1. Notas sobre a
Geometria Diferencial
(uma exposição com base nos vetores e nos diádicos)
Elysio R. F. Ruggeri
Preparado em janeiro de 1995.

2. 2
RESUMO
Neste artigo, valoriza-se a utilização do Cálculo Poliádico (particularmente o
Cálculo Vetorial e o Cálculo Diádico) como uma ferramenta eficaz para o estudo da
geometria diferencial.
A teoria dos contatos torna-se mais clara, mais simples e até mais concretas.
Calcula-se o limite da razão, para o arco, da distância de pontos eqüidistantes sobre dois
arcos.
Apresentam-se expressões novas para as curvaturas normal e de torção de uma
superfície no seu ponto genérico, na direção do unitário arbitrário u do plano tangente.
Essas expressões são independentes das clássicas "primeira e segunda formas quadráticas
fundamentais" e respectivos "coeficientes de Gauss". São elas:
1
R
e 1
T
[ ( )     (  )     ],u . m . u m . u . m u
onde R e T são os raios de curvatura e  m é o diádico gradiente do unitário da normal à
superfície no ponto. Aqui, o operador  é o análogo (curvo) do clássico nabla do espaço
euclideano (plano) bidimensional.
Caracterizam-se os pontos da superfície por métodos poliádicos. Para atender o
interesse do calculista de estruturas em casca, estudam-se situações específicas em que a
superfície é representada analiticamente em forma explícita, o caso das superfícies de
revolução e o caso das rebaixadas (para as quais a curvatura de torção é desprezível e a
métrica é praticamente euclideana).

3. 3

4. 4
§ 01 -Representações de curvas e superfícies.
Das superfícies em geral.
Em relação a um certo sistema de coordenadas retilíneas X,Y,Z uma superfície (S)
é um conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem a uma equação da forma
F(X,Y,Z)=Constante, (01),
-dita, forma implícita de representação da superfície - e que, por hipótese, admite derivadas
parciais (ao menos até a terceira ordem) finitas e contínuas. Nesse caso, (S) é dita uma
superfície regular.
Quando F é um polinômio em X,Y e Z, a superfície é dita algébrica, e o grau do
polinômio é o grau da superfície. As superfícies do 1º grau são os planos; as do 2º grau as
quádricas; as do 3º as cúbicas etc.
As superfícies que não forem algébricas serão ditas transcendentes.
Às vezes é possível expressar Z como uma função única de X e Y (além de uma
constante), na forma
Z=G(X,Y,const.), (02),
caso em que (02) é dita uma forma explícita de representação de (S). É lógico que (01) é
uma forma mais geral de representação de (S) que (02), já que poderíamos escrever
FZ - G(X,Y,const.)=0.
Uma superfície pode também ser representada analiticamente expressando as
coordenadas dos seus pontos como funções (unívocas e contínuas, por hipótese) de dois
parâmetros; essa representação é denominada paramétrica e é a que mais interessa na
Teoria da Elasticidade. Escrevemos:
X=X(U1,U2,const.), Y=Y(U1,U2,const.), Z=Z(U1,U2,const.), (03).
A cada par de valores dos parâmetros corresponderá um ponto da superfície; e
reciprocamente. Se for possível eliminar os dois parâmetros U1 e U2 entre as equações (03),
obteremos uma equação do tipo (01).
Se, em relação aos vetores de base u u u
1 2 3
, e associados aos eixos do sistema de
coordenadas, r é o vetor posicional de R, então
r u u u  X Y Z 31 2
e a forma vetorial de representação de (S), equivalente a (01), é
F(r)=constante, (011).
A equivalente vetorial de (03) é

5. 5
r=r(U1,U2,const.), (031),
e nesse caso (S) será dita, também, a hodógrafa da função vetorial (031).
A cada valor da constante corresponde uma superfície; logo, fazendo-se variar a
constante, obteremos uma família de superfícies.
Exemplo: (superfícies quádricas
Se  é um diádico simétrico, a um vetor e A um número, todos independentes do
ponto (isto é, de X, Y e Z), a equação
F( ) Ar r. .r a.r    0, (012),
um caso particular de (011), representa uma família de superfícies quádricas reais ou
imaginárias. Para um valor particular da constante, a equação individua uma determinada
quádrica. Se a=o a quádrica tem centro (a troca de r por -r não altera a sua equação); nesse
caso a sua equação pode ser reduzida à forma
r. .r   1, sendo = A .
Curvas reversas.
Consideremos uma dada superfície (S) de uma família (constante fixada) e
arbitremos na sua equação paramétrica um valor para o parâmetro U (=1 ou 2). Então,
qualquer que seja o parâmetro considerado, (031) é escrita na forma:
r=r(U, constante), (04).
Quando U variar, o ponto R descreverá uma curva que pertence a essa superfície e (04)
será dita a sua equação vetorial paramétrica. Essa curva é a hodógrafa da equação (01) e
sua representação paramétrica cartesiana pode ser obtida diretamente das (03). Como essas
funções são unívocas e contínuas, concluímos que a cada ponto de (S) está associado um e
um único par de curvas de (S). Cotando essas curvas em valores dos respectivos
parâmetros, estabeleceremos sobre (S) uma rede de curvas que funciona como um sistema
do coordenadas curvilíneas para os pontos de (S). Tal como no plano associamos,
imaginariamente, a cada ponto, um par de retas - suas coordenadas retilíneas -, na
superfície associamos a cada ponto um par de curvas - suas coordenadas curvilíneas.
De um modo geral, toda equação do tipo (04) representa uma curva reversa ou
espacial; ela será dita plana se todos os seus pontos pertencerem a um plano.
Teor. 1:
A CNS para que uma curva r=r(U) seja plana é que (rr'r")=0, ou (r'r"r"')=0:
r=r(U) curva plana  (rr'r")=0, ou (r'r"r"')=0 (05).
Provemos a primeira parte. Se r=r(U) é uma curva plana e a é um unitário fixo
ortogonal ao seu plano, r.a=0. Por derivação em relação ao parâmetro da curva deduzimos:
r'.a=r".a=0. Então, r, r' e r"são vetores ortogonais a a, isto é, coplanares com produto

6. 6
misto nulo. Reciprocamente, se uma curva r=r(U) admite (rr'r")=0 para todo r, r é paralelo
a um plano fixo (teorema clássico), e a curva pertence a esse plano.
Provemos a segunda parte. Se a curva é plana, a primeira parte garante ser
(rr'r")=0; derivando vem: (rr'r"')=0. Logo são coplanares r, r', r" e r"', ou seja
(r'r"r"')=0. Reciprocamente, se (r'r"r"')=0 para todo r, existe um vetor w(U) que é
perpendicular ao plano de r', r"e r"', sendo, pois, r'. w=0=r". w. Por derivação em relação
ao parâmetro vem: r". w + r'. w'=0=r"'. w + r". w'. Logo, r'. w'=0=r". w', isto é, w é
paralelo ao seu vetor derivada (por serem ambos perpendiculares a r' e a r"). Segundo
teorema clássico, w tem direção constante, digamos a do unitário u. Então de r'. w=0=r".
w=r"'. w vem (u.r)'=(u.r')'=(u.r")'=0, ou, integrando, u.r=u.b sendo b vetor constante.
Assim, (r-b).u=0 e o vetor r-b pertence ao plano de r', r"e r"', Por isso, (r-b)^r'.r"=0, ou
seja (rr'r")=(br'r"). Pela demonstração da primeira parte (rr'r")=0, o que implica ser b
vetor coplanar com r' e r". Então u.r=0 e r pertence também a esse plano.
Os sistemas de coordenadas curvilíneas de uma superfície em geral são curvas
reversas.
Superfícies cilíndricas e cônicas.
Se (04) é proveniente de (03) e, eventualmente, ( )rr r o   , a curva é plana e (01)
pode ser reduzida a uma forma implícita em que falte, digamos, a letra Z. Nesse caso a
superfície terá por equação
F(X,Y)=constante, (06).
Se X0,Y0 é um par de números que satisfaz (05), todos os pontos do espaço de coordenadas
(X0,Y0,Z) também a satisfarão. Então, todos os pontos da reta paralela ao eixo dos Z e que
passe por X0,Y0 do plano X,Y pertencem à superfície (05). Esta superfície é uma superfície
cilíndrica, de geratriz paralela ao eixo Z e sua interseção com o plano X,Y é a curva de
equação (05).
Seja (C) uma curva reversa qualquer cujo ponto genérico, R, é definido pelo vetor
r(U). Seja a) uma reta que se desloque sempre paralelamente a um vetor de direção fixa, de
unitário k , mas sempre apoiada em (C). Então, se q é o vetor posicional do ponto genérico
Q de a), isto e, do ponto genérico da superfície cilíndrica correspondente (Fig. 01),
krq ˆV)U(V)U,(  ,
onde V é um parâmetro variável em todo o campo real.

