1. Sucesión de Módulos y Cánones a lo
largo de la Historia
Docente: Arq. Fabiola Aranda Chávez
Elizabeth A. Almeida
Emily Teresita Palma Suárez
25/03/14
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHIHUAHUA II
PENSAMIENTO ARQUITECTÓNICO CONTEMPORÁNEO

2. La sucesión de Fibonacci
 La sucesión comienza con los números 0 y 1, y a
partir de estos, «cada término es la suma de los dos
anteriores», es la relación de recurrencia que la
define.
 A los elementos de esta sucesión se les llama
números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita
en Europa por Leonardo de Pisa, matemático
italiano del siglo XIII también conocido como
Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en
ciencias de la computación, matemáticas y teoría
de juegos.

3. La sucesión de Fibonacci
 Los números de Fibonacci aparecen en numerosas
aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en
modelos de la crianza de conejos o de plantas, al
contar el número de cadenas de bits de longitud
que no tienen ceros consecutivos y en una vasta
cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe
una publicación especializada llamada Fibonacci
Quarterly3 dedicada al estudio de la sucesión de
Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a
cuán ampliamente los números de Fibonacci
aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en
otras áreas.

4. Sucesión de Fibonacci
 Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:
 La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía
continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:
 Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión
recurrente de orden 2, como la sucesión 3, 4, 7, 11, 18,..., lleva al mismo
límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en una carta publicada
en la revista londinense "The Field" del 14 de diciembre de 1912. Los
cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el
siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones
que se aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al valor
límite.
 Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número
limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a
los demás. Por ejemplo, tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada
cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se
puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las
congruencias módulo.

5. Sucesión de Fibonacci

6. Sección Áurea

7. Sección áurea
 Desde muy antiguos tiempos (Fidias, hacia 490
a.C.), las artes se han regido en la sección áurea. Fi
(Φ,φ) es un número algebraico que se ha usado
como una relación de "divina proporción" que se
encuentra en la naturaleza y fue imitada por el
hombre para lograr una armonía suprema en sus
distintas creaciones.
 No solamente fue implementada en los tiempos de
los griegos (sin limitarse únicamente a ésta cultura),
sino que tuvo una enorme importancia
especialmente en el renacimiento, donde los
valores estéticos prevalecían sobre el resto.

9. Sección áurea
Aún después, en la arquitectura moderna,
personajes como Mies Van der Rohe y Le Corbusier
continuaban valiéndose de este principio, quizás
con menor importancia, pues sus obras van mucho
más allá de la proporción y de la belleza, pero aún
así forman parte intrínseca de ellas.

10.  Villa Tugendhat, Mies Van Der Rohe

11. Sección áurea
 Hoy en día, un diseño que incluya el
número dorado (1,6180...) destaca de
entre otros, pues está científicamente
comprobado que cualquier
geometría áurea es preferida por el
cerebro humano, aún sin saber la
razón.

12. Sección áurea
 Un ejemplo que ha capturado
la atención recientemente es
la "casa de la moneda china",
en Bolivia, diseñada por Juan
Carlos Menacho Durán, donde
el número dorado se
encuentra en los radios de las
circunferencias, en las
medidas de los rectángulos en
incluso tridimensionalmente
(en la relación entre altura,
profundidad y longitud).

13. Sección áurea
 Todo esto, junto con la clara integración de la casa con su
entorno y la relación entre interior y exterior, con el propósito
de que la armonía volumétrica de la arquitectura se refleje en
el bienestar físico, emocional y sensorial de los usuarios.

