O documento discute a esfera como objeto geométrico, apresentando suas definições, elementos, propriedades e cálculos de área e volume. Explica que a esfera pode ser encontrada em diversos contextos e foi objeto de estudo de matemáticos desde a antiguidade. Também reflete sobre a importância do ensino deste tópico na escola.

1. Tatiane Alvarenga e Elton Ribeiro
Licenciandos em Matemática
Prof(a): Ana Cláudia
14 de junho de 2011

2. Bola na trave não altera o placar
Bola na área sem ninguém pra cabecear
Bola na rede pra fazer um gol
Quem não sonhou ser um jogador de futebol?
O futebol é um dos esportes mais
populares no mundo. Praticado em
centenas de países, este esporte desperta
tanto interesse em função de sua forma de
disputa atraente.

3. Embora não se tenha muita certeza sobre os
primórdios do futebol, historiadores
descobriram vestígios dos jogos de bola em
várias culturas antigas. Estes jogos de bola
ainda não eram o futebol, pois não havia a
definição de regras como há hoje, porém
demonstram o interesse do homem por este
tipo de esporte desde os tempos antigos.
O futebol tornou-se tão popular graças a seu
jeito simples de jogar. Basta uma bola,
equipes de jogadores e as traves, para que,
em qualquer espaço, crianças e adultos
possam se divertir com o futebol. Na rua, na
escola, no clube, no campinho do bairro ou até
mesmo no quintal de casa, desde cedo jovens
de vários cantos do mundo começam a
praticar o futebol.

4. Falando em futebol, logo penso....
Porque a bola é redonda?
Bola vem do Latim bulla, “corpo redondo,
esfera”. Gerou, entre outras palavras: bolha;
também originou bolo, que tem forma redonda.
A bola é redonda porque ela precisa rolar
com facilidade e ela é formada por
exágonos e ectágonos. Se ela fosse
quadrada ela teria mais dificuldades no
trabalho de rolar que é o objetivo dela.

6. Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de
pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual
ao raio R.
Considerando a rotação completa de um semicírculo em
torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa
rotação.

7. O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao
ponto O são menores do que o R é chamado de interior
da esfera.
O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao
ponto O são iguais a R chamado de superfície da
esférica.
O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao
ponto O são maiores do que R é chamado de exterior da
esfera.

8. Atenção!
Não confunda esfera com superfície esférica. A
superfície esférica é apenas a “casca” da esfera; a
esfera é a reunião da superfície com o conjunto de
pontos interiores.
Chama-se superfície da esfera de centro O e raio r ao
conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância
OP seja igual ao raio.
A superfície de uma esfera é também a superfície de
revolução gerada pela rotação de uma
semicircunferência com extremidades no raio.

9. Plano secante à esfera
O plano intersecciona a esfera formando duas partes, se
o plano corta a esfera passando pelo centro temos duas
partes de tamanhos iguais.

10. Plano externo à esfera
O plano e a esfera não possuem pontos em
comum.

11. Plano tangente à esfera
O plano tangencia a esfera em apenas um ponto,
formando um ângulo de 90º graus com o eixo de
simetria.

12. Elementos da esfera
Considerando a superfície de uma esfera de eixo e,
temos:
Equador: é a seção (circunferência) perpendicular
ao eixo, pelo centro da superfície;
Pólos: são as interseções da superfície com o eixo;
Paralelo: é qualquer seção (circunferência)
perpendicular ao eixo;
Meridiano: é qualquer seção (circunferência) cujo plano
passa pelo eixo.

14. Planificação da esfera

15. É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
Zona esférica é a superfície de revolução cuja geratriz
é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal
que:
 passa pelo centro da circunferência que contém o
arco;
não passa por nenhum extremo do arco, nem
intercecta o arco em outro ponto;
 é coplanar com o arco

16. É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
É a superfície de revolução cuja geratriz é
um arco de circunferência e cujo eixo é uma
reta tal que:
passa pelo centro da circunferência que contém o
arco;
 passa por nenhum extremo do arco e não o
intercecta em outro ponto;
é coplanar com o arco

17. É a interseção da superfície de uma esfera com um
diedro( ou setor diedral), cuja aresta contém um
diâmetro dessa superfície esférica.O que caracteriza o
fuso é o ângulo medido na secção equatorial.

