3. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE
Un numar rational se poate exprima fie printr-un cat neefectuat,
m:n, fie printr-o fractie ordinara, m ,
n
fie printr-o fractie zecimala finita sau periodica (catul efectuat al
numerelor naturale sau intregi m si n, n≠0).
AMPLIFICAREA
Multimea numerelor rationale
a)
m m ⋅a o notam cu Q.
= ,a ≠ 0 m
n n ⋅a Q = m ∈ Z şi n ∈ Z *
SIMPLIFICAREA n
(a
m m:a Q+ = multimea numerelor
= ,a ≠ 0 rationale pozitive.
n n:a
Unde a = c.m.m.d.c. a lui m si n.
.
4. SCRIEREA NUMERELOR RAŢIONALE SUB
FORMA ZECIMALĂ SAU FRACŢIONARĂ
TRANSFORMAREA UNEI FRACTII ORDINARE IN FRACTIE ZECIMALA
Se face prin efectuarea catului dintre numaratorul si numitorul fractiei:
EXEMPLE:
7 11 32
=1,4; = 3, (3); = 2,1(3)
5 3 15
TRANSFORMAREA UNEI FRACTII ZECIMALE IN FRACTIE ORDINARA:
EXEMPLE:
(2 (6
18 9 213 − 21 192 32
1,8 = = 2,1(3) = = =
10 5 90 90 15
(9
23 − 2 21 7
(3
4245 − 42 4203 467
2, (3) = = = 4,2( 45) = = =
9 9 3 990 990 110
.
5. REPREZENTAREA PE AXĂ A
NUMERELOR RAŢIONALE
Pentru a reprezenta pe o axa mai multe numere rationale, este indicat ca
numerele rationale sa fie ordonate crescator.
Pentru ordonarea acestora, aceste numere este necesar sa aiba aceeasi forma de
prezentare – sub forma de fractii ordinare cu acelasi numitor.
EXEMPLU: Fie multimea A = {-1,5; 3,(3); 0; -2,2; 3,3; -2,(2); 1,5}
Transform numerele date in fractii ordinare:
3 10 11 33 20 3
− 1,5 = − ; 3, (3) = ; − 2,2 = − ; 3,3 = ; − 2, (2) = − ; 1,5 =
2 3 5 10
Aducem fractiile la acelasi numitor (in cazul nostru acesta este 90):
9 2
3 135 10 300 11 198 33 297 20 200 3 135
− =− ; = ; − =− ; = ; − =− ; =
2 90 3 90 5 90 10 90 9 90 2 90
Acuma, dupa comparatia numerelor , le putem reprezenta pe o axa:
-2,(2) -2,2 -1,5 0 -1,5 3,3 3,(3)
Se poate aborda si o alta strategie.
.
6. OPUSUL, INVERSUL, MODULUL
UNUI NUMĂR RAŢIONAL
OPUSUL UNUI NUMAR RATIONAL
Opusul lui a este –a, astfel incat a + (-a) = 0
Exemple: opusul lui 2,5 este -2,5; opusul lui -4,8 este 4,8.
INVERSUL UNUI NUMAR RATIONAL
Inversul lui a este 1 astfel incat a ⋅ 1 = 1
a a
Exemple: 2 5 1
Inversul lui este ; Inversul lui 3 este ;
5 2 3
MODULUL UNUI NUMAR RATIONAL
EXEMPLE:
a, dacă a ≥ 0
a = 5 = 5; -2 = 2
− a, dacă a < 0
.
7. ADUNAREA/SCĂDEREA NUMERELOR RAŢIONALE
Adunarea/scaderea fractiilor ordinare:
-Se afla numitorul comun al fractiilor date;
-Se amplifica corespunzator fractiile date;
-Numaratorii amplificati se aduna/scad deasupra aceleasi linii de
fractie.
EXEMPLU: 3) 4) 6)
5 2 1 15 +8 −6 17
+ − = =
4 3 2 12 EX 12
Adunarea/scaderea fractiilor zecimale finite: EM
PL
-Se aseaza numerele unul dedesubtul U:
celuilalt, astfel incat virgulele sa fie una 2,15+
dedesubtul celeilalte;
-Se face 49,30
adunarea/scaderea conform algoritmului
cunoscut; -Virgula se 51,45
pune la rezulta, ,,coborand-o’’ pe verticala.
.
