resmat

1. 1
Prof. MSc. Valtency F. Guimarães
Estática
Instituto Tecnológico, de Ciências
Sociais Aplicadas e da Saúde
Curso de Engenharia Mecânica
2
Estática
Bibliografia Recomendada
Bibliografia BBibliografia Báásica:sica:
HIBBELER, R.C. Estática - Mecânica para Engenharia. São Paulo: Pearson Education do Brasil,
2005.
MERIAM, J. L. Mecânica Estática. 2ª Edição. Traduzido por Frederico Felgueiras Gonçalves e
José Rodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1989.
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. São Paulo:
McGrawHill, 2006.
SHAMES, I. Estática Mecânica para Engenharia. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2002.
Bibliografia Complementar:Bibliografia Complementar:
ARFKEN, G. B. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física.
Traduzido por Arlete Simille Marques. 1ª Edição. Rio de Janeiro: Campus, 2007.
GIUDICE N,; Luciano D. Física 1 Mecânica: Cinemática, Dinâmica, Estática, Hidrostática,
Hidrodinâmica. Rio De Janeiro: FTD, 1985.
CALÇADA, C. S.; SAMPAIO, J. L. Física Clássica Dinâmica, Estática e Hidrostática. São
Paulo: Atual, 1985.
Prof. MSc. Valtency F. Guimarães

2. 3
Princípios da Dinâmica
1. Definição de Mecânica
2. Conceitos Fundamentais
3. Unidades de Medida
Unidades de Base do SI
Definição das Unidades de Base
Unidades derivadas do SI
Múltiplos e Submúltiplos
Estática
Introdução - Dinâmica
4
1. Definição de Mecânica
Introdução
A mecânica pode ser definida como o ramo das ciências físicas que
estuda o estado de repouso ou de movimento de corpos sujeitos à ação
de forças. Normalmente o estudo da mecânica é dividido em três
partes: a mecânica dos corpos rígidos, a mecânica dos corpos
deformáveis e a mecânica dos fluidos.
A mecânica dos corpos rígidos divide-se em duas áreas: estática e
dinâmica.
A estática tem por finalidade o estudo do equilíbrio de um corpo em
repouso ou em movimento com velocidade constante.
A dinâmica preocupa-se com o estudo do movimento de corpos sob a
ação de forças, ou seja, movimento acelerado dos corpos.

3. 5
Observações
Introdução
A Mecânica é uma ciência física, pois trata de fenômenos físicos.
Entretanto, alguns associam a Mecânica com a Matemática, enquanto
muitos a consideram assunto de Engenharia. Ambos os pontos de vista
são justificáveis em parte. A Mecânica é o fundamento da maioria das
ciências de Engenharia e é um pré-requisito indispensável a seus
estudo.
Apesar de a estática poder ser considerada um caso especial da
dinâmica, no qual a aceleração é nula, ela merece tratamento separado
no estudo da engenharia, uma vez que muitos objetos são
desenvolvidos com o intuito de que se mantenham em equilíbrio.
6
Antes de iniciar o estudo da mecânica, é importante compreender o
significado de alguns conceitos e princípios fundamentais.
Quantidades básicas
ComprimentoComprimento. grandeza essencial que localiza a posição de um ponto
no espaço. A partir do comprimento é possível descrever com exatidão
a dimensão de um sistema físico.
TempoTempo. é a medida da sucessão de eventos e é considerado uma
quantidade absoluta. Apesar de os princípios da estática serem
independentes do tempo, essa quantidade desempenha importante papel
no estudo da dinâmica.
Introdução
2. Conceitos Fundamentais

4. 7
MassaMassa. é uma propriedade da matéria pela qual se pode comparar a
ação de um corpo com a de outro. Essa propriedade se manifesta como
uma atração da gravidade entre dois corpos e fornece a medida
quantitativa da resistência da matéria à mudança de velocidade.
ForForççaa. Pode ser definida como a ação de um corpo sobre outro corpo.
Essa interação pode ocorrer quando há contato direto entre os dois
corpos ou pode ocorrer à distância, quando os corpos estão fisicamente
separados. A força é caracterizada por seu ponto de aplicação, sua
intensidade, direção e sentido; uma força é representada por um vetor.
Introdução
Conceitos Fundamentais
8
Introdução
Conceitos Fundamentais
Idealizações
Ponto MaterialPonto Material (partícula). é um corpo cujas dimensões são
desprezíveis. É pois um corpo que em uma situação específica pode ser
considerado como um ponto geométrico, no que diz respeito às suas
dimensões, o que simplifica o estudo, uma vez que a geometria do
corpo não será envolvida na análise do problema.
Corpo RCorpo Ríígidogido. é um sistema constituído de partículas agregadas de um
modo tal que a distância entre as várias partes que constituem o corpo
(ou o sistema) não varia com o tempo (não mudam), ou seja, as
distâncias entre as várias partes que compõem o corpo são
rigorosamente constantes. Não apresenta nenhuma deformação relativa
entre suas partes.

