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              e
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1 No¸˜es preliminares
     co                                                                                                                                               3
  1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . .                                    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    3
  1.2 Opera¸˜es com conjuntos . .
            co                                                           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    4
  1.3 Rela¸˜es . . . . . . . . . . . .
          co                                                             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    4
  1.4 Rela¸˜o de equivalˆncia . . .
          ca             e                                               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    5
  1.5 Fun¸˜es . . . . . . . . . . . .
         co                                                              .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    5
  1.6 Opera¸˜es . . . . . . . . . . .
            co                                                           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    6
  1.7 Os Inteiros . . . . . . . . . .                                    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    7
  1.8 Opera¸˜es aritm´ticas em Zn
            co         e                                                 .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   10

2 Grupos                                                                                                                                             12
  2.1 Defini¸˜o e exemplos . . . . . .
            ca                                                               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   12
  2.2 Propriedades de grupos . . . .                                         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   13
  2.3 Produto Cartesiano de grupos.                                          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   14
  2.4 Grupos de permuta¸˜es . . . .
                          co                                                 .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   14
  2.5 Grupos de simetria . . . . . . .                                       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   15
  2.6 Grupos c´ıclicos . . . . . . . . .                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   16
  2.7 Subgrupos . . . . . . . . . . . .                                      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   18
  2.8 Classes laterais . . . . . . . . .                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   19
  2.9 Subgrupos normais . . . . . .                                          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   22
  2.10 Grupo quociente . . . . . . . .                                       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   23
  2.11 Homomorfismos de grupos . . .                                          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   24

3 An´is
     e                                                                                                                                               28
  3.1 Defini¸˜o e exemplos . . . . . . . . . . . .
             ca                                                                                      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   28
  3.2 Os an´is Zn . . . . . . . . . . . . . . . . .
             e                                                                                       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   30
  3.3 Produto Direto de An´is . . . . . . . . . .
                                e                                                                    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   31
  3.4 Propriedades de an´is. . . . . . . . . . . .
                            e                                                                        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   31
  3.5 Suban´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
              e                                                                                      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   33
  3.6 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                 .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   35
  3.7 Homomorfismos de an´is . . . . . . . . . .
                                e                                                                    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   37
  3.8 N´cleo de um homomorfismo . . . . . . .
         u                                                                                           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   37
  3.9 Anel Quociente . . . . . . . . . . . . . . .                                                   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   39
  3.10 O Teorema do Isomorfismo . . . . . . . .                                                       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   40
  3.11 O corpo de fra¸˜es . . . . . . . . . . . . .
                       co                                                                            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   42
  3.12 Anel de polinˆmios . . . . . . . . . . . . .
                     o                                                                               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   43
  3.13 Ideais principais e m´ximo divisor comum
                              a                                                                      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   46
  3.14 Polinˆmios irredut´
            o              ıveis . . . . . . . . . . .                                               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   48
  3.15 Fatora¸ao em polinˆmios irredut´
              c˜            o              ıveis . . .                                               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   49
  3.16 Polinˆmios sobre os inteiros . . . . . . . .
            o                                                                                        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   51

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

´
Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .               53




                                                                                             2
1     No¸˜es preliminares
        co
       Faremos aqui uma r´pida explana¸˜o a respeito dos conceitos matem´ticos necess´rios para o
                          a            ca                               a            a
desenvolvimento dos conte´dos que vir˜o a seguir.
                         u           a

1.1   Conjuntos
      Denotaremos os conjuntos por letras mai´sculas e seus elementos por letras latinas min´sculas.
                                             u                                              u

      As nota¸˜es abaixo s˜o utilizadas para os conjuntos num´ricos:
              co                 a                              e
      Z = {0, ±1, ±2 · · · } o conjunto dos n´meros inteiros;
                                                 u
      N = {0, 1, 2, 3, . . . } o conjunto dos n´meros naturais;
                                               u
            a
      Q = { | a, b ∈ Z, b = 0} o conjunto dos n´meros racionais;
                                                     u
            b
      R o conjunto dos n´meros reais, que consiste dos n´meros racionais e dos irracionais;
                               u                             u
      C = {a + bi | a, b ∈ R, i2 = −1} o conjunto dos n´meros complexos.
                                                           u

     Se A ´ um conjunto de n´meros, denotamos por A∗ ao conjunto A sem o zero. Por exemplo
             e              u
N∗ = {1, 2, 3, . . . }.



        Podemos tamb´m representar um conjunto colocando seus elementos entre chaves. Por exemplo,
                       e
{a, b, c}, B = {0, 2, 4, ..., 2n, ...}, P = {x ∈ B | x > 5}.

     Escrevemos a ∈ A para indicar que a pertence ao conjunto A e a ∈ A quando a n˜o pertence ao
                                                                    /             a
conjunto A.

Exemplo 1.1 Para o conjunto A = {−1, 0, 1} temos: −1 ∈ A, 2 ∈ A, 0 ∈ A, ....
                                                            /

      O conjunto vazio ´ o unico conjunto que n˜o cont´m elementos. Denotamos o conjunto vazio
                        e ´                     a     e
por { }, ou por ∅.
      Um conjunto ´ unit´rio se possui apenas um elemento. Por exemplo, A = {a} e B = {x ∈
                    e     a
Z|x  2 = 0} s˜o conjuntos unit´rios.
             a                a
      Conjunto universo: ´ o conjunto que cont´m todos os elementos que est˜o sendo considerados.
                          e                   e                            a
Por exemplo, na Geometria Euclidiana Plana, o conjunto universo ´ o plano euclidiano.
                                                                e

     Um conjunto A ´ subconjunto de um conjunto B quando todos os elementos de A pertencem a
                     e
B. Neste caso dizemos tamb´m que A est´ contido em B ou que B cont´m A.
                          e           a                           e
Nota¸˜o: A ⊆ B.
    ca

      Para qualquer conjunto A, temos ∅ ⊆ A e A ⊆ A. Estes dois subconjuntos s˜o denominados
                                                                              a
de subconjuntos triviais de A.

     O conjunto A ´ um subconjunto pr´prio de B se A ⊆ B e A = B.
                  e                  o
Nota¸˜o: A ⊂ B.
    ca

Exemplo 1.2 Para A = {−1, 0, 1} e B = {−3, −2, −1, 0, 1, 2} temos A ⊂ B. Neste caso, tamb´m ´
                                                                                         e e
correto escrever A ⊆ B.



                                                 3
Dois conjuntos A e B s˜o iguais quando tˆm exatamente os mesmos elementos. A igualdade de
                           a                 e
conjuntos ´ denotada por A = B.
          e

Exemplo 1.3 Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {x ∈ N | x ≤ 2}, podemos verificar que A e B
possuem os mesmos elementos. Logo, indicamos isto por A = B.

1.2   Opera¸oes com conjuntos
           c˜
Para os conjuntos vamos considerar as opera¸˜es de uni˜o, intersec¸˜o e diferen¸a de conjuntos.
                                           co         a           ca           c

     Para A e B conjuntos definimos:
     A uni˜o: ´ o conjunto A ∪ B dos elementos que pertencem a A ou a B.
           a e
     A intersec¸˜o: ´ o conjunto A ∩ B dos elementos que pertencem a ambos.
               ca e
     A diferen¸a entre A e B ´ o conjunto A − B formado pelos elementos que pertencem a A, mas
              c               e
n˜o pertencem a B.
 a
     Dois conjuntos A e B s˜o disjuntos quando A ∩ B = ∅.
                            a

     Propriedades das opera¸˜es com conjuntos. :
                             co
Propriedades da uni˜o:
                    a
    A ∪ A = A [Idempotˆncia]
                          e
    A ∪ B = B ∪ A [Comutatividade]
    (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) [Associatividade]
    A ∪ ∅ = A [Elemento neutro]
Propriedades da intersec¸˜o:
                         ca
    A ∩ A = A [Idempotˆncia]
                          e
    A ∩ B = B ∩ A [Comutatividade]
    (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) [Associatividade]
    A ∩ ∅ = ∅ [Elemento absorvente]
Propriedades distributivas:
    A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
    A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Propriedades de absor¸˜o e diferen¸a:
                      ca          c
    A ∩ (A ∪ B) = A
    A ∪ (A ∩ B) = A
    A−B =A∩B

Exerc´
     ıcio 1.1 Verificar as propriedades das opera¸˜es com conjuntos.
                                                co

1.3   Rela¸˜es
          co
O produto cartesiano do conjunto A com o conjunto B ´ o conjunto de todos os pares ordenados (a, b)
                                                      e
tais que a ∈ A e b ∈ B. Assim, A × B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}.

      O produto cartesiano pode ser generalizado para uma fam´ de conjuntos:
                                                                  ılia
      A1 × A2 × · · · × An = {(a1 , a2 , . . . , an ) | ai ∈ Ai }




                                                 4
Uma rela¸ao de A em B ´ um subconjunto de A × B.
              c˜            e

      Para uma rela¸˜o R, algumas vezes escrevemos xRy no lugar de (x, y) ∈ R. No caso da rela¸˜o
                   ca                                                                          ca
de ordem ≤ no conjunto dos n´meros reais R, temos que R = {(x, y) ∈ R×R | x ´ menor ou igual a y},
                            u                                               e
contudo, usualmente denotamos esta rela¸˜o por “x ≤ y” e n˜o por “(x, y) ∈ R”.
                                        ca                 a

      Uma rela¸˜o em um conjunto A ´ um subconjunto R do produto cartesiano A × A. Dizemos
                 ca                     e
que a rela¸˜o R ´:
            ca     e
    (i) reflexiva quando, para todo a ∈ A, aRa;
    (ii) sim´trica quando, para todos a, b ∈ A, se aRb, ent˜o bRa;
              e                                              a
    (iii) transitiva quando, para todos a, b, c ∈ A, se aRb e bRc, ent˜o aRc;
                                                                      a
    (iv) anti-sim´trica quando, para todos a, b ∈ A, se aRb e bRa, ent˜o a = b.
                   e                                                    a

Exemplo 1.4 A rela¸˜o R = {(a, b) ∈ R | a ≤ b} ´ usualmente denotada por a ≤ b, e ´ reflexiva,
                       ca                      e                                  e
transitiva e anti-sim´trica.
                     e

1.4   Rela¸˜o de equivalˆncia
          ca            e
Uma rela¸˜o de equivalˆncia sobre um conjunto A ´ uma rela¸˜o que ´ reflexiva, sim´trica e transitiva.
        ca            e                         e         ca      e              e

Exemplo 1.5 A rela¸˜o de igualdade em qualquer conjunto ´ sempre uma rela¸˜o de equivalˆncia.
                  ca                                    e                ca            e

Exemplo 1.6 A semelhan¸a de triˆngulos ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia.
                      c        a       e         ca            e

     Dada uma uma rela¸˜o de equivalˆncia R em um conjunto A e a ∈ A, o conjunto [a] = {x ∈
                          ca            e
A | xRa} ´ a classe de equivalˆncia de a.
         e                    e

Exemplo 1.7 Se A = {1, 2, 3} e R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}, ent˜o R ´ uma rela¸˜o de
                                                                                a      e          ca
equivalˆncia e as suas classes de equivalˆncia s˜o dadas por: [1] = {1, 2}, [2] = {1, 2} e [3] = {3}.
       e                                 e      a

Teorema 1.1 Seja R uma rela¸˜o de equivalˆncia em um conjunto A. Ent˜o:
                                ca           e                       a
    (i) duas classes de equivalˆncia s˜o iguais ou disjuntas;
                               e       a
    (ii) o conjunto A ´ a uni˜o de todas as classes de equivalˆncia.
                       e      a                               e
Demonstra¸˜o: Fica como exerc´
             ca                    ıcio.

        Quando R ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia em um conjunto A, o conjunto quociente de A pela
                 e         ca            e
rela¸˜o R ´ o conjunto das classes de equivalˆncia de R: A|R = {[a] | a ∈ A} = {B ∈ P(A) | B =
     ca    e                                 e
[a], para algum a ∈ A}.

Exemplo 1.8 No exemplo anterior, A|R = {[1], [3]}.

1.5   Fun¸oes
         c˜
Uma fun¸˜o f de A em B ´ uma rela¸˜o de A em B tal que para cada x ∈ A existe um unico y
         ca                  e          ca                                                 ´
satisfazendo (x, y) ∈ f . Neste caso dizemos que A ´ o dom´
                                                   e      ınio de f , B ´ o contradom´
                                                                        e            ınio de f e a
imagem de f ´ o conjunto Im(f ) = {b ∈ B | b = f (a) para algum a ∈ A}
              e

     Em geral, denotamos uma fun¸˜o f de A em B por f : A −→ B. Esta nota¸˜o indica que f ´
                                  ca                                     ca               e
uma fun¸˜o, A ´ o dom´
       ca     e      ınio da f e B o contradom´
                                              ınio.

                                                 5
Exemplo 1.9 Para um conjunto A, iA : A → A ´ a fun¸˜o identidade em A que ´ definida por
                                           e      ca                      e
iA (x) = x, para todo x ∈ A.

      Uma fun¸˜o f ´ sobrejetiva quando Im(f ) = B. A fun¸˜o f ´ injetiva quando, para x, z ∈ A,
               ca     e                                       ca     e
se x = z, ent˜o f (x) = f (z). Uma fun¸˜o ´ bijetiva quando ´ injetiva e sobrejetiva.
             a                        ca e                  e



1.6   Opera¸oes
           c˜
Uma opera¸˜o em um conjunto A ´ uma fun¸˜o f : A × A → A. Assim, uma opera¸˜o em A associa
          ca                     e        ca                              ca
a cada par de elementos de A, um elemento de A.

Exemplos 1.10
a) A adi¸˜o ´ uma opera¸˜o em R, pois a soma de n´meros reais ´ um n´mero real.
        ca e            ca                        u            e       u
Do mesmo modo, a adi¸˜o ´ uma opera¸˜o em Z, Q, R e C.
                      ca e            ca
b) Tamb´m a multiplica¸˜o ´ uma opera¸ao em N, Z, Q, R e C.
        e              ca e            c˜
c) A subtra¸˜o n˜o ´ uma opera¸˜o N, pois 0 ∈ N e 1 ∈ N, mas 0 − 1 ∈ N. Mas a subtra¸˜o ´ uma
           ca a e              ca                                    /                 ca e
opera¸˜o nos conjuntos Z, Q, R e C.
     ca
d) No conjunto das matrizes quadradas de ordem n, a adi¸˜o e o produto de matrizes s˜o opera¸˜es.
                                                       ca                           a       co


      Assim como na adi¸˜o e na multiplica¸˜o, podemos denotar uma opera¸˜o gen´rica por um
                         ca                  ca                          ca     e
s´
 ımbolo que indica a opera¸˜o. Por exemplo, se f : A × A → A ´ uma opera¸˜o, podemos denotar
                           ca                                      e    ca
esta opera¸˜o pelo s´
          ca        ımbolo “∗”, escrevendo a ∗ b em lugar de f (a, b).

Propriedades de opera¸˜es. Seja “∗” uma opera¸˜o em um conjunto A.
                          co                         ca
Propriedade associativa: a opera¸˜o ´ associativa se para quaisquer x, y, z ∈ A, tem-se que x ∗ (y ∗ z) =
                                 ca e
(x ∗ y) ∗ z.
Propriedade comutativa: a opera¸˜o ´ comutativa quando para todos x, y ∈ A, tem-se que x∗y = y ∗x.
                                 ca e
Elemento Neutro: o conjunto A possui elemento neutro e ∈ A para a opera¸˜o, quando para todo
                                                                                 ca
x ∈ A tem-se que x ∗ e = x = e ∗ x.
Elemento Invert´ ıvel: um elemento x de A ´ invert´
                                           e       ıvel, segundo a opera¸˜o, quando existe x ∈ A tal
                                                                          ca
que x ∗ x = e = x ∗ x, onde e ´ o elemento neutro de A em rela¸˜o ` opera¸˜o.
                               e                                 ca a         ca
Lei do Cancelamento: para a opera¸˜o vale a lei do cancelamento se para todos x, y, z ∈ A tem-se
                                    ca
que: x ∗ y = x ∗ z ⇒ y = z e y ∗ x = z ∗ x ⇒ y = z.
Propriedade Distributiva: sejam “∗” e “ # ” duas opera¸˜es em A. A opera¸˜o “#” ´ distributiva em
                                                         co                  ca       e
rela¸˜o a “∗” quando, para todos x, y, z ∈ A, valem:
    ca
        x#(y ∗ z) = (x#y) ∗ (x#z) e
        (y ∗ z)#x = (y#x) ∗ (z#x).

Exemplos 1.11
a) As opera¸oes usuais de adi¸˜o e multiplica¸˜o de n´meros reais s˜o associativas e comutativas.
            c˜               ca              ca      u              a
b) A subtra¸˜o n˜o ´ associativa nem comutativa: (9 − 3) − 5 = 1 = 7 = 9 − (5 − 3) e 4 − 2 = 2 =
            ca a e
−2 = 2 − 4.
c) A adi¸˜o e a multiplica¸˜o de matrizes reais n × n s˜o associativas. A adi¸˜o ´ comutativa, mas
        ca                ca                           a                     ca e
                                                                    1 1     1 0           2 0
a multiplica¸˜o n˜o. Por exemplo, no caso de matrizes 2 × 2,
            ca   a                                                                   =            e
                                                                    0 0     1 0           0 0


                                                   6
1 0       1 1          1 1
                    =            .
  1 0       0 0          1 1

Exerc´ıcio 1.2 Verifique que:
a) A composi¸ao de fun¸˜es de R em R ´ associativa.
             c˜        co               e
b) A potencia¸˜o em N n˜o ´ associativa, nem comutativa.
              ca         a e
                  ∗ n˜o ´ associativa, nem comutativa.
c) A divis˜o em R a e
          a

Exemplos 1.12 (a) Os n´meros 0 e 1 s˜o respectivamente os elementos neutros para a adi¸ao e
                          u             a                                             c˜
multiplica¸˜o em N, Z, Q, R e C.
          ca
(b) A adi¸˜o de matrizes em Mm×n (R) tem como elemento neutro a matriz nula m × n.
          ca
(c) A subtra¸˜o n˜o tem elemento neutro em Z: 2 − a = 2 ⇒ a = 0; a − 2 = 2 ⇒ a = 4.
             ca a

Exemplos 1.13 (a) Todo n´mero inteiro tem seu inverso aditivo em Z: n + (−n) = −n + n = 0.
                          u
(b) O n´mero 2 n˜o ´ um elemento invert´ para a multiplica¸˜o em Z, pois n˜o existe n ∈ Z tal
       u        a e                    ıvel               ca              a
que 2n = 1.

Exerc´  ıcios 1.3
a) Mostrar que se uma opera¸˜o * admite elemento neutro, ent˜o ele ´ unico.
                               ca                                  a      e´
b) Indicar os elementos neutros para a adi¸˜o e para a multiplica¸˜o de matrizes reais 2 × 2.
                                             ca                      ca
c) Seja * uma opera¸˜o associativa e com elemento neutro. Mostrar que se x tem inverso segundo *,
                       ca
ent˜o ele ´ unico (e o denotamos aqui por x ).
    a       e´
d) Seja * uma opera¸˜o com elemento neutro. Mostrar que:
                       ca
(i) se x ´ invert´
          e       ıvel, ent˜o x tamb´m ´ invert´ e (x ) = x;
                           a         e e         ıvel
(ii) se * ´ associativa e x, y ∈ A s˜o invert´
           e                        a        ıveis, ent˜o (x ∗ y) ´ invert´ e (x ∗ y) = y ∗ x .
                                                       a          e       ıvel
e) Seja * uma opera¸˜o com elemento neutro num conjunto A. Mostrar que A tem pelo menos um
                        ca
elemento invert´ ıvel.

Exemplos 1.14
(a) Para a adi¸˜o em Z, vale a lei do cancelamento.
              ca
(b) Para a multiplica¸˜o em R, n˜o vale a lei do cancelamento, pois 0 · 3 = 0 · 4, contudo 3 = 4.
                     ca          a

Exerc´ıcio 1.4 Seja * uma opera¸˜o associativa e com elemento neutro. Mostrar que se x ´ invert´
                                 ca                                                    e       ıvel,
ent˜o podemos cancelar x, isto ´, mostrar que se a ∗ x = b ∗ x ent˜o a = b.
   a                           e                                  a

Exemplos 1.15
a) Em R, a multiplica¸˜o ´ distributiva em rela¸ao ` adi¸˜o.
                     ca e                      c˜ a     ca
b) Em Mn (R), a multiplica¸˜o ´ distributiva em rela¸ao ` adi¸˜o.
                          ca e                      c˜ a     ca

1.7   Os Inteiros
       N˜o pretendemos aqui fazer um desenvolvimento da Teoria dos N´meros que seria desej´vel
        a                                                               u                      a
em um curso de gradua¸˜o. Nosso objetivo ´ apresentar conceitos e resultados necess´rio para tratar
                      ca                 e                                         a
de conte´dos que vir˜o mais adiante. Esses resultados e conceitos s˜o encontrados em textos de
        u           a                                                a
Teoria dos N´meros, como por exemplo em [Nascimento & Feitosa].
            u

     Vamos considerar o conjunto dos inteiros, com as opera¸˜es de adi¸˜o e multiplica¸˜o satisfa-
                                                           co         ca              ca
zendo propriedades:

                                                  7
Adi¸˜o. Para quaisquer a, b, c ∈ Z valem as propriedades:
    ca
a) Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c;
b) Comutativa: a + b = b + a;
c) Elemento neutro (zero): a + 0 = 0 + a = a;
d) Inverso: −a ∈ Z e (−a + a = a + (−a) = 0;

Multiplica¸˜o. Para quaisquer a, b, c ∈ Z valem as propriedades:
            ca
a) Associativa: a(bc) = (ab)c;
b) Comutativa: ab = ba;
c) Elemento neutro (um): a · 1 = 1 · a = a;
d) Distributiva: a(b + c) = ab + ac;
e) Multiplica¸˜o por zero: 0a = 0;
             ca
f) Produto nulo: ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0;
g) Regra do sinal: (−a)b = a(−b) = −(ab) e (−a)(−b) = ab;
h) Desigualdades:
   a < b ⇔ a + c < b + c;
   a < b e c > 0 ⇒ ac < bc;
   a < b e c < 0 ⇒ ac > bc.

