Cap1 cinemática de una partícula

Cuaderno de Actividades: Física I
1) Cinemática de una
Partícula
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 1

1) Cinemática de una Partícula
Fenómeno → Movimiento
… Teoría de la relatividad (TR)…A Einstein
En la descripción del Fenómeno Movimiento debemos de considerar lo
siguiente,
a) El observador, referencia, O
→ Descriptor del movimiento
“La trayectoria es función del estado del observador”, τ ≡ τ (O)
Por ejemplo, si se deja caer una pelota, la caída es descrita por O y O’, tal
como se muestra a continuación,
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
τ
O
1°
2°
O (reposo)
O’ (v=cte)
τ
τ’
2

Por lo tanto, la trayectoria es una función de estado del observador.
b) El móvil, representado por el punto P usando el Modelo de Partícula, el
cual se usa cuando del movimiento del cuerpo solo nos interesa la
componente trasnacional.
Modelo de Partícula:
Definición de Cinemática: La cinemática describe el fenómeno movimiento
usando las cantidades cinemáticas (cc):
r
r
: vector posición
v
r
: vector velocidad
a
r
: vector aceleración
1,1) Cantidades Cinemáticas, cc
i) Vector Posición,
r
r
Describe la posición del móvil en el tiempo. Es el problema fundamental de la
cinemática,
( ) ( )τ≡ →
r r
r r t O
Vector desplazamiento, r∆
r : Describe como cambia la r
r
,
Móvil P
≡
3

( ) ( )
( ) ( )0
f i f ir r r r t r t
r t r
∆ ≡ − ≡ −
≡ −
r r r r r
r r
ti → tf : ∆t = tf - ti
ii) Vector velocidad,
r
v
Describe los cambios de la posición respecto del t,
≡
r
r dr
v
dt
( )iv t
r
tan
mv
r
( )ir t
r
r∆
r
( )fv t
r
( )fr t
r
τ sec
4

}
0
lim
t
media
r
v
t
v
∆ →
∆ 
≡  
∆ 
r
r
r
Definición de Vector velocidad media, mv
r
1
m
r
v r
t t
∆  
≡ ≡ ∆ 
∆ ∆ 
r
r r
Definición de rapidez, v
r
v
r
: rapidez
¿? Describa que es el tiempo según la lectura de “Breve historia del
tiempo” de Stephen Hawking.
¿? Describa, de igual forma, que es el tiempo según la lectura de
“Brevísima historia del tiempo” también de Stephen Hawking.
¿? Cual es el último trabajo de divulgación de este brillante científico y
propalador de las ciencias.
iii) Vector Aceleración, a
r
Describe los cambios de la velocidad respecto del t.
2
2
dv d r
a
dt dt
≡ ≡
r r
r
{0
lim
∆ →
 
∆ 
¬ ≡  
∆ 
 
r
r
r
m
t
a
v
a
t //a v→ ∆
r r

¿? Será importante definir
r
da
dt
. Existirá alguna rama de la tecnología
donde interese conocer esta cantidad.
1,2) Tipos de Movimientos
i) Movimiento Rectilíneo, MR
Definición: τ →  (ℜ)
j) Movimiento Rectilíneo Uniforme, MRU
k) Condición
ˆ ˆ≡ ≡ ≡
=
r
xv v i vi cte
v cte
kk) Ecuaciones
l) =v cte
II) ( )≡
r r
r r t
:
f
i
t t
t
dr
v
dt
=
≡ →∫
r
r
( ) ( ) ( )i ir r t r t v t t≡ ≡ + −
r r r r

( )v t r v dt→ ≡ ∫
r r r
( ) ( )0 0i fr t r vt t t t≡ + ¬ = ∧ =
r r r
( ) ( ) ˆr t ix t≡
r
( ) ( )0x t x vt≡ +
kkk) Graficas
l) v-t
A(t)=x(t)
ll) x-t
v
A
0 t
7
x(t)
v
x0
A

No da información cinemática
jj) Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)
k) Condiciones
ˆ ˆxa a i ai cte
a cte
τ → ℜ∧ ≡ ≡ ≡
=
r
kk) Ecuaciones
l) a cte=
II) ( )v v t≡
r r
:
f
i
t
t
dv
a
dt
≡ →∫
r
r
( ) ( ) ( )i iv v t v t a t t≡ ≡ + −
r r r r
( )v t v a dt→ ≡ ∫
r r r
( ) ( )0 0i fv t v a t t t t≡ + ¬ = ∧ =
r r r
( ) ( ) ˆv t iv t≡
r
( ) ( )0v t v at≡ +
x
A
0 t
8

IlI) ( )≡
r r
r r t
:
f
i
t
t
dr
v
dt
≡ →∫
r
r
( ) ( ) ( ) 21
( ) ( )
2
i i i f ir r t r t v t t t a t t≡ ≡ + − + −
r r r r r
( )v t r v dt→ ≡ ∫
r r r
( ) ( ) ( ) 21
0 0 0
2
i fr r t r v t a t t t t≡ ≡ + + ¬ = ∧ =
r r r r r
( ) ( ) ˆxr t it≡ →
r
( ) ( ) 21
0
2
x t x vt at≡ + +
kkk) Gráficas
l) a-t
x(t)
v(t)
x0
a(t)

