2. 2
PËRMBAJTJA
PËRMBAJTJA
HYRJE
H.1 Njohuri të përgjithshme......................................................................................................... 6
H.2 Shëndërrimi elektromekanik i energjisë ............................................................................... 8
H.2.1 Mardhëniet energjitike në sistemet elektromekanike................................................... 8
H.2.2 Energjia në sistemin e çiftimin e fushave .................................................................. 12
H.2.3 Interpretimi grafik i shëndrrimit të energjisë............................................................. 14
KAPITULLI I
Një përshkrim i shkurtër i motorit asinkron .................................................................................... 17
1.1 Parimi i punës së makinës asinkrone................................................................................... 19
1.2 Ndërtimi i makinave asinkrone ........................................................................................... 21
1.3 Fusha magnetike e makinës asinkrone ................................................................................ 22
1.3.1 Forca magnetomotore e bobinës me hap të plotë...................................................... 22
1.3.2 Forca magnetomotore e grupit të bobinave me hap të plotë .................................... 24
1.3.3 F.m.m e fazës ........................................................................................................... 25
1.3.4 Valët rrotulluese të f.m.m.......................................................................................... 26
1.3.5 Forca magnetomotore e pështjellës trefazore............................................................ 27
KAPITULLI II
Modeli në kordinata a,b,c (modeli fazorë) i Makinës Asinkrone tre-fazore .................................... 30
2.1 Motori asinkron me rotor me faza....................................................................................... 30
2.2 Momenti elektromagnetik ................................................................................................... 33
2.3 Ekuacionet e ekuilibrit te makines asinkrone në formën e variablave të gjendjes .............. 35
KAPITULLI III
Metoda e vektorit hapësinor ............................................................................................................ 37
3.1 Kuptimi i vektorit përfaqësues ............................................................................................ 37
3.2 Paraqitja e f.m.m, induksionit, densitetin e rrymës dhe fluksin e një bobine anë të vektorëve
hapësinor përkatës ............................................................................................................... 39
3.3 Vektori hapësinor përfaqësues i f.m.m, induksionit, fluksit, densitetit te rrymës në rastin e
grupit të bobinave................................................................................................................ 42
3.4 Vektori hapësinor përfaqësues i f.m.m, fluksit, te rrymës të pështjellës trefazore të statorit44
3.5 Vektori hapësinor përfaqsues i madhësive të pështjellës trifazore të rotorit....................... 47
3.6 Paraqitja e vektori hapësinor në një sistem arbitrar referimi............................................... 49
3.7 Vektori hapësinor përfaqësues i madhësive të krijuar nga kombinimi i fushës magnetike të
statorit dhe rotorit ................................................................................................................ 53
3.7 Vektori hapësinor përfaqësues i madhësive të krijuar nga kombinimi i fushës magnetike të
statorit dhe rotorit ................................................................................................................ 53
3.8 Paraqitja e vektorëve hapësinor të flukseve të statorit dhe rotorit në një sistem arbitrar referimi
............................................................................................................................................. 58
3.9 Marrdhënia midis komponentes nuleare dhe vektorit hapësinor......................................... 61
3.10 Marrdhënia ndërmjet vlerave të çastit të madhësive fazore dhe vektorit hapësinor............ 62
3.11 Madhësia e vektorit hapësinor trefazor të rrymës në regjim të vendosur në kushte simetrike63
3.12 Madhësia e vektorit hapësinor të rrymës në një regjim të vendosur të një sistemi asimetrik64
3.13 Vektorët hapësinor i tensioneve dhe rrymave lineare në një sistem trefazor ...................... 67
3.13.1 Sistemi i lidhur në yll ............................................................................................... 67
3.13.2Sistemi trefazor në trekëndësh................................................................................... 69
3.14 Fuqia e castit, Energjia Magnetike e Rezervuar, Energjia Mekanike dhe Momenti
Elektromagnetik .................................................................................................................. 70

3. 3
3.14.1Fuqia e çastit.............................................................................................................. 70
3.14.2Fuqia e çastit në një makinë elektrike në të cilën kalon rrymë si në stator dhe rotor 71
3.14.3Fuqia aktive dhe reaktive........................................................................................... 72
3.14.4Energjia magnetike e rezervuar në makinat elektrike................................................ 73
3.14.5Energjia magnetike e rezervuar në makinat elektrike................................................ 74
3.14.6Energjia mekanike..................................................................................................... 75
3.15 Momenti Elektromagnetik................................................................................................... 76
3.15.1Nxjerrja e shprehjes së momentit elektromagnetik nga shprehja e energjisë mekanike76
3.15.2Nxjerrja e shprehjes së momentit elektromagnetik duke zbatuar ligjin e Amperit ... 78
3.15.3Shprehja e momentit me anë të vektorit hapësinor të shprehur në sistemin arbitrar ....
dhe në atë të vecantë të referimi ................................................................................ 80
3.15.4Shprehja e momentit el-mag në termat e komponenteve të vektorëve hapësinor...... 85
3.16 Përcaktimi i llojeve të ndryshme të makinave elektrike...................................................... 88
3.16.1Makina elektrike me hapsirë ajrore kostante............................................................. 88
3.17 Ekuacionet e ekulibrit te tensioneve të makinës asinkrone me anë të vektorëve hapësinor 95
3.17.1 Shprehja e ekuacioneve te tensioneve të makinës në sistemet e tyre natyrale me
anë të vektorëve hapësinor ...................................................................................... 95
3.17.2Shprehja e ekuacione të ekulibrit të tensioneve në sistemin arbitrar të referimit.
Modeli i rendit të V i Makinës Asinkrone................................................................. 96
3.17.3Llogaritja e momentit elektromagnetik në kohë reale të makinës asinkrone me anë
të madhësive të statorit (vazhdim i modelit fazorë i makinës asinkrone )............... 102
3.18 Reduktimi i Modelit të Makinës Asinkrone ...................................................................... 106
3.18.1Modeli i rendit të parë ............................................................................................. 107
3.18.2Modeli i rendit të dytë ............................................................................................ .109
3.18.3Modeli i rendit të tretë ............................................................................................ .110
3.18.4Ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve për ngacmime të “vogla” të makinës............ 111
3.18.5Ekuacionet e makinës asinkrone në formën e variablave të gjendjes...................... 113
3.18.5Llogaritja e momentit .............................................................................................. 114
KAPITULLI IV
Modelimi i makinave të rrymës së vazhduar.................................................................................. 118
4.1Hyrje në MRV........................................................................................................................... 118
4.2Modeli i makinës së rrymës së vazhduar me eksitim të pavarur.............................................. 120.
4.2.1 Ekuacionet e M.R.V në regjim të vendosur ........................................................... 122
4.2.2 Ekuacionet e M.R.V në rastin e ngacmimeve të vogla ........................................... 123
4.3Analiza e makinës së rrymës së vazhduar me eksitim në paralel.............................................. 123
4.3.1 Ekuacionet e M.R.V me eksitim në paralel në regjim të vendosur......................... 124
4.4 Analiza e makinës së rrymës së vazhduar me eksitim në seri.................................................. 126
4.4.1 Ekuacionet e M.R.V me eksitim në seri në regjim të vendosur .............................. 126
4.5Analiza e makinës së rrymës së vazhduar me eksitim të përzier............................................... 127
4.5.1 Ekuacionet e M.R.V me eksitim të përzier në regjim të vendosur.......................... 129
SIMBOLET E PËRDORURA
Simboli Shpjegimi njësia
usA, usB, usC :Vleftat e çastit të tensioneve të fazave A , B, C të statoritA....................V
si Fazori kompleks i rrymave të statorit .......................................................A
su Fazori kompleks i tensioneve të statorit...................................................V
ūs Vektori hapësinor i tensioneve të statorit..................................................V

4. 4
si Vektori hapësinor i rrymave të statorit .....................................................A
1
1
( )
I , 1
1
( )
U Komponentet simetrike të renditjes së drejtë të rrymës dhe tensionit së
statorit ..................................................................................................A, V
isA, isB, iSc Vleftat e çastit të rrymave të fazës A, B, C të statorit...............................A
ira, irb, irc Vleftat e çastit të rrymave të fazës a, b, c të rotorit ..................................A
UsA, UsB, UsC Vlefta efektive të tensioneve të fazave A, B, C të statorit........................V
IsA, IsB, IsC Vleftat efektive të rrymave në fazat e statorit...........................................A
Ura, Urb, Urc Vleftat efektive të tensionit në fazat e rotorit............................................V
Ira, Irb, Irc Vleftat efektive të rrymave në fazat të rotorit...........................................A
ψsA, ψsB, ψsC Vlefta e çastit e flukseve në fazat e statorit............................................. Ëb
ψra, ψrb, ψrc Vlefta e çastit e flukseve në fazat e rotorit.............................................. Ëb
LsA, LsB, LsB Induktiviteti vetjak i fazës së statorit, i cili përfshin induktivitetin vetjak nga
fluksi kryesor i fazës përkatëse dhe induktivitetin nga fluksi i shpërndarjes
të të njëjtës fazë.........................................................................................H
Lra, Lrb, Lrc Induktiviteti vetjak i fazës së rotorit, i cili përfshin induktivitetin vetjak nga
fluksi kryesor i fazës përkatëse dhe induktivitetin nga fluksi i shpërndarjes
të të njëjtës fazë.........................................................................................H
Msr Vlefta maksimale e induktivitetit reciprok ndërmjet një faze të statorit dhe
një faze të rotorit (kur akset e tyre puthiten).............................................H
Lss Induktiviteti vetjak i fazës së statorit, i cili përfshin induktivitetin vetjak nga
fluksi kryesor i asaj faze, dhe induktivitetin nga fluksi i shpërndarjes të të
njëjtës fazë ................................................................................................H
Ls Induktiviteti vetjak i fazës së statorit i cili përfshin induktivitetin vetjak nga
fluksi kryesor i krijuar nga fazat e statorit, dhe induktivitetin nga fluksi i
shpërndarjes të fazës përkatëse.................................................................H
Lr Induktiviteti vetjak i fazës së rotorit, i cili përfshin induktivitetin vetjak nga
fluksi kryesor i krijuar nga fazat e rotorit, dhe induktivitetin nga fluksi i
shpërndarjes të fazës përkatëse ................................................................H
Lrr Induktiviteti vetjak i fazës së rotorit, i cili përfshin induktivitetin vetjak nga
fluksi kryesor i asaj faze, dhe induktivitetin nga fluksi i shpërndarjes të të
njëjtës fazë ................................................................................................H
f1 Frekuenca e burimit të ushqimit .............................................................Hz
B Induksioni magnetik.................................................................................. T
F Forca magnetomotore ...................................................................A dredha
Zr Numri i thuprave të rotorit......................................................................... -
W Numri i dredhave të një bobine.........................................................dredha
s Shkarja e motorit asinkron......................................................................... -
H Intesiteti i fushës magnetike..................................................................A/m
1 Shpejtësia këndore sinkrone ........................................................ rad el/sek

5. 5
ωr Shpejtësia këndore e rotorit ......................................................... rad el/sek
r Shpejtësia këndore e rotorit ............................................................rad/sek
 Përçueshmëria magnetike e çelikut.......................................................H/m
 Përçueshmëria magnetike e ajrit...........................................................H/m
r1 Rezistenca aktive e fazës së statorit..........................................................Ω
r2 Rezistenca aktive e fazës së rotorit...........................................................Ω
2r Rezistenca e aktive e qarkut të rotorit e reduktuar....................................Ω
x1 Rezistenca induktive e pështjellës së statorit............................................Ω
x Rezistenca induktive e pështjellës së rotorit.............................................Ω
2x Rezistenca induktive e pështjellës së rotorit e reduktuar..........................Ω
p Numri i çift poleve të makinës asinkrone .................................................. -
(1)
2I Komponentja e renditjes së drejtë e rrymës së rotorit...............................A
(2)
2I Komponentja e renditjes së kundërt e rrymës së rotorit ...........................A
me Vlefta e çastit e momentit elektromagnetik ...........................................Nm
Me Momenti el-mag që zhvillon makina në një regjim të vendosur .......... Nm
Mng Momenti i ngarkesës..............................................................................Nm
Pem Fuqia elektomagnetike e makinës asinkrone .......................................... kË
I1k Vlefta efektive e rrymës së statorit për harmonikën e k-të.......................A
U1k Vlefta efektive e tensionit në pështjellën e statorit për harmonikën e k-tëV
g Shpejtësia këndore e sistemit kordinativ të përgjithshëm................rad/sek

