UKURAN VARIASI

UKURAN VARIASI
ATAU DISPERSI
(PENYEBARAN)
Almuntofa Purwantoro, ST., MT.

Ukuran-ukuran Statistik
1. Ukuran Tendensi Sentral (Central tendency
measurement):
 Rata-rata (mean)
 Nilai tengah (median)
 Modus

2. Ukuran Lokasi (Location measurement):
 Persentil (Percentiles)
 Kuartil (Quartiles)
 Desil (Deciles)

3. Ukuran Dispersi/Persebaran (Dispersion
measurement):
 Jarak (Range)
 Ragam/Varian (Variance)
 Simpangan Baku (Standard deviation)
 Rata-rata deviasi (Mean deviation)

Ukuran Dispersi
 Penyebaran adalah perserakan data individual
terhadap nilai rata-rata.

 Data homogen (tidak bervariasi) memiliki
penyebaran (dispersi) yang kecil, sedangkan

data yang heterogen (sangat bervariasi)
memiliki penyebaran yang besar.

Pengukuran Dispersi Adalah Metode Untuk
Menggambarkan Bagaimana Suatu Kelompok
Data Menyebar Terhadap Pusat Data

Mengapa mempelajari Dispersi

 Untuk mengukur Tendensi Sentral (mean,
median dan modus) yang hanya
menitikberatkan pada pusat data, tapi tidak
memberikan informasi tentang sebaran nilai

data tersebut.
 Untuk membandingkan sebaran data dari
dua atau lebih distribusi data.

Berdasarkan besar kecilnya penyebaran,
kelompok data dibagi menjadi dua, yaitu :

• Kelompok data homogen
 Penyebaran relatif kecil
 Jika seluruh data sama, maka disebut

kelompok data homogen 100%.

• Kelompok data heterogen
 Penyebarannya relatif besar.

Homogen dan Heterogen Data
I. 50, 50, 50, 50, 50 Homogen
II. 30, 40, 50, 60, 70 Agak bervariasi
III. 10, 20, 40, 80, 100 Heterogen

Ketiga kelompok data mempunyai rata-rata

hitung yang sama, yaitu :

X 50

Kegunaan Pengukuran Dispersi
 Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk
menentukan apakah nilai rata-ratanya benar-benar
representatif atau tidak.
Apabila suatu kelompok data mempunyai penyebaran
yang tidak sama terhadap nilai rata-ratanya (heterogen),
maka dikatakan bahwa nilai rata-rata tersebut tidak
representatif.

 Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk
mengadakan perbandingan terhadap variabilitas data.
 Ukuran penyebaran dapat membantu penggunaan
ukuran statistika, misalnya dalam pengujian hipotesis,
apakah dua sampel berasal dari populasi yang sama
atau tidak.

Macam-macam Pengukuran Dispersi
1. Dispersi absolut / mutlak
Digunakan untuk mengetahui tingkat variasi
nilai observasi pada suatu data.
 Nilai Jarak (Range)
 Rata-rata Simpangan /Deviasi Rata-rata (Mean
Deviation)

 Variasi (Variance)
 Simpangan Baku (Standard Deviation)
2. Dispersi relatif
Digunakan untuk membandingkan tingkat variasi
nilai observasi pada suatu data dengan tingkat
variasi nilai observasi data-data lainnya.
 Koefisien Variasi (Coeficient of Variation)

Nilai Jarak/Jangkauan (Range)

 Merupakan beda antara pengukuran nilai
terbesar dan nilai terkecil yang terdapat
dalam sebuah distribusi.

 Penentuan range sebuah distribusi
merupakan pengukuran dispersi yang paling
sederhana.

Contoh 1:

A : 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 X = 55
B : 100 100 100 100 100 10 10 10 10 10 R = 100 – 10 = 90
C : 100 100 100 90 80 30 20 10 10 10

Rata-rata

1. Rentang (R) Nilai Jarak:
Selisih antara nilai tertinggi (Xt) dan terendah
(Xr) dalam suatu distribusi data. Sangat
dipengaruhi oleh nilai ekstrim.
Rumus : R = Xt - Xr

2. Rentang antar kuartil (RAK) :

Median didefinisikan sebagai nilai yang
membagi seluruh rentang nilai menjadi dua
bagian yang sama.
Kuartil didefinisikan sebagai nilai yang
membagi seluruh rentang nilai menjadi empat
bagian yang sama.