     Estaremos denotando a multiplica¸˜o de a por b por ab ou a · b.
                                     ca

Princ´ ıpio da boa ordena¸˜o: Todo conjunto n˜o vazio de n´meros naturais possui um me-
                             ca                      a              u
nor elemento. Isto ´, se S ⊆ N e S = ∅, ent˜o existe s ∈ S tal que s ≤ n para todo n ∈ S.
                   e                       a

Primeiro princ´  ıpio de indu¸˜o: Seja m ∈ N e seja P (n) uma proposi¸˜o para n ∈ N, sa-
                                ca                                   ca
tisfazendo:
a) P (m) ´ verdadeira;
         e
b) Se n ≥ m e P (n) ´ verdadeira ent˜o P (n + 1) ´ verdadeira.
                    e               a            e
Ent˜o P (n) ´ verdadeira para todo n ∈ N com n ≥ m.
    a       e

Segundo princ´   ıpio de indu¸˜o: Seja m ∈ N e seja P (n) uma proposi¸˜o para n ∈ (N ),
                                ca                                          ca
satisfazendo:
a) P (m) ´ verdadeira;
          e
b) Para cada n ∈ N com n > m, se P (r) ´ verdadeira para todo r ∈ N onde m ≤ r < n ent˜o P (n) ´
                                        e                                             a        e
verdadeira.
Ent˜o P (n) ´ verdadeira para todo n ∈ N com n ≥ m.
    a        e

     O principio da boa ordena¸˜o e os princ´
                                ca          ıpios de indu¸˜o s˜o equivalente, isto ´, a partir de
                                                         ca a                       e
um deles podemos demonstrar os outros dois. A equivalˆncia ´ verificada da seguinte forma: (boa
                                                      e     e
ordena¸˜o ⇒ 2
      ca       o Princ´
                      ıpio de Indu¸˜o ⇒ 1
                                   ca    o Princ´ıpio de Indu¸˜o ⇒ boa ordena¸˜o) e pode ser
                                                              ca                 ca
encontrada, por exemplo em [Nascimento & Feitosa].

Propriedade arquimediana de Z: Se a e b s˜o inteiros e com a = 0, ent˜o:
                                         a                           a
a) ∃d ∈ Z tal que da > b;

                                                8
b) ∃e ∈ Z tal que ea < b.

Divisibilidade: Para a e b inteiros, dizemos que a divide b, ou que a ´ um divisor de b, se b
                                                                      e
´ um m´ltiplo inteiro de a.
e      u
Nota¸˜o: a | b ⇔ b = na para algum n ∈ Z.
    ca

Propriedades da divisibilidade. Para quaisquer a, b, c inteiros, valem:
a) a | a, 1 | a e a | 0;
b) a | b ⇒ a | bc;
c) a | b ⇒ a | bn ∀n ∈ N, n ≥ 1;
d) a | b e a | c ⇒ a | (b + c);
e) a | b e a | (b + c) ⇒ a | c;
f) a | b e a | c ⇒ a | (rb + sc), para quaisquer r e s inteiros;
g) a | b e b > 0 ⇒ a ≤ b;
h) ab = 1 ⇒ a = b = 1 ou a = b = −1;
i) a | b e b | a ⇒ a = b ou a = −b.

      Se a1 , a2 , . . . , an s˜o inteiros tais que a | ai , para todo i, ent˜o, aplicando indu¸˜o e o ´
                               a                                             a                 ca      ıtem (d)
das propriedades acima, prova-se que p | (a1 + a2 + . . . + an ).

O algoritmo da divis˜o: Dados n e d inteiros com d > 0 ent˜o existem unicos inteiros q e
                          a                               a          ´
r tais que n = qd + r e 0 ≤ r < d.

O m´ximo divisor comum: Dados a e b inteiros n˜o ambos nulos, o m´ximo divisor co-
       a                                                a        a
mum de a e b ´ um inteiro positivo d satisfazendo:
                 e
a) d | a e d | b;
b) se c ´ um inteiro tal que c | a e c | b ent˜o c | d.
         e                                    a
Nota¸˜o: d = mdc(a, b)
     ca

       O conceito de m´ximo divisor comum pode ser estendido para um conjunto finito de inteiros,
                        a
sendo nem todos nulos:
       O inteiro positivo d ´ o m´ximo divisor comum de a1 , a2 , . . . , an se:
                            e        a
a) d | ai para todo i;
b) se c ´ um inteiro e c | ai para todo i ent˜o c | d.
        e                                    a
Nota¸˜o: d = mdc(a1 , a2 , . . . , an )
     ca

     Os inteiros a1 , a2 , . . . an s˜o relativamente primos ou primos entre s´ quando
                                     a                                        ı
mdc(a1 , a2 , . . . , an ) = 1.

Propriedades do m´ximo divisor comum. Para a, b ∈ Z, temos:
                         a
a) se d = mdc(a, b) ent˜o d ´ o menor inteiro positivo da forma ra + sb, para r e s inteiros;
                           a       e
b) se, para r, s ∈ Z, ra + sb = 1 ent˜o mdc(a, b) = 1;
                                           a
                                               a1 a2       an
c) se d = mdc(a1 , a2 , . . . , an ) ent˜o mdc( , , . . . , ) = 1.
                                        a
                                               d d         d

N´ meros primos: Um inteiro p > 1 ´ primo se seus unicos divisores positivos s˜o p e 1.
 u                                e               ´                           a

                                                      9
O Teorema Fundamenta da Aritm´tica: Todo inteiro n > 1 se escreve de modo unico
                                                 e                                                            ´
como produto de primos, no seguinte sentido:
n = pr1 pr2 · · · prt onde p1 < p2 < · · · < pt s˜o primos, e t, r1 , r2 , . . . , rt s˜o inteiros positivos.
     1 2           t                             a                                     a

Propriedades de n´ meros primos. Se p ´ um n´mero primo, ent˜o:
                       u                      e      u               a
a) se p divide um produto de inteiros, ent˜o divide pelo menos um deles;
                                           a
b) se n ´ um inteiro positivo menor que p ent˜o p n;
        e                                      a
c) se p n ent˜o mdc(n, p) = 1;
               a
d) se a e b s˜o inteiros e p | ab mas p2 ab ent˜o p divide somente um dos dois n´meros.
             a                                  a                               u

1.8    Opera¸oes aritm´ticas em Zn
            c˜        e
Sejam a, b, n ∈ Z e n > 1. A rela¸˜o “a ´ congruente a b m´dulo n”, denotada por a ≡ b(mod n) ´
                                 ca     e                   o                                 e
definida por:
                   a ≡ b(mod n) ⇔ n|a − b (⇔ a − b = q · n para algum q ∈ Z).

Exemplo 1.16 Temos 5 ≡ 2(mod 3), 7 ≡ −1(mod 4), −1 ≡ 13(mod 7) e 31 ≡ 31(mod 77).

      A congruˆncia m´dulo n ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia, pois:
               e        o        e          ca             e
- para todo a ∈ Z, temos que a − a = 0 = 0 · n, isto ´, a ≡ a(mod n) e, portanto, a rela¸˜o ´ reflexiva;
                                                       e                                 ca e
- para todos a, b ∈ Z, se a ≡ b(mod n), ent˜o a − b = c · n e, portanto, b − a = −(a − b) = −c · n.
                                               a
Logo, b ≡ a(mod n) e, portanto, a rela¸˜o ´ sim´trica;
                                         ca e      e
- para todos a, b, c ∈ Z, se a ≡ b(mod n) e b ≡ c(mod n), ent˜o a − b = d · n e b − c = e · n. Logo,
                                                                  a
a − c = a − b + b − c = d · n + e · n = (d + e) · n. Portanto, a ≡ c(mod n) e a rela¸˜o ´ transitiva.
                                                                                    ca e

      Vamos determinar o conjunto quociente de Z pela congruˆncia m´dulo n:
                                                                    e      o
Pelo algoritmo da divis˜o, para cada m ∈ Z existem unicos quociente e resto q, r ∈ Z, com 0 ≤ r < n
                       a                                   ´
tais que m = qn + r. Assim, m − r = qn, ou seja, m ≡ r(mod n). Desse modo, para cada m ∈ Z,
existe um unico r ∈ {0, 1, . . . , n − 1} tal que m ≡ r(mod n). Tamb´m, se 0 ≤ r < s < n ent˜o
           ´                                                               e                        a
0 < s − r ≤ s < n, ou seja, r e s n˜o s˜o congruentes m´dulo n. Denotando a classe de equivalˆncia
                                       a a                   o                                   e
de a ∈ Z por a, temos que a ∈ {0, 1,
              ¯              ¯        ¯ ¯ · · · , n − 1}. Como r = s se 0 ≤ r = s < n ent˜o o conjunto
                                                               ¯   ¯                     a
quociente de Z pela congruˆncia ´ um conjunto com n elementos:
                           e        e

                                          Zn = {¯ ¯ · · · , n − 1}.
                                                0, 1,

Opera¸˜es aritm´ticas em Zn : para a, ¯ ∈ Zn , definimos:
     co        e                   ¯ b

                                       a+¯ = a+b
                                       ¯ b              e a·¯= a·b
                                                          ¯ b

       Precisamos verificar que as opera¸˜es acima est˜o bem definidas, isto ´, se a = ¯ e c = d ent˜o
                                          co            a                   e      ¯ b ¯ ¯        a
a + c = ¯ + d e a · c = ¯ · d, ou seja, mostrar que a + b = c + d e a · c = b · d. Como duas classes
¯ ¯ b          ¯ ¯ ¯ b ¯
x e y s˜o iguais se, e somente se, x ≡ y(mod n), ent˜o basta mostrar que a + c ≡ b + d(mod n) e
¯ ¯ a                                                    a
a · c ≡ b · d(mod n). Isto ser´ feito na proposi¸˜o a seguir.
                              a                 ca

Proposi¸˜o 1.2 Sejam a, b, c, d, n ∈ Z, com n > 1. Ent˜o:
         ca                                           a
    (i) Se a ≡ b(mod n), ent˜o a + c ≡ b + c(mod n);
                            a
    (ii) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n), ent˜o a + c ≡ b + d(mod n);
                                             a

                                                      10
(iii) Se a ≡ b(mod n), ent˜o a · c ≡ b · c(mod n);
                               a
     (iv) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n), ent˜o a · c ≡ b · d(mod n);
                                                 a
Demonstra¸˜o: (i) Se a ≡ b(mod n), ent˜o n|(a − b) = (a + c − c − b) = [(a + c) − (b + c)]. Portanto,
              ca                            a
a + c ≡ b + c(mod n);
      (ii) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n), por (i), temos que a + c ≡ b + c(mod n) e b + c ≡
b + d(mod n). Pela transitividade da rela¸˜o ≡, a + c ≡ b + d(mod n).
                                          ca

Exerc´
     ıcio 1.5 Completar a demonstra¸˜o da Proposi¸˜o 1.2.
                                   ca            ca

      Como a = r, onde r ´ o resto da divis˜o de a por n, podemos ent˜o definir as opera¸˜es de
            ¯     ¯        e                   a                          a                    co
adi¸˜o e multiplica¸˜o em Zn = {¯ ¯ · · · , n − 1} por:
   ca               ca          0, 1,
a + ¯ = c e a · ¯ = d, onde c e d s˜o, respectivamente os restos das divis˜es de a + b e a · b por n.
¯ b           ¯ b            ¯ ¯ a                                        o

Exemplo 1.17 Em Z15 temos 10 + 10 = 5; 3 + 7 = 10; 6 + 12 = 3; 5·5 = 10; 10·6 = 0.

 Propriedades das opera¸oes em Zn . Sejam a, b, c ∈ Zn Ent˜o:
                               c˜                                   a
a) Fechamento. a + b ∈ Zn e a·b ∈ Zn
b) Comutativa. a + b = b + a e a·b = b·a
c) Associativa. a + (b + c) = (a + b) + c e a·(b·c) = (a·b)·c
d) Distributiva. a·(b + c) = a·b + a·c e (a + b)·c = a·c + b·c
e) Neutro para a adi¸˜o. a + 0 = 0 + a = a
                      ca
f) Neutro para a multiplica¸˜o. 1·a = a·1 = a
                              ca
g) Multiplica¸˜o por zero. 0·a = a·0 = 0
              ca
h) Inverso aditivo. a + n − a = n − a + a = 0, se 0 < a < n e 0 + 0 = 0
Demonstra¸˜o: a) Segue das defini¸˜es das opera¸˜es.
              ca                        co            co
b) Tamb´m seguem das defini¸˜es das opera¸˜es, pois a + b = b + a e a·b = b·a.
          e                      co             co
c) a + (b + c) = a + d = e e (a + b) + c = f + c = g onde d, e, f , e g s˜o respectivamente os restos das
                                                                         a
divis˜es de b + c, a + d, a + b e f + c por n. Assim, existem n´meros naturais q1 , q2 , q3 e q4 tais que:
     o                                                          u
(1) b + c = q1 n + d (2) a + d = q2 n + e (3) a + b = q3 n + f (4) f + c = q4 n + g
De (1) e (2) temos a + (b + c) = a + (q1 n + d) = q1 n + (a + d) = q1 n + (q2 n + e). Logo, a + b + c =
(q1 + q2 )n + e, ou seja, e ´ o resto da divis˜o de a + b + c por n.
                            e                 a
De (3) e (4) temos (a + b) + c = (q3 n + f ) + c = q3 n + (f + c) = q3 n + (q4 n + g). Logo, a + b + c =
(q3 + q4 )n + g, ou seja, g ´ o resto da divis˜o de a + b + c por n.
                            e                 a
Da unicidade do resto da divis˜o, temos que e = g. Assim, a + (b + c)= e = g = (a + b) + c. De modo
                                 a
an´logo, mostramos a · (b · c) = (a · b) · c.
   a

Exerc´
     ıcio 1.6 Prove as demais propriedades das opera¸oes em Zn .
                                                    c˜

      Podemos fazer tabelas para a adi¸˜o e para a multiplica¸˜o em Zn . Por exemplo, para Z4 temos:
                                      ca                     ca
        + 0 1 2 3                · 0 1 2 3
         0   0   1   2   3         0   0   0   0   0
         1   1   2   3   0         1   0   1   2   3
         2   2   3   0   1         2   0   2   0   2
         3 3 0 1 2                3 0 3 2 1
      Olhando para a tabela da adi¸˜o vemos que os inversos aditivos de 1, 2 e 3 s˜o, respectiva-
                                     ca                                           a
mente, 3 , 2 e 1. Na tabela da multiplica¸˜o vemos que os inversos multiplicativos de 1 e 3 s˜o,
                                            ca                                                a
                              ¯ e ¯ n˜o tem inversos multiplicativos.
respectivamente, 1 e 3, e que 0 2 a



                                                   11
2     Grupos
                                                    ´
       O conceito de grupo surgiu dos estudos de Evariste Galois com equa¸˜es de polinˆmios, em
                                                                             co            o
1832. Embora Galois tenha utilizado a id´ia de grupo em todo o seu trabalho com equa¸˜es, ele n˜o
                                           e                                             co         a
havia dado explicitamente uma defini¸˜o. A defini¸˜o aparece na publica¸˜o do trabalho de Galois,
                                      ca            ca                    ca
feita por Liouville em 1846. Um ano antes, Cauchy apresentou o conceito, chamando-o de “sistema
conjugado de substitui¸˜es”. Durante algum tempo, esses dois termos “grupo” e “sistema conjugado
                       co
de substitui¸˜es” foram utilizados. Contudo, em 1863, quando Jordan escreveu um coment´rio a
            co                                                                                  a
respeito do trabalho de Galois, no qual ele usou o termo “grupo”, este passou a ser o termo utilizado,
embora o termo “sistema conjugado de substitui¸˜es” tamb´m tenha sido utilizado por alguns at´,
                                                  co         e                                       e
por volta de 1880. Tanto Galois como Cauchy definiam grupos somente em termos de propriedade de
fechamento, n˜o aparecendo a associatividade e os elementos neutro e inverso. Ambos trabalhavam
               a
com permuta¸˜es e, neste caso, essas propriedades surgiam automaticamente. Aos poucos, a partir
              co
de trabalhos de outros matem´ticos como Cayley, Kronecker, Burnside, e Heinrich Weber, a defini¸˜o
                              a                                                                    ca
de grupos, como a conhecemos, ficou estabelecida.

      Do estudo de opera¸˜es com n´meros inteiros, podemos ressaltar algumas propriedades da
                           co          u
adi¸˜o. Para quaisquer a, b, c em Z valem:
   ca
G0) a + b ∈ Z; (Fechamento)
G1) a + (b + c) = (a + b) + c; (Associativa)
G2) 0 ∈ Z e a + 0 = 0 + a = a; (Elemento neutro da adi¸˜o)
                                                      ca
G3) −a ∈ Z e a + (−a) = −a + a = 0. (Elemento inverso da adi¸˜o)
                                                            ca

       Se em lugar de Z tomarmos Q , R, C , ou Mm×n (R) (o conjunto das matrizes reais m × n),
as propriedades acima permanecem v´lidas. In´meros outros conjuntos e opera¸˜es satisfazem estas
                                      a        u                               co
quatro propriedades que s˜o importantes no estudo de algumas teorias matem´ticas, qu´
                           a                                              a         ımicas e f´
                                                                                              ısicas.
Isso, de certa forma, justifica um estudo gen´rico de conjuntos com uma opera¸˜o satisfazendo estas
                                            e                                ca
propriedades, muito embora a origem da Teoria dos Grupos esteja nos trabalhos de Galois, a respeito
de resolubilidade de equa¸˜es polinomiais em termos de permuta¸˜es de suas ra´
                          co                                    co            ızes.

2.1   Defini¸˜o e exemplos
           ca
Defini¸˜o 2.1 Sejam G um conjunto n˜o vazio e “∗” uma opera¸˜o em G, isto ´, existe uma fun¸˜o
        ca                                a                          ca              e       ca
f : G × G → G onde f (a, b) = a ∗ b. Dizemos que (G, ∗) ´ um grupo se as seguintes condi¸oes s˜o
                                                               e                        c˜    a
satisfeitas:
G1) Para quaisquer a, b, c ∈ G, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c; (Propriedade associativa)
G2) Existe e ∈ G tal que para todo a ∈ G, a ∗ e = e ∗ a = a; (Elemento neutro)
G3) Para todo a ∈ G existe b ∈ G tal que a ∗ b = b ∗ a = e. (Elemento Inverso)

      Observe que se a, b ∈ G ent˜o a ∗ b ∈ G pois “∗ ” ´ uma opera¸˜o em G.
                                 a                      e          ca

Exemplos 2.1 (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +), (Zn , +), (R∗ , ·), (Q∗ , ·), (C∗ , ·), ({1, −1}, ·),
({1, −1, i, −i}, ·), s˜o grupos, onde A∗ significa o conjunto A sem o zero, indicando tamb´m que ´
                      a                                                                    e        e
um grupo multiplicativo. Vamos denotar por Z, Q, R e C esses grupos aditivos e por Q ∗ , R∗ , e C∗ os

grupos multiplicativos.

Exemplo 2.2 (N, +) n˜o ´ um grupo pois 2 ∈ N mas n˜o existe n ∈ N tal que 2 + n = 0.
                    a e                           a

                                                 12
Exemplo 2.3 (Z, −) n˜o ´ um grupo, pois n˜o satisfaz nenhuma das condi¸˜es G1, G2 e G3.
                    a e                  a                            co

Exemplo 2.4 (R, ·) n˜o ´ um grupo, pois 0 ∈ R , mas n˜o existe r ∈ R tal que 0r = 1. Logo, n˜o
                      a e                                a                                  a
satisfaz a condi¸˜o G3. Da mesma forma, (Q, ·) e (C, ·) n˜o s˜o grupos.
                ca                                       a a

Exemplo 2.5 ({−1, 0, 1}, +) n˜o ´ um grupo, apesar de estarem satisfeitas as condi¸oes G1, G2 e
                             a e                                                   c˜
G3, pois “+” n˜o ´ uma opera¸˜o em {−1, 0, 1}: 1 ∈ {−1, 0, 1} mas 1 + 1 = 2 ∈ {−1, 0, 1}.
              a e           ca                                              /

Exemplo 2.6 Para m e n inteiros positivos, o conjunto das matrizes reais m × n, Mm×n (R) ´ um
                                                                                         e
grupo com a opera¸˜o de adi¸ao de matrizes.
                 ca        c˜

Quest˜o: (M2×2 (R)∗ , ·) o conjunto das matrizes reais n˜o nulas 2 × 2 ´ um grupo com a opera¸˜o de
      a                                                 a              e                     ca
multiplica¸˜o de matrizes?
          ca

2.2   Propriedades de grupos
      Na teoria de grupos, em geral, usa-se a nota¸˜o multiplicativa, isto ´, usa-se a · b ou ab para
                                                   ca                      e
denotar a ∗ b e a −1 para denotar um inverso de a. Para o elemento neutro usa-se a letra “e”. Assim,

para a defini¸˜o de grupos, a nota¸˜o fica:
             ca                    ca
G0) para todos a, b em G, ab ∈ G;
G1) para todos a, b, c ∈ G, a(bc) = (ab)c;
G2) existe e em G tal que para todo a em G, ae = ea = a;
G3) para todo a em G, existe a−1 em G tal que aa−1 = a−1 a = e.

      Observa¸˜o: Em vista da propriedade associativa (G1), podemos eliminar os parˆnteses:
              ca                                                                   e
abc = a(bc) = (ab)c.