14. Sección áurea
 La arquitectura contemporánea sigue utilizando la proporción áurea en
diferentes estructuras, el concepto de sección áurea fue reivindicado
durante el periodo de la arquitectura moderna por Le Corbusier quien en los
años 40s desarrolló un sistema de proporciones llamado Modulor en el que la
proporción de alturas estaba basada en la proporción áurea, pero no sólo Le
Corbusier utilizó ampliamente el concepto, de igual forma lo hizo Mies Van
Der Rohe, de esta forma la proporción áurea mantiene su vigencia hasta
nuestros días.
En la arquitectura la sección áurea encuentra variadas e imaginativas
aplicaciones, veamos el caso del círculo áureo, círculo dividido en dos
secciones por dos radios, en el cual el cociente de la división del ángulo
mayor entre el menor es igual al número de oro, Phi, la arquitectura aplica
esto en la pendiente de lozas a dos aguas, en la angulación de muros y en
juntas de elementos estructurales y también decorativos.

15. Sección áurea
 La proporción aurea en la actualidad es utilizada en las fachadas para la
asignación de tamaños proporcionales – sección del rectángulo áureo y
gradación - en ventanas, puertas, columnas, lozas, arcos, trabes, elementos
decorativos, de tal forma que se logre un conjunto visualmente atractivo y se
mantenga la proporcionalidad con respecto a la fachada total.
La sección áurea también es aplicada en la arquitectura contemporánea
para el diseño de plantas, de tal forma que se logren ambientes armónicos y
proporcionales al tamaño total de la planta, de esta forma se aplican
separaciones y tamaños proporcionales para estancias, jardines, escaleras,
mediante las secciones y gradación de un rectángulo áureo.

16. Sección áurea
 La Casa G / Paz Gersh Architects

17. Sección áurea
Al Dar Headquarters es una edificación sorprendente, de forma semi-esférica, localizada
en Al Raha Beach, Abu Dhabi, Emiratos Arabes Unidos, lograda por MZ Architects en el
año 2010, la estructura consta de dos fachadas circulares convexas unidas por una
banda angosta de vidrio indentado. Para lograr estabilidad visual, dinamismo y armonía
se ha utilizado la proporción áurea, para aplicarla a la fachada circular, está se ha
dividido en un pentagrama en el cual el cuerpo humano está yuxtapuesto con la
cabeza y las cuatro extremidades sobre los cinco puntos del pentagrama, gracias a
esto, los arquitectos han logrado también encontrar los dos puntos de estabilidad de la
fachada circular, puntos sobre los que el edificio se apoya sobre el terreno, logrando el
balance perfecto.
Al Raha Beach, Abu Dhabi, Emiratos Arabes Unidos, MZ Architects

18. Sección áurea
Finalmente no podemos dejar de mencionar otro extraordinario ejemplo del
uso de la proporción áurea en la arquitectura contemporánea; la Casa del
Soplo localizada en Camino Punta de Águilas interior, Santiago, Chile y
edificada en el año 2011 por Cazú Zegers G. Esta vivienda familiar tiene áreas
curvas diseñadas basándose en un sistema doble de proporción áurea,
logrando un resultado extremadamente armonioso.

19. León Battista Alberti en
“Reaedificatoria”
 De re ædificatoria es un completo tratado de arquitectura en
todos los aspectos teóricos y prácticos relativos a la profesión.
La obra no fue publicada hasta unos años después de su
muerte en 1485.
 En Roma, durante el papado de Nicolás V, restauró las iglesias
de Santa María la Mayor y Santo Stefano Rotondo. En dicha
ciudad escribió De re ædificatoria en latín. Se trata de una
obra no dirigida a especialistas, sino al gran público con
formación humanística, tomando como modelo los diez libros
de arquitectura de Vitruvio, que en aquel momento circulaba
en copias manuscritas sin corregir filológicamente. La obra
también está dividida en diez libros.

20. Reaedificatoria
I- Lineamenta. (Regio (zona), Área (parcela), Partitio (ordenación),
Paries (muros), Tectum (cubiertas) y Aperitio (huecos)
II- Materia
III- Opus (técnica constructiva)
IV- Universorum opus (obras generales)
V- Singuiorum opus (obras específicas)
VI- Ornamentum
VII- Sacrorum ornamentum
VIII- Publici profani ornamentum
IX- Privati ornamentum
X- Operitium instauratio (por primera vez un arquitecto se ocupa de la
restauración, antes si alquien intervenía en una obra era para
destruirla)

21. Reaedificatoria
 En los tres primeros, trata de la
elección del terreno, de los materiales
que deben utilizar y de los cimientos
(lo que Vitrubio llama firmitas).

