, ➞)
• Apenas uma transição partindo do estado q0: δ(q0,B) = [qi, B, ➞];
• Não há transições que retornam para q0;
• Não há transições na forma δ(qf,B);
• A MT com entrada u para com configuração q0
BvB se f(u) = v;
• A MT não pára se f(u) for indefinido.
Máquina de Turing
Lendo argumentos e escrevendo resultado
Máquina de Turing
Lendo argumentos e escrevendo resultado
B a b B B B B B B B B B b a B B
• f(ab) = ba
Entrada Resultado
Máquina de Turing
Lendo argumentos e escrevendo resultado
B a b B B B B B B B B B b a B B
• f(ab) = ba
Entrada Resultado
B a b B c c B b a c B B a b B B
• f(ab, cc, bac) = ab
Entrada Resultado
Máquina de Turing
Lendo argumentos e escrevendo resultado
B a b B B B B B B B B B b a B B
• f(ab) = ba
Entrada Resultado
B a b B c c B b a c B B a b B B
• f(ab, cc, bac) = ab
Entrada Resultado
B a b B B b a c B B B B B B B B
• f(ab, λ, bac) = λ
Entrada Resultado
Cálculo de Funções
Exemplo: concatenando palavras
q0 q1
(B, B, ➞)
q2
q5
q3
q4
q6
qf
(b, b, ➞)
(a, a, ➞)
(B, B, ➞)
(a, B, ←) (B, a, ➞)
(b, B, ←) (B, b, ➞)
(B, B, ➞)
(B, B, ←)
(B, B, ←)
(b, b, ←)
(a, a, ←)
B a b B b a B
Entrada Resultado
B a b b a B B
Computação
Numérica2
Funções Numéricas
Funções Numéricas
• f: N × N × N × … × N ⟶ N
Funções Numéricas
• f: N × N × N × … × N ⟶ N
• Exemplos
Funções Numéricas
• f: N × N × N × … × N ⟶ N
• Exemplos
• sq(n) = n2
Funções Numéricas
• f: N × N × N × … × N ⟶ N
• Exemplos
• sq(n) = n2
• db(n) = 2n
Funções Numéricas
• f: N × N × N × … × N ⟶ N
• Exemplos
• sq(n) = n2
• db(n) = 2n
• add(x, y) = x + y
Representação
Como representar números na fita
Representação
• n = 1n+1
Como representar números na fita
Representação
• n = 1n+1
• 0 = 1
Como representar números na fita
Representação
• n = 1n+1
• 0 = 1
• 1 = 11
Como representar números na fita
Representação
• n = 1n+1
• 0 = 1
• 1 = 11
• 2 = 111
Como representar números na fita
Representação
Como representar números na fita
Representação
Como representar números na fita
B 1 1 1 B B B B B B B B 1 1 B B
• f(2) = 1
Entrada Resultado
Representação
Como representar números na fita
B 1 1 1 B B B B B B B B 1 1 B B
• f(2) = 1
Entrada Resultado
B 1 1 1 1 B 1 B B B B B 1 1 1 B
• f(3, 0) = 2
Entrada Resultado
Cálculo Funções Numéricas
Sucessor
q0 q1
(B, B, ➞)
qf
(1, 1, ➞)
(B, 1, ➞)
(1, 1, ←)
B 1 1 1 B B B
Entrada Resultado
B 1 1 1 1 B B
S:
• s(n) = n + 1
Cálculo Funções Numéricas
Zero
q0 q1
(B, B, ➞)
qf
(1, 1, ➞)
(B, B, ←)
B 1 1 1 B B B
Entrada Resultado
B 1 B B B B B
Z:
• z(n) = 0
q2
(1, B, ←)
(B, B, ➞) (B, 1, ←)
q3
Cálculo Funções Numéricas
Adição
q0 q1
(B, B, ➞)
qf
(1, 1, ➞)
(B, 1, ➞)
Entrada Resultado
B 1 1 1 1 B B
A:
• a(n, m) = n + m
q2
(1, 1, ➞)
(B, B, ←) (1, B, ←)
q3
(1, B, ←)
q4
(1, 1, ←)
B 1 1 B 1 1 1 B
Cálculo Funções Numéricas
Decremento
q0 q1
(B, B, ➞)
qf
(1, 1, ➞)
Entrada Resultado
B 1 1 B B B B
D:
• a(n) = n - 1
q2
(1, 1, ➞)
(1, 1, ➞)
(B, B, ←)
q3
(B, B, ←)
q4
(1, 1, ←)
B 1 1 1 B B B B
(1, B, ←)
