Algebra Linear: Introdução aos Vetores, Operações e Espaços Vetoriais R2 e R3

AÁLGEBRA LINEAR
Prof. Alexandre de Castro
1° SEMESTRE – ENGENHARIA

Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro
2
Sumário
I. Introdução aos vetores ...................................................................................................................... 2
- O que é um vetor?
- Tipos de vetores
II. Operações entre vetores ................................................................................................................... 4
- Adição
- Diferença
- Multiplicação por uma escalar
III. Vetores no R2
..................................................................................................................................... 7
- Representação
- Decomposição vetorial no plano
- Combinação Linear
- Base Canônica do R2
- Expressão Analítica de um vetor
- Igualdade entre vetores
- Operações entre vetores no R2
IV. Vetores no R3
.................................................................................................................................. 11
-
Representação
- Igualdade entre vetores
- Operações entre vetores no R3
V. Produto Escalar ................................................................................................................................ 13
- Definição
- Propriedades do Produto Escalar
- Módulo de um vetor
- Definição geométrica de Produto Escalar
- Cálculo do ângulo entre dois vetores
VI. Produto Vetorial .............................................................................................................................. 23
- Definição
- Características do produto vetorial
- Interpretação geométrica do módulo do Produto Vetorial
VII. Produto Misto .................................................................................................................................. 28
- Definição
- Propriedades do produto misto
- Interpretação geométrica do Produto Misto

3
UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ - UNITAU
ÁLGEBRA LINEAR – 1° SEMESTRE PROF. ALEXANDRE
ESPAÇO VETORIAL: CONCEITO E TIPOS DE VETORES
I. Vetores
O que é um vetor?
Vetor é um conjunto de segmentos orientados (seta) equipolentes à 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ que pode ser interpretado com sendo o menor
caminho a ser percorrido de um ponto de partida a um ponto de chegada.
Obs.: Dois vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ são chamados de equipolentes se, e somente se,
possuírem mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo.
Representação: AB ~ CD
Tipos de vetores
Vetores Iguais
Dois vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑋𝑌⃗⃗⃗⃗⃗ são iguais, e indica-se por 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑋𝑌⃗⃗⃗⃗⃗ , se, e somente se, tiverem mesmo módulo, direção e sentido.
Vetores Paralelos
Dois vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ são paralelos, e indica-se por 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ // 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ , se os seus representantes tiveram a mesma direção.
Na figura ao lado, tem-se 𝑢⃗ //𝑣 //𝑤⃗⃗ , onde 𝑢⃗ e 𝑣 têm mesmo sentido, enquanto
𝑤⃗⃗ tem sentido invertido.
Vetores Nulos
Um vetor, indicado por 0⃗ ou 𝐴𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ , cuja extremidade se coincide com a origem, é denominado por vetor zero ou vetor
nulo. Geometricamente esses vetores são representados por um ponto. Pelo fato deste vetor não possuir direção e
sentido definido, considera-se o vetor zero paralelo a qualquer vetor.
∙ 0⃗
𝜋

4
Vetores Opostos
Dois vetores 𝑢⃗ 1 e 𝑢⃗ 2 são denominados opostos, pois possuem mesmo módulo, mesma direção e sentidos invertidos.
Na figura ao lado, 𝑢⃗ 2 = −𝑢⃗ 1.
Obs.: Todo vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ é oposto ao 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ .
Vetores Unitários
São vetores que possuem módulo igual a uma unidade.
|𝑣| = 1
Versor de um vetor
Versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de 𝑣.⃗⃗⃗
Obs.: 𝑢⃗ 2 não é um vetor unitário de 𝑣 pois o sentido está oposto ao de 𝑣.⃗⃗⃗
Vetores Colineares
Dois vetores são colineares se tiverem a mesma direção.
Vetores Coplanares
São vetores que pertencem a um mesmo plano 𝜋.

5
Método do paralelogramoMétodo do polígono
Método do paralelogramo
ESPAÇO VETORIAL: OPERAÇÕES ENTRE VETORES
II. Operações com vetores
Adição de Vetores
O vetor soma 𝑠 = 𝑢⃗ + 𝑣 é o vetor que tem origem na origem do vetor 𝑢⃗ e extremidade na extremidade do vetor 𝑣.
Obs.:
 Para o Método do polígono: ‖𝑠‖ = √| 𝑢⃗ |2 + |𝑣|2 − 2 ∙ |𝑢⃗ | ∙ |𝑣| ∙ cos 𝐴𝐵̂ 𝐶;
 Para o método do paralelogramo: ‖𝑠‖ = √| 𝑢⃗ |2 + |𝑣|2 − 2 ∙ |𝑢⃗ | ∙ |𝑣| ∙ cos 𝐴𝐵̂ 𝐷.
Diferença de Vetores
O vetor diferença 𝑑 = 𝑢⃗ − 𝑣 é o vetor que tem origem na extremidade do vetor 𝑣 e extremidade na extremidade do
vetor 𝑢.⃗⃗⃗
Obs.: ‖𝑑‖ = √| 𝑢⃗ |2 + |𝑣|2 − 2 ∙ |𝑢⃗ | ∙ |𝑣| ∙ cos 𝐵𝐴̂ 𝐶;
Multiplicação por uma escalar
Dado um vetor 𝑣 ≠ 0 e um número real 𝑘 ≠ 0. Chama-se produto do número real k pelo vetor 𝑣 o vetor 𝑝 = 𝑘𝑣, com
mesma direção e mesmo sentido de 𝑣, se 𝑘 > 0 e, mesma direção e sentido oposto de 𝑣, se 𝑘 < 0.

6
Exercícios resolvidos
1) Considerar os vetores a

e b

para desenhar os seguintes vetores:
a) ba


b) ba


c) b

2
1

d) ba

2
Solução:
a) b)
c) d)
2) Dados os vetores 𝑢⃗ , 𝑣 e 𝑤⃗⃗ , de acordo com a figura, construir o vetor 2𝑢⃗ − 3𝑣 +
1
2
𝑤⃗⃗ = 𝑠
Solução:

7
Exercícios de aplicação
1. Dados os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 a seguir, determine graficamente os vetores:
a) 𝑢⃗ + 𝑣
b) 𝑢⃗ − 𝑣
c) −𝑣 + 𝑢⃗
d) −𝑣 − 2𝑢⃗
e) 2𝑢⃗ + 3𝑣
2. Dados os vetores 𝑎, 𝑏⃗ 𝑒 𝑐, como na figura, apresentar um representante de cada um dos vetores:
a) 4𝑎 − 2𝑏⃗ − 𝑐
b) 𝑎 + 𝑏⃗ + 𝑐
c) 2𝑏⃗ − (𝑎 + 𝑐)
3. Calcule o módulo do vetor soma (resultante) e o vetor diferença dos vetores 𝑎 e 𝑏⃗ em cada caso.
4. Calcule o ângulo formando por dois vetores cujos módulos são: |𝑢⃗ | = 5𝑢 𝑒 |𝑣| = 6𝑢 e cujo vetor resultante tem
módulo √61 unidades?
5. Considere a figura ao abaixo.
Sabendo que 𝑎 = 4 m, 𝑏⃗ = 6 m e cos 30° = 0,8, calcule o módulo da combinação linear (3𝑎 - 2𝑏⃗ )

8
B
y
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢⃗ = (𝑥, 𝑦)A
P
O x
𝑢⃗
ESPAÇO VETORIAL: Vetores no 𝑰𝑹 𝟐
e 𝑰𝑹 𝟑
III. VETORES NO 𝑹 𝟐
R2
= R × R = {(𝑥 , 𝑦)/ x , 𝑦 ∈ 𝑅}
O símbolo 𝑅2
é a interpretação geométrica do plano cartesiano bidimensional.
Exemplo:
Obs.: Qualquer vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , com coordenadas A (𝑥1, 𝑦1) e B (𝑥2, 𝑦2), nesse plano pode ser representado por outro 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗
com mesma direção, sentido e módulo, de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , com origem em O(0, 0) e extremidade em P(x, y).
Decomposição vetorial no plano
Representações:
• 𝑣 é o vetor arbitrário do plano;
• {𝑣1⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑣2}⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é o conjunto de vetorial, não colineares, bases do vetor arbitrário;
• 𝑎1 𝑒 𝑎2 são constantes (componentes ou coordenadas de 𝑣 em relação as bases {𝑣1⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑣2⃗⃗⃗⃗ } respectivamente);
• 𝑎1 𝑣1⃗⃗⃗⃗ é a projeção de 𝑣 sobre 𝑣1⃗⃗⃗⃗ segundo a direção de 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ;
• 𝑎2 𝑣2⃗⃗⃗⃗ é a projeção de 𝑣 sobre 𝑣2⃗⃗⃗⃗ segundo a direção de 𝑣1⃗⃗⃗⃗ .
• 𝑣 = 𝑎1 𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝑎2 𝑣2⃗⃗⃗⃗ é uma combinação linear de 𝑣 em função de 𝑣1⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑣2.⃗⃗⃗⃗⃗
Obs.: Caso os vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , bases do plano, sejam unitárias e ortogonais dizemos que são ortonormais.