 Nilai Range (r) kecil, Berarti bahwa suatu
Distribusi memiliki rangkaian Data yang lebih
Homogen
 Semakin kecil nilai r maka kualitas data akan

semakin baik, sebaliknya semakin besar nilai r,
maka kualitasnya semakin tidak baik.

Contoh 2:
TOKO KEUNTUNGAN Dari data tabel di samping rata-rata keuntungan:
(Rp)
A 4000 4.000 5.000 6.000 5.000 4.000 6.000 5.500 4.500
X
B 5000 8
C 6000
X 5.000
D 5000
E 4000
Variasi Relatif Kecil (Homogen)

7000
F 6000
6000
G 5500 5000
H 4500 4000
3000
2000
1000
0
A B C D E F G H

KEUNTUNGAN

Contoh 3:
TOKO KEUNTUNGAN Dari data tabel di samping rata-rata keuntungan:
(Rp)
A 1000 1.000 9.000 5.000 4.000 6.000 5.000 9.500 5.000
X
B 9000 8
C 5000
X 5.000
D 4000
E 6000
Variasi Relatif Besar (Heterogen)

F 5000 10000

G 9500 8000

H 5000 6000

4000

2000

0
A B C D E F G H

KEUNTUNGAN

Perbandingan

 Kedua Contoh tersebut di atas memiliki nilai
Rata-rata sama = 5.000
 Tetapi kedua Toko tersebut memiliki
Perbedaan dalam penyebarannya

 Contoh (2) Range = Kecil = 6.000-4.000
= 2.000 (Homogen)
 Contoh (3) Range = Besar = 9.500 – 1.000
= 8.500 (Heterogen)

Deviasi Rata-rata (mean deviation
/Average Deviation)

 Merupakan penyebaran Data atau Angka-
angka atas dasar Jarak (Deviasi) dari pelbagai
Angka-angka dari Rata-rata nya.

Makin besar simpangan, makin besar
nilai deviasi rata-rata

Data tidak berkelompok
n n
Xi X Xi
i 1
atau i 1
MD MD
n n
Keterangan :

 MD = Mean Deviation
 │ │= Tanda Nilai Absolut (Nilai Mutlak)
 Xi = Nilai dari data
 W = Menunjukkan Nilai dari X1 sampai dg Xn
n

i 1

 n = Jumlah data
 µ/ X = Nilai rata-rata (mean)

Kelompok A Kelompok B
Nilai X X-X |X – X| Nilai X X-X |X – X|
100 45 45 100 45 45
90 35 35 100 45 45
80 25 25 100 45 45
Rata-rata
70 15 15 90 35 35
60 5 5 80 25 25
50 -5 5 30 -25 25
40 -15 15 20 -35 35
30 -25 25 10 -45 45
20 -35 35 10 -45 45

10 -45 45 10 -45 45
Jumlah 0 250 Jumlah 0 390

Rata-rata 250 390
MD 25 MD 39
10 10

Contoh 1:
TOKO KEUNTUNGAN Keuntungan yang diperoleh 5
(Rp) Toko tersebut adalah:
A 4.000

B 5.000 Xi X ( Xi X )

C 6.000 4.000 5.000 1.000

D 5.000 5.000 5.000 0

E 5.000 6.000 5.000 1.000

RATA-RATA 5.000 5.000 5.000 0

5.000 5.000 0

TOTAL 2.000
n
Xi X
i 1 2.000
MD 400
n 5

Data berkelompok
F M X FM
MD atau MD
n n
Keterangan :

 MD = Mean Deviation
 │ │ = Tanda Nilai Absolut (Nilai Mutlak)
 F = Frekuensi pada masing-masing kelas
 M = Mid point/titik tengah/class mark
 n = Jumlah frekuensi (Ʃf)
 X / µ = Nilai rata-rata (mean)

Contoh:
M(Titik
NILAI F(f)
Tengah)
F×M X M X F (M X
50 – 55 1 52,5 52,5 75,52 23,02 23,02
56 – 61 2 58,5 117 75,52 17,02 34,04
62 – 67 17 64,5 1.096,5 75,52 11,02 187,34
68 – 73 13 70,5 916,5 75,52 5,02 65,26
74 – 79 24 76,5 1.836 75,52 0,98 23,52
80 – 85

