O documento discute o ensino e aprendizagem de cálculos mentais, exatos, aproximados e com calculadora nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Argumenta-se que há uma ênfase excessiva no cálculo exato por meio de algoritmos sem que os outros tipos de cálculo sejam devidamente trabalhados, dificultando a compreensão dos conceitos. Defende-se que intervenções explorando cálculos mentais e aproximados antes do ensino formal de algoritmos podem ajudar na aprendizagem. Também se discute mitos em tor

1. Contas, Contas e mais contas: O ensino e a aprendizagem de cálculo mental, exato,
aproximado e com calculadora nos anos iniciais do Ensino Fundamental1
Everaldo Gomes Leandro2
Lívia de Oliveira Vasconcelos3
À entrada do auditório, umas mocinhas da Universidade encarregam-se da venda dos livros de
Torrente. Escolho uma meia dúzia deles e fico à espera de que me façam as contas e digam
quanto tenho que pagar. Seis livros, seis parcelas de uma soma simples, nenhuma delas com mais
de dois dígitos.
A primeira tentativa falhou, a segunda não foi melhor. Eu olhava, assombrado, o modo como a
rapariga ia somando, dizia sete mais seis, treze, e vai um, escrevia 3 na soma, 1 ao lado, e
prosseguia, adicionando por escrito os que iam aos que estavam, como, nos velhos tempos, um
estudante da primeira classe antes de aprender a usar a memória.
Uma colega explicou-me com um sorriso envergonhado: “É que falta a máquina.” Diante
daquela florida e ignorante juventude, senti-me, de súbito, infinitamente sábio em aritméticas:
pedi o papel e o lápis e, com um ar de triunfo condescendente, rematei a soma num
instante,mentalmente. As pobres pequenas ficaram esmagadas, confusas, como se, tendo-lhes
faltado os fósforos no meio da selva, lhes tivesse aparecido um selvagem com dois pauzinhos
secos e a arte de fazer lume sem calculadora.
(JOSÉ SARAMAGO, 1997)
José Saramago, escritor e poeta português, espantou-se com a dificuldade que as
garotas sentiram quando se depararam com uma soma, a seu ver, simples. Porém, nessa
passagem o escritor, consciente ou não disto, coloca em discussão o estado, não tão simples,
em que se encontra o ensino e a aprendizagem de cálculos aritméticos no Ensino
Fundamental, bem como as percepções existentes em relação ao uso da calculadora, do
cálculo mental e do cálculo exato.
Nesse sentido, temos por objetivo nesse artigo, mostrar o panorama em que se
encontra o ensino de cálculo mental, exato, aproximado e com calculadora nos anos iniciais
do Ensino Fundamental, almejando identificar e sugerir caminhos para o trabalho com o eixo
Números e Operações nos anos iniciais, mas especificamente com os diferentes tipos de
cálculos aritméticos (com algoritmo, com calculadora, mental: exatos e aproximados).
Começando a Conversa...
No Caderno de Apresentação do Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa
(PNAIC/FNDE) é definido como um dos direitos da criança aprender a “fazer uso do cálculo
mental, exato, aproximado e de estimativas” (BRASIL, 2014, P.42). Nas propagandas
1
Texto publicado no livro “Linguagens em Diálogo – Letramento e suas articulações no trabalho
interdisciplinar”. Disponível em: http://www.leetra.ufscar.br/biblioteca 2014.
2
Formador do Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa (PNAIC/UFSCar).
3
Mestranda em Educação pelo Programa de Pós-Graduação em Educação (PPGE/UFSCar). Formadora do
PNAIC.