5. 9
Introdução
Conceitos Fundamentais
ForForçça Concentradaa Concentrada. Representa o efeito de uma carga admitida como
atuando em um ponto do corpo. Um exemplo seria a força de contato
entre uma roda e o terreno.
As três Leis do Movimento de Newton
Primeira lei de Newton ouPrimeira lei de Newton ou PrincPrincíípio dapio da InInéérciarcia -- na ausência de forças
externas, um objeto em repouso permanece em repouso, e um objeto
em movimento permanece em movimento.
Segunda lei de Newton ouSegunda lei de Newton ou PrincPrincíípio Fundamentalpio Fundamental da Dinâmicada Dinâmica-- a
força aplicada a um objeto é igual à massa do objeto multiplicado por
sua aceleração.
10
Introdução
Conceitos Fundamentais
Terceira lei de Newton ouerceira lei de Newton ou PrincPrincíípio da apio da açção e reaão e reaççãoão -- sse um objeto
exerce uma força sobre outro objeto, este outro exerce uma força de
mesma intensidade, de mesma direção e em sentido oposto.
A segunda lei de Newton é básica para a maioria das análises em Mecânica.
Quando aplicada a uma partícula de massa m pode ser fixada como:
F = ma (ou de outra forma )
onde F é a força resultante que atua sobre a partícula e a é a aceleração
resultante.
A primeira lei de Newton é uma consequência da segunda, desde que não
haja nenhuma aceleração quando a força é zero, e a partícula esteja em
repouso ou move-se a velocidade constante.
A terceira lei é básica para a compreensão de força. Ela estabelece que as
forças sempre ocorrem em pares de igualdade e são opostas, sem observar-se
a sua origem, e permanece válida para todo instante do tempo durante o qual
as forças atuam.
amF
rr
=

6. 11
Lei de Newton de Atração da Gravidade
diz que dois objetos quaisquer se atraem gravitacionalmente por meio
de uma força que depende das massas desses objetos e da distância que
há entre eles.
Dados dois corpos de massa m1 e m2, a uma distância d entre si, esses dois
corpos se atraem mutuamente com uma força que é proporcional à massa
de cada um deles e inversamente proporcional ao quadrado da distância
que separa esses corpos. Matematicamente:
onde:
F é a força mútua de atração entre os dois corpos;
G é constante gravitacional universal;
m1 e m2 são as massas dos corpos que se atraem entre si; e
r é a distância entre os dois corpos.
Introdução
2
21
r
mm
GF =
Conceitos Fundamentais
12
PesoPeso
É a força gravitacional de atração exercida sobre um corpo pela Terra
e depende da posição do corpo em relação à Terra. Esta força existe
estando o corpo em repouso ou em movimento:
Todo objeto que é deixado cair no vácuo numa dada posição, na
superfície terrestre, terá a mesma aceleração g:
onde: MT é a massa da Terra e r o seu raio.
A aceleração devida à gravidade, quando determinada pela lei gravitacional, é
a aceleração de um grupo de eixos de referência com origem no centro da
Terra, porém não girando com a mesma. g = 9,824 m/s2
Introdução
2
r
GM
g T
=
Conceitos Fundamentais
2
r
GmM
W T
=