18. É a interseção da superfície de uma esfera com um
diedro( ou setor diedral), cuja aresta contém um
diâmetro dessa superfície esférica.O que caracteriza
a cunha é o raio da esfera e a medida do diedro

19. Toda secção plana de uma esfera é um
círculo.
Qualquer secção da
esfera é um círculo. O
que não acontece com
os demais sólidos ( as
secções variam de
acordo com a posição
dos planos de corte).

20. OO’ é a distância do plano α ao centro da
esfera. Qualquer plano α que seciona uma
esfera de raio R determina como seção
plana um círculo de raio R.
2 2 2
R d r= +

21. Se o plano secante passa pelo centro da
esfera temos como secção um círculo
máximo da esfera.

22. Quando o plano que secciona a esfera
contiver um diâmetro, teremos d = 0. Nesse
caso, o círculo determinado terá raio R e será
denominado círculo máximo.
Quando o plano que secciona a esfera
contiver um diâmetro, teremos d = 0. Nesse
caso, o círculo determinado terá raio R e será
denominado círculo máximo.

23. Definição de área, segundo o
dicionário Aurélio:
1)Medida de uma superfície.
Analisemos,então, a área da
esfera...

24. ÁREA DAS SUPERFICIES ESFÉRICA
S
 CALOTA E ZONA ESFÉRICA
h
calota
calota .R..2A
↓
π= h
zona
zona .R..2A
↓
π=
 SUPERFÍCIE DA ESFERA
A superfície da esfera pode ser entendida,por
extensão,como uma calota ou zona esférica de altura
igual ao diâmetro.
{
diâmetro
2
altura
A 2. .R. 2R 4. .R= π = π

25. esféricofusodoÁrea




→α
π→
α⇒
fuso
0
20
A
r..4360
grausem




→α
π→π
α⇒
fuso
2
A
r..42
radianosem
Sendo a medida
do diedro,temos :
α

26. Definição de volume, segundo o
dicionário Aurélio:
Medida do espaço ocupado por
um sólido .
Analisemos,então, o volume da
esfera...

27. 2
aRaR2 =→=
2
3aR3aR2 =→=

28. A esfera é um sólido que se encontra em diversas situações:
Seja numa partida de futebol,
em grandes monumentos ou até mesmo o próprio planeta terra
assemelha-se a uma esfera
(neste caso, a Terra é um esferóide, pois é achatada nos pólos).
Esse seminário visa mostrar as diversas situações que um aluno
de matemática estuda este sólido e o quanto este estudo vai
sendo aprofundado no decorrer dos anos.

29. Na própria história da matemática esse sólido sempre
foi um objeto de estudo entre muitos pesquisadores da
antiguidade, do próprio Arquimedes.
Ao realizar esse seminário podemos refletir a
importância do estudo da esfera dentro de uma sala de
aula. A partir dessa análise, criamos um maneira
facilitadora, que deve ser levado ao conhecimento de
outros alunos da área com o intuito de mostrar as
diversas maneiras de abordar o assunto, e
principalmente, fazer uma relação entre as disciplinas
onde o assunto é abordado. Com esse encadeamento,
os acadêmicos do curso podem buscar maneiras
alternativas para o ensino da esfera.

30. Assistiremos um vídeo para refletirmos a
idéia :
“O que é ser professor”

32.  http://www.somatematica.com.br/emedio/esp
acial/espacial23.php
 http://www.brasilescola.com/matematica/esfe
ra.htm
 http://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera
 http://www.slideboom.com/presentations/207
111/Esferas-(matem%C3%A1tica)
 http://junic.unisul.br/2007/JUNIC/pdf/0073.pdf
 http://www.youtube.com/watch?
v=LoIW3m7ADBQ
 http://www.youtube.com/watch?
v=LcOZ29j6I00
 http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd
_15t.php