1. Práctica 4 Ingeniería Técnica Industrial
Matematicas II
Trayectorias ortogonales

2. 2 P04ED0.nb
Desarrollo de la práctica
Trayectorias ortogonales
Dos familias uniparamétricas de curvas
G1 (x, y, c1 ) = 0, G2 (x, y, c2 ) = 0,
se dicen que son trayectorias ortogonales, si todas las curvas de una familia cortan perpendicu-
larmente a todas las curvas de la otra familia.
El método para calcular la familia de trayectorias ortogonales a la familia uniparamétrica G (x,
y, c) = 0 consiste en encontrar, en primer lugar, la ecuación diferencial asociada a la familia
y' = f (x, y)
y, a continuación, plantear y resolver la ecuación asociada a la familia ortogonal que vendrá
dada por
y' = -1 / f (x, y)
Nota: Es normal, en este tipo de ejercicios, el que una o ambas familias de curvas vengan
dadas en su forma implícita. Para la representación gráfica de una curva dada en su forma
implícita necesitamos cargar, previamente, la librería
<<Graphics`ImplicitPlot`
y así poder utilizar la instrucción ImplicitPlot, cuya sintaxis es:
ImplicitPlot[ expresión, {x, xmin , xmax }]
Representa la función dada en forma implícita para valores de x en el inter-
valo [xmin, xmax ]
ImplicitPlot[ expresión, {x, xmin , xmax}, {y, ymin , ymax }]
Representa la función dada en forma implícita para valores de (x, y) en el
rectángulo [xmin, xmax ]×[ymin, ymax].
In[1]:= << Graphics`ImplicitPlot`

3. P04ED0.nb 3
Ejemplo
Encuentre las trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias que pasan por los
puntos (-1, 0) y (1, 0).
Q., M., S. Pág 60, 2.17
x2 + Hy - cL2 = c2 + 1
Se comprueba facilmente que las ecuaciones de estas circunferencias vienen dadas por
1º Representación gráfica de la familia de circunferencias x2 + Hy - cL2 = c2 + 1
In[5]:= Clear@"Global`∗"D;
familia1 = x2 + Hy − cL2 c2 + 1;
grafica1 =
ImplicitPlot@Evaluate@Table@familia1, 8c, −3, 3, 1<DD, 8x, −5, 5<D;
6
4
2
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-4
-6
2º Obtención de la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas

4. 4 P04ED0.nb
In[10]:=
ecuacion1 = familia1 ê. y → y@xD
derivada1 = D@ecuacion1, xD
Out[10]=
x2 + HyHxL - cL2 c2 + 1
Out[11]=
2 x + 2 HyHxL - cL y£ HxL 0
In[12]:=
parametro = Solve@derivada1, cD êê Simplify
Out[12]=
99c Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + yHxL==
y£ HxL
x
Å
In[17]:=
ED1 = ecuacion1 ê. parametro@@1DD êê Simplify
Out[17]=
y£ HxL
2 x yHxL
x2 yHxL2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅ + 1
ÅÅÅÅ
que es la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por los puntos (-1, 0) y (1, 0).
3º Ecuación diferencial de la familia de trayectorias ortogonales
La familia de trayectorias ortogonales se obtiene sustituyendo y' Ø -1 / y'
ED2 = ED1 ê. y '@xD → −1 ê y '@xD
Out[18]=
x2 yHxL2 - 2 x y£ HxL yHxL + 1
ecuacion2 = DSolve@ED2, y@xD, xD
è!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!
!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!
!!!!!!!!
Out[20]=
99yHxL Ø - -x2 + c1 x - 1 =, 9yHxL Ø -x2 + c1 x - 1 ==
mente, como Hx - êêL2 + y2 = êê2 - 1, que se trata de una familia de circunferencias ortogonales a la familia
Elevando al cuadrado una de las expresiones anteriores se tiene x2 + y2 = c x - 1, que podemos escribir, final-
c c
original.

5. P04ED0.nb 5
4º Representación gráfica de la familia de circunferencias Hx - êêL2 + y2 = êê2 - 1
c c
In[21]:=
familia2 = Hx − kL2 + y2 k2 − 1
grafica2 = ImplicitPlot@Evaluate@Table@familia2, 8k, −5, 5, 1<DD,
8x, −10, 10<, 8y, −5, 5<, PlotStyle → RGBColor@1, 0, 0DD;
Out[21]=
Hx - kL2 + y2 k2 - 1
4
2
-10 -5 5 10
-2
-4
5º Representación conjunta de ambas familias
Mediante el comando Show representamos de manera simultánea varias funciones, cuyas
gráficas se han dibujado previamente mediante un comando Plot
In[23]:=
Show@8grafica1, grafica2<D;
6
4
2
-10 -5 5 10
-2
-4
-6

6. 6 P04ED0.nb
Ejercicios
Ejercicio propuesto 1
Encuentre las trayectorias ortogonales a la familia de todas las circunferencias con centro en el origen.
Solución: y = k x
Ejercicio propuesto 2
Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de hiperbolas rectangulares y = c / x.
Solución: x2 - y2 = k
Ejercicio propuesto 3
Las curvas equipotenciales de un determinado campo electrostático se puede aproximar por las elipses x2 - 2
c x + 2 y2 = 0. Encuentre las líneas de fuerza.
Solución: y = k H 3 x2 + y2 L2
Nota: la ecuación diferencial resultante (homogénea) es conveniente resolverla a mano.
Ejercicios Resueltos