7. 7
Se adotarmos a direção de k para eixo dos Z, e se projetarmos (C) sobre um plano
perpendicular a k , então esta mesma superfície cilíndrica será representada cartesianamente
por uma equação do tipo (05).
•
Se (04) é uma reta, r tem direção constante (Fig. 02) e, portanto, na equação (01)
faltará também uma segunda letra, digamos Y se adotarmos a direção constante como eixo
do X. A equação da superfície é, então,
F(X)=constante, (06).
Se X=X1, X=X2, ... são valores de X que satisfazem (06), então essa equação representa os
planos X=X1, X=X2, ... paralelos ao plano YZ porque ela é satisfeita para esses valores de
X e valores arbitrários de Y e Z.
Se a curva reversa (C) anteriormente considerada como diretriz da superfície
cilíndrica fosse uma reta qualquer, a), a sua projeção ortogonal sobre um plano ) ortogonal
à direção fixa k seria também uma reta, b). Adotando-se como origem de um sistema um
ponto qualquer do plano ) e como eixos cartesianos: uma reta qualquer paralela a k como
eixo Z, uma reta paralela a b) como eixo Y e uma perpendicular a b) como eixo X, a
equação do plano definido por a) e k seria X = constante. Então o vetor posicional de um
ponto qualquer desse plano seria
piq  ˆX)VU,( .......... etc
Vê-se, assim, que em geral os sistemas de coordenadas curvilíneas de uma
superfície são compostos por curvas reversas, exceto no caso das superfícies regradas (as
cilíndricas e as cônicas).
Superfície cônica
Exemplo:(caso das quádricas) ...... etc

8. 8
§ 02 - Parametrização da equação de uma curva pelo comprimento do
arco.
Comprimento de arco.
Chama-se comprimento de arco elementar de uma curva ao número real
rr.ddds2
 . Como dUddUd rr  , tem-se: ds dU) (d dU2 2
 ( )r 2
. O comprimento de
um arco de curva compreendido entre os valores U0 e U do parâmetro é obtido efetuando-
se a soma de infinitos arcos elementares em que se pode subdividir esse arco. Como r=r(U)
é função contínua, existe o limite
  dU
dU
d
dU
d
limdslims
r
.
r
, sendo dU
dU
d
dU
d
s
U
U0

r
.
r
.
A equação paramétrica de uma curva pode ser estabelecida com uma infinidade de
parâmetros. O parâmetro com o qual se ganha em simplicidade é o comprimento de arco da
curva; e para que isso se verifique, é CNS que
d
dU
d
dU
ou, pondo d
dU
r . r r r r .r     1 1, , , (01).
Nesse caso deduzimos, por derivações sucessivas:
            r .r r .r r r .r r .r0 32
, , IV
,
             r .r r .r r r .r r .r r .r r .rV IV VI V IV VII
4 3 5 102
, , ,
      r .r r .r r .r rVII VI V IV
6 15 10
2
, etc (011),
as derivadas enésimas de (01) podendo ser escritas na forma
(( ))          
    
r r r .r r .r r .r r .r r .r r .r(n)
n
0 (n 1)
n
1 (n)
n
2 (n )
n
3 (n ) IV
n
n 1 (n)
n
n (n 1)
C C C C ... C C1 2
onde a operação simbólica (( ))(n)
 indica que se deva desenvolver as potências
enésimas de  r r pela fórmula clássica do binômio de Newton como se r fosse um
número, e substituir as potências formadas, ( )r i
, por derivadas (i+1)-ésimas, isto é, por
)1i(i
)( 
 rr , inclusive para i = 0.
Uma primeira conseqüencia imediata da primeira das (011) está em que a derivada
primeira do posicional do ponto genérico de uma curva em relação ao arco é um vetor
unitário que é perpendicular ao vetor derivada segunda.
Tangente a uma curva.
Vamos caracterizar geometricamente o vetor derivada primeira, r'. Sejam P e Q
pontos de uma curva de equação vetorial parametrizada pelo comprimento de arco, s,

9. 9
correspondentes aos valores s e s+,  sendo o comprimento do arco PQ. O vetor r(s), cuja
origem é arbitrária, pode ser representado pela fórmula de Taylor:
...)s(
3!
1)s(
2!
1)s(
1!
1)s()+s( 32
  rrrrr , (02),
donde,
...)s(
3!
1)s(
2!
1)s(
1!
1)s()+s( 2





rrr
rr
, (021).
Considerando (01) e as (011), deduzimos de (021):



 42IV3222
)89(
5!3
1
4!
2
4!
21]
)s()+s(
[ 


r.rrr.rr
rr
5IVV
)154(
!6
1 .rr.rr  ...)
4
45165(
!7
1 62IVVVI
 r.rr.rr , (03).
Por (03) vemos que quando Q tende para P (ou 0) a razão do quadrado do vetor-corda
r r( )s (s)  para o quadrado do arco =ds tende para a unidade positiva.
Independentemente do sinal de , o vetor [r r( )s (s)  ]/ aponta sempre no sentido do
crescimento do arco. Representando por )s(ˆt o unitário da tangente no ponto P de
parâmetro s, podemos escrever, então:
)s()s(ˆ
ds
)s()ds+s(
limPQ
rt
rr



, (04).
Em resumo:
Quando a equação de uma curva está parametrizada no comprimento do arco
medido a partir de um de seus pontos, o vetor r'(s), determinado por (04) no
ponto corrente P de parâmetro s, é o vetor unitário da tangente à curva em P,
tˆ , e aponta no sentido do crescimento do arco.
Se x é o posicional do ponto corrente X da tangente a uma curva (C) de equação
r=r(s) num ponto P(s), a equação vetorial dessa tangente é
ds
dD)s((s)D)s( rrtrx  , (05),
onde D é a distância de P a X. As distâncias sobre a tangente são positivas se o vetor de
origem P e extremidade X tem o mesmo sentido que t( )s .
§ 03 - Contato.
Intuitivamente, dizer que duas figuras (não superponíveis) têm um certo número N
de "pontos consecutivos" em comum eqüivale a dizer que elas admitem "um contato de
ordem N". Vamos matematizar, ou melhor, vamos tornar preciso esse conceito do ponto de
vista matemático.

