1. ´
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Inecuaciones
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2. INTERVALOS
def.Se les llama intervalos a ciertos conjuntos que satisfacen ciertas
desigualdades.
Se tienen tres tipos de intervalos: los abiertos, cerrados y semiabiertos.
Intervalos abiertos:Son de la forma ]a, b[ donde a, b ∈ R. Este
intervalo est´ compuesto por todos los n´meros reales comprendidos
a
u
entre a y b sin contenerlos a ellos.
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3. INTERVALOS
Intervalos cerrados: [a,b], a, b ∈ R. Este tipo de intervalo contiene
todos los n´meros reales comprendidos entre a y b incluyendo a estos.
u
Intervalos semicerrados:
1
[a, b[ contiene a todos los n´meros reales que est´n comprendidos
u
a
entre a y b, incluye a a pero no a b.
2
]a, b] contiene a todos los n´meros reales que est´n comprendidos
u
a
entre a y b, incluye b a pero no a a.
´
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4. INECUACIONES LINEALES
def. Una inecuaci´n en una variable real x es la comparaci´n de dos
o
o
expresiones algebraicas en la variable x por medio de los s´
ımbolos
≤, ≥, <, >
Ejemplos:
1
x−4>6
2
2x + 3 ≤ 8 − 9x
´
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5. SOLUCIONES
El conjunto soluci´n de una inecuaci´n es el conjunto que contiene a
o
o
todos los elementos que satisfacen la desigualdad dada. En el caso de
las inecuaciones, el conjunto soluci´n ser´ expresado como un intervalo.
o
a
Tomemos por ejemplo la inecuaci´n x − 4 > 6:
o
x − 4 > 6 ⇔ x − 4 + 4 > 6 + 4 ⇔ x > 10
El conjunto soluci´n est´ compuesto en este caso por todos los n´meros
o
a
u
reales mayores estrictos a 10.
∴ S =]10, +∞[
´
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7. INECUACIONES DE LA FORMA a < b < c
En ocasiones se nos pueden presentar inecuaciones que tengan la forma
a < b < c, donde a, b ´ c corresponden a expresiones algebraicas. Hay
o
dos maneras en las que podemos resolver este tipo de inecuaci´n,
o
veamos la primera con el siguiente ejemplo:
1
48 < 2x + 5 x 3
48 < 11 x 3
5
240 < 11x 15
15
240
11 < x
11
En este caso tenemos dos intervalos: 240 < x del que obtenemos
11
] 240 , +∞[ y x 15 del que obtenemos ] − ∞, 15 ]. Haciendo la
11
11
11
intersecci´n de ambos intervalos obtenemos que la soluci´n de la
o
o
inecuaci´n es vac´ o sea S = ∅
o
ıa,
´
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8. La segunda manera de abordar estas inecuaciones es sencillamente
separ´ndolas como dos inecuaciones, obtener los conjuntos soluci´n de
a
o
cada una y luego intersecarlos para obtener un conjunto soluci´n global.
o
48 < 2x + 1 x
5
48 < 11 x
5
240 < 11x
240
11 < x
2x + 1 x 3
5
11
x 3
5
11x 15
x 15
11
15
De igual manera obtenemos dos intervalos, ] 240 , +∞[ y ] − ∞, 11 ], al
11
intersecarlos obtenemos que la soluci´n de la inecuaci´n es vac´
o
o
ıa.
´
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10. ´
INECUACIONES CUADRATICAS
Para resolver inecuaciones cuadr´ticas debemos factorizar el polinomio
a
dado con alguno de los m´todos ya conocidos. Lo nuevo que vamos a
e
encontrar en el proceso es que vamos a necesitar de una tabla de signos
para estudiar las soluciones. Ejemplo:
x2 − x − 6 ⇔ (x − 3)(x + 2) < 0
Ahora construimos una tabla de signos para estudiar las soluciones:
´
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12. INECUACIONES DE GRADO MAYOR A 2
Para resolver este tipo de inecuaciones debemos factorizar el polinomio
dado por medio de alguno de los m´todos de factorizaci´n ya
e
o
estudiados. Veamos el siguiente ejemplo:
x3 + x2 − 2x > 0 ⇔ x(x + 2)(x − 1) > 0
Una vez m´s construimos una tabla de signos para estudiar las
a
soluciones de la inecuaci´n:
o
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