1. LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

2. 1. Che cosa sono le trasformazioni geometriche
Introduciamo il concetto di trasformazione geometrica prendendo come
esempio una rotazione. Consideriamo il punto O e un angolo orientato di
ampiezzaα
Al punto A associamo il punto A′ tale che
e che'OA OA≅ ˆ 'AOA α=
Allo stesso modo, possiamo associare a
un altro punto B il punto B′, a C il punto
C′ e così via.
Abbiamo creato una corrispondenza fra
punti del piano. Tale corrispondenza è
biunivoca perché, fissato il punto O e l’angolo orientato , a ogni punto
del piano corrisponde uno e un solo punto del piano stesso e viceversa.
α

3. Definizione
Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca che associa
a ogni punto del piano un punto del piano stesso.
In altre parole, una trasformazione geometrica è una funzione biiettiva del
piano in sé.
Ogni punto (o figura) che si ottiene mediante una trasformazione geometrica
viene detto trasformato o immagine del punto (o della figura) di partenza.
Nell’esempio precedente il punto A′ è immagine di A, il segmento A′B’ è
immagine del segmento AB.
Se indichiamo con r la rotazione, r rappresenta una funzione, quindi possiamo
anche scrivere A′=r(A).
Quando in una trasformazione a un punto corrisponde se stesso, diciamo che il
punto è unito. Per esempio, nella rotazione precedente il punto O è un punto
unito.

4. 2. La composizioni di trasformazioni
Poiché le trasformazioni geometriche sono funzioni, possiamo considerare la
loro composizione, cioè la trasformazione composta che si ottiene
applicandole in successione.
Date due trasformazioni geometriche t e t′, se al punto P viene associato
il punto P ′=t(P) e a P ′ viene associato P ″=t′(P ′)
P P’=t(P) P’’=t’(P’)
la composizione di t′ con t associa al punto P il punto P ″.
P P’’
Indichiamo la composizione delle due trasformazioni allo stesso modo della
composizione di funzioni, ossia con la scrittura h= t′○t.
La figura F″, corrispondente della figura F mediante t′t, si trova applicando
prima t e poi t′.
t t’
h=t’○t

5. Definizione
L’identità è la trasformazione che a ogni punto del piano associa il punto stesso.
Indichiamo l’identità con i. In una identità tutti i punti sono uniti:
∀P, P = i(P).
La trasformazione inversa
Poiché le trasformazioni geometriche sono funzioni biiettive, l’inversa di una
trasformazione geometrica è ancora una trasformazione geometrica.
In generale, data una trasformazione t che associa a un punto P il punto P ′, la
trasformazione inversa associa al punto P ′ il punto P e viene indicata con il
simbolo t-1
:
P P’
P’ P
t
t-1

6. Fissato nel piano un vettore , una traslazione
è una trasformazione geometrica che a ogni
punto P fa corrispondere il punto P ′ tale che
è equipollente a
La composizione di una trasformazione con la sua inversa ha come risultato la
trasformazione identità t-1
○t= t○ t-1
=i.
Abbiamo analizzato diverse trasformazioni del piano.
1.La traslazione
v
r
v
r
'PP
uuur
Dimostriamo che una traslazione è un’isometria:
basta dimostrare che, dati due punti qualsiasi A e
B e i loro trasformati A′ e B ′, i segmenti e
sono congruenti.
Al punto A corrisponde il punto A′, a B corrisponde
B ′. Il quadrilatero AA′B′B è un parallelogramma,
perché ha due lati opposti AA′ e BB′ congruenti e
paralleli (sono due rappresentanti del vettore ),
quindi e .
In questo modo abbiamo dimostrato anche che ad
AB
' 'A B
v
r
' 'AB A B≅ / / ' 'AB A B

7. retta corrisponde una retta parallela.
Questa proprietà è comune a tutte le traslazioni:
a ogni retta corrisponde una retta a essa
parallela.
Un caso particolare di traslazione è la traslazione
nulla, ossia la traslazione di vettore nullo. La
traslazione nulla coincide con l’identità.
La composizione di due traslazioni
Applichiamo la traslazione σ alla figura F (figura a
lato). A F corrisponde la figura F ′. La traslazione
Φ fa corrispondere a F ′ la figura F ″.
La composizione delle due traslazioni σ e Φ è
una nuova traslazione, λ il cui vettore è la somma
vettoriale dei vettori di σ e Φ

8. In un sistema di assi cartesiani ortogonali, dato un vettore , la
traslazione φ secondo il vettore
P(x;y) P(x’;y’)
è definita dalle equazioni:
( );v α β
r
( );v α β
r
'
'
x x
y y
α
β
= +

= +

9. 2. ROTAZIONE
Si può dimostrare che una rotazione è
un’isometria.
Un caso particolare di rotazione è la
rotazione nulla, ossia la rotazione di
angolo nullo o di un angolo multiplo di un
angolo giro. La rotazione nulla coincide con
l’identità.

