Cap3 trabajo y energía

Cuaderno de Actividades: Física I
3) Trabajo y Energía
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
68

3) Trabajo y Energía
3,1) Trabajo de una fuerza, F
w
r
{
B
A
r
F
A B r
W F dr
τ
τ
→ ×≡ ∫
rr
r
1
r r
4243
El trabajo de una fuerza F
w es una integral de línea a través de la τ.
El F
w dependerá del conocimiento de ( )F F r≡
r r
en cada punto de la τ, el
vector dr
r
es un desplazamiento elemental. Como toda integral de línea se
deberá parametrizar τ.
El F
w se puede “entender” como la evaluación total del efecto de la fuerza F
en el desplazamiento del cuerpo.
CASO PARTICULAR: F cte≡
uurr
.F
A B ABW F r
τ
→ ≡ ∆
r r r
A
F
r
τ
B
m ABr∆
r
dr
r
69

W → + ,Si F // ∆ ABr
r
W → 0 ,Si F ⊥ ∆ ABr
r
W → - ,Si F//  ∆ ABr
r
µ[W] ≡ Nm ≡ Joule ≡ J
3,2) Energía, E
Es la capacidad que posee un cuerpo o sistema para realizar trabajo.
Tipos de Energía:
i) Energía Cinética, Ek
Energía vinculada a la velocidad que poseen los cuerpos.
F⊥ F
θ
F//
A B
∆rAB
v
r
m
0
70

21
2
kE mv=
ii) Energía Potencial, Ep
Energía asociada a la configuración del sistema para la cual se define.
Es una energía que corresponde al sistema. Depende de cómo están
distribuidos los elementos del sistema.
i) Ep Gravitacional: Epg
1 2
pg
G m m
E
r
−
=
Caso Particular de Epg:
→ pgE mgh=
m2
r
m1
m
h
NIVEL
71

∆Ep: √; El nivel es irrelevante!
ii) Ep Elástica, Epe
→ Sistema Elásticos
→ Sistema m – k ideal
Configuración del sistema: x{x deformación del resorte)
21
2
peE kx≡
∆Epe: Nuevamente la cantidad importante son los cambios de esta energía, con
lo cual la referencia no es importante.
Es posible lograr una ecuación similar de Epe para todo sistema elástico.
iii) Energía Mecánica, EM
Es la energía constituida por la energía cinética y la energía potencial de una
partícula. Observar que no es una energía que describa alguna propiedad de la
partícula. Resulta una definición conveniente, como veremos.
PE: Posición de equilibrio
k
m F
0 x
m
x x
72

M K P
KT KR pg pe
E E E
E E E E
≡ +
≡ + + +
3.3) Relaciones entre W y E, R ≡ R (W,E)
El trabajo y la energía están íntimamente conectados, reflejándose dicha
conexión en sendas relaciones comparables a la Segunda Ley de Newton por
un lado, y a Leyes de Conservación, por otro.
i) ( ),RF
KR R W E≡
r
Esta relación es una forma elegante de la Segunda ley de Newton.
2
1
1 2 .
FR r
Rr
W F dr→ ≡ ∫
r
r r
12
*
. .
FR dv dv
W m dr m dr
dt dt
 
≡ ≡ 
 
∫ ∫
r r r
r r
14243
ˆˆ ˆx y zv v i v j v k= + +
r
ˆˆ ˆdr dxi dyj dzk= + +
r
(*) { }ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ.
yx z
dvdv dv
i j k dxi dyj dzk
dt dt dt
 
= + + + + 
 
∫
yx z
dvdv dv
dx dy dz
dt dt dt
α
 
 
= + + 
 
 
∫ 123
x
y
z
dx v dt
dy v dt
dz v dt
=

¬ =
 =
73

2 21 1
2 2
x
x x x
dv d
v dt v dt v
dt dt
α
   
→ = =   
  
∫ ∫
Y por simetría operacional,
{ }2 2 2 21 1
2 2
x y zv v v v≡ + + ≡
2
12
1
2
.
1
2
FR dv
W m dr
dt
m v 
≡ ≡ 
 
 
∫  
 
r r
r
2
1k kE E= = ∆
RF
kW E→ = ∆
r
FK
k RW E F ma= ∆ ↔ =
r r r
ii) R = R (WFNC
, ∆EM)
Esta relación muestra como las Fnc son capaces de cambiar la EM mostrando
claramente su carácter no conservativo. Sin embargo, esto proporcionara las
condiciones para que dicha energía se conserve.
Fnc = Fuerza no conservativa: Esta fuerza no conserva la EM.
NCF
W
r
= Trabajo de la Fnc
∆Q; ∆EM
50 J de Ek a 50J de Q (forma de energía no mecánica)
74