10. 10
Sejam duas curvas quaisquer (R) e (V), planas ou reversas, com um ponto de
contato, um ponto ordinário, P. Tomemos esse ponto como origem de medida dos arcos
sobre cada uma delas. Dois pontos, um de cada curva, serão ditos eqüidistantes do contato
quando os arcos que os separam desse contato têm o mesmo comprimento, digamos  (Fig.
03).
Definição:
Diremos que duas curvas (R) e (V) têm um contato de ordem N num ponto P
comum a ambas se a razão d/k da distância retilínea d=QD de dois pontos Q e
D dessas curvas, eqüidistantes de P do arco , tende para um limite finito se k =
N + 1 e para zero se k = N, quando  tende para 0:
Contato de (R) e (V) de ordem N 




 








0
0
0
lim d n finito,
lim d
N 1
N

, (01).
Como a origem dos posicionais é arbitrária, podemos tomá-la provisoriamente no
ponto P. Nesse caso, se r é o posicional de Q de (R) e v o de D de (V), escrevemos
d2 2
 ( )r v , ou
( ) ( ) ( )d
    
2 2 2
2  r v r . v , (02).
Os quadrados de r e v são dados por ((03), §02) onde se faça r=r e r=v. A terceira parcela
do segundo membro de (02) pode ser deduzida de ((021), §02) para r(s)=o, com derivadas
calculadas na origem. Tem-se:
r.v r .v r .v r .v r .v r .v r .v               1
2!
1
3!
1
2!2!
] 2
( ) [ ( )  2
         [ ( )1
4!
1
2!3!
]IV IV 3
r .v r .v r .v r .v 
          [ ( ) ( )1
5!
1
2!4!
1
3!3!
]V V IV IV 5
r .v r .v r .v r .v r .v  + ...
Então, quaisquer que sejam as curvas (R) e (V), (d/)2 é um polinômio em  que, ordenado
pelas potências de expoentes crescentes de , apresenta as seguintes parcelas:

11. 11
2 1( )  r .v ,
    ( )r .v r .v ,
  
2
4
2 2
!
( )r v  ,
    
1
3
3
!
( ) ( )r v . r v  ,
      
10
6!
3 2 2 4
[ ( ) ( ) ( ) ]r v . r v r vIV IV
 ,
        2
6!
3 5 5
[ ( ) ( ) ( ) ( )]r v . r v r v . r vV V IV IV
... etc. (031).
Conforme (01), vemos que para N=0 (k=1), é
  
    
0 1 2 0
2 1 0lim d e lim d[ ( ) ( ) ]r . r , (032).
Se representarmos por  o ângulo das tangentes às curvas em P (Fig. 03),
escreveremos:
 



0
2lim d sen
2
, (033).
Concluímos:
Teor. 1:
Duas curvas reversas com um ponto comum:
1) - têm um contato de ordem zero;
2) - têm a distância retilínea, d, entre seus pontos eqüidistantes  do ponto de
contato como um infinitésimo de mesma ordem que o arco , valendo o duplo
desse arco multiplicado pelo seno da metade do ângulo das tangentes.
Esse resultado de certa forma podia até ser esperado porque, no limite, estaríamos
calculando o "lado não igual" de um triângulo isósceles tal que os lados iguais (a )
formassem um ângulo .
Curvas com uma tangente comum.
Se as curvas (R) e (V) admitirem uma tangente comum no ponto P (logo, θ=0), isto
é, se em P,   r v , então 1 v.r (ou, ainda vtr  ˆ ) e
,,0 v.rv.rv.rr.vv.r 
           
     
r .v r .v r .v v .v v
v .r r .v
IV IV
IV
... etc.
2 3
3
2
,
,
Agora, então, (d/2)2 é um novo polinômio em  que escrevemos na forma,

12. 12
( )
!
( )d
2

2 22
4
   v r
     1
3!
( ) ( )r v . r v 
       10
6!
3 2 2 2
[ ( ) ( ) ( ) ]r v . r v r vIV IV

        2
6!
3 5 3
[ ( ) ( ) ( ) ( )]r v . r v r v . r vV V IV IV
... (04).
De (04) e (033) deduzimos, respectivamente:
0
d
lime||
6
3d
lim
020



 
rv , (041).
Reciprocamente, se duas curvas com um ponto comum admitem nesse ponto um
contato de ordem um, tem-se, de (04):
||
6
3d
lim 20
rv 

. e
 
    
0
2 1 0lim d ( )r .v .
Da segunda das condições acima resulta r'. v'=1, ou seja, esses unitários (r' e v') devem ser
iguais. Concluímos:
Teor. 2:
A CNS para que duas curvas com um ponto comum tenham um contato de
ordem um nesse ponto é que admitam as mesmas derivadas primeiras nesse
ponto,
ou, o que é o mesmo,
A CNS para que duas curvas tenham, num ponto comum, um ponto consecutivo
também comum, é que elas tenham o mesmo vetor tangente nesse ponto.
A distância retilínea, d, entre os pontos eqüidistantes  do ponto comum a duas
curvas com um contato de ordem um é infinitésimo de segunda ordem em relação ao arco 
e pode ser calculada por (041).
Se uma das curvas em referência é a (reta) tangente à outra, concluímos que
Teor. 3:
Toda tangente a uma curva tem com ela um contato de primeira ordem no ponto
de contato,
ou, o que é o mesmo,
Corol. 1:
Todo curva tem em comum com a sua tangente o ponto consecutivo ao ponto de
contato.

13. 13
§ 04 - As curvaturas das curvas reversas.
Se PQ
ˆˆˆ ttt  é a variação de tˆ entre P e seu consecutivo Q (Fig. 04), então |
tˆ | é igual ao ângulo - medido em radianos, e denominado ângulo de contingência das
tangentes - de que girou a tangente entre os pontos de abcissas curvilíneas s e s+. Em P, o
plano definido por P
ˆt e sua tangente consecutiva Q
ˆt é denominado "plano osculador" da
curva nas vizinhanças de P.
Como, em P, a tangente P
ˆt contem o ponto consecutivo Q (Corol. 1, Teor. 3, §03)
e em Q, Q
ˆt contem o ponto consecutivo Q', concluímos:
Teor. 1:
O plano osculador de um ponto de uma curva tem com ela um contato de
segunda ordem nesse ponto.
O vetor | tˆ |, variação da tangente entre o ponto P de uma curva (C) e o seu
consecutivo, pertence ao plano osculador de P e permite avaliar quanto essa curva se
"flete", ou se "flexiona", no plano osculador, nas vizinhanças de P.
Denomina-se "vetor curvatura de flexão" de (C) em P, e o representaremos por c,
o limite da variação  tˆ de t por unidade de comprimento de arco de curva, s=, quando
este tende para zero. No limite esse quociente (que existe sempre se r(s) é contínua) é a
derivada de t em relação ao arco s, e escrevemos:
sd
ˆd
s
ˆ
lim
0s
tt
c 




;
ou, ainda, lembrando que ds/dˆ rrt  :
),s(
sd
d
sd
ˆd
2
2
r
rt
c  (01).
O módulo de c denomina-se, simplesmente, curvatura de flexão da curva (C) em P, e tem
a dimensão do inverso de um comprimento; por isso mesmo o inverso do módulo de c é
denominado raio de curvatura de flexão da curva no ponto, e o representamos por R. Se
representarmos por nˆ o unitário de c, escreveremos a primeira fórmula da Frenet-Serret,