10. La composizione di rotazioni
Consideriamo due rotazioni con lo stesso centro O e con angoli di rotazione
diversi α e β e le rotazioni indicate rispettivamente con: r (O;α ) e r (O; β). La
trasformazione composta r (O;α ) ○ r (O;β ) è una nuova rotazione avente lo
stesso centro O e angolo uguale all’angolo somma di α e β :
r (O;α ) ○ r (O; β)=r (O; α + β )
N.B. Non è detto, invece, che la composizione di due rotazioni di centri diversi
sia ancora una rotazione.
Le equazioni delle rotazioni
Consideriamo la rotazione avente per centro l’origine O degli assi cartesiani e di
angolo α,
P(x;y) P(x’;y’)
è definita dalle equazioni:
' cos
' cos
x x ysen
y xsen y
α α
α α
= −

= +

11. Se il centro della rotazione è il punto C(a;b) , si può pensare di ottenere la
rotazione di centro C e angolo α come la composizione della traslazione che
porta C in O, successivamente della rotazione di centro O angolo α e infine
della traslazione che riporta C alla posizione iniziale:
Quindi
( ) ( )
( ) ( )
( ; )
" 'cos ' cos'
" 'cos ' cos'
CO
t r O
x x y sen x a y b senx x x a
y x y sen x a y b seny y y b
α α α α α
α α α α
 = − = − − −= −  
→ →  
= + = − + −= −   
uuur
; ) " cos
" cos
rCx x x ysen p
y y x ysen q
α α α
α α
= − + 
→ 
= + + 
( ) ( )
( ) ( )
'" " cos cos"
'" " cos cos"
CO
t x x a x a y b sen a x ysen px
y y b x a y b sen b x ysen qy
α α α α
α α α α
−
 = + = − − − + = − + 
→ 
= + = − + − + = + + 
uuur

12. 3. LA SIMMETRIA CENTRALE
Si può dimostrare che la simmetria centrale
è un’isometria.

13. Infatti è sufficiente considerare Il
quadrilatero ABB’A’: esso è un
parallelogrammo in quanto le sue
diagonali si dimezzano quindi e
AB// A’B’.
Nelle simmetrie centrali a ogni retta
corrisponde una retta a essa parallela
' 'AB A B≅
Equazioni della simmetria centrale
In un sistema di assi cartesiani ortogonali, dato un punto M( a;b), la
simmetria centrale di centro M
P(x;y) P(x’;y’)
è definita dalle equazioni:
' 2
' 2
x a x
y b y
= −

= −

14. La simmetria centrale rispetto all’origine degli assi
Se il centro di simmetria è l’origine degli assi le equazioni della
simmetria diventano:
'
'
x x
y y
= −

= −
LA SIMMETRIA ASSIALE

15. La retta r viene detta asse di simmetria.
Si può dimostrare che la simmetria assiale
è un’isometria.
La composizione di due simmetrie
assiali
La composizione di simmetrie con assi non paralleli

17. LE AFFINITÀ
Le trasformazioni geometriche che abbiamo visto sono delle particolari biiezioni
del piano: Una trasformazione geometrica è una funzione biunivoca che associa
ad ogni P del piano un punto P’ dello stesso piano.
Una trasformazione muta F in una figura F’ nel senso che associa ad ogni punto
di F altri punti del piano che costituiscono una nuova figura F’.
Se F ha proprietà P1 , P2 ,… F’ avrà proprietà P’1 , P’2 ,…che in generale possono non
coincidere con quelle di F : quelle che coincidono si dicono proprietà invarianti
della trasformazione.
F’
F