6. 6
HYRJE
MODELIMI I MAKINAVE ELEKTRIKE
H. I Njohuri të përgjithshme
Një teori, shpesh është një formulim përgjithsues i një principi që në të cilin arrihet
pas studimesh e vëzhgimesh dhe një model është paraqitja e kësaj teorie në mënyrë që të
mund të përdoret për parashikim ose kontroll. Që të jetë i vlefshëm një model duhet të jetë sa
më realist dhe megjithatë i thjeshtë për t’u kuptuar dhe i lehtë për t’u manipuluar. Këto dy
kërkesa janë kontradiktore, pasi modelet realiste janë rrallë të thjeshtë dhe modelet e thjeshtë
janë rrallë realistë. Shpesh shtrirja e modelit është brenda interesave përkatëse të studimit.
Pra, tiparet ose sjelljet që paraqesin interes për fushën e studimit i përfshijmë në model dhe të
tjerat i injorojmë. Modelimi si i tillë i referohet procesit të analizës dhe sintezës përmes së cilit
arrihet në një përshkrim matematikor të përshtatshëm që vlerëson karakteristikat dinamike
përkatëse të komponentes në shqyrtim, mundësisht dhe aq më mirë në termat e parametrave
që janë të përcaktueshëm lehtësisht në praktikë. Në modelimin matematik, ne mundohemi të
përcaktojmë marrëdhëniet funksionale ndërmjet madhësive që studiohen. Një model pra
supozohet se imiton ose riprodhon karakteristika ose kushte të caktuara të objektit aktual
shpesh në një shkallë të ndryshme. Mund të marrë forma të ndryshme, formë fizike, si në
modelet-shkallë apo makinat elektrike analoge të sistemeve mekanike; formë mendore, si në
njohuritë intuitive dhe imagjinare; simbolike, si në paraqitjet skematike, grafike, gjuhësore
apo matematike. Simulimi mund të jetë i dobishëm në shumë studime shkencore që janë si më
poshtë:
1. Studimi i sistemit fizik të dhënë
2. Formulimi një hipoteze apo hartimi i një modeli matematik për ta shpjeguar atë.
3. Parashikimi i sjelljes së sistemit me anë të zgjidhjes dhe natyrës së modelit matematik.
4. Vënia në provë e saktësisë dhe vlefshmërisë së hipotezës së bërë apo të modelit të
ndërtuar.
Në varësi nga natyra e sistemit fizik aktual dhe qëllimit të simulimit përkufizimi i
modelimit dhe simulimit do të jetë i ndryshëm. Në kuptimin më të gjerë të fjalës, simulimi
është një teknikë që përfshin hartimin e një modeli për një proces konkret dhe kryerjen e
eksperimenteve mbi modelin e hartuar.
Modelet matematike mund të klasifikohen si më poshtë:
Linearë ose jolinearë: modelet linearë përshkruhen nga ekuacione lineare në të cilat është i
aplikueshëm principi i superpozimit. Modelet jolinearë, nga ana tjetër, përshkruhen nga
ekuacione matematike jo linearë.
Me parametra të përqëndruar ose me parametra të shpërndarë. Modelet me parametra të
përqëndruar përshkruhen nga ekuacione diferenciale me derivate të plotë që kanë vetëm një
variabël të pavarur. Modelet me parametra të shpërndarë përshkruhen nga ekuacione
diferenciale me derivate të pjesshme shpesh me kohën dhe një ose më shumë koordinata
hapësinore si varibla të pavarur.

7. 7
Statikë dhe dinamikë. Modelet statikë marrin parasysh regjimet e stabilizuara (të vendosura)
ndërsa modelet dinamikë marrin parasysh karakteristikat gjatë regjimeve kalimtare.
Të vazhdueshëm ose diskretë. Modelet e vazhdueshëm përshkruhen nga ekuacione në të cilat
variablat e varur janë të vazhdueshëm në kohë. Modelet diskrete përshkruhen nga ekuacione
variablat e varur të të cilëve përcaktohen vetëm në çaste të caktuara kohe.
Të fiksuar ose statistikorë: një model quhet i vendosur nëse në të nuk merret parasysh faktori i
rastit ose statistikor. Modeli quhet statistikor nëse merr parasysh faktorë të rastit.
Procedura e hartimit të një modeli është shpesh një procedurë iterative. Cikli fillon
me përcaktimin e qëllimit që do realizojmë me modelin dhe kufizimet e tij, si dhe me
supozimet apo lëshimet që do bëjmë, mënyrën si do përcaktojmë parametrat për modelin, dhe
njohjen e ndihmës kompjuterike të mundshme në atë drejtim. Nevojitet njohje dhe kuptim i
mirë dhe i thellë i disiplinës përkatëse për të bërë lëshimet e nevojshme për ta thjeshtuar
modelin. Thjeshtësia është karakteristika dalluese e modelit të mirë. Një model që e tepron me
detaje mund të jetë tepër i vështirë dhe madje i pavolitshëm për t’u përdorur. Por nga ana
tjetër lëshimet dhe thjeshtimet e tepruara mund të na çojnë në rezultate me saktësi të
pakënaqshme. Mund të ketë më shumë se një model për të njëjtin sistem fizik, që dallojnë nga
preçizioni, aspekti dhe shtrirja e tyre. Për shembull një linjë transmetimi mund të paraqitet
përmes një modeli me parametra të shpërndarë, ose përmes një modeli RLC me parametra të
përqëndruar ose një modeli RL me parametra të përqëndruar. Po ashtu modeli i një qarku
elektromagnetik me bërthamë çeliku, mund të marrë parasysh efektet e ngopjes së qarkut
magnetik apo efektet e histerezisë së bërthamës në varësi të qëllimit të simulimit.
Çdo model ka parametra që duhen vlerësuar. Prandaj hartimi i një modeli varet nga
metodat eksperimentale për përcaktimin e këtyre parametrave ose përndryshe modeli nuk
është i plotë. Modeli i hartuar duhet verifikuar dhe duhet përcaktuar shkalla e saktësisë së tij.
Verifikimi përfshin kontrollimin e saktësisë matematikore të ekuacioneve të shkruara,
procedurën e zgjidhjes, dhe të lëshimeve të bëra. Shkalla e saktësisë përcakton se sa i jemi
afruar (me ç’saktësi) aspekteve përkatëse të sistemit aktual me modelin e hartuar. Nëse
gabimi i bërë është tepër i madh ose i papranueshëm atëherë cikli përsëritet nga e para. Të
dhënat e përdorura për përcaktimin e parametrave nuk duhet të jenë të njëjta me të dhënat e
përdorura për verifikimin e modelit.
Modelimi dhe simulimi kanë përdorim të gjerë. Ato janë veçantërisht të leverdisshëm
kur sistemi real nuk ekziston ose është tepër i shtrenjtë, kërkon shumë kohë, ose është i
rrezikshëm për t’u ndërtuar, ose kur eksperimentimi me modelin real mund të ketë pasoja të
papranueshme. Të eksperimentosh me vlera të parametrave të ndryshuar apo të eksplorosh një
koncept të ri ose një strategji të re operimi mund të bëhet shumë herë më lehtë në një proces
simulimi sesa në një seri të tërë eksperimentesh që do të kërkohej të kryheshin mbi sistemin
aktual, gjithsesi. Simulimi gjithashtu është një mënyrë e mirë studimi, një teknikë përmes së
cilës studentët mund të mësojnë më shumë, të njohin më thellë dhe të kuptojnë më mirë
sistemin që ata po studiojnë.
Një pyetje që bëhet menjëherë sapo kemi një model të një sistemi të dhënë është
shkalla e saktësisë së tij. Pra, a reflektojnë rezultatet e simulimit rezultatet e sistemit aktual
për të njëjtat kushte? Edhe për modele të sakta, duhet pasur kujdes në shtrirjen e përdorimit të
modelit në një simulim më të gjerë, duke pasur një qëllim të fiksuar mirë dhe duke iu
përmbajtur atij. Përndryshe do të arrinim në rezultate pa kurrfarë vlere e rëndësie.

8. 8
H. II Shëndrrimi elektromekanik i energjisë
Principi i shëndrrimit të energjisë në paisjet e ndryshme është i njëjtë, stuktura në të cilën
arrihet ajo (shëndrrimi) është në varësi të funksionit të tyre. Një kategori të shëndrrimit të
energjisë janë paisjet që sherbejnë për sistemin e matjeve dhe të kontrollit ku karateristika e
hyrje-daljeve e tyre është lineare. Një kategori tjetër janë paisjet që ushtrojnë një forcë të
caktuar si p.sh reletë e ndryshme elektromekanike, elektromagnetët etj. Një kategori tjetër
shumë e rëndësishme përfshihen paisjet që shëndrrojnë enërgjinë në mënyrë të vazhdueshme
si motorët asinkronë, motorët sinkronë, gjeneratorët sinkron , gjeneratorët e rrymës së
vazhdueshme etj.
H. II.1. Mardhëniet energjitike në Sistemet elektromekanike
Sistemi elektro-mekanik përbëhet nga sisteme elektrike dhe mekanike të cilët në të
njëjtën kohë këto sisteme bashkëveprojnë me njëri tjetrin duke realizuar shëndrrimin e
energjisë nga një formë (elektrike-mekanike) në një formë tjetër (mekanike – elektrike).
Sistemi elektrik përbëhet nga fusha elektromagnetike dhe elektro-statike të cilët mund të
ekzistojnë të dyja së bashku në të njëjtën kohë ose veç e veç. Zakonisht sistemet mekanike
përfshijnë energjinë kinetike apo potenciale të trupave. Për të analizuar shëndrrimin e
energjisë ( elektrike në mekanike) do të marrim në studim rastin më të thjeshtë të një sistemi
elektromekanik i cili përbëhet nga sistemi elektrik, sistemi mekanik dhe sistemi i çiftimit të
fushave siç është treguar në figurën 1.
SISTEMI
ELEKTRIK
ÇIFTIMI
I FUSHAVE
SISTEMI
MEKANIK
Fig.1 bllokdiagrama e një sistemi elementar elektromekanik
Fokusi i studimit nëmaterial do të jenë sistemet elektrike të cilët operojnë me frekuencë të ulët
(50 Hz) ku rrezatimin elektromagnetik nuk do ta marrim parasysh dhe sistemin elektrik do ta
pranojmë me parametra të përqëndruar. Në të gjitha hallkat e sistemit elektromekanik kemi
humbje të energjisë. Humbjet në sistemin mekanik janë kryesisht janë për shkak të fërkimit të
boshtit në kushineta si qarkut të rotorit me ajrin. Në sistemet elektrike ekzistojnë humbjet për
shkak të kalimit të rrymës elektrike në përcjellës ( bobinë , pështjellë etj), humbjet në
materialet ferromagnetike për shkak të rrymave fuko dhe lakut të histerezës si dhe humbje në
dialektrikë. Duke shënuar EE energjinë e plotë të sistemit elektrik dhe EM energjinë e plotë të
sistemit mekanik ateherë ekuacioni i ekulibrit të energjisë të sistemeve përkatëse do të jetë:
EE=Ee+EeH+EeR (1)
EM=Em+EmH+EmR (2)
Ku:
EeR është e rezervuar ( magazinuar ) në fushën elektrike apo magnetike e cila nuk
bashkëvepron me sistemin mekanik.
EeH është energjia e cila përfaqëson humbjet në sistemin elektrik e cila kthehen në
nxehtësi.
Ee është ajo pjesë e energjisë së sistemit elektrik që transferohet te çiftimi i
fushave e cila merr pjesë në shëndrrimin e energjisë.

9. 9
EmR është e rezervuar ( magazinuar ) në pjesët lëvizëse të sistemit mekanik dhe nuk
merr pjesë te çiftimi i fushave ( nuk bashkëvepron me sistemin elektrik).
EmH është energjia e cila përfaqëson humbjet në sistemin mekanik e cila kthehen në
nxehtësi.
Em është ajo pjesë e energjisë së sistemit mekanik që transferohet te çiftimi i
fushave e cila merr pjesë në shëndrrimin e energjisë.
Duke shënuar me EF energjinë e plotë të transferuar në çiftimin e fushave atëherë ekuacioni i
ekulibrit të energjisë në të do të jetë:
EF=EfH+EfR (3)
Ku:
EfH është energjia e rezervuar ( magazinuar ) në sistemin e çiftimit të fushave.
EfR është energjia që humbet në sistemin e çiftimit të fushave.
Në bazë të ligjit të ruajtjes së energjisë për sistemin elektromekanik kemi:
EfH+EfR = (EE−EeH−EeR ) + ( EM −EmH−EmR ) (4)
EfH+EfR =Em + Ee (5)
Në figurën 2 tregohet në mënyrë skematike marrëdhëniet e mësipërme të energjisë.
∑ ∑ ∑
EE
+
_
_
+
_
_
_
_
+
EeH
EeR
Ee
EfR
EfH
EmH
EmR
EMEm+
Sistemi elektrik Çiftimi i fushave Sistemi mekanik
fig.2 Paraqitja në mënyrë skematike e ballancave të energjisë.
Siç shikohet dhe nga figura 2, shëndrrimi i energjisë nga elektrike në mekanike dhe anasjelltas
nuk varet nga:
1. humbjet në sistemin elektrik dhe mekanik përkatësisht EeH, EmH.
2. energjia e rezervuar në sistemin elektrik EeR
3. energjia e rezervuar në sistemin mekanik EmR
Në qoftë se pranojmë humbje te çiftimi i fushave të neglizhueshme ekuacioni (5) merr trajtën:
EfR = Ef = Em + Ee (6)
Për të ilustruar një sistem elektromekanik elementar marrim një shembull konkret të treguar
në figurën 3.