14. 14
ds
ˆd
R
ˆ tn
c  , (011).
De (01) e (011) resultam:
0,
sd
ˆd
ˆ
R
1
|| 
t
.nc rn  Rˆ e
R
1
|| r (012).
Por ser 1ˆˆ t.t é 0ˆdˆ t.t , isto é, c - um vetor do plano osculador que aponta no sentido da
concavidade da curva - é perpendicular a tˆ .
A direção de n(ou de c) é conhecida como normal principal de (C) em P, razão
pela qual dá-se também a |c| a denominação de curvatura normal.
Se x é o posicional do ponto corrente do plano osculador do ponto P de r(s), a sua
equação é, então,
0)(  rr.rx , (02),
uma vez que qualquer que seja x, os vetores x-r, r'e r" devem ser coplanares. O plano
osculador está sempre determinado, exceto nos pontos em que r'=o, r"=o, ou r"=A(s)r' (r"
é paralelo a r'). Nos dois primeiros casos a curva é uma reta e para os pontos da reta o plano
osculador é indeterminado. No segundo caso - r"=A(s)r' - r' é paralelo ao seu vetor
derivada; logo, r' tem direção fixa (teorema clássico). Nesse ponto, então, (rr'r")=0, isto é,
a curva é localmente plana, o que tem sentido porque nesse ponto, conforme Teor. 1, três
de seus pontos (P e seus dois consecutivos) pertencem ao plano osculador. Se A não varia
com s (r' é paralelo ao seu vetor derivada em todo ponto) a curva é uma reta porque r' é fixo
em todo ponto.
Se a curva r(s) é plana, (02) é uma identidade (porque o plano osculador é o
próprio plano da curva) e r"=A(s)r' significa que, no ponto, a curva é localmente retilínea
porque o contato é de ordem dois: de um lado e outro desse ponto - denominado ponto de
inflexão - r" deve trocar de sinal, anulando-se, portanto, no ponto. Se A é uma constante,
r(s) é uma reta.
A circunferência do plano osculador de um ponto P de uma curva, de raio igual a R
e centro no ponto de posicional
nrx ˆR(s)(s)  , (021),
isto é, ponto situado sobre a normal principal, no interior da concavidade da curva,
denomina-se circunferência de curvatura dessa curva (Fig. 06); o centro dessa
circunferência denomina-se centro de curvatura da curva no ponto P. É evidente que a
circunferência de curvatura e a curva têm tangente comum em P.

15. 15
Curvas com tangente e vetor curvatura comuns.
Se duas curvas têm uma tangente comum, a distância retilínea, d, entre seus pontos
eqüidistantes  do ponto de contato - um infinitésimo de segunda ordem em relação a esse
arco - pode ser assim expressa em relação a :
|ˆ
R
1
ˆ
R
1
|
6
3
|=|
6
3d
(V)
(V)
(R)
(R)
2
nnrv 

,
expressão em que R(R) e R(V) são os raios de curvatura das curvas (R) e (V) em P. Deve ser
observado que os unitários das normais principais das curvas são vetores distintos em geral
(Fig. 05, a)).
Se duas curvas, alem de terem uma tangente comum num ponto, têm também vetor
curvatura de flexão paralelos, terão, evidentemente, o mesmo plano osculador. Se as
curvaturas são as mesmas, os unitários das respectivas normais principais poderão ter o
mesmo sentido (Fig. 05,c)), ou sentidos opostos (Fig. 05,b)), casos em que,
respectivamente,   r v e    r v .
Para o primeiro caso - mesmo unitário de tangente (logo, um contato de ordem
um), e mesmo vetor curvatura - deduzimos de ((04), §03):
( )
!
[ ( ) ( ) ( ) ]
( ) ( ) ( )
d
...=
=
1
36
...
3
IV IV
IV IV



2 2
2
10
6
2
1
72
         
        
r v r v . r v
r v r v . r v
de onde vem,
 
   
0
1
6
lim
d
3
| |v r e
 

0 2 0lim d (03).

16. 16
Nesse caso, então, as curvas têm também um contato de ordem dois no ponto.
Reciprocamente, se duas curvas apresentam um contato de ordem um e ordem dois
num ponto, deduzimos de ((04), §03):
 
   0
1
6lim d
3 | |v r e
 
   0 2 0
3
6lim d | |r v .
Como essa curvas têm também o mesmo plano osculador, têm a mesma normal principal e
seus vetores curvatura são paralelos. Da segunda das condições acima (| |  r v 0)
deduzimos, afinal, que seus vetores r" e v" devem ser iguais necessariamente. Concluímos:
Teor. 5:
A CNS para que duas curvas tenham um contato de ordem dois num ponto é que
tenham as mesmas derivadas primeira e segunda nesse ponto,
ou, o que é o mesmo
A CNS para que duas curvas tenham num ponto tres pontos consecutivos em
comum é que elas tenham o mesmo vetor tangente e o mesmo vetor curvatura de
flexão nesse ponto.
Nesse caso, a distância retilínea, d, entre seus pontos eqüidistantes  do ponto de
contato é um infinitésimo de terceira ordem em relação ao  e pode ser calculada por (03).
Corol. 1:
Toda curva tem com suas circunferências de curvatura um contato de ordem
dois.
Teor. 6:
Duas curvas que têm num ponto o mesmo unitário de tangente mas vetores
curvatura de flexão opostos, têm contato de ordem um nesse ponto.
Pois fazendo    v r em (04),§ 03 escrevemos,
( )
!
d
2

2 22
4
 r      
2
3
r . r v( ) ...,
donde
 
  
0
3
6
3
6
lim
d
R2
| |v e
 

0
0lim
d
, (031).
A distância retilínea, d, entre seus pontos eqüidistantes  do ponto de contato (Fig. 05, b)) é
um infinitésimo de segunda ordem em relação a  e pode ser calculada por (031).
Triedro de Frenet-Serret.
Como 0ˆˆ t.n , temos: n.tt.n ˆdˆˆdˆ  . Logo:

17. 17
sd
ˆdˆ||
n
.tc  , (04),
isto é, em P, o unitário da tangente e o incremento da normal principal formam um ângulo
obtuso. Como 0ˆdˆ n.n , o incremento nˆd , por ser perpendicular a nˆ , é um vetor do
plano ortogonal a nˆ ; tal plano denomina-se retificante. O plano conduzido por P
ortogonalmente ao retificante e ao osculador denomina-se normal e sua interseção com o
retificante, binormal. Tomaremos como unitário da binormal o vetor bˆ definido por
ntb ˆˆˆ  , (05).
Então, os unitários bnt ˆeˆ,ˆ definem uma base ortonormada em P; o triedro que lhes
corresponde é denominado triedro de Frenet-Serret.
Por ser dr paralelo a t e nˆ perpendicular a tˆ , resulta que, para as curvas reversas,
os vetores rnn deˆd,ˆ nunca são coplanares; e reciprocamente:
r(s) curva reversa   P  r(s)  0)dˆdˆ( rnn .
Isso traduz importante propriedade geométrica das curvas reversas:
As normais principais de pontos consecutivos de uma curva reversa nunca se
interceptam.
Reciprocamente,
se as normais principais em pontos consecutivos de uma curva não se
interceptam, essa curva é reversa.
Curvatura de torção.
Consideremos, agora, quatro pontos consecutivos, P, P', Q e Q' de uma mesma
curva. O plano osculador de P (que contem P, P' e Q) não é o mesmo de P' (que contem P',
Q e Q'). Ocorre, pois, uma variação de posição desses planos osculadores consecutivos.
Dizemos que, em P, ocorre uma torção, ou um "empenamento" de (C). A variação do
ângulo desses planos permite avaliar o quanto a curva se "torce" ou se "empena" entre
pontos consecutivos. Essa avaliação pode ser facilmente calculada pela correspondente
variação do ângulo dos unitários das normais aos planos osculadores respectivos, já que o
ângulo desses unitários é igual ao ângulo daqueles planos. Se a variação de bˆ é bˆ , então
| bˆ | é aproximadamente igual ao ângulo (medido em radianos) das normais aos planos
osculadores de P e de P'; esse ângulo é denominado ângulo de contingência das
binormais. O limite do quociente da variação da binormal, bˆ , pelo comprimento do arco
entre P e P', s, terá por módulo a variação correspondente do ângulo dos planos
osculadores para o comprimento do arco; tal vetor, que representaremos por , denomina-se
"vetor curvatura de torção" da curva em P. O módulo de  denomina-se "curvatura de
torção" da curva em P, e tem a dimensão do inverso de um comprimento. Por isso mesmo o
inverso do módulo de  é denominado raio de curvatura de torção da curva no ponto, e o
representamos por T. Então:
,
sd
ˆd
s
ˆ
lim0s
bb





 (05).