Operações
Sequenciais3
Operações Sequenciais
Com máquinas de Turing
qs,0
qs,1
(B, B, ➞)
qs,f
(1, 1, ➞)
(B, 1, ➞)
(1, 1, ←)
S:
qz,0
qz,1
(B, B, ➞)
qz,f
(1, 1, ➞)
(B, B, ←)
Z: qz,2
(1, B, ←)
(B, B, ➞) (B, 1, ←)
qz,3
Zero
Sucessor
z(n) = 0
s(n) = n + 1
Operações Sequenciais
Com máquinas de Turing
qs,0
qs,1
(B, B, ➞)
qs,f
(1, 1, ➞)
(B, 1, ➞)
(1, 1, ←)
S:
qz,0
qz,1
(B, B, ➞)
qz,f
(1, 1, ➞)
(B, B, ←)
Z: qz,2
(1, B, ←)
(B, B, ➞) (B, 1, ←)
qz,3
Zero
Sucessor
z(n) = 0
s(n) = n + 1
Operações Sequenciais
Com máquinas de Turing
qs,1
(B, B, ➞)
qs,f
(1, 1, ➞) (B, 1, ➞)
(1, 1, ←)
qz,0
qz,1
(B, B, ➞)
qz,f
= qs,0
(1, 1, ➞)
(B, B, ←)
qz,2
(1, B, ←)
(B, B, ➞) (B, 1, ←)
qz,3
s( z(n) ) = 0 + 1 = 1
Operações Sequenciais
Com máquinas de Turing
qs,1
(B, B, ➞)
qs,f
(1, 1, ➞) (B, 1, ➞)
(1, 1, ←)
qz,0
qz,1
(B, B, ➞)
qz,f
= qs,0
(1, 1, ➞)
(B, B, ←)
qz,2
(1, B, ←)
(B, B, ➞) (B, 1, ←)
qz,3
s( z(n) ) = 0 + 1 = 1
Operações Sequenciais
Macros
*
f(n) = s( z(n) )
Z * S *F:
Operações Sequenciais
Macros
*
f(n) = s( z(n) )
Z * S *
• Nem todas as computações irão iniciar com a cabeça de leitura na
posição 0 da fita;
F:
Operações Sequenciais
Macros
*
f(n) = s( z(n) )
Z * S *
• Nem todas as computações irão iniciar com a cabeça de leitura na
posição 0 da fita;
F:
Operações Sequenciais
Macros
*
f(n) = s( z(n) )
Z * S *
• Nem todas as computações irão iniciar com a cabeça de leitura na
posição 0 da fita;
• Toda computação deve iniciar lendo o símbolo branco (B) da fita.
F:
Macros
Notação utilizada
B n1 B n2 B … B nk B
Macros
Notação utilizada
B n1 B n2 B … B nk B
k-ésimo número na fita"
(sequência de 1s)
Macros
Notação utilizada
B n1 B n2 B … B nk B
k-ésimo número na fita"
(sequência de 1s)
B 1 1 B 1 1 1 B B
Exemplo:
{
{
n1 n2
Macros
Exemplo
MRk B n1 B n2 B … B nk B
Move Right
B n1 B n2 B … B nk B
Macros
Exemplo
q0 q1
(B, B, ➞)
qf
(1, 1, ➞)
(B, B, ➞)
MR2:
(1, 1, ➞)
MRk B n1 B n2 B … B nk B
Move Right
B n1 B n2 B … B nk B
Macros
Exemplo
q0 q1
(B, B, ➞)
qf
(1, 1, ➞)
(B, B, ➞)
MR2:
(1, 1, ➞)
MRk B n1 B n2 B … B nk B
Move Right
B n1 B n2 B … B nk B
q0 q1
(B, B, ➞)
qf
(1, 1, ➞)
(B, B, ➞)
MRk:
(1, 1, ➞)
(B, B, ➞)
qk-1
(1, 1, ➞)
…
(B, B, ➞)
Macros
MRk B n1 B n2 B … B nk B
Move Right
B n1 B n2 B … B nk B
Macros
MRk B n1 B n2 B … B nk B
Move Right
B n1 B n2 B … B nk B
MLk B n1 B n2 B … B nk B
Move Left
B n1 B n2 B … B nk B
Macros
MRk B n1 B n2 B … B nk B
Move Right
B n1 B n2 B … B nk B
MLk B n1 B n2 B … B nk B
Move Left
B n1 B n2 B … B nk B
FR B B B n1 B n2 B B
Find Right
B B B n1 B n2 B B
Macros
MRk B n1 B n2 B … B nk B
Move Right
B n1 B n2 B … B nk B
MLk B n1 B n2 B … B nk B
Move Left
B n1 B n2 B … B nk B
FR B B B n1 B n2 B B
Find Right
B B B n1 B n2 B B
FL
Find Left
B BB n1 B n2 B B B BB n1 B n2 B B
Macros
MRk B n1 B n2 B … B nk B
Move Right
B n1 B n2 B … B nk B
MLk B n1 B n2 B … B nk B
Move Left
B n1 B n2 B … B nk B
FR B B B n1 B n2 B B
Find Right
B B B n1 B n2 B B
FL
Find Left
B BB n1 B n2 B B B BB n1 B n2 B B
