Sistema articular aula 4 (1).pdf articulações e junturas
Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
1. Quebra Espontânea de Simetria
e o Mecanismo de Higgs
Everton Zanella Alvarenga
everton@fma.if.usp.br
Instituto de F´sica
ı
Universidade de S˜ o Paulo
a
05 de Dezembro de 2003
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.1/10
¸˜ ` a
2. Introdução
Simetrias
Princípios de invariância (ou de simetria)
Leis de conservação
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.2/10
¸˜ ` a
3. Introdução
Simetrias
Princípios de invariância (ou de simetria)
Leis de conservação
Quebra espontânea de simetria
Ferromagneto de Heinsenberg
Simetria discreta: Paridade
Simetria contínua: Modelo de Goldstone
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.2/10
¸˜ ` a
4. Introdução
Simetrias
Princípios de invariância (ou de simetria)
Leis de conservação
Quebra espontânea de simetria
Ferromagneto de Heinsenberg
Simetria discreta: Paridade
Simetria contínua: Modelo de Goldstone
Mecanismo de Higgs
Caso Abeliano
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.2/10
¸˜ ` a
5. Simetrias
Tipos de simetria
Contínuas/Discretas
Geométricas/Internas
Globais/Locais
Princípios de Invariância e Leis de Conservação
Teorema de Noether: invariância por transformações contínuas
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.3/10
¸˜ ` a
6. Simetrias
Tipos de simetria
Contínuas/Discretas
Rotação de uma esfera/cubo
Geométricas/Internas
Grupo de Transformações de Lorentz/Transformação de Gauge
Globais/Locais
Transformação de Gauge Local/Local
Princípios de Invariância e Leis de Conservação
Teorema de Noether: invariância por transformações contínuas
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.3/10
¸˜ ` a
9. Ferromagneto de Heinsenberg
Exemplo canônico: átomos num ferromagneto
interagindo através da interação spin-spin
3 PH
F PH
I
I
B@
3F G
A
Q
C
E3
F
D
Rede de átomos infinita
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.4/10
¸˜ ` a
10. Ferromagneto de Heinsenberg
V
RS
Invariante sob rotação: transformações de
TU
YXW
aW
Fase paramagnética
`
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.4/10
¸˜ ` a
11. Ferromagneto de Heinsenberg
V
V
RS
RS
Quebra de simetria
TU
Tc
b
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.4/10
¸˜ ` a
12. Ferromagneto de Heinsenberg
V
V
RS
RS
Quebra de simetria
TU
Tc
b
Aplicação de um campo externo
YdW
` W
Fase ferromagnética (quebra espontânea)
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.4/10
¸˜ ` a
13. Considerações Gerais
Teorias com campos clássicos escalares reais
e
i
pT
V
pT
tV
ru T
V
rq
hf
q r
(1)
g
s
c
s x
g v
f
wr
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.5/10
¸˜ ` a
14. Considerações Gerais
Teorias com campos clássicos escalares reais
e
i
pT
V
pT
tV
ru T
V
rq
hf
q r
(1)
g
s
c
s x
g v
f
wr
x
x
p€
yp
f
r
r
w
gw
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.5/10
¸˜ ` a
15. Considerações Gerais
Teorias com campos clássicos escalares reais
e
i
pT
V
pT
tV
ru T
V
rq
hf
q r
(1)
g
s
c
s x
g v
f
wr
x
x
p€
yp
f
r
r
w
gw
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.5/10
¸˜ ` a
16. Considerações Gerais
Teorias com campos clássicos escalares reais
e
i
pT
V
pT
tV
ru T
V
rq
hf
q r
(1)
g
s
cr i
i
ƒ„‚
†‡…
x
ƒ‚
T
V
T
V
g v
ru
r
c
c
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.5/10
¸˜ ` a
17. Considerações Gerais
Teorias com campos clássicos escalares reais
e
i
pT
V
pT
tV
ru T
V
rq
hf
q r
(1)
g
s
cr i
i
ƒˆ‚
†‰…
x
ƒ‚
T
V
T
V
g v
ru
r
c
c
Estado de menor energia (‘estado de vácuo’)
p
u
’
g ‘“
‘
constante t.q.