8. PROPRIETATILE ADUNARII IN MULTIMEA Q
•Adunarea este (a + b) + c = a + (b + c)
asociativa:
•Adunarea este a+b=b+a
comutativa:
•Elementul neutru al a+0=0+a=a
adunarii este 0:
•Pentru orice a exista –a, a + (–a) = (–a) + a = 0
opusul lui a, astfel incat:
9. INMULŢIREA NUMERELOR RAŢIONALE
Prin inmultirea a doua numere rationale reprezentate prin fractii
ordinare se obtine o fractie ordinara unde numaratorul este produsul
numaratorilor si numitorul este produsul numitorilor. i i
ul tir
2 7 2 ⋅ 7 14 ei
n m
⋅ = = i et
atil
5 9 5 ⋅9 45 Propr
Inmultirea semnelor: Este comutativa a ⋅ b = b ⋅ a
factor factor produs Este asociativa a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅b) ⋅ c
+ + + Elementul neutru a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
este 1
+ - -
Este distributiva
- + - fata de a ⋅(b+c)=a ⋅b+a
adunare/scadere ⋅c
- - +
10. IMPĂRŢIREA NUMERELOR RAŢIONALE
Pentru a imparti doua fractii ordinare, se inmulteste prima fractie cu a doua fractie inversata.
( 57
12 9 12 38 456 8
: = ⋅ = =
19 38 19 9 171 3
Impartirea semnelor este la fel ca la inmultirea semnelor.
TEOREMA IMPARTIRII CU REST:
Unde:
d=i⋅ c+r d = deimpartitul
i=
impartitorul
r<i c = catul
.
11. PUTEREA UNUI NUMĂR RAŢIONAL
a a am
m
Daca este un numar rational, atunci = m
b b b −m m
a b bm
Atunci cand exponentul este un numar negativ, avem: = = m
Reguli de calcul cu puteri: b a a
am⋅an=am+n 6 7
5 7 12 2 2 42
2 2 2 (am)n=amn − = −
− ⋅ − = − 3
3
3 3 3 8 8 8
4 2 4 2
am:an=am-n (a⋅b)m=am⋅bm − 5 ⋅ + 3 = − 5 ⋅ + 3
15 7 8
2 2 2
− :− = − a n , daca n este par
3 3 3 (–a)n = n
− a , daca este impar
12. ORDINEA EFECTUĂRII OPERAŢIILOR
ŞI FOLOSIREA PARANTEZELOR
•Intr-un exercitiu de calcul ce contine mai multe operatii cu numere
rationale se efectueaza mai intai ridicarile la putere, apoi inmultirile
si impartirile in ordinea in care sunt scrise si apoi adunarile si
scaderile in ordinea in care sunt scrise.
•In exercitiile de calcul care contin paranteze se efectueaza mai
intai calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din
parantezele mari (drepte) si apoi cele din acolade.
•Daca in fata unei paranteze ce contine un numar rational sau o
suma de numere rationale se afla simbolul ,,–”, atunci se poate
elimina acesta si paranteza, scriind numerele din paranteza cu semn
schimbat.
− ( 12 − 10 + 4 − 9 ) = − 12 + 10 − 4 + 9
13. ECUAŢII DE FORMA ax + b = 0
•Propozitia cu o variabila de forma EXEMPLU:
x x −5 x
ax + b = 0 se numeste ecuatie cu o Rezolvati ecuatia − = +5
necunoscuta, unde a si b sunt 3 2 4
numere rationale. Stabilim cmmmc al 4) 6) 3)
x x − 5 x 12 )
numitorilor si
amplificam fractiile:
− = + 5 ⋅ 12
•Intr-o ecuatie avem
3 2 4
,,dreptul” de a trece Amplificam numaratorii si
termeni dintr-un membru scriem ecuatia fara
numitori:
4 x − 6 x + 30 = 3x + 60
in alt membru cu semnul
schimbat.
Trecem termenii dintr-un
membru in alt membru cu
4 x − 6 x − 3x = 60 − 30
•Intr-o ecuatie avem semnul schimbat:
,,dreptul” de
inmulti/imparti egalitatea
Efectuam operatiile de
adunare/scadere:
− 5 x = 30
cu un numar diferit de
zero. Procedeul este Impartim ecuatia prin coeficientul
necunoscutei:
− 5 x = 30 : ( −5)
utilizat pentru eliminarea
numitorilor si la final In final, aflam radacina ecuatiei: x = −6
aflarea necunoscutei.
