ss

1. Conjuntos, operações com
conjuntos, relações e funções

2. Conjuntos numéricos
• A={0, 2, 4, 6, 8, ...}
• B={0, 2, 4, 6, 8, 10}
• C={1, 3, 5, 7, 9, ...}
• D={3, 5}
• E={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...}

3. Conjuntos importantes
• Conjunto vazio:
C = {} ou C =Æ
• Conjunto unitário:
B = {78}
• Conjunto Universo (U)
– Formado por todos os elementos com os quais
estamos trabalhando numa determinada
situação, ou seja, é o conjunto de todos os
conjuntos considerados em um problema.

4. Relações entre conjuntos
=
=
{0,1, 2,3, 4}
{1, 2}
= =Æ
1 pertence a A
{1} está contido em A
{3} não está contido em B
B está contido em A
A não está contido em B
A
C {}
ou C
A
B
Ì
Ë
Î
1
{1}
{3}
B Ì
A
A B
B O conjunto vazio está contido em B
A
B
Ë
Æ Ì

5. Conjunto das partes
• É formado por todos os subconjuntos de um
conjunto dado.
– B={1, 2, 3}
– P(B)={Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3},
{1,2,3}}

6. Conjunto das partes
• Relação entre o número de elementos do
conjunto e o número de elementos do conjunto
das partes:
– Ø possui 0 elementos e P(Ø)={Ø} possui 1 elemento
– {1} possui 1 elemento e P({1})={Ø, {1}} possui 2
elementos
– {1, 2} possui 2 elementos e P({1,2})={Ø, {1}, {2},
{1,2}} possui 4 elementos

7. Conjunto das partes
• Logo, dado um conjunto A com n
elementos, o número de elementos do
conjunto das partes de A, representado por
P(A), é igual a 2n

8. Operações com conjuntos

9. Operações com conjuntos:
Intersecção
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o
conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:
• A Ç B = {x/xÎA e x Î B} (Intersecção)
• A Ç B = {0, 2}
A
B
0 2
1 3 4 5 6

10. Operações com conjuntos:
União
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o
conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:
• A È B = {x/xÎA ou x Î B} (União)
• A È B = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6}
A
B
0 2
1 3 4 5 6

11. Operações com conjuntos:
Diferença
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o
conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:
• A - B = {x/xÎA e xÏB} (Diferença)
• A - B = {1, 3, 4}
A
B
0 2
1 3 4 5 6

12. Operações com conjuntos:
Complementar
• Caso especial: um conjunto está contido no outro:
• A={0, 1 ,2} e B={0, 1, 2, 5, 6}, temos:
• O complementar de B em relação a A:
A B
0 1 2
5 6
CA = B - A ={5,6}
B
A È B = {0, 1, 2, 5 ,6} = B A Ç B = {0, 1, 2} = A
A-B={ } B-A={5, 6}

13. Operações com conjuntos:
Produto cartesiano
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto
B={0, 2, 5, 6}, temos:
• A x B = {(x,y)/xÎA e yÎB} (Produto cartesiano)
• AxB={(0,0); (0,2); (0,5); (0,6);
(1,0); (1,2); (1,5); (1,6);
(2,0); (2,2); (2,5); (2,6);
(3,0); (3,2); (3,5); (3,6);
(4,0); (4,2); (4,5); (4,6)}
• Atenção: n(A) = 5 e n(B)=4 e n(AxB)=5 . 4 = 20
• Par ordenado: (2, 0)¹(0, 2)

14. Representação no plano
cartesiano
A={0, 1 ,2, 3, 4}
B={0, 2, 5, 6}
A
B
Atenção para:
•AxB: A no eixo horizontal e B
no eixo vertical
• (0,2) e (2,0) são pontos
distintos
• Os pontos não estão ligados
por linhas contínuas, isso
depende dos conjuntos e da
relação!

15. Conjuntos numéricos

16. Conjuntos numéricos
Conjunto dos Números Naturais (N)
{ }
=
N N
0,1,2,3...
{0} {1, 2,3...}
* = - =
N

17. Conjuntos numéricos
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
{ }
= - - -
... 3, 2, 1,0,1, 2,3...
{ }
Z
Z Z
= - = - - -
{0} ... 3, 2, 1,1,2,3...
{ 1, 2,3...
}
{... 3, 2, 1,0}
*
*
=
= - - -
+
Z
-
Z