”
y
‘ g
p
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.5/10
¸˜ ` a
18. Um Exemplo Simples: Simetria Discreta
‘
Potencial de um campo real
• ‚
–
‘™
‚
g u
ƒ‘
—˜
c
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.6/10
¸˜ ` a
19. Um Exemplo Simples: Simetria Discreta
‘
Potencial de um campo real
• ‚
–
‘™
‚
g u
ƒ‘
—˜
c
Invariância sob paridade
g ‘d
‘d
fT
g ‘V
fT
V
‘
‘
b
s
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.6/10
¸˜ ` a
20. Um Exemplo Simples: Simetria Discreta
‘
Potencial de um campo real
• ‚
–
‘™
‚
g u
ƒ‘
—˜
c
Invariância sob paridade
g ‘d
‘d
fT
g ‘V
fT
V
‘
‘
b
s
T
‘V
u
Análise do mínimo de
p
u
T
”V
”
–X
‘ g
p
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.6/10
¸˜ ` a
21. Um Exemplo Simples: Simetria Discreta
• ‚
(i) . O potencial possui apenas um mínimo
”
X
g‘
”
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.6/10
¸˜ ` a
22. Um Exemplo Simples: Simetria Discreta
• ‚
(ii) . O potencial possui dois mínimos
”
d
•‚
€
g‘
–
f
e
ghe
y
s
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.6/10
¸˜ ` a
23. Um Exemplo Simples: Simetria Discreta
Escolha do estado de vácuo Quebra da Simetria
’
g ‘“
ƒ
g
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.6/10
¸˜ ` a
24. Um Exemplo Simples: Simetria Discreta
Escolha do estado de vácuo Quebra da Simetria
’
g ‘“
ƒ
g
Introduzindo um novo campo para investigarmos o vácuo assimétrico
‘d
‘d
’
g “
s ‘
”
y
g
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.6/10
¸˜ ` a
25. Um Exemplo Simples: Simetria Discreta
Escolha do estado de vácuo Quebra da Simetria
’
g ‘“
ƒ
g
Introduzindo um novo campo para investigarmos o vácuo assimétrico
‘d
‘d
’
g “
s ‘
”
y
g
obtemos
‚
–
g–
g–
ƒ d™
ƒi
‚
‘d
‘d
g u
‘
—˜
f
f
k‘ d
‘d
j
s
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.6/10
¸˜ ` a
26. Modelo de Goldstone: Simetria Contínua
Lagrangeana de uma campo escalar complexo
• ‚
‚
mf T
g V
pT
‘V
pT
stV
–T
‘V
‘n
‘n
‘n
q
s ‘
l
q
(2)
pT
‘V
pT
t‘ nV
T
‘n
V
q
u
p‘
g
s
q
o
q
i
m‘ T
g V
w
mT
ƒV
lT
V{
y‘
‚ ‘
z
tr
l
l
x
s
cv
™
• }|‚
‚
T
g V
‘|
–|
‘|
‘n
u
o ‘
r
ƒ
u
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.7/10
¸˜ ` a
27. Modelo de Goldstone: Simetria Contínua
Lagrangeana de uma campo escalar complexo
• ‚
‚
mf T
g V
pT
‘V
pT
stV
–T
‘V
‘n
‘n
‘n
q
s ‘
l
q
(2)
pT
‘V
pT
t‘ nV
T
‘n
V
q
u
p‘
g
s
q
o
Transformação de gauge global
€
~
g ‘d
‘
‘
b
‚T
V
constante
€
‘d
‘n
g n
‘n
b
~
o ‘d
‘d
fT
g V
fT
nV
‘n
p‘
o
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.7/10
¸˜ ` a
28. Modelo de Goldstone: Simetria Contínua
Lagrangeana de uma campo escalar complexo
• ‚
‚
mf T
g V
pT
‘V
pT
stV
–T
‘V
‘n
‘n
‘n
q
s ‘
l
q
(2)
pT
‘V
pT