Ek
Erase
B B B B B … B B BB n1 B n2 B … B nk B
Macros
CPYk
Copy
B n1 B n2 B … B nk B B B B B … B B B
B n1 B n2 B … B nk B n1 B n2 B … B nk B
Macros
CPYk
Copy
B n1 B n2 B … B nk B B B B B … B B B
B n1 B n2 B … B nk B n1 B n2 B … B nk B
CPYk, i
Copy
B n1 B … B nk B B nk+i… B B B … B B B
B n1 B … B nk B B nk+i… B n1 B … B nk B
Macros
CPYk
Copy
B n1 B n2 B … B nk B B B B B … B B B
B n1 B n2 B … B nk B n1 B n2 B … B nk B
CPYk, i
Copy
B n1 B … B nk B B nk+i… B B B … B B B
B n1 B … B nk B B nk+i… B n1 B … B nk B
T B B B n1 B B B B
Translate
B BBn1 B B B B
Macros
BRN
Branch on zero
B n1 B n2 B … B nk B B n1 B n2 B … B nk B
* BRN
n = 0
n > 0
*
*
INT
Interchange
B n B m B B B
* * E1 * T * MR1 * T * ML1 *CPY1,1
B m B n B B B
Utilizando outras macros
Macros
* * MR1 * * A * ML1 * A *CPY1
Exemplo de utilização
Macros
• f(n) = 3n
CPY1
Exemplo de utilização
Macros
T
*
E1 * ML1 *q
0
(B, B, ➞)
q
1
(1, 1, ➞)
q
2
(B, B, ➞)
E1
*
T
q
3
CPY1
*
q
5
q
4
ML1A *MR1 *CPY1,1
q
8
q
7
q
6
*
MULT:
(1, X, ➞)
(1, 1, ➞)
(B, B, ➞)
(B, B, ←)
(X, B, ←) (B, B, ➞)
(X, B, ←)
(1, B, ←)
(1, 1, ←)
(1, 1, ←)
(X, X, ➞)(1, X, ➞)
(1, 1, ➞)
(B, B, ➞)
Criando uma
Linguagem de
Programação
4
Arquitetura
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de
entrada
Variáveis
locais
Registradores e
espaço de trabalho
home
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início
INIT v Inicializa variável local
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início
INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início
INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início
INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início
INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início
INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de
CLEAR t Limpa o valor do registrador t
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início
INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de
CLEAR t Limpa o valor do registrador t
BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0.
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início
INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de
CLEAR t Limpa o valor do registrador t
BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0.
GOTO L Executa a instrução L.
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início
INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de
CLEAR t Limpa o valor do registrador t
BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0.
GOTO L Executa a instrução L.
NOP “No operation” (utilizada em conjunto com a instruçõ GOTO)
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início
INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de
CLEAR t Limpa o valor do registrador t
BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0.
GOTO L Executa a instrução L.
NOP “No operation” (utilizada em conjunto com a instruçõ GOTO)
INC t Incrementa o valor do registrador t.