2. governamentais referentes ao PNAIC, há a afirmação de que toda a criança deve saber ler,
escrever e fazer contas até os oito anos de idade. Para conseguir tais objetivos, entendemos
que tanto o processo de apropriação da leitura e da escrita, quanto à aprendizagem de
aritmética não se dá de qualquer forma. A resolução, por exemplo, de uma soma por meio do
algoritmo padrão (conta armada) não necessariamente indica que a criança domine os
conceitos do sistema de numeração decimal, nem que compreendeu a operação de adição.
Um dos aspectos que caracterizam o modo como se ensina e aprende cálculos
aritméticos atualmente, nos anos iniciais do Ensino Fundamental, é a introdução prematura do
cálculo exato, na forma escrita por meio de algoritmo, sem que os outros tipos de cálculos
aritméticos tenham sido trabalhados. O algoritmo permite encontrar as soluções facilmente,
mas podem dificultar o processo de compreensão das relações numéricas. Foi o que aconteceu
na passagem relata por Saramago: As garotas sabiam o algoritmo “[...] mais seis, treze, e vai
um, escrevia 3 na soma, 1 ao lado, e prosseguia, adicionando por escrito os que iam aos que
estavam[...]”, mas não compreendiam as relações numéricas.
O que queremos evidenciar é que a compreensão das relações numéricas, bem como o
entendimento do sistema de numeração decimal e das quatro operações (adição, subtração,
multiplicação e divisão) pode se dar por meio de propostas de trabalho com os outros tipos de
cálculos aritméticos (com calculadora, mentais: exatos e aproximados) precedendo o ensino
do cálculo por meio de algoritmo na forma exata e escrita.
Em relação aos algoritmos aprendidos na escola, Fontes (2010) complementa que
deveriam ser ensinados pelos professores mais tardiamente. Concordamos com autora quando
cita que:
Quando se ‘atropela’ a aprendizagem com o ensino de algoritmos antes do
domínio do cálculo, não se trabalha sua lógica, somente sua sequência e
regras e, por se tratar de um conhecimento não questionado, apenas
memorizado, unilateral, pode bloquear o raciocínio, não permitindo que se
realize o estabelecimento de relações (FONTES, 2010, p. 36).
Deste modo, defendemos que intervenções que se proponham a ampliar os papéis
dados ao cálculo mental, ao cálculo aproximado e com calculadora nos anos iniciais do
Ensino Fundamental são necessárias para um ensino que acredita que a compreensão dos
conceitos e procedimentos é mais importante do que a memorização de sequências, regras e
algoritmos.
Nos tópicos a seguir discutiremos como se dá o ensino do cálculo exato, mental,
aproximado e com calculadora nos anos iniciais do Ensino Fundamental, almejando

3. identificar e sugerir caminhos para o trabalho com o eixo Números e Operações nos anos
iniciais, mas especificamente com os diferentes tipos de cálculos aritméticos.
Cálculos exatos, aproximados, “contas de cabeça” e o Cálculo Mental
Os cálculos exatos perpassam todos os anos escolares e são necessários em diferentes
conteúdos da Matemática. São ensinados principalmente por meio de algoritmos e na forma
escrita. Isso já não acontece com os cálculos aproximados, deixados de lado e julgados como
um tipo de cálculo menor, que não tem utilidade.
Em sociedade, ao contrário, os cálculos exatos, tanto quanto os aproximados têm
diversas utilidades. Assim, acreditamos que é aconselhável que estejam nos mesmos
patamares quando um professor planeja ensinar as operações básicas.
Livros didáticos (IMENES; LELLIS, 2006; LOPES, 2006) abordam os diversos tipos
de cálculo de maneira diferente de livros mais antigos. Imenes e Lellis (2006), por exemplo,
em seus livros, de sexto ao nono ano da coleção “Matemática para todos” traz os cálculos
exatos e aproximados contextualizados juntamente com propostas de ensino utilizando
calculadoras e o cálculo mental.
Percebemos também por meio dos livros didáticos que a maneira de abordar e/ou
inserir os cálculos ao longo do tempo sofreu mudanças. Lopes (1994) em seu livro didático
“Matemática Atual” da oitava série (hoje nono ano) não insere a calculadora como
instrumento para aprendizagem de cálculos, 12 anos depois, Lopes (2006) na coleção
“Matemática hoje é feita assim” aborda atividades voltadas para o uso da calculadora, bem
como trata os outros tipos de cálculos (exatos e aproximados) de maneira contextualizada.
Em relação ao cálculo mental, os primeiros indícios de sua introdução, por exemplo,
nos currículos brasileiros datam de 1891 e são encontrados em documentos do Colégio Pedro
II. Tal colégio era referência e modelo para outras escolas brasileiras até as primeiras três
décadas do século XX4
e a concepção de educação estava direcionada para os exames
preparatórios para os estudos superiores (GOMES, 2007).
Quando nos referimos ao cálculo mental, uma das primeiras ideias que nos vem em
mente é a ideia de “fazer conta de cabeça”. Tal pensamento não está errado, mas incompleto.
4
Em 1931 surge a Reforma Francisco Campos que se torna parâmetro para as escolas da época.