7. 13
A variação de g com a altitude pode ser determinada pela lei
gravitacional. Se g0 apresenta a aceleração absoluta devido à gravidade
ao nível do mar, o valor absoluto numa altitude h é:
onde r é o raio da Terra.
A massa m de um corpo pode ser calculada pelo resultado de uma
experiência gravitacional. Se a força gravitacional de atração ou peso
verdadeiro de um corpo for W, para uma aceleração absoluta g, tem-se:
W = m.g
Introdução
2
2
0
)( hr
r
gg
+
=
Observação
14
Nos últimos anos, todos os países do mundo vêm adotando o SistemaSistema
Internacional de UnidadeInternacional de Unidade - SI - para todos os trabalhos de Engenharia e
científicos.
Unidades de Base do SI – São sete unidades bem definidas que, por
convenção são tidas como dimensionalmente independentes:
Introdução
3. Unidades de Medida

8. 15
metrometro (m):(m): é o caminho percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo
de tempo de 1/299.792.458 de um segundo.
quilogramaquilograma (Kg):(Kg): é igual à massa do protótipo internacional, feito com
uma liga platina-irídio, dentro dos padrões de precisão e confiabilidade
que a ciência permite.
segundosegundo (s):(s): é a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação
correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do átomo de
césio-133, no estado fundamental.
ampampéérere (A):(A): é uma corrente constante que, se mantida em dois condutores
retilíneos e paralelo, de comprimento infinito e seção transversal
desprezível, colocados a um metro um do outro no vácuo, produziria entre
estes dois condutores uma força igual a 2x10-7 N, por metro de
comprimento.
Introdução
Definição das Unidades de Base
16
kelvinkelvin (K):(K): é a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto
triplo da água.
molmol (mol):(mol): é a quantidade de matéria de um sistema que contém tantas
entidades elementares quantos forem os átomos contidos em 0,012 Kg de
carbono-12.
candelacandela (cd(cd): é a intensidade luminosa, em uma determinada direção, de
uma fonte que emite radiação monocromática de frequência 540x1012 hertz
e que tem uma intensidade radiante naquela direção de 1/683 W/sr.
Unidades derivadas do SI
São formadas pela combinação de unidades de base e outras unidades
derivadas, de acordo com as relações algébricas que relacionam as
quantidades correspondentes. Os símbolos para as unidades derivadas são
obtidos por meio dos sinais matemáticos de multiplicação e divisão e o uso de
expoentes. Algumas unidades SI derivadas têm nomes e símbolos especiais.
Introdução

9. 17
Introdução
Unidades derivadas do SI
18
Introdução
Unidades derivadas do SI

10. 19
Introdução
Unidades derivadas do SI
20
Introdução
Múltiplos e Submúltiplos

11. 21
Vetores Força
1. Escalares e Vetores
Representação de uma Grandeza Vetorial
2. Operações Vetoriais
Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar
Adição Vetorial
Subtração Vetorial
Decomposição de Vetores
3. Adição de Forças Vetoriais
Exercícios
Atividades
Estática
Vetores - Força
22
1. Escalares e Vetores
Vetores - Força
EscalarEscalar. uma quantidade caracterizada por um número positivo ou
negativo.
Exemplos: tempo, volume, massa, densidade...
VetorVetor. uma quantidade que tem intensidade e direção.
Exemplos: posição, momento, força...
O vetorO vetor éé representado geralmente por uma letra com uma flecha sobre ela,representado geralmente por uma letra com uma flecha sobre ela,
como em ; empregacomo em ; emprega--se tambse tambéém a letra em negrito (m a letra em negrito (FF); sua intensidade, que); sua intensidade, que éé
sempre uma quantidade positiva, sersempre uma quantidade positiva, seráá representada em itrepresentada em itáálicolico FF..
AssimAssim V = V1 + V2 representa o vetor soma de dois vetores, enquantorepresenta o vetor soma de dois vetores, enquanto
S = S1 + S2 representa a soma de dois escalares.representa a soma de dois escalares.
F
r

12. 23
Representação de uma Grandeza Vetorial
Vetores - Força
Uma grandeza vetorial pode ser representada graficamente por uma
seta, que é utilizada para definir seu módulo, sua direção e seu sentido.
Graficamente o módulo de um vetor é representado pelo comprimento
da seta, a direção é definida através do ângulo formado entre um eixo
de referência e a linha de ação da seta e o sentido é indicado pela
extremidade da seta.
A figura mostra a representação gráfica
de dois vetores força atuando ao longo
dos cabos de fixação de um poste. O
ponto O é chamado de origem do vetor
e o ponto P representa sua extremidade
ou ponta.
24
Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar
O produto do vetor A pelo escalar a, dando aA, é definido como o vetor
de intensidadeintensidade |aA|. O sentidosentido de aA é o mesmo de A, desde que a seja
positivo, e é oposto a A, se a for negativo.
A divisão de um vetor é definida usando-se as leis da multiplicação,
visto que A/a = (1/a)A, com a ≠ 0.
2. Operações Vetoriais
Vetores - Força