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início
INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de
CLEAR t Limpa o valor do registrador t
BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0.
GOTO L Executa a instrução L.
NOP “No operation” (utilizada em conjunto com a instruçõ GOTO)
INC t Incrementa o valor do registrador t.
DEC t Decrementa o valor do registrador t.
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início
INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de
CLEAR t Limpa o valor do registrador t
BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0.
GOTO L Executa a instrução L.
NOP “No operation” (utilizada em conjunto com a instruçõ GOTO)
INC t Incrementa o valor do registrador t.
DEC t Decrementa o valor do registrador t.
ZERO t Substitui o valor do registrador t por 0.
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início
Instruções
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
home
Instruções
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
home
HOME t
MR t
Instruções
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
home
INIT vi
MR i - 1
ZR
ML i - 1
HOME t
MR t
Instruções
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
home
INIT vi
MR i - 1
ZR
ML i - 1
HOME t
MR t
STOR vi, t
MR t - 2
INT
ML1
INT
MR1
INT
MR 1
ER 1
ML t - 1
( )
( )
t + n - i - 1
t + n - i - 1
Instruções
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
home
INIT vi
MR i - 1
ZR
ML i - 1
HOME t
MR t
STOR vi, t
MR t - 2
INT
ML1
INT
MR1
INT
MR 1
ER 1
ML t - 1
( )
( )
t + n - i - 1
t + n - i - 1
LOAD vi, t
ML n - i + 1
CPY 1, n - i + 1 + t
MR n - i + 1
Exemplo
INIT v2
INIT v3
HOME 3
LOAD v1,1
STOR v2,1
L1 LOAD v2,1
BRN L2,1
LOAD v1,1
INC
STOR v1,1
LOAD v2,1
DEC
STOR v2,1
GOTO L1
L2 LOAD v1,1
INC
STOR v1,1
RETURN v1
Início
• f(n) = 2n + 1
Considerações
Finais5
Referências
• SUDKAMP, T. A. Languages and Machines: An
Introduction to the Theory of Computer Science
(3rd Edition). Boston, MA, USA: Addison-
Wesley Longman Publishing Co., Inc., 2005.
ISBN 0321322215.
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Computacao Numérica

  • 2. Sumário 1. Cálculo de Funções 2. Computação Numérica 3. Operações Sequenciais 4. Criando uma Linguagem de Programação 5. Considerações Finais
  • 4. Máquina de Turing Reconhecimento de Linguagens MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0) q0 qs qn q1 q2 B a c c b B B B B B B… …Entrada:
  • 5. Máquina de Turing Reconhecimento de Linguagens MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0) q0 qs qn q1 q2 B a c c b B B B B B B… … x Não aceita ✓ Aceita Entrada:
  • 6. Máquina de Turing Cálculo de Funções MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) q0 qf Fim da computação B a c c b B B B Entrada: M
  • 7. Máquina de Turing Cálculo de Funções MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) q0 qf Fim da computação B a c c b B B B Entrada: B a a B B B B B Resultado: M
  • 8. Máquina de Turing Cálculo de Funções (Turing computáveis) MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) q0 qf Fim da computação B a c c b B B B Entrada: B B B B B B B B Resultado: q1 q2 (B, B, ➞) (B, B, ➞) (b, b, ➞) (b, b, ➞) (a, a, ➞) (a, a, ➞) (B, B, ➞) (b, B, ➞) (a, B, ➞)
  • 9. Máquina de Turing Cálculo de Funções MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑* q0 qfq1 q2 (B, B, ➞) (B, B, ➞) (b, b, ➞) (b, b, ➞) (a, a, ➞) (a, a, ➞) (B, B, ➞) (b, B, ➞) (a, B, ➞)