Propriedades: Se G ´ um grupo, ent˜o:
                         e               a
a) o elemento neutro de G ´ unico;
                              e´
b) para todos a, b, c ∈ G, se ac = bc ou ca = cb ent˜o a = b;
                                                     a
c) para cada a ∈ G, o inverso de a ´ unico e ´ denotado por a−1 ;
                                     e´        e
d) para todos a, b ∈ G, se ab = e ou ba = e ent˜o b = a−1 ;
                                                 a
e) para todo a ∈ G, (a   −1 )−1 = a;

f) para todos a, b ∈ G, (ab)−1 = b−1 a−1 .
Demonstra¸˜o: a) Suponhamos e e e elementos neutros de G. Ent˜o e = ee = e . Logo existe um
             ca                                                       a
unico elemento neutro.
´
b) Se ac = bc ent˜o acc−1 = bcc−1 , logo ae = be e portanto a = b. O caso ca = cb ´ an´logo.
                  a                                                                 e a
c) Segue de (b).
d) Se ab = e, seja a−1 o inverso de a. Como aa−1 = e = ab ent˜o aa−1 = ab. Logo, por (b), a−1 = b.
                                                                  a
O caso ba = e ´ an´logo.
                e a
e) Como a  −1 (a−1 )−1 = e = a−1 a, ent˜o, por (b), (a−1 )−1 = a.
                                       a
f) Como (ab)(b  −1 a−1 ) = a(bb−1 )a−1 = aea−1 = aa−1 = e, ent˜o, por (d), b−1 a−1 = (ab)−1 .
                                                                a

      Observe que, nos exemplos dados, todos os grupos satisfazem a propriedade comutativa, isto ´,
                                                                                                 e
ab = ba para todos a e b. Um grupo satisfazendo a propriedade comutativa ´ chamado grupo abeliano
                                                                         e
ou grupo comutativo. Veremos, a seguir, que existem grupos que n˜o s˜o abelianos.
                                                                 a a



                                                 13
Exemplo 2.7 Seja SL2 (R), o conjunto das matrizes reais invert´   ıveis 2 × 2. Das propriedades de
multiplica¸˜o de matrizes, vemos que SL2 (R), com esta opera¸ao, ´ um grupo. Mas SL2 (R) n˜o ´ um
          ca                                                c˜ e                           a e
grupo abeliano, pois
   1 1       1 0           2 1           1 0       1 1              1 1
                      =             e                           =         .
   0 1       1 1           1 1           1 1       0 1              1 2
      Generalizando, o conjunto das matrizes n×n invert´  ıveis, n ≥ 2, com a opera¸˜o de multiplica¸˜o
                                                                                   ca               ca
de matrizes, ´ um grupo n˜o abeliano. Tome, por exemplo as matrizes A = (aij ) e B = (bij ) com
               e            a
aii = bii = 1; a12 = b21 = 1; e todos os outros elementos das matrizes A e B iguais a zero.

Exemplo 2.8 Se G ´ um grupo n˜o abeliano, podemos ter ac = cb com a = b e
                    e             a
                                                        1 1        0 1
(ab)−1 = a−1 b−1 . Por exemplo, no grupo SL2 (R) se A =     , B =       e
                                                        0 1        1 1
         0 −1                                   1 2                                    −1 2
C =                 ent˜o AB = BC =
                       a                                   . Tamb´m, (AB)−1 =
                                                                 e                                  enquanto
         1 2                                    1 1                                     1 −1
                   1 −1         −1 1            −2 1
que A−1 B −1 =                            =                 .
                   0 1          1 0              1 0


2.3   Produto Cartesiano de grupos.
       Se (G, ∗) e (H, ◦) s˜o grupos, ent˜o (G × H, ·) ´ um grupo onde a opera¸˜o “·” ´ definida por
                              a               a             e                          ca     e
                                                                 ´ f´cil verificar que (G × H, ·) ´ um grupo
(g, h) · (g , h ) = (g ∗ g , h ◦ h ) onde g, g ∈ G e h, h ∈ H. E a                               e
com elemento neutro (eG , eH ) onde eG e eH s˜o, respectivamente, os elementos neutros de G e H.
                                                      a
Tamb´m (g, h)
       e          −1 = (g −1 , h−1 ). Verifica-se facilmente que se G e H s˜o grupos abelianos ent˜o G × H
                                                                            a                      a
tamb´m ´ um grupo abeliano.
      e e
       Procedendo de maneira an´loga, podemos estender a constru¸˜o acima para o produto cartesiano
                                      a                                  ca
de um conjunto finito de grupos: G1 × G2 × · · · × Gn .

Exemplo 2.9 Temos que Z × SL2 (R) ´ um grupo com a opera¸˜o (a, A)(b, B) = (a + b, AB) onde,
                                     e                         ca
na primeira coordenada temos adi¸˜o de inteiros e, na segunda, produto de matrizes.
                                ca

Exemplo 2.10 Temos que Z2 × Z2 ´ um grupo abeliano com 4 elementos: {(¯ ¯ (¯ ¯ (¯ ¯ (¯ ¯
                               e                                      0, 0), 0, 1), 1, 0), 1, 1)}.

2.4   Grupos de permuta¸oes
                       c˜
      Sejam S um conjunto n˜o vazio e P (S) = {f : S → S | f ´ bijetiva}. Temos que P (S) ´ um grupo
                             a                                       e                            e
com a opera¸˜o composi¸˜o de fun¸˜es, pois a composta de fun¸˜es bijetivas ´ uma fun¸˜o bijetiva, a
            ca          ca         co                                   co           e         ca
composi¸˜o de fun¸˜es ´ associativa, a aplica¸˜o identidade ´ bijetiva e toda fun¸˜o bijetiva ´ invert´
         ca      co e                        ca                  e                    ca          e      ıvel.
O conjunto P (S) com a opera¸˜o de composi¸˜o de fun¸˜es, ´ chamado grupo das permuta¸˜es de S.
                               ca              ca          co e                                     co
      Denotamos o grupo das permuta¸˜es de {1, 2, ..., n} por Sn . Como a cada fun¸˜o bijetiva de Sn
                                        co                                                 ca
corresponde a uma permuta¸˜o f (1)f (2) · · · f (n) de 1, 2, . . . , n e o n´mero total destas permuta¸˜es ´
                            ca                                              u                          co e
n!, ent˜o Sn tem n! elementos.
       a

       Para n ≥ 3, Sn ´ um grupo n˜o abeliano pois tomando f, g ∈ Sn com f (1) = 2, f (2) = 1,
                        e             a
f (3) = 3, g(1) = 2, g(2) = 3 e g(3) = 1 temos (f og)(1) = 1 e (gof )(1) = 3, logo, f og = gof . Assim,
S3 ´ um exemplo de grupo n˜o abeliano com 6 elementos.
    e                        a



                                                      14
Nota¸˜o: Se f ∈ Sn denotamos f por (1, f (1), f (f (1)), ...)(i, f (i), f (f (i)), ...)..., como nos exemplos
      ca
abaixo.
       Para f, g, h ∈ S4 tais que f (1) = 3, f (2) = 4, f (3) = 2, f (4) = 1, g(1) = 3, g(2) = 2, g(3) =
1, g(4) = 4, h(1) = 3, h(2) = 4, h(3) = 1, h(4) = 2 denotamos f por (1, 3, 2, 4), g por (1, 3) e h por
(1, 3)(2, 4). A justificativa de podermos usar essa nota¸˜o se encontra no livro “T´picos de Algebra”
                                                                  ca                           o     ´
- veja a bibliografia.
       Assim, os elementos de S3 s˜o:    a
    e (fun¸˜o identidade);
           ca
    a = (1, 2, 3);
    a2 = (1, 2, 3)(1, 2, 3) = (1, 3, 2);
    a3 = a2 · a = (1, 3, 2)(1, 2, 3) = e = (1, 2, 3)(1, 3, 2) = a · a2 ⇒ a−1 = a2 ;
    b = (1, 2);
    b2 = e ⇒ b−1 = b;
    ab = (1, 2, 3)(1, 2) = (1, 3);
    ba = (1, 2)(1, 2, 3) = (2, 3).
       Assim, S3 = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 3)} = {e, a, a2 , b, ab, ba}.
       Encontre o inverso para cada elemento de S3 .

2.5   Grupos de simetria
        Vamos tomar um quadrado no plano de v´rtices A, B, C, e D e vamos denotar o quadrado
                                                    e
por ABCD, quando o v´rtice superior esquerdo for A, e os v´rtices B, C, D forem, respectivamente,
                          e                                    e
tomados no sentido hor´rio, a partir de A.
                         a
        Uma rota¸˜o de 90o , no sentido hor´rio, leva cada v´rtice do quadrado no v´rtice seguinte.
                 ca                         a               e                      e
        Uma reflex˜o em torno da diagonal tomada do v´rtice esquerdo superior ao v´rtice direito
                   a                                        e                             e
inferior, deixa estes v´rtices fixos e troca os outros dois.
                       e
        Denotando por σ a rota¸˜o e por τ , a reflex˜o, temos:
                                ca                   a
σ(ABCD) = DABC
σ 2 (ABCD) = CDAB
σ 3 (ABCD) = BCDA
σ 4 (ABCD) = ABCD
τ (ABCD) = ADCB
τ 2 (ABCD) = ABCD
στ (ABCD) = σ(ADCB) = BADC
σ 2 τ (ABCD) = σ 2 (ADCB) = CBAD
σ 3 τ (ABCD) = σ 3 (ADCB) = DCBA




                                                     15
Denotando por e o n˜o movimento e(ABCD) = ABCD, temos que
                           a
D = {e, σ, σ 2 , σ 3 , τ, στ, σ 2 τ, σ 3 τ } ´ um grupo. Podemos verificar isso, na tabela abaixo:
                                             e

         ·     e     σ     σ2     σ3     τ    στ    σ2τ       σ3τ
         e     e     σ     σ2     σ3     τ    στ    σ2τ       σ3τ
         σ     σ     σ2    σ3     e     στ    σ2τ   σ3τ        τ
        σ2    σ2     σ3     e     σ    σ2τ    σ3τ    τ        στ
        σ3    σ3      e     σ     σ2   σ3τ     τ     στ       σ2τ
         τ     τ    σ3τ   σ2τ    στ      e    σ3     σ2       σ
        στ    στ     τ    σ3τ    σ2τ    σ      e     σ3       σ2
       σ2τ    σ2τ    στ     τ    σ3τ    σ2     σ     e        σ3
       σ3τ    σ3τ   σ2τ    στ     τ     σ3    σ2     σ         e
      Assim, podemos tomar

      D = {σ j τ i | 0 ≤ i ≤ 1, 0 ≤ j ≤ 3, τ 2 = σ 4 = e, στ = τ σ 3 , τ = e, σ j = e para j = 1, 2, 3}

     O exemplo acima pode ser estendido, tomando-se um pol´   ıgono regular de n lados e um eixo de
reflex˜o passando por um v´rtice e pelo centro do pol´
     a                    e                          ıgono. Tais grupos assim obtidos s˜o chamados
                                                                                       a
grupos de simetria ou grupos diedrais e tais grupos podem ser descritos por

   Dn = {σ j τ i | 0 ≤ i ≤ 1, 0 ≤ j < n, τ 2 = σ n = e, στ = τ σ n−1 , τ = e, σj = e para 1 ≤ j < n}.

       Note que, neste caso, quando o pol´ ıgono tem n lados, o grupo tem 2n elementos.
       Observe que cada elemento de Dn podem ser vistos como uma permuta¸˜o de n elementos, ou
                                                                               ca
seja, como um elemento do grupo de permuta¸˜es Sn , quando denominamos os v´rtices do pol´
                                                co                                e           ıgono
de n lados pelos n´meros 1, 2, . . . , n. Assim, podemos considerar o grupo Dn contido no grupo Sn .
                  u

2.6    Grupos c´
               ıclicos
      Sejam G um grupo, a ∈ G e n ∈ N denotamos a0 = e, an+1 = an a e a−n = (a−1 )n . Assim,
temos definido an para todo n ∈ Z. As regras usuais de expoentes podem ser verificadas, isto ´, para
                                                                                                 e
quaisquer inteiros m e n tem-se:
1) am an = am+n ; 2) (an )−1 = a−n ; 3) (a−n )−1 = an ; 4) (am )n = amn .
      Na nota¸˜o aditiva, ab significa a + b, a−1 significa −a e an significa na = a + a + · · · + a. Logo,
              ca
ma + na = (m + n)a, n(ma) = (mn)a e −(na) = (−n)a = n(−a).



                                                         16
Sejam G um grupo e a ∈ G. Denotamos a = {an | n ∈ Z}. Como a0 = e, am an = am+n ,
(am an )ap = am (an ap ) e (an )−1 = a−n ent˜o a ´ um grupo abeliano, chamado grupo c´
                                            a    e                                   ıclico gerado
por a.
      Na nota¸˜o aditiva temos a = {na | n ∈ Z}.
              ca

Exemplo 2.11 Seja G = Z. Ent˜o    a
 1 = {n · 1 | n ∈ Z} = {n | n ∈ Z} = Z.
 −1 = {n · (−1) | n ∈ Z} = {−n | n ∈ Z} = Z.
 t = {n · t | n ∈ Z} ´ o conjunto dos inteiros m´ltiplos de t.
                     e                          u
     Assim, Z ´ um grupo c´
                 e           ıclico e podemos tomar 1 ou −1 como gerador.

Exemplo 2.12 Verifica-se facilmente que Zn ´ um grupo c´
                                          e           ıclico gerado por 1.

Exemplo 2.13 Verifica-se tamb´m facilmente que Z6 pode ser gerado por 1 e 5.
                            e

Exemplo 2.14 Temos que S3 n˜o ´ um grupo c´
                                 a e            ıclico pois (1, 2)2 = (1, 3)2 = (2, 3)2 = e e (1, 2, 3)3 =
(1, 3, 2)3 = e. Logo, nenhum elemento gera S3 .

Exemplo 2.15 Temos que R∗ n˜o ´ um grupo c´
                               a e            ıclico. Para verificar isso, suponha que sim, isto ´,
                                                                                                e
que exista a ∈ R ∗ tal que R∗ = a . Considere 2 = an e 3 = am e, a partir disso, chegue em um

absurdo.

Exerc´ıcios 2.1
                  √                √
1) Mostre que Z[ 2] = {a + b 2 | a, b ∈ Z} ´ um grupo abeliano com a opera¸˜o de adi¸ao.
                                                    e                                ca        c˜
2) Para a, b ∈ Z, definimos a ⊕ b = a + b + 1.
   a) Verifique que (Z, ⊕) ´ um grupo.
                                e
   b) Verifique se (Z, ⊕) ´ abeliano.
                              e
   c) Verifique se (Z, ⊕) ´ c´ e ıclico.
3) Verifique se (R  ∗ , ) ´ um grupo, onde a
                          e                           b = a · b/2.
4) Verifique se (R, ⊕) ´ um grupo nos casos abaixo:
                        e
   a) a ⊕ b = a 2 + b2

   b) a ⊕ b = a + b − 3
5) a) Descreva os elementos de S4 .
   b) Encontre elementos a e b de S4 tais que ab = ba.
6) Verifique se G = {z ∈ C | |z| = 1} ´ um grupo abeliano com a opera¸˜o de multiplica¸˜o de n´meros
                                            e                              ca                ca        u
complexos.
7) Verifique se G = {x ∈ R | |x| ≥ 1} ´ um grupo abeliano com a opera¸˜o de multiplica¸˜o de
                                                  e                                 ca                  ca
n´meros reais.
 u
8) Encontre a, b ∈ S3 tais que (ab)2 = a2 b2 .
9) Verifique se o grupo Z2 × Z2 ´ um grupo c´
                                       e             ıclico.
10) Verifique se o grupo Z2 × Z3 ´ um grupo c´
                                         e             ıclico.
11) Quais elemento de Z5 geram Z5 ?
12) Seja G um grupo abeliano. Mostre que se a, b ∈ G e m ∈ Z ent˜o (ab)m = am bm .
                                                                        a
13) Verifique que todo grupo c´      ıclico ´ abeliano.
                                           e
14) Mostre que se a1 , a2 , ..., an s˜o elementos de um grupo G ent˜o (a1 ·a2 ·...·an )−1 = a−1 ·...·a−1 ·a−1 .
                                      a                             a                        n        2    1
15) Seja G um grupo tal que a        2 = e para todo a ∈ G. Mostre que G ´ abeliano.
                                                                          e


                                                      17
2.7   Subgrupos
Defini¸˜o 2.2 Dizemos que um subconjunto H de um grupo (G, ∗) ´ um subgrupo de G, se (H, ∗) ´
      ca                                                          e                        e
um grupo, isto ´, se H ´ um grupo com a opera¸˜o de G restrita a H.
               e       e                     ca
Nota¸˜o: H < G quando H ´ um subgrupo de G.
    ca                     e

Exemplos 2.16
a) Se G ´ um grupo ent˜o G < G e {e} < G, s˜o os chamados subgrupos triviais de G.
         e             a                   a
b) Z < Q < R < C.
c) Q∗ < R∗ < C∗ .
d) R∗ n˜o ´ um subgrupo de R.
        a e
e) ({−1, 1}, ·) < R∗ .
f ) Z2 n˜o ´ um subgrupo de Z3 .
        a e

Proposi¸˜o 2.1 Seja H um subconjunto de um grupo G. Ent˜o H ´ um subgrupo de G se, e somente
          ca                                                  a    e
se, as seguintes condi¸˜es s˜o satisfeitas:
                      co    a
1) e ∈ H;
2) ∀ a, b ∈ H, ab ∈ H (a + b ∈ H, no caso de grupos aditivos );
3) ∀ a ∈ H, a−1 ∈ H ( −a ∈ H, no caso de grupos aditivos ).
             ca ´
Demonstra¸˜o: E claro que se H < G ent˜o as trˆs condi¸˜es est˜o satisfeitas.
                                               a   e       co      a
Por outro lado, suponhamos as trˆs condi¸˜es satisfeitas. A condi¸˜o (1) garante que H = ∅ e possui
                                  e         co                   ca
elemento neutro; a condi¸ao (2) diz que a opera¸˜o de G restrita a H ´ uma opera¸˜o em H; a
                          c˜                     ca                       e           ca
condi¸˜o (3) garante a existˆncia do inverso de cada elemento de H; como H ⊆ G, ent˜o vale a
      ca                      e                                                          a
propriedade associativa para os elementos de H. Assim, H ´ um grupo com a opera¸˜o definida para
                                                           e                       ca
G, logo, H < G.

      Observe que se H < G ent˜o o elemento neutro de H ´ o mesmo elemento neutro e de G.
                              a                         e

Exemplo 2.17 Para G = S3 = {e, (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 2)} ´ f´cil verificar que:
                                                                             e a
{e, (1, 2)} < S3 e {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S3 .

Corol´rio 2.2 Seja H um subconjunto de um grupo G. Ent˜o H ´ um subgrupo de G se, e somente
       a                                                   a   e
se, as seguintes condi¸˜es s˜o satisfeitas:
                      co    a
1) H = ∅
2) ∀ a, b ∈ H, ab−1 ∈ H (a − b ∈ H no caso de grupos aditivos)
Demonstra¸˜o: Fica como exerc´
             ca                    ıcio.

Exemplo 2.18 Seja 3Z = {3 · n | n ∈ Z} o conjunto dos m´ltiplos de 3. Temos:
                                                           u
1) 3Z = ∅ pois 0 = 3 · 0 ∈ 3Z;
2) Se a, b ∈ 3Z, digamos, a = 3n e b = 3m, ent˜o a − b = 3(n − m) ∈ 3Z.
                                              a
Assim, pelo corol´rio anterior, 3Z < Z.
                  a
      Do mesmo modo, podemos mostrar que para qualquer m ∈ Z, mZ < Z.

     Seja a ∈ G onde G ´ um grupo. J´ vimos que a = {an | n ∈ Z} ´ um grupo com a mesma
                               e               a                     e
opera¸˜o de G, ou seja, a < G. Dizemos que a ´ o subgrupo c´
     ca                                               e    ıclico de G gerado por a. Se S ´ um
                                                                                          e
subconjunto n˜o vazio de G, definimos:
                a
 S = {(s1 ) r1 (s )r2 ...(s )rn | ∀ i, s ∈ S e r ∈ Z}
                 2         n            i        i
     Verifique que S < G e que S = ∩{H | H < G e S ⊆ H}.

                                                    18
Chamamos S de subgrupo de G gerado por S.

Exemplo 2.19 Para o grupo S3 temos (1, 2) = {e, (1, 2)};
 (1, 2, 3) = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}.