22. Reaedificatoria
 Los libros IV y V se centran en diversos
tipos de edificios (utilitas).

23. Reaedificatoria
 El libro VI sobre la belleza arquitectónica (venustas),
y en él habla de la belleza como una armonía que
se puede expresar matemáticamente gracias a la
ciencia de las proporciones. Este libro incluye,
además un tratado acerca de la construcción de
máquinas.

24. Reaedificatoria
 Los libros VII, VIII y IX tratan de la
construcción de iglesias, edificios
públicos y privados.

25. Reaedificatoria
 El libro X trata de restauración. En el tratado parte siempre del
estudio de la antigüedad, un estudio basado sobre medidas
de los monumentos antiguos, para proponer nuevos tipos de
edificios modernos, y también edificios nuevos por la
diferencia cronológica pero inspirados en el estilo antiguo,
entre los que se incluían las prisiones, que trata de hacer más
humanas, los hospitales y otros lugares de utilidad pública.

26. Reaedificatoria
 El tratado fue una obra imprescindibile para
muchos hombres cultos: Pellegrino Prisciani escribió
su Spectacula (que dedicó a Ercole I de Este)
entre 1486 y 1502, tratando de explicar mejor las
partes de texto de Alberti que tratan sumariamente
del teatro antiguo, uniéndolo a fragmentos de
Vitruvio que éste había omitido.
 El término usado en el libro "concinnitas" se puede
traducir como la justa medida, cuando no sobra ni
falta nada. Es el concepto que hace que veamos
algo bello y no sepamos porqué.

27. Análisis de Da Vinci

28. Análisis de Da Vinci
 En su Studio (Real Academia de Venecia), también
conocido como El hombre de Vitrubio, Leonardo
da Vinci realiza una visión del hombre como centro
del Universo al quedar inscrito en un círculo y un
cuadrado. El cuadrado es la base de lo clásico: el
módulo del cuadrado se emplea en toda la
arquitectura clásica, el uso del ángulo de 90º y la
simetría son bases grecolatinas de la arquitectura.
En él se realiza un estudio anatómico buscando la
proporcionalidad del cuerpo humano, el canon
clásico o ideal de belleza.

29.  Da Vinci Sigue los estudios del arquitecto
Vitrubio (Marcus Vitruvius Pollio ) arquitecto
romano del siglo I a.c. a quien Julio Cesar
encarga la construcción de máquinas de
guerra. En época de Augusto escribió los
diez tomos de su obra De architectura, que
trata de la construcción hidráulica, de
cuadrantes solares, de mecánica y de sus
aplicaciones en arquitectura civil e
ingeniería militar.
Análisis de Da Vinci

30.  Vitrubio tuvo escasa influencia en su época pero
no así en el renacimiento ya que fue el punto de
partida de sus intentos y la justificación de sus
teorías. Su obra fue publicada en Roma en 1486
realizándose numerosas ediciones como la de Fra
Giocondo en 1511, Venecia o la de Cesare
Cesarino en 1521, Milán, dedicada a Francisco I.
Parece indudable que Leonardo se inspiró en el
arquitecto romano.
Análisis de Da Vinci

31.  El hombre de Vitrubio es un claro ejemplo del enfoque
globalizador de Leonardo que se desarrolló muy rápidamente
durante la segunda mitad de la década de 1480. Trataba de
vincular la arquitectura y el cuerpo humano, un aspecto de
su interpretación de la naturaleza y del lugar de la
humanidad en el "plan global de las cosas". En este dibujo
representa las proporciones que podían establecerse en el
cuerpo humano (por ejemplo, la proporción áurea). Para
Leonardo, el hombre era el modelo del universo y lo más
importante era vincular lo que descubría en el interior del
cuerpo humano con lo que observaba en la naturaleza.
Análisis de Da Vinci