10. 10
fig.3 Një sistem elementar elektro-mekanik
Në këtë sistem u është tensioni i burimit të sistemit elektrik të ushqimit dhe f është një forcë
mekanike e jashtme e ushtruar në sistemin elektrik. Forcën elektromagnetike që ushtrohet në
materialin ferromagnetik lëvizës do ta shënojmë me fe. Me r do të shënojmë rezistencën e
përcjellësit në të cilën kalon rryma i dhe me L do të shënojmë induktivitetin e sistemit
elektromagnetik të cilën do ta pranojmë kostant energjia në të cilën grumbullohet në të nuk
merr pjesë në sistemin e çiftimit me sistemin mekanik. Sistemi mekanik i treguar në figurën 3
përfaqësohet nga:
M masa e trupit ferromagnetik i cili bën lëvizje drejtvizore
D koeficienti i shuarjes (qetësimit) të trupit lëvizës
K kostantja e sustës
Zhvendosja x0 përfaqëson një pozicion ekuilibri të sistemit mekanik. Ekuacioni i ekuilibrit të
f.e.m dhe tensioneve në sistemin e dhënë elektrik do të jetë i barabartë me shprehjen:
f
diu ir L e
dt
   (7)
Ku ef është f.e.m që induktohet në bobinën me W dredha e cila do të marrë pjesë në sistemin e
çiftimit të fushave. Në bazë të ligjit të Njutonit (lëvizjes) ekuacionet dinamike të sistemit të
dhënë mekanik është i barabartë me ekuacionin e mëposhtëm:
 
2
02 e
d x dx
f M D K fx x
dt dt
    (8)
Energjia e plotë e sistemit elekrik është e barabartë me shprehjen:
EE uidt  (9)
Energjia e plotë e sistemit mekanik është e barabartë me shprehjen:
ME fdx  (10)
Duke zëvendësuar shprehjen (7) te (9) përftojmë shprehjen e energjisë së plotë në trajtën e
mëposhtme:
2
E fE r i dt L idi e idt     (11)
Termi i parë djathtas 2
r i dt përfaqëson humbjet elektrike EeH për shkak të kalimit të rrymës
në përcjellësin me rezistencë r të sistemit elektrik. Termi i dytë djathtas L idi përfaqëson
energjinë magnetike të rezervuar EeR e cila siç është theksuar dhe më sipër nuk merr pjesë në

11. 11
shëndrrimin e energjisë. Energjia e transferuar te sistemi i çiftimit të fushave nga sistemi
elektrik është e barabartë me shprehjen:
e fE e idt  (12)
Në mënyrë të njëtë përcaktojmë dhe shprehjen e energjisë së plotë të sistemit mekanik duke
zëvendësuar shprehjen (8) te (10) duke marrë formën e mëposhtme:
 
22
02M e
d x dx
E M dx D dt K dx f dxx x
dt dt
     
     (13)
Termi i parë dhe i tretë te shprehja 13 përkatësisht  
2
02
d x
M dx K dxx x
dt
   përfaqësojnë
mekanike të rezervuar respektivisht në masën M dhe në sustën EmR, ndersa termi i dytë
2
dx
D dt
dt
 
 
  përfaqëson humbjet për shkak të fërkimit EmH. Energjia e transferuar te sistemi i
çiftimit të fushave nga sistemi mekanik është e barabartë me shprehjen:
m eE f dx  (14)
Duhet theksuar se forca pozitive, fe është konsideruar të jetë në të njëjtën drejtim me
zhvendosjen dx. Duke zëvendësuar shprehjet e mësipërme të energjisë te ekuacioni (5)
përftojmë :
fR eE eidt f dx   (15)
N.q.s se do të kemi një sistem elektromekanik i cili përbëhet nga disa sisteme elektrike dhe
mekanike shprehja (15) merr formën:
1 1
J K
fR ej mk
j k
E E E
 
   (16)
Ku J dhe K janë hyrjet e sistemeve elektrike dhe mekanike në çiftimin e fushave. Energjia e
plotë e transferuar nga sistemet elektrike te sistemi i çiftimit të fushave do të jetë:
1 1
J J
ej fj j
j j
E e i dt
 
  (17)
Energjia e plotë e transferuar nga sistemet mekanike te sistemi i çiftimit të fushave do të jetë:
1 1
K K
ej ek k
k k
E f dx
 
   (18)
Ballanca e energjisë është e barabartë me shprehjen e mëposhtme:
1 1
J K
f fj j ek k
j k
E e i dt f dx
 
    (19)
Dhe në trajtë diferenciale do të ketë formën:
1 1
J K
f fj j ek k
j k
dE e i dt f dx
 
   (20)

12. 12
1eE
1mE
2eE
3eE
eJE
2mE
3mE
mKE
fig.4 bashkëveprimi i disa sistemeve elektrike dhe mekanike
H. II.2 Energjia në sistemin e çiftimin e fushave
Për të përcaktuar forcën elektromagnetike nga shprehja (20) fillimisht duhet të
përcaktojmë energjinë e rezervuar të sistemi i çitimit të fushave. Energjia e rezervuar në
çiftimin e fushave në rastin e makinave elektrike rezervohet në hapësirën ajrore të sistemit
elektromekanik. Ajri duke qënë se klasifikohet si një konservues i mesëm, e gjithë energjia e
rezervuar do ti rikthehet sistemit elektrik dhe mekanik. Energjia e rezervuar në një fushë
konservative është funksion i variabllave të gjendjes. N.q.s trupi me masë M qëndron i
palëvizur (dx=0) dhe sistemin elektrik e ushqejmë me një burim të caktuar atëherë energjia
mekanike është e barabartë me zero Emk = 0 dhe shprehja (19) merr formën e mëposhtme:
1
J
f fj j
j
E e i dt

  (21)
f.e.m që induktohet në një bobinë është e barabartë me shrehjen f
de
dt
 , kështu që për një
sistem të vetëm elektrik shprehja (21) do të ketë formën:
f
dE eidt i dt id
dt
      (22)
Në figurën 4 është paraqitur karakteristika ëeber-ampere e sistemit elektrik. Sipërfaqja në të
majtë të grafikut Δ(OAB) përfaqëson shprehjen (22) e cila është energjia e rezervuar e fushës
për vlerat i=iA dhe Ψ= ΨA. Sipërfaqja në të djathtë të varësisë Ψ=f(i) paraqet ko-energjinë e
barabartë si madhësi:
cE di  (23)
Ko-energjinë mund ta përcaktojmë dhe me shprehjen e mëposhtme:
c fE i E  (24)
Ko-energjia nuk ka ndonjë kuptim fizik por është një madhësi e gjetur për të përcaktuar në një
formë më të thjeshtë siç do ta shikojmë më vonë shpehjen e forcës elektromagnetike
(momentit elektromagnetik) në një sistem elektro-mekanik. Zhvendosja x përcakton ndikimin
(influencën) e sistemit mekanik te sistemi i çiftimit të fushave. Duke qenë se fluksi i plotë Ψ
dhe rryma i kanë një varësi të caktuar ( në rast se njihet njëra madhësi në bazë të një
marrdhënie të caktuar mund të përcaktojmë tjetrën ) atëherë për të përshkruar gjendjen e
sistemitelektro-mekanik nevojitet përveç zhvendosjes x dhe një variabëll tjetër e cila mund të

13. 13
jetë fluksi Ψ ose rryma i. Në qoftë se marrim zhvendosjen x dhe rrymën i si variablla
gjendjeje, energjia e fushës Ef si dhe fluksi i plotë Ψ mund të shprehen si më poshtë:
( , )f fE E i x (25)
iAi

d
di
A
A
O
Fig.4 energjia e rezervuar në sistemin elektrik
( , )i x  (26)
Ndryshimi i fluksit të dhënë nga shprehja (26) është e barabartë:
( , ) ( , )i x i x
d di dx
i x
 

 
 
 
(27)
Duke pranuar dx=0 si dhe duke zëvendësuar shprehjen (27) tek shprehja (22) përftojmë
energjinë e fushës të barabartë me :
 
0
( , ) ( , )
,
i
f
i x x
E id i di di x
i
  
 


 
  
    (28)
Ku
 është variabëll integrimi
Ndërsa shprehja e ko-energjisë është e barabartë:
   
0
,,
i
cE di dxi x     (29)
Në rast se do të pranonim si variablla gjendjeje fluksin Ψ dhe zhvendosjen x energjia e fushës
si dhe rryma do të shpreheshin si më poshtë:
( , )f fE E x (30)
( , )i i x (31)
Duke bërë zëvendësimin përkatëse përcaktojmë shprehjen e energjisë së fushës në funksion të
fluksit dhe zhvendosjes
   
0
, ,cE i d i dx x

     (32)

14. 14
Për të përcaktuar ko-energjinë kur fluksi Ψ dhe zhvendosja x janë variablat e gjendjes
fillimisht duhet të përcaktojmë ndryshimi e rrymës di të barabartë me:
( , ) ( , )i x i x
di d dx
x
 


 
 
 
(33)
Dhe shprehja e ko-energjisë është e barabartë me:
 
0
( , ) ( , )
,c
i x i x
E d dx

 
   
 
 
 
   (34)
Për sistemin elektromagnetik linear karakteristika ëeber-ampere është një vijë e drejtë dhe
jepet me anë të relacioneve të mëposhtme:
   , L ii x x  (35)
   ,i x L x
  (36)
Ndryshimi i fluksit do të jetë i barabartë me  x
d L di  . Enrgjia e fushës për sistemin linear
do të jetë e barabartë me shprehjen:
      2
0
1
,
2
i
fE L d L ii x x x   (37)
Në rast se do të kishim një sistem elektro-mekanik me dy sisteme elektrike me qarqe
elektromagnetike lineare dhe një mekanike atëherë energjia e rezervuar mund ta përcaktojmë
si më poshtë:
     1 11 1 12 21 2, , L i L ii i x x x   (38)
     2 21 1 22 21 2, , L i L ii i x x x   (39)
Duke pranuar zhvendosjen dx=0, ndryshimet përkatëse të flukseve të jenë të barabartë me
shprehjen e mëposhtme:
     1 11 1 12 21 2, ,d L di L dii i x x x   (40)
     2 21 1 22 21 2, ,d L di L dii i x x x   (41)
Shprehja e Energjisë së fushës është e barabartë me shprehjen e mëposhtme:
 
      
     
1 2
1 2
1 1 2 11 2
1
0 0
11 1 12 22
0 0
2 2
11 1 1 12 1 2 22 2
( , , ) ( , , )( , , )
,
1 1
2 2
i i
f
i i
i x i xi x
i d dE di x
L d i L d L dx x x
L i i L i i L ix x x
    
   
 
    
   
      
  
  
 
  (42)
Në trajtë të përgjithshme shprehja (42) merr formën e mëposhtme:
 1
1 1
1
, ,
2
J J
f pq p qJ
p q
E L i ii i x
 
  (43)
H.II.3. Interpretimi grafik i shëndrrimit të energjisë.
Në figurën 4 është paraqitur karakteristika ëeber- ampere e qarkut elektro-magnetik
për zhvendosjen e trupit me masë M nga kordinata me x=xA në x=xB.ndryshimi i energjisë së
fushës është e barabartë diferencën e sipërfaqes OACO me sipërfaqen OBDO pra:

15. 15
ΔEf= Sip(OACO)− Sip(OBDO) (44)
i
B
O
A
C
D
x = xb
x = xa
Fig.5 Interpretimi grafik i shëndrrimit të energjisë në një sistem elektromekanik për
karakteristikën ψ=f(i) ,drejtimi nga A në B
i
B
O
AC
D
x = xb
x = xa
Fig.6 Interpretimi grafik i shëndrrimit të energjisë në një sistem elektromekanik për
karakteristikën ψ=f(i) ,drejtimi nga B në A
Ndryshimi i energjisë së sistemit elektrik do të përcaktohet me anë të shprehjes së
mëposhtme:
( )
B
A
eE id Sip CABDC


   (45)
Ndërsa ndryshimi i energjisë së sistemit mekanik do të jetë:
( ) ( ) ( ) ( )m f eE E E Sip OACO Sip OBDO Sip CABDC Sip OABO         (46)

16. 16
i
B
O
AC
D
x = xb
x = xa
Fig.7 Interpretimi grafik i shëndrrimit të energjisë në një sistem elektromekanik për
karakteristikën ψ=f(i) ,drejtimi nga A në B në A
Për të llogaritur forcën elektro-magnetike fe të një sistemi elektro-mekanik nisemi nga
shprehja (20):
1 1
K J
ek k fj j f
k j
f dx e i dt dE
 
   (47)
Ose
1 1
K J
ek k j fj f
k j
f dx i d dE
 
   (48)
Energjia e fushës Ef si dhe flukset të një sistemi elektro-mekanik i cili përbëhet nga disa
sisteme elektrike dhe mekanike jepet me shprehjet e mëposhtme:
 1 1, , ,f f J KE E i i x x   (49)
 1 1, , ,j j J Ki i x x    (50)
Ndryshimi i energjisë së fushës si dhe i fluksit të sistemit elektromekanike do të jenë:
1 1
J K
f f
f j k
j kj k
E E
dE di dx
i x 
 
 
 
  (51)
1 1
( , ) ( , )J K
j
j j k
j kj k
i x i x
d di dx
i x
 

 
 
 
 
  (52)
Duke zëvendësuar shprehjet (51) dhe (52) tek shprehja (48) përftojmë sprehjen e ndryshimit
të energjisë mekanike të sistemit elektro-mekanik i cili është i barabartë me:
1 11 1 1 1
( , ) ( , )J KK J J K
j f f
j kek k j j k
j kj kk j j kj k
i x E Ei x
di dxf dx i di dx
i x i x
 