9
Exemplo:
Considere as bases {𝑒1⃗⃗⃗ , 𝑒2⃗⃗⃗ } ortonormais. Represente geometricamente o vetor 𝑣 como uma combinação linear de
{𝑒1⃗⃗⃗ , 𝑒2⃗⃗⃗ } de acordo com a relação: 𝑣 = 3𝑒1⃗⃗⃗ + 2𝑒2⃗⃗⃗
Combinação Linear
Seja 𝑉 um espaço vetorial sobre o corpo 𝐾. Define-se como combinação linear para 𝑅 𝑛
o vetor.
𝒗⃗⃗ = 𝒖⃗⃗ 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒖⃗⃗ 𝟐 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒖⃗⃗ 𝒏 𝒙 𝒏,
Onde {𝑣, 𝑢⃗ 1, 𝑢⃗ 2 , … 𝑢⃗ 𝑛} ∈ 𝑉 ^{𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥 𝑛} ∈ 𝐾
Exercício resolvido:
Expresse 𝑣= (3, 7) de 𝑅2
como uma combinação linear dos vetores: 𝑢⃗ 1 = (1; 2) e 𝑢⃗ 2 = (2; 3)
Solução:
1º passo (Montar a combinação linear de 𝑣 em
função de 𝑢⃗ 1 𝑒 𝑢⃗ 2, substituir as coordenadas
correspondentes e organizar os termos em um
sistema de equações).
𝑣 = 𝑢1⃗⃗⃗⃗ 𝑎 + 𝑢2⃗⃗⃗⃗ 𝑏
(3, 7) = (1, 2)𝑎 + (2, 3)𝑏
(3, 7) = (𝑎, 2𝑎) + (2𝑏, 3𝑏)
{
𝑎 + 2𝑏 = 3
2𝑎 + 3𝑏 = 7
2º passo (Resolver o sistema de equações e
determinar os valores de a e b)
{
𝑎 + 2𝑏 = 3 . (−2)
2𝑎 + 3𝑏 = 7
{
−2𝑎 − 4𝑏 = −6
2𝑎 + 3𝑏 = 7
−𝑏 = 1
𝒃 = −𝟏
𝑎 + 2𝑏 = 3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏 = −1
𝑎 + 2 ∙ (−1) = 3
𝑎 − 2 = 3
𝒂 = 𝟓
3º passo (Substituir os valores de a e b em 𝑣)
𝑣 = 𝑢1 ∙ 5 + 𝑢2 ∙ (−1)
∴ 𝒗 = 𝟓𝒖 𝟏 − 𝒖 𝟐

10
Bases canônicas do 𝑹 𝟐
Dentre os conjuntos de vetores bases ortonormais do plano xOy, temos um em particular, representado por segmentos
orientados com origem em O(0, 0) e extremidade nos pontos de coordenadas (1,0) e (0,1), chamado de base canônica
do 𝑅2
.
Obs.: O símbolo utilizado para representar os vetores da base canônica do 𝑅2
,
são: 𝑖 = (1, 0)𝑒 𝑗 = (0, 1), versores dos eixos da abscissas “x” e ordenada “y”,
respectivamente.
Expressão Analítica de um Vetor
Como {𝑖, 𝑗⃗⃗ } é a base canônica ortogonal do plano xOy, então:
𝑣 = (𝑥, 𝑦) pode ser representado por 𝑣= 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
1. Determinar o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ e o vetor 𝑎 equivalente a 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , com início na origem O(0, 0).
a) )3,2(A e )1,2(B b) )2,2(A e )0,3(B
Solução

11
Igualdade entre vetores
Dois vetores 𝑢 = (𝑥, 𝑦) 𝑒 𝑣 = (𝑥, 𝑦) são iguais se, e somente se, 𝑥1 = 𝑥2 𝑒 𝑦1 = 𝑦2 e escreve-se 𝑢 = 𝑣.
Exercício resolvido
Se o vetor 𝑢⃗ = (𝑥 + 1, 4) é igual ao vetor 𝑣 = (5, 2𝑦 − 6), determine, em 𝑅2
, o valor de x e y.
Solução:
1° passo (Montar a igualdade)
𝑢⃗ = 𝑣
2° passo (Substituir as coordenadas de 𝑢⃗ 𝑒 𝑣)
(𝑥 + 1, 4) = (5, 2𝑦 − 6)
3° passo (determinar x e y)
𝑥 + 1 = 5
𝒙 = 𝟒
2𝑦 − 6 = 4
𝒚 = 𝟓
Operações entre vetores no 𝑹 𝟐
I. Adição entre vetores
Para somar vetores, somam-se suas componentes correspondentes.
Dado 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2), define-se:
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2)
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)
II. Multiplicação entre um número real e um vetor
Para multiplicar um vetor por um número real, multiplica-se cada componente do vetor por este número.
Dado 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑎 ∈ 𝑅, define-se:
𝑎. 𝑢 = a. (𝑥1, 𝑦1)
𝑎. 𝑢 = (𝑎𝑥1, 𝑎𝑦1)

12
1. Dado o vetor 𝑢 = (2, 4), o vetor 𝑣 = (5, − 6) e 𝑎 = −3, determine, em 𝑅2
, o valor de:
a) 𝑢 + 𝑣
b) 𝑎. 𝑣
Solução:
a) 𝑢 + 𝑣 = (2, 4) + (5, − 6)
𝑢 + 𝑣 = (2 + 5, 4 + (−6))
𝑢 + 𝑣 = (2 + 5, 4 − 6)
𝑢 + 𝑣 = (7, − 2)
𝑏) 𝑎. 𝑣 = −3 ∙ (5, − 6)
𝑎. 𝑣 = (−3 ∙ 5, − 3 ∙ (−6))
𝑎. 𝑣 = (−15, 18)
IV. VETORES NO 𝑹 𝟑
R3
= R × R × R = {(𝑥 , 𝑦, 𝑧)/ x , 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅}
O símbolo 𝑅3
é a interpretação geométrica do plano cartesiano tridimensional.
Obs.: Qualquer vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ com coordenadas A (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e B (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) nesse plano pode ser representado por outro
𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ com mesma direção, sentido e módulo, de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , com origem O(0, 0, 0) e extremidade P(x, y, z).
Decomposição vetorial no espaço
Por analogia ao que fizemos no plano, dentre as infinitas bases ortonormais existentes, escolheremos para nosso estudo
a base canônica representada por {𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ }. No plano, o vetor 𝑣 é igual ao vetor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ e corresponde à diagonal do
paralelepípedo, cujos lados são determinados pelos vetores 𝑥𝑖, 𝑦𝑗 𝑒 𝑧𝑘⃗ . E, para simplificar, escrevemos:
𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑣.⃗⃗⃗

13
Exercício de sala
Localize os vetores, a seguir, no plano 𝑅3
:
a) 𝑣 = (1, 2, 5) b) 𝑢⃗ = (−1, − 2, 3) c) 𝑤⃗⃗ = (1, − 2, − 2)
d) 𝑡 = 2𝑖 − 4𝑗 + 𝑘⃗ e) 𝑞 = −𝑖 + 4𝑗 + 3𝑘⃗ f) 𝑚⃗⃗ = 3𝑖 − 4𝑗 − 3𝑘⃗
Igualdade entre vetores
Dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝑒 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) são iguais se, e somente se, 𝑥1 = 𝑥2, 𝑦1 = 𝑦2 e 𝑧1 = 𝑧2.
Se o vetor 𝑢⃗ = (2, 𝑎 + 1, 5) é igual ao vetor 𝑣 = (2𝑎 + 𝑏, 4, 5), determine, em 𝑅3
, o valor de a e b.
Solução
1° passo (Montar a igualdade)
𝑢⃗ = 𝑣
2° passo (Substituir as coordenadas de 𝑢⃗ 𝑒 𝑣)
(2, 𝑎 + 1, 5) = (2𝑎 + 𝑏, 4, 5)
3° passo (determinar a e b)
2𝑎 + 𝑏 = 2
2 ∙ 3 + 𝑏 = 2
𝒙 = −𝟒
𝑎 + 1 = 4
𝒂 = 𝟑
Operações entre vetores no 𝑹 𝟑
Adição entre vetores
Para somar vetores no R3
, somam-se suas componentes correspondentes.
Dado 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) define-se:
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) + (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2)
Multiplicação entre um número real e um vetor
Para multiplicar um vetor por um número real, multiplica-se cada componente do vetor por este número.
Dado 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)e 𝑎 ∈ 𝑅, define-se:
𝑎. 𝑢 = a. (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)
𝑎. 𝑢 = (𝑎𝑥1, 𝑎𝑦1, 𝑎𝑧1)