.
14. REZOLVAREA DE PROBLEME CU
AJUTORUL ECUAŢIILOR
Etape de rezolvare a unei probleme:
1) Stabilirea datelor cunoscute si a celor necunoscute din problema.
2) Notarea unei date necunoscute cu x si exprimarea celorlalte date necunoscute in functie
de x.
3) Scrierea unei ecuatii cu necunoscuta x, folosind datele problemei.
4) Rezolvarea ecuatiei.
5) Verificarea solutiei.
6) Formularea concluziei (raspunsului problemei). REZOLVARE
EXEMPLU 1) Notam masura unghiului A cu x.
Intr-un triunghi ABC, 2) Din datele problemei rezulta ca masura unghiului B este
egala cu 2x.
masura unghiului B este
de doua ori mai mare La fel din datele problemei rezulta ca masura unghiului C
este 75% din 2x, adica este egala cu 1,5x .
decat masura unghiului A
iar masura unghiului C 3) Daca suma masurilor unghiurilor intr-un triunghi este
egala cu 1800, atunci obtinem ecuatia:
este 75% din masura
unghiului B. Aflati 4) x + 2x + 1,5x = 180
masura unghiului A. In urma rezolvarii ecuatiei, obtinem x = 400.
5) Verificam solutia: 40 + 80 + 60 = 180.
15. RAPOARTE ŞI PROPORŢII
a
Raportul numerelor rationale a si b, b≠0 este a:b si se scrie a si b se
numesc termenii raportului. b
Exercitiul 1. Sa se afle valoarea raportului dintre numerele a = 12 si b = 16.
(4
a 12 3 a 12
Rezolvare: = = sau = = 0,75
b 16 4 b 16
PROPORTIA este egalitatea a doua Aflarea unui termen necunoscut dintr-o
rapoarte. Daca avem a, b, c, d, asa incat: proportie:
a c este o proportie, cu extremii a un extrem = produsul mezilor
= si d si mezii b si c. celalalt extrem
b d EXEMPLU
x 5
PROPRIETATEA FUNDAMENTALA
Aflati x din: =
A PROPORTIILOR: 9 3
a c 9 ⋅ 5 45
= daca si numai daca a⋅ d=b⋅ c x= = = 15.
b d 3 3
.
16. DERIVAREA PROPORŢIILOR
Derivarea unei proportii cu aceiasi termeni
a) Schimband extremii intre ei 2 8 12 8
=
3 12
⇒ =
3 2
b) Schimband mezii intre ei 2 8 2 3
=
3 12
⇒ =
8 12
c) Inversand rapoartele 2 8 3 12
⇒ =
3 12
=
2 8
Derivarea unei proportii cu alti termeni
a c a ⋅k c
-se inmultesc/impart termenii unui raport cu acelasi numar nenul: = ⇒ =
b d b⋅k d
a c a⋅k c⋅k
-se inmultesc/impart numitorii/numaratorii cu acelasi numar nenul: = ⇒ =
b d b d
a c a+b c+d
-se aduna/scad la numaratori numitorii: = ⇒ =
b d b d
a c a c
-se aduna/scad la numitori numaratorii: = ⇒ =
b d b+a d +c
-se egaleaza un raport cu raportul obtinut prin adunarea/scaderea a c a c a+c
numaratorilor si respectiv a numitorilor: = ⇒ = =
b d b d b+d
.
17. ŞIRUL DE RAPOARTE EGALE
Daca avem:
a b c a b c a+b+c
1. = = atunci: = = =
m n p m n p m+n+ p
r) s) t)
a b c a b c ar + bs + ct
2. = = atunci: = = =
m n p m n p mr + ns + pt
a b c a b
(r (s
c
(t
a:r +b:s+c:t
3. = = atunci: = = =
m n p m n p m:r +n:s+ p:t
a b c k
a b c
k
a k + bk + c k
k
4. = = atunci: = = = k
m n p m n p m + nk + pk
a b c a b c
5. = = atunci: = = = k ; a = mk ; b = nk ; c = pk .
m n p m n p
Observatie: Daca este nevoie ca un termen al unui raport sa fie negativ, atunci
ambii termeni ai aceluiasi raport trebuie sa fie negativi !
