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1. Divisibilidad
1° AÑO
IFD RIVERA - 2016

2. Divisor
Dados dos naturales a y b, con a ≠ 0.
Diremos que a divide a b cuando exista cN tal que b=a.c

3. Divisor
Notación:
a|b se lee:
“a divide a b”
“a es divisor de b”
o “b es un múltiplo de a”

4. Divisor
Notación:
“b es un múltiplo de a”
También se escribe:
𝑏 = ሶ𝑎

5. Divisor
Ejemplos:
10 20 16 26 36 66

6. Divisor
Negación
3∤4 4∤5

7. Ejercicio.
¿Verdadero o Falso?
4|16 5|5
11|0 10|202
1|8 8|1
4|5! 48|12

8. Divisor
Sea cN,
¿ 1c ?
1c sólo si existe un número natural que
multiplicado por 1 resulte c.

9. Proposición
Sea cN.
Se tiene que 1c pues cN tal que c=1.c

10. Divisor
Sea aN*,
¿ aa ?
aa sólo si existe un número natural que
multiplicado por a resulte a.

11. Proposición
Sea aN*.
Se tiene que aa pues 1N tal que a=1.a

12. Divisor
Sea aN*,
¿ a0 ?
a0 sólo si existe un número natural que
multiplicado por a resulte 0.

13. Proposición
Sea aN*.
Se tiene que a0 pues 0N tal que 0=0.a

14. Ejercicio
Demuestra que todo natural no nulo divide a su cuadrado.
Sea aN*.
Se tiene que a𝑎2
pues aN tal que 𝑎2
=a.a

15. Problema
Ubica los números naturales hasta el 14 de
modo que:
• En dos casillas vecinas no haya números
consecutivos.
• Excepto el 1, el número en una casilla,
no debe ser divisor de otro número
ubicado en una casilla vecina.

16. Problema
Ubica los números naturales hasta el 14 de
modo que:
• En dos casillas vecinas no haya números
consecutivos.
• Excepto el 1, el número en una casilla,
no debe ser divisor de otro número
ubicado en una casilla vecina.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
14

17. Problema
El siguiente Cuadrado Mágico se completa con los naturales múltiplos de 3, hasta el 27.
9 21
27

18. Conjunto de los divisores de un número natural.
Dado el número natural b, definimos
𝑑 𝑏 = 𝑥 ∈ 𝑁 tal que 𝑥|𝑏

19. Conjunto de los divisores de un número natural
d(3)={1,3}
1|3  1d(3)

20. Conjunto de los divisores de un número natural
d(3)={1,3}
d(27)={1,3,9,27}

21. Cantidad de divisores de un número natural
d(3)={1,3} #d(3)=2
d(27)={1,3,9,27} #d(27)=4

22. ¿Qué natural tiene la menor cantidad de divisores?
¿?

23. ¿Qué natural tiene la mayor cantidad de divisores?
¿?

24. ¿Qué naturales tienen exactamente dos divisores?
¿?

25. Clasificación de los Naturales
según el número de divisores
0 – divisible por cualquier natural, excepto él mismo
1 – divisible sólo por sí mismo
Primos – admiten dos divisores, 1 y él mismo
Compuestos – admiten otros divisores

26. Clasificación de los Naturales
según el número de divisores
0
•  divisores
Todos los
naturales,
excepto él
mismo.
1
• 1 divisor
Él mismo
Primos
• 2 divisores
Él mismo y el 1
Compuestos
• 3 o más
divisores

27. 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
¿Cuáles son los primos menores que 120?

28. 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
2 es el primer Primo

29. 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
Descartamos los
múltiplos de 2

30. 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
3 es el siguiente Primo

31. 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
Descartamos los
múltiplos de 3

32. 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
5 es el siguiente Primo

33. 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
Descartamos los
Múltiplos de 5

34. 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
7 es el siguiente Primo
Descartamos los múltiplos de 7

35. 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
11 es el siguiente Primo
Descartamos los múltiplos de 11

36. 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
13 es el siguiente Primo
Descartamos los múltiplos de 13

37. 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
17 es el siguiente Primo
Descartamos los múltiplos de 17

38. 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
19 es el siguiente Primo
Descartamos los múltiplos de 19

39. 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
23 es el siguiente Primo
Descartamos los múltiplos de 23

40. 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Criba de Eratóstenes
Primos menores que 120

41. Teorema Fundamental de la Aritmética
Todo número mayor que 1, es Primo o se puede escribir de
forma única como producto de números primos.