    
   
       
     (53)
Duke e zhvilluar më tej shprehjen (53) përftojmë një formë më të thjeshtë të saj si më poshtë:
111 1 1
( , )( , ) JJK K J
j ff
jjek k k j
nj n jk k jk k
i x EEi x
iif dx dx di
i ix x

  
    
          
   (54)

17. 17
Nga shprehja (54) gjejmë shprehjen e forcës elektro-magnetike të sistemit elektrik të
barabartë me shprehjen :
 
1
( , )
,
J
f
ek j
j k k
Ei x
f ii x
x x



 
 
 (55)
Forcën elektromagnetike të sistemit mund ta përcaktojmë shumë thjeshtë nga shprehja e ko-
energjisë si më poshtë:
1
J
c j j f
j
E i E

  (56)
Duke derivuar shprehjen (56) në lidhje me zhvendosjen x përftojmë forcën elektromagnetike
të sistemit elektro-mekanikë:
1
( , )J
fc
ek j
jk k k
EE i x
f i
x x x


 
  
  
 (57)
Zakonisht në makinat elektrike shëndrrimi i energjisë mekanike në elektrike dhe anasjelltas
realizohet me anë të energjisë kinetike rrotulluese të pjesës së lëvizshme (rotorit) të makinës
kështu që në vend të forcës elektromagnetike përdorim momentin elektromagnetik që zhvillon
sistemi elektrik i barabartë me shprehjen e mëposhtme:
c
ek
k
E
M




(58)

18. 18
KAPITULLI I
PARIMI I PUNES DHE NDERTIMI I MAKINES ASINKRONE
1.1 Parimi i punës së makinës asinkrone.
Në fig 1-4 është treguar në formë skematike pamja e një makine asinkrone në
drejtimin aksial. Pështjella trefazore e statorit është vendosur në kanalet e bërthamës së
statorit dhe lidhet me rrjetin trefazor të rrymës alternative me frekuencë 1f . Në kanalet e
rotorit është vendosur pështjella trefazore e rotorit, daljet e së cilës zakonisht lidhen në të
shkurtër. Çdo faze e këtyre pështjellave në makinën e treguar në fig 1-1 , është e formuar nga
një dredhe ku fillimet janë shënuar me A, B, C dhe fundet me X, Y, Z. Dredhat janë të
zhvendosura në hapësire me 0
120 . Në rast se në pështjellën e statorit zbatohet nje sistem
simetrik trefazor tensionesh atehere ne te do te kaloje nje sistem simetrik rrymash : AI , BI ,
CI .
A+
A-
B+
B-
C+
C-
b
a
rot
c
b
c
a) b)
AI

BI

CI

Fig.1.1 Paraqitja skematike e një makine asinkrone me një cift polesh (p=1)
a) Makina asinkrone trefazore.
b) F.m.m në një kohë të dhënë.
c) Diagrama e rrymave për një kohë të caktuar.

19. 19
Ne fig 1-1 eshte treguar drejtimi i rrymes ne percjellesit e peshtjelles se statorit ne një
cast të caktuar të kohës.
a
b
b’
c’
c
a’
a
b
b’
c’
c
a’
Peshtjella
ekuivalente e
thjeshte e statorit
ias
Peshtjella
ekuivalente e
thjeshte e statorit
Peshtjella
ekuivalente e
thjeshte e statorit
iasias
Aksi magnetik i
fazes A
Aksi magnetik i
fazes A
Aksi magnetik i
fazes B
Aksi magnetik i
fazes C
Aksi magnetik i
fazes B
Aksi magnetik i
fazes C
ics
ibs
ics
ibs
Fig 1-2 Fusha magnetike e statorit.
Ne fig 1-2 shihet se fusha magnetike e krijuar nga rrymat qe kalojne ne peshtjellen e statorit
ka dy pole. Në këtë rast thuhet se makina ka një çift polesh; p=1. Kjo fushë do të rrotullohet
rreth pështjellës që e krijoj me shpejtësi:
p
f
n 1
11
2
2

 
ku:
f1 është frekuenca e rrymës qe kalon në pështjelle
p është numri i cift poleve te makinës
Ω1 është shpejtesia sinkrone e fushës magnetike e krijuar nga rrymat e statorit.
Fluksi magnetik i krijuar nga rrymat që kalojnë në pështjellën e statorit duke u
rrotulluar,pret përcjellësit e peshtjellave te statorit dhe rotorit dhe indukton ne to f.e.m 1e dhe
2e . Nën veprimin e f.e.m 2e te induktuar në rotor, në pështjellën tre-fazore të tij, të lidhur në
të shkurtër do të kalojë një sistem simetrik rrymash. Këto rryma nga ana e tyre do të krijojnë
një fluks magnetik  i cili ka të njëjtën numër polesh dhe rrotullohet me të njëjtën shpejtësi
dhe kahje me fushën e statorit. Pra fusha magnetike e statorit dhe e rotorit janë të palëvizshme
kundrejt njëra tjetrëes dhe së bashku formojnë një fluks rezultant që rrorullohet me shpejtësi
1 . Nga bashkëveprimi i fushës magnetike rezultante dhe rrymës 2i në pështjellën e rototit
në këta te fundit do të linde forca elektromagnetike ( siç tregohet në fig 1.3) dhe si rrjedhim
rotori do të rrotullohet.
Fig1.3 Forca elektromagnetike në një përcjellës me rrymë
në një fushë magnetike

20. 20
1
 
 2 2e i
f
 2 2e i f
1 
1 
Fig1.4 a,b,c. Rrymat dhe forcat në pështjellën e rotorit
Në fig 1.4 a,tregohet lakorja e induksionit rezultant B e cila rrotullohet me shpejtësi
sinkrone 1 , ndërsa në fig 1-4 b tregohet drejtimi i f.e.m 2e në përcjellesit e rotorit kur ai
është i palëvizshëm 0 dhe kahja e forcave elektromagnetike që veprojnë në përcjellësit e
rotorit, kur rrymat e rotorit 2i dhe f.e.m 2e janë në fazë.Forca që veprojnë në këtë rast, e
rrotullojnë rotorin në drejtimin e fushës. Drejtimi i f.e.m 2e dhe i rrymave 2i do të mbetet e
pandryshuar për cdo vlerë të shpejtesisë së rotorit nga 0 deri ne 1 . Per 1
fusha magnetike e statorit nuk e pret pështjellën e rotorit prandaj në këtë të fundit nuk do të
induktohet f.e.m, rrjedhimisht dhe rryma 2i do të jetë zero pra rrjedhimisht dhe forca
elektomagnetike do të jetë zero. Në këtë mënyrë momenti elektromagnetik i makinës
asinkrone është rrotullues kur rotori i saj rrotullohet me shpejtësi nga 0 deri në 1 .
Në këtë diapazon shpejtësish makina punon në regjim motori.Në rast se rotorin e makinës e
rrotullojmë me shpejtësi më të madhe se shpejtësia sinkrone > 1, në drejtim të rrotullimit
të fushës, atëherë do të ndryshojë dhe drejtimi i f.e.m 2e , rrjedhimisht dhe i rrymës 2i dhe i
forcave elektromagnetike f (fig 1-4 c). Makina në këtë rast punon në regjim gjeneratori dhe
momenti elektromagnetik i saj është frenues. Regjimi i vendosur (  kostant ) do të arrihet
kur momenti rrotullues i motorit parësor do të barazohet nga momenti elektromagnetik
frenues i makinës.Një regjim tjetër i makinës asinkrone është ai i kycjes së kundërt. Në këtë
rast rotori rrotullohet në drejtim të kundërt me drejtimin e rrotullimit të fushës: < 0 , atëherë
drejtimi i f.e.m e2, i rrymës i2 dhe i forcave elektromagnetike do të jetë si në fig 1-4b.
Momenti elektromagnetik do të veprojë në të njejtin drejtim me rrotullimin e fushës, duke
penguar lëvizjen e rotorit.Në këtë mënyrë për shpejtësi të ndryshme të rrotullimit të rotorit të
makinës asinkrone , ajo mund të punojë në këto regjime:
Regjim motori0 < < 1
Regjim gjeneratori  > 1
Regjim i kycjes se kundërt  < 0
Në analizën e punës se makines asinkrone përdoret dhe kuptimi i “shkarjes” e cila paraqet
diferencën relative të shpejtësise së rotorit kundrejt shpejtësise së fushës magnetike .
1 1
1 1
n n
s
n
   
 

dhe shpejtësi e rrotullimit të rotorit në varësi të shkarjes është:
 s 11

21. 21
 1 1n n s 
1.2 Ndërtimi i makinave asinkrone.
Motori Asinkron përbëhet nga dy pjesë kryesore, nga statori e cila është pjesa e
palëvizshme e makinës dhe rotori e cila është pjesa e lëvizshme. Statori i makinës formohet
prej qarkut magnetik, pështjellës trefazore dhe zgjedha (fig 1.5). Elementet aktive të statorit
që destinohen për formimin e fushës magnetike rrotulluese janë qarku magnetik dhe pështjella
e rrymës alternative, kurse zgjedha kryen vetëm funksion konstruktiv duke fiksuar pozicionin
e duhur të pjesëve aktive. Bërthama e statorit formohet prej fletësh celiku elektroteknik,
zakonisht me trashesi 0.5 mm, të izoluara nga te dy anet me llak. Në makinat me fuqi te vogel
rolin e izoluesit e luan oksidi i krijuar ne sipërfaqet e fletës në mënyrë natyrore ose artificiale.
Kur diametri i jashtëm i fletës së statorit është më i vogël se një metër, ajo përgatitet me
stampim prej një cope të vetme. Për diametër të jashtëm më të madh se një metër, fleta e
statorit përgatitet prej disa segmentesh. Në anë të bredshme të statorit hapen kanalet për
vendosjen e pështjellës së statorit.
Fig 1.5 Statori i një makine Asinkrone Fig. 1.6 Një fletë celiku elektroteknik e
bërthamës së statorit.
Rotori i makinës formohet prej qarku magnetik në të cilën janë hapur kanalet për
vendosjen e pështjellës së rotorit ,boshti dhe ventilatori (shih fig.1.7). Elemente aktive te
rotorit qe marrin pjese ne proqesin e shëndrrimit të energjisë janë qarku magnetik dhe
pështjella.
Fig 1.7 Rotori i një makine Asinkrone Fig. 1.8 Një fletë celiku elektroteknik e
bërthamës së rotorit

22. 22
Bërthama e rotorit pregatitet gjithashtu prej fletësh celiku elektroteknik me trashësi
0,5 mm, në aneë e jashtme të së cilave hapen kanale për vendosjen e pështjellës së rotorit (fig
1-7). Në varësi nga ndërtimi konstruktiv i pështjëllës së rotorit dallohen dy lloje motorësh
asinkrone:
a Motor asinkron me pështjellë të rotorit në formë kafazi ose sic thuhet ndryshe me
pështjellë të rotorit të lidhur në të shkurtër (fig 1.8).
b Motore asinkron me rotor me faza.
Për pergatitjen e pështjellës së rotorit në formë kafazi (fig 1-9) në çdo kanal të
bërthamës së rotorit vendoset një thupër përcjellëse e paizoluar prej bakri ose alumini. Të
gjitha thuprat lidhen shkurt me anë të dy unazave përcjellëse. Thuprat e rotorit, unazat dhe
fletët e ventilatorit, shpeshherë pergatiten njëherësh nëpërmjet derdhjes së aluminit në kanalet
e rotorit.
Fig. 1.9 Pështjhella e rotorit në formë kafazi.
Në makinat me rotor me faza pështjella trefazore e rotorit pergatitet njëlloj si e
statorit. Tri daljet e saj lidhen me tri unaza përcjellëse të vendosura në boshtin e makinës dhe
të izoluara prej tij. Mbi këto unaza rrëshqasin furcat nëpërmjet të cilave pështjella e rotorit
lidhet me qarkun e jashtëm. Boshti i rotorit mbështetet në kuzhinetat, të cilat nga ana e tyre
vendosen në kapaket të montuar në zgjedhë. Kushinetat centrojnë rotorin jo vetëm në
drejtimin radial, por dhe aksial. Meqënëse hapësira ndërmjet qarkut magnetik të statorit dhe
rotorit në makinat asinkrone është shumë e vogël (0,3-1 mm), boshti i rotorit duhet të jetë
mjaft i ngurtë dhe përpunimi mekanik i detaleve konstruktive, që të sigurojnë pozicionin e
rregullt të boshtit në hapësirë, duhet të bëhet me saktësi të lartë.
1.3 Fusha magnetike e makinës asinkrone.
1.3.1 Forca magnetomotore e bobinës me hap të plotë.
Pranojmë një makinë me hapsirë ajrore të pandryshueshme gjatë gjithë periferisë së
saj në të cilën është vendosur një bobinë që ka W dredha të lidhura në seri (fig.1-11). Qarkun
magnetik do ta pranojmë të pangopur. Fusha magnetike e hapësirës ajrore e krijuar nga rryma
ib që kalon në bobinë tregohet në figurën 1-12. Për një vijë të induksionit magnetik të kësaj
fushe mund te shkruajme :
b bHdl W i (1-1)
Duke pranuar për qarkun magnetik ç = ∞ ( Hc= 0 ), shprehja 1-1 shkruhet në formën:
2 b bH W i   (1-2)
ku  është hapsira ajrore (hapsira midis statorit dhe rotorit siç tregohet në figurën 1-11
Induksioni magnetik në hapsirën ajrore është:
0
0
2
b b
b
W i
B H F    

