Logika matematika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari berpikir secara sistematis dan ketat dengan menggunakan simbol-simbol. Logika digunakan untuk membuat pembuktian dan menghindari kesalahan berpikir. Terdapat berbagai jenis pernyataan logika seperti konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

1. LOGIKA MATEMATIKALOGIKA MATEMATIKA Terima Kasih
Terima Kasih

2. LOGIKA MATEMATIKALOGIKA MATEMATIKA

3. Pengertian LogikaPengertian Logika
Dari Wikipedia Indonesia:Dari Wikipedia Indonesia:
• LogikaLogika berasal dari kataberasal dari kata YunaniYunani kunokuno λόγος (λόγος (logoslogos) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran
yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa.yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa.
• Logika sebagai ilmu pengetahuanLogika sebagai ilmu pengetahuan
– Logika merupakan sebuah ilmu pengetahuan dimana obyek materialnya adalah berpikirLogika merupakan sebuah ilmu pengetahuan dimana obyek materialnya adalah berpikir
(khususnya penalaran/proses penalaran) dan obyek formal logika adalah berpikir/penalaran(khususnya penalaran/proses penalaran) dan obyek formal logika adalah berpikir/penalaran
yang ditinjau dari segi ketepatannya.yang ditinjau dari segi ketepatannya.
• Logika sebagai cabang filsafatLogika sebagai cabang filsafat
– Logika adalah sebuah cabang filsafat yang praktis. Praktis disini berarti logika dapatLogika adalah sebuah cabang filsafat yang praktis. Praktis disini berarti logika dapat
dipraktekkan dalam kehidupan sehari-hari.dipraktekkan dalam kehidupan sehari-hari.
– Logika lahir bersama-sama dengan lahirnyaLogika lahir bersama-sama dengan lahirnya filsafatfilsafat didi YunaniYunani. Dalam usaha untuk. Dalam usaha untuk
memasarkan pikiran-pikirannya serta pendapat-pendapatnya, filsuf-filsuf Yunani kuno tidakmemasarkan pikiran-pikirannya serta pendapat-pendapatnya, filsuf-filsuf Yunani kuno tidak
jarang mencoba membantah pikiran yang lain dengan menunjukkanjarang mencoba membantah pikiran yang lain dengan menunjukkan kesesatankesesatan penalarannyapenalarannya..
– Logika digunakan untuk melakukanLogika digunakan untuk melakukan pembuktianpembuktian. Logika mengatakan yang bentuk. Logika mengatakan yang bentuk inferensiinferensi
yang berlaku dan yang tidak. Secara tradisional, logika dipelajari sebagai cabangyang berlaku dan yang tidak. Secara tradisional, logika dipelajari sebagai cabang filosofifilosofi,,
tetapi juga bisa dianggap sebagai cabangtetapi juga bisa dianggap sebagai cabang matematikamatematika..
• Logika sebagai matematika murniLogika sebagai matematika murni
– Logika masuk kedalam kategori matematika murni karena matematika adalah logika yangLogika masuk kedalam kategori matematika murni karena matematika adalah logika yang
tersistematisasi. Matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur yangtersistematisasi. Matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur yang
menggunakan tanda-tanda atau simbol-simbol matematik (menggunakan tanda-tanda atau simbol-simbol matematik (logikalogika simboliksimbolik). Logika). Logika
tersistematisasi dikenalkan oleh dua orang dokter medis, Galenus (130-201 M) dan Sextustersistematisasi dikenalkan oleh dua orang dokter medis, Galenus (130-201 M) dan Sextus
Empiricus (sekitar 200 M) yang mengembangkan logika dengan menerapkan metodeEmpiricus (sekitar 200 M) yang mengembangkan logika dengan menerapkan metode
geometri.geometri.
http://id.wikipedia.org/wiki/Logika