4. Fontes (2010, p. 219), se referindo à concepção que alguns de seus sujeitos de pesquisa
tinham em relação ao cálculo mental, afirma que:
As crianças não precisam pensar em cálculo mental somente de cabeça,
podem escrever as etapas do cálculo mental para registrar as etapas do seu
pensamento, podem voltar e conferir como pensaram e mostrar esse caminho
aos outros colegas.
Outro ponto que necessita estar claro em relação ao cálculo mental é a corriqueira
confusão existente quando um sujeito resolve uma operação utilizando um algoritmo 5
mentalmente, algumas vezes escrevendo até a conta armada no ar com os dedos das mãos.
Pelos pressupostos teóricos defendidos por nós, essa ação não é considerada cálculo mental
(LEANDRO, 2014).
Assim, concordamos com Parra (1996, p.186) que uma definição única de cálculo
mental se torna difícil de ser elaborada, quando afirma que “‘cálculo mental’ é uma expressão
que pode ter muitos significados, dividindo opiniões, provocando dúvidas e expectativas”. Tal
autora nos dá algumas características do cálculo mental, cita que é:
Um conjunto de procedimentos em que, uma vez analisados os dados a
serem tratados, estes se articulam, sem recorrer a um algoritmo pré-
estabelecido para obter resultados exatos ou aproximados (PARRA, 1996,
p.189).
Deste modo, Fontes (2010) e Parra (1996), ao longo de seus escritos, nos mostram
algumas vantagens da aprendizagem de estratégias de cálculo mental, precedendo o ensino do
cálculo exato por meio de algoritmo, que indicamos a seguir:
 As aprendizagens no campo do cálculo mental influem na capacidade
de resolver problemas;
 Aumento do conhecimento no campo numérico;
 Habilita para uma maneira de construção do conhecimento que fornece
uma melhor relação do aluno com a Matemática;
 Aumenta a capacidade de iniciativa do aluno;
 Desenvolve o pensamento flexível;
 Promove o sentido do número e a compreensão do sistema decimal;
 Encoraja a criatividade;
 Permite liberdade e flexibilidade na escolha do processo de solução e;
 Amplia o conceito de valor posicional de número.
Com o passar do tempo, enquanto as relações e o repertório de cálculo vão se
expandindo surge espaço para a memorização. Assim, alguns cálculos como, por exemplo, 1
5
Entendemos por algoritmo “uma série finita de regras a serem aplicadas em uma ordem determinada a um
número finito de dados para chegar com certeza (quer dizer, sem indeterminação ou ambiguidades) e em um
número finito de etapas, a determinado resultado, e isso independentemente dos dados” (Bouvier, apud Parra
(1996, p.189)).

5. + 1 e 10x10 são rapidamente realizados por estarem memorizados. Esse processo proporciona
o aprendizado de conceitos mais sofisticados e abstratos, fato que a aprendizagem apenas do
algoritmo seja ela da divisão, subtração, multiplicação ou adição não proporcionam.
Sendo assim, acreditamos que o desenvolvimento de intervenções pensadas no sentido
de se explorar o cálculo mental é uma possibilidade para o início do ensino de cálculos
aritméticos e das operações básicas nos anos iniciais e que a formalização proveniente do
algoritmo, na forma exata e escrita, pode ser deixada para o momento em que o professor
perceba que os conceitos aritméticos e relações estão consolidados.
Cálculo com Calculadora: Discutindo alguns mitos
As calculadoras bem como outras tecnologias não podem ser observadas como as
redentoras do ensino e da aprendizagem da Matemática, mas também não podem ser vistas
como o mal que assola a aprendizagem dessa disciplina escolar.
Dentro dos discursos existentes acerca dos malefícios dos cálculos com calculadoras
em aulas de Matemática estão alguns que abordaremos e que entendemos que estão
equivocados por se respaldarem em juízos/avaliações superficiais dessa tecnologia.
Uma das primeiras ideias que surgem é que a calculadora impossibilitará o
aprendizado dos conceitos de número, sistema decimal e suas operações. Mas, as
(im)possibilidades do aprendizado desses conceitos vão muito além da utilização ou não dessa
mídia. Se pensarmos que uma mídia influência/atrapalha no aprendizado de algum conceito,
podemos fazer a mesma analogia para o lápis e o papel, justificando que tais materiais (que
são tecnologias) são espécies de “muletas” para a construção de conhecimento. Mas isso não
acontece, e concordamos também que:
sempre há uma dada mídia envolvida na produção de conhecimento. Dessa
forma, essa dependência sempre existirá e estará bastante relacionada ao
contexto educacional em que nos encontremos. (BORBA; PENTEADO,
2003, P. 13).
Van de Walle (2009, p.131) defende que é mais importante argumentar ou resolver
problemas do que o desempenho nas tediosas operações a mão que não envolve o pensar e,
assim deve-se ter em mente também que:
a calculadora não opera por si mesma e que os alunos precisam decidir o que
realizarão com o auxilio desse recurso e, assim, essa ferramenta não
restringe a autonomia dos alunos em decidirem quais os procedimentos que
adotarão para a resolução de determinado problema. (SELVA; BORBA,
p.11, 2010)

