Bifurcações de Equilíbrios de Codimensão Um [Apresentação]

Bifurcações de Codimensão Um
Elton Ribeiro da Cruz
Licenciando em Matemática
Orientadora:
Profa. Dra. Maria do Carmo Pacheco de Toledo Costa
Departamento de Ciências Exatas - DEX
UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS
Elton (UFLA) Bifurcações 1 / 59

Introdução: Equações diferenciais
As equações diferenciais são importantes para as ciências, pois informam
como a variação de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas.

Aplicam-se na resolução de problemas nas áreas da Matemática e Física,
além dos domínios da Biologia e da Química, da Geograﬁa, da Economia
e até mesmo na Música.

Aplicam-se na resolução de problemas nas áreas da Matemática e Física,
além dos domínios da Biologia e da Química, da Geograﬁa, da Economia
e até mesmo na Música.
Geralmente, essas equações se apresentam em conjunto, formando um
sistema de equações diferenciais.

Foco deste trabalho
Sistemas dinâmicos que contêm uma única equação diferencial ordinária de
primeira ordem — sistema unidimensional — com variáveis contínuas e um
parâmetro.

Foco deste trabalho
Sistemas dinâmicos que contêm uma única equação diferencial ordinária de
primeira ordem — sistema unidimensional — com variáveis contínuas e um
parâmetro.
Objetivo principal
Estudar as bifurcações de codimensão um, que acontecem ao se variar o valor
de um único parâmetro do sistema unidimensional.

Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem
Deﬁnição
Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é uma equação da forma
y = f(x,y), (1)
sendo f : U ⊂ R → R uma função dada, U um conjunto aberto, y = y(x) a
função incógnita e y =
dy
dx
sua derivada.

Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem
Deﬁnição
Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é uma equação da forma
y = f(x,y), (1)
sendo f : U ⊂ R → R uma função dada, U um conjunto aberto, y = y(x) a
função incógnita e y =
dy
dx
sua derivada.
Deﬁnição (Linearidade)
A equação (1) é dita linear se a função f for linear nas variáveis y e y . Caso
contrário, a equação é dita não linear.

Exemplo (Modelo de Malthus)
A equação
dN
dt
= λN
é linear, pois a função f(N,t) = λN é linear na variável N.

A equação
dN
dt
= λN
A constante λ é a taxa de crescimento (ou declínio) da população.

A equação
dN
dt
= λN
O economista inglês Thomas Robert Malthus (1766-1834) propôs esse modelo
para descrever o crescimento de uma população N(t) em função do tempo t.

A equação
dN
dt
= λN
O economista inglês Thomas Robert Malthus (1766-1834) propôs esse modelo
para descrever o crescimento de uma população N(t) em função do tempo t.
Exemplo
A equação
y =
x
y
é não linear, já que a função f(x,y) = xy−1 é não linear na variável y.

Solução de uma equação diferencial
Deﬁnição
Uma função y : I → R deﬁnida e diferenciável em um intervalo aberto I ⊂ R, é
uma solução da equação diferencial (1) no intervalo I se
y (x) = f(x,y(x)),
para todo x ∈ I e (x,y(x)) pertencente ao domínio de f.

Solução de uma equação diferencial
Definição
Uma função y : I → R definida e diferenciável em um intervalo aberto I ⊂ R, é
uma solução da equação diferencial (1) no intervalo I se
y (x) = f(x,y(x)),
para todo x ∈ I e (x,y(x)) pertencente ao domínio de f.
Definição
Se y : I → R é uma solução de y = f(x,y) e y(x0) = y0, dado (x0,y0)
pertencente ao domínio de f, diz-se que essa solução satisfaz a condição inicial
y(x0) = y0 ou, o problema de valor inicial,
y = f(x,y), y(x0) = y0. (2)

Exemplo
Encontre as soluções do modelo de Malthus
dN
dt
= λN.

Exemplo
Encontre as soluções do modelo de Malthus
dN
dt
= λN.
Essa equação pode ser resolvida facilmente usando o método das equações
diferenciais separáveis.