14
Dado o vetor 𝑢 = (2, 5, 3), o vetor 𝑣 = (5, − 6, −2) e 𝑎 = −3, determine, em 𝑅3
, o valor de:
a) 𝑢⃗ + 𝑣
b) 𝑎. 𝑣
Solução:
a) 𝑢⃗ + 𝑣 = (2, 5, 3) + (5, − 6, −2)
𝑢⃗ + 𝑣 = (2 + 5, 5 + (−6), 3 + (−2))
𝑢⃗ + 𝑣 = (2 + 5, 5 − 6, 3 − 2)
𝑢⃗ + 𝑣 = (7, − 1, 1)
𝑏) 𝑎. 𝑣 = −3 ∙ (5, − 6, −2)
𝑎. 𝑣 = (−3 ∙ 5, − 3 ∙ (−6), −3 ∙ (−2))
𝑎. 𝑣 = (−15, 18, 6)
1. Determinar o vetor 𝑤⃗⃗ na igualdade 3𝑤⃗⃗ + 2𝑢⃗ =
1
2
𝑣 + 𝑤⃗⃗ , sendo dados 𝑢⃗ = (3, −1) 𝑒 𝑣 = (−2, 4).
2. Encontre os números 𝑎1 𝑒 𝑎2 tais que 𝑤⃗⃗ = 𝑎1 𝑢⃗ + 𝑎2 𝑣, sendo 𝑢⃗ = (1,2), 𝑣 = (4, − 2) 𝑒 𝑤⃗⃗ = (−1, 8).
3. Dados os pontos A(- 1, 2), B(3, -1) e C(- 2, 4), determine D(x, y) de modo que 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .
4. Localize, no 𝑅3
, os seguintes vetores:
a) 𝑢⃗ = (4, 1, −3)
b) 𝑣 = (2, 3, 4)
c) 𝑤⃗⃗ = (4, −1, −3)
d) 𝑡 = (−4, 3, −5)
e) 𝑥 = (3, −2, −2)
f) ℎ⃗ = −3𝑖 − 2𝑗 − 3𝑘⃗
g) 𝑘⃗ = −𝑖 + 𝑗 + 3𝑘⃗
i) 𝑝 = 𝑖 − 3𝑗 + 𝑘⃗
5. Encontrar os números 𝑎1 e 𝑎2 tais que 𝑤⃗⃗ = 𝑎1 𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝑎2 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , sendo 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (1, −2, 1), 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (2, 0, −4) 𝑒 𝑤⃗⃗ =
(−4, −4, 14).
6. Determine o vetor 𝑣 sabendo que (3, 7, 1) + 2𝑣 = (6, 10, 4) − 𝑣
7. Dados os pontos A(2, -3, 1) e B(4, 5, -2), determine o ponto P tal que 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

15
UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ – UNITAU
Matrizes: Definição e Tipos de matrizes
V. Matrizes
Definição: Matriz m x n (lê-se: m por n) é uma tabela de “m por n” números reais, dispostos em m linhas (filas
horizontais) e n colunas (filas verticais).
Exemplos:
1. 




 

240
321
A é uma matriz 2 x 3; 2. 







11
04
B é uma matriz 2 x2;
A indicação ou notação de uma matriz pode ser feita usando-se colchetes, parênteses ou duas barras verticais
(menos usual), como mostrado nos exemplos 1, 2 e 3 acima, respectivamente.
Representação de uma Matriz:
As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas,
acompanhadas de dois índices que indicam, respectivamente, a posição linha e coluna ocupadas pelo elemento.
Exemplo:
Uma matriz genérica A do tipo m x n é representada por:
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
A a a a a
a a a a
 
 
 
 
 
 
 
 
ou, abreviadamente, A=( )ij m x na , onde i e j representam, respectivamente, a linha e a
coluna que o elemento ocupa,
1
1
i m
j n
 

 
.
Exemplo 1:
Seja a matriz A= 2 2( )ij xa , onde ji2aij  :
Genericamente:
2x22221
1211
aa
aa
A 





 . Utilizando a regra de formação dos elementos dessa matriz, ji2aij  ,
teremos:
11 21 12 222(1) 1 3 ; 2(2) 1 5 ; 2(1) 2 4 ; 2(2) 2 6a a a a           
Assim, A= 





65
43
.

16
Matrizes Especiais:
 Matriz Linha: É toda matriz do tipo 1 x n, isto é, com uma única linha.
Exemplo:   4x11374A  .
 Matriz Coluna: É toda matriz do tipo n x 1, isto é, com uma única coluna.
Exemplo:
1x3
0
1
4
B










 .
 Matriz Quadrada: É toda matriz do tipo n x n, isto é, com o mesmo número de linhas e colunas. Neste caso,
dizemos que a matriz é de ordem n.
Exemplo:
2x2
12
74
C 







3x3
372
30
014
D













Matriz de ordem 2 Matriz de ordem 3
Diagonal Principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i = j.
Diagonal Secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i + j = n + 1..
Exemplo:














675
303
521
A3
Identificação dos elementos constituintes da matriz:
- O subscrito 3 indica a ordem da matriz;
- A diagonal principal é a diagonal formada pelos elementos –1, 0 e –6;
- A diagonal secundária é a diagonal formada pelos elementos 5, 0 e 5;
 Matriz Nula: É a matriz em que todos os elementos são nulos.
Exemplo: 






000
000
O 3x2 Notação: nxmO
 Matriz Diagonal: É toda matriz quadrada onde só os elementos da diagonal principal são diferentes de zero.
Exemplo: 






10
02
A2











700
030
004
B3 .

17
 Matriz Identidade: É toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais
elementos são nulos.
Exemplo: 






10
01
I2 ,











100
010
001
I3 ou : ij
1, i j
( ), a
0, se i j
n ij
se
I a

  

Notação: nI onde n indica a ordem da matriz identidade.
 Matriz Transposta: Chamamos de matriz transposta de uma matriz A, a matriz que é obtida a partir de A,
trocando-se, ordenadamente, suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas. Notação: t
A .
Exemplo: Se 







121
032
A então t
A =












10
23
12
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, t
A é do tipo n x m. Note que a primeira linha de A corresponde à
primeira coluna de t
A e a segunda linha de A corresponde à segunda coluna de t
A .
 Matriz Simétrica: Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A= t
A .
Exemplo: Se
3x3
541
423
132
A










 , então
3x3
t
541
423
132
A











 Matriz Oposta: Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se o
sinal de todas os seus elementos. Notação: – A
Exemplo: Se 






1-4
03
A então, A = 







14
03
 Igualdade de Matrizes: Duas matrizes, A e B, de mesma ordem m x n, são iguais se os respectivos elementos,
ou seja, aqueles que ocupam a mesma posição, são idênticos.
Notação: A = B.
Exemplo: Se 







b1
02
A 







31
c2
B , e A = B, tem-se que: c = 0 e b = 3
Simbolicamente: ijij baBA  para todo mi1  e todo ni1  .
Obs: Se A = – t
A , dizemos que
a matriz A é anti simétrica.

18
Exercícios
1 – Escreva a matriz A=  3x2ija , onde ija =2i+3j
2 – Escreva a matriz C=  1x4ijc , onde jic 2
ij  .
3 – Escreva a matriz A=  3x4ija , onde






jise,1
jise,2
aij
4 – Escreva a matriz A=  3x2ija , onde






jise,ji
jise,ji2
aij
5 – Dada a matriz A= 





 41
21
, determinar:
a) a transposta de A
b) a oposta de A
6 – Determinar os valores de a e b, tais que: 















3a
2b
3b
1a2
7 – Seja A=  3x2ija , com ija =i + j. Ache m, n e p, em B= 







5p2m1n
43nm
para que tenhamos: A=B.
RESPOSTAS
1) A= 





13107
1185
2) C=












17
10
5
2
3) A=














222
222
122
112
4) 








165
213
A 5) a) 








42
11
At
b) – A= 




 
41
21
6) a = 1 e b = 1 7) m = – 2, n = 4 e p = –3

19
Matrizes: Operações entre Matrizes
VI. Operações entre matrizes
Adição de Matrizes
Dadas as matrizes A=( )ij m x na e B =( )ij m x nb , chamamos de soma das matrizes A e B, a matriz C, tal que:
C =( )ij m x nc , tal que ijijij bac  , para todo mi1  e todo ni1  .
Notação: A + B = C
Propriedades: Se: A, B e C são matrizes de mesma ordem (m x n), valem as seguintes propriedades:
1) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
2) Comutativa: A + B = B + A
3) Elemento Neutro: A + O = O + A = A, onde O é a matriz nula m x n.
4) Elemento Oposto: A + (-A) = (-A) + A = O
Exemplo:
1)
 



















 






90
33
2700
1421
20
12
70
41
2)
  

























 101
145
211110
101332
21-1
113
110
032
Subtração de Matrizes
Dadas as matrizes A=( )ij m x na e B=( )ij m x nb , chamamos de diferença entre as matrizes A e B a soma de
A com a matriz oposta de B
Notação: A – B = A + (– B)
Exemplo:
Sendo:
3 0
4 7
A
 
   
e
1 2
0 -2
B
 
  
 
, então A – B será dado por:
Obs: A + B existe se, e somente se, A e B
são do mesmo tipo ou de mesma
ordem: (m x n).
Obs: A + B existe se, e somente se, A e B
são de mesma ordem: (m x n).

