Autosimilaridad en vinculaciones

Autosimilaridad en
vinculaciones
Francisco Berrizbeitia
Universidad Simón Bolívar
Teoría de la computación
Junio2014

Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio2014
Temario
Autosimilitudde forma general
Autosimilitud en vinculaciones
Generación de vinculaciones autosimilares

“En Matemática, la autosimilaridad, a veces
llamada autosimilitud o autosemejanza, es la
propiedad de un objeto (llamado objeto
autosimilar) en el que el todo es exacta o
aproximadamente similar a una parte de sí
mismo, por ejemplo cuando el todo tiene la
misma forma que una o varias de sus partes.
Muchos objetos del mundo real, como las
costas marítimas, son estadísticamente
autosimilares: partes de ella muestran las
mismas propiedades estadísticas en diversas
escalas. La autosimilaridad es una propiedad
de los fractales.”

Exacta
Aproximada

http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_landscape

¿Dónde podemos encontrar objetos autosimilares?
¿Cuántomidela costa deGranBretaña?
(Mandelbrot 1967)

Themisbehavior ofmarkets
(Mandelbrot 2008)

Internettraffic viewed on different time scales is self-similar (fractal)
http://www.math.duke.edu/~rtd/p6/

Medicina

Plantas

Teoría del caos
Atractores extraños

¿Por qué estudiar esto?

Modelado dedatos como grafos:
GraphDatabases
RDF
OWL

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Detección de invariantes
Generaciónde datos sintéticos

Vínculos
Estructuras de vínculos
Autosimilituden estructuras de vínculos

Vínculo

Vinculación

Lasvinculacioneslaspodemos interpretar comoungrafodirigido
{¦<:a,b:>,<:a,c:>,<:b,d:>,<:c:d:>}
El largo de los lados y la forma de figurano aportan ningunainformación,la informaciónesta únicamenteen la
adyacencia de los nodos y la orientación delos arcos.

En teoría de grafos, un isomorfismo entre dos grafos G y H es una biyección f entre los
conjuntos de sus vértices
que preserva la relación de adyacencia. Es decir, cualquier par de
vértices u y v de G son adyacentes si y solo si lo son sus imágenes, f(u) y f(v), en H.

SegúnB. Mandelbrot, unobjeto esautosimilar oautosemejante sisus partes tienenlamisma formao
estructuraqueel todo, aunquepuedenpresentarseadiferenteescala ypuedenestar ligeramentedeformadas.
Unavinculaciónesautosimilar sisepuedeexpresarcomolauniónde
vinculacionesisomorfasentresí.

Por ejemplo la siguiente vinculaciónes autosimilar porque se puede representar como
{¦<:a,b:>,<:a,c:>,<:b,d:>,<:c:d:>} U
{¦<:c,d:>,<:c,e:>,<:e,f:>,<:d:f:>} U
{¦<:e,f:>,<:e,g:>,<:f,h:>,<:g:h:>}
que son claramenteisomorfas entre sí.

Generación de complejidad en estructuras de
vinculación

Anexión
Sean V’yV dos vinculaciones dondeV tieneun únicofinal y V’ un único inicio, la anexión de V’a V es el
resultado de crearun vínculo<:v,v’:> donde v corresponde al elemento no marcado del final deV y v’ es
el elemento marcado del inicio de V’yunir ambas vinculacionesy el nuevo vínculo.

Sustitución
Dado un vínculo <:a,b:> en una vinculaciónV, yuna vinculación V’con un único inicio yun único final tal como está
definido en
(Baralt Torrijos, Vinculación, 2014)
La sustitución <:a,b:> por V’ en V el resultado de sustraer<:a,b:>de V, sustituir el
inicio de V’por elelemento marcado de <:a,b:> , el final de V’por elelemento no
marcadode <:a,b:> y unirV’ a V.

Sustitución

Sistemas de Lindenmeyer en vinculaciones
LossistemaLsondefinidoscomo un conjunto
G = {V,S,ω, P},
Donde
• V (elalfabeto)es unconjuntodesímbolosque contieneelementosque puedenserremplazados(variables)
• Sesun conjuntode símbolosque contieneelementosquesemantienefijos(constantes)
• ωes unacadenadesímbolosdeV que definenelestadoinicialdelsistema(inicio o axioma)
• P esun conjuntodereglaso produccionesque definenlaformaenla que lasvariablespuedenserremplazadasporcombinaciones de constantesyotras
variables.Unaproducciónestáformadapordoscadenas — elpredecesory elsucesor.
Lasreglasgramaticalesdelossistemas-Lseaplicaniterativamentea partirdeun estadoinicial.

Variables : F
Constantes : + −
Inicio : F
Reglas : (F → F-F++F-F)
Aquí, F significa "dibujarhacia adelante", + significa "vuelta de 45°hacia la izquierda", y -significa "vuelta de 45°hacia la
derecha".
Curva de Koch
http://www.kevs3d.co.uk/dev/lsystems/
1 Iteración 3Iteraciones 6Iteraciones

Sea 𝑽 = 𝒁 ∪ 𝜹 donde Z son los número enteros y 𝜹 la colección de los elementos posibles en una vinculación.
En la cadena un número 𝒋 ∈ 𝒁 a la derecha de un elemento significa que hay vínculo cuyoelemento destacado
es el elemento a la izquierda del número y el no destacadoel j-esimo elemento de la cadena (a la derecha si es
positivo oa la izquierda si es negativo) de la cadena.
C = a12b2c1dgenera la siguiente vinculación
V= {¦<:a,b:>,<:a,c:>,<:b,d:>,<:c,d:>}

Variables: A,B,C,D
Inicio: A
Reglas: A → A12B2C1D
Haciendo dos iteraciones tenemos:
V = A12B2C1D12B2C1D
Ejemplo
Si permitimos que la variables “se instancien” como elementos deunacolección podemos obtener una vinculación
muchomás interesante ya que los vínculos noestarían repetidos con los mismo elementos.

Conclusiones

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