Assim, uma solução particular do modelo de Malthus é dada por
N(t) = N0eλt
,
que depende do sinal da constante λ, a taxa de crescimento (ou declínio) da
população N(t):

N(t) = N0eλt
,
população N(t):
Se λ > 0, então a função N apresenta crescimento exponencial, de modo
que a população está aumentando;

N(t) = N0eλt
,
população N(t):
Se λ > 0, então a função N apresenta crescimento exponencial, de modo
que a população está aumentando;
Se λ < 0, então a função N exibe decaimento exponencial, de modo que a
populaçao está diminuindo.

Soluções do modelo de Malthus, para C =
1
2
,1,2,3
λ = 1

Soluções do modelo de Malthus, para C =
1
2
,1,2,3
λ = −1

Exemplo
Resolva a equação diferencial
y =
x
y
, y = 0.

Exemplo
y =
x
y
, y = 0.
A equação dada possui a forma
y =
h(x)
g(y)
, g(y) = 0,
e é chamada de separável. Temos:

Exemplo
y =
x
y
, y = 0.
y =
h(x)
g(y)
, g(y) = 0,
dy
dx
=
x
y

Exemplo
y =
x
y
, y = 0.
y =
h(x)
g(y)
, g(y) = 0,
dy
dx
=
x
y
y dy = x dx

Exemplo
y =
x
y
, y = 0.
y =
h(x)
g(y)
, g(y) = 0,
dy
dx
=
x
y
y dy = x dx
y2
= x2
+C,

Exemplo
y =
x
y
, y = 0.
y =
h(x)
g(y)
, g(y) = 0,
dy
dx
=
x
y
y dy = x dx
y2
= x2
+C,
sendo C uma constante de integração.

Algumas soluções da equação diferencial y =
x
y
C = 1
C = −1
C = 0
C = −5
x
y

O pontilhado no eixo dos x é para mostrar que não há soluções passando por
pontos da forma (a,0).

Campo de direções
Um problema
Em geral, nem todas as equações diferenciais ordinárias de primeira ordem que
aparentam ser simples são resolvíveis de forma explícita.

Campo de direções
Um problema
Em geral, nem todas as equações diferenciais ordinárias de primeira ordem que
aparentam ser simples são resolvíveis de forma explícita.
Em muitas aplicações não é necessário conhecer a expressão algébrica das
soluções de uma equação diferencial, mas sim investigar as propriedades
geométricas de sua família de soluções.

Com uma análise geométrica da função f é possível extrair várias informações
importantes sobre as soluções de
y = f(x,y). (3)

Com uma análise geométrica da função f é possível extrair várias informações
importantes sobre as soluções de
y = f(x,y). (3)
Para cada ponto (x,y), no domínio de f, a reta tangente à solução de (3), que
passa por este ponto, tem uma inclinação dada por f(x,y). Em outras palavras,
as soluções da equação (3) são curvas cujas tangentes em cada ponto são
deﬁnidas por essas inclinações.

Deﬁnição
O campo de direções é um conjunto de vetores no plano cartesiano xy traçados
em cada ponto (x,y) com inclinação igual a f(x,y).

Deﬁnição
O campo de direções é um conjunto de vetores no plano cartesiano xy traçados
em cada ponto (x,y) com inclinação igual a f(x,y).
Como o campo de direções sugere um “padrão de ﬂuxo” para a família de
curvas solução da equação diferencial (3), ele facilita o desenho de qualquer
solução em particular.

Exemplo
O campo de direções para o modelo de Malthus, para λ = 1 e λ = −1,
respectivamente:

Exemplo
Campo de direções da equação y = x/y e a solução do problema de valor
inicial y = x/y, y(3) = 2.

Retrato de fase
Vamos restringir nosso estudo às equações diferenciais ordinárias de primeira
ordem, na qual a variável independente não aparece explicitamente e que são
chamadas de equações autônomas.

Retrato de fase
Vamos restringir nosso estudo às equações diferenciais ordinárias de primeira
ordem, na qual a variável independente não aparece explicitamente e que são
chamadas de equações autônomas.
Deﬁnição
Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem da forma
dy
dt
= f(y), (4)
sendo que a função f depende somente de y e não da variável independente t, é
chamada de equação autônoma. Caso contrário, a equação acima é dita não
autônoma.

