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16 de febrero de 2014
Ecuaciones
2. ´
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´
ECUACION
def. Una igualdad en la cual al menos una de las expresiones es
algebraica recibe el nombre de ecuaci´n.
o
Ejemplo:
3x = 1
9x + 2 = 5 − 3x
3. ´
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´
ECUACION LINEAL
Este tipo de ecuaciones son las que contienen una s´la inc´gnita
o
o
de grado 1, se escriben generalmente de la siguiente forma:
ax + c = 0; a, c ∈ R
4. ´
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´
´
SOLUCION DE UNA ECUACION
Es el valor ´ valores de la inc´gnita que al ser sustituidos en la
o
o
ecuaci´n la transforman en una igualdad num´rica verdadera.
o
e
Resolvamos el siguiente ejemplo:
x − (2x + 1) = 8 − (3x + 3)
x − 2x − 1 = 8 − 3x − 3
−x − 1 = 5 − 3x
−x − 1 + 3x = 5 − 3x + 3x
−1 + 2x = 5
−1 + 1 + 2x = 5 + 1
2x = 6
x= 6
2
x=3
5. ´
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´
CONJUNTO SOLUCION
Al conjunto S de todas las soluciones de la ecuaci´n se le llama
o
conjunto soluci´n. En el ejemplo anterior tenemos que el valor
o
de x que es soluci´n es 3
o
∴ S = {3}
6. ´
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´
CONJUNTO SOLUCION
Podemos verificar f´cilmente que el valor obtenido es,
a
efectivamente, una soluci´n:
o
2(3)=6
6=6
Obtenemos una igualdad num´rica verdadera. Tomemos 5 y
e
problemos si es soluci´n:
o
2(5)=6 ; 10=6
Se obtiene una igualdad falsa, por lo tanto 5 no pertenece a S
7. ´
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NOTAS:
1
Las ecuaciones de primer grado con una inc´gnita tienen
o
una o ninguna soluci´n.
o
2
A las soluciones de una ecuaci´n se les llama tambi´n
o
e
ra´
ıces de la ecuaci´n.
o
9. ´
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´
ECUACIONES CUADRATICAS
Unas ni˜as muy precoces,
n
al cuadrado se elevaron.
Y como eran muy audaces
por dos se multiplicaron.
Que ya eran muchas sintieron
y por eso se restaron
doce veces lo que fueron.
Las que al principio empezaron
con esto se contentaron
y treinta y dos ahora son.
Ahora quiero que me digas
sin miedo y sin compasi´n
o
ˆ
A¿Cu´ntas eran al principio
a
de este juego juguet´n?.
o
Alejandro Bravo,
Margarita Espinosa.
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´
ECUACIONES CUADRATICAS
def. Una ecuaci´n cuadr´tica o de segundo grado en una
o
a
variable con coeficientes reales es una ecuaci´n que puede
o
escribirse como:
ax2 + bx + c = 0;
a, b, c ∈ R, a = 0
Ejemplo:
x2 − 6x − 3 = 0
donde a=1 , b=-6 , c=-3
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´
ECUACIONES CUADRATICAS
Para resolver una ecuaci´n de este tipo requeriremos de los
o
m´todos de factorizaci´n estudiados previamente,
e
o
principalmente inspecci´n, completar cuadrados ´ la f´rmula
o
o
o
general que veremos a continuaci´n:
o
√
−b ±
F´rmula General:
o
2a
Discriminante:
= b2 − 4ac
donde :
1
Si
> 0, ecuaci´n tiene dos soluciones reales.
o
2
Si
= 0, ecuaci´n tiene una soluci´n real.
o
o
3
Si
< 0, ecuaci´n no tiene soluciones reales.
o
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ECUACIONES DE GRADO MAYOR A 2
Para hallar las soluciones de este tipo de ecuaciones podemos
utilizar los siguientes m´todos de factorizaci´n principalmente:
e
o
factor com´n, agrupamiento y divisi´n sint´tica. Ve´mos el
u
o
e
a
siguiente ejemplo:
x3 − 7x + 6 = 0
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ECUACIONES RACIONALES
En este tipo de ecuaciones encontramos expresiones algebraicas
racionales, utilicemos el siguiente ejemplo para comprender
como se resuelven:
x−1 x−2
x
+
=1+
2
4
3
4(x − 1) + 2(x − 2)
3+x
=
8
3
6x − 8
3+x
=
8
3
3(6x − 8) = 8(3 + x)
18x − 24 = 24 + 8x
10x = 48
24
x=
5
24
S=
5
16. ´
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SISTEMAS DE ECUACIONES
Un sistemas de ecuaciones lineales en las inc´gnitas x, y
o
o sistema 2X2 es una expresi´n de la forma:
´
o
ax − by = e
cx − dy = f
donde a, b, c, d, e, f ∈ R.
Una soluci´n del sistema es una par ordenado (x0 , y0 );
o
x0 , y0 ∈ R, que satisface ambas ecuaciones simultaneamente.
Estudiaremos cuatro m´todos para resolver sistemas de
e
ecuaciones: igualaci´n, suma y resta, sustituci´n y
o
o
mediante una gr´fica.
a
17. ´
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´
IGUALACION
Resuelva el siguiente sistema:
2x + 3y = 1
5x + 4y = 2
1) Se despeja la variable x en ambas ecuaciones:
1 − 3y
2
2 − 4y
x=
5
x=
19. ´
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´
IGUALACION
3)Luego se sustituye el valor de y en cualquiera de las
expresiones anteriores:
5x + 4( 1 ) = 2
7
5x + 4 = 2
7
4
5x = 2 − 7
5x = 10
7
2
x= 7
2 1
S=
,
7 7
20. ´
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Sustituci´n
o
2x + 3y = 1
5x + 4y = 2( )
1)Se despeja X en cualquiera de las dos expresiones.
x=
1 − 3y
(♠)
2
2)Sustituimos el valor de x en ( )
5
1 − 3y
2
y=
+ 4y = 2
1
7
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Sustituci´n
o
3)Sustituimos el valor de y en (♠):
1 − 31
2
7
=
2
7
2 1
,
∴S=
7 7
y=
23. ´
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SUMA Y RESTA
Sustituimos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones del
sistema inicial:
1
=1
7
2
x=
7
2 1
∴S=
,
7 7
2x + 3
24. ´
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´
LENGUAJE MATEMATICO
La suma de 10 y x: 10 + x
x
La mitad de un n´mero:
u
2
2 m´s que a: a + 2
a
La diferencia de dos n´meros: x − y
u
El producto de dos n´meros: xy
u
x
El cociente de dos n´meros:
u
y
El doble de un n´mero: 2a
u
El triple de un n´mero: 3a
u
25. ´
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´
LENGUAJE MATEMATICO
Traduzcamos las siguientes frases:
1
Un n´mero disminuido en 16:
u
2
Un tercio de w:
3
El cociente de 25 entre un n´mero:
u
4
Luis tiene 4 helados m´s que Mar´
a
ıa:
5
El total de d´ en x horas
ıas
6
Dos veces t menos nueve:
7
La suma de dos n´meros es 81:
u
26. ´
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´
LENGUAJE MATEMATICO
Saber realizar este tipo de traducci´n nos ayuda a la resoluci´n
o
o
de problemas. Ejemplo:
El padre tiene 51 a˜os, el hijo tiene 9 a˜os.A¿Al cabo de
n
n ˆ
cu´ntos a˜os ser´ la edad del padre 8 veces la edad del hijo?
a
n
a