4. Iman: mufakat pada hak dan dengan dalil.
Mufakat pada hak maksudnya benar atau sesuai dengan keyataan.
Kebenaran: daruri/instink (tidak dengan bukti) dan najari (dengan bukti/dalil)
Dalil: akal dan naqli.
Hukum:
Akal: Wajib, mustahil dan harus
Adat: kebiasaan yang berulang-ulang, suatu kejadian diikuti kejadian yang lain.
Konvensi/syariat, suatu hukum yang didasari kesepakatan terbagi menjadi: Wajib, haram,
sunat, harus, mubah.
Kegunaan Logika
• Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis,
lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.
• Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
• Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan
mandiri.
• Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas
sistematis
• Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir,
kekeliruan serta kesesatan. (Wikepedia)

5. Agama
Filsafat
Ilmu
Pengetahuan
Indera
AQLI
Akal
NAQLI
Wahyu

6. Pernyataan
Kalimat terbuka:.
Kalimat terbuka mengandung variabel dan belum pasti benar salahnya
sedangkan kalimat tertutup sudah ada kepastian akan benar atau salahnya.
Pernyataan adalah sesuatu yang diutarakan atau dikomunikasikan
kepada pihak lain dengan menggunakan suatu media yang telah disepakati,
biasanya lewat lisan atau tulisan, sesuatu yang diutarakan atau dikomunikasikan
tersebut memiliki nilai kebenaran, yakni bernilai benar atau salah, biasa juga
disebut sebagai kalimat tertutup.
Latihan : Lengkapi tabel berikut, tentukan jenis kalimat berikut, terbuka atau
tertutup, jika tertutup benar atau salah?
√√Adakah bilangan yang lebih kecil dari 12?Adakah bilangan yang lebih kecil dari 12?
√√Jika x = 2, maka 3x + 4 = 10Jika x = 2, maka 3x + 4 = 10
√√2x + 4 = 82x + 4 = 8
√√Presiden Indonesia pertama adalah Ir. SoekarnoPresiden Indonesia pertama adalah Ir. Soekarno
SalahSalahBenarBenar
TertutupTertutupTerbukaTerbuka
PernyataanPernyataan

7. Pernyataan
Kalimat terbuka:.
Kalimat terbuka mengandung variabel dan belum pasti benar salahnya
sedangkan kalimat tertutup sudah ada kepastian akan benar atau salahnya.
Pernyataan adalah sesuatu yang diutarakan atau dikomunikasikan
kepada pihak lain dengan menggunakan suatu media yang telah disepakati,
biasanya lewat lisan atau tulisan, sesuatu yang diutarakan atau dikomunikasikan
tersebut memiliki nilai kebenaran, yakni bernilai benar atau salah, biasa juga
disebut sebagai kalimat tertutup.
√√Adakah bilangan yang lebih kecil dari 12?Adakah bilangan yang lebih kecil dari 12?
√√Jika x = 2, maka 3x + 4 = 10Jika x = 2, maka 3x + 4 = 10
√√2x + 4 = 82x + 4 = 8
√√Presiden Indonesia pertama adalah Ir. SoekarnoPresiden Indonesia pertama adalah Ir. Soekarno
SalahSalahBenarBenar
TertutupTertutupTerbukaTerbuka
PernyataanPernyataan
Latihan 1: Lengkapi tabel berikut, tentukan jenis kalimat berikut, terbuka atau
tertutup, jika tertutup benar atau salah?

8. Pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal
yang dirangkai dengan menggunkan kata hubung logika.
Pernyataan Majemuk
Jika sebuah pernyataan majemuk terdiri dari n buah
pernyataan tunggal yang berlainan maka banyak baris pada
tabel kebenaran yang memuat nilai kebenaran adalah
Hubungan dan (Konjungsi), simbol “∧ “
Hubungan atau (Disjungsi), simbol “∨ “
Hubungan maka (Implikasi), simbol “→ “
Hubungan Jika dan hanya jika (Biimplikasi), simbol “↔ “
Dalam hal ini:

9. Banyaknya Kemungkinan Kebenaran suatu pernyataan
majemuk yang disusun dari n buah pernyataan tunggal
11 22
22 44
33 88
44 1616
…… ……
7 128