Exemplo 2.20 S3 = {(1, 2), (1, 2, 3)} , pois:
(1, 2) ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)}
(1, 2, 3) ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)}
e = (1, 2)2 ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)}
(1, 3, 2) = (1, 2, 3)2 ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)}
(2, 3) = (1, 2)(1, 2, 3) ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)}
(1, 3) = (1, 2)(1, 3, 2) = (1, 2)(1, 2, 3)2 ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)}

Exerc´ ıcios 2.2
1) Mostre que H = {2n | n ∈ Z} ´ um subgrupo de R∗ .
                                      e
                                    a 0
2) Para G = M2×2 e H =                        | a, b ∈ R , mostre que H < G.
                                    b 0
3) Para G = Z × Z e H = {(2a, 3b) | a, b ∈ Z} mostre que H < G.
4) Determine todos os subgrupos de Z2 × Z3 .
5) Quais dos seguintes subconjuntos s˜o subgrupos (c´
                                           a                 ıclicos) de Z12 ?
    ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 10} b) {¯ ¯
a) {0, 2, 4, 6, 8,         0, 6}         ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
                                     c) {0, 2, 3, 5, 8}
    ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 11} e) {¯ ¯ ¯ f ) {¯ ¯ ¯ ¯
d) {1, 3, 5, 7, 9,         0, 4, 8}      0, 3, 6, 9}
6) Determine os seguintes subgrupos de Z8 .
a) ¯ b) ¯ c) ¯ d) ¯ ¯
    2        5      4      2, 3
7) Para o grupo de permuta¸˜es S4 :
                                co
a) Determine (1, 2, 3) .
b) Determine (1, 2, 3, 4) .
c) Seja H = {e, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}. Verifique se H ´ um subgrupo de S4 e se H ´
                                                                               e                    e
abeliano.
8) Mostre que todo subgrupo de um grupo abeliano tamb´m ´ um grupo abeliano.
                                                                 e e
9) Mostre que todo subgrupo de um grupo c´         ıclico ´ um grupo c´
                                                          e            ıclico.
   Nos exerc´   ıcios abaixo, vamos considerar G um grupo.
10) Sejam a ∈ G e C(a) = {g ∈ G | ag = ga}. Mostre que C(a) < G.
11) Seja Z(G) = {g ∈ G | ga = ag ∀ a ∈ G}. Mostre que Z(G) < G.
12) Mostre que se H e K s˜o subgrupos de G, ent˜o H ∩ K tamb´m ´ um subgrupo de G.
                                a                          a               e e
13) Dˆ um exemplo onde H < G e K < G mas H ∪ K n˜o ´ um subgrupo de G.
      e                                                           a e
14) Se H < G e g ∈ G mostre que gHg          −1 < G, onde gHg −1 = {ghg −1 | h ∈ H}.



2.8    Classes laterais
      Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Para a, b ∈ G, definimos a ≡ b(mod H) (lˆ-se a ´
                                                                                       e      e
congruente a b m´dulo H) se, e somente se, ab
                  o                           −1 ∈ H. Vamos verificar que esta ´ uma rela¸˜o de
                                                                               e         ca
equivalˆncia:
       e
Propriedade reflexiva: ∀ a ∈ G, aa−1 = e ∈ H, logo, a ≡ a(mod H)
Propriedade sim´trica: Se a, b ∈ G e a ≡ b(mod H), isto ´, ab−1 ∈ H, como H ´ um grupo, ent˜o
                e                                        e                   e              a
ba−1 = (ab−1 )−1 ∈ H, logo, b ≡ a(mod H).




                                                         19
Propriedade transitiva: Se a, b, c ∈ H com a ≡ b(mod H) e b ≡ c(mod H) ent˜o ab−1 ∈ H e bc−1 ∈ H.
                                                                          a
Como H ´ um grupo, ent˜o ac−1 = ab−1 bc−1 ∈ H, ou seja, a ≡ c(mod H).
         e               a

      A classe de equivalˆncia de um elemento a de G, ´ dada por
                          e                              e
a = {b ∈ G | b ≡ a(mod H)} = {b ∈ G| ba     −1 ∈ H}. Temos ent˜o b ∈ a se, e somente se, existe h ∈ H
                                                               a
tal que ba −1 = h, ou seja, se, e somente se, b = ha para algum h ∈ H. Assim,


                                       a = Ha = {ha | h ∈ H}.

Chamamos Ha de uma classe lateral ` direita de H em G.
                                  a

      Denotamos o conjunto quociente de G pela rela¸˜o de equivalˆncia por
                                                   ca            e

                                        G/H = {Ha | a ∈ G}

que ´ o conjunto das classes laterais ` direita de H em G.
    e                                 a

Observe que:
a) a ∈ Ha, pois e ∈ H;
b) Ha = Hb ⇔ a ∈ Hb, pois duas classes de equivalˆncia ou coincidem ou s˜o disjuntas;
                                                 e                      a
c) Ha = Hb ⇔ ab   −1 ∈ H (verifique).

d) Ha = H ⇔ a ∈ H.

      Nota¸˜o: Se X ´ um conjunto finito vamos denotar por |X| o n´mero de elementos de X.
          ca        e                                            u

Defini¸˜o 2.3 Se G ´ um grupo finito, chamamos |G| de ordem de G. Se G ´ um grupo qualquer
       ca            e                                                 e
e se g ∈ G ´ tal que g ´ um grupo finito, chamamos de ordem de g ao n´mero | g |, o qual ser´
           e            e                                           u                      a
denotado simplesmente por |g|.

Lema 2.3 Sejam G um grupo finito e H < G. Se a ∈ G ent˜o |Ha| = |H|.
                                                         a
Demonstra¸˜o: Seja a fun¸˜o f : H → Ha definida por f (h) = ha. Temos que f ´ injetiva, pois se
             ca              ca                                                  e
f (h) = f (k) ent˜o ha = ka, logo, h = k. Temos tamb´m que f ´ sobrejetiva pois se ha ∈ Ha ent˜o
                 a                                     e     e                                a
f (h) = ha. Assim, f ´ bijetiva, portanto, |H| = |Ha|.
                      e


Defini¸˜o 2.4 Se H < G e G/H ´ um conjunto finito, chamamos |G/H| de ´
      ca                        e                                         ındice de H em G.
Nota¸˜o: (G : H) = |G/H| ´ o n´mero de classes laterais ` direita de H em G.
    ca                   e    u                         a

Teorema 2.4 (de Lagrange) Se G ´ um grupo finito e H < G ent˜o |G| = |H|(G : H).
                                  e                               a
Demonstra¸˜o: Como G ´ finito ent˜o G/H ´ finito, digamos, G/H = {Ha1 , Ha2 , ..., Han } com
           ca             e          a         e
Hai = Haj se i = j. Como Hai e Haj s˜o classes de equivalˆncias distintas, para i = j, ent˜o
                                          a                     e                                     a
Hai ∩ Haj = ∅ se i = j; como G = Ha1 ∪ Ha2 ∪ · · · ∪ Han ent˜o, |G| = |Ha1 | + |Ha2 | + · · · + |Han | =
                                                            a
n|H| = |H|n, pelo lema anterior. Assim, |G| = |H|(G : H).

      Em vista do Teorema de Lagrange temos que se H ´ um subgrupo de G ent˜o a ordem de H
                                                      e                    a
                             ¯ ¯ ¯ ¯ n˜o ´ subgrupo de Z10 .
divide a ordem de G. Assim, {0, 3, 6, 9} a e

Exemplo 2.21 Seja H = {e, (1, 2)} < S3 . Ent˜o, pelo Teorema de Lagrange, (S3 : H) = |S3 |/|H| =
                                            a
6/2 = 3. Logo, temos 3 classes laterais:

                                                  20
H = {e, (1, 2)} (= H(1, 2))
H(2, 3) = {(2, 3), (1, 2, 3)} (= H(1, 2, 3))
H(1, 3) = {(1, 3), (1, 3, 2)} (= H(1, 3, 2))
e assim, G/H = {H, H(2, 3), H(1, 3)}

      Se G ´ um grupo aditivo e se H ´ um subgrupo de G ent˜o a ≡ b(mod H) ⇔ a − b ∈ H e as
             e                         e                   a
classes laterais s˜o da forma H + a = {h + a | h ∈ H}.
                  a

Exemplo 2.22 Seja H = {0, 2, 4} < Z6 . Ent˜o (Z6 : H) = |Z6 |/|H| = 6/3 = 2. Logo, temos 2
                                          a
classes laterais:
H = {0, 2, 4} (= H + 2 = H + 4)
H + 1 = {1, 3, 5} (= H + 3 = H + 5)

Exerc´ıcios 2.3 1) Encontrar G/H para
a) G = S3 e H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}
b) G = Z10 e H = {0, 2, 4, 6, 8}
c) G = Z10 e H = {0, 5}
d) G = Z e H = 3Z
2) Para H < G e a ∈ G definimos aH = {ah | h ∈ H} e aHa−1 = {aha−1 | h ∈ H}. Mostre que:
a) aH = Ha ⇒ aHa−1 = H
b) aHa−1 = H ⇒ aH = Ha
c) aG = G

Corol´rio 2.5 Se G ´ um grupo finito e se a ∈ G ent˜o |a| divide |G|.
     a             e                              a
Demonstra¸˜o: Pelo Teorema de Lagrange, |G| = |a|(G : a ), logo, |a| divide |G|.
           ca

Corol´rio 2.6 Se G ´ um grupo de ordem prima ent˜o G ´ c´
       a              e                            a     e ıclico e ´ gerado por qualquer a = e.
                                                                    e
Demonstra¸˜o: Seja p = |G|, onde p ´ um n´mero primo. Seja a ∈ G, a = e. Ent˜o |G| =
             ca                          e     u                                         a
|a|(G : a ), isto ´, |a| divide |G| = p. Como |a| > 1 e os unicos divisores de p s˜o 1 e p, ent˜o
                  e                                        ´                       a             a
|a| = p = |G|. Logo, a = G.

Exemplo 2.23 Em Z7 , a = Z7 , para todo a = ¯
                     ¯                  ¯ 0.

Proposi¸˜o 2.7 Sejam G um grupo e a ∈ G tal que a , ´ um grupo finito. Ent˜o |a| ´ o menor
          ca                                                       e                          a      e
inteiro positivo n tal que a n = e.

              ca ´
Demonstra¸˜o: E claro que se a = e ent˜o n = 1 e a = {e}. Seja a = e. Como a = {an | n ∈ Z}
                                                a
´ finito, ent˜o existem inteiros i e j (podemos supor i < j) tais que ai = aj . Logo, aj−i = aj a−i =
e            a
a i a−i = e e j − i > 0. Assim, {n ∈ N∗ | an = e} = ∅ e portanto cont´m um menor elemento
                                                                                        e
n. Vamos mostrar que a = {e, a, . . . , a       n−1 }, que os elementos e, a, . . . , an−1 s˜o todos distintos e
                                                                                            a
concluir que |a| = n. Sejam i, j ∈ Z tais que 0 < j ≤ i < n. Se a         i = aj ent˜o ai a−j = aj a−j , logo,
                                                                                         a
ai−j = aj−j = a0 = e. Como 0 ≤ i−j < n e n ´ o menor inteiro positivo tal que an = e, ent˜o i−j = 0,
                                                    e                                               a
ou seja, i = j. Assim, {e, a, . . . , an−1 } ´ um subconjunto de a que cont´m exatamente n elementos.
                                             e                                    e
Se b ∈ a , digamos b = a      m para algum m ∈ Z, pelo algoritmo da divis˜o, existem q, r ∈ Z com
                                                                                      a
0 ≤ r < n tais que m = qn + r. Logo, b = a        m = aqn+r = (an )q ar = eq ar = ear = ar ∈ {e, a, . . . , an−1 }.

Assim, a = {e, a, ..., an−1 } e portanto, |a| = n.




                                                        21
Corol´rio 2.8 Se G ´ um grupo finito e a ∈ G ent˜o a|G| = e.
      a              e                              a
Demonstra¸˜o: Sejam |a| = n e |G| = m. Pelo Teorema de Lagrange, m = nr onde r = (G : a ).
            ca
Ent˜o a
   a    m = anr = (an )r = er = e. Assim, a|G| = e.



Exemplo 2.24 Como |S3 | = 6, logo, ∀ a ∈ S3 , a6 = e.

Exemplo 2.25 Como |Z8 | = 8, logo, 8·a = 0, ∀ a ∈ Z8 .

      A fun¸˜o fi de Euler, denotada por φ, ´ definida no conjunto dos inteiros positivos por φ(1) = 1
           ca                              e
e, para m > 1, por φ(m) = n onde n ´ o n´mero de inteiros positivos menores que m e relativamente
                                    e    u
primos com m.

Exemplos 2.26 φ(2) = 1; φ(3) = 2; φ(4) = 2; φ(5) = 4; φ(6) = 2;...

      Observe que se p ´ um n´mero primo ent˜o φ(p) = p − 1.
                       e     u              a

Exerc´  ıcios 2.4
1) Em Z12 , encontrar as ordens dos seguintes elementos:
a) ¯ b) ¯ c) ¯ d) ¯ e) ¯
   2        3    4       5    6
2) Em S5 , encontrar as ordens dos seguintes elementos:
a) (1, 2, 4, 3) b) (1, 3, 2) c) (1, 2)(3, 4) d) (1, 3) e) (1, 3)(2, 4, 5)
3) Seja n um inteiro positivo e seja G = {¯ ∈ Zn | 0 < a < n e a ´ relativamente primo com n}.
                                               a                          e
Mostre que:
a) G ´ um grupo com a opera¸˜o de multiplica¸˜o m´dulo n.
      e                         ca               ca    o
b) ∀ a ∈ G, aφ(n) ≡ 1(mod n).
     ¯
4) (Pequeno Teorema de Fermat)
a) Se p ´ um n´mero primo e a ´ um inteiro tal que p n˜o divide a, ent˜o ap−1 ≡ 1(mod p).
          e     u                  e                       a                a
b) Se p ´ um n´mero primo e a ´ um inteiro qualquer ent˜o a
          e     u                  e                         a   p ≡ a(mod p).



2.9   Subgrupos normais
      Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Ao definirmos a congruˆncia m´dulo H, partimos
                                                                         e        o
da rela¸˜o de equivalˆncia b ≡ a(mod H) se ba
       ca            e                        −1 ∈ H e definimos as classes laterais ` direita Ha. De
                                                                                    a
                                   ca           e      ∼ a(mod H) quando a−1 b ∈ H chegaremos `
maneira an´loga, partindo da rela¸˜o de equivalˆncia b =
           a                                                                                       a
defini¸˜o de classe lateral ` esquerda aH = {ah | h ∈ H}, com resultados an´logos. E
      ca                   a                                               a        ´ claro que se G
´ um grupo abeliano ent˜o aH = Ha. Se G n˜o for abeliano podemos ter aH = Ha.
e                        a                   a

Exemplo 2.27 Seja H = {e, (1, 2)} < S3 . Temos H(2, 3) = {(2, 3), (1, 2, 3)} e (2, 3)H = {(2, 3),
(1, 3, 2)}. Logo, H(2, 3) = (2, 3)H.

Exemplo 2.28 Seja H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S3 . Como |H| = 3 e |S3 | = 6, temos ent˜o 2 classes
                                                                                          a
laterais ` direita:
         a
H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} (= H(1, 2, 3) = H(1, 3, 2) )
H(1, 2) = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} (= H(1, 3) = H(2, 3) )
       De modo an´logo, temos 2 classes ` esquerda:
                    a                        a
H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} (= (1, 2, 3)H = (1, 3, 2)H )
(1, 2)H = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} (= (1, 3)H = (2, 3)H )
       Neste caso, Ha = aH ∀ a ∈ S3 , mesmo S3 n˜o sendo abeliano.
                                                        a


                                                 22
Defini¸˜o 2.5 Sejam G um grupo e N um subgrupo de G. Dizemos que N ´ um subgrupo normal de
       ca                                                         e
G se uma das seguintes condi¸˜es equivalentes se verificar:
                            co
a) ∀ a ∈ G, aN = N a
b) ∀ a ∈ G, aN a−1 = N onde aN a−1 = {ana−1 | n ∈ N }
c) ∀ a ∈ G, aN a−1 ⊆ N
Nota¸˜o: N G
     ca

       Prova das equivalˆncias:
                        e
(a ⇔ b) Temos aN = N a ⇔ aN a−1 = N aa−1 = N e = N .
(b ⇒ c) Claro.
(c ⇒ b) Seja a ∈ G. Como a−1 ∈ G, ent˜o, por hip´tese, a−1 N a = a−1 N (a−1 )−1 ⊆ N . Assim,
                                             a          o
aa −1 N (a−1 )−1 a−1 ⊆ aN a−1 , ou seja, N = eN e ⊆ aN a−1 . Como, por hip´tese, aN a−1 ⊆ N , temos
                                                                          o
igualdade.

Exemplos 2.29
1) Se G ´ um grupo abeliano ent˜o todo subgrupo H de G ´ um subgrupo normal, pois aH = Ha para
        e                            a                        e
todo a ∈ G.
2) Se G ´ um grupo, verifica-se facilmente que {e} G.
         e
3) Se G ´ um grupo, G G, pois para qualquer a ∈ G, aG = G e Ga = G (verifique).
         e
4) Seja H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S3 . J´ vimos que para todo a ∈ S3 , aH = Ha. Logo H S3 .
                                              a
5) Seja H = {e, (1, 2)} < S3 . Temos H(2, 3) = {(2, 3), (1, 2, 3)} e (2, 3)H = {(2, 3), (1, 3, 2)}. Logo,
H(2, 3) = (2, 3)H e portanto, H n˜o ´ um subgrupo normal de S3 .
                                       a e

     Observe que aN = N a n˜o significa que an = na para todo n ∈ N . Significa que para cada
                               a
n ∈ N , existe m ∈ N tal que an = ma.

Exemplo 2.30 Seja H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S3 . Temos que H(1, 2) = (1, 2)H = {(1, 2), (1, 3),
(2, 3)}, e (1, 2, 3)(1, 2) = (1, 3) = (1, 2)(1, 3, 2).

Exerc´ ıcios 2.5 Vamos considerar G um grupo, H e K subgrupos de G e HK = {hk | h ∈ H e
k ∈ K}. Prove as seguintes afirma¸˜es:
                                 co
1) HK ´ um subgrupo de G se, e somente se, HK = KH.
         e
2) Se G ´ abeliano ent˜o HK < G.
          e           a
3) Se H G ou K G ent˜o HK < G.
                           a
4) Se H G e K G ent˜o HK G.
                         a
5) Se H G e K G ent˜o H ∩ K G.
                         a
6) Se K G ent˜o H ∩ K H.
                 a
7) Se H G, K G e H ∩ K = {e} ent˜o hk = kh ∀ h ∈ H, ∀ k ∈ K.
                                      a
8) Z(G) G onde Z(G) = {g ∈ G | ga = ag ∀ a ∈ G}.
9) Se (G : H) = 2 ent˜o H G.
                     a

2.10    Grupo quociente
    Sejam G um grupo e N um subgrupo normal de G.                    Vamos definir uma opera¸˜o em
                                                                                           ca
G/N = {N a | a ∈ G} de modo que G/N se torne um grupo.

       Para N a, N b ∈ G/N definimos (N a)(N b) = N (ab) ou, simplificando a nota¸˜o, N aN b = N ab.
                                                                               ca



                                                   23
Se N a = N a e N b = N b , ent˜o N aN b = N ab = (N a)b = (N a )b = (a N )b = a (N b) =
                                      a
a (N b ) = (a N )b = (N a )b = N a b = N a N b . Assim, fica definida uma opera¸˜o em G/N .
                                                                             ca

      Vamos mostrar que G/N com essa opera¸˜o ´ um grupo.
                                              ca e
- Propriedade associativa: (N aN b)N c = N abN c = N (ab)c = N a(bc) = N aN bc = N a(N bN c).
- Elemento neutro: N e, pois N aN e = N ae = N a = N ea = N eN a.
- Elemento inverso: N aN a−1 = N aa−1 = N e = N a−1 a = N a−1 N a. Logo (N a)−1 = N a−1 .

       Assim G/N ´ um grupo com a opera¸˜o N aN b = N ab e ´ chamado grupo quociente de G por N .
                 e                     ca                  e

     Se G ´ um grupo aditivo, denotamos G/N = {N +a | a ∈ G}. Por exemplo, Z/5Z = {5Z+n | n ∈
           e
Z} = {5Z, 5Z + 1 , 5Z + 2, 5Z + 3, 5Z + 4} pois se n ∈ Z, existem q, r ∈ Z com 0 ≤ r < 5 tal que
n = q5 + r, logo, n − r ∈ 5Z e portanto, n ≡ r(mod 5Z). Assim, 5Z + n = 5Z + r.

Exerc´
     ıcios 2.6
1) Mostre que se G ´ um grupo abeliano e H < G ent˜o G/H ´ um grupo abeliano.
                   e                               a       e
2) Mostre que se G ´ um grupo c´
                   e           ıclico e H < G ent˜o G/H ´ um grupo c´
                                                 a       e           ıclico.
3) Mostre que se G ´ um grupo finito e se N ´ um subgrupo normal de G, ent˜o |G/N | = |G|/|N |.
                   e                       e                              a

2.11    Homomorfismos de grupos
Defini¸˜o 2.6 Sejam (G, ·) e (G , ∗) grupos e f : G → G uma fun¸˜o. Dizemos que f ´ um homo-
     ca                                                                ca                e
morfismo de grupos se f (a · b) = f (a) ∗ f (b), isto ´, f ´ compat´ com as estruturas dos grupos.
                                                     e    e       ıvel

Exemplos 2.31
1) A fun¸˜o identidade Id : G → G onde Id(a) = a ´ um homomorfismo, pois Id(ab) = ab =
           ca                                             e
Id(a)Id(b).
2) A fun¸˜o constante f : G → G onde f (a) = e e e ´ o elemento neutro de G ´ um homomorfismo,
          ca                                         e                          e
pois f (ab) = e = e e = f (a)f (b).
3) A fun¸˜o f : Z → Z definida por f (a) = na onde n ´ um inteiro fixo, ´ um homomorfismo, pois
          ca                                            e                    e
f (a + b) = n(a + b) = na + nb = f (a) + f (b).
4) A fun¸˜o f : Z → R∗ dada por f (n) = 2n ´ um homomorfismo, pois f (n + m) = 2n+m = 2n 2m =
          ca                                    e
f (n)f (m).
5) Seja n um inteiro positivo. A fun¸˜o f : Z → Zn definida por f (a) = r, onde r ´ o resto da divis˜o
                                     ca                                           e                a
de a por n, ´ um homomorfismo, pois a + b = a + b.
              e
6) Se H Gent˜o a fun¸ao f : G → G/H onde f (a) = Ha ´ um homomorfismo, pois f (ab) = H(ab) =
                a      c˜                                  e
HaHb = f (a)f (b).
7) A fun¸˜o f : Z → Z definida por f (a) = a + 2, n˜o ´ um homomorfismo, pois f (2) = 2 + 2 = 4 =
          ca                                       a e
6 = 1 + 2 + 1 + 2 = f (1) + f (1).
8) f : Z × Z → Z dada por f (m, n) = m + n ´ um homomorfismo e grupos, pois f ((m, n) + (a, b)) =
                                                e
f (m + a, n + b) = (m + a) + (n + b) = (m + n) + (a + b) = f (m, n) + f (a, b).