Conoceremos mejor a estas fuerzas mediante las Fc: Fuerzas conservativas.
Fc = Son fuerzas que conservan la EM.
Están definidas por Fc = - ∇U
∇: Operador Nabla
U: Función potencial escalar
U = Ep (Energía Potencial)
Toda Fc tendrá asociada una energía potencial: Fc ↔ Ep
cF
r
pE
Fg ≡ W Epg
Felásticas Epe
Esto debe ser así debido a que el rotor del gradiente siempre es nulo, lo cual
significa que el trabajo de estas fuerzas, en cualquier trayectoria cerrada,
siempre es cero,
( ) ( ) 0 ( ) 0F U U U∇× = ∇× −∇ ≡ −∇× ∇ = → ∇× ∇ =
r rr
El operador nabla se define así,
ˆˆ ˆd d d
i j k
dx dy dz
 
∇ ≡ + + 
 
Ahora, si una fuerza es conservativa, cF F=
r r
, entonces, deberá satisfacer de
la condición de rotor nulo,
y yx x z z
F FF F F F
y x z x z y
∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
≡ ≡ ≡
∂ ∂ ∂
∧ ∧
∂ ∂ ∂
Esto es, la fuerza ˆˆ ˆx y zF F i F j F k= + +
r r r r
deberá de cumplir simultáneamente
las tres ecuaciones en derivadas parciales cruzadas.
75

Otra forma equivalente de identificar a las fuerzas conservativas ( )cF
r
es
mediante la independencia de su W según cualquier trayectoria τ.
2
1
1 2
.
r
cr
FWF dr cte
τ∀
→
≡ ≡∫
r
r
rr r
Finalmente, podríamos decir según la definición de estas fuerzas, que el
CF
pW E≡ −∆
r
, ecuación que será muy útil para efecto de determinar
relaciones importantes.
Regresando a la FNC:
→ No están definidas por la ecuación Fnc = - ∇U
→ ∃ pU E= asociada
NCF
W→ depende de la τ
NCF
W→ no es evaluable por la ecuación NCF
pW E≡ −∆
r
De todo lo anterior,
1 Fc
τ1
τ2 2
τ3
76

NCF
MW E≡ ∆
¿? Probar esta relación partiendo de la primera relación donde la
R c ncF F F= +
r r r
.
Conservación de la EM: Para que la energía mecánica se conserve,
0 0NCF
ME W∆ ≡ → ≡
→ ∃ NCF ∨
r
→ Mi MfE E≡
En general,
Como NCF
M Mf MiW E E E≡ ∆ ≡ − , entonces,
NCF
Mf MiE E W≡ +
3,4) Potencia, P
NCF
r
∆r
77

Es la cantidad física escalar que informa la rapidez de realizar trabajo o
energía.
i) Potencia media, PM:
m
W
P
t
=
∆
ii) Potencial Instantánea, P:
( ) 0
lim
t
W dW
P t
t dt∆ →
 
≡ = 
∆ 
( ) .P t F v≡
r r
[ ]
J
u P watt W
s
= = ≡
( )v t
r
( )F t
r
78

S3P18) Una pequeña piedra de 0,10 kg se deja en
libertad desde su posición de reposo en el
punto A, en el borde de un tazón hemisférico
de radio R = 0,60 m. Suponga que la piedra es
pequeña en comparación con R, así que
puede tratarse como una partícula. El trabajo
efectuado por la fricción sobre la piedra al
bajar de A y B en el fondo del tazón es –0,22
J,¿Qué rapidez tiene la piedra al llegar a B?,
SOLUCION:
w = 0,1 R = 0,6 VB =?
w
r
: fuerza conservativa
A R
V
B
A R R
nivel m
B Bv
r
N f
r
w
r
79

f, N : fuerzas no conservativas.
WFnc
= ∆EM, FNC ≡ f
f
A B MB MAW E E→ = −
r
EM = Ek + Epg
21
2
f
A B kB pgA BW E E mv mgR→ = − = −
r
( ) ?
2
¿f
B A Bv W mgR
m
→= + ≡
r
¿? Se podrá resolver usando RF
kW E≡ ∆
r
2 RF
B A Bv W
m
→=
r
RF w N
W W W= +
r rr
f
W+
r
↓
.w
w w r wR≡ ∆ =
r r r
¿
2
?RF
B A Bv W
m
→= ≡
r
S3P1) Sobre una partícula actúa la fuerza ( ) ( ) jzyyzxizyxzyxF ˆ23ˆ23,, 



 ++≡
r
N:
a) ¿Es F
r
una fuerza conservativa?
b) Si a) es afirmativo, halle la función potencial escalar, U (x,y,z).
c) Halle la energía potencial si para un problema particular U (1,0,1) ≡ 1.
d) ¿El movimiento es en el plano? Discuta.
SOLUCION:
80