Exemplo
O modelo de Malthus dado por
dN
dt
= λN
é uma equação autônoma, pois a função f depende apenas de N.

Exemplo
O modelo de Malthus dado por
dN
dt
= λN
é uma equação autônoma, pois a função f depende apenas de N.
Exemplo
A equação diferencial
dx
dt
= x2
−1
é autônoma, pois a função f depende apenas da variável x.

Exemplo
A equação diferencial
dy
dx
=
x
y
é não autônoma, pois a função f depende explicitamente da variável
independente x.

Deﬁnição (Solução de equilíbrio)
Se y∗ é um zero de f, isto é, f(y∗) = 0, então y(t) = y∗ é solução de (4) e é
chamada de solução de equilíbrio ou estacionária e o ponto y∗ é chamado de
ponto de equilíbrio, singularidade ou ponto crítico.

Deﬁnição (Solução de equilíbrio)
Se y∗ é um zero de f, isto é, f(y∗) = 0, então y(t) = y∗ é solução de (4) e é
chamada de solução de equilíbrio ou estacionária e o ponto y∗ é chamado de
ponto de equilíbrio, singularidade ou ponto crítico.
Do ponto de vista qualitativo é importante saber se esta solução de equilíbrio é
estável, ou seja, se uma pequena pertubação na posição de equilíbrio resultará
em um retorno ou em um afastamento desta posição.

Deﬁnição (Estabilidade)
Um ponto de equilíbrio y∗ é estável, se dado ε > 0, existe δ > 0, tal que para
|y0 −y∗| < δ, a solução do problema de valor inicial
dy
dt
= f(y), y(0) = y0
é tal que |y(t)−y∗| < ε para todo t 0. Um ponto de equilíbrio que não é
estável é chamado de instável.

dy
dt
= f(y), y(0) = y0
Em outras palavras, todas as soluções que partem suﬁcientemente próximas de
y∗ são deﬁnidas para todo t 0 e se mantém perto deste ponto.

dy
dt
= f(y), y(0) = y0
Em outras palavras, todas as soluções que partem suficientemente próximas de
y∗ são definidas para todo t 0 e se mantém perto deste ponto.
Definição (Estabilidade assintótica)
Um ponto de equilíbrio y∗ é assintoticamente estável, se for estável e se existir
η > 0 tal que lim
t→∞
y(t) = y∗
quando |y0 −y∗| < η.

Teorema (da Estabilidade)
Seja y∗ um ponto de equilíbrio de (4) com f de classe C1, isto é, f é derivável e
sua derivada é contínua. Então f (y∗) < 0 implica que y∗ é assintoticamente
estável, e f (y∗) > 0 implica que y∗ é instável.

Demonstração:
Vamos analisar a variação de y(t)−y∗:

Demonstração:
d
dt
(y(t)−y∗
)2

Demonstração:
d
dt
(y(t)−y∗
)2
= 2(y(t)−y∗
)
dy
dt

Demonstração:
d
dt
(y(t)−y∗
)2
= 2(y(t)−y∗
)
dy
dt
= 2(y(t)−y∗
)f(y(t)).

Demonstração:
d
dt
(y(t)−y∗
)2
= 2(y(t)−y∗
)
dy
dt
= 2(y(t)−y∗
)f(y(t)).
Pelo Teorema do Valor Médio temos que
f (ξ(t)) =
f(y(t))−f(y∗)
y(t)−y∗
, (5)

Demonstração:
d
dt
(y(t)−y∗
)2
= 2(y(t)−y∗
)
dy
dt
= 2(y(t)−y∗
)f(y(t)).
Pelo Teorema do Valor Médio temos que
f (ξ(t)) =
f(y(t))−f(y∗)
y(t)−y∗
, (5)
para ξ(t) um valor entre y(t) e y∗.

Logo, multiplicando a equação (5) por 2(y(t)−y∗)2 temos
2(y(t)−y∗
)[f(y(t))−f(y∗
)] = 2(y(t)−y∗
)2
f (ξ(t)),

2(y(t)−y∗
)[f(y(t))−f(y∗
)] = 2(y(t)−y∗
)2
f (ξ(t)),
ou seja,
2(y(t)−y∗
)f(y(t)) = 2(y(t)−y∗
)2
f (ξ(t)),
pois f(y∗) = 0.