20
3 0 1 2 3 0 1 -2 3 1 0 2 2 2
4 7 0 -2 4 7 0 2 4 0 7 2 4 5
A B
              
                                 
Multiplicação de uma Matriz por um Número Real “k”
Dados um número real k e uma matriz A do tipo m x n , o produto de k por A é uma matriz do tipo m
x n, obtida pela multiplicação de cada elemento de A por k .
Notação: B = k . A
Propriedades : Sendo A e B matrizes do mesmo tipo (m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as
seguintes propriedades:
1) Associativa: x.(y.A) = (x.y).A
2) Distributiva de um número real em relação a adição de matrizes: x.(A+B) = x.A + x.B
3) Distributiva de uma matriz em relação a soma de dois números reais: (x + y).A = x.A + y.A
4) Elemento Neutro: x.A = A, para x = 1, ou seja: 1.A = A
Exemplo:
1)
  



















 03
216
0.31.3
7.32.3
01
72
.3
Multiplicação de Matrizes:
O produto de uma matriz por outra não pode ser determinado através do produto dos seus
respectivos elementos. A multiplicação de matrizes não é análoga à multiplicação de números reais.
Assim, o produto das matrizes A= ij m x p
a e B=  x nij p
b é a matriz C= ij m x n
c , onde cada elemento ijc
é obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos
da j-ésima coluna de B.
Obs: Cada elemento ijb de B é
tal que ijb = k . ija
Obs: Elementos correspondentes de matrizes do mesmo tipo m x n, são os
elementos que ocupam a mesma posição nas duas matrizes. Exemplo: Sejam







203
461
A e 






437
205
B . Os elementos 2be4a 1313  são elementos
correspondentes.

21
Decorrência da definição:
A matriz produto A.B existe apenas se o número de colunas da primeira matriz (A) é igual ao número
de linhas da segunda matriz (B).
Assim:  x p p x n x n
e B .m m
A A B
Note que a matriz produto terá o número de linhas (m) do primeiro fator e o número de colunas (n) do
segundo fator.
Exemplo:
1) Se   5x35x22x3 B.ABeA 
2) Se produtoexistenãoqueBeA 3x21x4 
3)   1x41x22x4 B.ABeA 
Propriedades: Verificadas as condições de existência, para a multiplicação de matrizes são válidas as
seguintes propriedades:
1) Associativa: (A.B).C = A.(B.C)
2) Distributiva em relação à adição: A.(B+C) = (A+B).C = A.B + A.C
Elemento Neutro: A. nI = nI .A = A, onde nI é a matriz identidade de ordem n.
Atenção: Não valem as seguintes propriedades:
1 – Comutativa, pois, em geral, A.B  B.A
2 – Sendo nxmO uma matriz nula, A.B = nxmO não implica, necessariamente, que A = nxmO ou B = nxmO .
Exemplo:
1) Sendo A= 





14
32
e B= 





43
21
, vamos determinar A.B e B.A e comparar os resultados obtidos.
Solução: A.B = 





14
32
. 





43
21
coluna1elinha1a
aa
11

 = 2.1 + 3.3 = 2 + 9 = 11

22
coluna2elinha1a
aa
12

 = 2.2 + 3.4 =4 + 12 = 16
coluna1elinha2a
aa
21

 = 4.1 + 1.3 = 4 + 3 = 7
coluna2elinha2a
aa
22

 = 4.2 + 1.4 = 8 + 4 = 12
Assim:
A.B =
2x2
14
32






.
2x2
43
21






=
2x2
127
1611
4834
12492
4.12.43.11.4
4.32.23.31.2






















B.A =
2x2
43
21






.
2x2
14
32






=
2x2
1322
510
49166
2382
1.43.34.42.3
1.23.14.22.1






















Comparando os resultados, observamos que A.B  B.A, ou seja, a propriedade comutativa para
multiplicação de matrizes não é valida.
2) Seja A=
3x2
2x3
402
321
Be
41
10
32



















, determine: a) A.B b) B.A
Solução:
a) A.B =
3x3
3x2
2x3
4.43.10.42.1)2.(41.1
4.13.00.12.0)2.(11.0
4.33.20.32.2)2.(31.2
402
321
.
41
10
32































=
=
3x33x3
1329
402
1844
16302)8(1
4000)2(0
12604)6(2




























23
b) B.A =
2x2
2x3
3x2
4.4)1.(0)3.(2)1.(4)0.(0)2.(2
)4.(3)1.(2)3.(1)1.(30.22.1
41
10
32
402
321
. 


























=
=
2x22x2
108
171
1606)4(04
1223)3(02
















Conclusão: Verificamos que A.B  B.A
Matriz Inversa
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz 1
A
, de mesma ordem, tal que
1 1
. . nA A A A I 
  , então 1
A
é a matriz inversa de A. (Em outras palavras: Se 1 1
. . nA A A A I 
  , isto implica
que 1
A
é a matriz inversa de A).
Notação: 1
A
Exemplo:
Sendo A =
2x2
12
21







, vamos determinar a matriz 1
A
, inversa da matriz A, se existir.
Solução:
Existindo, a matriz inversa é de mesma ordem de A.
Como, para que exista inversa, é necessário que 1 1
. . nA A A A I 
  , basta fazer:
1. Impomos a condição de que 1
. nA A I
 e determinamos 1
A
:
A. '
A = nI 
2x2
12
21







.
2x2
dc
ba






= 





2x2
10
01

24
2x22x2
2x22x2
10
01
d2b-ca2
d2bc2a
10
01
1.d2.b-c.1a.2
d.2b.1c.2a.1






























A partir da igualdade de matrizes, temos que:
2 1 2 0
e
2 0 2 1
a c b d
a c b d
    
 
      
Resolvendo o sistema de 4 equações a 4 incógnitas, temos que:
1 2
a ; c
5 5
  ;
1 2
d e b
5 5
  
Assim: 1
A
=.
2x2
dc
ba






 1
2 x 2
1 2
5 5
2 1
5 5
A
 
 
  
 
  
2. Verificamos a igualdade: 1 1
. . nA A A A I 
 
1
2 x 2
1 2
5 5
.
2 1
5 5
A A
 
 
  
 
  
.
2x2
12
21







=
 
 
2
2 x 2 2 x 22 2
1 2 1 2 1 4 2 2 5
1 2 2 1 0
1 05 5 5 5 5 5 5 5 5
2 2 4 1 5 0 12 1 2 1 01 2 2 1
5 5 5 5 55 5 5 5 x
. . . .
I
. . . .
        
                             
                  
Portanto temos uma matriz A , tal que: 1 1
. . nA A A A I 
 
Logo, 1
A
é inversa de A, e dizemos que a matriz A é inverssível ou invertível, e ela será representada por:
1
A
=
2 x 2
1 2
5 5
2 1
5 5
 
 
 
 
  
.

25
Exercícios
1) Calcule x, y e z, tais que 

















 04
z23
17
71
1yx
zx2
.
2) Sendo A=  2x3ija , onde ija =2i-j, e B=  2x3ijb , com ijb = ,ji2
 calcule: a) A – B b) B – A c)  t
BA 
3) Dadas as matrizes A= 





10
32
, 






23
40
B e C= 





180
1415
calcule:
a) 3.(A – B) + 3.(B – C) + 3.(C – A) b) 2.(A - B) – 3.(B – C) – 3.C
4) Sendo A=  2x2ija , onde ija =2i-j, e B=  2x2ijb , com ijb = ij , determine X tal que 3A + 2X = 3B.
5) Sendo A= 





21
22
, calcule 2
2
I5A4A  .
6) Dadas as matrizes A=



























531
531
531
B,
431
541
532
3x3
e C=













321
431
422
. Calcule:
a) A.B b) B.A c) A.C d) C.A
7) Verifique se B=
2x23
1
3
2
2
1
0







é inversa de A= 





 34
02
8) Determinar, se existir, 1
A
em cada caso: a) A= 





10
01
b) A= 





12
32
. 