t‘ nV
T
‘n
V
q
u
p‘
g
s
q
o
Análise do mínimo
p
u
• ‚
T
g ‘V
T
”V
‘n
‘n
–
c
”
‘ nƒ
–X
‘ g
p
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.7/10
¸˜ ` a
29. Modelo de Goldstone: Simetria Contínua
• ‚
(i) . O potencial possui apenas um mínimo
”
X
g‘
”
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.7/10
¸˜ ` a
30. Modelo de Goldstone: Simetria Contínua
• ‚
ƒ‘
(ii) . O potencial possui um máximo local em e infinitos
”
”
d
g
mínimos
„
„
†
~
•‚
|
g ‘|
€
dˆ
g‘
„
–
com
‡”
c
y
ow
…
s
cv
cv
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.7/10
¸˜ ` a
31. Modelo de Goldstone: Simetria Contínua
g ˆ
Escolha do estado de vácuo ( ) Quebra da Simetria
”
•‚
i
s
’
g ‘“
XT
”V
„
g
cv
–
c
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.7/10
¸˜ ` a
32. Modelo de Goldstone: Simetria Contínua
g ˆ
Escolha do estado de vácuo ( ) Quebra da Simetria
”
•‚
i
s
’
g ‘“
XT
”V
„
g
cv
–
c
‰l T
V
ŠmT
V
Introduzindo dois campos reais e
l
‘d
’
‘“
s ‘
y
i
m‘ T
g V
ƒ „w
‰l T
ƒV
ŠmT
V{
z
l
l
cv
e substituindo na densidade de Lagrangeana
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.7/10
¸˜ ` a
33. Modelo de Goldstone: Simetria Contínua
Obtemos
„‚
‰ƒ ‚
‚ x
‚ x
‚ x
pT
‰V
pT
‰tV
V
pT
ŠV
pT
ŠV
q
q
hf
–
Tc
g
s
q
q
‰ƒ ‚
Š ‚
‰ƒ ‚
Š ‚
‚
™ x
‰T
stV
–T
V
–
„
s
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.7/10
¸˜ ` a
34. Modelo de Goldstone: Simetria Contínua
Obtemos
„‚
‰ƒ ‚
‹ ‚ x
‚ x
‚ x
pT
‰V
pT
‰tV
V
pT
ŠV
pT
ŠV
q
q
hf
–
Tc
g
s
q
q
Ž
‘ Œ
‰ƒ ‚
Š ‚
‰ƒ ‚
Š ‚
‚
™ x
‰T
stV
–T
V
–
„
s
“f
= Densidade de Lagrangeana livre
’
™ x
‰ƒ ‚
Š ‚
‰T
stV
•f
–
„
–
(Teoria de perturbação)
”g
s
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.7/10
¸˜ ` a
35. Modelo de Goldstone: Simetria Contínua
Obtemos
„‚
‰ƒ ‚
‹ ‚ x
‚ x
‚ x
pT
‰V
pT
‰tV
V
pT
ŠV
pT
ŠV
q
q
hf
–
Tc
g
s
q
q
Ž
‘ Œ
‰ƒ ‚
Š ‚
‰ƒ ‚
Š ‚
‚
™ x
‰T
stV
–T
V
–
„
s
cv
„‚
–
Bóson escalar de massa
–
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.7/10
¸˜ ` a
36. Modelo de Goldstone: Simetria Contínua
Obtemos
„‚
‰ƒ ‚
‹ ‚ x
‚ x
‚ x
pT
‰V
pT
s‰ V
V
pT
ŠV
pT
ŠV
q
q
g f
–
Tc
q
q
Ž
‘ Œ
‰ƒ ‚
Š ‚
‰ƒ ‚
Š ‚
‚
™ x
‰T
s V
–T
V
–
„
s
cv
„‚
–
Bóson escalar de massa
–
Bóson escalar sem massa
–
Bóson de Goldstone
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.7/10
¸˜ ` a
37. Modelo de Goldstone: Simetria Contínua
Teorema de Golstone
Se existe uma transformação contínua sob a qual é
invariante, então ou
Vácuo invariante
Vácuo não é invariante Bósons de Goldstone
—
Partículas de massa nula
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.7/10
¸˜ ` a
38. Mecanismo de Higgs: Caso Abeliano
lmT
V
˜
Introduzindo o campo de gauge e substituindo as derivadas