18. Conjunto numéricos
Conjunto dos Números Racionais (Q)
, 1
3
,1...
2
... 2, 3
{0} ... 2, 3
þ ý ü
Q
Q Q
î í ì
,1...
2
1
... 2, 3
î í ì
þ ý ü
=
= - - -
þ ý ü
î í ì
= - = - - -
þ ý ü
î í ì
= - - -
*
Q
+
-
, 1,0
2
, 1
3
, 1
3
,1...
2
, 1, 1
2
, 1,0, 1
2
*
Q

19. Conjuntos numéricos
• Representação decimal de números
racionais:
– A representação decimal de um número
a
racional é obtida pela divisão de a por b.
b
– Esta divisão pode resultar em decimais exatas
ou dízimas periódicas:
0,1666...
1 = =
0,5 1
6
2

20. Conjunto numéricos
Conjunto dos Números Irracionais (I ou Ir)
Números decimais que não admitem
representação fracionária
Exemplo: p, a raiz quadrada de um número
inteiro não-negativo que não é inteira,
decimais infinitas e não-periódicas
p , 2, 3, 5 27,123456...

21. Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Reais (R)
N Z Q I

22. Intervalos numéricos (reais)

23. Intervalos numéricos (Reais)
-3
(-3, +¥) = ]-3, +¥) ={x Î Â / x > -3}
-3
[-3, +¥) = [-3, +¥) ={x Î Â / x ³ -3}

24. Intervalos numéricos (Reais)
-3 4
(-3, 4) = ]-3, 4)=]-3, 4[ ={x Î Â / -3 < x < 4}
4
-3
(-3, 4] = ]-3, 4] ={x Î Â / -3 < x £ 4}

25. Relações entre conjuntos

26. Relações entre conjuntos
• Seja o conjunto A={0, 1, 2, 3, 4} e o
conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:
• R = {(x,y)ÎAxB / x+y>4}
– R={(0,5); (0,6); (1,5); (1,6); (2,5); (2,6); (3,2);
(3,5); (3,6); (4,2); (4;5); (4,6)}
– N(R)=12

27. Relações entre conjuntos
• Representação gráfica:
– A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6}
– R = {(x,y)ÎAxB / x+y>4}
01234
0256

28. Relações entre conjuntos
• Representação gráfica:
– A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6}
– R = {(x,y)ÎAxB / x+y>4}
01234
0256

29. Representação no plano
cartesiano - Relações
Representação no plano cartesiano -
Relações
A={0, 1 ,2, 3, 4}
B={0, 2, 5, 6}
A
B
R= {(x,y)ÎAxB / x+y>4}
Observe os conjuntos A e
B e a relação R para
determinar se você pode
traçar uma reta sobre os
pontos.

30. Relações especiais
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o
conjunto B={0, 2, 4, 6, 8, 11}, temos:
• R = {(x,y)ÎAxB / y = 2x}
– R={(0,0); (1,2); (2,4); (3,6); (4,8)}
– N(R)=5

31. RReellaaççõõeess eessppeecciiaaiiss
• Representação através de diagrama:
– A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 4, 6, 8, 11}
– R = {(x,y)ÎAxB / y = 2x}
01234
02468
11
O que há de especial nesta relação?

32. RReellaaççõõeess eessppeecciiaaiiss
• O que há de especial?
Neste exemplo, todos os elementos do conjunto “origem”
(domínio) estão relacionados uma e somente uma vez
com elementos do “destino” (contradomínio)
01234 02468
11
Conjunto
Imagem
Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio

33. Por que essa característica é
especial?
A garantia de encontrar um
correspondente a partir de
um número dado pode
ajudar a
conhecer/entender/explicar
um determinado
contexto/fenômeno.

34. Funções: definição
• Uma relação F de A em B é uma função se,
e somente se, todo elemento de A tem um
único correspondente em B.
• Em outras palavras, cada elemento do
conjunto domínio possui uma, e somente
uma, imagem.

35. Funções: Notação
• Exemplo:
– Dada a função f:N N, definida para todo
natural n Î N, tal que f(n)=2n+1
• 2n+1 é uma forma de se representar um número
ímpar!
• Para n=0 temos, f(0)=2.0+1=1 logo f(0)=1 ou (0, 1)
• Para n=1 temos, f(1)=2.1+1=3 logo f(1)=3 ou (1, 3)
• Para n=2 temos, f(2)=2.2+1=5 logo f(2)=5 ou (2, 5)
• Para n=3 temos, f(3)=2.3+1=7 logo f(3)=7 ou (3, 7)

36. Representação no plano cartesiano -
Funções
A={0, 1 ,2, 3}
B={0, 2, 4, 6}
A
B
R= {(x,y)ÎAxB / y=2x}
A função é uma relação
especial, logo, ser função
não determina se podemos
ou não traçar uma reta
pelos pontos.