  • 10. Máquina de Turing Cálculo de Funções MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑* q0 qfq1 q2 (B, B, ➞) (B, B, ➞) (b, b, ➞) (b, b, ➞) (a, a, ➞) (a, a, ➞) (B, B, ➞) (b, B, ➞) (a, B, ➞) • Apenas uma transição partindo do estado q0: δ(q0,B) = [qi, B, ➞];
  • 11. Máquina de Turing Cálculo de Funções MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑* q0 qfq1 q2 (B, B, ➞) (B, B, ➞) (b, b, ➞) (b, b, ➞) (a, a, ➞) (a, a, ➞) (B, B, ➞) (b, B, ➞) (a, B, ➞) • Apenas uma transição partindo do estado q0: δ(q0,B) = [qi, B, ➞]; • Não há transições que retornam para q0;
  • 12. Máquina de Turing Cálculo de Funções MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑* q0 qfq1 q2 (B, B, ➞) (B, B, ➞) (b, b, ➞) (b, b, ➞) (a, a, ➞) (a, a, ➞) (B, B, ➞) (b, B, ➞) (a, B, ➞) • Apenas uma transição partindo do estado q0: δ(q0,B) = [qi, B, ➞]; • Não há transições que retornam para q0; • Não há transições na forma δ(qf,B);
  • 13. Máquina de Turing Cálculo de Funções MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑* q0 qfq1 q2 (B, B, ➞) (B, B, ➞) (b, b, ➞) (b, b, ➞) (a, a, ➞) (a, a, ➞) (B, B, ➞) (b, B, ➞) (a, B, ➞) • Apenas uma transição partindo do estado q0: δ(q0,B) = [qi, B, ➞]; • Não há transições que retornam para q0; • Não há transições na forma δ(qf,B); • A MT com entrada u para com configuração q0 BvB se f(u) = v;
  • 14. Máquina de Turing Cálculo de Funções MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑* q0 qfq1 q2 (B, B, ➞) (B, B, ➞) (b, b, ➞) (b, b, ➞) (a, a, ➞) (a, a, ➞) (B, B, ➞) (b, B, ➞) (a, B, ➞) • Apenas uma transição partindo do estado q0: δ(q0,B) = [qi, B, ➞]; • Não há transições que retornam para q0; • Não há transições na forma δ(qf,B); • A MT com entrada u para com configuração q0 BvB se f(u) = v; • A MT não pára se f(u) for indefinido.
  • 15. Máquina de Turing Lendo argumentos e escrevendo resultado
  • 16. Máquina de Turing Lendo argumentos e escrevendo resultado B a b B B B B B B B B B b a B B • f(ab) = ba Entrada Resultado
  • 17. Máquina de Turing Lendo argumentos e escrevendo resultado B a b B B B B B B B B B b a B B • f(ab) = ba Entrada Resultado B a b B c c B b a c B B a b B B • f(ab, cc, bac) = ab Entrada Resultado
  • 18. Máquina de Turing Lendo argumentos e escrevendo resultado B a b B B B B B B B B B b a B B • f(ab) = ba Entrada Resultado B a b B c c B b a c B B a b B B • f(ab, cc, bac) = ab Entrada Resultado B a b B B b a c B B B B B B B B • f(ab, λ, bac) = λ Entrada Resultado
  • 19. Cálculo de Funções Exemplo: concatenando palavras q0 q1 (B, B, ➞) q2 q5 q3 q4 q6 qf (b, b, ➞) (a, a, ➞) (B, B, ➞) (a, B, ←) (B, a, ➞) (b, B, ←) (B, b, ➞) (B, B, ➞) (B, B, ←) (B, B, ←) (b, b, ←) (a, a, ←) B a b B b a B Entrada Resultado B a b b a B B
  • 22. Funções Numéricas • f: N × N × N × … × N ⟶ N
  • 23. Funções Numéricas • f: N × N × N × … × N ⟶ N • Exemplos
  • 24. Funções Numéricas • f: N × N × N × … × N ⟶ N • Exemplos • sq(n) = n2
  • 25. Funções Numéricas • f: N × N × N × … × N ⟶ N • Exemplos • sq(n) = n2 • db(n) = 2n
  • 26. Funções Numéricas • f: N × N × N × … × N ⟶ N • Exemplos • sq(n) = n2 • db(n) = 2n • add(x, y) = x + y
  • 28. Representação • n = 1n+1 Como representar números na fita
  • 29. Representação • n = 1n+1 • 0 = 1 Como representar números na fita
  • 30. Representação • n = 1n+1 • 0 = 1 • 1 = 11 Como representar números na fita
  • 31. Representação • n = 1n+1 • 0 = 1 • 1 = 11 • 2 = 111 Como representar números na fita
  • 33. Representação Como representar números na fita B 1 1 1 B B B B B B B B 1 1 B B • f(2) = 1 Entrada Resultado