18. 18
Como tˆd é paralelo a nˆ , e conseqüentemente perpendicular a bˆ , 0ˆdˆ t.b . Logo, por ser
;0ˆdˆ+ˆdˆé,0ˆˆ  b.tt.bt.b isto é, 0ˆˆd t.b . Então, o incremento de bˆ é perpendicular a tˆ .
Como o incremento de bˆ também é perpendicular a bˆ , ele é paralelo a nˆ . Em resumo:
No ponto corrente de toda curva reversa, a curvatura de torção é a medida da
variação da direção da sua binormal, e o vetor curvatura de torção é sempre
paralelo à normal principal.
Se convencionarmos que às curvaturas de torção positivas correspondem rotações
de bˆ (no plano normal) no sentido anti-horário quando vistas da face positiva do plano
normal (da qual aponta tˆ ), nˆ e  terão direções opostas. Então escreveremos a segunda
fórmula de Frenet-Serret
sd
ˆd
T
ˆ bn
 , (051),
de onde também deduzimos:
ds
ˆdˆˆ
ds
ˆd
T
1
)ˆ(||
n
.bn.
b
n.   , (06),
porque sendo 0ˆdˆ+ˆdˆé0ˆˆ  b.nn.bn.b . Pode-se, ainda, escrever, em vista de (03):
ds
ˆd
ˆ||
n
.nt  , (061).
Por esta equação, e pela impossibilidade de interseção das normais principais em pontos
consecutivos, resulta:
A CNS para que uma curva seja reversa é que seja não nula a sua curvatura de
torção em todos os seus pontos.
Nota:
Contrariamente às tangentes e às binormais, de cuja interseção dos suportes em pontos
consecutivos nos valemos para definir os ângulos de contingêcias (das tangente e das
normais), e, portanto as curvaturas, os suportes das normais principais nunca se cruzam.
§ 05 - Sistema de coordenadas curvilíneas recíprocas de uma superfície.
A continuidade de ((01), §01) permite-nos concluir que os vetores
r r
 


 
U
( 12, ), (01),
calculados em cada ponto de (S), existem sempre, finitos e não nulos. Tais vetores são
tangentes às respectivas coordenadas curvilíneas do ponto, não sendo unitários em geral,

19. 19
exceto se os parâmetros U são os comprimentos de arco dessas coordenadas. O ponto
comum às duas curvas de (S) e seus consecutivos (um sobre cada curva ou sua tangente)
definem um plano que é o plano tangente a (S) no ponto. Tais vetores r serão sempre não
paralelos e constituirão uma base sobre o plano tangente, nas vizinhanças do ponto.
Ora, se existe em todo ponto R de (S) uma base definida por vetores r tangentes
às respectivas coordenadas curvilíneas de R, existem também os vetores r
, recíprocos dos
r ,no plano tangente, tais que
r .r



   ( , 12, ), (02),
os 

sendo os deltas de Kronecker. Então, existem outras coordenadas curvilíneas para R -
que denominaremos coordenadas curvilíneas recíprocas ou duais das U - representadas
por curvas de (S) às quais os vetores r são tangentes. Como r2
é perpendicular a r1, e r1
a
r2, essas coordenadas curvilíneas são trajetórias ortogonais das primeiras; vamos
representa-las por U1 e U2. Assim, às coordenadas curvilíneas U1
e U2
- também
denominadas coordenadas curvilíneas contravariantes de R - correspondem os vetores de
base covariantes r1 e r2; às U1 e U2 - denominadas coordenadas curvilíneas covariantes
de R - correspondem os vetores de base contravariantes r1
e r2
. Existem, pois, funções
U
 0|
U
U
|com),U,U(UU 21 






 (Jacobiano não nulo), (03),
mediantes as quais se pode passar de um sistema para o outro.
Escreveremos, então, em geral:
)3,2,1(i)U,(UR)U,U(R i
21ii
21i
 uur , (04),
para representar o ponto genérico de (S), qualquer uma das duas formas de representação
tendo igual status para o estudo da superfície.
A derivada direcional de n.
Ora,
d d S d
d S
d S d
d S
 
( ) ( 
),n n t . t n 
ou melhor,
d d ,n r. n  (06),
sendo d d Sr t  o deslocamento arbitrário de P sobre a curva, e
  d
d S
  
,n t n (07),
um diádico linear, evidentemente não simétrico, cujo plano é o plano tangente. Vamos
denomina-lo diádico tangente da curva no ponto considerado (por analogia com o diádico
tg de uma sup onde?). Assim:
A variação da normal principal no ponto genérico de uma curva reversa é o
transformado do deslocamento arbitrário desse ponto sobre a curva mediante o
diádico tangente correspondente usado como pós-fator.
Podemos também escrever:

20. 20
n.t
n
ˆˆ
Sd
ˆd
 , (08),
e entender d d Sn - tal como no caso das sup - como a derivada direcional de n na
direção da tangente à curva em R.
Por (06,§04) concluímos que b e d n formam um ângulo agudo; seja ele . Por
(04,§04) concluímos que t e d n formam um ângulo obtuso. Mas, sendo d n perpendicular
a n (porque    n.n n. n 1 0e d ), d n é paralelo ao plano tangente.
Em resumo:
d n é um vetor paralelo ao plano tangente, forma o ângulo agudo  com b e o
ângulo (obtuso)  + 2 com t .
Conforme (05) podemos enunciar:
As curvaturas de flexão e de torção relativas a um ponto qualquer de uma curva
reversa são as projeções ortogonais da derivada direcional do unitário da sua
normal principal sobre os suportes da sua tangente e da sua binormal,
respectivamente.
Podemos, então, escrever o diádico tangente na forma cartesiana
   +| | |  | n c t t t b , (071).
É evidente, por (071), que se uma curva é plana - caso em que ||=0 - o diádico
tangente é unilinear em todos os seus pontos. Reciprocamente, seja (C) uma curva,
por hipótese reversa, mas cujo diádico tangente seja unilinear em todo ponto, então, por
(071), é ||=0.
Resulta, então, demonstrado o seguinte
Teor.:
A CNS para que uma curva seja plana é que seja unilinear o diádico tangente de
todos os seus pontos.
Levando (08) a (051), encontramos:
]ˆ)ˆ(ˆ[ˆ|| tn.t.n  , (09),
ou, ainda, recorrendo ao vetor de  n:
n.nn.n ˆrotˆ)ˆ(ˆ|| V  , (10).

21. 21
Considerando (07) e (08) e recorrendo ao escalar de  n obtemos, ainda, duas
outras formas alternativas de representação da curvatura de flexão em R:
t.n.tc ˆ)ˆ(ˆ||  nn ˆdiv)ˆ( E  , (11).
As expressões (10) e (11) são de capital importância porque expressam as
curvaturas da curva em função dos invariantes do diádico tangente.
Raios e centros de curvatura, evolutas
Os inversos das curvaturas de flexão e de torção, por terem a dimensão de um
comprimento, denominam-se raio de curvatura de flexão e raio de curvatura de torção
de (C) em P; serão representados por rn e rt. Os pontos distantes de P, no mesmo sentido e
no sentido contrário de n, de comprimentos iguais, respectivamente, aos raios de curvatura
de flexão e de torção, denominam-se centros de curvatura de flexão e de torção de (C)
em P.
Como a cada P de (C) corresponde um e um único par de centros de curvatura
(dispostos de um lado e outro de P ao longo da normal principal), os lugares geométricos
desses pontos relativos a todos os pontos de (C) serão duas curvas, em geral reversas;
denominam-se evolutas de flexão e de torção da curva (C).
Se A é a projeção, sobre a tangente, da extremidade do vetor derivada direcional
da normal, este aplicado em P, o vetor de origem P e extremidade A tem por módulo a
curvatura de flexão e sentido oposto ao unitário da tangente. Seja E o centro de curvatura de
flexão da curva, ponto este, situado sobre o suporte da normal principal. A paralela a AN
conduzida pela extremidade do oposto do unitário da tangente passa por E. Com efeito, por
semelhança de triângulos temos:
PA
1
1
PE
donde, PE 1
PA
r .n   ,
| |
1
c
Analogamente, se B é a projeção da extremidade do vetor derivada direcional da
normal sobre a binormal, o vetor de origem P e extremidade B tem por módulo a curvatura
de torção e o mesmo sentido do unitário da binormal. Se T é o centro de curvatura de torção
- ponto este, situado sobre a normal principal (mas no sentido oposto ao do unitário desta)-,