2(y(t)−y∗
)[f(y(t))−f(y∗
)] = 2(y(t)−y∗
)2
f (ξ(t)),
ou seja,
2(y(t)−y∗
)f(y(t)) = 2(y(t)−y∗
)2
f (ξ(t)),
pois f(y∗) = 0.
Assim, se f (y∗) < 0, pela continuidade de f existem η > 0 e δ > 0 tal que se
|y−y∗| < δ então f (y) < −η < 0.

Logo, se para algum t0, a solução y(t) de (4) é tal que |y(t0)−y∗| < δ, segue
que α(t) deﬁnido como (y(t)−y∗)2 é decrescente para t t0.

Além disso, temos
d
dt
α(t) −ηα(t) para t t0.

Além disso, temos
d
dt
Logo α(t) Ce−ηt, o que implica que y(t) tende a y∗ quando t → ∞.

Além disso, temos
d
dt
Logo α(t) Ce−ηt, o que implica que y(t) tende a y∗ quando t → ∞.
Quando f (y∗) > 0, faz-se um raciocínio análogo.

Monteiro (2002) apresenta um procedimento para representar os pontos de
equilíbrio da equação (4):

Trace o eixo y;

Trace o eixo y;
Marque o ponto de equilíbrio y∗;

Trace o eixo y;
Se f(y) > 0, desenhe ﬂechas apontando para a direita, no sentido em que y
cresce, já que nesse caso, dy/dt > 0;

Trace o eixo y;
Se f(y) < 0, desenhe ﬂechas apontando para a esquerda, no sentido em
que y decresce, já que nesse caso, dy/dt < 0;

Trace o eixo y;
Se as ﬂechas chegam ao ponto de equilíbrio, ele é assintoticamente estável
e é representado por uma bolinha cheia;

Trace o eixo y;
Se as ﬂechas chegam ao ponto de equilíbrio, ele é assintoticamente estável
e é representado por uma bolinha cheia;
Se as ﬂechas se afastam do ponto de equilíbrio, ele é instável e é
representado por uma bolinha vazia.

Exemplo
Analise a estabilidade dos pontos de equilíbrio para o modelo de Malthus
dN
dt
= λN = f(N). (6)

Exemplo
dN
dt
= λN = f(N). (6)
Primeiramente, vamos encontrar os pontos de equilíbrio, fazendo
dN
dt
= 0.

Exemplo
dN
dt
= λN = f(N). (6)
dN
dt
= 0.
Desse modo, obtemos
N∗
= 0.

Exemplo
dN
dt
= λN = f(N). (6)
dN
dt
= 0.
Desse modo, obtemos
N∗
= 0.
Consideremos a função f(N) dado pelo segundo membro da equação (6):
f(N) = λN.

Suponhamos que λ > 0. Desse modo, obtemos o seguinte gráﬁco de f(N):

0 N
f(N)

0 N
f(N)
A ﬁgura a seguir é chamada de retrato de fase, também conhecido como linha
de fase (para uma dimensão). O ponto crítico N∗ = 0 é instável.
Retrato de fase do modelo de Malthus para λ > 0
0 N

0 N
f(N)
A ﬁgura a seguir é chamada de retrato de fase, também conhecido como linha
de fase (para uma dimensão). O ponto crítico N∗ = 0 é instável.
Retrato de fase do modelo de Malthus para λ > 0
0 N
Observemos também que f (N∗) = λ > 0, logo pelo Teorema da estabilidade
N∗ = 0 é instável.

Campo de direções para o modelo de Malthus, para λ = 1

Agora consideremos λ < 0. Assim, obtemos o seguinte gráﬁco de f(N):

0 N
f(N)

0 N
f(N)
O ponto crítico N∗ = 0 é assintoticamente estável.
Retrato de fase do modelo de Malthus para λ < 0
0 N

0 N
f(N)
O ponto crítico N∗ = 0 é assintoticamente estável.
Retrato de fase do modelo de Malthus para λ < 0
0 N
Observemos também que f (N∗) = λ < 0, logo pelo Teorema da estabilidade
N∗ = 0 é assintoticamente estável.