11
01
Respostas
1) x = 2, y = – 9 e z = –7 2) a)
1 3
2 4
5 7
 
 
 
 
 
 
 
 
b)
1 3
2 4
5 7
 
 
 
 
 
c) 3 8 15
3 8 15
 
 
 
3) a) 0 0
0 0
 
 
 
b) 4 14
15 8
 
 
 

 
4) X= 







36
2
3
2
3
5) 





98
169
6) a)










000
000
000
b)










000
000
000
c) AC= A d) CA= C
7) Sim, B é inversa de A 8) a) 





10
01
b)








 8
5
8
1
8
3
8
1

26
Determinantes: Definição, tipo de determinantes e operações
DETERMINANTES
Definição: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada.
1. Determinante de primeira ordem
Dada uma matriz quadrada de 
a
1 ordem M= 11a , chamamos de determinante associado à matriz M o número
real 11a .
Notação: det M ou 11a = 11a
Exemplos:
1.   55ou5Mdet5M 11 
2.   33-ou3Mdet3M 12 
2. Determinante de segunda ordem
Dada a matriz M= 





2221
1211
aa
aa
, de ordem 2, por definição, temos que o determinante associado a essa matriz,
ou seja, o determinante de 
a
2 ordem é dado por:
11 12
11 22 12 21
21 22
det
a a
M a a a a
a a
 
   
 
Assim:
11 22 12 21det M a a a a  `
Exemplo: Sendo M= 





54
32
, então:
det( ) 2 5 3 4 10 12 2M        
Logo: det( ) 2M  
Conclusão: O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos
da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

27
3. Menor Complementar
Chamamos de menor complementar relativo ao elemento ija de uma matriz M, quadrada e de ordem n > 1, o
determinante ijMC , de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimos a linha e a coluna que passam
por ija .
Exemplo: Dada a matriz M= 





2221
1211
aa
aa
, de ordem 2, para determinarmos o menor complementar relativo ao
elemento 11a ( 11MC ), retiramos a linha 1 e a coluna 1;
MC = menor complementar 





2221
1211
aa
aa
, logo,
222211 aaMC 
Da mesma forma temos que o MC relativo ao elemento 12a é dado por: 





2221
1211
aa
aa
, logo,
212112 aaMC  e assim por diante.
Exemplo: Dada a matriz M=










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, de ordem 3, vamos determinar:
a) 11MC
b) 12MC
c) 13MC
d) 21MC
Solução:
OBS.: Denotando “menor complementar” por MC
a) retirando a linha 1 e a coluna 1 da matriz dada acima










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, temos que:
11MC =  32233322
3332
2322
aaaa
aa
aa






b) retirando a linha 1 e a coluna 2 da matriz dada acima, temos que:
12MC = 





3331
2321
aa
aa
=  31233321 aaaa 

28
c) retirando a linha 1 e a coluna 3 da matriz dada acima, temos que:
13MC = 





3231
2221
aa
aa
=  31223221 aaaa 
d) retirando a linha 2 e a coluna 1 da matriz dada acima, temos que:
21MC = 





3332
1312
aa
aa
=  32133312 aaaa 
4. Cofator: Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) relativo ao elemento ija de uma matriz
quadrada de ordem n o número ijA , tal que ( 1)i j
ij ij
A MC
   .
Exemplo: Dado que:
11 12
21 22
a a
M
a a
 
  
 
, os cofatores relativos os elementos da matriz M são:
 2222
2
MC
22
11
11 aa)1(a)1(A
11
 
;
 2121
3
MC
21
21
12 aa)1(a)1(A
12
 
;
 1212
3
MC
12
12
21 aa)1(a)1(A
21
 
;
 1111
4
MC
11
22
22 aa)1(a)1(A
22
 
.
Assim, podemos também determinar a matriz dos cofatores (que será denotada por A ) como sendo:















1112
2122
2221
1211
aa
aa
AA
AA
A

29
Exemplo: Sendo M=










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, vamos calcular os cofatores 312322 AeA,A :
  
  
11 132 2 4
22 11 33 13 31
31 33
11 33 13 31
( 1) ( 1)
( 1)
a a
A a a a a
a a
a a a a

      
   
 
 
  ;
 
 
11 122 3 5
23 11 32 12 31
31 32
11 32 12 31
( 1) ( 1)
( 1)
a a
A a a a a
a a
a a a a
  
          
 
     
;
 
 
12 133 1 4
31 12 23 13 22
22 23
12 23 13 22
( 1) ( 1)
( 1)
a a
A a a a a
a a
a a a a
  
          
 
     
.
Matriz Adjunta: A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A é chamada adjunta de A, e
indicamos por:  t
AadjA 
6. Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada    2maM mxmij  pode ser obtido pela
soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos
cofatores.
Assim, fixando mj1quetal,Nj  , temos:


m
1i
ijijAaMdet
onde, 
m
1i
é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, Nm e ijA é o cofator ij.
Exemplo : Calcular, usando Laplace, os seguintes determinantes:
a) 1 2
2 3 4 1
2 3 4
0 0 2 0
2 1 2 b) D
3 1 1 1
0 5 6
1 0 2 3
D


  



30
Solução:
a)
650
212
432
D1 


Aplicando Laplace na coluna 1, temos:
  
21
43
(-1)0
65
43
(-1))2(
65
21
(-1)2D
31
31
21
21
11
11
CofatorA
13
a
CofatorA
12
a
)11cofator(A
11
a
1 



 
    
0
65
43
2
65
21
2D1 


1 2(6-10) 2(18 20) 2(-4) 2(38)D     
68768D1 
b) Como três dos quatro elementos da 
a
2 linha são nulos, convém aplicar Laplace nessa linha.
3201
1113
0200
1432
D2




23
2 3
2
D
2 3 1
0 0 2( 1) 3 1 1
1 0 3
MC
D 

    

OBS.: Então podemos rescrever 2D como:

31
(I)D2D2 
Agora precisamos calcular o valor de D para substituirmos em (I) Para isso aplicamos Laplace na 
a
3 linha (mais
conveniente, pois um dos elementos é nulo), e obtemos:
 

3331 MC
33
MC
13
1-3
32
)1(3
11-
1-3
)1(1D
D 1(3 1) 3( 2 9) 1(2) 3( 11) 2 33            
35D 
Finalmente, substituindo esse valor em (I), obtemos:
-2(-35)DD2D 22 
70D2 
7. Regra de Sarrus
Dispositivo prático para calcular o determinante de 
a
3 ordem.
Exemplo: Calcular o seguinte determinante através da Regra de Sarrus.
D=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
1º Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da 
a
3 coluna:
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
2º Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos
com os elementos das paralelas a essa diagonal.
OBS.: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou seja:
 322113312312332211 aaaaaaaaa 

32
3º Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos
com os elementos das paralelas a essa diagonal.
OBS.: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou seja:
 332112322311312213 aaaaaaaaa 
Assim:
 332112322311312213 aaaaaaaaaD   322113312312332211 aaaaaaaaa 
OBS.: Se desenvolvêssemos esse mesmo determinante de 
a
3 ordem com o auxílio do teorema de Laplace,
veríamos que as expressões são idênticas, pois representam o mesmo número real.
Exemplo: Calcular o valor dos seguintes determinantes:
a) 1
2 3 1
4 1 2
3 2 1
D



b) 2
2 -1 0 1
0 0 1 2
D
1 0 - 1 0
0 1 1 0

Solução:
a) 1
2 3 1 2 3
4 1 2 4 1
3 2 1 3 2
D


 
(por Sarrus)
   3 8 12 2 18 8 23 24 47           
1det( ) 47D  

33
b)
0110
01-01
2100
101-2
D2 
Aplicando LaPlace na 
a
2 linha, temos:
' ''
2 2
2 3 2 4
2
D
2 1 1 2 1 0
D 1( 1) 1 0 0 2( 1) 1 0 -1
0 1 0 0 1 1
D
 
 
   
''
2
'
22 D2D)1(D 
Cálculo de '
2D : Como, na 
a
2 linha, dois elementos são nulos, é conveniente aplicar Laplace; assim:
1)10(1
01
11
)1(1D 12'
2 

 
Cálculo de ''
2D : Utilizando a Regra de Sarrus, temos:
''
2D 
1
0
1-
0
1
2
110
1-01
01-2
(0 2 1) (0 0 0) 3      
Portanto:
5D61)3(2)1(1D2)1(D 22
''
2
'
22  DD
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES:
As propriedades a seguir são relativas a determinantes associados a matrizes quadradas de ordem n.
Estas propriedades, muitas vezes nos permite simplificar os cálculos.
P1 Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.