  • 34. Representação Como representar números na fita B 1 1 1 B B B B B B B B 1 1 B B • f(2) = 1 Entrada Resultado B 1 1 1 1 B 1 B B B B B 1 1 1 B • f(3, 0) = 2 Entrada Resultado
  • 35. Cálculo Funções Numéricas Sucessor q0 q1 (B, B, ➞) qf (1, 1, ➞) (B, 1, ➞) (1, 1, ←) B 1 1 1 B B B Entrada Resultado B 1 1 1 1 B B S: • s(n) = n + 1
  • 36. Cálculo Funções Numéricas Zero q0 q1 (B, B, ➞) qf (1, 1, ➞) (B, B, ←) B 1 1 1 B B B Entrada Resultado B 1 B B B B B Z: • z(n) = 0 q2 (1, B, ←) (B, B, ➞) (B, 1, ←) q3
  • 37. Cálculo Funções Numéricas Adição q0 q1 (B, B, ➞) qf (1, 1, ➞) (B, 1, ➞) Entrada Resultado B 1 1 1 1 B B A: • a(n, m) = n + m q2 (1, 1, ➞) (B, B, ←) (1, B, ←) q3 (1, B, ←) q4 (1, 1, ←) B 1 1 B 1 1 1 B
  • 38. Cálculo Funções Numéricas Decremento q0 q1 (B, B, ➞) qf (1, 1, ➞) Entrada Resultado B 1 1 B B B B D: • a(n) = n - 1 q2 (1, 1, ➞) (1, 1, ➞) (B, B, ←) q3 (B, B, ←) q4 (1, 1, ←) B 1 1 1 B B B B (1, B, ←)
  • 40. Operações Sequenciais Com máquinas de Turing qs,0 qs,1 (B, B, ➞) qs,f (1, 1, ➞) (B, 1, ➞) (1, 1, ←) S: qz,0 qz,1 (B, B, ➞) qz,f (1, 1, ➞) (B, B, ←) Z: qz,2 (1, B, ←) (B, B, ➞) (B, 1, ←) qz,3 Zero Sucessor z(n) = 0 s(n) = n + 1
  • 41. Operações Sequenciais Com máquinas de Turing qs,0 qs,1 (B, B, ➞) qs,f (1, 1, ➞) (B, 1, ➞) (1, 1, ←) S: qz,0 qz,1 (B, B, ➞) qz,f (1, 1, ➞) (B, B, ←) Z: qz,2 (1, B, ←) (B, B, ➞) (B, 1, ←) qz,3 Zero Sucessor z(n) = 0 s(n) = n + 1
  • 42. Operações Sequenciais Com máquinas de Turing qs,1 (B, B, ➞) qs,f (1, 1, ➞) (B, 1, ➞) (1, 1, ←) qz,0 qz,1 (B, B, ➞) qz,f = qs,0 (1, 1, ➞) (B, B, ←) qz,2 (1, B, ←) (B, B, ➞) (B, 1, ←) qz,3 s( z(n) ) = 0 + 1 = 1
  • 43. Operações Sequenciais Com máquinas de Turing qs,1 (B, B, ➞) qs,f (1, 1, ➞) (B, 1, ➞) (1, 1, ←) qz,0 qz,1 (B, B, ➞) qz,f = qs,0 (1, 1, ➞) (B, B, ←) qz,2 (1, B, ←) (B, B, ➞) (B, 1, ←) qz,3 s( z(n) ) = 0 + 1 = 1
  • 45. Operações Sequenciais Macros * f(n) = s( z(n) ) Z * S * • Nem todas as computações irão iniciar com a cabeça de leitura na posição 0 da fita; F:
  • 46. Operações Sequenciais Macros * f(n) = s( z(n) ) Z * S * • Nem todas as computações irão iniciar com a cabeça de leitura na posição 0 da fita; F:
  • 47. Operações Sequenciais Macros * f(n) = s( z(n) ) Z * S * • Nem todas as computações irão iniciar com a cabeça de leitura na posição 0 da fita; • Toda computação deve iniciar lendo o símbolo branco (B) da fita. F:
  • 48. Macros Notação utilizada B n1 B n2 B … B nk B
  • 49. Macros Notação utilizada B n1 B n2 B … B nk B k-ésimo número na fita" (sequência de 1s)
  • 50. Macros Notação utilizada B n1 B n2 B … B nk B k-ésimo número na fita" (sequência de 1s) B 1 1 B 1 1 1 B B Exemplo: { { n1 n2
  • 51. Macros Exemplo MRk B n1 B n2 B … B nk B Move Right B n1 B n2 B … B nk B
  • 52. Macros Exemplo q0 q1 (B, B, ➞) qf (1, 1, ➞) (B, B, ➞) MR2: (1, 1, ➞) MRk B n1 B n2 B … B nk B Move Right B n1 B n2 B … B nk B
  • 53. Macros Exemplo q0 q1 (B, B, ➞) qf (1, 1, ➞) (B, B, ➞) MR2: (1, 1, ➞) MRk B n1 B n2 B … B nk B Move Right B n1 B n2 B … B nk B q0 q1 (B, B, ➞) qf (1, 1, ➞) (B, B, ➞) MRk: (1, 1, ➞) (B, B, ➞) qk-1 (1, 1, ➞) … (B, B, ➞)
  • 54. Macros MRk B n1 B n2 B … B nk B Move Right B n1 B n2 B … B nk B
  • 55. Macros MRk B n1 B n2 B … B nk B Move Right B n1 B n2 B … B nk B MLk B n1 B n2 B … B nk B Move Left B n1 B n2 B … B nk B
  • 56. Macros MRk B n1 B n2 B … B nk B Move Right B n1 B n2 B … B nk B MLk B n1 B n2 B … B nk B Move Left B n1 B n2 B … B nk B FR B B B n1 B n2 B B Find Right B B B n1 B n2 B B
  • 57. Macros MRk B n1 B n2 B … B nk B Move Right B n1 B n2 B … B nk B MLk B n1 B n2 B … B nk B Move Left B n1 B n2 B … B nk B FR B B B n1 B n2 B B Find Right B B B n1 B n2 B B FL Find Left B BB n1 B n2 B B B BB n1 B n2 B B