 

(1-3)

23. 23
-
Fa
a
f( )
1aF
-Fa
Fig. 1.11 Një bobinë me hap të plotë. Fig.1-12. Fusha magnetike dhe f.m.m e bobinaveme
hap të plotë
Madhësitë:
0




(1-4)
dhe
2
b b
b
W i
F  (1-5)
quhen përkatësisht përcjellshmëria magnetike specifike e hapsirës ajrore dhe f.m.m e bobinës
në një hapsirë ajrore.
Me lëshimet e bëra përcjellshmëria magnetike specifike e hapsirës ajrore e
pranojmë konstante ( = kostant ), prandaj lakorja e f.m.m në një shkallë tjetër jep dhe
lakoren e shpërndarjes së induksionit magnetik në hapsirën ajrore. Sic shihet nga figura 1-12,
kjo lakore është periodike, me periodë të barabartë me gjatësinë e dy ndarjeve polare. Duke e
zberthyer në seri Furie, meqënëse është simetrike me boshtin e abshisave, ajo do të përmbaje
harmonikat teke () (fig.1-11). Në qoftë se vendosim boshtin e ordinatave në aksin e
simetrisë së bobinës (ose sic thuhte ndryshe në aksin magnetik të bobinës), f.m.m e bobinës
shkruhet:
1 3 5( ) cos cos3 cos5 ...b b b bF F F F       (1-6)
Amplitude e harminikës së rendit  jepet me barazimin :
2
2
2 4
cosb b bF F d F



 
 
  (1-7)
Në rast se rryma që kalon në bobinë është sinusoidale
2 sinb bi I t  (1-8)
Atëherë f.m.m e bobinës është funksion i kohës dhe sipas barazimit 1-5 do të jetë:
( ) 2 sin sin
2
b
b b bm
W
F t I t F t   (1-9)
Në këtë rast dhe amplitudat e harmonikave të rendit  do të jenë funksione të kohës
dhe në bazë të barazimeve (1-7) dhe (1-9) mund të shkruhet në formën e mëposhtme:
4 2 22
( ) sin sin
2
b b b
b b
W W I
F t I t t   
 
(1-10)

24. 24
Ose:
( ) sinb b mF t F t   (1-11)
Në këtë mënyrë kur në bobinë kalon rrymë sinusoidale, f.m.m e bobinës do të jetë:
1 3( , ) sin cos sin cos3 ...b b m b mF t F t F t       (1-12)
ose
1,3,5,7..
( , ) sin cosb b mF t t F

  

  (1-13)
Siç shihet, f.m.m e bobinës pulson në kohë me frekuencën e rrymës që kalon në të ,
dhe me të njëjtën frekuencë pulsojnë dhe harmonikat përbërëse të saj. Secila prej
harmonikave të f.m.m është e shpërndarë gjatë hapsirës ajrore sipas një ligji sinusoidal.
1.3.2 Forca magnetomotore e grupit të bobinave me hap të plotë.
Boshtet e simetrisë së bobinave që përbëjnë grupin janë të shfazuara në hapsirë me
këndin
2p
Z m q
 

 
 (1-14)
prandaj dhe harmonikat e rendit  të f.m.m të secilës bobinë janë të shfazuara në hapësirë me
këndin x  dhe mund të paraqiten me vektorë të shfazuar nga njëri tjetri me këtë kënd. Duke
mbledhur këta vektorë, gjendet amplituda e harmonikës së rendit  e f.m.m të grupit të
bobinave.
q b pF qF k   (1-15)
ku kp është koeficenti i përhapjes së pështjellës për harmonikën e rendit .

/2-/2-

fig.1-13. F.m.m e grupit te bobinave me hap të plotë
Duhet vënë në dukje se aksi i f.m.m të grupit të bobinave përputhet me aksin e
simetrisë së grupit, prandaj duke vendosur boshtin e ordinatave në aksin e simetrisë së gruit të
bobinave mund të shprehet me barazimin 1-13 duke vendosur Fqm në vend të Fbm
1,3,5,7..
( , ) sin cosq q mF t t F 

  

  (1-16)

25. 25
1.3.3 F.m.m e fazës.
Në figurën 1-14 a, tregohet një fazë e një pështjelleje dyshtresore me hap të shkurtuar
(< ) e një makine me një cift polesh. Mëqënëse f.m.m përcaktohet nga vendosja e
përcjellësve dhe nga kahja e rrymës në to, mund të pranohet se përcellësit e shtresës së
mësipërme formojnë një grup bobinash me hap të plotë dhe ato të shtresës së poshtme
formojnë grupin tjetër po me hap të plotë. Akset e simetrisë së këtyre grupeve janë të
zhvendosura me këndin ( 1−) . Harmonika e parë e f.m.m. të grupit të përcjellësve të
shtresës së sipërme është zhvendosur në hapsirën nga harmonika e parë e grupit të formuar
nga përcjellësit e shtresës së poshtme me të njëjtin kënd (në figurën 1-14,b këto harmonika
janë treguar me vija të ndërprera ). Shuma e këtyre dy lakoreve jep një sinusoidë (të treguar
në figurën 1-14,b me vijë të plotë), që paraqet harmonikën e parë të f.m.m të fazës. Amplituda
e saj është e barabartë me shumën e vektorëve të harmonikave të parë të f.m.m të grupeve të
bobinave (fig.1-15).
1 1 1 12 sin 2
2
f q q yF F F k 

 (1-16)
Ku ky1 është koeficenti i shkurtimit të hapit për harmonikën e parë.
Harmonikat e rendit  të f.m.m. të këtyre dy grupeve janë të zhvendosura në hapsirë
në këndin ( 1-) ., prandaj amplitude e harmonikës së rendit  të f.m.m. të fazës është:
2f q yF F k   (1-17)


 1 Y
1Ff
1Fq
 
a
b
Fig1-14. harmonika e parë e f.m.m. të fazës në pështjellën me hap të shkurtuar.
1qF

2qF

fF

(1 ) 
Fig.1-15. Përcaktimi i harmonikës së parë të f.m.m. të fazës.
Duke zëvendësuar në (1-17) barazimet (1-15) dhe (1-10), amplitude e harmonikës së
rendit  të f.m.m. të fazës shkruhet:
2 2
( ) 2 sinf b w bF t qW k I t  

(1-18)

26. 26
ose
( ) sinf f mF t F t   (1-19)
ku Ffm është vlera maksimale e amplitudës së harmonikës së rendit  të f.m.m. dhe është e
barabartë:
2 2
2f m b w bF qW k I 

(1-20)
Në pështjellat dyshtresore numri i dredhave te lidhura në seri në një fazë është:
2 bpqW
W
a
 (1-21)
kurse rryma në bobinë është
b
I
I
a
 (1-22)
Ku:
a është numri i degëve në parale
I është rryma e fazës
Duke pasur parasysh (1-21) dhe (1-22), shprehja (1-20) merr formën:
2 2
0.9w w
f m
Wk Wk
F I I
p p
  

 
(1-23)
Shprehja (1-23) është e vlefshme edhe për pështjellat njështresore. Sic shihet nga
fig.1-13 aksi i f.m.m. të fazës puthitet me aksin e simetrisë së pështjellës së fazës, prandaj
duke marrë boshtin e ordinatave të përputhur me aksin e simetrisë së fazës, f.m.m e fazës do
të jetë:
2 1
1
( , ) sin cos
k
f f mF t t F 

  


  (1-24)
Nga shprehja (1-24) duket se f.m.m. e fazës përbëhet nga një seri harmonikash të
palëvizshme në hapsirë dhe që pulsojnë në kohë me frekuencën e rrymës që kalon në
pështjellë, prandaj dhe f.m.m. e fazës pulson me të njëjtën frekuencë.
1.3.4 Valët rrotulluese të f.m.m.
Secila prej harmonikave pulsuese të f.m.m.të fazës paraqitet si shumë e dy valëve
rrotulluese:
1 1
sin( ) cos( ) sin( ) sin( )
2 2
f m f m f mF t F t F t            (1-25)
Sic dihet secili prej termave të anës djathtë paraqet një valë rrotulluese me amplitudë
të pandryshueshme të barabartë me ½ Ffm. Këto valë me amplitudë të njëjta rrotullohen në
kahje të kundërta me të njëjtën shpejtësi këndore dhe të barabartë me:
 



(1-26)
pra vala e drejtë me shpejtësi / dhe ajo e kundërt –(/, ku =2f është frekuenca
këndore e rrymës.Shpejtësia këndore e këtyre valëve e shprehur në radian gjeometrikë do të
jetë:

27. 27
2
2
f
n
p p
    
 

 
(1-27)
ku :
f
n
p


është numri i rrotullimeve të valëve të fushës në rrot/sek.
Në figurën 1-16 ilustrohet në mënyrë grafike zbërthimi i valës pulsuese të
harmonikës së parë të f.m.m. të fazës në dy valë rrotulluese me amplituda të njëjta dhe që
rrotullohen në kahje të kundërta me të njëjtën madhësi.
Fig.1-16. Vala pulsuese e f.m.m. të fazës dhe valët
rrotulluese përbërëse të saj
1.3.5 Forca magnetomotore e pështjellës trefazore.
Një pështjellë trefazore simetrike është e formuar nga tri pështjella një fazore të
njëjta akset e simetrisë të të cilave janë të zhvendosura në hapsirë me 2/3 radian elektrikë.
Në rast se pështjellën trefazore simetrike e ushqejmë me një sistem simetrik rrymash:
 
 
2 sin
2 sin 120
2 sin 240
A
B
C
i I t
i I t
i I t

 
 





(2-29)
atëherë secila prej fazave krijon f.m.m. të saj të shprehur me barazimin (1-24) si më poshtë:

28. 28
2 1
1
2 1
1
2 1
1
( , ) sin cos
( , ) sin( 120 ) cos
( , ) sin( 240 ) cos
k
A f m A
k
B f m B
k
C f m C
F t t F
F t t F
F t t F






  
  
  







 
 





(3-30)
Fig.1-17 Paraqitja skematike e motorit asinkron trefazor.
Në këto barazime këndi  matet nga aksi i secilës fazë. Për të mbledhur f.m.m. të fazave duhet
që këndi  të matet jo nga aksi i secilës fazë, por nga e njëjta pikë, p.sh nga aksi i fazës A. Për
këtë qëllim mjafton që në barazimet e f.m.m. të fazave B,C në vend të këndit  të vendosen
përkatësisht këndet ( -1200
) dhe ( -2400
). Në përputhje me barazimin 1-25 secila prej
harmonikave të f.m.m. për fazat e ndryshme shkruhet:
       
       
1 1
( , ) sin( ) sin( )
2 2
1 1
( , ) sin 120 120 sin 120 120
2 2
1 1
( , ) sin 240 240 sin 240 240
2 2
A f m f m
B f m f m
C f m f m
F t F t F t
F t F t F t
F t F t F t
  
  
  
    
      
      
   
             
             
   
   
(1-31)
Termat e para të anës së djathtë paraqesin valët e drejta të f.m.m. të fazave kurse termat e dyta
valët e kundërta. Valët e drejta mund të shkruhen në formën:
   
   
   
1
( , ) sin 0 1 120
2
1
( , ) sin 1 1 120
2
1
( , ) sin 2 1 120
2
A f m
B f m
C f m
F t F t
F t F t
F t F t
 
 
 
   
   
   
     
     
     



(1-32)
Shprehja 1-32 tregon se valët e drejta të harmonikave të f.m.m. të fazave janë të zhvendosura
në hapsirë me këndin ( -1 )1200
. Për të gjetur shumën e tyre , harmonikat ndahen në tri grupe
në ato të rendeve:
1) = 2mk+1
2) = 2mk-1
3) = m(2k+1)
A
B
Y
Z
C
X
120o
120o
120o

29. 29
Ku k është numër i plotë pozitiv k=0, 1, 2, 3, ...Për pështjellat trefazore do të kemi në grupin e
parë harmonikat e rendit =1, 7, 13, 19, në grupin e dytë harmonikat e rendit =5, 11, 17,...
dhe në grupin e tretë rendin =3, 9, 15,... Për grupin e parë të harmonikave këndi i shfazimit
në hapsirë është:
   1 120 2 1 1 120 2 3 120 2 360mk k k            
 (1-32)
pra ato janë të puthitura me njëra tjetrën dhe mblidhen aritmetikisht.Për grupin e dytë këndi i
shfazimit në hapsirë ndërmjet valëve të drejta të f.m.m. për një harmonikë të rendit  do të
jetë:
     1 120 2 1 1 120 6 2 120 2 360 240 120mk k k              
 (1-33)
kështu që shuma e tyre do të jetë zero. Për grupin e tretë këndi i shfazimit :
     1 120 (2 1) 1 120 6 2 120 2 360 240 240m k k k              
 (2-34)
prandaj shuma e tyre do të jetë zero. Në të njëjtën mënyrë provohet se nga valët e kundërta të
harmonikave të f.m.m. të fazave (termat e dyta të anës së djathtë në barazimin 1-31)
ekzistojnë vetëm ato të grupit të dytë. Në këtë mënyrë f.m.m. e pështjellës trefazore simetrike,
që ushqehet me një system simetrik rrymash, përbëhet prej harmonikave të rendit =6k+1,
(1,7,13….) të cilat janë valë të drejta dhe harmonikave të rendit =6k-1, (5,11,17….) që janë
valë të kundërta. Amplitude e valës së rendit , në bazë të shprehjeve (2-23) dhe (2-32) është:
3
1,35
2
w
m f m
Wk
F F I
p
  
