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Calcolo manuale della
   radice quadrata
Definizioni (1/2)
• Sia q∈R il numero reale di cui si vuole
  calcolare la radice quadrata.
• Sia inoltre a∈N il valore intero che
  approssima per difetto √q
  In formule:
                a∈N : a2 ≤ q
  Esempi:
  q=10  a=3          q=17  a=4
Definizioni (2/2)
• Detto r = √q ∈R, si può porre
        r = a+b con a∈N, b∈R, b<1
  Il problema si riduce quindi al calcolo di b
• Per calcolare b, conviene scriverlo come
  sequenza di cifre:
     b è rappresentato da "0. b1 b2 b3 …"
  e ragionare iterativamente, iniziando dal
  calcolo della prima cifra decimale b1
Impostazione analitica (1/2)
• Come prima approssimazione, ci poniamo
  l'obiettivo di calcolare
      √q ≈ r1 rappresentato da "a.b1"
  il cui valore si esprime come
                 r1 = a + b1 / 10
  dove b1 è una cifra fra 0 e 9 inclusi.
• Ne segue che
              q ≥ (a + b1 / 10)2
Impostazione analitica (2/2)
• Sviluppando il calcolo:
        q – a2 ≥ (b1 / 10) (2a + b1 / 10)
  ovvero
    100 (q – a2) ≥ b1 (10c + b1), con c=2a

• Tale formula diventa un algoritmo osservando che:
    (q – a2) rappresenta la differenza fra il numero dato
     e il quadrato della sua attuale radice (approssimata)
    (10c + b1) è il valore della sequenza di cifre "cb1"
Algoritmo per il calcolo di b1
• Dal numero iniziale q si sottrae a2, si aggiungono
  due 0 a destra e si sposta la virgola di due posti
• Si raddoppia il valore a calcolando c=2a, poi:
   – ponendo come 1° tentativo b1 = 1, si calcola il valore di
     c1 × 1 e si confronta con 100(q – a2): se è maggiore ci
     si ferma, altrimenti si prosegue;
   – si pone come 2° tentativo b1 = 2 e si calcola il valore di
     c2 × 2, ripetendo quindi il confronto
   Si assume come valido il massimo valore di b1
   per il quale cb1 × b1 non supera il valore 100(q – a2)
Esempio: √ 10                (1/3)
q = 10  a = 3  a2 = 9

10,00   3,…
 -9       Si sottrae da q=10 il valore
  1       a2 = 9 ottenendo 1
Esempio: √ 10                 (2/3)
q = 10  a = 3  a2 = 9

10,00   3,…
 -9
  100         Ora si "abbassano i due zeri" e si
              sposta la virgola di due posti: è il
              valore 100(q – a2) che qui vale 100
Esempio: √ 10             (3/3)
q = 10  a = 3  c = 2a = 6

10,00   3,b1           Si costruisce il numero costitui-
                       to dalle due cifre "cb1", inizian-
 -9     61 × 1 = 61    do con b1=1, e lo si moltiplica
  100                  per b1 stessa.
                       È minore di 100, si prosegue.

                       Si riprova con b1=2, ma ciò che
        62 × 2 =       si ottiene è maggiore di 100: lo
                       si scarta e ci si ferma.
          124
            r1 = 3.1
Proseguire l'algoritmo
Come calcolare le cifre successive?
Facile: si considerano come nuovi valori:
• q' = 100 ( 100 – 61) = 3900
• a' = 31                               c ' = 62

e si ripete il procedimento, calcolando così b2
√ 10: seguito
10,0000    3,1b2
 -9        621 ×   1 = 621
  100      622 ×   2 = 1224
   -61     …
    3900   625 ×   5 = 3125
           626 ×   6 = 3756  b2 = 6
           627 ×   7 = 4389

                   r2 = 3.16
E per proseguire ancora…
Volete ulteriori cifre?
Nuovi valori per la prosecuzione del calcolo:
• q' = 100 ( 3900 – 3756)= 100 × 144 = 14400
• a' = 316  c ' = 632

e si va avanti…

              Buon divertimento!