10. ppnn pp33 pp33 pp22 pp11
BB B B B B
BB B B B S
BB B B S B
BB B B S S
BB B S B B
BB B S B S
BB B S S B
BB B S S S
BB S B B B
BB S B B S
BB S B S B
BB S B S S
BB S S B B
BB S S B S
BB S S S B
BB S S S S
Banyaknya Kemungkinan Kebenaran suatu pernyataan majemuk yang
disusun dari n buah pernyataan tunggal
S S S S S

11. ppnn pp33 pp33 pp22 pp11
BB B B B B
BB B B B S
BB B B S B
BB B B S S
BB B S B B
BB B S B S
BB B S S B
BB B S S S
BB S B B B
BB S B B S
BB S B S B
BB S B S S
BB S S B B
BB S S B S
BB S S S B
BB S S S S
Banyaknya Kemungkinan Kebenaran suatu pernyataan majemuk yang
disusun dari n buah pernyataan tunggal
S S S S S

12. ppnn …… pp33 pp33 pp22 pp11
BB …… B B B B
BB …… B B B S
BB …… B B S B
BB …… B B S S
BB …… B S B B
BB …… B S B S
BB …… B S S B
BB …… B S S S
BB …… S B B B
BB …… S B B S
BB …… S B S B
BB …… S B S S
BB …… S S B B
BB …… S S B S
BB …… S S S B
BB …… S S S S
Banyaknya Kemungkinan Kebenaran suatu pernyataan majemuk yang
disusun dari n buah pernyataan tunggal
S …… S S S S

13. Konjungsi: pernyataan yang dibentuk dari dua
pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan
kata hubung dan
p ∧
qp q p ∧ q
B B B
B S S
S B S
S S S

14. Disjungsi: pernyataan yang dibentuk dari dua
pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan
kata hubung atau
p ∨
qp q p ∨ q
B B B
B S B
S B B
S S S

15. Implikasi: pernyataan yang dibentuk dari dua
pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan
kata hubung jika p maka q
p → q
p q p → q
B B B
B S S
S B B
S S B

16. Biimplikasi: pernyataan yang dibentuk dari dua
pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan
kata hubung p jika dan hanya jika q
p ↔ q
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B B
S S B

17. 1. Langkapi Tabel untuk Pernyataan
(p ∧ q) → r
No. p q r p ∧ q (p ∧ q) → r
(1) B B B B B
(2) B B S B S
(3) B S B S B
(4) B S S S B
(5) S B B S B
(6) S B S S B
(7) S S B S B
(8) S S S S B

18. No. p q r p ∧ q (p ∧ q) ⇔ r
(1) B B B B B
(2) B B S B S
(3) B S B S S
(4) B S S S B
(5) S B B S S
(6) S B S S B
(7) S S B S S
(8) S S S S B
2. Langkapi Tabel untuk Pernyataan
(p ∧ q) ⇔ r

19. 3. Tentukan bentuk pernyataan dari rangkaian berikut,
kemudian cari nilai kebenarannya jika p dan r benar, q, s
dan t salah.

20. Sebuah pernyataan majemuk yan selalu benar untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan
komponennya.
p q p ∧ q (p ∧ q) ⇒ p
B B B B
B S S B
S B S B
S S S B
Tautologi
Sebuah tautologi yang memuat pernyataan implikasi
Contoh
(p ∧ q) ⇒ p
Implikasi Logis