34
Exemplos:
1) 0
391218
3123
0000
7894



2) 0
701
302
1503



P2 Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:
1) 0
3479
5312
8924
5352
 pois, L1 = L3
P3 Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então o seu determinante é nulo.
Exemplo:
1) 0
623
412
241
 pois C3 = 2C1
P4 Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de
filas paralelas, então o seu determinante é nulo.
Exemplos:
1) 0
523
642
431
 pois C1 + C2 = C3

35
2) 0
5107
321
143
 pois 2L1 + L2 = L3
P5 Teorema de Jacobi: O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma
fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:
1) 9
342
212
321

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:
9
3410
214
325
34242
21212
32221
2C2C1






P6 O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:
1 2 3
det( ) 2 1 2 9
2 4 3
A  
1 2 2
det( ) 2 1 4 9
3 2 3
t
A  
P7 Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa
matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplos:
1) 4
123
112
321
 Multiplicando C1 por 2,

36
temos:   842
126
114
322

2) 145
102
473
0105



Multiplicando L1 por
5
1
,
temos:   29145
5
1
102
473
021



P8 Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
Exemplo: 4
123
112
321

Trocando as posições de L1 e L2, por exemplo, temos:
4
123
321
112


P9 Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o
determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:
1) cba
cfe
0bd
00a
 2) zyx
z00
iy0
hgx


37
P10 Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o
determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal, multiplicado por  
 
2
1nn
1

 .
Exemplos:
1) ba
xb
a0

2) cba
zyc
xb0
a00

P11 Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos: det( ) det( ).det( )AB A B
Obs: Como A  A-1
= I, na propriedade acima, temos: 1 1
det( )
det( )
A
A

Exemplo:
Se A =
2 1
3 4
 
 
 
B =
1 0
2 2
 
 
 
e AB =
4 2
11 8
 
 
 
,
então:  
5 2
10
det det detAB A B 
P12 Se k IR , então det( . ) .det( )n
k A k A
Exemplo:
Sendo k=3, A =
2 1
4 5
 
 
 
e
6 3
.
12 15
k A
 
  
 
, temos:
 
23 654
det det( )n
k A k A  
P13 det( ) det( ) det( )A B A B  

38
9. Regra de Chió
A regra de Chió é mais uma técnica que facilita muito o cálculo do determinante de uma matriz
quadrada de ordem n ( 2n  ). Essa regra nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de ordem
n-1, de igual determinante.
Exemplos:
1. Vamos calcular o determinante associado à matriz











642
315
432
A com o auxílio da regra de Chió:
Passo 1: Para podermos aplicar essa regra, a matriz deve ter pelo menos um de seus elementos igual a 1.
Assim fixando um desses elementos, retiramos a linha e a coluna onde ele se encontra.


642
315
432
Passo 2: Em seguida subtraímos do elemento restante o produto dos dois correspondentes que foram
eliminados (um da linha e outro da coluna).
2 (5 3) 4 (3 3) 2 (15) 4 (9) 13 5
2 (5 4) 6 (4 3) 2 (20) 6 (12) 18 6
       
 
       
Passo 3: Multiplicamos o determinante assim obtido por   ji
1

 , onde i representa a linha e j a coluna
retiradas (neste caso, 
a
2 linha e 
a
2 coluna).
 
12Adet
9078)1(
618
513
)1(Adet 422




 

39
10. Inversão de matrizes com o auxílio da teoria dos determinantes
A inversa de uma matriz quadrada de ordem n pode ser calculada pela aplicação do seguinte teorema:
A matriz inversa 1
A
de uma matriz A (quadrada de ordem n) existe se, e somente se,
0Adet  e é dada por:
1 1
( )
det( )
A adj A
A

 
OBS.: adj A é a matriz transposta da matriz dos cofatores da matriz A:  ( )
t
adj A A
Exemplos:
1. Verificar se a matriz 







31
06
A admite inversa
Solução:
A matriz A admite inversa se, e somente se, det( ) 0A  . Assim, como:
6 0
det( ) 18 0
1 -3
A     , existe a matriz inversa de ª
2. Calcular x para que exista a inversa da matriz














x12
01x
233
A
Solução:
Verificar se existe a matriz inversa de A ( 0AdetA-1
 )
Então:
1
1
3
2
x
3
x12
01x
233





   2
2
3 0 2 4 0 3
3x 4 0
x x x
x
       
   
Assim, -1 4
1
3
A x e x    
3. Calcular, se existir, a inversa da matriz 








41
32
A ,usando: 1 1
( )
det( )
A adj A
A



40
Solução:
Passo 1: Calcular o determinante de A para ver se existe inversa.
 det( ) 2 4 3( 1) 8 3 5A         
como 1
A05 

Passo 2: Calcular os cofatores dos elementos de A.
44)1( 11
11  
A
11)1( 21
12  
A
33)1( 12
21  
A
22)1( 22
22  
A
Assim, a matriz dos cofatores é dada por:








2-3
14
A
Passo 3: Cálculo da matriz adjunta de A.:
  




 

2-1
34
adjAAadjA
t
Passo 4: Cálculo da matriz inversa de A, ( 1
A
):
1 1 4 31 1
( )
1 2det( ) 5
A adj A A
A
   
      
:
1
4 3
5 5
1 2
5 5
A
 
 
  
 
  

41
Exercícios
1) Calcular o valor do determinante da matriz: A= 





83
3,02
1
2) Calcular o valor de Rx  na igualdade
3x4
3x3

=0
3) Calcule os seguintes determinantes, aplicando o Teorema de Laplace:
a)
987
654
321
b)
0010
1000
2002
3110
4) Utilizando a regra de Sarrus, calcule: 0 2
31
2
0,3 0,5 1
2 1 1
1 8 0




5) Sendo A=










231
210
032
, pede-se determinar: a) det( )A b) det( )t
A
6)Utilizando as propriedades estudadas, pede-se calcular o valor dos determinantes justificando as respostas obtidas:
a)












152
311
243
b)
3201
81264
3124
4632



c)
5000
3400
9230
5421



d) 


 431
220
100
17218
134
892
097
022
043
54827
723428
184255
7)Determine, se existir, a inversa de cada uma das matrizes:
a) A= 





 23
10
b) B=











207
135
064
Respostas
1) a) 3 2) x = – 4 ou x = 1 3) a) 0 b) –2 4)
12
5
 5) a) –2 b) –2
6) a) 0 b) 0 c) 0 d) –60 7) a) 1
2 1
3 3
1 0
A
 
 
 
 
b) 1
1 2 1
7 7 7
1 4 2
14 21 21
1
2 1 1
B

 
 
 
  


 

42
Cálculo da Inversa de uma Matriz por Meio de Operações Elementares.
Para se determinar a matriz inversa de uma matriz A, basta seguir o seguinte procedimento:
a) coloca-se ao lado da matriz A a matriz identidade I, com a mesma dimensão de A, separada por um traço vertical;
b) transforma-se, por meio de operações elementares, a matriz A na matriz I, aplicando-se, simultaneamente, à matriz
I, colocada ao lado da matriz A, as mesmas operações elementares.
Exemplos:
1 – Dado que











352
224
312
A , determine 1
A
.
Solução:










100
010
001
352
224
312
1 1
1
( ).( )
2
L L 










100
010
00
352
224
1 2
1
2
3
2
1
1 2 2( 4).( ) ( )L L L   











100
012
00
352
400
1 2
1
2
3
2
1
1 3 3( 2) ( )L L L   












101
012
00
040
400
1 2
1
2
3
2
1
1 2 2( 4).( ) ( )L L L   











100
012
00
352
400
1 2
1
2
3
2
1

43
1 3 3( 2) ( )L L L   












101
012
00
040
400
1 2
1
2
3
2
1
3 2L L 












 012
101
00
400
040
1 2
1
2
3
2
1
2 2
1
( ).( )
4
L L 












 012
0
00
400
010
1
4
1
4
1
2
1
2
3
2
1
3 3
1
( ).( )
4
L L  












0
0
00
100
010
1
4
1
2
1
4
1
4
1
2
1
2
3
2
1
1
2 1 12( ).( ) ( )L L L   













0
0
0
100
010
01
4
1
2
1
4
1
4
1
8
1
8
5
2
3
3
3 1 12( ).( ) ( )L L L   













0
0
100
010
001
4
1
2
1
4
1
4
1
8
1
8
3
8
1
Veja que a matriz A foi transformada na matriz I e, à direita, temos a matriz inversa desejada:
31 1
8 8 8
1 1 1
4 4
1 1
2 4
0
0
A
 