 

(2-33)
Në rastin e përgjithshëm pështjella simetrike “m” fazore, që ushqehet nga një system simetrik
rrymash, krijon valë rrotulluese të f.m.m. me amplitudë:
0,45
2
w
m f m
Wkm
F F m I
p
  
 

(2-34)
Nga të gjitha harmonikat e f.m.m. të pështjellës shumefazore rëndësi të vecantë ka ajo e para:
 1 1( , ) sin
2
f m
m
F t F t p    (2-35)
e cila formon një valë të drejtë që rrotullohet në kahjen positive të renditjes së fazave me
shpejtësi 1==2f dhe amplitudë të pandryshueshme të barabartë me:
1
1 1 0,45
2
w
m f m
Wkm
F F m I
p
  (2-36)

30. 30
KAPITULLI 2
MODELI NË KORDINATA A, B, C (MODELI FAZORË) I MAKINËS
ASINKRONE TRE-FAZORE.
2.1 Motori asinkron me rotor me faza.
Ekuacionet që përshkruajnë transformimin e energjisë në motorin asinkron tre-fazor
paraqesin në vetvete një sistem ekuacionesh diferenciale, të formuar nga ekuacionet e
ekuilibrit elektrik në pështjellat e motorit si dhe ato të ekuilibrit mekanik. Për nxjerrjen e
modelit matematik të motorit asinkron do të bëjmë lëshimet e mëposhtme:
 Qarku magnetik pranohet i pangopur ç=kostant dhe humbjet magnetike nuk merren
parasysh.
 Hapësira ajrore pranohet uniforme dhe f.m.m e çdo pështjelle, pra edhe fusha
magnetike e saj është shpërndarë sipas ligjit sinusoidal, gjatë periferisë së hapësirës
ajrore.
 Pështjellat e tri fazave të statorit janë simetrike dhe akset e tyre janë të zhvendosura në
këndin 2 /3 radianë elektrikë. Të njëjtat supozime pranohet edhe për pështjellat e
rotorit.
Ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve të pështjellave të statorit dhe rotorit për makinën
asinkrone me rotor me faza ku skematikisht është treguar në fig. 2.1 janë si më poshtë:
sA
sA s sA
d
u R i
dt

  (2.1-1)
sB
sB s sB
d
u R i
dt

  (2.1-2)
sC
sC s sC
d
u R i
dt

  (2.1-3)
ra
ra r ra
d
u R i
dt

  (2.1-4)
rb
rb r rb
d
u R i
dt

  (2.1-5)
rc
rc r rc
d
u R i
dt

  (2.1-6)
Ndërsa flukset e plota të fazave të makinës asinkrone janë të barabartë me:
4 2
( ) cos cos cos
3 3
s ss s s s sC sr r ra sr r rb sr r rcL i i i i i i
 
     
   
          
   
(2.1-7)
2 4
( ) cos cos cos
3 3
sC ss sC s s s sr r ra sr r rb sr r rcL i i i i i i
 
    
   
          
   
(2.1-8)
2 4
( ) cos cos cos
3 3
s ss s s s sC sr r ra sr r rb sr r rcL i i i i i i
 
     
   
          
   
(2.1-9)

31. 31
4 2
( ) cos cos cos
3 3
ra rr s r rb rc sr r sA sr r sB sr r sCL i i i i i i
 
   
   
              
   
(2.1-10)
2 4
( ) cos cos cos
3 3
rb rr rb r ra rc sr r sA sr r sB sr r sCL i i i i i i
 
   
   
              
   
(2.1-11)
4 2
( ) cos cos cos
3 3
rc rr rc s ra rb sr r sA sr r sB sr r sCL i i i i i i
 
   
   
              
   
(2.1-12)
sM
sM
sM
rM
rM
rM
r
sAi
sBi
sCi
rbi
rai
rci
srM
fig.2.1 Paraqitja skematike e makinës asinkrone
ku :
Lss është induktiviteti vetjak i fazës së statorit.
Ms është induktiviteti reciprok ndërmjet fazave të statorit.
Ls është induktiviteti i plotë i fazës së statorit i cili merr parasysh dhe ndikimin e
fazave të tjera të statorit të makinës asinkrone.
Lrr është induktiviteti vetjak i fazës së rotorit.
Mr është induktiviteti reciprok ndërmjet fazave të rotorit.
Lr është induktiviteti i plotë i fazës së rotorit i cili merr parasysh dhe ndikimin e
fazave të tjera të rotorit të makinës asinkrone.
Msr është vlefta maksimale e induktiviteti reciprok ndërmjet pështjellave të statorit
dhe rotori.
Rs rezistenca aktive e fazës së statorit.
Rr rezistenca aktive e fazës së rotorit.
Marrdhëniet ndërmjet induktiviteteve vetjake, reciproke të pështjellës së statorit dhe rotorit
janë si më poshtë:
ssmsssss MLLMLL  
1
2
1
2
s sm
r rr r r rm r
r rm
M L
L L M L L M
M L

 
    
 
(2.1-12/1)
Në përgjithësi në makinat asinkrone numri efektiv i dredhave të statorit  seff ws sW k W është i
ndryshëm nga numri efektiv i dredhave të rotorit  reff wr rW k W dhe raportin e tyre do ta
shënojmë me k ( seff
reff
W
k
W
 ). Marrdhënia ndërmjet induktivitetit të magnetizimit të statorit

32. 32
dhe rotorit si dhe induktivitetit reciprok janë; 2
k
L
L sm
rm  dhe
k
L
M sm
rs  . Në bazë të
ekuacioneve (2.1-1) – (2.1-6) dhe (2.1-7) – (2.1-12) shkruajmë si përfundim ekuacionet e
ekulibrit të tensioneve në rotor dhe stator në trajtë matricore.
1 2
2
1 2
2 1
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
s s ss s s sr r sr r sr r
s s s ss s sr r sr r sr r
sC s s s ss sr r sr r sr r
ra sr r sr r sr r r rr
rb
rc
u R pL p p p p p
u p R pL p p p p
u p p R pL p p p
u p p p R pL
u
u
  
  
  
  


      
        
       
 
    
 
 
  
1 2
2 1
cos cos cos
cos cos cos
s
s
sC
r r ra
sr r sr r sr r r r rr r rb
sr r sr r sr r r r r rr rc
i
i
i
p p i
p p p p R pL p i
p p p p p R pL i
  
  


  
  
  
  
  
   
       
  
         
(2.1-13)
Me dp
dt
 është shënuar operatori diferencial,
3
2
1
  rr dhe
3
4
2
  rr , r
është këndi ndërmjet aksit të pështjellës së fazës A të statorit dhe aksit a të fazës së rotorit (siç
është treguar në fig. 2.1). Siç shikohet në ndërtimin e ekuacioneve të tensionit të rotorit dhe
statorit duhet ndërtuar një matricë me 36 elementë të cilët vështirson studimin e madhësive
elektrike të makinave në kordinata fazore. Krahas saj matrica përbëhet nga elementë të cilët
varen nga pozicioni i rotorit pra nga këndi r . Duhet theksuar se ekuacionet (2.1-13) të
statorit janë shprehur në sistemin e referimit të palëvizshëm në stator dhe ekuacionet e
tensionit të rotorit janë shprehur në sistemin e fiksuar në rotor. Ekuacionet e mësipërme mund
të shkruhen dhe në trajtë matricore si më poshtë:
    
    
    
ss srs s
sr ssr r
Z Zu i
=
Z Zu i
(2.1-14)
ku: , , ,s r su u i ir janë përkatësisht vektorët shtyllor të rrymave, tensioneve të statorit dhe rotori
respektivisht:
 
t
s sA sB sCu u uu ,  
t
r ra rb rcu u uu (2.1-15)
 
t
s sA sB sCi i ii ,  
t
r ra rb rci i ii
Matricat e rezistencave të modelit jepen :
a) Matrica e impedancave vetjake të statorit
   
ss ss s s
ss s ss ss s ss ss
s s ss ss
R pL pM pM
pM R pL pM p
pM pM R pL
 
    
 
  
Z R L (2.1-16)
ku    s ssR L, janë matricat e rezistencave aktive dhe të induktiviteteve të statorit.
0 0
0 0
0 0
s
ss s
s
R
R
R
 
   
  
R
ss s s
ss s ss s
s s ss
L M M
M L M
M M L
 
   
  
L (2.1-16/1)
Ndërsa matrica e impedancave reciproke të statorit dhe rotorit është:
1 2
2 1
1 2
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
sr r sr r sr r
sr r sr r sr r
sr r sr r sr r
pM pM pM
pM pM pM
pM pM pM
  
  
  
 
   
  
srZ (2.1-17)

33. 33
dhe matrica e impedancave vetjake të rotorit është:
   
r rr r r
r r rr r
r r r rr
R pL pM pM
pM R pL pM p
pM pM R pL
 
     
  
rr r rrZ R L (2.1-18)
ku:
0 0
0 0
0 0
r
r
r
R
R
R
 
   
  
rrR (2.1-18/1)
dhe
rr r r
r rr r
r r rr
L M M
M L M
M M L
 
   
  
rrL (2.1-18/2)
matrica e impedancave reciproke rotor-stator është po ajo e impedancave reciproke stator-
rotor por e transponuar.
t
rs srZ = Z (2.1-19)
2.2 Momenti elektromagnetik
Momentit elektromagnetik të makinës asinkrone tre-fazore simetrike e cila ka p-çifte polesh e
përcaktojmë duku përdorur shprehjen ko-energjisë (shih kap.I) si më poshtë:
   
1
2
tc
e
r
E
m p T


 

s r s ri i i i (2.1-20)
ku T është matrica e momentit e cila përcaktohet me shprehjen:
L
r
d
T
d


(2.1-21)
ku :
L është matrica e induktiviteteve të makinës e barabartë:
1 2
2
1 2
2 1
1 2
2 1
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
ss s s sr r sr r sr r
s ss s sr r sr r sr r
s s ss sr r sr r sr r
sr r sr r sr r rr r r
sr r sr r sr r r rr r
sr r sr r sr r r r rr
L
pL
L
L
L
L
  
  
  
  
  
  
    
    
    

    
    
    
L
 
 
 
 
 
 
 
 
  
(2.1-22)
Në bazë të ekuacionit (2.1-21) dhe shprehjes (2.1-22) përcaktojmë matricëm e momentit e cila
është:

34. 34





















000
000
000
000
000
000
12
21
12
21
2
21
rrr
rrr
rrr
rrr
rrr
rrr
sr
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
MT






(2.1-23)
Elementët zero në matricën e momentit elektromagnetik janë për faktin se induktivitetet
vetjake dhe ato reciproke të statorit dhe rotorit janë kostant pra nuk varen nga pozicioni i
rotorit ose e thënë ndryshe nga këndi r në makinën elektrike me hapësirë ajrore uniforme.
Në bazë të ekuacioneve (2.1-20) , (2.1-21) dhe (2.1-23) momentin elektromagnetik mund ta
shprehim në termat e rrymave të rotorit dhe statorit si dhe këndit r të rotorit si më poshtë:
 
 
321
2
12
21
sinsinsin
sinsinsin
)sinsinsin(
eee
rrcrrbrrasC
rrcrrbrrasB
rrcrrbrrasA
sre mmm
iiii
iiii
iiii
pMm 

















(2.1-24)
Siç shikohet nga ekuacioni (2.1-24) momenti elektromagnetik që zhvillon makina mund të
monitorohet me anë të rrymave të statorit dhe rotorit si dhe këndit r . Gjithashtu duhet më
parë të llogaritet induktiviteti reciprok srM i pështjellave të statorit dhe rotorit. Në motorin
asinkron monitorimi i rrymave në rotorin në formë kafazi (rotori i lidhur në të shkurtër) është
shumë i vështirë për shkak të ndërtimit të tij. Prandaj për të monitoruar momentin
elektromagnetik duhet të gjejmë mënyra të tjera ku madhësitë e nevojshme të jenë lehtësisht
të matshme. Përfundimisht ekuacionet (2.1-1) –(2.1-12) së bashku me ekuacionin e
momementit elektromagnetik si dhe ekuacionin e lëvizjes formojnë sistemin e ekuacioneve
diferenciale të makinës elektrike pra modelin matematik të makinës asinkrone në kordinata A,
B, C. Këto ekuacione po i rishkruajmë më poshtë në mënyrë të përmbledhur:
sA
sA s sA
sB
sB s sB
sC
sC s sC
d
u R i
dt
d
u R i
dt
d
u R i
dt



 
 
 
,
ra
ra r ra
rb
rb r rb
rc
rc r rc
d
u R i
dt
d
u R i
dt
d
u R i
dt



 
 
