El documento explica cómo completar cuadrados para determinar la cónica representada por una ecuación de segundo grado en dos variables. Se presentan dos ejemplos: el primero muestra cómo completar cuadrados para una ecuación de circunferencia, y el segundo para una ecuación de elipse. En ambos casos, el método implica agrupar términos semejantes, sacar factor común si es necesario, y completar cuadrados para cada variable de modo que la ecuación quede en forma canónica de la cónica correspondiente.

1. COMO COMPLETAR CUADRADOS
1)EJEMPLO
Dada la ecuación de segundo grado en dos variables
x² + y² - 6x - 8y = - 9
Explicar qué clase de cónica representa.
SOLUCIÓN
Ésta es la ecuación general de una circunferencia. La puedes reconocer, porque la ecuación
general tiene la forma:
Ax² + Bx + Cy² + Dy + E = 0
La ecuación general en este ejercicio es:
x² + y² - 6x - 8y + 9 = 0; donde A = 1; C=1
Puede ser una circunferencia veamos:
La ecuación canónica de una circunferencia es:
(x - h)² + (y - k)² = r²
donde:
(h, k) = son las coordenadas del centro de la circunferencia.
r = radio de la circunferencia
La ecuación canónica de la circunferencia en este ejercicio la obtienes de la siguiente forma:
x² + y² - 6x - 8y = -9
Agrupas los términos semejantes (las términos que tienen "x" por un lado, y los que tienen "y" por
otro, dejando un espacio):
x² - 6x + y² - 8y = -9
Ahora completamos cuadrados.
(x² - 6x ? ) + (y² - 8y ? ) = -9
Completemos cuadrados en x ,para ello tomas el coeficiente de "x", ( en este caso es 6),le sacas la
mitad, y luego lo elevas al cuadrado. El número que "acompaña" a la "x" es el 6. Bien. La mitad de
dicho número es 6/2 = 3. Ahora lo elevas al cuadrado: (3)² = 9, lo sumamos y lo restamos y lo
colocamos en el espacio donde se encuentra el interrogante así:
(x² - 6x +(3)² -(3)² ) + (y² - 8y ? ) = -9
Hacemos exactamente lo mismo con las "y". Tomas el número el coeficiente que "acompaña" a la
"y", le sacas la mitad, y luego lo elevas al cuadrado. El coeficiente que "acompaña" a la "y" es el 8.
Bien. La mitad de dicho número es 8/2 = 4. Ahora lo elevas al cuadrado: (4)² = 16. Este número
resultante es el que vas a colocar en el espacio donde se encuentra el interrogante así:
(x² - 6x +(3)² -(3)² ) + (y² - 8y +(4)² -(4)² ) = -9
Los trinomios que tengo señalado se llaman trinomios cuadrados perfectos x² - 6x +(3)² y se
pueden factorizar como x² - 6x +(3)² = (x-3)² lo mismo para y² - 8y +(4)²= (y-4)²
Tenemos
(x² - 6x +(3)² -(3)² ) + (y² - 8y +(4)² -(4)² ) = -9 donde
(x-3)² - (3)² + (y-4)² -(4)² =-9
(x-3)² + (y-4)² =-9+ (3)² +(4)²

2. (x-3)² + (y-4)² =-9+ 9 +16
(x-3)² + (y-4)² =16
Es la ecuación de una circunferencia de radio 4 y centro (3,4)
2) EJEMPLO
Dada la ecuación 9x² + 4y² + 54x + 8y + 49 = 0
Explicar que cónica representa
SOLUCION
Ordenamos para completar cuadrados como en el ejemplo anterior
(9x² + 54x) + (4y² + 8y) + 49 = 0
Nos encontramos con una situación nueva los coeficientes de x² ,, y² ya no son uno (1) como en el
caso anterior, lo que hacemos es sacar factor común
(9x² + 54x) + (4y² + 8y) + 49 = 0
9(x² + 6x)+ 4(y² + 2y)+49=0
Completamos cuadrados en las variables x, [x² + 6x +(3)²- (3)²]= [(x+3)² -(3)²] y la variable y,
[y² + 2y+(1)²-(1)²]= [(y+1)² -(1)²]. Volviendo a la ecuación (9x² + 54x) + (4y² + 8y) + 49 = 0
Tenemos 9(x² + 6x)+ 4(y² + 2y)+49=0 y completando cuadrados
9[x² + 6x +(3)²- (3)²]+4[y² + 2y+(1)²-(1)²]+49=0
9 [(x+3)² -(3)²] +4[(y+1)² -(1)²].= -49 aplicando la propiedad distributiva tenemos
9(x+3)² -81 +4(y+1)² -4=-49
9(x+3)² +4(y+1)²=-49+ 81+4
9(x+3)²+ 4(y+1)²= -49+85
9(x+3)²+ 4(y+1)²= 36
Dividendo por 36
Tenemos la ecuación (x+3)²/4 +(y+1)²/9 =1
Es la ecuación de una elipse con centro en (-3,-1) a=3 b=2