Campo de direções para o modelo de Malthus, para λ = −1

Exemplo
Analise a estabilidade dos pontos de equilíbrio da equação
dx
dt
= x2
−1.

Exemplo
dx
dt
= x2
−1.
Para encontrarmos os pontos de equilíbrio, basta calcular as raízes da equação
x2
−1 = 0.

Exemplo
dx
dt
= x2
−1.
x2
−1 = 0.
Logo, temos dois pontos de equilíbrio: x∗
1 = −1 e x∗
2 = 1. Se o valor de x for
menor que −1, f(x) = x2 −1 é positivo, para x compreendido entre −1 e 1, f(x)
é negativo. Por ﬁm, se x for maior que 1, f(x) é positivo.

Exemplo
dx
dt
= x2
−1.
x2
−1 = 0.
Logo, temos dois pontos de equilíbrio: x∗
1 = −1 e x∗
2 = 1. Se o valor de x for
menor que −1, f(x) = x2 −1 é positivo, para x compreendido entre −1 e 1, f(x)
é negativo. Por ﬁm, se x for maior que 1, f(x) é positivo.
Linha de fase da equação
dx
dt
= x2 −1
−1 0 1 x

Pelo Teorema da estabilidade, também temos que x∗
1 = −1 é assintoticamente
estável e x∗
2 = 1 é instável, pois f (−1) = −2 < 0 e f (1) = 2 > 0.

Pelo Teorema da estabilidade, também temos que x∗
1 = −1 é assintoticamente
estável e x∗
2 = 1 é instável, pois f (−1) = −2 < 0 e f (1) = 2 > 0.
Campo de direções da equação
dx
dt
= x2 −1

Bifurcação
Consideremos as equações diferenciais lineares autônomas de primeira ordem
que dependem de um parâmetro µ, isto é, equações da forma
dx
dt
= fµ(x), (7)
sendo x ∈ R e µ ∈ R e vamos estudar se ocorre uma mudança qualitativa no
seu retrato de fase ao se variar o valor do parâmetro µ em torno de um valor
crítico µc.

Bifurcação
Consideremos as equações diferenciais lineares autônomas de primeira ordem
que dependem de um parâmetro µ, isto é, equações da forma
dx
dt
= fµ(x), (7)
sendo x ∈ R e µ ∈ R e vamos estudar se ocorre uma mudança qualitativa no
seu retrato de fase ao se variar o valor do parâmetro µ em torno de um valor
crítico µc.
O retrato de fase desta equação depende do valor de µ. Ao se variar o valor
desse parâmetro, podem-se criar ou destruir pontos de equilíbrio e alterar suas
estabilidades.

Segundo Monteiro (2006), o termo bifurcação, introduzido pelo matemático
francês Jules-Henri Poincaré (1854-1912) em 1885, refere-se a mudança
qualitativa do retrato de fases de um sistema dinâmico, conforme algum
parâmetro do sistema passa por um valor crítico.

A codimensão de uma bifurcação é o número de parâmetros cujos valores são
variados a ﬁm de se produzir a bifurcação em questão.

Bifurcações que ocorrem em sistemas unidimensionais do tipo (7):

Bifurcação sela-nó

Bifurcação transcrítica

Bifurcação de forquilha

Ocorre quando um par de pontos de equilíbrio com estabilidades opostas é
criado ou destruído ao variarmos um parâmetro. É também conhecida como
bifurcação tangente ou bifurcação de dobra (WITKOWSKI FILHO, 2006,
p. 9).

Exemplo
Seja a equação diferencial
dx
dt
= fµ(x) = µ +x2
,
sendo µ ∈ R um parâmetro.

Exemplo
dx
dt
= fµ(x) = µ +x2
,
sendo µ ∈ R um parâmetro.
Se µ 0 esta equação possui duas singularidades:
x∗
1 = −
√
−µ e x∗
2 =
√
−µ.

A estabilidade das singularidades é obtida através do sinal de dfµ/dx calculado
em x∗.