A(t)=v(t)
ll) v-t
A(t)=x(t)
lll) x-t
A: no proporciona información cinemática.
jjj) Movimientos Generales
a ≡ a(t) → v ≡ v(t) → x ≡ x(t)
a
A
0 t
v
A
0 t
x
t
10
A

de
dv
a
dt
≡ → v ≡ adt∫
→ a ≡ a(t) : “fácil”
→ a ≡ a(v) : Regla de la cadena, definición de diferencial exacta o
cambio de variable
→ a ≡ a(x) : Idem
de
dx
v
dt
≡ → x vdt= ∫
→x = x(t)
¿? Encuentre casos reales donde la aceleración dependa de la velocidad
o posición.
S1P14) La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje X esta
dada por x = t3
- 12t2
+ 36t + 30 con x en metros y t en segundos.
Determine:
a) La velocidad media entre 2 s ≤ t ≤ 6 s.
b) La aceleración media entre 0 s ≤ t ≤ 4 s.
c) Los intervalos de tiempo de movimiento desacelerado.
d) Los intervalos de tiempo de movimiento acelerado.
Solución:
x(t) = t3
-12t2
+36t + 30
a) vm :2→ 6
P
0 X(t) x
11

( ) ( )6 2
6 2
m
x xx
v
t
−∆
≡ = =
∆ −
?
b) am : 0→ 4
( ) ( )4 0
4 0
m
v vv
a
t
−∆
≡ = =
∆ −
?
( )
( )
2
2
2
3 8 12
3 2
3
6
4
4
12
3
d
t
x
t t
dt
t
t
v
−
+
−
+
≡
−
≡ −
c) ∧ d)
Movimientos acelerados:
DEF: v
r
↑← v
r
↑↑a
r
Movimientos desacelerados:
DEF: v
r
↓ ← v
r
↑↓a
r
v + a +
0 x
v− a−
v - a +
x
v + a -
12

( )6 24t
d
dt
a
v
a t≡ ≡≡ −
v ≡ v(t) → P
c)
0 2
4 6
t
→
∆ 
→
d)
2 4
6
t
→
∆ 
→
a →
v→
a
v + - - + t
0 2 4 6
v
4
t
2 6
12
13

ii) Movimientos Planares o Bidimensionales
Las trayectorias están contenidas en un plano.
τ → ℜ2
()
j) Movimiento Parabólico, MP
Caso a cte≡
r
.
Los movimientos parabólicos con aceleración constante son determinados
cuando la v(0) no es paralela a la a
r
. El plano del movimiento es determinado
por los vectores velocidad inicial (0)v
r
y aceleración a
r
. El eje de la parábola es
paralelo a la a cte≡
r
. Estos movimientos también presentan simetría de
rapideces y tiempos a un mismo nivel.
y→a
r
: simplifica la descripción:
x : MRU → ax ≡ 0
y : MRUV → ay = a ≡ g (por lo general)
Esto es debido al “carácter” vectorial de la Física → Cinemática.
Mov Parab ≡ MRUx “+” MRUVy
MRUVx “+” MRUVy (caso general, x e y en cualquier dirección)
y a g≡
r r
Z
A A’ ( )0v
r
( )0v
r
ta td P
0 x 0 Y
X
14

Simetrías
 Proporcionalidad de la trayectoria a ambos lados del eje
 Para todo nivel
va ≡ vd
ta ≡ td
Aplicación importante del MP: Movimiento de proyectiles
Como ha de suponerse, este movimiento no toma en cuenta alturas superiores
a 20 km, existencia de aire ni rotación de la tierra. El movimiento de proyectiles
constituye un caso interesante de la ciencia donde determinados campos de
investigación, el desarrollo de proyectiles, por ejemplo, resultan favorecidos por
motivos impropios. El desarrollo de la cohetería efectuado desde finales del
siglo XIX hasta mediados del siglo XX, jugo un papel preponderante en las 2
guerras mundiales así como en la conquista del espacio…
El movimiento de proyectiles suele describirse usando ciertos parámetros como
tiempo de vuelo, tv, alcance o rango, R y altura máxima, H. Si consideramos la
siguiente geometría,
ξ
a cte≡
r
P
15

i) Tiempo de vuelo, tv
2 (0) ( )
v
v sen
t
g
θ
≡
ii) Alcance o Rango, R
2
(0) (2 )v sen
R
g
θ
≡
iii) Altura máxima, H
2 2
(0) ( )
2
v sen
H
g
θ
≡
¿? Conceptos de simetría. Como debo entender su manifestación en la
naturaleza. Simetría en la física. Simetría en las matemáticas.
¿? Qué otros tipos de MP que no guarden la condición de a
r
cte se
desarrollan en el universo.
¿? Busque 5 ejemplos reales de MP.
y a g≡
r r
Z
a g≡
r r
( )0v
r
( )0v
r
θ θ
0 x 0 Y
X
16