9 82,5 742,5 75,52 6,98 62,82
86 – 91 7 88,5 619,5 75,52 12,98 90,86
92 – 97 7 94,5 661,5 75,52 18,98 132,86
Jumlah 80 6.042 619,82

FM X 619,82
MD 7,14
n 80

Cara menghitung MD
1. Carilah nilai Mid Point (M) / titik tengah pada
masing-masing kelas.
2. Carilah Deviasi Mutlak (absolut) yaitu selisih
antara Mid point dengan nilai rata-rata (M
atau X ) M X
3. Kalikan hasil no.2 dengan masing-masing

frekuensi kelasnya. F ( M X
4. Jumlahkan masing-masing hasil no.3
F (M X
5. Bagilah hasil no.4 dengan n, maka akan
diperoleh MD.

KERJAKAN
SOAL

BERIKUT

CARI NILAI MD ….

M (Titik M X F (M X
NILAI F(f) F×M X
Tengah)
1-5 1
6-10 2
11-15 16

16-20 13
21-25 12
26-30 3

Variasi (Variance)
 Rata-rata kuadrat selisih dari semua nilai
data terhadap nilai rata-rata hitung.
 Data tidak berkelompok:
Populasi Variance
N
2
X-

2 i 1
N

Sampel Variance
n 2

1 n
2 n
Xi
S 2
Xi X 1 2 i 1
n 1 atau S2 Xi
i 1 n 1 i 1 n

 Data berkelompok:
Populasi Variance σ2 = Varians populasi
k S2 = Varians sampel
2
fi M i (Xi-µ) = Simpangan dari
2 i 1 observasi
N terhadap rata-
rata sebenarnya.
X i X = Simpangan dari
Sampel Variance

observasi
k
2
terhadap rata-
fi X i X rata sampel
S2 i 1 N = Populasi
n 1 n = Sampel

Simpangan Baku/Standar Deviasi
 Merupakan akar pangkat dua dari variasi.
 Untuk data tidak berkelompok:
Populasi Standar Deviasi:
N 2
N
2
X- N
Xi
i 1 1 2 i 1
atau Xi

N N i 1 N

Sampel Standar Deviasi:
Rumus I

n 2
n
2
Xi - X n
Xi
i 1 1 2 i 1
S atau S Xi
n n i 1 n

Rumus II
n 2
n
2
Xi - X n
Xi
i 1 1 2 i 1
S atau S Xi
n 1 n 1 i 1 n

 Untuk data berkelompok:
Populasi Standar Deviasi:
k
2
fi M i - μ
i 1
N

Mi = nilai tengah dari kelas ke-i, i = 1, 2, …. k

atau

Untuk Kelas Interval yang sama
2
c = Besarnya kelas
k k
2 interval
fi di fi di fi = Frekuensi kelas ke-i
i 1 i 1 di = deviasi
c
N N simpangan dari kelas
ke-i terhadap titik asal
asumsi
Mi = nilai tengah kelas

ke-i
Untuk Kelas Interval yang tidak
sama
k 2

k
fi M i
1 2 i 1
fi M i
N i 1 N

Sampel Standar Deviasi:
Untuk Kelas yang sama

k k 2
2
fi di fi di
i 1 i 1
S c
n 1 n 1

Untuk Kelas Interval yang tidak sama

k 2

k
fi M i
1 2 i 1
S fi M i
n 1 i 1 n 1

Contoh :

Cari nilai varians dan standar deviasi dari
sampel data dari tabel berikut:

Data
40

50
60
70
80

Jawaban:
Rata-rata data

2
X X-X X-X X2
40 -20 400 1.600
50 -10 100 2.500
60 0 0 3.600
70 10 100 4.900

80 20 400 6.400
1.000 19.000

Varians:

Standar variasi:

atau

Varians: 2 2
X-X f X-X

Standar variasi:

Soal 1:
Hitunglah Simpangan Baku/Standar Deviasi
dari data berikut:
Kel. Karyawan Kel. Karyawan Kel. Karyawan
I II III
X1 50 50 100