A estabilidade das singularidades é obtida através do sinal de dfµ/dx calculado
em x∗.
Para x∗
1 = −
√
−µ tem-se
dfµ(x)
dx x = x∗
1
= −2
√
−µ,
que é um número negativo para µ < 0 e para x∗
2 =
√
−µ tem-se
dfµ(x)
dx x = x∗
2
= 2
√
−µ,
que é um número positivo para µ < 0.

Observando o retrato de fase de fµ, tem-se que x∗
1 é assintoticamente estável e
x∗
2 é instável.
x
fµ (x)
−
√
−µ
√
−µ

x∗
2 é instável.
x
fµ (x)
−
√
−µ
√
−µ
No caso em que µ > 0 não temos pontos ﬁxos no retrato de fase.

x∗
2 é instável.
x
fµ (x)
−
√
−µ
√
−µ
No caso em que µ > 0 não temos pontos ﬁxos no retrato de fase.
Conforme variamos o parâmetro µ, a aparência do campo de direções e do
retrato de fase também se altera.

Campo de direções de fµ para µ = −1:

Campo de direções de fµ para µ = 0:

Campo de direções de fµ para µ = 1:

Para µ = −1, obtemos esta linha de fase:
−1 0 1 x

−1 0 1 x
Para µ = 0, a ﬁgura abaixo ilustra a seguinte linha de fase:
0 x

−1 0 1 x
Para µ = 0, a ﬁgura abaixo ilustra a seguinte linha de fase:
0 x
E ﬁnalmente, para µ = 1, a linha de fase mostra que não temos pontos de
equilíbrio.
0 x

Junto com o esboço do retrato de fase podemos representar como as soluções
de equilíbrio variam em função do parâmetro µ construindo o diagrama de
bifurcação. Nesse diagrama, representamos as variações do valor e da
estabilidade de cada ponto ﬁxo x∗ em função de µ. A solução assintoticamente
estável está representada por uma linha contínua e a solução instável, por uma
linha tracejada e as retas com setas, traçadas para determinados valores de µ,
correspondem aos retratos de fase.

Observemos que um retrato de fase para µ < 0 é qualitativamente diferente
daquele para µ > 0. Para µ < 0 existe um par com estabilidades contrárias e,
para µ > 0, não há ponto de equilíbrio. O ponto (x∗,µc) = (0,0) é o ponto de
bifurcação.

Observemos que um retrato de fase para µ < 0 é qualitativamente diferente
daquele para µ > 0. Para µ < 0 existe um par com estabilidades contrárias e,
para µ > 0, não há ponto de equilíbrio. O ponto (x∗,µc) = (0,0) é o ponto de
bifurcação.
Observemos também que conforme se aumenta o valor do parâmetro, o par de
pontos de equilíbrio desaparece.

Diagrama de bifurcação de
dx
dt
= µ +x2
0 µ
x∗
solução instável
solução assintoticamente estável

Acontece quando para qualquer valor do parâmetro µ existem dois pontos de
equilíbrio e a estabilidade desses pontos são trocadas quando o parâmetro passa
por um valor crítico.

Exemplo
dx
dt
= fµ(x) = µx+x2
.

Exemplo
dx
dt
= fµ(x) = µx+x2
.
Os pontos de equilíbrio são obtidos de fµ(x) = 0:

Exemplo
dx
dt
= fµ(x) = µx+x2
.
µx+x2
= 0

Exemplo
dx
dt
= fµ(x) = µx+x2
.
µx+x2
= 0
x(µ +x) = 0,

Exemplo
dx
dt
= fµ(x) = µx+x2
.
µx+x2
= 0
x(µ +x) = 0,
logo x∗
1 = 0 e x∗
2 = −µ, para todo µ ∈ R.