 
(2.1-24/1)
2 4
( ) cos cos cos
3 3
s ss s s s sC sr r ra sr r rb sr r rcL i i i i i i
 
     
   
          
   
4 2
( ) cos cos cos
3 3
s ss s s s sC sr r ra sr r rb sr r rcL i i i i i i
 
     
   
          
   
2 4
( ) cos cos cos
3 3
sC ss sC s s s sr r ra sr r rb sr r rcL i i i i i i
 
    
   
          
   
4 2
( ) cos cos cos
3 3
ra rr s r rb rc sr r sA sr r sB sr r sCL i i i i i i
 
   
   
          
   
(2.1-24/2)
2 4
( ) cos cos cos
3 3
rb rr rb r ra rc sr r sA sr r sB sr r sCL i i i i i i
 
   
   
          
   
4 2
( ) cos cos cos
3 3
rc rr rc s ra rb sr r sA sr r sB sr r sCL i i i i i i
 
   
   
          
   

35. 35
 
 
1 2
2 1 1 2 3
2
( sin sin sin )
sin sin sin
sin sin sin
sA ra r rb r rc r
e sr sB ra r rb r rc r e e e
sC ra r rb r rc r
i i i i
m pM i i i i m m m
i i i i
  
  
  
  
 
        
 
   
(2.1-24/3)
1 L
2
rm ng
rm r
d
p D m
d d
dt J

 
 

t
i i
(2.1-24/4)
Modeli matematik i makinës asinkrone në kordinata fazore përbëhet nga 14 ekuacione me 14
të panjohura ku gjashtë janë rrymat e statorit dhe rotorit, gjashtë të tjera janë flukset e plota të
pështjellave, ekuacioni i momentit elektromagnetik si dhe ekuacioni i lëvizjes. Ky sistem
ekuacionesh mund të zgjidhet me metoda numerike. Duhet theksuar se për shkak të prezencës
së këndit r , ekuacionet e mësipërme kanë koeficentë periodik (që varen nga këndi r ) gjë
që rrit kohën e llogaritjes së madhësive.
2.3 Ekuacionet e ekuilibrit te Makines Asinkrone në formën e variablave
të gjendjes.
Ekuacionet e tensionit në modelin fazor të makinës siç u trajtua më lartë janë
ekuacione diferenciale me koeficientë variabëll në lidhje me kohën. Në përgjithësi zgjidhja e
tyre mund të realizohet me metoda numerike. Për këtë qëllim ekuacionet e ekuilibrit është
mirë të shprehen në formën e variablave të gjendjes. Nga ekuacioni (2.1-50) kemi që:
 
d
dt
 u Ri Li (2.1-33)
ku u dhe i janë vektorët shtyllorë të tensioneve dhe rrymave të statorit dhe rotorit.
 
t
s ru u u ,  
t
s ri i i (2.1-34)
R është matrica e rezistencave aktive të makinës e barabartë me :
 s s s r r rdiag R R R R R RR (2.1-35)
Në qoftë se zgjedhim si variabla gjendjeje rrymat e statorit dhe rotorit atëherë ekuacioni i
ekuilibrit elektrik të pështjellave do të jetë:
1 1d
dt t
  
    
 
i L
L R i L u (2.1-36)
dhe në rast se supozojmë se qarku magnetik është i pangopur d.m.th që induktivitetet nuk
varen nga rryma shprehja e mësipërme merr formën :
1 1
r
r
d d
dt d


  
    
 
i L
L R i L u (2.1-37)
ku:
r është shpejtësia këndore e rotorit e shprehur në radian elektrik per sekond
r është këndi i rotorit i shprehur në radian elektrik
L
r
d
d
është matrica e momentit

36. 36
për qark magnetik jo-linear induktivitetet janë funksion i rrymës kështu që derivati i rrymës
L
t


do të përmbajë
dt
di
)
di
dL
( ku
di
dL
është matrica e induktiviteteve dinamike e cila ekzistojnë
për shkak të ngopjes së qarkut magnetik. Në qoftë se si variabla gjendjeje do të përdorim
flukset magnetike të pështjellave, në bazë të ekuacioneve të ekuilibrit elektrik të pështjellave
do të kemi:
d
dt
 
ψ
u Ri (2.1-38)
ku ψ është vektori shtyllor i flukseve të plota të pështjellave.
 
t
sA sB sC ra rb rc     ψ (2.1-39)
ψ Li (2.1-40)
1d
dt

  
ψ
RL ψ u (2.1-41)
1
i L ψ (2.1-42
siç shikohet përdorimi si variablla gjendjeje flukset magnetike, ekuacionet ( modeli ) është më
i thjeshtë se në rastin kur përdorim rrymat si variabla gjendjeje. Ekuacionet e nxjerra më lartë
janë të vlefshme për çdo regjim. Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale realizohet me anë të
teknikave numerike. Vështirësia qëndron në faktin se matrica e induktiviteteve është funksion
i kohës. Ekuacionet e ekuilibrit elektrik të pështjellave plotësohet me ekuacionin e lëvizjes si
dhe ekuacionin e ekulibrit të momenteve të cilët janë:
1
2
i it
rm ng
rm r
dL
p D m
d d
dt J
 


 
(2.1-80)
r
rm r
d
p
dt

   (2.1-81)
Parametrat e makinës në modelin me kordinata fazore janë në vlerat reale të tyre (fizike) pra
nuk është e nevojshme që të transformohen. Vështërsia qëndron në faktin se modeli në
vetvehte ka koeficientë të cilët varen nga koha. Ky model është i përshtatshëm kur kërkohet të
merren parasysh harmonikat e larta, kur tensionet dhe rrymat nuk njihen në mënyrë eksplicite
si dhe kur përdorim gjysëmpërçues për rregullimin e shpejtësisë së makinës asinkrone.

37. 37
KAPITULLI 3
METODA E VEKTORIT HAPËSINOR
3.1 Kuptimi i vektorit përfaqësues
Në teorinë e qarqeve të rrymës së alternative, ku tensionet dhe rrymat janë sinusoidale në
kohë, një metodë që përdoret zakonisht është paraqitja e madhësive që ndryshojnë në mënyrë
sinusoidale me kohën, nëpërmjet një fazori kompleks. Kjo siguron një mënyrë vërtet të
përshtatshme për arritjen e zgjidhjeve të dëshiruara. Në makinat e rrymës alternative janë disa
madhësi fizike që mund të konsiderohen si funksione periodike ( për shembull, densiteti i
fluksit, f.m.m e statorit dhe rrotorit) të cilat mund të zbërthehen në një seri madhësish
harmonike që janë të shpërndara në hapësirë në mënyrë sinusoidale në zonën përreth
periferisë së makinës në hapësirën ajrore. Kështu që, ashtu si në qarqet e rrymës alternative
mund të paraqesim madhësitë që ndryshojnë me kohën me anën e fazorëve të kohës, po ashtu
valët hapësinore sinusoidale të hapësirës ajrore mund t’i paraqesim me anën e fazorëve
kompleksë hapësinorë, të cilët shpesh njihen me emrin vektorët hapësinorë, edhe pse, në fakt,
emri “fazorët hapësinorë” do të ishte më korrekt. Para se të bëjmë transformimin e
ekuacioneve diferencilalë të motorit asinkron është e domosdoshme që të japim kuptimin e
vektorit hapësinor. Siç dihet në pështellat e makinave elektrike të rrymës alternative në
regjime normale rrymat, tensionet, flukset etj janë funksione harmonikë të kohës dhe si të tillë
mund të paraqiten me anën e vektorëve ( fazorët kompleks). Kështu, p.sh në një sistem
trefazor, rrymat paraqiten
1
1
1
sin( )
2
sin( )
3
4
sin( )
3
a m i
b m i
c m i
i I t
i I t
i I t
 

 

 
 
  
  
(3-1)
me tre vektorë të barabartë në madhësi dhe të zhvendosur me kënd 2/3 që rrotullohen në
lidhje me një aks të palëvizshëm, që quhet aksi i kohës, me shpejtësi këndore të barabartë me
frekuencën këndore të rrymës fig (3.1-a). Moduli i vektorëve është i barabartë me amplitudën
e rrymës ( )mI ndërsa pozicioni i tyre në lidhje me aksin e kohës përcaktohet nga këndi
ndërmjet vektorit përkatës dhe këtij aksi. Këto kënde janë të barabartë me argumentin e
funksionit sinusoidal minus /2 , p.sh, për fazën a këndi ndërmjet vektorit përkatës aI dhe
aksit të kohës 1( 2)it     . Në këtë mënyrë projeksionet e vektorëve në aksin e kohës
japin vlerat e çastit të rrymave në të tre fazat. Mirëpo vlerat e çastit të rrymave mund të
përcaktohen ndryshe dhe pikërisht me anën e një vektori të vetëm dhe tre akseve të
palëvizshme a, b, c të zhvendosura nga njëri-tjeetri me 2/3, pra tre akseve të fazave. Që
projeksioni i këtij vektori në tre akset e fazave a, b, c të na japë vlerat e çastit të rrymës në
këto tre faza, duhet që moduli i tij të jetë i barabartë me amplitudën e rrymës së fazës ( )mI ,
këndi ndërmjet tij dhe aksit të fazës “a” të jetë 1( 2)it    dhe të rrotullohet me shpejtësi
këndore 1 të barabartë me frekuencën këndore të rrymës.

38. 38
c
i
a
i
b
i
cI

aI

bI

1
i
ai
bai
2
ca i
1( )
2
it

  
1
Fig 3.1-a. Paraqitja vektoriale e rrymave të fazave. Fig.3.1-b. Paraqitja e rrymave të fazave
nëpërmjet vektorit hapësinor
Një vektor i tillë quhet vektor përfaqësues dhe shënohet me i. Duke vendosur boshtin real
(+1) të planit kompleks të puthitur me aksin e fazës “a” (fig 3.1-b), vektori hapësinor mund të
shkruhet
22
( )
3 a b ci i ai a i   (3-2)
ku: ia, ib, ic janë vlerat e çastit të rrymës në fazat a, b, c.
Koeficienti 2/3 në barazimin (3-2) është i nevojshëm pasi shuma 2
( )a b ci ai a i  është një
vektor me modul të barabartë me  3 2 mI . Projeksioni i këtij vektori në boshtin real (aksi i
fazës “a”) është i barabartë me vlerën e çastit të rrymës në fazën “a”. Po ashtu projeksioni i
këtij vektori në akset b dhe c jep vlerat e çastit të rrymave në fazat b dhe c. Në rast se në
pështjellat e motorit kalojnë rryma të renditjes së drejtë dhe të kundërt, atëherë vektori
hapësinor përfaqësues rezultant i rrymës në pështjella gjendet duke mbledhur vektorët
hapësinor të renditje së drejtë dhe të kundërt.
1 2i i i  (3-3)
Duhet theksuar se me anën e vektorit përfaqësues mund të caktohen vlerat e castit të rrymave
të fazave vetëm n.q.s shuma e tyre në cdo cast kohe është e barabartë me zero 0a b ci i i   .
Në ato raste që ekziston përbërsja e renditjes zero të rrymës , vlerat e çastit të rrymave të
fazave do të jenë 0ai i  , 0bi i  , 0ci i  dhe vektori përfaqësues i rrymës jepet nga ekuacioni
2
0 0 0
2
[( ) ( ) ( )]
3
a b ci i i a i i a i i        (3-4)
ose
2 2
0
2
[ (1 )]
3 a b ci i ai a i i a a       
Prej ku
22
( )
3 a b ci i ai a i     (3-5)
Siç shihet vektori përfaqësues nuk varet nga përbërsja nuleare 0i , kështu që nuk mund ta
përfaqësojë atë, prandaj përbërsja nuleare duhet marrë parasysh veçmas. Paraqitja e vlerave të
çastit të rrymave fazore me anën e vektorit hapsinor dhe tre akseve është e drejtë edhe në
regjimet kalimtare me ndryshimin e vetëm që moduli dhe shpejtësia e këtij vektori janë
funksion i kohës.

39. 39
3.2 Paraqitja e f.m.m, induksionit, densitetin e rrymës dhe fluksin e një bobine
anë të vektorëve hapësinor përkatës.
Në makinat elektrike pështjellat e saj vendosen në anën e jashtme dhe të brendshme
të hapësirës ajrore ( shih kap.II ). Në këtë pështjellë kalon rryma që krijon fushën magnetike
rezultante, e cila ndryshon në hapësirë dhe kohë, dhe këto ndryshime kanë efekt shumë të
rëndësishëm në sjelljen e makinës në regjimet e vendosura dhe në ato kalimtare. Nëse mund
të përcaktojmë fillimisht fushën magnetike të krijuar nga një bobinë e vetme, fusha magnetike
rezultante e krijuar nga një sistem çfarëdo përcjellësish mund të përftohet si shumë e
komponenteve të fushës të prodhuara nga bobinat e këtij sistemi. Për thjeshtësi, marrim në
shqyrtim një bobinë në statorin e një makine me hapësirë ajrore uniforme, dhe shënojmë me
a-a’ dy faqet e saj. Vlera e çastit e rrymës që kalon nëpër këtë bobinë është i a (t) e cila varet
nga koha, e shënuar me t, dhe duhet vënë në dukje se rryma mund të mos ndryshojë në
mënyrë sinusoidale. Numri i dredhave në këtë bobinë është Wa. Do të pranojmë
përcjellshmërinë magnetike të hekurit infinit, fluksi në hapësirën ajrore është radial dhe fluksit
i shpërndarjes së bobinës nuk merret parasysh. Në këtë mënyrë, përcjellësit e vendosur në
kanalet e statorit mund t’i pranojmë të vendosur në sipërfaqe të statorit, siç tregohet në figurën
3.2, dhe një bobinë a është zhvendosur me këndin a nga aksi i referimit, që është aksi real të
sistemit ortogonal të referimit, i fiksuar në pjesën e palëvizshm të makinës (statorin).
Fig 3.2 Bobina me hap të plotë dhe vendosja e saj në hapsirë.
Në fig. 3.2 statori dhe rotori janë marrë cilindrikë, prandaj hapësira ajrore është e
njëjtë. Forca magneto-motore rezultante (f.m.m) e bobinës është Waia(t)/2, dhe shpërndarja e
f.m.m përgjatë periferisë tregohet në fig. 3.3, e cila ka formën drejtkëndore.
aF1

Fig.3.3 shpërndarja e f.m.m përgjatë periferisë së hapsirës ajrore.