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  • 1. Calcolo manuale della radice quadrata
  • 2. Definizioni (1/2) • Sia q∈R il numero reale di cui si vuole calcolare la radice quadrata. • Sia inoltre a∈N il valore intero che approssima per difetto √q In formule: a∈N : a2 ≤ q Esempi: q=10  a=3 q=17  a=4
  • 3. Definizioni (2/2) • Detto r = √q ∈R, si può porre r = a+b con a∈N, b∈R, b<1 Il problema si riduce quindi al calcolo di b • Per calcolare b, conviene scriverlo come sequenza di cifre: b è rappresentato da "0. b1 b2 b3 …" e ragionare iterativamente, iniziando dal calcolo della prima cifra decimale b1
  • 4. Impostazione analitica (1/2) • Come prima approssimazione, ci poniamo l'obiettivo di calcolare √q ≈ r1 rappresentato da "a.b1" il cui valore si esprime come r1 = a + b1 / 10 dove b1 è una cifra fra 0 e 9 inclusi. • Ne segue che q ≥ (a + b1 / 10)2
  • 5. Impostazione analitica (2/2) • Sviluppando il calcolo: q – a2 ≥ (b1 / 10) (2a + b1 / 10) ovvero 100 (q – a2) ≥ b1 (10c + b1), con c=2a • Tale formula diventa un algoritmo osservando che:  (q – a2) rappresenta la differenza fra il numero dato e il quadrato della sua attuale radice (approssimata)  (10c + b1) è il valore della sequenza di cifre "cb1"
  • 6. Algoritmo per il calcolo di b1 • Dal numero iniziale q si sottrae a2, si aggiungono due 0 a destra e si sposta la virgola di due posti • Si raddoppia il valore a calcolando c=2a, poi: – ponendo come 1° tentativo b1 = 1, si calcola il valore di c1 × 1 e si confronta con 100(q – a2): se è maggiore ci si ferma, altrimenti si prosegue; – si pone come 2° tentativo b1 = 2 e si calcola il valore di c2 × 2, ripetendo quindi il confronto Si assume come valido il massimo valore di b1 per il quale cb1 × b1 non supera il valore 100(q – a2)
  • 7. Esempio: √ 10 (1/3) q = 10  a = 3  a2 = 9 10,00 3,… -9 Si sottrae da q=10 il valore 1 a2 = 9 ottenendo 1
  • 8. Esempio: √ 10 (2/3) q = 10  a = 3  a2 = 9 10,00 3,… -9 100 Ora si "abbassano i due zeri" e si sposta la virgola di due posti: è il valore 100(q – a2) che qui vale 100
  • 9. Esempio: √ 10 (3/3) q = 10  a = 3  c = 2a = 6 10,00 3,b1 Si costruisce il numero costitui- to dalle due cifre "cb1", inizian- -9 61 × 1 = 61 do con b1=1, e lo si moltiplica 100 per b1 stessa. È minore di 100, si prosegue. Si riprova con b1=2, ma ciò che 62 × 2 = si ottiene è maggiore di 100: lo si scarta e ci si ferma. 124 r1 = 3.1
  • 10. Proseguire l'algoritmo Come calcolare le cifre successive? Facile: si considerano come nuovi valori: • q' = 100 ( 100 – 61) = 3900 • a' = 31  c ' = 62 e si ripete il procedimento, calcolando così b2
  • 11. √ 10: seguito 10,0000 3,1b2 -9 621 × 1 = 621 100 622 × 2 = 1224 -61 … 3900 625 × 5 = 3125 626 × 6 = 3756  b2 = 6 627 × 7 = 4389 r2 = 3.16
  • 12. E per proseguire ancora… Volete ulteriori cifre? Nuovi valori per la prosecuzione del calcolo: • q' = 100 ( 3900 – 3756)= 100 × 144 = 14400 • a' = 316  c ' = 632 e si va avanti… Buon divertimento!