A estabilidade dos pontos ﬁxos é dada pelo sinal da derivada de fµ em relação a
x:
d
dx
(µx+x2
)

x:
d
dx
(µx+x2
) = µ +2x.

x:
d
dx
(µx+x2
) = µ +2x.
Para x∗
1 = 0, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
1
= µ +2·0 = µ.

x:
d
dx
(µx+x2
) = µ +2x.
Para x∗
1 = 0, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
1
= µ +2·0 = µ.
Daí, se µ < 0, então x∗
1 é assintoticamente estável e se µ > 0, x∗
1 é instável.

x:
d
dx
(µx+x2
) = µ +2x.
Para x∗
1 = 0, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
1
= µ +2·0 = µ.
1 é instável.
Para x∗
2 = −µ, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
2
= µ +2(−µ) = − µ.

x:
d
dx
(µx+x2
) = µ +2x.
Para x∗
1 = 0, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
1
= µ +2·0 = µ.
1 é instável.
Para x∗
2 = −µ, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
2
= µ +2(−µ) = − µ.
Daí, se µ > 0, então x∗
2 é assintoticamente estável e se µ < 0, x∗
2 é instável.

x:
d
dx
(µx+x2
) = µ +2x.
Para x∗
1 = 0, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
1
= µ +2·0 = µ.
1 é instável.
Para x∗
2 = −µ, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
2
= µ +2(−µ) = − µ.
Daí, se µ > 0, então x∗
2 é assintoticamente estável e se µ < 0, x∗
2 é instável.
O ponto (x∗,µc) = (0,0) é o ponto de bifurcação.

dx
dt
= µx+x2:
0 µ
x∗
solução instável
solução instável

Bifurcação de forquilha
Aparece em sistemas físicos que apresentam algum tipo de simetria e um par de
pontos de equilíbrio de mesma estabilidade pode aparecer ou desaparecer
simultaneamente quando o parâmetro passa por um valor crítico.

Exemplo
dx
dt
= fµ(x) = µx−x3
.

Exemplo
dx
dt
= fµ(x) = µx−x3
.
Suas soluções de equilíbrio são obtidas de fµ(x) = 0:

Exemplo
dx
dt
= fµ(x) = µx−x3
.
µx−x3
= 0

Exemplo
dx
dt
= fµ(x) = µx−x3
.
µx−x3
= 0
x(µ −x2
) = 0

Exemplo
dx
dt
= fµ(x) = µx−x3
.
µx−x3
= 0
x(µ −x2
) = 0
x(
√
µ +x)(
√
µ −x) = 0,

Exemplo
dx
dt
= fµ(x) = µx−x3
.
µx−x3
= 0
x(µ −x2
) = 0
x(
√
µ +x)(
√
µ −x) = 0,
logo x∗
1 = 0, x∗
2 = −
√
µ e x∗
3 =
√
µ, sendo µ > 0.

Exemplo
dx
dt
= fµ(x) = µx−x3
.
µx−x3
= 0
x(µ −x2
) = 0
x(
√
µ +x)(
√
µ −x) = 0,
logo x∗
1 = 0, x∗
2 = −
√
µ e x∗
3 =
√
µ, sendo µ > 0.
A estabilidade dos pontos de equilíbrio é dada pelo sinal da derivada de fµ em
relação a x:
d
dx
(µx−x3
)

Exemplo
dx
dt
= fµ(x) = µx−x3
.
µx−x3
= 0
x(µ −x2
) = 0
x(
√
µ +x)(
√
µ −x) = 0,
logo x∗
1 = 0, x∗
2 = −
√
µ e x∗
3 =
√
µ, sendo µ > 0.
A estabilidade dos pontos de equilíbrio é dada pelo sinal da derivada de fµ em
relação a x:
d
dx
(µx−x3
) = µ −3x2
.

Para x∗
1 = 0, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
1
= µ −3·02
= µ.

Para x∗
1 = 0, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
1
= µ −3·02
= µ.
1 é instável.

Para x∗
1 = 0, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
1
= µ −3·02
= µ.
1 é instável.
Para x∗
2 = −
√
µ, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
2
= µ −3(−
√
µ)2
= µ −3µ = −2µ.

Para x∗
1 = 0, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
1
= µ −3·02
= µ.
1 é instável.
Para x∗
2 = −
√
µ, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
2
= µ −3(−
√
µ)2
= µ −3µ = −2µ.
Como a solução x∗
2 só existe para µ > 0, x∗
2 é assintoticamente estável.

Para x∗
1 = 0, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
1
= µ −3·02
= µ.
1 é instável.
Para x∗
2 = −
√
µ, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
2
= µ −3(−
√
µ)2
= µ −3µ = −2µ.
Para x∗
3 =
√
µ, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
3
= µ −3(
√
µ)2
= µ −3µ = −2µ.