22. 22
e se N' é o oposto de N em relação a P, a paralela a BN' conduzida pela extremidade do
unitário da binormal passa por T. Pois, tal como na demonstração anterior, por semelhança
de triângulos escrevemos:
PB
1
1
PT
donde, PT 1
PB
r .t   ,
| |
1

§06 - Curvaturas de curvas contidas em uma superfície.
A interseção de (S) com um plano qualquer, ), que contenha o unitário m da
normal a (S) no seu ponto corrente P é uma curva plana, ( )m , dita seção normal de (S)
em P.
Seja  o ângulo do plano de uma seção normal ( )m de (S) pelo ponto genérico P
com o plano de uma seção ( ) de (S) que contenha o unitário tm da seção normal. As
curvas ( ) e ( )m admitem o mesmo plano normal porque admitem o mesmo unitário de
tangente. O plano normal contem, além da normal `superfície, as normais principais de ( )
e ( )m . Os unitários destas normais principais,  n nm e , formam o mesmo ângulo  -
denominado ângulo normal das curvas - podendo-se, então, escrever:
 ,n n bm cos +sen   (01).
Coforme ((021),§05):
   1 1
r
d
d S
e
r
d
d Snm
m
n


 
,t.
n
t. n
Mas
d
d S
cos d
d S
sen d
d S
sen +cos d
d S
m
  
(  ) .
n n b n b      
Considerando que o vetor entre parênteses é bm e que t é perpendicular a b e a bm ,
resulta, multiplicando escalarmente ambos os membros dessa igualdade por t :
r r cosn nm , (02).
Se (C) é uma curva reversa contida em (S) e que admite a mesma tangente que
( )m em P, e se  é o ângulo do plano osculador de (C) com o plano de (m), são válidos,
ainda, os mesmos resultados anteriores, mantendo-se, inclusive, a nomenclatura do ângulo
normal das curvas. Isto nos permite concluir o seguinte
Teor.: (Meusnier)
O centro de curvatura relativo a um ponto de uma curva de uma superfície, é a
projeção, sobre o seu plano osculador, do centro de curvatura daquela seção da
superfície que é tangente à curva no ponto.
§07 - Curvaturas extremas de uma superfície.
Num ponto de uma curva sobre uma superfície, as curvaturas (de flexão e de
torção) dessa curva, são ditas, também, as curvaturas da superfície no ponto. Quando tais
curvas têm uma tangente comum, é válida a equação ((02),§06) que mostra, por evidência,

23. 23
que as curvaturas de flexão das seções normais são menores que as correspondentes de
todas as outras curvas. Nesse caso, então, pretendo-se determinar os extremados de tais
curvaturas, o caminho mais imediato consiste em estabelecer a expressão geral da curvatura
, na forma ((11),§05), onde  m n  é o unitário (constante) da normal à superfície e t -
uma incógnita - é o unitário da direção que extrema a curvatura. Assim,
| |  (  )   ,c t. m .t m .t   d
d S
(01).
Podemos entender, geometricamente, que o unitário t , variável, esteja especificando as
várias interseções de cada plano de um feixe que contem m, e um plano infinitamente
próximo do plano tangente à superfície e do qual se aproxima deslocando-se no sentido de
m. Nesse caso, a curva interseção da superfície com o plano vizinho da tangente é a
descrita pela extremidade do vetor d r, sendo
d d d d dS
2
m. r r. m. r c   | | , (011),
equação esta geometricamente equivalente a (01).
Ora, sendo uniplanar simétrico o diádico tangente, (011) é a equação de uma
cônica. Então, por (01) e (011), vemos que, enquanto a extremidade de t descreve a
circunferência de raio unitário e centro P, no plano tangente, a projeção R da extremidade
da derivada direcional de m sobre t , e a extremidade de d r, descrevem cônicas de
mesmos gêneros e coaxiais (elipses, hipérboles ou pares de retas), também do plano
tangente.
Os auto-valores de  m- os extremados da curvatura de flexão no ponto,
denominados curvaturas principais do ponto - são números reais finitos; e seus auto-
versores - as direções principais do ponto -, ortogonais. Supondo distintos os auto-valores
dos diádicos tangentes, designando-os por 1 1R Ri j, e os auto-versores por  i je ,
escrevemos:
     ,m i i j j1
R
+ 1
Ri j
(02)1,
sendo, ainda,
     ,i. m i j. m j   1 1
R
e
Ri j
(021).
Em forma diferencial, a equação (02) assim se escreve:
d d
R
d +
R
d
i
i
j
j
  ,m r. m r r   1 1 (03)2,
onde
d dS d e d dS di i j jr i r.i i r j r.j j    ( )  ( ), (031),
são os vetores deslocamento do ponto nas direções principais.
1Como  m existe sempre, finito e não nulo, ao menos um(a) dos(as) raios de curvatura (curvaturas)
da superfície é não nulo(a), isto é, ao menos um dos auto-valores é não nulo.
2É evidente que a repetição dos índices i e j, no caso, não implicam somatórias.

24. 24
Dos invariantes de  m importa considerar, no momento, o seu escalar e o seu
terceiro. Tem-se:
(  )  ,  m mE
i j
div
R
+
R
1 1 (04),
e
(  ) , m 3
1
R Ri j
(05).
O escalar do diádico tangente é a chamada primeira curvatura da superfície; é também, o
duplo da curvatura média (semi-soma das curvaturas principais de flexão) da superfície no
ponto. O terceiro do diádico tangente é a chamada segunda curvatura ou curvatura
gaussiana da superfície no ponto.
Podem-se determinar, com facilidade, o escalar e o terceiro do diádico tangente em
termos da função S(X,Y,Z)=constante, isto é, da equação da superfície em forma implícita.
Podemos escrever ((09),§03) na forma
|        .      S| S S + Sm mm. .mm .mm2
Sendo
(
    )   ,
(   )   ,
   
  
  
S) div S lap S,
( S S
S S
E
E
E
mm. .mm m. .m
.mm m. .m
tem-se, logo:
|  )   ,    S|( lap S SEm m. .m
ou
div
lap S
| S|
S S S
S|3

|
,m . .

   

(06).
Agora, tomando o terceiro de ambos os membros de ((09), §03) tem-se, aplicando
propriedades:
(  )
|
(   ) ( ) (   ) . 

  m mm mm3 3 3 3
1
S|
S2  
Sendo 1)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(,ˆˆ+ˆˆˆˆ 3  ji.jimmjjiimm  . Logo:
(  )
(
| )|
, 


m 3
S)
S
3
4 (07).
Fórmulas de Euler. Teorema de Dupin.