Exerc´ ıcio 2.7 Verifique que se f : (G, ·) → (G , ∗), ´ um homomorfismo de grupos e n ´ um inteiro
                                                               e                                               e
positivo ent˜o para a1 , a2 , . . . , an ∈ G vale f (a1 · a2 · ... · an ) = f (a1 ) ∗ f (a2 ) ∗ ... ∗ f (an ).
            a

Proposi¸˜o 2.9 Seja f : G → G um homomorfismo de grupos. Se e e e s˜o respectivamente os
        ca                                                        a
elementos neutros de G e G ent˜o:
                              a

                                                      24
a) f (e) = e ;
b) f (a−1 ) = (f (a))−1 ;
c) {a ∈ G | f (a) = e } G’;
d) Im(f ) = {f (a) | a ∈ G} < G ;
e) f (an ) = (f (a))n .
Demonstra¸˜o: a) Como f (e) = f (e · e) = f (e) ∗ f (e) ent˜o (f (e))−1 ∗ f (e) = (f (e))−1 ∗ f (e) ∗ f (e),
               ca                                                  a
logo, e = e · f (e) = f (e).
b) Como e = f (e) = f (a · a−1 ) = f (a) ∗ f (a−1 ) ent˜o (f (a))−1 = (f (a))−1 ∗ e = (f (a))−1 ∗ f (a) ∗
                                                            a
f (a −1 ) = e ∗ f (a−1 ) = f (a−1 ).

c) Por (a), e ∈ N (f ), logo, N (f ) = ∅. Se a, b ∈ N (f ) ent˜o f (a) = f (b) = e . Logo, f (a · b−1 )
                                                                     a
=f (a) ∗ f (b −1 )= e ∗ (f (b))−1 = (f (b))−1 = e −1 = e . Assim, a · b−1 ∈ N (f ) e portanto N (f ) < G.

Para mostrar que N (f ) G, vamos verificar que a(N (f ))a−1 ⊆ N (f ), ∀ a ∈ G. Se b ∈ a(N (f ))a−1 ,
digamos, b = a · c · a−1 para algum c ∈ N (f ), ent˜o f (b) = f (a · c · a−1 ) = f (a) ∗ f (c) ∗ f (a−1 ) =
                                                          a
f (a) ∗ e ∗ (f (a)) −1 = f (a) ∗ (f (a))−1 = e , logo, b ∈ N (f ).

d) Temos que Im(f ) = ∅ pois e = f (e) ∈ Im(f ). Se c, d ∈ Im(f ), digamos, c = f (a) e d = f (b) onde
a, b ∈ G, ent˜o c ∗ d−1 = f (a) ∗ (f (b))−1 = f (a) ∗ f (b−1 ) = f (a · b−1 ) ∈ Im(f ). Assim, Im(f ) < G .
               a
e) Basta fazer indu¸ao sobre n.
                       c˜

     O conjunto {a ∈ G | f (a) = e } ´ chamado de n´cleo de f e ´ denotado por N (f ). Em vista da
                                     e             u            e
proposi¸˜o anterior, temos N (f ) G.
       ca



Proposi¸˜o 2.10 Seja f : G → G um homomorfismo de grupos. Ent˜o f ´ uma fun¸˜o injetiva se,
        ca                                                  a    e        ca
e somente se, N (f ) = {e}.
Demonstra¸˜o: Fica como exerc´
            ca                ıcio.


Defini¸˜o 2.7 Dizemos que um homomorfismo de grupos f : G → G ´ um isomorfismo se f for
        ca                                                  e
bijetiva. Neste caso dizemos que G e G s˜o isomorfos.
                                        a
Nota¸˜o: G ≡ G quando G e G s˜o isomorfos.
      ca                          a

Proposi¸˜o 2.11 Se f : G → G ´ um isomorfismo ent˜o:
          ca                       e                      a
a) f −1 ´ um isomorfismo;
        e
b) Se G ´ abeliano ent˜o G ´ abeliano;
          e             a    e
c) Se G ´ c´
          e ıclico ent˜o G ´ c´
                      a     e ıclico;
d) Se a ∈ G e |a| estiver definida ent˜o |f (a)| est´ definida e |a| = |f (a)| (sugest˜o - Proposi¸˜o 2.7);
                                      a            a                                a           ca
e) Se H < G ent˜o f (H) < G ;
                  a
f ) Se H G ent˜o f (H) G .
                  a
Demonstra¸˜o: A prova destas propriedades ficam como exerc´
             ca                                                    ıcio.

      Observe que se dois grupos s˜o isomorfos ent˜o, do ponto de vista da teoria dos grupos, eles
                                  a               a
n˜o diferem um do outro, pois existe uma bije¸˜o entre eles que preserva as estruturas dos grupos,
  a                                          ca
identificando suas propriedades.

Teorema 2.12 (dos homomorfismos) Seja f : G → G um homomorfismo sobrejetivo com n´cleo N .
                                                                               u
Ent˜o G/N ≡ G .
   a
Demonstra¸˜o: Vamos definir um isomorfismo h entre G/N e G da seguinte maneira:
          ca