32. Análisis de Da Vinci

33.  Una palma es la anchura de cuatro dedos
 Un pie es la anchura de cuatro palmas
 Un antebrazo es la anchura de seis palmas
 La altura de un hombre son cuatro antebrazos
 Un paso es igual a cuatro antebrazos
 La longitud de los brazos extendidos es igual a su altura
 La distancia entre el nacimiento del pelo y la barbilla es un décimo de la
altura
 La altura de la cabeza hasta la barbilla es un octavo de la altura
 La distancia entre el nacimiento del pelo a la parte superior del pecho es un
séptimo de la altura
 La altura de la cabeza hasta el final de las costillas es un cuarto de la altura
 La anchura máxima de los hombros es un cuarto de la altura
 La distancia del codo al extremo de la mano es un quinto de la altura
 La distancia del codo a la axila es un octavo de la altura
 La longitud de la mano es un décimo de la altura
 La distancia de la barbilla a la nariz es un tercio de la longitud de la cara
 La distancia entre el nacimiento del pelo y las cejas es un tercio de la
longitud de la cara
 La altura de la oreja es un tercio de la longitud de la cara
Análisis de Da Vinci

34. Le Corbusier
 Para proporcionar las obras existe otro
sistema, diferente al canon, es el módulo y
en el siglo XX el arquitecto Le Corbusier
estableció un nuevo sistema de
proporciones que responde a las medidas
humanas al que llamó Le Modulor y que
utilizó como módulo a partir del cual diseñar
sus edificios y objetos de uso cotidiano.
 En la actualidad este sistema modular se
utiliza en la arquitectura y el diseño
modernos.

35.  Le Corbusier pensaba que con la adopción y aplicación del
sistema métrico se había perdido la relación con la escala
humana. Con anterioridad a éste se empleaban medidas
como el pie o la pulgada y creía que el metro, el decímetro,
el centímetro, etc. no estaban basados en las medidas del
cuerpo humano. Por eso creó su sistema de mediciones
basado en las proporciones humanas. Le Corbusier no medía
en metros o centímetros sino en modulores. Su trabajo supuso
una gran innovación y en la actualidad el Modulor es un
referente básico para la arquitectura y el diseño modernos.
Le Corbusier

36. Le Corbusier

37.  De igual manera que en el sistema
métrico cada unidad se relaciona con
la siguiente en base a unas
cantidades: 1 metro=10 dm, 1dm=10
cm, 1cm=10 mm, etc.,en el Modulor
cada magnitud se relaciona con la
anterior a través del número áureo
partiendo de la altura de un hombre
de 1,83 cm
Le Corbusier

38.  Al dividir 183
según la
sección de oro,
se obtiene 113,
es decir, la
altura del
ombligo.
Le Corbusier

39.  Si este mismo
hombre levanta
su brazo, se
obtiene 226 cm,
el doble de 113,
que es la altura
hasta el ombligo.
Le Corbusier

40.  Dividiendo 226
cm. según la
sección áurea
se obtiene 140
cm, es decir, el
punto de
apoyo del
brazo.
Le Corbusier

41. Le Corbusier
 Una nueva
división de 140
por el número de
oro resulta 86 cm,
que es el punto
de apoyo de la
mano.

42. Le Corbusier

43. IMPORTANTE
 El módulo es una unidad de medida que,
convencionalmente, se toma como base para estructurar
una composición y mediante la cual se relacionan las
diferentes partes de un todo.
 El cánon es la regla o precepto que establece las
proporciones ideales del cuerpo humano mediante el
establecimiento de la justa relación entre las diferentes partes
del cuerpo a partir de un módulo.
 En el canon se toma como módulo una medida tomada del
mismo cuerpo humano y se utiliza como referencia
relacionándola con el resto de medidas para determinar las
proporciones entre las partes o entre éstas y la totalidad, con
el objeto de determinar la armonía y belleza de la figura
humana.