¿? Como se vinculan el desarrollo de las computadoras y de la cohetería
con la carrera espacial.
¿? Que opina de la discrepancia acerca de la paternidad de la cohetería:
Werner von Braun- Pedro Paulet.
¿? 2009: Año internacional de la astronomía.
¿? Asteroide 2009 DD45: eventos de colisión-extinción.
S1P16) Un cañón está colocado para que dispare sus proyectiles con una
rapidez inicial v0 directamente hacía una colina,
cuyo ángulo de elevación es α ¿cuál será el
ángulo respecto de la horizontal al que deberá
apuntarse el cañón, para obtener el mayor
alcance R posible a lo largo de la colina?
Solución:
θ / Rmáx =?
τ → x, y → P: y ≡ a + bx + cx2
R
v0
θ
α
y
P
R
θ
v
r
(0)
α
0 x
17

x: MRU
x(t) ≡ x(0) + vx (0) t → x ≡ 0 + v(0) cosθ t …. (1)
y: MRUV
y(t) ≡ y(0) + vy (0) t – (1/2)g t2
, g
r
= 10, → y ≡ 0 + v(0) senθ t
2
g
− t2
…. (2)
De (1):
( )0 cos
x
t
v θ
= …(1’)
1’ → 2: ( )
( ) ( )
2
2 2
1
0
0 cos 2 0 cos
x x
y v sen
v v
θ
θ θ
≡ −
P: { }
( )
2
2 2
2 0 cos
g
y tg x x
v
θ
θ
  
≡ − 
  
P – P: xp ≡ Rcosα
yp ≡ Rsenα
→ Rsenα ≡ {tgθ} Rcosα - g R2
cos2
α
2v2
(0)cos2
θ
( )
2 2
2 2
1 cos
( ) cos
cos 2 0 cos
gR
Rsen tg R
R v
α
α θ α
α θ
  
≡ − 
  
( )2 2
( )cos
. ( )..
2 0 cos
gR
t g
v
Ig t
θ α
α θ
θ
≡ −
( )
2
2 2
cos
:0 sec
2 0
( )
cos
d g
d
d R
dv
θ
θ θ
α
θ
θ
 
 
 
= −

( )
2
cos
dR
Rd d
d
θ θ
θ θ
 
= 
 
}
{ }
0
2
4
cos 2 cos
cos
R senθ θ θ
θ
+
( )
2
2 3
cos 2
0 sec
2 0 cos
g Rsen
v
α θ
θ
θ
 
= −   
( )2
cos
0 1
0
g tg
v
R
α θ
= −
( )2
0
...
c
)
os
(
v
g t
I
g
R I
α θ
≡
II → I
cosg
tg tg
α
α θ≡ − 2
2 (0)v
( )2
2
0
cos
v
x
θ cosg α tgθ
2 2 2
sec 2 sec
2 2
tg
tg tg
tg tg
θ θ θ
α θ
θ θ
−
≡ − ≡
2
2
1 1
2
2 2
1
tg
tg ctg
tg tg
tg
θ
α θ
θ θ
θ
−
= ≡ − = −
 
 ÷− 
2tg ctgα θ− =
2
2 4 2
ctg ctg
π απ
θα θ
 
+ = ⇒ =÷

+

¿? Evalúe para v(0)= 50, 45º 30ºyθ α≡ ≡
¿? Resuelva el problema asumiendo un sistema con eje x sobre la colina.
¿? Es más simple.
jj) Movimiento Circular, MC
La trayectoria será de una circunferencia.

Y t
n
R t
s
θ
x t=0
0
La descripción del MC se realiza frecuentemente usando las variables s o θ,
esto es, usando variables lineales o angulares.
k) Cantidades Cinemáticas del MC
l) Posición
m) Lineal: s= s(t)
mm) Angular: θ =θ(t)
mmm) Relación: s= Rθ
ll) Velocidad
m) Velocidad Lineal, v=vt
La llamada velocidad tangencial es la velocidad definida en las cantidades
cinemáticas iniciales, se relaciona con s mediante la rapidez,
t
ds
v v v
dt
= → =
r r r
mm) Velocidad Angular, ω
Describe los cambios de θ respecto del tiempo. Se define de la siguiente forma,

t
d
r v
dt
θ
ω ω= → = ×
r r r
u[ω]= rad/s
mmm) Relación entre | v| y ω
tv Rω=
r
lll) Aceleración
m) Aceleración, a
El vector aceleración suele descomponerse en dos direcciones adecuadas,
tales como la radial y la tangencial, resultando,
2 2
2
ˆ ˆ
   
= + = +   
  
r r r t
r t n t
v d s
a a a e e
R dt
A la componente radial de la aceleración se le denomina aceleración
centrípeta, acp.
mm) Aceleración Angular, α
Describe los cambios de la ω respecto del tiempo,
d
dt
ω
α =
r
r
u[α]= rad/s2
mmm) Relación entre at y α
ta Rα=
kk) Tipos de movimientos Circulares

Al igual que en el caso de los MR podrían ser MCU, MCUV o generales.
¿? De 5 ejemplos concretos de movimientos circulares.
¿? Los planetas hacen MC.
jjj) Movimientos Planares Generales: Coordenadas Polares (r,θ)
Este sistema se usa para describir movimientos planares (→ MC). En particular
es usado para los movimientos planetarios.
r, ˆre
θ, êθ
{ }ˆ ˆ, , ,rr e eθθ ↔ { }ˆ ˆ, , ,x y i j ¿?
( )
( )
cos
s
r r tx r
ty r en
θ
θ θθ
≡= 

≡= 
y
t
y êθ êr
r
j θ
i x x
22

( )
( )
ˆ ˆˆ ˆ , ˆ ˆˆ cos
ˆ ˆˆˆ ˆ sˆ ˆ ,
r r
r
e e i j e i sen j
e en i cos je e i j θθ θ
θ θ
θ θ
= ≡ +