 
 
  
 
 

Para verificar a resposta obtida, basta fazer: 1
AA , cujo resultado deve ser a matriz I.
2 – Determine
1
A
, dado que: 






35
712
A .
Solução:

44






10
01
35
712
1 1
1
( ).( )
12
L L  





10
0
35
1 12
1
12
7
1 2 2( 5).( ) ( )L L L    





 1
0
0
1
12
5
12
1
12
1
12
7
2 2(12).( )L L  





 125
0
10
1 12
1
12
7
7
2 1 112( ).( )L L L    







125
73
10
01
1 3 7
5 12
A  
    
Faça:
1
.A A
ou
1
.A A
e veja que resulta na matriz Identidade.
Exercícios Propostos
Dadas as matrizes abaixo, determine as respectivas inversas, caso seja possível:
1)











352
224
312
A
2)
1 2 1
2 3 1
3 4 4
B
 
   
  

45
Sistemas de equações lineares
VIII. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Equação linear: É toda equação na forma: 1 1 2 2 n na x a x a x b    , onde: naaa ,,, 21  são números reais
quaisquer, são chamados de coeficientes das incógnitas nxxx ,, 21 e b é um número real, chamado de termo
independente.
OBS: Se b = 0, a equação recebe o nome de equação linear homogênea.
Denomina-se sistema de Equaçõs lineares de m equações a n incógnitas ...,, zyx a todo sistema da forma:
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
    
     


     
Onde 11 12 13 1 1 2, , ,..., , , ,...,n ma a a a b b b são números reais e 1 2 3, , ,..., nx x x x são as incógnitas.
Solução de um Sistema Lienar
Chamamos de solução do sistema a n-upla (lê-se “êne-upla”) de números reais ordenados  nrrr ,,, 21  que é,
simplesmente, solução de todas equações do sistema.
Obs: Se todos os termos independentes forem iguais a zero, o sistema será chamado de sistema homogêneo e ele
admitirá ao menos a solução: {(0;0;0;...;0)} que é chamada de solução trivial, ou seja, todas as incógnitas serão iguais
a zero.
CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS LINEARES








IMPOSSÍVEL
ADOINDETERMIN
ODETERMINAD
POSSÍVEL
LINEARSISTEMA
 Sistema possível e determinado: admite uma única solução. SPD
 Sistema possível e indeterminado: admite infinitas soluções. SPI
 Sistema impossível: quando não admite solução. SI

46
MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR
Matriz incompleta
É a matriz A, formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.
Exemplos:
Seja o sistema:








42
74
032
zyx
zyx
zyx
Matriz incompleta: (matriz dos coeficientes)
A=












112
114
132
Matriz Completa ou Matriz Aumentada
É a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta (matriz dos coeficientes) uma última coluna
formada pelos termos independentes das equações do sistema. Assim a matriz completa, ou aumentada, referente ao
sistema anterior é:
B =










4
7
0
1
1
1-
1
1
3
2-
4
2
Sistemas Homogêneos: Um sistema é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos.
Exemplo:








432
034
023
yx
zyx
zyx
Soluções de um Sistema Homogêneo: A n-upla (0, 0, 0, ..., 0) é sempre solução de um sistema linear homogêneo com n
incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.
REGRA DE CRAMER
Consiste em um método para resolver um sistema linear.
Para resolvermos o sistema linear pela Regra de Cramer seguimos as etapas abaixo:

47
1. Transforma-se o sistema linear em expressão matricial;
2. Calculamos o determinante das possíveis matrizes que serão geradas;
3. Encontramos os valores das incógnitas através das fórmulas:
1det
det
A
x
A
 , 2det
det
A
y
A
 , 3det
det
A
z
A

Generalizando, num sistema linear o valor das incógnitas é dado pela expressão:
det( )
det( )
iA
x
A
 , em que:
 A é a matriz incompleta do sistema;
 1A é a matriz obtida de A, substituindo-se as colunas dos coeficientes das incógnitas pela coluna dos termos
independentes.
Exercícios
Resolver os seguintes sistemas usando Cramer:
1) Resolver o sistema





25
72
yx
yx
2) Resolver o sistema








19
10543
02
zyx
zyx
zyx
.
3)





432
52
yx
yx
4)





1022
5
yx
yx
5)








6
32
32
cba
cba
cba

48
Discussão de um Sistema Linear
Para discutir um sistema linear de n equações e n incógnitas, calculamos o determinante D da matriz
incompleta. Assim, se:
 0D Sistema é possível e determinado (SPD), ou seja tem solução única.
 0D Sistema pode ser possível e indeterminado (SPI) (ter infinitas soluções) ou impossível (SI) (não ter
solução).
Observações:
Se o 0D , o sistema será SPD e, portanto teremos uma única solução para o problema.
Se o 0D , sistema poderá ser SPI ou SI. Para identificarmos de ele é SPI ou SI teremos que encontrar todos os
iD ’s para saber se o sistema é possível e indeterminado ou impossível. De que forma?
Se todos os iD forem iguais a 0, teremos um SPI
Se pelo menos um iD diferente de zero, teremos um SI.
Exemplos:
Em








623
432
3
zyx
zyx
zyx
temos: m = n = 3 e 03
213
112
111




D
Logo, o sistema é possível e determinado, SPD , apresentando solução única.
Em








0233
432
12
zyx
zyx
zyx
Temos: m = n = 3 e
1 2 1
2 1 3 0
3 3 2
D   

1 2 1
4 1 3 35 0
0 3 2
xD    


49
Sendo D = 0 e 0xD , o sistema é impossível – SPI – , não apresentando solução.
Em








134
22
123
zyx
zyx
zyx
Temos: m = n = 3 e
1 3 2
2 1 1 0
1 4 3
D   

,
1 3 2
2 1 1 0
1 4 3
x
D   

1 1 2
2 2 1 0
1 1 3
y
D    
 
e
1 3 1
2 1 2 0
1 4 1
z
D    
 
Logo temos, D= 0, 0xD , 0yD , 0zD . Portanto, o sistema é possível e indeterminado – SPI – , apresentando
infinitas soluções.
Interpretação geométrica da solução de sistema linear de duas equações a duas incógnitas:
Solução Única: SPD
Retas se interceptam num único ponto
Infinitas Soluções: SPI
Retas coincidentes
Não existe solução: SI
Retas Paralelas

50
Obs: Para um sistema de 3 equações a três incógnitas, cada equação representará um plano no espaço e a eventual
solução será, geometricamente, representada por um reta.
SISTEMAS EQUIVALENTES
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
Exemplo:
Sendo






832
3
1
yx
yx
S e






52
3
2
yx
yx
S , o par ordenado ( ; ) (1;2)x y  satisfaz a ambos, e é único. Logo,
21 e SS são sistemas equivalentes e indicamos: .~ 21 SS
Propriedades dos sistemas equivalentes
1) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.
Exemplo:
Sendo:
1
2
2 1 ( )
3 ( ) e
2 ( )
3 ( )
2 ( )
2 1 ( )
x y z I
S x z II
y z III
x z II
S y z III
x y z I
  

  
  
 

  
   
Temos que: .~ 21 SS
2) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número k, k
*
R , obtemos um sistema equivalente ao
anterior.
Exemplo:
Dado
 
 





IIyx
Iyx
S
0
32
1 , multiplicando a equação (II) por 3, obtemos:

51












033
32
3)0(
32
22
yx
yx
S
yx
yx
S
Assim, temos .~ 21 SS
3) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número
k, k *
R , obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Exemplo:
Dado
 
 
1
2 4
1
x y I
S
x y II
  
 
 
, substituindo neste sistema a equação (II) pela soma da equação (I), multiplicada por (–
1), com a equação (II), obtemos:
 
 
1
2 4
1
x y I
S
x y II
  
 
 
 1 2 2( 1).L L L  
 2
2 4
3 3
x y
S
y
 
 
  
Assim, o par ordenado ( ; ) (2;1)x y  é solução de ambos os sistemas.
Sistemas Escalonados
A técnica de escalonar um sistema linear é muito mais utilizada, pois com essa técnica podemos encontrar
soluções para sistemas que não tenham o mesmo número de equações e incógnitas (o que não é permitido na Regra de
Cramer). Além disso, quando queremos resolver sistemas lineares cujo número de equações (e de incógnitas) excede
três, não é conveniente utilizar a Regra de Cramer, por se tornar muito trabalhosa. Por exemplo, um sistema com
quatro equações e quatro incógnitas requer o cálculo de cinco determinantes de 4ª ordem. Neste caso, usamos a
técnica de escalonamento, que facilita a resolução e a discussão de um sistema.
Dado o sistema de equações lineares:











mnmnmmm
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
S




332211
22323222121
11313212111
onde existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, dizemos que S está escalonado se o número de
coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não-nulo aumenta de equação para equação.