6. Os computadores e as calculadoras perpassam as atividades cotidianas das pessoas.
Assim, “é importante não pensar em tecnologia como um fardo extra adicionado à lista de
coisas que você – professor – já realiza em sua sala de aula” (VAN DE WALLE, 2009,
p.130). Acreditamos que tais mídias devem estar a disposição de estudantes e professores
quando forem necessárias, por entendermos que há benefícios a serem observados, tais como:
a possibilidade de desenvolvimento de conceitos, trabalho com a exercitação, fortalecimento
da resolução de problemas e economia de tempo.
Em relação ao desenvolvimento de conceitos utilizando a calculadora, Van de Walle
(2009, p. 131), cita um exemplo: Peguemos 796/42 = 18,95348. A tarefa consiste em
determinar o resto inteiro dessa divisão. Assim acreditamos que, deste modo, o conceito de
divisão está sendo desenvolvido e tal tarefa constitui-se um problema que pode ser resolvido
de diferentes formas.
Entendemos que há a necessidade de que, com crianças menores, a utilização dessa
tecnologia seja adaptada. Indicamos, para as escolas que não têm uma grande quantidade de
calculadoras, a utilização do software PoliKalc6
, além de uma interface pensada para o
trabalho com crianças menores, é respaldado na filosofia do software livre e pode ser
acessado gratuitamente.
Considerações Finais
Por fim, entendemos que a priorização de técnicas e algoritmos em detrimento da
compreensão conceitual e procedimental se constitui como um dos principais obstáculos na
aprendizagem das quatro operações e contribuído para que, assim como as raparigas
relatadas por Saramago (1997), outros sujeitos se sintam esmagados quando se defrontam
com a necessidade de desenvolver cálculos.
Destacamos também que durante as tarefas diárias, as habilidades de cálculo exato e
aproximado são necessárias para resolver os problemas que por vezes se evidenciam. Desse
modo, ambas devem ser exploradas e valorizadas durante as aulas de Matemática a fim de
garantir que os sujeitos sejam preparados para desenvolver todas essas modalidades de
cálculo.
Para isso, faz-se necessário a utilização de mídias e ferramentas que corroboram para a
aprendizagem de cálculos aritméticos, não os encarando como “muletas”, sem as quais não se
pode caminhar, mas como um “andaime” que é uma estrutura provisória, necessária durante o
6
O software pode ser acessado pelo endereço: www.polikalc.blogspot.com.br

7. processo de construção conceitual e que por fim, não se faz mais necessária para segurança do
que foi construído.
Referências Bibliográficas
BRASIL, Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Apoio à Gestão Educacional. Pacto
Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: Apresentação. Brasília: MEC, SEB, 2014.
BORBA, M. de C. PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 3ª ed. Belo
Horizonte: Autêntica, 2003.
FONTES, C. G. O valor e o papel do cálculo mental nas séries iniciais. Dissertação de
Mestrado: Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, São Paulo, 2010.
GOMES, M. L. M.O cálculo mental na história da matemática escolar brasileira. In: IX
Encontro Nacional de Educação Matemática, 2007, Belo Horizonte. IX ENEM Caderno de
Resumos. Recife: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, 2007. p. 154-154.
IMENES, L. M; LELLIS, M. C. Coleção Matemática para todos. São Paulo: Scipione,
2006.
LEANDRO, E. G. PoliKalc: A criação de um Objeto de Aprendizagem para ensino de
cálculos aritméticos no Ensino Fundamental. Trabalho de Conclusão de Curso em
Licenciatura em Matemática - Universidade Federal de Lavras (UFLA). Lavras - MG: 2014.
LOPES, A. J. Matemática Atual. São Paulo: Atual, 1994.
______. Matemática hoje é feita assim. 2. ed. São Paulo: FTD, 2006.
PARRA, C.; SAIZ, I. Didática da Matemática:reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre:
Artes Médicas, 1996.
SARAMAGO, J. Cadernos de Lanzarote. São Paulo: Cia das Letras, 1997.
VAN DE WALLE, J. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e
aplicação em sala de aula. Porto Alegre: Artmed, 2009.