≡ − += 
k) Cantidades cinemáticas en (r,θ)
l) r
r
ˆ( , ) rr r r eθ =
r ( )
( )ˆ ˆr r
r r t
e e t
=
=
ll) v
r
ˆ( )
ˆ ˆ( )r
r r
d redr
v re r e
dt dt
≡ ≡ ≡ +
r
r &&
{ }ˆ ˆˆ ˆ( ) cosr r
d d
e e i sen j
dt dt
θ θ≡ ≡ +&
{ }ˆ ˆcossen i jθ θ θ≡ − +&
.
ˆ ˆre eθθ= &
ˆ ˆ( , ) rv r r e r eθθ θ≡ +
r &&
iii) a
r
{ }ˆ ˆr
dv d
a re r e
dt dt
θθ≡ ≡ +
r
r &&
{ { {
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )r rre r e r e r eθ θθ θ≡ + + +& & && &&& &
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆr rre r e r e r e r eθ θ θθ θ θ θ≡ + + + −& & && &&& & &
( ) { } { }2
ˆ ˆ, 2ra r r r e r r eθθ θ θ θ≡ − + +
r & && &&& &

¿? Aplicación de las coordenadas polares al movimiento planetario.
¿? En particular el movimiento de la Luna es problema CAOS. Leer “El
reloj de Newton”.
kk) Movimiento Circular en (r,θ)
r ≡ R ≡ cte!
i) rr re r R cte≡ → ≡ ≡
r r
ii) ( ) ˆ, ,tv r r e v R wθθ θ ω θ≡ → ≡ =
r & &
iii) ( ) 2
ˆ ˆ, ra r r e r eθθ θ θ≡ − +
r & &&
{ }{ { { }{
{ }{
2
ˆ ˆrR e R eθθ θ≡ + −&& &
{ {
ˆ ˆ
t n
t n cp
a T a N
a a a
≡ +
≡
r r r
S1P17) Una partícula se mueve en un plano sobre una trayectoria dada por
tyr r πθµ 2ˆ10 == , en donde r está en metros, θ en radianes y t
en segundos, a) Describa el movimiento, b) Halle el vector velocidad
dtrdV /= por derivación directa de r , c) Como la distancia sobre la
trayectoria es s = rθ, halle la celeridad hallando ds/dt. ¿Tiene el mismo
valor que el módulo de V hallado en la parte (b)?, d) Halle el vector
aceleración a en función de los vectores unitarios θµµ ˆˆ yr .
Solución:
ˆ ˆ ˆ10 ,r r rr eµ µ≡ =
r
θ = 2πt
a) 10 10r R MC≡ → ≡ →
b) { }ˆ ˆ ˆ10 10( ) 10r r
dr d
v v e e e
dt dt
θθ= → = = =
r
r r & &

ˆ20tv v eθπ≡ ≡
r r
c) MC: s, variable lineal!
s → vt → at
θ, variable angular
θ, → ω → α
MC ≡ MC (variables lineales, v angulares)
s ≡ θ R
vt ≡ ωR
at ≡ αR
10 2 20
ds
s R x
dt
θ π π≡ ≡ ≡ ≡&&
d) ( ),a a r θ≡
r r
…
( ) { } { }2
r & && &&& & , ˆ ˆ ˆ ˆr re y eθ θµ µ= =
S1P11) Un punto M tiene durante su movimiento dos velocidades constantes
en modulo. La primera permanece siempre perpendicular al eje X y la
segunda perpendicular al radio vector. Halle la ecuación de la
trayectoria si parte del punto (r0, θ0) y calcule la aceleración de M.
Solución:
y ˆeθ
M reˆ
V2
r V1
θ
0 x
25

a) Ec
τ / t ≡ 0 : (r0, θ0)?
b) aM ≡ ?
--------------------------------
a) Descomponiendo las velocidades en el sistema polar, tenemos
( ) { }1 1 2
ˆ ˆ, cosM rv v r v sen e v v eθθ θ θ≡ ≡ − − +
r r
Ahora, comparando componentes,
( ) ˆ ˆ, rv r re r eθθ θ≡ +
r &&
r : 1r v senθ≡ −& … (I)
1 2: cosr v vθ θ θ≡ − −& …(II)
En I aplicando regla de la cadena: ( )dr dr d dr
r
dt d dt d
θ
θ
θ θ
≡ ≡ ≡ &&
Despejando θ& de II y reemplazando,
y
ˆeθ
ˆre
M
V1r θ v1θ
V2
V1
θ
x
26

1 2
1
cosv vdr
r v sen
d r
θ
θ
θ
− − 
≡ ≡ − ÷
 
&
Separando variables para poder integrar,
{ } 1
1 2
1
ln
cos
v sendr d
r
r d d v v
θ
θ θ θ
≡ ≡
+
{ } 1
1 2
: ln
cos
v send
r d d
d v v
θ
θ θ
θ θ
  