  • 58. Macros MRk B n1 B n2 B … B nk B Move Right B n1 B n2 B … B nk B MLk B n1 B n2 B … B nk B Move Left B n1 B n2 B … B nk B FR B B B n1 B n2 B B Find Right B B B n1 B n2 B B FL Find Left B BB n1 B n2 B B B BB n1 B n2 B B Ek Erase B B B B B … B B BB n1 B n2 B … B nk B
  • 59. Macros CPYk Copy B n1 B n2 B … B nk B B B B B … B B B B n1 B n2 B … B nk B n1 B n2 B … B nk B
  • 60. Macros CPYk Copy B n1 B n2 B … B nk B B B B B … B B B B n1 B n2 B … B nk B n1 B n2 B … B nk B CPYk, i Copy B n1 B … B nk B B nk+i… B B B … B B B B n1 B … B nk B B nk+i… B n1 B … B nk B
  • 61. Macros CPYk Copy B n1 B n2 B … B nk B B B B B … B B B B n1 B n2 B … B nk B n1 B n2 B … B nk B CPYk, i Copy B n1 B … B nk B B nk+i… B B B … B B B B n1 B … B nk B B nk+i… B n1 B … B nk B T B B B n1 B B B B Translate B BBn1 B B B B
  • 62. Macros BRN Branch on zero B n1 B n2 B … B nk B B n1 B n2 B … B nk B * BRN n = 0 n > 0 * *
  • 63. INT Interchange B n B m B B B * * E1 * T * MR1 * T * ML1 *CPY1,1 B m B n B B B Utilizando outras macros Macros
  • 64. * * MR1 * * A * ML1 * A *CPY1 Exemplo de utilização Macros • f(n) = 3n CPY1
  • 65. Exemplo de utilização Macros T * E1 * ML1 *q 0 (B, B, ➞) q 1 (1, 1, ➞) q 2 (B, B, ➞) E1 * T q 3 CPY1 * q 5 q 4 ML1A *MR1 *CPY1,1 q 8 q 7 q 6 * MULT: (1, X, ➞) (1, 1, ➞) (B, B, ➞) (B, B, ←) (X, B, ←) (B, B, ➞) (X, B, ←) (1, B, ←) (1, 1, ←) (1, 1, ←) (X, X, ➞)(1, X, ➞) (1, 1, ➞) (B, B, ➞)
  • 67. Arquitetura B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho home
  • 68. B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho Início
  • 69. INIT v Inicializa variável local B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho Início
  • 70. INIT v Inicializa variável local HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas. B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho Início
  • 71. INIT v Inicializa variável local HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas. LOAD v Carrega a variável B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho Início
  • 72. INIT v Inicializa variável local HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas. LOAD v Carrega a variável STOR v Armazena o valor do registrador B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho Início
  • 73. INIT v Inicializa variável local HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas. LOAD v Carrega a variável STOR v Armazena o valor do registrador RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho Início
  • 74. INIT v Inicializa variável local HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas. LOAD v Carrega a variável STOR v Armazena o valor do registrador RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de CLEAR t Limpa o valor do registrador t B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho Início
  • 75. INIT v Inicializa variável local HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas. LOAD v Carrega a variável STOR v Armazena o valor do registrador RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de CLEAR t Limpa o valor do registrador t BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0. B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho Início
  • 76. INIT v Inicializa variável local HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas. LOAD v Carrega a variável STOR v Armazena o valor do registrador RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de CLEAR t Limpa o valor do registrador t BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0. GOTO L Executa a instrução L. B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho Início