                                                    25
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  • 1. Estruturas alg´bricas - 1o Semestre de 2011 e Mauri Cunha do Nascimento mauri@fc.unesp.br - http://wwwp.fc.unesp.br/∼mauri/ Curso de Licenciatura em Matem´tica a Faculdade de Ciˆncias - UNESP - Campus de Bauru e
  • 2. Sum´rio a 1 No¸˜es preliminares co 3 1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Opera¸˜es com conjuntos . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Rela¸˜es . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Rela¸˜o de equivalˆncia . . . ca e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Fun¸˜es . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6 Opera¸˜es . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.7 Os Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.8 Opera¸˜es aritm´ticas em Zn co e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Grupos 12 2.1 Defini¸˜o e exemplos . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Propriedades de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Produto Cartesiano de grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Grupos de permuta¸˜es . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5 Grupos de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6 Grupos c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.7 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.8 Classes laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.9 Subgrupos normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.10 Grupo quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.11 Homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 An´is e 28 3.1 Defini¸˜o e exemplos . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Os an´is Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . 30 3.3 Produto Direto de An´is . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . 31 3.4 Propriedades de an´is. . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . 31 3.5 Suban´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . 33 3.6 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7 Homomorfismos de an´is . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . 37 3.8 N´cleo de um homomorfismo . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 37 3.9 Anel Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.10 O Teorema do Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.11 O corpo de fra¸˜es . . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . 42 3.12 Anel de polinˆmios . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 43 3.13 Ideais principais e m´ximo divisor comum a . . . . . . . . . . . . 46 3.14 Polinˆmios irredut´ o ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.15 Fatora¸ao em polinˆmios irredut´ c˜ o ıveis . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.16 Polinˆmios sobre os inteiros . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 51 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ´ Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2
  • 3. 1 No¸˜es preliminares co Faremos aqui uma r´pida explana¸˜o a respeito dos conceitos matem´ticos necess´rios para o a ca a a desenvolvimento dos conte´dos que vir˜o a seguir. u a 1.1 Conjuntos Denotaremos os conjuntos por letras mai´sculas e seus elementos por letras latinas min´sculas. u u As nota¸˜es abaixo s˜o utilizadas para os conjuntos num´ricos: co a e Z = {0, ±1, ±2 · · · } o conjunto dos n´meros inteiros; u N = {0, 1, 2, 3, . . . } o conjunto dos n´meros naturais; u a Q = { | a, b ∈ Z, b = 0} o conjunto dos n´meros racionais; u b R o conjunto dos n´meros reais, que consiste dos n´meros racionais e dos irracionais; u u C = {a + bi | a, b ∈ R, i2 = −1} o conjunto dos n´meros complexos. u Se A ´ um conjunto de n´meros, denotamos por A∗ ao conjunto A sem o zero. Por exemplo e u N∗ = {1, 2, 3, . . . }. Podemos tamb´m representar um conjunto colocando seus elementos entre chaves. Por exemplo, e {a, b, c}, B = {0, 2, 4, ..., 2n, ...}, P = {x ∈ B | x > 5}. Escrevemos a ∈ A para indicar que a pertence ao conjunto A e a ∈ A quando a n˜o pertence ao / a conjunto A. Exemplo 1.1 Para o conjunto A = {−1, 0, 1} temos: −1 ∈ A, 2 ∈ A, 0 ∈ A, .... / O conjunto vazio ´ o unico conjunto que n˜o cont´m elementos. Denotamos o conjunto vazio e ´ a e por { }, ou por ∅. Um conjunto ´ unit´rio se possui apenas um elemento. Por exemplo, A = {a} e B = {x ∈ e a Z|x 2 = 0} s˜o conjuntos unit´rios. a a Conjunto universo: ´ o conjunto que cont´m todos os elementos que est˜o sendo considerados. e e a Por exemplo, na Geometria Euclidiana Plana, o conjunto universo ´ o plano euclidiano. e Um conjunto A ´ subconjunto de um conjunto B quando todos os elementos de A pertencem a e B. Neste caso dizemos tamb´m que A est´ contido em B ou que B cont´m A. e a e Nota¸˜o: A ⊆ B. ca Para qualquer conjunto A, temos ∅ ⊆ A e A ⊆ A. Estes dois subconjuntos s˜o denominados a de subconjuntos triviais de A. O conjunto A ´ um subconjunto pr´prio de B se A ⊆ B e A = B. e o Nota¸˜o: A ⊂ B. ca Exemplo 1.2 Para A = {−1, 0, 1} e B = {−3, −2, −1, 0, 1, 2} temos A ⊂ B. Neste caso, tamb´m ´ e e correto escrever A ⊆ B. 3
  • 4. Dois conjuntos A e B s˜o iguais quando tˆm exatamente os mesmos elementos. A igualdade de a e conjuntos ´ denotada por A = B. e Exemplo 1.3 Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {x ∈ N | x ≤ 2}, podemos verificar que A e B possuem os mesmos elementos. Logo, indicamos isto por A = B. 1.2 Opera¸oes com conjuntos c˜ Para os conjuntos vamos considerar as opera¸˜es de uni˜o, intersec¸˜o e diferen¸a de conjuntos. co a ca c Para A e B conjuntos definimos: A uni˜o: ´ o conjunto A ∪ B dos elementos que pertencem a A ou a B. a e A intersec¸˜o: ´ o conjunto A ∩ B dos elementos que pertencem a ambos. ca e A diferen¸a entre A e B ´ o conjunto A − B formado pelos elementos que pertencem a A, mas c e n˜o pertencem a B. a Dois conjuntos A e B s˜o disjuntos quando A ∩ B = ∅. a Propriedades das opera¸˜es com conjuntos. : co Propriedades da uni˜o: a A ∪ A = A [Idempotˆncia] e A ∪ B = B ∪ A [Comutatividade] (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) [Associatividade] A ∪ ∅ = A [Elemento neutro] Propriedades da intersec¸˜o: ca A ∩ A = A [Idempotˆncia] e A ∩ B = B ∩ A [Comutatividade] (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) [Associatividade] A ∩ ∅ = ∅ [Elemento absorvente] Propriedades distributivas: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Propriedades de absor¸˜o e diferen¸a: ca c A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A A−B =A∩B Exerc´ ıcio 1.1 Verificar as propriedades das opera¸˜es com conjuntos. co 1.3 Rela¸˜es co O produto cartesiano do conjunto A com o conjunto B ´ o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) e tais que a ∈ A e b ∈ B. Assim, A × B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}. O produto cartesiano pode ser generalizado para uma fam´ de conjuntos: ılia A1 × A2 × · · · × An = {(a1 , a2 , . . . , an ) | ai ∈ Ai } 4
  • 5. Uma rela¸ao de A em B ´ um subconjunto de A × B. c˜ e Para uma rela¸˜o R, algumas vezes escrevemos xRy no lugar de (x, y) ∈ R. No caso da rela¸˜o ca ca de ordem ≤ no conjunto dos n´meros reais R, temos que R = {(x, y) ∈ R×R | x ´ menor ou igual a y}, u e contudo, usualmente denotamos esta rela¸˜o por “x ≤ y” e n˜o por “(x, y) ∈ R”. ca a Uma rela¸˜o em um conjunto A ´ um subconjunto R do produto cartesiano A × A. Dizemos ca e que a rela¸˜o R ´: ca e (i) reflexiva quando, para todo a ∈ A, aRa; (ii) sim´trica quando, para todos a, b ∈ A, se aRb, ent˜o bRa; e a (iii) transitiva quando, para todos a, b, c ∈ A, se aRb e bRc, ent˜o aRc; a (iv) anti-sim´trica quando, para todos a, b ∈ A, se aRb e bRa, ent˜o a = b. e a Exemplo 1.4 A rela¸˜o R = {(a, b) ∈ R | a ≤ b} ´ usualmente denotada por a ≤ b, e ´ reflexiva, ca e e transitiva e anti-sim´trica. e 1.4 Rela¸˜o de equivalˆncia ca e Uma rela¸˜o de equivalˆncia sobre um conjunto A ´ uma rela¸˜o que ´ reflexiva, sim´trica e transitiva. ca e e ca e e Exemplo 1.5 A rela¸˜o de igualdade em qualquer conjunto ´ sempre uma rela¸˜o de equivalˆncia. ca e ca e Exemplo 1.6 A semelhan¸a de triˆngulos ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia. c a e ca e Dada uma uma rela¸˜o de equivalˆncia R em um conjunto A e a ∈ A, o conjunto [a] = {x ∈ ca e A | xRa} ´ a classe de equivalˆncia de a. e e Exemplo 1.7 Se A = {1, 2, 3} e R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}, ent˜o R ´ uma rela¸˜o de a e ca equivalˆncia e as suas classes de equivalˆncia s˜o dadas por: [1] = {1, 2}, [2] = {1, 2} e [3] = {3}. e e a Teorema 1.1 Seja R uma rela¸˜o de equivalˆncia em um conjunto A. Ent˜o: ca e a (i) duas classes de equivalˆncia s˜o iguais ou disjuntas; e a (ii) o conjunto A ´ a uni˜o de todas as classes de equivalˆncia. e a e Demonstra¸˜o: Fica como exerc´ ca ıcio. Quando R ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia em um conjunto A, o conjunto quociente de A pela e ca e rela¸˜o R ´ o conjunto das classes de equivalˆncia de R: A|R = {[a] | a ∈ A} = {B ∈ P(A) | B = ca e e [a], para algum a ∈ A}. Exemplo 1.8 No exemplo anterior, A|R = {[1], [3]}. 1.5 Fun¸oes c˜ Uma fun¸˜o f de A em B ´ uma rela¸˜o de A em B tal que para cada x ∈ A existe um unico y ca e ca ´ satisfazendo (x, y) ∈ f . Neste caso dizemos que A ´ o dom´ e ınio de f , B ´ o contradom´ e ınio de f e a imagem de f ´ o conjunto Im(f ) = {b ∈ B | b = f (a) para algum a ∈ A} e Em geral, denotamos uma fun¸˜o f de A em B por f : A −→ B. Esta nota¸˜o indica que f ´ ca ca e uma fun¸˜o, A ´ o dom´ ca e ınio da f e B o contradom´ ınio. 5
  • 6. Exemplo 1.9 Para um conjunto A, iA : A → A ´ a fun¸˜o identidade em A que ´ definida por e ca e iA (x) = x, para todo x ∈ A. Uma fun¸˜o f ´ sobrejetiva quando Im(f ) = B. A fun¸˜o f ´ injetiva quando, para x, z ∈ A, ca e ca e se x = z, ent˜o f (x) = f (z). Uma fun¸˜o ´ bijetiva quando ´ injetiva e sobrejetiva. a ca e e 1.6 Opera¸oes c˜ Uma opera¸˜o em um conjunto A ´ uma fun¸˜o f : A × A → A. Assim, uma opera¸˜o em A associa ca e ca ca a cada par de elementos de A, um elemento de A. Exemplos 1.10 a) A adi¸˜o ´ uma opera¸˜o em R, pois a soma de n´meros reais ´ um n´mero real. ca e ca u e u Do mesmo modo, a adi¸˜o ´ uma opera¸˜o em Z, Q, R e C. ca e ca b) Tamb´m a multiplica¸˜o ´ uma opera¸ao em N, Z, Q, R e C. e ca e c˜ c) A subtra¸˜o n˜o ´ uma opera¸˜o N, pois 0 ∈ N e 1 ∈ N, mas 0 − 1 ∈ N. Mas a subtra¸˜o ´ uma ca a e ca / ca e opera¸˜o nos conjuntos Z, Q, R e C. ca d) No conjunto das matrizes quadradas de ordem n, a adi¸˜o e o produto de matrizes s˜o opera¸˜es. ca a co Assim como na adi¸˜o e na multiplica¸˜o, podemos denotar uma opera¸˜o gen´rica por um ca ca ca e s´ ımbolo que indica a opera¸˜o. Por exemplo, se f : A × A → A ´ uma opera¸˜o, podemos denotar ca e ca esta opera¸˜o pelo s´ ca ımbolo “∗”, escrevendo a ∗ b em lugar de f (a, b). Propriedades de opera¸˜es. Seja “∗” uma opera¸˜o em um conjunto A. co ca Propriedade associativa: a opera¸˜o ´ associativa se para quaisquer x, y, z ∈ A, tem-se que x ∗ (y ∗ z) = ca e (x ∗ y) ∗ z. Propriedade comutativa: a opera¸˜o ´ comutativa quando para todos x, y ∈ A, tem-se que x∗y = y ∗x. ca e Elemento Neutro: o conjunto A possui elemento neutro e ∈ A para a opera¸˜o, quando para todo ca x ∈ A tem-se que x ∗ e = x = e ∗ x. Elemento Invert´ ıvel: um elemento x de A ´ invert´ e ıvel, segundo a opera¸˜o, quando existe x ∈ A tal ca que x ∗ x = e = x ∗ x, onde e ´ o elemento neutro de A em rela¸˜o ` opera¸˜o. e ca a ca Lei do Cancelamento: para a opera¸˜o vale a lei do cancelamento se para todos x, y, z ∈ A tem-se ca que: x ∗ y = x ∗ z ⇒ y = z e y ∗ x = z ∗ x ⇒ y = z. Propriedade Distributiva: sejam “∗” e “ # ” duas opera¸˜es em A. A opera¸˜o “#” ´ distributiva em co ca e rela¸˜o a “∗” quando, para todos x, y, z ∈ A, valem: ca x#(y ∗ z) = (x#y) ∗ (x#z) e (y ∗ z)#x = (y#x) ∗ (z#x). Exemplos 1.11 a) As opera¸oes usuais de adi¸˜o e multiplica¸˜o de n´meros reais s˜o associativas e comutativas. c˜ ca ca u a b) A subtra¸˜o n˜o ´ associativa nem comutativa: (9 − 3) − 5 = 1 = 7 = 9 − (5 − 3) e 4 − 2 = 2 = ca a e −2 = 2 − 4. c) A adi¸˜o e a multiplica¸˜o de matrizes reais n × n s˜o associativas. A adi¸˜o ´ comutativa, mas ca ca a ca e 1 1 1 0 2 0 a multiplica¸˜o n˜o. Por exemplo, no caso de matrizes 2 × 2, ca a = e 0 0 1 0 0 0 6
  • 7. 1 0 1 1 1 1 = . 1 0 0 0 1 1 Exerc´ıcio 1.2 Verifique que: a) A composi¸ao de fun¸˜es de R em R ´ associativa. c˜ co e b) A potencia¸˜o em N n˜o ´ associativa, nem comutativa. ca a e ∗ n˜o ´ associativa, nem comutativa. c) A divis˜o em R a e a Exemplos 1.12 (a) Os n´meros 0 e 1 s˜o respectivamente os elementos neutros para a adi¸ao e u a c˜ multiplica¸˜o em N, Z, Q, R e C. ca (b) A adi¸˜o de matrizes em Mm×n (R) tem como elemento neutro a matriz nula m × n. ca (c) A subtra¸˜o n˜o tem elemento neutro em Z: 2 − a = 2 ⇒ a = 0; a − 2 = 2 ⇒ a = 4. ca a Exemplos 1.13 (a) Todo n´mero inteiro tem seu inverso aditivo em Z: n + (−n) = −n + n = 0. u (b) O n´mero 2 n˜o ´ um elemento invert´ para a multiplica¸˜o em Z, pois n˜o existe n ∈ Z tal u a e ıvel ca a que 2n = 1. Exerc´ ıcios 1.3 a) Mostrar que se uma opera¸˜o * admite elemento neutro, ent˜o ele ´ unico. ca a e´ b) Indicar os elementos neutros para a adi¸˜o e para a multiplica¸˜o de matrizes reais 2 × 2. ca ca c) Seja * uma opera¸˜o associativa e com elemento neutro. Mostrar que se x tem inverso segundo *, ca ent˜o ele ´ unico (e o denotamos aqui por x ). a e´ d) Seja * uma opera¸˜o com elemento neutro. Mostrar que: ca (i) se x ´ invert´ e ıvel, ent˜o x tamb´m ´ invert´ e (x ) = x; a e e ıvel (ii) se * ´ associativa e x, y ∈ A s˜o invert´ e a ıveis, ent˜o (x ∗ y) ´ invert´ e (x ∗ y) = y ∗ x . a e ıvel e) Seja * uma opera¸˜o com elemento neutro num conjunto A. Mostrar que A tem pelo menos um ca elemento invert´ ıvel. Exemplos 1.14 (a) Para a adi¸˜o em Z, vale a lei do cancelamento. ca (b) Para a multiplica¸˜o em R, n˜o vale a lei do cancelamento, pois 0 · 3 = 0 · 4, contudo 3 = 4. ca a Exerc´ıcio 1.4 Seja * uma opera¸˜o associativa e com elemento neutro. Mostrar que se x ´ invert´ ca e ıvel, ent˜o podemos cancelar x, isto ´, mostrar que se a ∗ x = b ∗ x ent˜o a = b. a e a Exemplos 1.15 a) Em R, a multiplica¸˜o ´ distributiva em rela¸ao ` adi¸˜o. ca e c˜ a ca b) Em Mn (R), a multiplica¸˜o ´ distributiva em rela¸ao ` adi¸˜o. ca e c˜ a ca 1.7 Os Inteiros N˜o pretendemos aqui fazer um desenvolvimento da Teoria dos N´meros que seria desej´vel a u a em um curso de gradua¸˜o. Nosso objetivo ´ apresentar conceitos e resultados necess´rio para tratar ca e a de conte´dos que vir˜o mais adiante. Esses resultados e conceitos s˜o encontrados em textos de u a a Teoria dos N´meros, como por exemplo em [Nascimento & Feitosa]. u Vamos considerar o conjunto dos inteiros, com as opera¸˜es de adi¸˜o e multiplica¸˜o satisfa- co ca ca zendo propriedades: 7
  • 8. Adi¸˜o. Para quaisquer a, b, c ∈ Z valem as propriedades: ca a) Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c; b) Comutativa: a + b = b + a; c) Elemento neutro (zero): a + 0 = 0 + a = a; d) Inverso: −a ∈ Z e (−a + a = a + (−a) = 0; Multiplica¸˜o. Para quaisquer a, b, c ∈ Z valem as propriedades: ca a) Associativa: a(bc) = (ab)c; b) Comutativa: ab = ba; c) Elemento neutro (um): a · 1 = 1 · a = a; d) Distributiva: a(b + c) = ab + ac; e) Multiplica¸˜o por zero: 0a = 0; ca f) Produto nulo: ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0; g) Regra do sinal: (−a)b = a(−b) = −(ab) e (−a)(−b) = ab; h) Desigualdades: a < b ⇔ a + c < b + c; a < b e c > 0 ⇒ ac < bc; a < b e c < 0 ⇒ ac > bc. Estaremos denotando a multiplica¸˜o de a por b por ab ou a · b. ca Princ´ ıpio da boa ordena¸˜o: Todo conjunto n˜o vazio de n´meros naturais possui um me- ca a u nor elemento. Isto ´, se S ⊆ N e S = ∅, ent˜o existe s ∈ S tal que s ≤ n para todo n ∈ S. e a Primeiro princ´ ıpio de indu¸˜o: Seja m ∈ N e seja P (n) uma proposi¸˜o para n ∈ N, sa- ca ca tisfazendo: a) P (m) ´ verdadeira; e b) Se n ≥ m e P (n) ´ verdadeira ent˜o P (n + 1) ´ verdadeira. e a e Ent˜o P (n) ´ verdadeira para todo n ∈ N com n ≥ m. a e Segundo princ´ ıpio de indu¸˜o: Seja m ∈ N e seja P (n) uma proposi¸˜o para n ∈ (N ), ca ca satisfazendo: a) P (m) ´ verdadeira; e b) Para cada n ∈ N com n > m, se P (r) ´ verdadeira para todo r ∈ N onde m ≤ r < n ent˜o P (n) ´ e a e verdadeira. Ent˜o P (n) ´ verdadeira para todo n ∈ N com n ≥ m. a e O principio da boa ordena¸˜o e os princ´ ca ıpios de indu¸˜o s˜o equivalente, isto ´, a partir de ca a e um deles podemos demonstrar os outros dois. A equivalˆncia ´ verificada da seguinte forma: (boa e e ordena¸˜o ⇒ 2 ca o Princ´ ıpio de Indu¸˜o ⇒ 1 ca o Princ´ıpio de Indu¸˜o ⇒ boa ordena¸˜o) e pode ser ca ca encontrada, por exemplo em [Nascimento & Feitosa]. Propriedade arquimediana de Z: Se a e b s˜o inteiros e com a = 0, ent˜o: a a a) ∃d ∈ Z tal que da > b; 8
  • 9. b) ∃e ∈ Z tal que ea < b. Divisibilidade: Para a e b inteiros, dizemos que a divide b, ou que a ´ um divisor de b, se b e ´ um m´ltiplo inteiro de a. e u Nota¸˜o: a | b ⇔ b = na para algum n ∈ Z. ca Propriedades da divisibilidade. Para quaisquer a, b, c inteiros, valem: a) a | a, 1 | a e a | 0; b) a | b ⇒ a | bc; c) a | b ⇒ a | bn ∀n ∈ N, n ≥ 1; d) a | b e a | c ⇒ a | (b + c); e) a | b e a | (b + c) ⇒ a | c; f) a | b e a | c ⇒ a | (rb + sc), para quaisquer r e s inteiros; g) a | b e b > 0 ⇒ a ≤ b; h) ab = 1 ⇒ a = b = 1 ou a = b = −1; i) a | b e b | a ⇒ a = b ou a = −b. Se a1 , a2 , . . . , an s˜o inteiros tais que a | ai , para todo i, ent˜o, aplicando indu¸˜o e o ´ a a ca ıtem (d) das propriedades acima, prova-se que p | (a1 + a2 + . . . + an ). O algoritmo da divis˜o: Dados n e d inteiros com d > 0 ent˜o existem unicos inteiros q e a a ´ r tais que n = qd + r e 0 ≤ r < d. O m´ximo divisor comum: Dados a e b inteiros n˜o ambos nulos, o m´ximo divisor co- a a a mum de a e b ´ um inteiro positivo d satisfazendo: e a) d | a e d | b; b) se c ´ um inteiro tal que c | a e c | b ent˜o c | d. e a Nota¸˜o: d = mdc(a, b) ca O conceito de m´ximo divisor comum pode ser estendido para um conjunto finito de inteiros, a sendo nem todos nulos: O inteiro positivo d ´ o m´ximo divisor comum de a1 , a2 , . . . , an se: e a a) d | ai para todo i; b) se c ´ um inteiro e c | ai para todo i ent˜o c | d. e a Nota¸˜o: d = mdc(a1 , a2 , . . . , an ) ca Os inteiros a1 , a2 , . . . an s˜o relativamente primos ou primos entre s´ quando a ı mdc(a1 , a2 , . . . , an ) = 1. Propriedades do m´ximo divisor comum. Para a, b ∈ Z, temos: a a) se d = mdc(a, b) ent˜o d ´ o menor inteiro positivo da forma ra + sb, para r e s inteiros; a e b) se, para r, s ∈ Z, ra + sb = 1 ent˜o mdc(a, b) = 1; a a1 a2 an c) se d = mdc(a1 , a2 , . . . , an ) ent˜o mdc( , , . . . , ) = 1. a d d d N´ meros primos: Um inteiro p > 1 ´ primo se seus unicos divisores positivos s˜o p e 1. u e ´ a 9