Para x∗
1 = 0, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
1
= µ −3·02
= µ.
1 é instável.
Para x∗
2 = −
√
µ, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
2
= µ −3(−
√
µ)2
= µ −3µ = −2µ.
Para x∗
3 =
√
µ, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
3
= µ −3(
√
µ)2
= µ −3µ = −2µ.
3 existe somente para µ > 0, x∗

Para x∗
1 = 0, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
1
= µ −3·02
= µ.
1 é instável.
Para x∗
2 = −
√
µ, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
2
= µ −3(−
√
µ)2
= µ −3µ = −2µ.
Para x∗
3 =
√
µ, temos
d
dx
(fµ(x))
x∗
3
= µ −3(
√
µ)2
= µ −3µ = −2µ.
3 existe somente para µ > 0, x∗
O ponto (x∗,µc) = (0,0) é o ponto de bifurcação.

dx
dt
= µx−x3:
0 µ
x∗
solução instável
solução
assintoticamente estável

Conclusão
Neste trabalho, estudamos as equações diferenciais ordinárias de primeira
ordem, suas particularidades e formas de representar as soluções desse tipo de
equações.

Conclusão
equações.
Vimos que é possível extrair informações de uma equação diferencial
utilizando uma análise geométrica de uma função, sem necessariamente
encontrar a solução dessa equação diferencial. Também estabelecemos critérios
para determinar a estabilidade das soluções de uma equação diferencial.

Conclusão
equações.
Vimos que é possível extrair informações de uma equação diferencial
utilizando uma análise geométrica de uma função, sem necessariamente
encontrar a solução dessa equação diferencial. Também estabelecemos critérios
para determinar a estabilidade das soluções de uma equação diferencial.
Avaliamos as equações diferenciais lineares de primeira ordem que dependiam
de um parâmetro e estudamos a ocorrência de bifurcação.

Os pontos de bifurcação são interessantes em muitas aplicações, porque perto
deles a natureza da solução de uma equação diferencial sofre uma mudança
abrupta, como vimos nos três tipos de bifurcação: sela-nó, transcrítica e
forquilha.

Os pontos de bifurcação são interessantes em muitas aplicações, porque perto
deles a natureza da solução de uma equação diferencial sofre uma mudança
abrupta, como vimos nos três tipos de bifurcação: sela-nó, transcrítica e
forquilha.
Para trabalhos futuros, uma sugestão é investigar as bifurcações cuja
codimensão seja maior que um e suas relações com o caos em sistemas
dinâmicos.

REFERÊNCIAS I
ANJOS, T. A. N. dos. Equações de diferenças e algumas aplicações em
modelos populacionais. 2011. 99 p. Monograﬁa (Graduação em
Matemática) - Universidade Federal de Lavras, Lavras, 2011.
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e
problemas de valores de contorno. Tradução de Valéria de Magalhães
Iorio. 8. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Cientíﬁcos, 2006. Título
original: Elementary differencial equations and boundary value problems.
FIGUEIREDO, D. G. de; NEVES, A. F. Equações diferenciais
aplicadas. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq,
1997. 301 p. (Coleção Matemática Universitária)
LIMA, E. L. Análise real volume 1: funções de uma variável. 8. ed. Rio
de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 2006. 189 p.
(Coleção Matemática Universitária)

REFERÊNCIAS II
MONTEIRO, L. H. A. Sistemas dinâmicos. 2. ed. São Paulo: Livraria da
Física, 2006. 625 p.
VILLATE, J. E. Introdução aos sistemas dinâmicos: uma abordagem
prática com maxima. Porto: Universidade do Porto, 2007. Disponível em:
<http://villate.org/doc/sistemasdinamicos/sistdinam-1_2.pdf>.
WITKOWSKI FILHO, L. E. O comportamento dinâmico e a
bifurcação de Hopf no oregonator. 2006. Monograﬁa (Graduação em
Matemática) - Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho,
UNESP, Presidente Prudente. Disponível em:
<http://www.impa.br/opencms/pt/eventos/downloads/jornadas_2006/
trabalhos/jornadas_luiz_witkowski.pdf>.

Muito obrigado!

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