13. 25
Adição Vetorial
Dois vetores A e B, tais como uma força ou posição podem ser
somados para formar um vetor resultanteresultante R = A + B usando-se a lei do
paralelogramo. Para isso, A e B são unidos em suas origens. Retas
paralelas desenhadas a partir da extremidade de cada vetor interceptam-
se em um ponto comum, formando os lados adjacentes de um
paralelogramo. A resultante R é a diagonal do paralelogramo que vai
das origens de A e B à intersecção das retas desenhadas.
Operações Vetoriais
Vetores - Força
26
Operações Vetoriais
Vetores - Força
Dois vetores A e B, tais como uma força ou posição podem ser
somados para formar um vetor resultanteresultante R = A + B usando-se a lei do
paralelogramo. Para isso, A e B são unidos em suas origens. Retas
paralelas desenhadas a partir da extremidade de cada vetor interceptam-
se em um ponto comum, formando os lados adjacentes de um
paralelogramo. A resultante R é a diagonal do paralelogramo que vai
das origens de A e B à intersecção das retas desenhadas.

14. 27
Operações Vetoriais
Vetores - Força
Subtração Vetorial
A resultante diferença entre dois vetores A e B do mesmo tipo pode ser
expressa como:
R = A – B = A + (-B)
A subtração é definida, portanto, como um caso especial de adição, de
modo que as regras da adição vetorial também se aplicam à subtração
vetorial.
28
Decomposição de Vetores
Um vetor pode ser decomposto em dois componentescomponentes que têm linhas de
ação conhecidas usando-se a lei do paralelogramo.
Se R for decomposto nos componentes que atuam ao longo das retas a e b, um
começa na origem de R e estende-se em uma reta paralela a a até interceptar
b. Do mesmo modo, desenha-se uma reta paralela a b a partir da origem de R
até o ponto de intersecção com a.
Os dois componentes A e B são então traçados de modo que se estendam da
origem de R até os pontos de intersecção.
Operações Vetoriais
Vetores - Força

15. 29
Como uma força é uma quantidade vetorial, uma vez que tem
intensidade, direção e sentido especificados, sua soma é feita de acordo
com a lei do paralelogramo.
3. Adição de Forças Vetoriais
Vetores - Força
30
Vetores - Força
Dois problemas comuns em estática são a determinação da força
resultante, conhecendo-se seus componentes, e a decomposição de uma
força conhecida em dois componentes. Ambos os problemas requerem a
aplicação da lei do paralelogramo.
Se a soma envolve mais de duas forças, é preciso realizar aplicações
sucessivas da lei do paralelogramo a fim de obter a força resultante. Por
exemplo, se três forças F1, F2, F3 atuam sobre o ponto O, determina-se a
resultante de duas forças quaisquer e depois se adiciona essa resultante à
terceira força, obtendo-se a resultante das três forças.

16. 31
Praticamente todos os problemas envolvendo os conceitos de soma e
subtração vetorial, bem como a determinação das componentes de um
vetor podem ser resolvidos a partir das leis dos senosleis dos senos e dos cossenoscossenos,
que representam propriedades fundamentais da trigonometria:
Dado um triângulo ABC e seus ângulos internosDado um triângulo ABC e seus ângulos internos αα,, ββ ee γγ,, a lei dos senosa lei dos senos éé
definida da seguinte forma:definida da seguinte forma: ““Em todo triângulo, as medidas dos seus lados sãoEm todo triângulo, as medidas dos seus lados são
proporcionais aos senos dos ângulos dos lados opostosproporcionais aos senos dos ângulos dos lados opostos””..
Vetores - Força
A partir do mesmo triângulo ABC e seus ângulos internosA partir do mesmo triângulo ABC e seus ângulos internos αα,, ββ ee γγ,, a lei dosa lei dos
cossenoscossenos éé definida do seguinte modo:definida do seguinte modo: ““Num triângulo, o quadrado da medidaNum triângulo, o quadrado da medida
de um ladode um lado éé igualigual àà soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menossoma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos
o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno doo dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ânguloângulo
oposto ao primeiro ladooposto ao primeiro lado””..
32
O vetor força resultante de um sistema de várias forças concorrentes pode
ser determinado como uma extensão da regra do triângulo, combinando-
se os vetores força originais na sequência ponta-a-cauda e, em seguida,
unindo-se a cauda do primeiro desenhado à ponta do último desenhado.
Vetores - Força
A ordem da combinaA ordem da combinaçção dos vetores originais não altera a forão dos vetores originais não altera a forçça resultante (aa resultante (a
soma de vetoressoma de vetores éé comutativa).comutativa).
Este método é conhecido como regra do polregra do políígono.gono.
Observação