  • 10. O Teorema Fundamenta da Aritm´tica: Todo inteiro n > 1 se escreve de modo unico e ´ como produto de primos, no seguinte sentido: n = pr1 pr2 · · · prt onde p1 < p2 < · · · < pt s˜o primos, e t, r1 , r2 , . . . , rt s˜o inteiros positivos. 1 2 t a a Propriedades de n´ meros primos. Se p ´ um n´mero primo, ent˜o: u e u a a) se p divide um produto de inteiros, ent˜o divide pelo menos um deles; a b) se n ´ um inteiro positivo menor que p ent˜o p n; e a c) se p n ent˜o mdc(n, p) = 1; a d) se a e b s˜o inteiros e p | ab mas p2 ab ent˜o p divide somente um dos dois n´meros. a a u 1.8 Opera¸oes aritm´ticas em Zn c˜ e Sejam a, b, n ∈ Z e n > 1. A rela¸˜o “a ´ congruente a b m´dulo n”, denotada por a ≡ b(mod n) ´ ca e o e definida por: a ≡ b(mod n) ⇔ n|a − b (⇔ a − b = q · n para algum q ∈ Z). Exemplo 1.16 Temos 5 ≡ 2(mod 3), 7 ≡ −1(mod 4), −1 ≡ 13(mod 7) e 31 ≡ 31(mod 77). A congruˆncia m´dulo n ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia, pois: e o e ca e - para todo a ∈ Z, temos que a − a = 0 = 0 · n, isto ´, a ≡ a(mod n) e, portanto, a rela¸˜o ´ reflexiva; e ca e - para todos a, b ∈ Z, se a ≡ b(mod n), ent˜o a − b = c · n e, portanto, b − a = −(a − b) = −c · n. a Logo, b ≡ a(mod n) e, portanto, a rela¸˜o ´ sim´trica; ca e e - para todos a, b, c ∈ Z, se a ≡ b(mod n) e b ≡ c(mod n), ent˜o a − b = d · n e b − c = e · n. Logo, a a − c = a − b + b − c = d · n + e · n = (d + e) · n. Portanto, a ≡ c(mod n) e a rela¸˜o ´ transitiva. ca e Vamos determinar o conjunto quociente de Z pela congruˆncia m´dulo n: e o Pelo algoritmo da divis˜o, para cada m ∈ Z existem unicos quociente e resto q, r ∈ Z, com 0 ≤ r < n a ´ tais que m = qn + r. Assim, m − r = qn, ou seja, m ≡ r(mod n). Desse modo, para cada m ∈ Z, existe um unico r ∈ {0, 1, . . . , n − 1} tal que m ≡ r(mod n). Tamb´m, se 0 ≤ r < s < n ent˜o ´ e a 0 < s − r ≤ s < n, ou seja, r e s n˜o s˜o congruentes m´dulo n. Denotando a classe de equivalˆncia a a o e de a ∈ Z por a, temos que a ∈ {0, 1, ¯ ¯ ¯ ¯ · · · , n − 1}. Como r = s se 0 ≤ r = s < n ent˜o o conjunto ¯ ¯ a quociente de Z pela congruˆncia ´ um conjunto com n elementos: e e Zn = {¯ ¯ · · · , n − 1}. 0, 1, Opera¸˜es aritm´ticas em Zn : para a, ¯ ∈ Zn , definimos: co e ¯ b a+¯ = a+b ¯ b e a·¯= a·b ¯ b Precisamos verificar que as opera¸˜es acima est˜o bem definidas, isto ´, se a = ¯ e c = d ent˜o co a e ¯ b ¯ ¯ a a + c = ¯ + d e a · c = ¯ · d, ou seja, mostrar que a + b = c + d e a · c = b · d. Como duas classes ¯ ¯ b ¯ ¯ ¯ b ¯ x e y s˜o iguais se, e somente se, x ≡ y(mod n), ent˜o basta mostrar que a + c ≡ b + d(mod n) e ¯ ¯ a a a · c ≡ b · d(mod n). Isto ser´ feito na proposi¸˜o a seguir. a ca Proposi¸˜o 1.2 Sejam a, b, c, d, n ∈ Z, com n > 1. Ent˜o: ca a (i) Se a ≡ b(mod n), ent˜o a + c ≡ b + c(mod n); a (ii) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n), ent˜o a + c ≡ b + d(mod n); a 10
  • 11. (iii) Se a ≡ b(mod n), ent˜o a · c ≡ b · c(mod n); a (iv) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n), ent˜o a · c ≡ b · d(mod n); a Demonstra¸˜o: (i) Se a ≡ b(mod n), ent˜o n|(a − b) = (a + c − c − b) = [(a + c) − (b + c)]. Portanto, ca a a + c ≡ b + c(mod n); (ii) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n), por (i), temos que a + c ≡ b + c(mod n) e b + c ≡ b + d(mod n). Pela transitividade da rela¸˜o ≡, a + c ≡ b + d(mod n). ca Exerc´ ıcio 1.5 Completar a demonstra¸˜o da Proposi¸˜o 1.2. ca ca Como a = r, onde r ´ o resto da divis˜o de a por n, podemos ent˜o definir as opera¸˜es de ¯ ¯ e a a co adi¸˜o e multiplica¸˜o em Zn = {¯ ¯ · · · , n − 1} por: ca ca 0, 1, a + ¯ = c e a · ¯ = d, onde c e d s˜o, respectivamente os restos das divis˜es de a + b e a · b por n. ¯ b ¯ b ¯ ¯ a o Exemplo 1.17 Em Z15 temos 10 + 10 = 5; 3 + 7 = 10; 6 + 12 = 3; 5·5 = 10; 10·6 = 0. Propriedades das opera¸oes em Zn . Sejam a, b, c ∈ Zn Ent˜o: c˜ a a) Fechamento. a + b ∈ Zn e a·b ∈ Zn b) Comutativa. a + b = b + a e a·b = b·a c) Associativa. a + (b + c) = (a + b) + c e a·(b·c) = (a·b)·c d) Distributiva. a·(b + c) = a·b + a·c e (a + b)·c = a·c + b·c e) Neutro para a adi¸˜o. a + 0 = 0 + a = a ca f) Neutro para a multiplica¸˜o. 1·a = a·1 = a ca g) Multiplica¸˜o por zero. 0·a = a·0 = 0 ca h) Inverso aditivo. a + n − a = n − a + a = 0, se 0 < a < n e 0 + 0 = 0 Demonstra¸˜o: a) Segue das defini¸˜es das opera¸˜es. ca co co b) Tamb´m seguem das defini¸˜es das opera¸˜es, pois a + b = b + a e a·b = b·a. e co co c) a + (b + c) = a + d = e e (a + b) + c = f + c = g onde d, e, f , e g s˜o respectivamente os restos das a divis˜es de b + c, a + d, a + b e f + c por n. Assim, existem n´meros naturais q1 , q2 , q3 e q4 tais que: o u (1) b + c = q1 n + d (2) a + d = q2 n + e (3) a + b = q3 n + f (4) f + c = q4 n + g De (1) e (2) temos a + (b + c) = a + (q1 n + d) = q1 n + (a + d) = q1 n + (q2 n + e). Logo, a + b + c = (q1 + q2 )n + e, ou seja, e ´ o resto da divis˜o de a + b + c por n. e a De (3) e (4) temos (a + b) + c = (q3 n + f ) + c = q3 n + (f + c) = q3 n + (q4 n + g). Logo, a + b + c = (q3 + q4 )n + g, ou seja, g ´ o resto da divis˜o de a + b + c por n. e a Da unicidade do resto da divis˜o, temos que e = g. Assim, a + (b + c)= e = g = (a + b) + c. De modo a an´logo, mostramos a · (b · c) = (a · b) · c. a Exerc´ ıcio 1.6 Prove as demais propriedades das opera¸oes em Zn . c˜ Podemos fazer tabelas para a adi¸˜o e para a multiplica¸˜o em Zn . Por exemplo, para Z4 temos: ca ca + 0 1 2 3 · 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 1 2 3 0 1 0 1 2 3 2 2 3 0 1 2 0 2 0 2 3 3 0 1 2 3 0 3 2 1 Olhando para a tabela da adi¸˜o vemos que os inversos aditivos de 1, 2 e 3 s˜o, respectiva- ca a mente, 3 , 2 e 1. Na tabela da multiplica¸˜o vemos que os inversos multiplicativos de 1 e 3 s˜o, ca a ¯ e ¯ n˜o tem inversos multiplicativos. respectivamente, 1 e 3, e que 0 2 a 11
  • 12. 2 Grupos ´ O conceito de grupo surgiu dos estudos de Evariste Galois com equa¸˜es de polinˆmios, em co o 1832. Embora Galois tenha utilizado a id´ia de grupo em todo o seu trabalho com equa¸˜es, ele n˜o e co a havia dado explicitamente uma defini¸˜o. A defini¸˜o aparece na publica¸˜o do trabalho de Galois, ca ca ca feita por Liouville em 1846. Um ano antes, Cauchy apresentou o conceito, chamando-o de “sistema conjugado de substitui¸˜es”. Durante algum tempo, esses dois termos “grupo” e “sistema conjugado co de substitui¸˜es” foram utilizados. Contudo, em 1863, quando Jordan escreveu um coment´rio a co a respeito do trabalho de Galois, no qual ele usou o termo “grupo”, este passou a ser o termo utilizado, embora o termo “sistema conjugado de substitui¸˜es” tamb´m tenha sido utilizado por alguns at´, co e e por volta de 1880. Tanto Galois como Cauchy definiam grupos somente em termos de propriedade de fechamento, n˜o aparecendo a associatividade e os elementos neutro e inverso. Ambos trabalhavam a com permuta¸˜es e, neste caso, essas propriedades surgiam automaticamente. Aos poucos, a partir co de trabalhos de outros matem´ticos como Cayley, Kronecker, Burnside, e Heinrich Weber, a defini¸˜o a ca de grupos, como a conhecemos, ficou estabelecida. Do estudo de opera¸˜es com n´meros inteiros, podemos ressaltar algumas propriedades da co u adi¸˜o. Para quaisquer a, b, c em Z valem: ca G0) a + b ∈ Z; (Fechamento) G1) a + (b + c) = (a + b) + c; (Associativa) G2) 0 ∈ Z e a + 0 = 0 + a = a; (Elemento neutro da adi¸˜o) ca G3) −a ∈ Z e a + (−a) = −a + a = 0. (Elemento inverso da adi¸˜o) ca Se em lugar de Z tomarmos Q , R, C , ou Mm×n (R) (o conjunto das matrizes reais m × n), as propriedades acima permanecem v´lidas. In´meros outros conjuntos e opera¸˜es satisfazem estas a u co quatro propriedades que s˜o importantes no estudo de algumas teorias matem´ticas, qu´ a a ımicas e f´ ısicas. Isso, de certa forma, justifica um estudo gen´rico de conjuntos com uma opera¸˜o satisfazendo estas e ca propriedades, muito embora a origem da Teoria dos Grupos esteja nos trabalhos de Galois, a respeito de resolubilidade de equa¸˜es polinomiais em termos de permuta¸˜es de suas ra´ co co ızes. 2.1 Defini¸˜o e exemplos ca Defini¸˜o 2.1 Sejam G um conjunto n˜o vazio e “∗” uma opera¸˜o em G, isto ´, existe uma fun¸˜o ca a ca e ca f : G × G → G onde f (a, b) = a ∗ b. Dizemos que (G, ∗) ´ um grupo se as seguintes condi¸oes s˜o e c˜ a satisfeitas: G1) Para quaisquer a, b, c ∈ G, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c; (Propriedade associativa) G2) Existe e ∈ G tal que para todo a ∈ G, a ∗ e = e ∗ a = a; (Elemento neutro) G3) Para todo a ∈ G existe b ∈ G tal que a ∗ b = b ∗ a = e. (Elemento Inverso) Observe que se a, b ∈ G ent˜o a ∗ b ∈ G pois “∗ ” ´ uma opera¸˜o em G. a e ca Exemplos 2.1 (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +), (Zn , +), (R∗ , ·), (Q∗ , ·), (C∗ , ·), ({1, −1}, ·), ({1, −1, i, −i}, ·), s˜o grupos, onde A∗ significa o conjunto A sem o zero, indicando tamb´m que ´ a e e um grupo multiplicativo. Vamos denotar por Z, Q, R e C esses grupos aditivos e por Q ∗ , R∗ , e C∗ os grupos multiplicativos. Exemplo 2.2 (N, +) n˜o ´ um grupo pois 2 ∈ N mas n˜o existe n ∈ N tal que 2 + n = 0. a e a 12
  • 13. Exemplo 2.3 (Z, −) n˜o ´ um grupo, pois n˜o satisfaz nenhuma das condi¸˜es G1, G2 e G3. a e a co Exemplo 2.4 (R, ·) n˜o ´ um grupo, pois 0 ∈ R , mas n˜o existe r ∈ R tal que 0r = 1. Logo, n˜o a e a a satisfaz a condi¸˜o G3. Da mesma forma, (Q, ·) e (C, ·) n˜o s˜o grupos. ca a a Exemplo 2.5 ({−1, 0, 1}, +) n˜o ´ um grupo, apesar de estarem satisfeitas as condi¸oes G1, G2 e a e c˜ G3, pois “+” n˜o ´ uma opera¸˜o em {−1, 0, 1}: 1 ∈ {−1, 0, 1} mas 1 + 1 = 2 ∈ {−1, 0, 1}. a e ca / Exemplo 2.6 Para m e n inteiros positivos, o conjunto das matrizes reais m × n, Mm×n (R) ´ um e grupo com a opera¸˜o de adi¸ao de matrizes. ca c˜ Quest˜o: (M2×2 (R)∗ , ·) o conjunto das matrizes reais n˜o nulas 2 × 2 ´ um grupo com a opera¸˜o de a a e ca multiplica¸˜o de matrizes? ca 2.2 Propriedades de grupos Na teoria de grupos, em geral, usa-se a nota¸˜o multiplicativa, isto ´, usa-se a · b ou ab para ca e denotar a ∗ b e a −1 para denotar um inverso de a. Para o elemento neutro usa-se a letra “e”. Assim, para a defini¸˜o de grupos, a nota¸˜o fica: ca ca G0) para todos a, b em G, ab ∈ G; G1) para todos a, b, c ∈ G, a(bc) = (ab)c; G2) existe e em G tal que para todo a em G, ae = ea = a; G3) para todo a em G, existe a−1 em G tal que aa−1 = a−1 a = e. Observa¸˜o: Em vista da propriedade associativa (G1), podemos eliminar os parˆnteses: ca e abc = a(bc) = (ab)c. Propriedades: Se G ´ um grupo, ent˜o: e a a) o elemento neutro de G ´ unico; e´ b) para todos a, b, c ∈ G, se ac = bc ou ca = cb ent˜o a = b; a c) para cada a ∈ G, o inverso de a ´ unico e ´ denotado por a−1 ; e´ e d) para todos a, b ∈ G, se ab = e ou ba = e ent˜o b = a−1 ; a e) para todo a ∈ G, (a −1 )−1 = a; f) para todos a, b ∈ G, (ab)−1 = b−1 a−1 . Demonstra¸˜o: a) Suponhamos e e e elementos neutros de G. Ent˜o e = ee = e . Logo existe um ca a unico elemento neutro. ´ b) Se ac = bc ent˜o acc−1 = bcc−1 , logo ae = be e portanto a = b. O caso ca = cb ´ an´logo. a e a c) Segue de (b). d) Se ab = e, seja a−1 o inverso de a. Como aa−1 = e = ab ent˜o aa−1 = ab. Logo, por (b), a−1 = b. a O caso ba = e ´ an´logo. e a e) Como a −1 (a−1 )−1 = e = a−1 a, ent˜o, por (b), (a−1 )−1 = a. a f) Como (ab)(b −1 a−1 ) = a(bb−1 )a−1 = aea−1 = aa−1 = e, ent˜o, por (d), b−1 a−1 = (ab)−1 . a Observe que, nos exemplos dados, todos os grupos satisfazem a propriedade comutativa, isto ´, e ab = ba para todos a e b. Um grupo satisfazendo a propriedade comutativa ´ chamado grupo abeliano e ou grupo comutativo. Veremos, a seguir, que existem grupos que n˜o s˜o abelianos. a a 13
  • 14. Exemplo 2.7 Seja SL2 (R), o conjunto das matrizes reais invert´ ıveis 2 × 2. Das propriedades de multiplica¸˜o de matrizes, vemos que SL2 (R), com esta opera¸ao, ´ um grupo. Mas SL2 (R) n˜o ´ um ca c˜ e a e grupo abeliano, pois 1 1 1 0 2 1 1 0 1 1 1 1 = e = . 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 Generalizando, o conjunto das matrizes n×n invert´ ıveis, n ≥ 2, com a opera¸˜o de multiplica¸˜o ca ca de matrizes, ´ um grupo n˜o abeliano. Tome, por exemplo as matrizes A = (aij ) e B = (bij ) com e a aii = bii = 1; a12 = b21 = 1; e todos os outros elementos das matrizes A e B iguais a zero. Exemplo 2.8 Se G ´ um grupo n˜o abeliano, podemos ter ac = cb com a = b e e a 1 1 0 1 (ab)−1 = a−1 b−1 . Por exemplo, no grupo SL2 (R) se A = , B = e 0 1 1 1 0 −1 1 2 −1 2 C = ent˜o AB = BC = a . Tamb´m, (AB)−1 = e enquanto 1 2 1 1 1 −1 1 −1 −1 1 −2 1 que A−1 B −1 = = . 0 1 1 0 1 0 2.3 Produto Cartesiano de grupos. Se (G, ∗) e (H, ◦) s˜o grupos, ent˜o (G × H, ·) ´ um grupo onde a opera¸˜o “·” ´ definida por a a e ca e ´ f´cil verificar que (G × H, ·) ´ um grupo (g, h) · (g , h ) = (g ∗ g , h ◦ h ) onde g, g ∈ G e h, h ∈ H. E a e com elemento neutro (eG , eH ) onde eG e eH s˜o, respectivamente, os elementos neutros de G e H. a Tamb´m (g, h) e −1 = (g −1 , h−1 ). Verifica-se facilmente que se G e H s˜o grupos abelianos ent˜o G × H a a tamb´m ´ um grupo abeliano. e e Procedendo de maneira an´loga, podemos estender a constru¸˜o acima para o produto cartesiano a ca de um conjunto finito de grupos: G1 × G2 × · · · × Gn . Exemplo 2.9 Temos que Z × SL2 (R) ´ um grupo com a opera¸˜o (a, A)(b, B) = (a + b, AB) onde, e ca na primeira coordenada temos adi¸˜o de inteiros e, na segunda, produto de matrizes. ca Exemplo 2.10 Temos que Z2 × Z2 ´ um grupo abeliano com 4 elementos: {(¯ ¯ (¯ ¯ (¯ ¯ (¯ ¯ e 0, 0), 0, 1), 1, 0), 1, 1)}. 2.4 Grupos de permuta¸oes c˜ Sejam S um conjunto n˜o vazio e P (S) = {f : S → S | f ´ bijetiva}. Temos que P (S) ´ um grupo a e e com a opera¸˜o composi¸˜o de fun¸˜es, pois a composta de fun¸˜es bijetivas ´ uma fun¸˜o bijetiva, a ca ca co co e ca composi¸˜o de fun¸˜es ´ associativa, a aplica¸˜o identidade ´ bijetiva e toda fun¸˜o bijetiva ´ invert´ ca co e ca e ca e ıvel. O conjunto P (S) com a opera¸˜o de composi¸˜o de fun¸˜es, ´ chamado grupo das permuta¸˜es de S. ca ca co e co Denotamos o grupo das permuta¸˜es de {1, 2, ..., n} por Sn . Como a cada fun¸˜o bijetiva de Sn co ca corresponde a uma permuta¸˜o f (1)f (2) · · · f (n) de 1, 2, . . . , n e o n´mero total destas permuta¸˜es ´ ca u co e n!, ent˜o Sn tem n! elementos. a Para n ≥ 3, Sn ´ um grupo n˜o abeliano pois tomando f, g ∈ Sn com f (1) = 2, f (2) = 1, e a f (3) = 3, g(1) = 2, g(2) = 3 e g(3) = 1 temos (f og)(1) = 1 e (gof )(1) = 3, logo, f og = gof . Assim, S3 ´ um exemplo de grupo n˜o abeliano com 6 elementos. e a 14
  • 15. Nota¸˜o: Se f ∈ Sn denotamos f por (1, f (1), f (f (1)), ...)(i, f (i), f (f (i)), ...)..., como nos exemplos ca abaixo. Para f, g, h ∈ S4 tais que f (1) = 3, f (2) = 4, f (3) = 2, f (4) = 1, g(1) = 3, g(2) = 2, g(3) = 1, g(4) = 4, h(1) = 3, h(2) = 4, h(3) = 1, h(4) = 2 denotamos f por (1, 3, 2, 4), g por (1, 3) e h por (1, 3)(2, 4). A justificativa de podermos usar essa nota¸˜o se encontra no livro “T´picos de Algebra” ca o ´ - veja a bibliografia. Assim, os elementos de S3 s˜o: a e (fun¸˜o identidade); ca a = (1, 2, 3); a2 = (1, 2, 3)(1, 2, 3) = (1, 3, 2); a3 = a2 · a = (1, 3, 2)(1, 2, 3) = e = (1, 2, 3)(1, 3, 2) = a · a2 ⇒ a−1 = a2 ; b = (1, 2); b2 = e ⇒ b−1 = b; ab = (1, 2, 3)(1, 2) = (1, 3); ba = (1, 2)(1, 2, 3) = (2, 3). Assim, S3 = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 3)} = {e, a, a2 , b, ab, ba}. Encontre o inverso para cada elemento de S3 . 2.5 Grupos de simetria Vamos tomar um quadrado no plano de v´rtices A, B, C, e D e vamos denotar o quadrado e por ABCD, quando o v´rtice superior esquerdo for A, e os v´rtices B, C, D forem, respectivamente, e e tomados no sentido hor´rio, a partir de A. a Uma rota¸˜o de 90o , no sentido hor´rio, leva cada v´rtice do quadrado no v´rtice seguinte. ca a e e Uma reflex˜o em torno da diagonal tomada do v´rtice esquerdo superior ao v´rtice direito a e e inferior, deixa estes v´rtices fixos e troca os outros dois. e Denotando por σ a rota¸˜o e por τ , a reflex˜o, temos: ca a σ(ABCD) = DABC σ 2 (ABCD) = CDAB σ 3 (ABCD) = BCDA σ 4 (ABCD) = ABCD τ (ABCD) = ADCB τ 2 (ABCD) = ABCD στ (ABCD) = σ(ADCB) = BADC σ 2 τ (ABCD) = σ 2 (ADCB) = CBAD σ 3 τ (ABCD) = σ 3 (ADCB) = DCBA 15
  • 16. Denotando por e o n˜o movimento e(ABCD) = ABCD, temos que a D = {e, σ, σ 2 , σ 3 , τ, στ, σ 2 τ, σ 3 τ } ´ um grupo. Podemos verificar isso, na tabela abaixo: e · e σ σ2 σ3 τ στ σ2τ σ3τ e e σ σ2 σ3 τ στ σ2τ σ3τ σ σ σ2 σ3 e στ σ2τ σ3τ τ σ2 σ2 σ3 e σ σ2τ σ3τ τ στ σ3 σ3 e σ σ2 σ3τ τ στ σ2τ τ τ σ3τ σ2τ στ e σ3 σ2 σ στ στ τ σ3τ σ2τ σ e σ3 σ2 σ2τ σ2τ στ τ σ3τ σ2 σ e σ3 σ3τ σ3τ σ2τ στ τ σ3 σ2 σ e Assim, podemos tomar D = {σ j τ i | 0 ≤ i ≤ 1, 0 ≤ j ≤ 3, τ 2 = σ 4 = e, στ = τ σ 3 , τ = e, σ j = e para j = 1, 2, 3} O exemplo acima pode ser estendido, tomando-se um pol´ ıgono regular de n lados e um eixo de reflex˜o passando por um v´rtice e pelo centro do pol´ a e ıgono. Tais grupos assim obtidos s˜o chamados a grupos de simetria ou grupos diedrais e tais grupos podem ser descritos por Dn = {σ j τ i | 0 ≤ i ≤ 1, 0 ≤ j < n, τ 2 = σ n = e, στ = τ σ n−1 , τ = e, σj = e para 1 ≤ j < n}. Note que, neste caso, quando o pol´ ıgono tem n lados, o grupo tem 2n elementos. Observe que cada elemento de Dn podem ser vistos como uma permuta¸˜o de n elementos, ou ca seja, como um elemento do grupo de permuta¸˜es Sn , quando denominamos os v´rtices do pol´ co e ıgono de n lados pelos n´meros 1, 2, . . . , n. Assim, podemos considerar o grupo Dn contido no grupo Sn . u 2.6 Grupos c´ ıclicos Sejam G um grupo, a ∈ G e n ∈ N denotamos a0 = e, an+1 = an a e a−n = (a−1 )n . Assim, temos definido an para todo n ∈ Z. As regras usuais de expoentes podem ser verificadas, isto ´, para e quaisquer inteiros m e n tem-se: 1) am an = am+n ; 2) (an )−1 = a−n ; 3) (a−n )−1 = an ; 4) (am )n = amn . Na nota¸˜o aditiva, ab significa a + b, a−1 significa −a e an significa na = a + a + · · · + a. Logo, ca ma + na = (m + n)a, n(ma) = (mn)a e −(na) = (−n)a = n(−a). 16
  • 17. Sejam G um grupo e a ∈ G. Denotamos a = {an | n ∈ Z}. Como a0 = e, am an = am+n , (am an )ap = am (an ap ) e (an )−1 = a−n ent˜o a ´ um grupo abeliano, chamado grupo c´ a e ıclico gerado por a. Na nota¸˜o aditiva temos a = {na | n ∈ Z}. ca Exemplo 2.11 Seja G = Z. Ent˜o a 1 = {n · 1 | n ∈ Z} = {n | n ∈ Z} = Z. −1 = {n · (−1) | n ∈ Z} = {−n | n ∈ Z} = Z. t = {n · t | n ∈ Z} ´ o conjunto dos inteiros m´ltiplos de t. e u Assim, Z ´ um grupo c´ e ıclico e podemos tomar 1 ou −1 como gerador. Exemplo 2.12 Verifica-se facilmente que Zn ´ um grupo c´ e ıclico gerado por 1. Exemplo 2.13 Verifica-se tamb´m facilmente que Z6 pode ser gerado por 1 e 5. e Exemplo 2.14 Temos que S3 n˜o ´ um grupo c´ a e ıclico pois (1, 2)2 = (1, 3)2 = (2, 3)2 = e e (1, 2, 3)3 = (1, 3, 2)3 = e. Logo, nenhum elemento gera S3 . Exemplo 2.15 Temos que R∗ n˜o ´ um grupo c´ a e ıclico. Para verificar isso, suponha que sim, isto ´, e que exista a ∈ R ∗ tal que R∗ = a . Considere 2 = an e 3 = am e, a partir disso, chegue em um absurdo. Exerc´ıcios 2.1 √ √ 1) Mostre que Z[ 2] = {a + b 2 | a, b ∈ Z} ´ um grupo abeliano com a opera¸˜o de adi¸ao. e ca c˜ 2) Para a, b ∈ Z, definimos a ⊕ b = a + b + 1. a) Verifique que (Z, ⊕) ´ um grupo. e b) Verifique se (Z, ⊕) ´ abeliano. e c) Verifique se (Z, ⊕) ´ c´ e ıclico. 3) Verifique se (R ∗ , ) ´ um grupo, onde a e b = a · b/2. 4) Verifique se (R, ⊕) ´ um grupo nos casos abaixo: e a) a ⊕ b = a 2 + b2 b) a ⊕ b = a + b − 3 5) a) Descreva os elementos de S4 . b) Encontre elementos a e b de S4 tais que ab = ba. 6) Verifique se G = {z ∈ C | |z| = 1} ´ um grupo abeliano com a opera¸˜o de multiplica¸˜o de n´meros e ca ca u complexos. 7) Verifique se G = {x ∈ R | |x| ≥ 1} ´ um grupo abeliano com a opera¸˜o de multiplica¸˜o de e ca ca n´meros reais. u 8) Encontre a, b ∈ S3 tais que (ab)2 = a2 b2 . 9) Verifique se o grupo Z2 × Z2 ´ um grupo c´ e ıclico. 10) Verifique se o grupo Z2 × Z3 ´ um grupo c´ e ıclico. 11) Quais elemento de Z5 geram Z5 ? 12) Seja G um grupo abeliano. Mostre que se a, b ∈ G e m ∈ Z ent˜o (ab)m = am bm . a 13) Verifique que todo grupo c´ ıclico ´ abeliano. e 14) Mostre que se a1 , a2 , ..., an s˜o elementos de um grupo G ent˜o (a1 ·a2 ·...·an )−1 = a−1 ·...·a−1 ·a−1 . a a n 2 1 15) Seja G um grupo tal que a 2 = e para todo a ∈ G. Mostre que G ´ abeliano. e 17