≡    +   
∫ ∫ ∫
{ }1 2ln( ) ln cos v cr v θ= − + +
Aplicando ci para determinar c:
{ }
{ }
0 1 0 2
0 1 0 2
ln( ) ln cos
ln cos
cv
c
r v
r v v
θ
θ
+ + =
= +  
( )1 0 2
0
1 2
cos
,
cos
v v
r r r
v v
τ
θ
θ
θ
 +
≡ → → ÷
+ 
b) Para la a de M,
( ) { } { }2
r & && &&& &
( )
1 2
? ,
cos
( ) ?
cc
r r c e
v v
r f
θ
θ
θ θ θ
≡ → ≡ ≡
+
≡ → ≡
%
& %
& &&
De II,
{ }1 0 2
0 1 2
1 2
cos
cos
cos
( ) ( ) ( ) ( )
( ), ( )
( )
v v
r r v v
v v
g r f g r
r r
a a
θ
θ θ θ
θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ
 +
≡ ≡ − + 
+ 
≡ → ≡ ≡
≡ ≡
≡
& &
& & &
&& &&&& &&
r r

iii) Movimientos Espaciales: Caso General
Los casos generales de movimiento podrían considerarse en el espacio.
Por muy complicado que parezca siempre es posible, usando el Principio de
Superposición, expresarlo en función de movimientos mas sencillos, de ello ya
hemos revisado algunos casos, por ejemplo,
MP → {MRU}x + {MRUV}y
M Helicoidal → {MRU}z + {MC}xy
M Cicloidal → {MRU}xy + {MC}xy
¿? Podría indicar 3 casos similares. Cree que es un tema de simetría.
La descripción del movimiento debe efectuarse usando un sistema de
coordenadas que comparta la simetría del movimiento.
→ x, y, z Rectangulares
→ r, θ Polares
→ ρ, φ, z Cilíndricas
→ r, θ, φ Esféricas
→ s Coordenada de sobre la curva, vectores tangencial, normal y
binormal.
De no ser así, el desarrollo también ya se ha descrito,
( )a a t v adt r vdt≡ → ≡ → =∫ ∫
r r r r r r
( )
( )
a a v
técnicas de
a a r
≡
≡ ∫
r r r
r r r
 Regla de la cadena
 Diferencial exacta
 Cambio de variable
Sistema de coordenadas sobre la curva
Es el sistema general. Este sistema que “viaja” con el móvil, está definido por la
llamada coordenada sobre la curva s, y los vectores, ˆT , tangente unitario, ˆN ,
normal principal, y ˆB , binormal, los cuales son mutuamente perpendiculares.

i) ( )r r t≡
r r
ii) ˆv vT≡
r
, ˆ ˆ:T u en la dirección de v
r
iii) ?a ≡
r
{ }ˆ ˆ ˆdv d
a vT vT vT
dt dt
≡ ≡ ≡ +
r
r &
&
ˆ ?T ≡
r&
{
ˆ
ˆ
ˆ
v
dT
d
dT
s
ds
T
dt dt
≡ ≡
&
ˆ :T tangente unitario
ˆT = 1
2
ˆ 1T =
ˆ ˆ. 1T T = ← derivando respecto a s
ˆ
ˆ 0
dT
T
ds
× =
P
O R = ρ ˆT ˆT
1
k
ρ
≡ : curvatura
29

{
ˆ
ˆ
ˆ
kN
dT
a vT v v
ds
 
   
≡ +   
  
  
r
&
2
ˆ ˆv
a vT N
R
≡ +
r
& ; ρ ≡ R: radio de curvatura
¿? Que información da la binormal.
¿? Podría construir ecuaciones para el radio de curvatura.

S1P21) Un muchacho en A arroja una pelota
directamente a una ardilla parada
sobre una rama en B. Si la rapidez
inicial de la pelota es de 16 m/s y la
ardilla, en vez de asustarse, se deja
caer del reposo en el instante en que
se lanzo la pelota, demuestre que la
ardilla puede atrapar la pelota y
determine la longitud h que la ardilla
cae antes de hacer la captura.
Solución:
t ≡ 0: Pelota en A y Ardilla en B
( )0v
r
“directamente” hacia B:
2 1H H
tg
D
θ
−
≡ →
[ ]{ }
1/ 222
2 1
cos
D
D H H
θ ≡
+ −
B
h
A 5.5 m
1.5 m
10 m
B
h g
H2 - H1
v(0) C
y A θ
H2
x
H1
A’ D
31

Sea t: Pelota en C y ardilla en C
Usando xy en A:
Para la pelota, ( ) ( ) ( ){ }0 0 0 cosxp px t v t v t Dθ≡ + ≡ ≡
( )0 cos
D
t
v θ
→ ≡
( ) ( ) ( )2
1 10 0
2
p py
g
y t H v t t H v≡ + − ≡ +{ } ( )0
D
sen
v
θ ×
( )
2
2 0 coscos
g D
v θθ
  
−  
  
( )
( )
( )
{ }
2 2
1 1 2 1 22 2
2
1/ 2
2 0 cos
2 0
gD gD
H Dtg H H H
v D
v
θ
θ
≡ + − ≡ + − −
  
×  
  
( )
[ ]{ }
( )
22
2 1
2 2
2 0
p
g D H H
y t H
v
+ −
≡ −
Para la Ardilla, ( ) { } 2
2
1
0
2
Ay t H t gt≡ + −
( )
2
2 2
1 1
2 0 cos 2
D D
H g H g
v θ
  
≡ − × ≡ − 
  
( )0
D
v ×
[ ]{ }
2
1/ 222
1 2D H H
 
 
 
  
 
  
  
  + −    
( )
[ ]{ }
( )
22
2 1
2 2
2 0
A
g D H H
y t H
v
+ −
≡ −
a) Como en t ( ) ( )p Ay t y t≡ →la ardilla puede coger la pelota!