17. 33
1. O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2.
Determine o módulo e a direção da força resultante.
Exercícios
Vetores - Força
34
Resolução
Construir um esquema aplicando a
regra do paralelogramo de forma a
identificar quais são as incógnitas do
problema.
Vetores - Força
A partir do paralelogramo obtido na
figura, pode-se construir o triângulo
de vetores.
Aplicando-se a lei dos cossenos
determina-se o módulo da força
resultante FR.
O ângulo α é determinado a partir da
lei dos senos, utilizando-se o valor
calculado para FR.
Com relação ao eixo x positivo, o
ângulo θ é dado por:

18. 35
2. Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com
problemas em seus motores. Sabendo-se que a força resultante é igual a
30 kN, encontre sua componentes nas direções AC e BC.
Exercícios
Vetores - Força
36
Resolução
A partir da regra do paralelogramo,
deve-se construir um triângulo
envolvendo as forças atuantes nos
cabos CA e CB e a força resultante,
de forma a identificar as incógnitas
do problema.
Vetores - Força
Resolvendo para FCA tem-se:
A partir da aplicação da lei dos
senos, pode-se determinar os
módulos das forças atuantes em cada
um dos cabos CA ou CB:
Resolvendo para FCB tem-se:

19. 37
3. O parafuso tipo gancho mostrado na figura está sujeito a duas forças
F1 e F2. Determine a intensidade (módulo) e a direção da força
resultante.
Exercícios
Vetores - Força
38
Resolução
Pela regra do paralelogramo
identifica-se as incógnitas FR e o
ângulo θ.
Vetores - Força
Aplicando-se a lei dos cossenos
determina-se o módulo da força
resultante FR.
O triângulo de
vetores pode ser
construído:
O ângulo θ é determinado aplicando-
se a lei dos senos, usando-se o valor
calculado de FR.
A direção de FR medida a partir da
horizontal é:

20. 39
1. Determine a intensidade da força resultante FR = F1 + F2 e indique
sua direção medida no sentido anti-horário, em relação ao eixo x
positivo.
R: 867 N; 108º
Atividades
Vetores - Força
40
2. Determine a intensidade da força resultante e indique sua direção,
medida no sentido horário, em relação ao eixo u positivo.
R: 605 N; 85,4º
Vetores - Força

21. 41
3. A chapa está submetida a duas forças FA e FB como mostra a figura.
Se θ = 60 º, determine a intensidade da força resultante e sua direção
em relação ao eixo horizontal.
R: 10,8 kN; 3,16º
Vetores - Força
42
4. A caminhonete mostrada é rebocada por duas cordas. Determine os
valores de FA e FB de modo a produzir uma força resultante de 950 N
orientada no eixo x positivo, considere θ = 50 º.
R: 774N; 346 N
Vetores - Força

22. 43
5. Duas forças são aplicadas ao olhal a fim de remover a estaca
mostrada. Determine o ângulo θ e o valor da força F de modo que a
força resultante seja orientada verticalmente para cima no eixo y e tenha
uma intensidade de 750 N.
R: 18,6º; 319 N
Vetores - Força
44
Vetores - Força
6. A tora de madeira é rebocada pelos dois tratores como mostrado na
figura. Sabendo-se que a força resultante é igual a 10 kN e está
orientada ao longo do eixo x positivo, determine a intensidade das
forças FA e FB.
Considere θ = 15 º
R: 3,66 kN; 7,07 kN

23. 45
7. Utilizando a trigonometria, determine o módulo e a direção da
resultante das duas forças aplicadas no gancho da figura abaixo.
R: 414N; 72º
Vetores - Força