q
ordinárias por derivadas covariantes
™ x
qš
p
˜
p
›˜
qš ™
™
qš ™
g
s
qs
š
q
š
o
lT
V
p
p
˜
œ
žz
q ƒ
b
qg
q
q
na densidade de Lagrangeana do campo escalar complexo Eq. (2)
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.8/10
¸˜ ` a
39. Mecanismo de Higgs: Caso Abeliano
Obtemos a densidade de Lagrangeana
s ™
• }|‚
s ‚
™ x
mf T
g V
T
‘V
T
st‘V
‘|
–|
‘|
n
q
qš
œ
œ
qš ™
™
l
q
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.8/10
¸˜ ` a
40. Mecanismo de Higgs: Caso Abeliano
Obtemos a densidade de Lagrangeana
s ™
• }|‚
s ‚
™ x
mf T
g V
T
‘V
T
st‘V
‘|
–|
‘|
n
q
qš
œ
œ
qš ™
™
l
q
Transformação de gauge local
9€ ¡
£
Ÿ
g ‘d
¤
¢
‘
‘
b
~
tr
¥r
9€ ¡
£
~ Ÿ
‘d
‘n
g n
‘n
¢
b
¦mrr
˜d
mT
V
˜
˜
p
q ‚
q ƒ
b
l
qg
q
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.8/10
¸˜ ` a
41. Mecanismo de Higgs: Caso Abeliano
Obtemos a densidade de Lagrangeana
s ™
• }|‚
s ‚
™ x
mf T
g V
T
‘V
T
st‘V
‘|
–|
‘|
n
q
qš
œ
œ
qš ™
™
l
q
Transformação de gauge local
9€ ¡
£
Ÿ
g ‘d
¤
¢
‘
‘
b
~
tr
¥r
9€ ¡
£
~ Ÿ
‘d
‘n
g n
‘n
¢
b
¦mrr
˜d
mT
V
˜
˜
p
q ‚
q ƒ
b
l
qg
q
• ‚
Para obtemos o mínimo
”
d
„
†
~
•‚
€
g‘
„
–
com
‡”
c
ˆd
y
ow
s
cv
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.8/10
¸˜ ` a
43. Mecanismo de Higgs: Caso Abeliano
Obtemos a seguinte densidade de Lagrangeana
„‚
‰ ‚
‚ x
‚ x
pT
‰V
pT
‰s V
V
q
g f
–
Tc
q
‚
™ x
‚ x
T
„V
qš
q
˜
˜
qš ™
™
ƒ
s
q
‚ x
pT
ŠV
pT
ŠV
q
s
q ˜
q p
q
„
ƒ
‘termos de interação’
Šƒ
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.8/10
¸˜ ` a
44. Mecanismo de Higgs: Caso Abeliano
Obtemos a seguinte densidade de Lagrangeana
„‚
‰ ‚
‚ x
‚ x
pT
‰V
pT
‰s V
V
q
g f
–
Tc
q
‚
™ x
‚ x
T
„V
qš
q
˜
˜
qš ™
™
ƒ
s
q
‚ x
pT
ŠV
pT
ŠV
q
s
q ˜
q p
q
„
ƒ
‘termos de interação’
Šƒ
cv
„‚
–
Bóson escalar de massa = 1 grau de liberdade
–
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.8/10
¸˜ ` a
45. Mecanismo de Higgs: Caso Abeliano
Obtemos a seguinte densidade de Lagrangeana
„‚
‰ ‚
‚ x
‚ x
pT
‰V
pT
‰s V
V
q
g f
–
Tc
q
‚
™ x
‚ x
T
„V
qš
q
˜
˜
qš ™
™
ƒ
s
q
‚ x
pT
ŠV
pT
ŠV
q
s
q ˜
q p
q
„
ƒ
‘termos de interação’
Šƒ
cv
„‚
–
Bóson escalar de massa = 1 grau de liberdade
–
|
„|
Bóson vetorial de massa = 3 graus de liberdade
–
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.8/10
¸˜ ` a
46. Mecanismo de Higgs: Caso Abeliano
Obtemos a seguinte densidade de Lagrangeana
„‚
‰ ‚
‚ x
‚ x
pT
‰V
pT
‰s V
V
q
g f
–
Tc
q
‚
™ x
‚ x
T
„V
qš
q
˜
˜
qš ™
™
ƒ
s
q
‚ x
pT
ŠV
pT
ŠV
q
s
q ˜
q p
q
„
ƒ
‘termos de interação’
Šƒ
cv
„‚
–
Bóson escalar de massa = 1 grau de liberdade
–
|
„|
Bóson vetorial de massa = 3 graus de liberdade
–
Bóson de Goldstone escalar sem massa = 1 grau de liberdade
–