b) ( )
[ ]{ }
( )
{ }
22 2 2
2 1
2 2 2
10 10 4
2,3
2 0 2 16
A
g D H H
h H y t
v
+ − × +
≡ − ≡ ≡ ≡
×
2,3h ≡
¿? Será posible resolverlo rápidamente usando la Ec
de la parábola.
S1P) La aceleración de un móvil, en función de su posición, está dada por:
a(x) = 3x – 2x3
; para t = 0 se cumple que x = 0 y v = 0. Halle: (a) su
velocidad cuando x = 0,5, (b) su posición cuando su velocidad es
máxima, (c) la aceleración para esta velocidad máxima.
Solución:
( ) 3
3 2 , 0: 0 0a x x x t x v≡ − ≡ ≡ ∧ ≡
a) ( )0,5v v x≡ ≡ b) max/x v ∧ c) max/a v ?
23 1
( )
2
3 2
dv d
v v
d
dv dv dx
a x x x
x dxdt dx dt

≡ ≡ ≡ ≡ − ≡

 
 
. .2 2 4 2 2 4 21 3 1
:
2 2
33
2
c i
cv x x v v xx xx→ ≡ − + → ≡ ±→ ≡ −−∫
a)
2
1 1 1 11
3
2 2 2 4
v x
   
≡ ≡ ± − ≡ ± ÷  ÷
   
b)
3 2
3
2 2
*3 2 3 2
: 2 6 4 0
3 3
3
2
d dv dv x x x
v x xx
dx dx dx x x x
− −
≡ − → ≡ ≡ ≡ →
−
≡
±
±
± −

Aparentemente, el movimiento se realiza desde x=0 hasta 3x ≡ +
regresando a 0x ≡ y permaneciendo allí ∀ t posterior. Este problema es
inconsistente desde su planeamiento: t ≡ 0, a ≡ 0, v ≡ 0 ∧ x ≡0?! Si se le da
cierta (0) 0v ≠ ,
3 3
2 2MAXx→ ≡ + ∨ −
* ¿? La partícula “mágicamente” se empieza a mover hacia la derecha
(+)s ∨ hacia la izquierda (-)s.
** ¿? Analizar mediante gráficos.
c)
3 3
3 2
2 2
a x
 
≡ ≡ × − ÷
 
3 3
2 2
× × 00 a≡ → ≡
S1P) Un estudiante desea arrojar una pelota hacia afuera, por la ventana de
un dormitorio en el tercer piso, a 10 m de altura, para que llegue a un
blanco a 8 m de distancia del edificio. (a) Si el estudiante arroja la
pelota en dirección horizontal, ¿Con qué velocidad la debe arrojar?, (b)
¿Cuál debe ser la velocidad de la pelota, si la arroja, hacia arriba, con
un ángulo de 29º con respecto a la horizontal?, (c) ¿Cuánto tiempo
permanece la pelota volando en el caso (b)?
SOLUCION:
{ }
( )
2
2 2
2 0
:
cos
g
y t
v
Y x xX gθ
θ
≡ −
Y
g, g ≡ 10
v(0)
0 =A θ
X
10
B(8,-10)
8
34

a) ( )8, 10 :B en− Ρ − 10 { } { }0 8≡ × −
10
( ) { }
( )2
22
8
2 0 1
0 4 2v
v
× → ≡
× ×
b) ( ) { } { }
( ) { }
2
22
10
8, 10 : 10 29º 8 8
2 0 cos29º
B en tg
v
− Ρ − ≡ − ×
× ×
( )
( )
{ }
1/ 2
2 2 2
0
320 160
10 8 29º 0
cos 29º cos 29º 5 4 29º
tg v
v tg
  
→ ≡ + → ≡  
+  
( )0 5,4v→ ≡
c) ( ) ( ) ( ) ( ){ }: , 0 0 8 0 5,4 cos29ºxX MRU x t x v t t≡ + → ≡ +
1,7t→ ≡
S1P) Se lanza un objeto (Mov. Parabólico) de forma que pasa justamente
sobre dos obstáculos cada uno de 11,35 m de altura y que están separados por
la distancia horizontal de 52 m. Calcule el alcance horizontal total (R=X) y la
velocidad inicial (V0) de lanzamiento sabiendo que el tiempo empleado en
recorrer el espacio entre los 2 obstáculos es de 2,6 segundos. (g=9,8 m/s2
)
SOLUCION:
Y
g= 9,8
H v’0y v’0 D’
d B’ C’
11,35
v0
v0y
X
0 b B C b A
52
0 (0)2,6; ? ?B Ct R v v→ ≡ ≡ ∧ ≡ ≡
Del MP de B’ a C’: Como ' ' ' '2,6 1,3B C B C B Dt t t→ → →≡ ≡ → ≡

Y: 0 ' (9,8) (1,3 ' 1 ,74) 2y yvv ≡≡ − × →
Del MP de 0 a B’:
Y: ( ) ( ) ( )
22 2 2
(0) (0)' 2 12,74 2 9,8 11,35y y yv v g y v≡ + ×∆ → ≡ + − ×
(0) 19,62yv ≡→
Del MP de B a C: Asumiendo “0” en B,
X: (0) 52 0 (0) 2,6( ) (0) x xtx t x v v→ ≡ + ×≡ +
(0) 20xv→ ≡
a) De la ecuación del rango,
2
(0) (2 ) (0) (0)2 ( ) ( )v sen v v sen cos
R
g g
θ θ θ
≡ ≡
{ } { }2 (0) ( ) (0) ( )v cos v sen
g
θ θ
≡
{ } { }2 20 1
80
2 ( 9,62
9,8
,1
0) (0)x yv
R
g
R
v
→ ≡≡ ≡
b)
2 2 2 2
(0) (0) (0) (20) (19,62)x yv v v≡ + ≡ +
(0) 28v ≡