18. DIRECTA ŞI INVERSA
PROPORŢIONALITATE
Daca avem doua multimi: A = {a, b, c, d} si B = {l, m, n, p} atunci:
1. Multimile A si B sunt in relatie de 2. Multimile A si B sunt in relatie de
directa proportionalitate, si: inversa proportionalitate, si:
a b c d
a b c d = = =
= = = 1 1 1 1
l m n p l m n p
EXEMPLU: 1 4
Impartiti numarul 111 in trei parti invers proportionale cu: 3; si .
Daca cele trei parti sunt invers proportionale cu numerele date, 2 3
REZOLVARE:
atunci se formeaza un sir de rapoarte egale, cu numitorii inverselor numerelor date:
a b c a + b + c 111 12
= = = = = 111 ⋅ = 36.
1 2 3 1 2 3 37 37
+ +
3 1 4 3 1 4 12 3
1 2
Atunci: a = ⋅ 36 = 12; b= ⋅ 36 = 72; c = ⋅ 36 = 27.
3 1 4
19. PROCENTE p
Rapoartele de forma
100 se noteaza cu p% si se numesc rapoarte procentuale.
EXEMPLE:
( 20 ( 25
25 1 40 2 125 5
25% = = 40% = = 125% = =
100 4 100 5 100 4
Din propozitia p% din a = b rezulta urmatoarele tipuri de probleme:
60 3300
1. Daca se cunosc p si a atunci b = p% ⋅ a 60% din 55 = ⋅ 55 = = 33
100 100
2. Daca se cunosc p si b, atunci a este: Aplicatie: 30% din cat este egal cu 18?
30 ( 30
30% din a = 18; ⋅ a = 18; a = 18 ⋅
100 1800
= = 60.
100 30 30
3. Daca se cunosc a si b, atunci p este:
p 100 1600
( 64
Aplicatie: Cat % din 64 este 16 ? ⋅ 64 = 16; p = 16 ⋅ = = 25.
100 64 64
20. O PROBLEMA CU PROCENTE
Pretul unui produs se modifica de doua ori: prima data creste cu 40% iar a doua
oara scade cu 25% din noul pret.
a) Daca pretul final este de 63 de lei, aflati pretul initial.
b) Cu cat la suta s-a modificat pretul de la cel initial la cel final?
c) Care a fost pretul dupa prima modificare de pret?
REZOLVARE Vom propune o varianta eficace de rezolvare:
1. Vom rezolva punctul b), afland procentul ce inlocuieste cele doua procente:
a ⋅b
Putem folosi formula: p = a + b + unde a si b sunt valorile procentuale.
100
Atentie: daca sunt majorari, valorile vor fi pozitive iar daca sunt reduceri valorile vor fi negative.
40 ⋅ ( −25)
p = 40 − 25 + = 15 − 10 = 5. Asta inseamna ca pretul a crescut cu 5%.
100
2. Vom rezolva punctul a), cunoscand rezultatul de la punctul b).
Daca pretul creste cu 5%, atunci el devine 105%.
(105
105 100 6300
⋅ x = 63; x = 63 ⋅ = = 60lei.
100 105 105
3. Vom rezolva punctul c) dupa ce am aflat pretul initial:
Daca pretul creste cu 40%, 140 8400
140% din60 = ⋅ 60 = = 84lei.
atunci el devine 140% 100 100
.
21. MEDIA MEDIA
ARITMETICĂ PONDERATĂ
Media aritmetica a doua sau mai multe Daca se dau numerele a1, a2, a3, …,an iar
numere rationale este numarul rational fiecare numar are respectiv ponderea
obtinut prin impartirea sumei p1, p2, p3, ….,pn atunci media
numerelor respective la numarul lor.
aritmetica ponderata va fi:
Daca avem: a1, a2, a3, …., an, atunci:
a1 + a 2 + a 3 + ... + a n a1 ⋅ p1 + a 2 ⋅ p2 + ... + a n ⋅ pn
ma = mp =
n p1 + p2 + ... + pn
Exemplu: aflati media aritmetica a Exemplu: aflati media ponderata a
numerelor: 3; 14; 20; 23. numerelor 5, 12, 15 fiecare cu ponderile
20, 12 si 8.
3 + 14 + 20 + 23 60 5 ⋅ 20 + 12 ⋅ 12 + 15 ⋅ 8 364
ma = = = 15. m p = = = 9,1.
4 4 20 + 12 + 8 40