X2 50 40 40
X3 50 30 80
X4 50 60 20
X5 50 70 10

X: upah bulanan karyawan suatu perusahaan
(dalam ribuan rupiah)

Soal 2:
Modal dari 40 populasi perusahaan (dlm juta rupiah)
adalah sebagai berikut:
138 164 150 132 144 125 149 157
146 158 140 147 136 148 152 144
168 126 138 176 163 119 154 165

146 173 142 147 135 153 140 135
161 145 135 142 150 156 145 128

Kemudian data dikelompokkan dan disajikan dalam
bentuk tabel frekuensi.
Hitunglah standar deviasi terhadap data tersebut?

Jawaban 2:
Tabel frekuensi:
Nilai Tengah
Modal Sistem Tally f
(Median)
118 – 126
127 – 135

136 – 144
145 – 153
154 – 162
163 – 171
172 – 180
Jumlah

Keruncingan distribusi data
 Keruncingan distribusi data adalah derajat atau
ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi
data terhadap distribusi normalnya data.
Keruncingan distribusi data disebut juga kurtosis.
 Ada 3 jenis derajat derajat keruncingan yaitu
- Leptokurtis : distribusi data yang puncaknya

relatif tinggi
- Mesokurtis : distribusi data yang puncaknya
normal
- Platikurtis : distribusi data yang puncaknya
terlalu rendah atau terlalu mendatar

Skewness / Kemiringan distribusi
data
Kurva Sim e tris

Kurva Condong
Positif

Kurva Condong Negatif

Mo
Md
X

POSITIF CONDONG
KEKANAN (Juling Pos)

+

Mo Med
Mean

NEGATIF CONDONG
KEKIRI (Juling Neg)
F
R
E
K
U
E
N -
S
I

Mean Mo NILAI
Med

Rumus Kemiringan :
Dengan rumus pearson
X - Mod 3 X - Med
atau
S S

Dimana :

α = derajat kemiringan pearson
X = rata – rata hitung
Mod = modus
S = standar deviasi
Med = median

Bila α= 0 atau mendekati nol maka dikatakan distribusi
data simetris, bila α bertanda negatif maka dikatakan
distribusi data miring kekiri, dan bila α bertanda positif
maka dikatakan distribusi data miring ke kanan.

Data tidak berkelompok
n
1
3 (Xi X )3

n.S3 i 1

dimana
α3 = derajat kemiringan
X = rata-rata hitung
S = standar deviasi
n = Σf

Data Berkelompok
k
c3 1 3 1 k 2 1
k
1 k

3 f i di 3( f i di )( f i di ) 2( f i di )3
S3 n i 1 ni 1 n i 1 n i 1

Jika α3 = 0, maka distribusi data simetri
Jika α3 < 0, maka distribusi data miring ke kiri
Jika α3 > 0, maka distribusi data miring ke kanan

Dengan rumus bowley
α = Q3 + Q1 – Q2
Q3 – Q1
Jika distribusinya simetri, maka Q3 – Q2 = Q2 – Q1
sehingga Q3 + Q1 – 2Q2 = 0, yang mengakibatkan α = 0.
sebaliknya jika distribusinya miring, maka ada dua
kemungkinan, yaitu Q1 = Q2, atau Q2 = Q3. dalam hal Q1 =
Q2 maka α = 1 dan dalam hal Q2 = Q3, maka α = -1

KURTOSIS (KELANCIPAN)
Leptokurtis
f
Mesokurtis

Platikurtis

SIMETRIS
MEAN = MEDIAN = MODUS

Rumus Keruncingan
Data tidak berkelompok:
n
1
(Xi X )4
n i 1
4
S4
Data berkelompok:
n
1
fi ( X i X )4

n i 1
4
S4

derajat keruncingan lebih mudah dihitung dengan memakai
cara transformasi, yaitu ;
Jika α4 = 3, maka keruncingan distribusi data disebut mesokurtis
Jika α4 > 3, maka keruncingan distribusi data disebut leptokurtis
Jika α4 < 3, maka keruncingan distribusi data disebut platikurtis

UKURAN VARIASI

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (20)

Ähnlich wie UKURAN VARIASI

Ähnlich wie UKURAN VARIASI (20)

UKURAN VARIASI