25. 25
Sejam | | | |c cu ve as curvaturas extremadas de flexão num ponto P de (S),
correspondentes às direções ortogonais definidas pelos unitários  u ve do plano tangente;
isto é, | | | |c cu ve são as curvaturas de flexão das seções planas de (S) correspondentes a
 u ve . Se   e + 2 são os ângulos de  u ve com i , então
     .u i j v i j  cos +sen e sen +cos   
Mas, sendo
| |    | |   ,c u. m.u c v. m.vu ve   
resulta, substituindo ,  u v me  pelos seus valores em função de  i je :
| | , | | ,c cu
i
2
j
2
v
i
2
j
2
R
cos + 1
R
sen
R
sen + 1
R
cos 1 1    (08).
Essas fórmulas são conhecidas como fórmulas de Euler; somando-as membro a membro,
tem-se:
| | | ,c cu v
i j
+|
R
+
R
 1 1
o que demonstra o seguinte
Teor.:
A soma das curvaturas em direções ortogonais por um ponto de uma superfície,
é igual ao escalar do diádico tangente do ponto,
ou, ainda,
Teor.: (Dupin)
A soma das curvaturas de flexão em duas direções ortogonais por um ponto de
uma superfície é constante e igual à soma das curvaturas principais desse ponto.
Nota:
Poderia parecer que o produto das curvaturas nas direções ortogonais fosse também
invariante e igual ao produto das curvaturas principais, o que não é verdade, nem tem razão de
ser. Tem-se:
| || | ) ] .c cu v
i j i jR R
+[2( 1
R
+ 1
R
sen 2 1 2

Classificação dos pontos de uma superfície.
Supondo, ainda, Ri  Rj, ao variar , a extremidade do unitário da tangente
descreve a circunferência de raio um; e o ponto R, a cônica tal, que, conforme a fórmula de
Euler:

26. 26
| | ,cu
i
2
j
2
uR
cos + 1
R
sen
R
 1 1 
ou, ainda, pondo
R cos X e R sen Y,u v  
a cônica
X
R
+ Y
R R
2
i
2
j u
 1 , (09).
Três situações devem ser analisadas quando Ri e Rj são distintos e não nulos:
- Se têm o mesmo sinal, rnu terá o sinal comum a Ri e Rj. A cônica é uma
elipse, e o ponto de diz elíptico. A superfície estará toda de um só lado do plano tangente
nas vizinhanças do ponto; e a superfície se dirá convexa no ponto.
- Se têm sinais diferentes, Ru terá o sinal de um ou do outro; a cônica é
uma hipérbole, e o ponto se dirá hiperbólico. Nas vizinhanças do ponto, a superfície estará
de um lado e outro do plano tangente, e se dirá côncavo-convexa.
Linha assintótica
Na direção em que Ru=  a cônica se degenera no par de (retas) assíntotas; a
direção correspondente será dita assintótica da superfície no ponto. Tais assíntotas serão
imaginárias se o ponto for elíptico; e reais se o ponto for hiperbólico.
Se num ponto, uma das curvaturas principais se anula, o diádico tangente - cujo
terceiro é, então, nulo - reduz-se à forma
   ;m i i1
Ri
a cônica degenera-se num par de retas paralelas à direção principal i . O ponto é dito, no
caso, parabólico.
O lugar geométrico dos pontos parabólicos de uma superfície pode ser
determinado imediatamente; basta impor a condição de que esses pontos devam satisfazer a
((01), § 01) e a (07) com (  ) m 3 0, isto é,
S(X,Y,Z) constante e S 3  ( ) 0.
A direção assintótica esta, pois, associada à nulidade da curvatura da superfície
nessa direção, caso em que (01) dá  t. md d S  0; isto é, a direção assintótica é
perpendicular ao vetor derivada direcional do unitário da normal à superfície no ponto. A
recíproca é evidente. Fica, pois, demonstrado o seguinte
Teor.:
A CNS para que uma direção por um ponto de uma superfície seja uma direção
assintótica é que essa direção seja perpendicular à derivada direcional do
unitário da normal à superfície pelo ponto.

27. 27
Se r é o vetor posicional do ponto genérico de uma curva sobre uma superfície, na
direção da qual a curvatura da superfície é nula em todo ponto, então, conforme (011), a
equação diferencial dessa curva é
d dm. r  0.
Uma curva de uma superfície, em cujas direções a curvatura da superfície é nula, é dita uma
linha assintótica dessa superfície.
As conclusões anteriores podem, então, ser resumidas na forma do seguinte
Teor.:
A CNS para que uma curva de uma superfície seja uma linha assintótica dessa
superfície é que as suas tangentes, em todos os seus pontos, sejam
perpendiculares às correspondentes derivadas direcionais do unitário da normal
à superfície.
Se num ponto de uma superfície os auto-valores são iguais, o diádico tangente
pode ser reduzido (de infinitas maneiras) à forma
  (   ),m i i j j1
R
+
i
onde  i je são dois unitários ortogonais arbitrários do plano tangente. A cônica (07) é
degenerada na circunferência de equação
,
R
R
YX
u
2
22

e o ponto correspondente é dito umbílico; nas suas vizinhanças a superfície é convexa e as
direções assintóticas são imaginárias.
Como a cônica (09) indica a natureza (elíptica, hiperbólica ou parabólica) dos
pontos da superfície aos quais está ligada, costuma-se denomina-la cônica indicatriz,
embora haja quem a denomine, também, de indicatriz de Dupin.
As indicatrizes de todos os pontos dos elipsóides e dos hiperbolóides de duas
folhas são elipses; essas quádricas são, pois, convexas em todos os seus pontos. Já a
indicatriz de todos os pontos do hiperbolóide de uma folha é uma hipérbole; ele é
totalmente côncavo-convexo. A indicatriz de uma superfície esférica é uma circunferência
(degeneração da elipse); ela é, pois, convexa, e seus pontos, todos umbílicos. A indicatriz
de todos os pontos de um cone ou de um cilindro é um par de retas paralelas; logo, todos os
seus pontos são parabólicos.
Linhas de curvatura
Ora, para qualquer curva reversa de (S), (   )m m rd d  0 em geral, porque a normal
à superfície e a normal principal da curva em geral são distintas. Mas às direções principais
de um ponto correspondem duas curvas reversas tais, que
(   ) (   )m m r m m rd d e d di j 0 0, (10),

28. 28
o que se comprova facilmente multiplicando escalarmente ambos os membros de (031) por
mm ˆdˆ  . Com efeito, pois, mm ˆdˆ  é um vetor perpendicular ao plano tangente, logo,
perpendicular a  i je a .
Então, em geral, para os pontos de uma curva (C) de (S), as normais à superfície
em pontos vizinhos não se interceptam; mas, para cada ponto da superfície há duas curvas
sobre (S), reversas em geral, em cujos pontos vizinhos as normais a (S) se interceptam. Tais
curvas reversas, ortogonais, cujas tangentes no ponto são as direções principais do ponto ou
os eixos (principais) da cônica indicatriz do ponto, denominam-se linhas de curvatura.
Ora, d e dm r são vetores do plano tangente; e devendo ser coplanares com m,
são paralelos. Assim, se uma curva reversa de uma superfície é uma linha de curvatura, em
todos os seus pontos o deslocamento na direção dessa curva é sempre paralelo ao
correspondente vetor derivada direcional do unitário da normal a essa superfície. A
equação diferencial de uma linha de curvatura é, então:
orm dˆd , (11).
Reciprocamente, se para todo ponto de uma certa curva de uma superfície subsiste
a equação (11), podemos escrever, lembrando (05) e (02):
dr. m  . rjjiir.r d)ˆˆ+ˆˆ
R
1
(d0d
i

Representando por  o ângulo de dr com a direção principal do ponto, definida pelo
unitário i , tem-se:
.ˆcos|d|dˆ,ˆsen|d|d
sen|d|ˆ.d,cos|d|ˆ.d
mrrjmrri
rjrrir




Logo:
1
2
1 1 0
2
2
| | ( )  , , .d
R
+
R
sen 2 isto é , ou
i j
r m o     
Então, se subsiste (11), a direção de dr ou é a de i , ou é a de j . Resulta, assim,
demonstrado o seguinte
Teor.:
A CNS para que uma curva de uma superfície seja uma linha de curvatura é que
a tangente a essa curva num ponto qualquer seja paralela à derivada direcional
da normal à superfície nesse ponto.
Então, sobre a superfície existem dois sistemas (duas famílias) de linhas de curvatura,
ortogonais, cuja equação diferencial é
(   )m m rd d  0, (12),
ou cuja equação integral é
um.u.mu
m
m ˆˆˆˆ0)ˆ
dS
ˆd
(  , (13).
Normálias. Superfície dos centros.