( ) ( ) { } { }2 2ˆ ˆ, , 3 3
x yF F
F r F x y z xy z i x yz zy j= = + +
r r
14243 14243
a) cF F→
r r
?
0F∇× =
rr
derivadas parciales cruzadas
y yx x z z
F FF F F F
y x z x z y
∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
= ∧ = ∧ =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
6xyz = 6xyz ∧ 3xy2
≠ 0…La ultima ecuación no es correcta…la fuerza es no
conservativa!
¿? Como modifica el problema para que F sea conservativa y terminar el
problema.
S3P2) Dado el siguiente campo de fuerzas,
( ) ( ) ( ) ( )kzzjyixxzyxF ˆˆ12ˆ,, 32
+++++≡
r
,
a) Demuestre que el campo de fuerzas es conservativo.
b) Halle la energía potencial asociada para U (1,1,1) ≡ 0.
c) De una curva de energía potencial que represente un caso físico
concreto.
SOLUCION:
( ) ( ) ( ) ( )2 3 ˆˆ ˆ, , 2 1F x y z x x i y j z z k≡ + + + + +
1424314243 14243
a) 0 0
Fx Fy
y x
∂ ∂
≡ → ≡
∂ ∂
, 0 0
Fx Fz
z x
∂ ∂
≡ → ≡
∂ ∂
, 0 0
Fy Fz
z y
∂ ∂
≡ → ≡
∂ ∂
{ } /c pF F U E F U→ ∴∃ ≡ ≡ −∇
r
b) U ≡ U(x,y,z)
F ≡ Fc ≡ - ∇U
81

. .F dr U dr≡ −∇
r r
123
ˆˆ ˆU U U
U i j k
x y z
∂ ∂ ∂
∇ ≡ + +
∂ ∂ ∂
ˆˆ ˆdr dxi dyj dzk∧ = + +
r
.
U U U
U dr dx dy dz dU
x y z
∂ ∂ ∂
∇ ≡ + + ≡
∂ ∂ ∂
r
.F dr dU≡ −
r r
: .U F dr≡ −∫ ∫
r r
Para determinar U se puede integrar F
r
tal como lo indica la Ec
anterior,
{ }x y zU F dx F dy F dz≡ − + +∫
Analizando la ∫ por cada componente e introduciendo una “cte” funcional en
cada caso:
:x U Fxdx≡ −∫
{ } ( )
3 2
2
,
3 2
x
x x
U x x dx c y z
 
≡ − + ≡ − + + 
 
∫
: yy U F dy≡ −∫
{ } { } ( )2
2 1 ,yU y dy y y c x z≡ − + ≡ − + +∫
: zz U F dz≡ −∫
{ } ( )
4 2
3
,
4 2
z
z z
U z z dz c x y
 
≡ − + ≡ − + + 
 
∫
Ahora, comparando los resultados parciales, se obtiene,
82

{ } ( )
3 2 4 2
2
( , , ) , ,
3 2 4 2
p
x x z z
U x y z y y c E x y z
   
≡ − + − + − + + ≡   
   
ˆˆ ˆc x y zF U F i F j F k→ ≡ −∇ ≡ + +
r
Donde la constante c se determina por la condición que caracteriza al problema
físico, Ep (1,1,1) ≡ 0
{ }
1 1 1 1
1 1
3 2 4 2
c
   
≡ + + + + +   
   
Ep ≡ (x,y,z) / c ≡ 43/12
c) c1) Ep de un núcleo atómico
c2) Ep de sistema m - k
Ep
0 R r
83

c3) Ep de sistema planetario o sistema atómico
¿? Podría proponer dos curvas más de Ep.
Ep
-A A x
Ep
r
84

S3P34) El cuerpo A que pesa 4 kg se suelta
desde el reposo sobe una superficie
circular lisa AB para después moverse
sobre la superficie horizontal BC, cuyo
coeficiente de rozamiento es µ = 0,2.
En el punto C está colocado un
resorte de constante k = 103
N/m:
a) Halle la normal sobre el cuerpo al pasar por B.
b) ¿Cuánto se comprime el resorte?
SOLUCION:
m = 4 AB = liso k = 103
VA = 0 BC = rugoso µ = 0,2
a) NB=?
DCL (m) al pasar por B,
2
B
cp B
mv
F N w
R
≡ − =
A
k 8 m
C
D 12 m B
0 A
k
0 B
0
Fcp
w
B
NB
85

2
,B
B
v
N w m w mg
R
= + =
?Bv =
Analizando de A → B: WFnc
≡ 0, Fnc = N
→EmA ≡ EmB
2 21
2
2
MA A MB B BE Epg mgR E mv v gR≡ ≡ ≡ ≡ → ≡
2
3B
gR
N mg mx mg
R
≡ + =
b) Sea la compresión dada por DE, DE=∆x?
: ; NCF f
NC MD E F f W E=
− ∃ ≡ ≡ ∆
rrr
→ -f (12 + ∆X) ≡ EME - EMB
{ } ( )
21 1
2
2 2
k x m gR≡ ∆ −
C
E D
86

2
( ) 0/ ka x b x c f mgµ→ ∆ + ∆ + ≡ ≡
?x→ ∆ ≡
87

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