21. p q
Konjungsi (^)
p q p ^ q
B B B
B S S
S B S
S S S
B ^ Be Bilang

22. p q
Konjungsi (^)
p q p ^ q
B B B
B S S
S B S
S S S
B ^ Be Bilang

23. p q
Konjungsi (^)
p q p ^ q
B B B
B S S
S B S
S S S
B ^ Be Bilang

24. p q
Konjungsi (^)
p q p ^ q
B B B
B S S
S B S
S S S
B ^ Be Bilang

25. p q
Konjungsi (^)
p q p ^ q
B B B
B S S
S B S
S S S
B ^ Be Bilang

26. P
q
Disjungsi (V)
p q p V q
B B B
B S B
S B B
S S S
S v Su Sapi

27. P
q
Disjungsi (V)
p q p V q
B B B
B S B
S B B
S S S
S v Su Sapi

28. P
q
Disjungsi (V)
p q p V q
B B B
B S B
S B B
S S S
S v Su Sapi

29. P
q
Disjungsi (V)
p q p V q
B B B
B S B
S B B
S S S
S v Su Sapi

30. P
q
Disjungsi (V)
p q p V q
B B B
B S B
S B B
S S S
S v Su Sapi

31. Implikasi (→)
p q p → q
B B B
B S S
S B B
S S B
Be Sar Sekali
p
q
~P
q
p → q setara dengan ~p ∨ q

32. Implikasi (→)
p q p → q
B B B
B S S
S B B
S S B
Be Sar Sekali
p q
p → q setara dengan ~p ∨ q
p
q

33. Implikasi (→)
p q p → q
B B B
B S S
S B B
S S B
Be Sar Sekali
p
q
p → q setara dengan ~p ∨ q
p
q

34. Implikasi (→)
p q p → q
B B B
B S S
S B B
S S B
Be Sar Sekali
p
q
p → q setara dengan ~p ∨ q
p
q

35. Implikasi (→)
p q p → q
B B B
B S S
S B B
S S B
Be Sar Sekali
p
q
p → q setara dengan ~p ∨ q
p
q

36. p q
Biimplikasi (↔)
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
S S B
Sama Benar

37. p q
Biimplikasi (↔)
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
S S B
Sama Benar

38. p q
Biimplikasi (↔)
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
S S B
Sama Benar

39. p q
Biimplikasi (↔)
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
S S B
Sama Benar

40. p q
Biimplikasi (↔)
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
S S B
Sama Benar

41. Menyatakan lawan dari suatu pernyataan
Ingkaran p ditulis
∼ p
Negasi/Ingkaran
:
Negasi/Ingkaran
:
Perlu dicamkan:
∼ (p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q tanda “≡” artinya ekuivalen, setara, sama
hasilnya
∼ ( p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q
∼ ( p → q) ≡ ∼ (∼p v q) ≡ p ∧ ∼ q
∼ ( p ↔ q) ≡ ∼ [(p → q) ∧ (q → p)] ≡ ∼(p → q) ∨ ∼(q → p) ≡ (p ∧ ∼ q) ∨ (q ∧
∼ p)

42. ∼ (∀x ; p(x)) ≡ ∃x ; ∼p(x)
Dibaca: Ingkaran dari pernyataan semua/setiap x
merupakan p(x) adalah ada x yang bukan p(x)
∼ (∃x ; p(x)) ≡ ∀x ; ∼p(x)
Dibaca: Ingkaran dari pernyataan ada x yang p(x)
adalah semua x bukan p(x).
Pernyataan Berkuantor
Pernyataan yang memuat kata-kata
“ada, semua/setiap.”

43. p ⇒ q q ⇒ p
∼p ⇒ ∼q ∼q ⇒
∼p
konversi
invers kontraposisi
Invers, Konversi dan Kontraposisi
konversi
invers
Awas, invers ≠ negasi (ingkaran)

44. p ⇒ q ……………. premis 1
q ⇒ r ……………. premis 2
∴ p ⇒ r ……………. kesimpulan/konklusinya
p ⇒ q ……………. premis 1
p ……………. premis 2
∴ q ……………. kesimpulan/konklusinya
p ⇒ q ……………. premis 1
∼q ……………. premis 2
∴ ∼p ……………. kesimpulan/konklusinya
Silogisme :
Modus Ponens:
Dalam bentuk implikasi, modus ponens di atas dapat ditulis:
[(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q
Modus Tollens:
Dalam bentuk implikasi, modus ponens di atas dapat ditulis:
[(p ⇒ q) ∧ ∼q] ⇒ ∼p

45. • Terima Kasih, Tarima Kasih (Melayu)
• Thank You
• Kamchia (Chine)
• Matur Nuwon (Jawa)
• Hatur Nuhun (Sunda)
• Mauliate (Batak)
• Sahwa Gele (Nias)
• Bujur (Karo)
• Matur Suksma (Bali)
• Terimang Genasih (Aceh)