40. 40
Shpërndarja e f.m.m fa() e krijuar nga rryma i a (t) mund të zbërthehet në përbërësen kryesore
dhe në një numër të pafundëm harmonikash. Shpërndarja drejtkëndore e f.m.m mund të
zbërthehet në serinë Furie si më poshtë:
4 1 1
( ) {sin( ) sin[3( )] sin[5( )] }
3 5
a a a a af F             

(3-6)
Meqënëse f.m.m e bobinës është simetrike me boshtin e abshisave, zbërthimi Furie
do të përmbajë vetëm harmonika teke. Duke marrë parasysh vetëm termin e parë të ekuac.(3-
6) e cila përfaqëson harmonikën kryesore të f.m.m, f.m.m e bobinës është e barabartë me
shprehjen e mëposhtme:
1 1
2
( , ) sin( ) sin( )a a a a a af t W i F       

(3-7)
ku aF1 është amplituda e përbërëses kryesore të f.m.m dhe 1
2
a a aF W i

. Në rast se
harmonikat e rendeve të larta (3, 5...) nuk do të merren parasysh, praktikisht një bobinë mund
të zëvendësohet me një bobinë fiktive që krijon një valë sinusoidale të f.m.m të krijuar nga
rryma që kalon nëpër bobinë. Duke përdorur formën komplekse të paraqitjes, ekuac. 3-7
mund të shkruhet:
2
1 1 1 1( , ) cos( ) Re( ) Re( )
2
aj j j j
a a a a af t F F e e e f e   
    
     (3-8)
ku 1a
f është fazori i vektorit hapësinor i f.m.m të bobinës “a”, në rastin kur vetëm harmonika
e parë merret parasysh e cila mund të shprehet me:
2
1 1 1 1
2
cos( ) sin( )
2 2
a a a a
jj j j j
a a a a a af F e e F e j jF e j W i e
    

 
      
(3-9)
Duke zgjedhur arbitrarisht
2a
   , vektori hapësinor mund të shprehet:
0
1 1
2 2j
aa a a a af F W i e W i
    (3-9/1)
ku 0j
e është vektori njësi i cili përputhet me aksin magnetik të bobinës. Kështu,
aF1 është një madhësi reale, që ka drejtimin e boshtit real të planit të referimit dhe që është
zgjedhur e tillë që të përputhet me boshtin magnetik të bobinës ‘a’ (fig.3-4). Në mënyrë të
njëjtë mund të përcaktojmë vektorin hapësinor të rrymës në bobinën ‘a’. Kjo është e barabartë
me:
0
( ) j
a ai i t e (3-10)
ku ai përftohet thjeshtë duke shumëzuar ( )a
i t me vektorin hapësinor njësi 0j
e . Është me
rëndësi të theksojmë edhe një herë se asnjë kufizim nuk është bërë në natyrën e ndryshimit në
kohë të ia(t). Shpërndarja e densitetit të rrymës në sajë të bobinës ‘a’ është shënuar me a
j , dhe
mund të përftohet duke marrë parasysh që shpërndarja e f.m.m është e barabartë me integralin
e shpërndarjes së densitetit të rrymës. Pra, mund ta nxjerrim nga ekc. (3-1)
2 1 1
( ) {cos( ) cos[3( )] cos[5( )] }
3 5
a a a a a aj W i              

(3-11)
Dhe përbërësja e tij kryesore është:
1
2
( ) cos( )a a a aj W i    

(3-12)

41. 41
Duke përdorur trajtën komplekse, ekc. (3-12) mund të shkruhet:
1 1
2
( , ) Re Re( )aj j j
a a a aj t W i e e j e  


  
   
(3-13)
a
a’
Nje bobine me W –dredha me hap
te plote e cila kalon rryma i.

/2-/2-
W*i / 2
-W*i / 2
Fig.3.4 shpërndarja e f.m.m përgjatë periferisë së hapsirës ajrore kur
aksi real përputhet me aksin magnetik të bobinëës.
ku 1aj është vektori ( fazori) hapësinor i densitetit të rrymës i krijuar nga bobina ‘a’, në rastin
kur merret parasysh vetëm harmonika e parë. Nga ekuac. (3-13), duke marrë a = − /2,
fazori hapësinor i densitetit të rrymës 1aj mund të shprehet:
2
1 1 1
2
( ) aj j
a a a a aj W i t e f e j f 


    (3-14)
Sipas ekuac. (3-14) vektori (fazori) hapësinor i përbërëses kryesore të densitetit të
rrymës së bobinës ‘a’ merret nga produkti i vlerës së çastit të rrymës me konstanten (2/)Wa
dhe me vektorin njësi hapësinor, i cili merret si funksioni eksponencial i a , ku a përcakton
pozicionin e bobinës në hapësirë. Gjithashtu nga ekuacioni (3-14) rrjedh që pozicioni i
vektorit 1aj në hapësirën përcakton amplitudën e valës hapësinore të marrë në shqyrtim.
Është e rëndësishme të theksojmë që një vektor hapësinor s’është veçse paraqitja komplekse e
një madhësie sinusoidale dhe si i tillë nuk është medoemos një vektor fizik. Mund të thuhet në
përgjithësi se moduli i vektorit hapësinor të një madhësie të dhënë është sa amplituda e valës
sinusoidale të marrë në shqyrtim dhe pozicioni i tij në planin (ortogonal) kompleks tregon
pozicionin në hapësirë të maksimumit të valës. Ndryshimi në hapësirë i një madhësie, sipas
kordinatës  përcaktohet me anën e projeksionit të vektorit hapësinor në vektorin njësi
korrespondues 0j
e . Duke pranuar bobinë të shpërndarë në mënyrë sinusoidale ‘a’, dhe në këtë
mënyrë duke mos marrë parasysh harmonikat e rendeve të larta por vetëm harmonikën e
rendit të parë, forca magneto - motore ),(1 tf a  do të krijojë densitetin e fluksit ( induksionin
magnetik ) 1 ( , )ab t të hapsirës ajrore. Mëqënëse hapësirën ajrore e kemi pranuar uniforme,
me gjatësi δ, induksionin e përcaktojmë me shprehjen:
  0 0
1 1 1
2
( , ) ( , ) ( , ) cosa a a a ab t f t f t W i   
 
     
  
(3-15)
ku 0 është përshkueshmëria magnetike e boshllëkut 0=410-7
V s/A m). Kështu, 1 ( , )ab t ka
shpërndarje të së njëjtës formë me ),(1 tf a  . Meqë 1 ( , )ab t është produkti i një konstanteje

42. 42
(

0
) dhe ),(1 tf a  , vektori hapësinor i densitetit të fluksit i krijuar nga një bobinë ‘a’ është i
barabartë me produktin e kësaj konstanteje dhe vektorit hapësinor 1af . Që këtej merret:
 0 0
1 1
2
a a a ab f W i t
 
  
  (3-16)
e cila më tej mund të shprehet:
  00 0 0
1 1
2 2j
a aa a a ab f W i e W it
  
    
   (3-17)
Shpërndarja e plotë e fluksit të hapësirës ajrore e krijuar nga bobina ‘a’ mund të
merret prej ekuacioneve (3-16) ose (3-17), sipas të cilëve vlera maksimale e densitetit të
fluksit (induksionit magnetik në hapsirës ajrore) është 0
1
2
a a aB W i

 
, dhe fluksi i hapësirës
ajrore për pol është integrali i densitetit të fluksit në hapsirën polare,
2
1 1 1
2
[ cos ] 2a a aB lr d B lr

 



   (3-18)
ku l është gjatësia aksiale e statorit dhe r është rrezja e brendshme e statorit. Që këtej rrjedh se
vektori hapësinor i fluksit të statorit për shkak të rrymës i a merr formën:
00 0
1
4 4j
aa a a alrW i e lrW i
 

   
  (3-19)
ku D është diametri i brendshëm i statorit. Vektori hapësinor i fluksit të plotë të bobinës do të
jetë:
20
11
2
a aaa a a a
lD
W W i L i  

 

(3-20)
Në ekc. (1.1-15) aL është induktiviteti vetiak i bobinës ‘a’, e cila është e barabartë
me shprehjen:
20 2
a aL lDW

 
 (3-21)
Duhet vënë në dukje se induktiviteti vetiak është fituar duke marrë parasysh vetëm
komponenten kryesore (sinusoidale) të f.m.m dhe duke neglizhuar efektin e harmonikave të
rendeve të larta. Sidoqoftë, nëse të gjitha harmonikat merren parasysh, pra merret parasysh
shpërndarja drejtkëndore e f.m.m ),( tfa  , densiteti ifluksit do të jetë gjithashtu drejtkëndore
dhe fluksi i plotë i hapësirës ajrore për pol është:
2
2 20 0 0
11
2
1 1
2 2 4
a a a aaa a a a a a aW W i rl d W W rli W Dli L i


  
  
  

 
      
  (3-22)
3.3 Vektori hapësinor përfaqësues i f.m.m, induksionit, fluksit, densitetit te
rrymës në rastin e grupit të bobinave.
Pështjella e një faze konsiston në një grup bobinash, në të cilat kalon e njëjta rrymë.
Për shembull, nëse për lehtësi marrim parasysh pështjellën e një faze të statorit e cila përmban
sAn bobina identike me hap të plotë të lidhura në seri me njëra tjetrën të vendosur në një kanal
(pështjellë ke përqendruar) nëpër të cilat kalon rryma sAi = i a , f.m.m rezultante për pol është

43. 43
e barabartë me
 
2
sA a an W i t
. Në qoftë se bobinat pështjella e fazës së statorit sA janë të
vendosur në kanale të ndryshme të statorit si në fig.3-5 nën një kënd β, përbërësja kryesore e
shpërndarjes së f.m.m përreth periferisë sAf ( ) do të jetë e ngjashme me atë të përshkruar
nga ekc. (3-2).
fig.3-5 f.m.m e grupit të bobinave
Në vend të termit (
2
a aW i

) do të përdorim termin (
2
sA a pA an W k i

) ku pAk është koefiçienti i
përhapjes së pështjellës e statorit sA për harmonikën kryesore, dhe meqë kemi marrë në
shqyrtim pështjellën me hap të plotë, është i barabartë me kefiçientin e përhapjes së
pështjellës që i korrespondon harmonikës kryesore, pAk = sin (β/2)/ (β/2)
Nëse bobinat e lidhura në seri nuk janë me hap të plotë, atëherë pAk duhet
shumëzuar me koefiçientin e shkurtimit të hapit yAk që i korrespondon harmonikës kryesore.
Kështu që në vend të pAk , duhet të jetë i pranishëm në shprehjen e komponentes kryesore të
f.m.m dhe faktori kwA=kpAkyA. Në këtë shprehje kwA është koefiçienti i pështjellës së fazës së
statorit.
Që këtej del që vektori hapësinor i përbërëses kryesore të f.m.m që i korrespondon
fazës sA të statorit është i barabartë me shumën e vektorëve hapësinorë të shpërndarjes së
fluksit që i korrespondojnë bobinave të veçanta.
1 1 1sA a b NsAf f f f   (3-23)
Është e rëndësishme të përmendim se ekuac. (3-23) tregon një avantazh të veçantë që
paraqet përdorimi i vektorit hapësinor ku për madhësitë sinusoidale, rezultantja e tyre mund të
përcaktohet duke mbledhur vektorët hapësinorë të vecantë. Ekuacioni (3-23) mund të shprehet
si më poshtë:
2 02 2 2 2aj j j
sAsA sA wA sA sAeff sA sAeff sA sAefff j W k i e j W i e W i e W i 
   

    (3-24)
ku në ekuac. (3-24) është zëvendësuar 2a   , që do të thotë se aksi magnetik i pështjellës
së statorit sA është në pozicionin këndor  = 0, i cili përputhet me aksin real të planit të
referimit të palëvizshëm i fiksuar në stator. Për më tepër, në ekuac. (3-24), sAeffW është numri
efektiv i dredhave të pështjellës së statorit sA dhe është i barabartë me sAeff sA a wAW n W k ,
kështu që vektori hapësinor i f.m.m rezultante mund të shkruhet:

/2-/2-
(3Wb i)/2
(Wb i)/2