29. 29
As normais a uma superfície ao longo de cada linha de curvatura de um seu ponto
geram duas superfícies regradas denominadas normálias do ponto. As normálias gozam da
propriedade de serem desenvolvíveis, o que se justifica pelas (08). O ponto de interseção
das normais vizinhas ao longo de cada linha de curvatura de um ponto é um centro de
curvatura da superfície no ponto; logo, num ponto, uma superfície tem dois centros de
curvatura. As distâncias dos centros de curvatura aos pontos correspondentes da superfície
são os raios de curvatura da superfície3. Quando um ponto se desloca sobre uma linha de
curvatura, os centros de curvaturas correspondentes se deslocam sobre uma segunda curva,
em geral reversa. Portanto, a cada ponto da superficie corresponde duas curvas reversas,
lugares geométricos dos centros de curvaturas da superfície. A cada sistema de linhas de
curvatura corresponderá, então, uma superfície. Na verdade, como as linhas de curvatura
existem aos pares para cada ponto, a superfície lugar geométrico dos centros de curvatura
de todos os pontos de (S) é composta de duas folhas, cada folha correspondendo-se com um
sistema de linhas; tal superfície denomina-se superfície dos centros.
§03 - O diádico gradiente do unitário da normal a uma superfície.
Embora existam infinitos sistemas regulares de coordenadas curvilíneas para
representar uma dada superfície, existe sempre, determinado e único, o unitário m da
normal a (S) no seu ponto genérico R. Podemos escrever:
||
ˆ
21
21
rr
rr
m


 , (01).
Por ser, então,  m.m 1, resulta4 dm. m  0. Por ser m uma função de U1 e U2
tem-se também  
m. m
 

U
dU  0. Os vetores 
 
U
m , além de finitos, pertencem também ao
plano tangente. Logo:
A variação (total ou parcial) do unitário da normal a uma superfície num ponto
é um vetor do seu plano tangente nesse ponto.
Postulando-se uma relação entre as coordenadas curvilíneas (contravariantes, por
exemplo) U1 e U2, seja em forma implícita: H(U ,U ) C const.
1 2
  , ou em forma
paramétrica (em relação aos comprimentos de arco):U U S)
1 1
 ( e U U S)
2 2
 ( - funções
essas, todas contínuas e com derivadas contínuas - fixa-se uma curva, (C), geralmente
reversa sobre a superfície. Seja P o seu ponto genérico fixado para um dado valor do arco, e
portanto, para os valores U1 e U2 determinados das coordenadas curvilíneas. Estas linhas
3Devemos observar novamente que os centros e os raios de curvatura das linhas de curvatura são
distintos daqueles da superfície, porque a normal à superfície e as normais principais dessas curvas
são retas distintas. Aliás, conforme o teorema de Meusnier, as curvaturas das linhas de curvatura são
menores que as curvaturas da superfície.
4 Supomos conhecidas do leitor as propriedades formais de derivadas e diferenciais de vetores,

30. 30
coordenadas de P e as U1+dU1 e U2+dU2 (das suas vizinhanças) definem um quadrilátero
curvilíneo elementar arbitrário, PQRS. O arco PR de (C) é, pois, um deslocamento
arbitrário de P sobre (S); podemos representa-lo na forma
d d Sr u  , (02),
onde dS é a medida algébrica do arco PR e u o unitário da tangente a (C) em P. A normal à
superfície é também a normal a (C) porque ambas são paralelas às variações dos unitários
das tangentes de todas as curvas que passem por P. Por outro lado,
d d U
U
d U (r r r  





, , ),12 (03),
e, conforme ((03),§02),
d d U
U
d U
U
( , 
( )

, , )m m r .r m  









  12 .
Agrupando convenientemente, vem:
d d U
U
( , ( ) (

), , )m r . r m 





  12 ,
ou melhor, considerando (03):
d d  ,m r . m  (04),
com
 =
U
( 
, , ),m r m



 12 (05).
Então:
Nas vizinhanças de qualquer ponto de uma superfície regular, a variação do
unitário da normal é uma função vetorial linear da variação do ponto.
O diádico  m, isto é, o gradiente do unitário da normal à superfície, existe
sempre finito, não nulo, e é evidentemente uniplanar porque os seus antecedentes e os seus
conseqüentes pertencem ao plano tangente.
Definição: ( diádico gradiente)
O diádico  m será denominado diádico tangente da superfície no seu ponto
genérico.
Propriedades do diádico tangente
Teor. 1:
O diádico tangente é simétrico:
  T  ,m m (06).
Pelo teorema de Stokes, o fluxo do rotacional de m através da área do quadrilátero
curvilíneo PQRS é igual à circulação ao longo do contorno PQRS que é fechado.
Desprezando, no cálculo da circulação, os infinitésimos de ordem superior à primeira,

31. 31
teremos: (  ) rot d Sm .m  0,isto é, rot  ,m o porque rot m não é necessariamente
ortogonal a m. Então,  m tem vetor nulo, sendo, pois, simétrico.
Podemos fazer uma segunda demonstração deste teorema que consiste em escrever
  S S ||  ,m porque  S é normal à superfície. Então, posto que no espaço euclideano
tridimensional rot S  o, e que, conforme fórmula conhecida do Cálculo Poliádico5:
rot ( S | S |)|  ) ( |   m +ˆm | S |rot m o,
resulta rot  ,m o porque   S ||  .m E sendo nulo o vetor do diádico tangente, este
diádico é simétrico.
Em resumo:
Em todo ponto de uma superfície regular, o diádico tangente correspondente é
uniplanar, simétrico, e seu plano é o plano tangente à superfície pelo ponto.
Por isso mesmo:
  (  )  ,m. m m .m o    (07),
e
,)ˆ()ˆˆ()ˆˆ()ˆ(  m.mmmm.m (08),
expressões nas quais o é o vetor nulo e  é o diádico nulo.
Teor. 2:
Tem-se:
 

  
|
(   ) (   ),m mm . . mm1
S |
S  (09),
onde  é o diádico unidade do espaço euclideano tridimensional.
De   S S ||  ,m podemos escrever:  S ( S . m m )  ; donde, tomando  de
ambos os membros, aplicando propriedades do operador  sucessivamente, e agrupando
convenientemente6:
      
     
S S +( S
S +( S) +( S
[ (  )]   ) 
(   )    )  .
.m m .m m
. mm m. m .m m
Transpondo termos, reagrupando, lembrando (08) e considerando, ainda, que
|S|ˆS  m.
    S ( S | +. mm m. mm   ) |  (   ).
Finalmente, considerando que
5Genericamente, se F é escalar e v é um vetor, ambos variáveis,   ( ) ( .F F) +Fv v v Logo,
tomando o vetor de ambos os membros: .rotF+F)()rot(F vvv 
6 Além das fórmulas já citadas consideraremos também, que:     ( ) ( ) ( )a.b a .b b .a .

32. 32
(   )  (   )   )  ]   (   ),       mm . m. mm m m .m m m m. m+ +[(
e lembrando (07), tem-se, logo, (09).
§04 - Derivada direcional do unitário da normal a uma superfície.
Consideremos um deslocamento arbitrário na direção dos S crescentes da curva
reversa (C) contida em (S). Podemos escrever ((04),§03) na forma
d
d S
   (  ) ,m u. m m .u    (01).
Definição: (deriva direcional)
O vetor d d Sm é a variação de m por unidade de comprimento de arco no
ponto, na direção da curva (C); denomina-se vetor derivada direcional de m na
direção de u.
Então:
O vetor derivada direcional do unitário da normal a uma superfície no seu
ponto genérico, na direção de um unitário qualquer do seu plano tangente, é o
vetor desse plano, transformado desse unitário mediante o diádico tangente do
ponto.