  • 18. 2.7 Subgrupos Defini¸˜o 2.2 Dizemos que um subconjunto H de um grupo (G, ∗) ´ um subgrupo de G, se (H, ∗) ´ ca e e um grupo, isto ´, se H ´ um grupo com a opera¸˜o de G restrita a H. e e ca Nota¸˜o: H < G quando H ´ um subgrupo de G. ca e Exemplos 2.16 a) Se G ´ um grupo ent˜o G < G e {e} < G, s˜o os chamados subgrupos triviais de G. e a a b) Z < Q < R < C. c) Q∗ < R∗ < C∗ . d) R∗ n˜o ´ um subgrupo de R. a e e) ({−1, 1}, ·) < R∗ . f ) Z2 n˜o ´ um subgrupo de Z3 . a e Proposi¸˜o 2.1 Seja H um subconjunto de um grupo G. Ent˜o H ´ um subgrupo de G se, e somente ca a e se, as seguintes condi¸˜es s˜o satisfeitas: co a 1) e ∈ H; 2) ∀ a, b ∈ H, ab ∈ H (a + b ∈ H, no caso de grupos aditivos ); 3) ∀ a ∈ H, a−1 ∈ H ( −a ∈ H, no caso de grupos aditivos ). ca ´ Demonstra¸˜o: E claro que se H < G ent˜o as trˆs condi¸˜es est˜o satisfeitas. a e co a Por outro lado, suponhamos as trˆs condi¸˜es satisfeitas. A condi¸˜o (1) garante que H = ∅ e possui e co ca elemento neutro; a condi¸ao (2) diz que a opera¸˜o de G restrita a H ´ uma opera¸˜o em H; a c˜ ca e ca condi¸˜o (3) garante a existˆncia do inverso de cada elemento de H; como H ⊆ G, ent˜o vale a ca e a propriedade associativa para os elementos de H. Assim, H ´ um grupo com a opera¸˜o definida para e ca G, logo, H < G. Observe que se H < G ent˜o o elemento neutro de H ´ o mesmo elemento neutro e de G. a e Exemplo 2.17 Para G = S3 = {e, (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 2)} ´ f´cil verificar que: e a {e, (1, 2)} < S3 e {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S3 . Corol´rio 2.2 Seja H um subconjunto de um grupo G. Ent˜o H ´ um subgrupo de G se, e somente a a e se, as seguintes condi¸˜es s˜o satisfeitas: co a 1) H = ∅ 2) ∀ a, b ∈ H, ab−1 ∈ H (a − b ∈ H no caso de grupos aditivos) Demonstra¸˜o: Fica como exerc´ ca ıcio. Exemplo 2.18 Seja 3Z = {3 · n | n ∈ Z} o conjunto dos m´ltiplos de 3. Temos: u 1) 3Z = ∅ pois 0 = 3 · 0 ∈ 3Z; 2) Se a, b ∈ 3Z, digamos, a = 3n e b = 3m, ent˜o a − b = 3(n − m) ∈ 3Z. a Assim, pelo corol´rio anterior, 3Z < Z. a Do mesmo modo, podemos mostrar que para qualquer m ∈ Z, mZ < Z. Seja a ∈ G onde G ´ um grupo. J´ vimos que a = {an | n ∈ Z} ´ um grupo com a mesma e a e opera¸˜o de G, ou seja, a < G. Dizemos que a ´ o subgrupo c´ ca e ıclico de G gerado por a. Se S ´ um e subconjunto n˜o vazio de G, definimos: a S = {(s1 ) r1 (s )r2 ...(s )rn | ∀ i, s ∈ S e r ∈ Z} 2 n i i Verifique que S < G e que S = ∩{H | H < G e S ⊆ H}. 18
  • 19. Chamamos S de subgrupo de G gerado por S. Exemplo 2.19 Para o grupo S3 temos (1, 2) = {e, (1, 2)}; (1, 2, 3) = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}. Exemplo 2.20 S3 = {(1, 2), (1, 2, 3)} , pois: (1, 2) ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)} (1, 2, 3) ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)} e = (1, 2)2 ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)} (1, 3, 2) = (1, 2, 3)2 ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)} (2, 3) = (1, 2)(1, 2, 3) ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)} (1, 3) = (1, 2)(1, 3, 2) = (1, 2)(1, 2, 3)2 ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)} Exerc´ ıcios 2.2 1) Mostre que H = {2n | n ∈ Z} ´ um subgrupo de R∗ . e a 0 2) Para G = M2×2 e H = | a, b ∈ R , mostre que H < G. b 0 3) Para G = Z × Z e H = {(2a, 3b) | a, b ∈ Z} mostre que H < G. 4) Determine todos os subgrupos de Z2 × Z3 . 5) Quais dos seguintes subconjuntos s˜o subgrupos (c´ a ıclicos) de Z12 ? ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 10} b) {¯ ¯ a) {0, 2, 4, 6, 8, 0, 6} ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c) {0, 2, 3, 5, 8} ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 11} e) {¯ ¯ ¯ f ) {¯ ¯ ¯ ¯ d) {1, 3, 5, 7, 9, 0, 4, 8} 0, 3, 6, 9} 6) Determine os seguintes subgrupos de Z8 . a) ¯ b) ¯ c) ¯ d) ¯ ¯ 2 5 4 2, 3 7) Para o grupo de permuta¸˜es S4 : co a) Determine (1, 2, 3) . b) Determine (1, 2, 3, 4) . c) Seja H = {e, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}. Verifique se H ´ um subgrupo de S4 e se H ´ e e abeliano. 8) Mostre que todo subgrupo de um grupo abeliano tamb´m ´ um grupo abeliano. e e 9) Mostre que todo subgrupo de um grupo c´ ıclico ´ um grupo c´ e ıclico. Nos exerc´ ıcios abaixo, vamos considerar G um grupo. 10) Sejam a ∈ G e C(a) = {g ∈ G | ag = ga}. Mostre que C(a) < G. 11) Seja Z(G) = {g ∈ G | ga = ag ∀ a ∈ G}. Mostre que Z(G) < G. 12) Mostre que se H e K s˜o subgrupos de G, ent˜o H ∩ K tamb´m ´ um subgrupo de G. a a e e 13) Dˆ um exemplo onde H < G e K < G mas H ∪ K n˜o ´ um subgrupo de G. e a e 14) Se H < G e g ∈ G mostre que gHg −1 < G, onde gHg −1 = {ghg −1 | h ∈ H}. 2.8 Classes laterais Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Para a, b ∈ G, definimos a ≡ b(mod H) (lˆ-se a ´ e e congruente a b m´dulo H) se, e somente se, ab o −1 ∈ H. Vamos verificar que esta ´ uma rela¸˜o de e ca equivalˆncia: e Propriedade reflexiva: ∀ a ∈ G, aa−1 = e ∈ H, logo, a ≡ a(mod H) Propriedade sim´trica: Se a, b ∈ G e a ≡ b(mod H), isto ´, ab−1 ∈ H, como H ´ um grupo, ent˜o e e e a ba−1 = (ab−1 )−1 ∈ H, logo, b ≡ a(mod H). 19
  • 20. Propriedade transitiva: Se a, b, c ∈ H com a ≡ b(mod H) e b ≡ c(mod H) ent˜o ab−1 ∈ H e bc−1 ∈ H. a Como H ´ um grupo, ent˜o ac−1 = ab−1 bc−1 ∈ H, ou seja, a ≡ c(mod H). e a A classe de equivalˆncia de um elemento a de G, ´ dada por e e a = {b ∈ G | b ≡ a(mod H)} = {b ∈ G| ba −1 ∈ H}. Temos ent˜o b ∈ a se, e somente se, existe h ∈ H a tal que ba −1 = h, ou seja, se, e somente se, b = ha para algum h ∈ H. Assim, a = Ha = {ha | h ∈ H}. Chamamos Ha de uma classe lateral ` direita de H em G. a Denotamos o conjunto quociente de G pela rela¸˜o de equivalˆncia por ca e G/H = {Ha | a ∈ G} que ´ o conjunto das classes laterais ` direita de H em G. e a Observe que: a) a ∈ Ha, pois e ∈ H; b) Ha = Hb ⇔ a ∈ Hb, pois duas classes de equivalˆncia ou coincidem ou s˜o disjuntas; e a c) Ha = Hb ⇔ ab −1 ∈ H (verifique). d) Ha = H ⇔ a ∈ H. Nota¸˜o: Se X ´ um conjunto finito vamos denotar por |X| o n´mero de elementos de X. ca e u Defini¸˜o 2.3 Se G ´ um grupo finito, chamamos |G| de ordem de G. Se G ´ um grupo qualquer ca e e e se g ∈ G ´ tal que g ´ um grupo finito, chamamos de ordem de g ao n´mero | g |, o qual ser´ e e u a denotado simplesmente por |g|. Lema 2.3 Sejam G um grupo finito e H < G. Se a ∈ G ent˜o |Ha| = |H|. a Demonstra¸˜o: Seja a fun¸˜o f : H → Ha definida por f (h) = ha. Temos que f ´ injetiva, pois se ca ca e f (h) = f (k) ent˜o ha = ka, logo, h = k. Temos tamb´m que f ´ sobrejetiva pois se ha ∈ Ha ent˜o a e e a f (h) = ha. Assim, f ´ bijetiva, portanto, |H| = |Ha|. e Defini¸˜o 2.4 Se H < G e G/H ´ um conjunto finito, chamamos |G/H| de ´ ca e ındice de H em G. Nota¸˜o: (G : H) = |G/H| ´ o n´mero de classes laterais ` direita de H em G. ca e u a Teorema 2.4 (de Lagrange) Se G ´ um grupo finito e H < G ent˜o |G| = |H|(G : H). e a Demonstra¸˜o: Como G ´ finito ent˜o G/H ´ finito, digamos, G/H = {Ha1 , Ha2 , ..., Han } com ca e a e Hai = Haj se i = j. Como Hai e Haj s˜o classes de equivalˆncias distintas, para i = j, ent˜o a e a Hai ∩ Haj = ∅ se i = j; como G = Ha1 ∪ Ha2 ∪ · · · ∪ Han ent˜o, |G| = |Ha1 | + |Ha2 | + · · · + |Han | = a n|H| = |H|n, pelo lema anterior. Assim, |G| = |H|(G : H). Em vista do Teorema de Lagrange temos que se H ´ um subgrupo de G ent˜o a ordem de H e a ¯ ¯ ¯ ¯ n˜o ´ subgrupo de Z10 . divide a ordem de G. Assim, {0, 3, 6, 9} a e Exemplo 2.21 Seja H = {e, (1, 2)} < S3 . Ent˜o, pelo Teorema de Lagrange, (S3 : H) = |S3 |/|H| = a 6/2 = 3. Logo, temos 3 classes laterais: 20
  • 21. H = {e, (1, 2)} (= H(1, 2)) H(2, 3) = {(2, 3), (1, 2, 3)} (= H(1, 2, 3)) H(1, 3) = {(1, 3), (1, 3, 2)} (= H(1, 3, 2)) e assim, G/H = {H, H(2, 3), H(1, 3)} Se G ´ um grupo aditivo e se H ´ um subgrupo de G ent˜o a ≡ b(mod H) ⇔ a − b ∈ H e as e e a classes laterais s˜o da forma H + a = {h + a | h ∈ H}. a Exemplo 2.22 Seja H = {0, 2, 4} < Z6 . Ent˜o (Z6 : H) = |Z6 |/|H| = 6/3 = 2. Logo, temos 2 a classes laterais: H = {0, 2, 4} (= H + 2 = H + 4) H + 1 = {1, 3, 5} (= H + 3 = H + 5) Exerc´ıcios 2.3 1) Encontrar G/H para a) G = S3 e H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} b) G = Z10 e H = {0, 2, 4, 6, 8} c) G = Z10 e H = {0, 5} d) G = Z e H = 3Z 2) Para H < G e a ∈ G definimos aH = {ah | h ∈ H} e aHa−1 = {aha−1 | h ∈ H}. Mostre que: a) aH = Ha ⇒ aHa−1 = H b) aHa−1 = H ⇒ aH = Ha c) aG = G Corol´rio 2.5 Se G ´ um grupo finito e se a ∈ G ent˜o |a| divide |G|. a e a Demonstra¸˜o: Pelo Teorema de Lagrange, |G| = |a|(G : a ), logo, |a| divide |G|. ca Corol´rio 2.6 Se G ´ um grupo de ordem prima ent˜o G ´ c´ a e a e ıclico e ´ gerado por qualquer a = e. e Demonstra¸˜o: Seja p = |G|, onde p ´ um n´mero primo. Seja a ∈ G, a = e. Ent˜o |G| = ca e u a |a|(G : a ), isto ´, |a| divide |G| = p. Como |a| > 1 e os unicos divisores de p s˜o 1 e p, ent˜o e ´ a a |a| = p = |G|. Logo, a = G. Exemplo 2.23 Em Z7 , a = Z7 , para todo a = ¯ ¯ ¯ 0. Proposi¸˜o 2.7 Sejam G um grupo e a ∈ G tal que a , ´ um grupo finito. Ent˜o |a| ´ o menor ca e a e inteiro positivo n tal que a n = e. ca ´ Demonstra¸˜o: E claro que se a = e ent˜o n = 1 e a = {e}. Seja a = e. Como a = {an | n ∈ Z} a ´ finito, ent˜o existem inteiros i e j (podemos supor i < j) tais que ai = aj . Logo, aj−i = aj a−i = e a a i a−i = e e j − i > 0. Assim, {n ∈ N∗ | an = e} = ∅ e portanto cont´m um menor elemento e n. Vamos mostrar que a = {e, a, . . . , a n−1 }, que os elementos e, a, . . . , an−1 s˜o todos distintos e a concluir que |a| = n. Sejam i, j ∈ Z tais que 0 < j ≤ i < n. Se a i = aj ent˜o ai a−j = aj a−j , logo, a ai−j = aj−j = a0 = e. Como 0 ≤ i−j < n e n ´ o menor inteiro positivo tal que an = e, ent˜o i−j = 0, e a ou seja, i = j. Assim, {e, a, . . . , an−1 } ´ um subconjunto de a que cont´m exatamente n elementos. e e Se b ∈ a , digamos b = a m para algum m ∈ Z, pelo algoritmo da divis˜o, existem q, r ∈ Z com a 0 ≤ r < n tais que m = qn + r. Logo, b = a m = aqn+r = (an )q ar = eq ar = ear = ar ∈ {e, a, . . . , an−1 }. Assim, a = {e, a, ..., an−1 } e portanto, |a| = n. 21
  • 22. Corol´rio 2.8 Se G ´ um grupo finito e a ∈ G ent˜o a|G| = e. a e a Demonstra¸˜o: Sejam |a| = n e |G| = m. Pelo Teorema de Lagrange, m = nr onde r = (G : a ). ca Ent˜o a a m = anr = (an )r = er = e. Assim, a|G| = e. Exemplo 2.24 Como |S3 | = 6, logo, ∀ a ∈ S3 , a6 = e. Exemplo 2.25 Como |Z8 | = 8, logo, 8·a = 0, ∀ a ∈ Z8 . A fun¸˜o fi de Euler, denotada por φ, ´ definida no conjunto dos inteiros positivos por φ(1) = 1 ca e e, para m > 1, por φ(m) = n onde n ´ o n´mero de inteiros positivos menores que m e relativamente e u primos com m. Exemplos 2.26 φ(2) = 1; φ(3) = 2; φ(4) = 2; φ(5) = 4; φ(6) = 2;... Observe que se p ´ um n´mero primo ent˜o φ(p) = p − 1. e u a Exerc´ ıcios 2.4 1) Em Z12 , encontrar as ordens dos seguintes elementos: a) ¯ b) ¯ c) ¯ d) ¯ e) ¯ 2 3 4 5 6 2) Em S5 , encontrar as ordens dos seguintes elementos: a) (1, 2, 4, 3) b) (1, 3, 2) c) (1, 2)(3, 4) d) (1, 3) e) (1, 3)(2, 4, 5) 3) Seja n um inteiro positivo e seja G = {¯ ∈ Zn | 0 < a < n e a ´ relativamente primo com n}. a e Mostre que: a) G ´ um grupo com a opera¸˜o de multiplica¸˜o m´dulo n. e ca ca o b) ∀ a ∈ G, aφ(n) ≡ 1(mod n). ¯ 4) (Pequeno Teorema de Fermat) a) Se p ´ um n´mero primo e a ´ um inteiro tal que p n˜o divide a, ent˜o ap−1 ≡ 1(mod p). e u e a a b) Se p ´ um n´mero primo e a ´ um inteiro qualquer ent˜o a e u e a p ≡ a(mod p). 2.9 Subgrupos normais Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Ao definirmos a congruˆncia m´dulo H, partimos e o da rela¸˜o de equivalˆncia b ≡ a(mod H) se ba ca e −1 ∈ H e definimos as classes laterais ` direita Ha. De a ca e ∼ a(mod H) quando a−1 b ∈ H chegaremos ` maneira an´loga, partindo da rela¸˜o de equivalˆncia b = a a defini¸˜o de classe lateral ` esquerda aH = {ah | h ∈ H}, com resultados an´logos. E ca a a ´ claro que se G ´ um grupo abeliano ent˜o aH = Ha. Se G n˜o for abeliano podemos ter aH = Ha. e a a Exemplo 2.27 Seja H = {e, (1, 2)} < S3 . Temos H(2, 3) = {(2, 3), (1, 2, 3)} e (2, 3)H = {(2, 3), (1, 3, 2)}. Logo, H(2, 3) = (2, 3)H. Exemplo 2.28 Seja H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S3 . Como |H| = 3 e |S3 | = 6, temos ent˜o 2 classes a laterais ` direita: a H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} (= H(1, 2, 3) = H(1, 3, 2) ) H(1, 2) = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} (= H(1, 3) = H(2, 3) ) De modo an´logo, temos 2 classes ` esquerda: a a H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} (= (1, 2, 3)H = (1, 3, 2)H ) (1, 2)H = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} (= (1, 3)H = (2, 3)H ) Neste caso, Ha = aH ∀ a ∈ S3 , mesmo S3 n˜o sendo abeliano. a 22
  • 23. Defini¸˜o 2.5 Sejam G um grupo e N um subgrupo de G. Dizemos que N ´ um subgrupo normal de ca e G se uma das seguintes condi¸˜es equivalentes se verificar: co a) ∀ a ∈ G, aN = N a b) ∀ a ∈ G, aN a−1 = N onde aN a−1 = {ana−1 | n ∈ N } c) ∀ a ∈ G, aN a−1 ⊆ N Nota¸˜o: N G ca Prova das equivalˆncias: e (a ⇔ b) Temos aN = N a ⇔ aN a−1 = N aa−1 = N e = N . (b ⇒ c) Claro. (c ⇒ b) Seja a ∈ G. Como a−1 ∈ G, ent˜o, por hip´tese, a−1 N a = a−1 N (a−1 )−1 ⊆ N . Assim, a o aa −1 N (a−1 )−1 a−1 ⊆ aN a−1 , ou seja, N = eN e ⊆ aN a−1 . Como, por hip´tese, aN a−1 ⊆ N , temos o igualdade. Exemplos 2.29 1) Se G ´ um grupo abeliano ent˜o todo subgrupo H de G ´ um subgrupo normal, pois aH = Ha para e a e todo a ∈ G. 2) Se G ´ um grupo, verifica-se facilmente que {e} G. e 3) Se G ´ um grupo, G G, pois para qualquer a ∈ G, aG = G e Ga = G (verifique). e 4) Seja H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S3 . J´ vimos que para todo a ∈ S3 , aH = Ha. Logo H S3 . a 5) Seja H = {e, (1, 2)} < S3 . Temos H(2, 3) = {(2, 3), (1, 2, 3)} e (2, 3)H = {(2, 3), (1, 3, 2)}. Logo, H(2, 3) = (2, 3)H e portanto, H n˜o ´ um subgrupo normal de S3 . a e Observe que aN = N a n˜o significa que an = na para todo n ∈ N . Significa que para cada a n ∈ N , existe m ∈ N tal que an = ma. Exemplo 2.30 Seja H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S3 . Temos que H(1, 2) = (1, 2)H = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}, e (1, 2, 3)(1, 2) = (1, 3) = (1, 2)(1, 3, 2). Exerc´ ıcios 2.5 Vamos considerar G um grupo, H e K subgrupos de G e HK = {hk | h ∈ H e k ∈ K}. Prove as seguintes afirma¸˜es: co 1) HK ´ um subgrupo de G se, e somente se, HK = KH. e 2) Se G ´ abeliano ent˜o HK < G. e a 3) Se H G ou K G ent˜o HK < G. a 4) Se H G e K G ent˜o HK G. a 5) Se H G e K G ent˜o H ∩ K G. a 6) Se K G ent˜o H ∩ K H. a 7) Se H G, K G e H ∩ K = {e} ent˜o hk = kh ∀ h ∈ H, ∀ k ∈ K. a 8) Z(G) G onde Z(G) = {g ∈ G | ga = ag ∀ a ∈ G}. 9) Se (G : H) = 2 ent˜o H G. a 2.10 Grupo quociente Sejam G um grupo e N um subgrupo normal de G. Vamos definir uma opera¸˜o em ca G/N = {N a | a ∈ G} de modo que G/N se torne um grupo. Para N a, N b ∈ G/N definimos (N a)(N b) = N (ab) ou, simplificando a nota¸˜o, N aN b = N ab. ca 23
  • 24. Se N a = N a e N b = N b , ent˜o N aN b = N ab = (N a)b = (N a )b = (a N )b = a (N b) = a a (N b ) = (a N )b = (N a )b = N a b = N a N b . Assim, fica definida uma opera¸˜o em G/N . ca Vamos mostrar que G/N com essa opera¸˜o ´ um grupo. ca e - Propriedade associativa: (N aN b)N c = N abN c = N (ab)c = N a(bc) = N aN bc = N a(N bN c). - Elemento neutro: N e, pois N aN e = N ae = N a = N ea = N eN a. - Elemento inverso: N aN a−1 = N aa−1 = N e = N a−1 a = N a−1 N a. Logo (N a)−1 = N a−1 . Assim G/N ´ um grupo com a opera¸˜o N aN b = N ab e ´ chamado grupo quociente de G por N . e ca e Se G ´ um grupo aditivo, denotamos G/N = {N +a | a ∈ G}. Por exemplo, Z/5Z = {5Z+n | n ∈ e Z} = {5Z, 5Z + 1 , 5Z + 2, 5Z + 3, 5Z + 4} pois se n ∈ Z, existem q, r ∈ Z com 0 ≤ r < 5 tal que n = q5 + r, logo, n − r ∈ 5Z e portanto, n ≡ r(mod 5Z). Assim, 5Z + n = 5Z + r. Exerc´ ıcios 2.6 1) Mostre que se G ´ um grupo abeliano e H < G ent˜o G/H ´ um grupo abeliano. e a e 2) Mostre que se G ´ um grupo c´ e ıclico e H < G ent˜o G/H ´ um grupo c´ a e ıclico. 3) Mostre que se G ´ um grupo finito e se N ´ um subgrupo normal de G, ent˜o |G/N | = |G|/|N |. e e a 2.11 Homomorfismos de grupos Defini¸˜o 2.6 Sejam (G, ·) e (G , ∗) grupos e f : G → G uma fun¸˜o. Dizemos que f ´ um homo- ca ca e morfismo de grupos se f (a · b) = f (a) ∗ f (b), isto ´, f ´ compat´ com as estruturas dos grupos. e e ıvel Exemplos 2.31 1) A fun¸˜o identidade Id : G → G onde Id(a) = a ´ um homomorfismo, pois Id(ab) = ab = ca e Id(a)Id(b). 2) A fun¸˜o constante f : G → G onde f (a) = e e e ´ o elemento neutro de G ´ um homomorfismo, ca e e pois f (ab) = e = e e = f (a)f (b). 3) A fun¸˜o f : Z → Z definida por f (a) = na onde n ´ um inteiro fixo, ´ um homomorfismo, pois ca e e f (a + b) = n(a + b) = na + nb = f (a) + f (b). 4) A fun¸˜o f : Z → R∗ dada por f (n) = 2n ´ um homomorfismo, pois f (n + m) = 2n+m = 2n 2m = ca e f (n)f (m). 5) Seja n um inteiro positivo. A fun¸˜o f : Z → Zn definida por f (a) = r, onde r ´ o resto da divis˜o ca e a de a por n, ´ um homomorfismo, pois a + b = a + b. e 6) Se H Gent˜o a fun¸ao f : G → G/H onde f (a) = Ha ´ um homomorfismo, pois f (ab) = H(ab) = a c˜ e HaHb = f (a)f (b). 7) A fun¸˜o f : Z → Z definida por f (a) = a + 2, n˜o ´ um homomorfismo, pois f (2) = 2 + 2 = 4 = ca a e 6 = 1 + 2 + 1 + 2 = f (1) + f (1). 8) f : Z × Z → Z dada por f (m, n) = m + n ´ um homomorfismo e grupos, pois f ((m, n) + (a, b)) = e f (m + a, n + b) = (m + a) + (n + b) = (m + n) + (a + b) = f (m, n) + f (a, b). Exerc´ ıcio 2.7 Verifique que se f : (G, ·) → (G , ∗), ´ um homomorfismo de grupos e n ´ um inteiro e e positivo ent˜o para a1 , a2 , . . . , an ∈ G vale f (a1 · a2 · ... · an ) = f (a1 ) ∗ f (a2 ) ∗ ... ∗ f (an ). a Proposi¸˜o 2.9 Seja f : G → G um homomorfismo de grupos. Se e e e s˜o respectivamente os ca a elementos neutros de G e G ent˜o: a 24
  • 25. a) f (e) = e ; b) f (a−1 ) = (f (a))−1 ; c) {a ∈ G | f (a) = e } G’; d) Im(f ) = {f (a) | a ∈ G} < G ; e) f (an ) = (f (a))n . Demonstra¸˜o: a) Como f (e) = f (e · e) = f (e) ∗ f (e) ent˜o (f (e))−1 ∗ f (e) = (f (e))−1 ∗ f (e) ∗ f (e), ca a logo, e = e · f (e) = f (e). b) Como e = f (e) = f (a · a−1 ) = f (a) ∗ f (a−1 ) ent˜o (f (a))−1 = (f (a))−1 ∗ e = (f (a))−1 ∗ f (a) ∗ a f (a −1 ) = e ∗ f (a−1 ) = f (a−1 ). c) Por (a), e ∈ N (f ), logo, N (f ) = ∅. Se a, b ∈ N (f ) ent˜o f (a) = f (b) = e . Logo, f (a · b−1 ) a =f (a) ∗ f (b −1 )= e ∗ (f (b))−1 = (f (b))−1 = e −1 = e . Assim, a · b−1 ∈ N (f ) e portanto N (f ) < G. Para mostrar que N (f ) G, vamos verificar que a(N (f ))a−1 ⊆ N (f ), ∀ a ∈ G. Se b ∈ a(N (f ))a−1 , digamos, b = a · c · a−1 para algum c ∈ N (f ), ent˜o f (b) = f (a · c · a−1 ) = f (a) ∗ f (c) ∗ f (a−1 ) = a f (a) ∗ e ∗ (f (a)) −1 = f (a) ∗ (f (a))−1 = e , logo, b ∈ N (f ). d) Temos que Im(f ) = ∅ pois e = f (e) ∈ Im(f ). Se c, d ∈ Im(f ), digamos, c = f (a) e d = f (b) onde a, b ∈ G, ent˜o c ∗ d−1 = f (a) ∗ (f (b))−1 = f (a) ∗ f (b−1 ) = f (a · b−1 ) ∈ Im(f ). Assim, Im(f ) < G . a e) Basta fazer indu¸ao sobre n. c˜ O conjunto {a ∈ G | f (a) = e } ´ chamado de n´cleo de f e ´ denotado por N (f ). Em vista da e u e proposi¸˜o anterior, temos N (f ) G. ca Proposi¸˜o 2.10 Seja f : G → G um homomorfismo de grupos. Ent˜o f ´ uma fun¸˜o injetiva se, ca a e ca e somente se, N (f ) = {e}. Demonstra¸˜o: Fica como exerc´ ca ıcio. Defini¸˜o 2.7 Dizemos que um homomorfismo de grupos f : G → G ´ um isomorfismo se f for ca e bijetiva. Neste caso dizemos que G e G s˜o isomorfos. a Nota¸˜o: G ≡ G quando G e G s˜o isomorfos. ca a Proposi¸˜o 2.11 Se f : G → G ´ um isomorfismo ent˜o: ca e a a) f −1 ´ um isomorfismo; e b) Se G ´ abeliano ent˜o G ´ abeliano; e a e c) Se G ´ c´ e ıclico ent˜o G ´ c´ a e ıclico; d) Se a ∈ G e |a| estiver definida ent˜o |f (a)| est´ definida e |a| = |f (a)| (sugest˜o - Proposi¸˜o 2.7); a a a ca e) Se H < G ent˜o f (H) < G ; a f ) Se H G ent˜o f (H) G . a Demonstra¸˜o: A prova destas propriedades ficam como exerc´ ca ıcio. Observe que se dois grupos s˜o isomorfos ent˜o, do ponto de vista da teoria dos grupos, eles a a n˜o diferem um do outro, pois existe uma bije¸˜o entre eles que preserva as estruturas dos grupos, a ca identificando suas propriedades. Teorema 2.12 (dos homomorfismos) Seja f : G → G um homomorfismo sobrejetivo com n´cleo N . u Ent˜o G/N ≡ G . a Demonstra¸˜o: Vamos definir um isomorfismo h entre G/N e G da seguinte maneira: ca 25