S1P) En la grafica mostrada dos móviles son lanzados simultáneamente, y
chocan en el punto “M”. Si el que sale de A lo hace con una velocidad de 50
m/s y un ángulo de 37°, ¿Cuál debe ser el ángulo y velocidad de lanzamiento
del móvil que sale de B? (9,8 m/s2
)
SOLUCION:
Como el movimiento de los móviles es simultaneo, A Bt t t≡ ≡ , y usando el
sistema 0XY mostrado,
Y
X
Para el móvil A,
( )
4
80 0 50
5
2A t t tx
 
≡ ≡ + × → 

≡

Para el móvil B,
{ }(0) (0)( ) 80 1 .40 cos 2 6 00 cos 3 ..B B Bx B Bx t vx v t v αθ θ≡ + → ≡ + ≡− × ≡ →
Usando ( ) ( )A By t y t≡
M
va vb
37° θ
A 80 m 60 m B
M g
va vb
37° θ
A 80 m 60 m B
37

( )
3
0 50 2
5
Ay t
 
≡ + × × 
 
21
2
gt− ( ) { }0 s 2B By t v enθ≡ ≡ + × 21
2
gt−
3 ..s 0.Bv enθ β≡→
a) De 45: 1 ºtgα β θ θ∧ ≡ ≡→
b) De la ecuación α
{
1
2
cos 30 30 2BB vv θ ≡≡ →
S1P) Una bola es lanzada del origen de coordenadas con una velocidad inicial de v0
= 50 m/s. Si transcurridos 3 s alcanza su altura máxima, halle el punto del
plano (x,y) donde se encuentra la bola transcurridos 4 s después de su
lanzamiento.
SOLUCION:
Describamos el problema mediante el siguiente grafico,
Del vt calculamos el ángulo θ: como alcanza su altura máxima e 3 s, el 6vt s≡
,
( )2 0
6v v
v sen
t t
g
θ
≡ → ≡
3
2
≡
50×
5
10
senθ× 3
5
37ºsenθ θ→ ≡ → ≡
y
v (0) t=3 t ≡ 4
?
Q
t≡0 θ
0 x
38

( ) ( ){ } ( )(0)
4
: 0 cos 4 0 50 4 160
5
x t x v tX xθ
 
≡ + → ≡ + × × ≡ 
 
( ) ( ) ( ){ } ( )2 3
: 0 0 s 5 4 0 50 4 5 16 40
5
Y y t y v en t t yθ
 
≡ + − → ≡ + × × − × ≡ 
 
→ ( )160,40Q ≡
S1P) ¿Cuál es el ángulo de elevación del lanzamiento de un proyectil para que
su alcance sea el doble que su altura máxima?
SOLUCION:
( )
2
0
?/ 2 MAX
v
R H Rθ ≡ ≡ → ≡
(2 )sen
g
α 2
≡
( )
2
0
v 2
2
sen α
g
2 sen→ 2
cos senα α ≡ { }2 2Arc tgtg αα α ≡→ −→ ≡
S1P) Se lanza un cuerpo con una rapidez de 40 m/s, haciendo un ángulo de 37º,
desde la azotea de un edificio de altura H, impactando en el suelo a una
distancia de 160 m, medida desde la base del edificio. Halle la altura máxima
alcanzada por el cuerpo con respecto al piso.
SOLUCION:
De la grafica adjunta, representando al punto de impacto con el piso, P=P
(160,-H), y reemplazarlo en la ecuación de la parábola para hallar H,
( ) { }
( )
2
2 2
0
5
cos
y x tg x x
v
θ
θ
≡ −
y
v(0)
37º h
0
Q
160
X
H
piso P(160,-H)
-H
39

3
4
H− ≡ 160×
40
5
40
−
2 4
×
2
2
160
5
×
 
 ÷
 
120 125 5 5H≡ − ≡ − → ≡
Ahora, en el MP de 0Q, hallamos la altura máxima,
( )
22 2
0 40
2
v sen
h
g
θ
≡ ≡
( )
80
2
3/5
20
× 80
≡
16
9
25
×
28,8 8,
5
2 8h≡ → ≡
33,8MAXH H h≡ + ≡∴
S1P) Se lanza un cuerpo con una rapidez v(0)=20 m/s, haciendo un ángulo de 53º,
desde la azotea de un edificio de altura 20 m, impactando en el suelo a una
distancia d, medida desde la base del edificio. Halle la distancia d y la altura
máxima alcanzada por el cuerpo con respecto al suelo.
SOLUCION:
a) Usando el eje Y para calcular el tiempo de movimiento, t,
( ) ( ) ( ) 2
0 0 5yy t y v t t≡ + −
( ) ( )
4
0 0 53º 20 16
5
yv v sen≡ ≡ × ≡
2
20 0 16 5t t− ≡ + −
2
3,2 4 0t t− − ≡ ,
y
v(0)
vy(0)
t=0 53° h% d
0 X
d P(d,-20)
-20 t=t
40

( )
2
1,2
( 3,2) 3,2 4 1 ( 4) 3,2 10,2 16
4,2
2 2
t
− − ± − − × × ++−
≡ ≡ ≡ 4,2t ≡
Ahora usando X para hallar d,
( ) ( ) ( )
3
0 0 0 20 (4,2) 50,4
5
50,4x dx t x v t d
 