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.8/10
¸˜ ` a
47. Mecanismo de Higgs: Caso Abeliano
Obtemos a seguinte densidade de Lagrangeana
„‚
‰ ‚
‚ x
‚ x
pT
‰V
pT
‰tV
V
q
hf
–
Tc
g
s
q
‚
™ x
‚ x
T
„V
qš
q
˜
˜
qš ™
™
ƒ
s
q
‚ x
pT
ŠV
pT
ŠV
q
s
q
˜
q p
q
„
ƒ
‘termos de interação’
Šƒ
cv
„‚
–
Bóson escalar de massa = 1 grau de liberdade
–
|
„|
Bóson vetorial de massa = 3 graus de liberdade
–
Bóson de Goldstone escalar sem massa = 1 grau de liberdade
–
˜
Mostra que e não são coordenadas normais independentes
–
Š
q
Total = 5 graus de liberdade!
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.8/10
¸˜ ` a
49. Mecanismo de Higgs: Caso Abeliano
g f
’ ƒf
yf
Obtemos que
”
„‚
‰ ‚
‚ x
‚ x
pT
‰V
pT
‰tV
V
q
“f
–
Tc
’g
s
q
‚
™ x
‚ x
T
„V
qš
q
˜
˜
qš ™
™
ƒ
s
q
‰ ™
‰s i
™ x
•f
–
„
–
”g
s
‚
‰ ‚
‚ x
cT
o V
˜
˜
q
„
ƒ
‰ƒ
q
cv
„‚
–
Bóson escalar de massa = 1 grau de liberdade
–
|
„|
Bóson vetorial de massa = 3 graus de liberdade
–
Total = 4 graus de liberdade!!!
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.8/10
¸˜ ` a
50. Mecanismo de Higgs: Caso Abeliano
Mecanismo de Higgs
1. Iniciamente
2 bósons escalares massivos + 1 bóson vetorial sem massa
=
«c = 4 graus de liberdade
i
c
iƒ
«
2. Obtemos ao eliminarmos o bóson de Goldstone
1 bóson escalar massivo + 1 bóson vetorial massivo
= = 4 graus de liberdade
i
i
U
iƒ
«
«
Bóson de Higgs
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.8/10
¸˜ ` a
51. Resumo
Modelo de Goldstone
¬T
iV
Quebra espontânea de simetria global
q
bóson escalar massivo
i
s
bósons escalares massivos
c
b
bóson escalar sem massa
i
uƒ
Mecanismo de Higgs
¬T
iV
Quebra espontânea de simetria local
¤
q
bósons escalares massivos bóson escalar massivo
c
i
¥
s
b
bóson vetorial sem massa bóson vetorial massivo
i
i
ƒ
uƒ
¦
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.9/10
¸˜ ` a
52. Conclusão
Próximos passos
Estudar o caso quântico
Estudar o modelo padrão eletrofraco
Aprofundar o estudo de teoria de grupos
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.10/10
¸˜ ` a
53. Conclusão
Próximos passos
Estudar o caso quântico
Estudar o modelo padrão eletrofraco
Aprofundar o estudo de teoria de grupos
A Natureza parece tomar proveito das representações matemáticas
simples das leis de simetria. Quando alguém pára e considera a
elegância e maravilha do raciocínio matemático envolvido e compara
com as consequências físicas complexas e de longo alcance, um
profundo sentimento de respeito com o poder das leis de simetria nunca
deixa de desenvolver.
Do discurso de C. N. YANG ao receber o Nobel
Introducao a Teoria Quˆ ntica de Campos II – 05 de Dezembro de 2003 – p.10/10
¸˜ ` a