18. Ad esempio in una similitudine mantiene inalterate le forme ma non le misure
dei segmenti.
Si può dimostrare che per una affinità le proprietà più importanti sono:
•Allineamento: tre o più punti allineati si trasformano in tre o più punti
allineati quindi le rette si trasformano in rette e i segmenti si trasformano in
segmenti.
•Parallelismo: rette parallele sono trasformate in rette parallele. Da ciò
consegue che i parallelogrammi vengono trasformati in parallelogrammi.
•Incidenza: se due rette si incontrano in un punto P le loro immagini si
incontrano in P’, immagine di P

19. • Coniche : un’ellisse è trasformata in un’ellisse, una parabola è trasformata in
una parabola, un’iperbole in una iperbole, una circonferenza, in generale in una
ellisse.
• Rapporto tra le aree: il rapporto tra le aree di figure corrispondenti è costante;
Indicando con S una figura piana e con S’ la sua immagine si ha:
Dove k è detto rapporto di affinità. Se k=1‌‌ allora l’affinità conserva le aree. Le
affinità che conservano le aree si dicono equiaffinità o equivalenze.
• punti medi : trasformano il punto medio di un segmento nel punto medio del
segmento corrispondente
'S
S
A
k
A
=

20. In generale un’affinità non conserva le
distanze.
Anche la forma delle figure non è
invariante, per esempio un triangolo
rettangolo si può trasformare un triangolo
ottusangolo.
Nell’insieme delle affinità troviamo come
casi particolari le similitudini e le isometrie.
Per le similitudini, in particolare oltre alle proprietà precedentemente elencate si
conserva:
•Rapporto tra lunghezze: il rapporto tra le lunghezze di segmenti
corrispondenti è costante ed è uguale alla radice quadrata del rapporto di
affinità.
•Ampiezza degli angoli: ad un angolo del piano viene associato un angolo ad
esso congruente. Da ciò segue che rette perpendicolari si trasformano in rette
perpendicolari;
•la forma: una circonferenza si trasforma in una circonferenza, l’immagine di
una figura la figura stessa ingrandita o rimpicciolita.

21. Per le isometrie, oltre a tutte le proprietà precedenti si conservano:
•La forma
•le lunghezze
•l’estensione delle superfici

22. EQUAZIONI DELLE AFFINITÀ
Un’affinità è una trasformazione geometrica di equazioni:
Esempio
'
( ; ) ' ' 0
' ' ' ' ' '
x ax by c a b
P x y con ab a b
y a x b y c a b
Λ = + +
→ = − ≠
= + +
La trasformazione
È un’affinità pervhè è rappresentata da
una coppia di equazioni lineari, in cui il
determinante
' 2 5
' 1
x x y
y x y
= − +
Λ = 
= + +
2 1
2 1 3 0
1 1
−
= + = ≠

23. In ogni affinità il rapporto k è dato dal valore assoluto del determinante
dell’affinità
In particolare se l’affinità si dice diretta e conserva l’orientamento
dei vertici di un poligono, mentre se l’affinità si dice indiretta e
inverte l’orientamento
' '
' '
a b
k ab a b
a b
= = −
0
' '
a b
a b
>
0
' '
a b
a b
<

24. I PUNTI UNITI
Abbiamo visto che un punto unito di una trasformazione è un punto del piano che
si trasforma in se stesso, cioè che è immagine di se stesso. Per esempio in una
rotazione il centro della rotazione è un punto unito. Vediamo come si determinano
i punti uniti di una trasformazione. Se:
Vuol dire che x’=x e y’=y, quindi gli eventuali punti uniti sono soluzione del sistema
( ; ) ( ; )P x y P x yΛ
→
( )
( )
1 0
' ' 1 ' 0' ' '
a x by cx ax by c
a x b y cy a x b y c
 − + + == + + 
→ 
+ − + == + +  

25. Il sistema può essere:
•Determinato → una sola soluzione → un solo punto unito
•Indeterminato → infinite soluzioni → infiniti punti uniti
• Impossibile → nessuna soluzione → nessun punto unito
RETTE UNITE
Una retta unita è una retta del piano che si trasforma in se stessa. In particolare una
retta unita può essere puntualmente unita, cioè costituita da punti uniti. Per esempio
in una simmetria assiale l’asse di simmetria è puntualmente unita mentre ogni retta
perpendicolare all’asse di simmetria è unita.
Per determinare una retta unita si considera una generica retta del piano, si
determina la sua immagine e si impone che le due rette coincidano. Vediamolo con
un esempio
:r y mx q= +