≡ + → ≡ + × ≡ → ≡
 
b) Ahora, en el tramo de ascenso, usamos,
( ) ( )2 2
0 2y yv t v g y≡ + ×∆
2
0 16 2 ( 10) ( ) 20 12,8 32,, 812 8hh H≡ + × − × + ≡→ → ≡ + ≡% %
32,8H ≡
S1P) Europa, la Luna de Júpiter, tiene un radio orbital de 6,67 x 108
m y un
periodo de 85,2 h. Calcule la magnitud de a) la velocidad orbital, b) la
velocidad angular y c) la aceleración centrípeta de Europa.
SOLUCION:
8
) )6,67 10
)85,2
t cpa v c aR m
b wT h
∧≡ × 

≡ 
b)
52 2
2,0 10 /
85,2 85,2 60
2
3 0
raw
T
d s
h
π ππ −
≡ ≡ ×
×
≡ ≡
a)
5 8 3
2,0 10 6,67 10 13,3 1
2
0 /v w sR R
T
mτ
π −
≡ × × × ≡ ×

≡ ≡ × 
 
c)
2 10 8 2
4 10 6,67 10 26,7 10 /cp ma R sw − −
≡ × × × ≡ ×≡

S1P) Dos partículas pasan simultáneamente (MCU) por los extremos de un
diámetro AB y en los sentidos indicados en la figura. Si giran con periodos TA =
25 segundos y TB = 30 segundos respectivamente, calcular al cabo de que
tiempo logran cruzarse por segunda vez.
SOLUCION:
25 2 / 2 / 25A A AT w Tπ π≡ → ≡ ≡
30 2 / 2 /30B B BT w Tπ π≡ → ≡ ≡
13t t≡
1 1: At w tα ≡
1Bw tβ ≡
π ( ) 1
2
A Bw w t
π
α β≡ + ≡ + ≡
2
25
π
+ 1
30
t
 
 ÷
 
1
2
55
25 30
≡
×
5
1 1
15
25
t t
 
 
→ ≡ 
  
15
55
×
1 6,8
11
t→ ≡
20,5t→ ≡
S1P) En una pista circular un ciclista puede dar tres vueltas en un minuto y otro
sólo 2 vueltas en un minuto. Si ambos parten de dos puntos diametralmente
opuestos y avanzan uno al encuentro del otro ¿en qué tiempo s encontraran y
que porción de circunferencia habrá recorrido cada uno?
A
B
A
α AB
β
B
1° t1
B
β
α AB
A
t1
AB B
β
α
A
t1
42

SOLUCION:
A:
3 1
1min 20
A Hz
ν
ν ≡ ≡
B:
2 1
1min 30
B Hz
ν
ν ≡ ≡
a) 2A B wtθ θ π θ π+ ≡ ¬ →≡
1
2
20
t π
 
× + 
 
1 1
30 2
t tπ
 
× ≡ → ≡ 
 
20
×
30
50
×
6t ≡
b) 0,6 0,3A Afθ π≡ → ≡
0,4 0,2B Bfθ π≡ → ≡
¿? Completar el siguiente problema…
S1P51) La figura adjunta representa a un campesino irrigando un
sistema de andenes, indicados por rayas horizontales, separados 3 m; la
pendiente del cerro esta dado por α = 30º :
a) El campesino desea averiguar cuantos andenes podrá irrigar con v0 = 15
m/s y β variando de 30º a 45º.Considere que el primer andén dista 3 m de
“0”.
AB
B t≡0
θB
θA
0
A
y
-gsenα
α
0v

g
x
P
A
R
β
α
0 x
43

b) Encuentre el valor de β que nos permita irrigar el máximo número de
andenes. ¿Cuál es ese número máximo?. Tome

g = -10 j m/s2
.
SOLUCION:
{ }
( )
2
2 2
0
:
2 cos
g
P y tg x x
v
θ θ β
θ
≡ − ¬ ≡
{ }: cos ,y y tg x x k y ksenα α α≡ → →≡ ≡
: :P P L R≡ { } ( )
( )
2 2
0
cos
2 cos
g
sen tg R R
v
α β α
β
≡ − ( )2
cos
R
α R
cos cossen
sen
β α β
α ≡
2
cos ( )
2
2 2
cos
2 0 cos
g
R
v
α
ββ
−
( )
2
2 2
cos
2 0 cos
g
v
α cos cos
cos
sen sen
R
β α β α
ββ
−
≡ { }sen β α≡ −
( )
{ }
2
2
2 0
cos
cos
v
R sen
g
β β α
α
  
≡ − 
  
..…(ρ)
{ } { }
{ }
cos cos
cos 2
sen sendR
C
d
β β α β β α
β β α
 − − + − 
→ ≡  
−  
{ }cos 2 0 2 60º
4 3
dR
d
π π
β α β α
β
≡ − ≡ → − ≡ ≡ ≡
b) de lo anterior β ≡ 60º
En (ρ) :
2
R ≡
2
15
510
×
3
4
×
1
2
×
1
2
×
15
≡
15
15
×
15R→ ≡
∴ Podrá irrigar 5 ANDERES
a) En (ρ) usando β ≡ 45º

2
2 15 1
0,26 11,1 11,1
3 210
4
R R
×
≡ × × ≡ → ≡
×
∴ Solo podrá irrigar 3 ANDERES
* Hacer la variante de calcular R con x’

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