  • 77. INIT v Inicializa variável local HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas. LOAD v Carrega a variável STOR v Armazena o valor do registrador RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de CLEAR t Limpa o valor do registrador t BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0. GOTO L Executa a instrução L. NOP “No operation” (utilizada em conjunto com a instruçõ GOTO) B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho Início
  • 78. INIT v Inicializa variável local HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas. LOAD v Carrega a variável STOR v Armazena o valor do registrador RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de CLEAR t Limpa o valor do registrador t BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0. GOTO L Executa a instrução L. NOP “No operation” (utilizada em conjunto com a instruçõ GOTO) INC t Incrementa o valor do registrador t. B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho Início
  • 79. INIT v Inicializa variável local HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas. LOAD v Carrega a variável STOR v Armazena o valor do registrador RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de CLEAR t Limpa o valor do registrador t BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0. GOTO L Executa a instrução L. NOP “No operation” (utilizada em conjunto com a instruçõ GOTO) INC t Incrementa o valor do registrador t. DEC t Decrementa o valor do registrador t. B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho Início
  • 80. INIT v Inicializa variável local HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas. LOAD v Carrega a variável STOR v Armazena o valor do registrador RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de CLEAR t Limpa o valor do registrador t BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0. GOTO L Executa a instrução L. NOP “No operation” (utilizada em conjunto com a instruçõ GOTO) INC t Incrementa o valor do registrador t. DEC t Decrementa o valor do registrador t. ZERO t Substitui o valor do registrador t por 0. B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho Início
  • 81. Instruções B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho home
  • 82. Instruções B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho home HOME t MR t
  • 83. Instruções B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho home INIT vi MR i - 1 ZR ML i - 1 HOME t MR t
  • 84. Instruções B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho home INIT vi MR i - 1 ZR ML i - 1 HOME t MR t STOR vi, t MR t - 2 INT ML1 INT MR1 INT MR 1 ER 1 ML t - 1 ( ) ( ) t + n - i - 1 t + n - i - 1
  • 85. Instruções B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B … Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho home INIT vi MR i - 1 ZR ML i - 1 HOME t MR t STOR vi, t MR t - 2 INT ML1 INT MR1 INT MR 1 ER 1 ML t - 1 ( ) ( ) t + n - i - 1 t + n - i - 1 LOAD vi, t ML n - i + 1 CPY 1, n - i + 1 + t MR n - i + 1
  • 86. Exemplo INIT v2 INIT v3 HOME 3 LOAD v1,1 STOR v2,1 L1 LOAD v2,1 BRN L2,1 LOAD v1,1 INC STOR v1,1 LOAD v2,1 DEC STOR v2,1 GOTO L1 L2 LOAD v1,1 INC STOR v1,1 RETURN v1 Início • f(n) = 2n + 1
  • 88. Referências • SUDKAMP, T. A. Languages and Machines: An Introduction to the Theory of Computer Science (3rd Edition). Boston, MA, USA: Addison- Wesley Longman Publishing Co., Inc., 2005. ISBN 0321322215.