52
Exemplos:
1
3 6
)
2 3
x y
a S
y
 
 

2
4 z 9
) 2 3 2
4z 5
x y
b S y z
  

  
  
3
2 4 5 8
)
4 z 0
x y z
c S
y
  
 
 
4
2 3 2 1
) 2 2 4
3 7
x y z t
d S y z t
t
   

   
 
Procedimentos para escalonar um sistema
1) Fixamos como 1ª equação uma das que possuam o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero.
2) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais
equações.
3) Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação.
4) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
Exemplos:
Vamos escalonar o sistema
2 5
3 2 4 0
2 2
x y z
x y z
x y z
  

  
   
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação, aplicando as propriedades:
 Trocamos de posição a 1ª e a 3ª equações:
2 2
3 2 4 0
2 5
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-3) com a 2ª equação:
 ( 2 2) 3 2 2
3 2 4 0 8 7 6
2 5 2 5
x y z x y z
x y z y z
x y z x y z
       
        
     
 
 
 
 


53
 Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-2) com a 3ª equação:
 ( 2 2) 2 2 2
8 7 6 8 7 6
2 5 3 1
x y z x y z
y z y z
x y z y z
       
      
     
 
 
 
 

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3ª equação:
 Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por 






8
3
com a 3ª equação:
 3
8
13 26
8 8
2 2 2 2
(8 7 6) 8 7 6
3 1
x y z x y z
y z y z
y z z
     
       
  

 
 
 
  
Agora, como o sistema está escalonado, podemos resolvê-lo:
De L3 vem: 2
8
26
8
13
 zz
Substituindo este valor em 678  zy , vem:
1886278  yyy
Substituindo, 1 e 2 em 2 2y z x y z     , vem:
22212  xx
Portanto, o sistema é possível e determinado, admitindo uma única solução que é dada por: {(2;1;2;)}S 
1) Faça você: escalonar e resolver o sistema a)
2 3
2 1
3 2 2
x y z
x y z
x y z
  

  
   
b)
6
2 2 1
2 2 3
x y z t
x y z t
x y z t
   

    
     
EXERCÍCIOS:
1) Verifique se os sistemas abaixo são normais:
a)
1
2 3 2 5
2 4
x y z
x y z
x y z
  

  
    
b)
3 6
4 7 17
6 6 19
x y z
x y z
x y z
  

  
   
c)
2 3 8
0
3 4 9
x y z
x y z
x y
  

  
  

54
2) Dois casais foram a um barzinho. O primeiro pagou R$ 5,40 por 2 latas de refrigerante e uma porção de batatas
fritas. O segundo pagou R$ 9,60 por 3 latas de refrigerante e 2 porções de batatas fritas.
Nesse local e nesse dia, a diferença entre o preço de uma porção de batas fritas e o preço de uma lata de
refrigerante era de:
a)R$2,00 b)R$1,80 c)R$1,75
d)R$1,50 e)R$1,20
3) Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. Se a terça parte do dobro do número de balas
de hortelã excede a metade do de laranjas em 4 unidades, então nesse pacote há:
a) igual número de balas dos dois tipos
b) duas balas de hortelã a mais que de laranja
c) 20 balas de hortelã
d) 26 balas de laranja
e) duas balas de laranja a mais que de hortelã
4) Em três mesas de uma lanchonete o consumo ocorreu da seguinte forma:
Mesa
Hambúrguer Refrigerante Porção de
fritas
1ª 4 2 2
2ª 6 8 3
3ª 2 3 1
A conta da 1ª mesa foi R$18,00 e da 2ª mesa R$30,00. Com esses dados:
a) é possível calcular a conta da 3ª mesa e apenas o preço unitário do refrigerante.
b) é possível calcular a conta da 3ª mesa, mas nenhum dos preços unitários dos três componentes do lanche.
c) é possível calcular a conta da 3ª mesa e além disso, saber exatamente os preços unitários de todos os componentes
do lanche.
d) não é possível calcular a conta da 3ª mesa, pois deveriam ser fornecidos os preços unitários dos componentes do
lanche.
e) é impossível calcular a conta da 3ª mesa e os preços unitários dos componentes do lanche, pois deve ter havido um
erro na conta da 1ª ou da 2ª mesa.

55
Produto Interno ou Produto Escalar
IX. Produto Interno (Escalar)
O produto escalar entre dois vetores 𝑢⃗ = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘⃗ e 𝑣 = 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2 𝑘⃗ é dado por um número real, tal que:
𝑢⃗ . 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1). (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) ou (𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘⃗ ) ∙ (𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2 𝑘⃗ )
𝑢⃗ . 𝑣 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 + 𝑧1 ∙ 𝑧2 Obs.: 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = < 𝑢⃗ , 𝑣 >
1. Determine o produto escalar entre os vetores:
a) 𝑢⃗ = (2, 4) e 𝑣 = (5, − 6)
b) 𝑢⃗ = 2𝑖 + 3𝑗 e 𝑣 = −𝑖 − 2𝑗
Solução
a) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = (2, 4) ∙ (5, − 6)
𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 2 ∙ 5 + 4 ∙ (−6)
𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 10 − 24
𝑢⃗ ∙ 𝑣 = −14
𝑏) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = (2𝑖 + 3𝑗) ∙ (−𝑖 − 2𝑗)
𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 2 ∙ (−1) + 3 ∙ (−2)
𝑢⃗ ∙ 𝑣 = −2 − 6
𝑢⃗ ∙ 𝑣 = −8
2. Dados os vetores 𝑢⃗ = (4, 𝛼) 𝑒 𝑣 = (𝛼, 2) e os pontos A(4, -1) e B(3, 2) determine o valor 𝛼 para 𝑢⃗ . (𝑣 + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 5
Solução
𝑢⃗ . (𝑣 + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 5
(4, 𝛼) ∙ {( 𝛼,2) + [(3,2) − (4,−1)]} = 5
(4, 𝛼) ∙ {( 𝛼,2) + (−1,3)} = 5
(4, 𝛼) ∙ ( 𝛼 + (−1), 2 + 3) = 5
(4, 𝛼) ∙ ( 𝛼 − 1,5) = 5
(4, 𝛼) ∙ ( 𝛼 − 1,5) = 5
4 ∙ (𝛼 − 1) + 𝛼 ∙ 5 = 5
4𝛼 − 4 + 5𝛼 = 5
9𝛼 = 9
𝜶 = 𝟏

56
Propriedades do Produto Escalar
Dados 𝑢⃗ , 𝑣 𝑒 𝑤⃗⃗ quaisquer e 𝑘 ∈ 𝑅3
, tem-se:
• 𝑢⃗ . 𝑢⃗ ≥ 𝑜 𝑒 𝑢⃗ . 𝑢⃗ = 0 ↔ 𝑢⃗ = (0, 0, 0)
• 𝑢⃗ . 𝑣 = 𝑣 . 𝑢⃗ (comutativa)
• 𝑢⃗ . (𝑣 + 𝑤⃗⃗ ) = 𝑢⃗ . 𝑣 + 𝑢⃗ . 𝑤⃗⃗ (distributiva)
• (𝑚. 𝑢⃗ ). 𝑣 = m. (u⃗ . 𝑣) = 𝑢⃗ . (m . v⃗ )
• 𝑢⃗ . 𝑢⃗ = |𝑢⃗ |2
Importante:
• |𝑢⃗ + 𝑣|2
= |𝑢⃗ |2
+ 2𝑢⃗ . 𝑣 + |𝑣|2
• |𝑢⃗ − 𝑣|2
= |𝑢⃗ |2
− 2𝑢⃗ . 𝑣 + |𝑣|2
Módulo de um Vetor
Módulo de um vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ é igual à distância entre a origem A e a extremidade B desse vetor.
• Se o vetor 𝑣 = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ têm coordenadas (𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0), então:
|𝑣| = √ 𝑣 . 𝑣
|𝑣| = √(𝑥, 𝑦, 𝑧). (𝑥, 𝑦, 𝑧)
|𝑣| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
• Se o vetor 𝑣 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ têm coordenadas diferente de (𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0),
então:
|𝑣| = |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐵 − 𝐴|
|𝑣| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2
Obs.: O Versor de um vetor é dado por 𝜆 𝑢⃗⃗ =
𝒖⃗⃗
|𝒖⃗⃗ |
.
Determine o módulo do vetor u⃗ = (2, 3, −1).
Solução
|𝑢⃗ | = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
|𝑢⃗ | = √22 + 32 + (−1)2
|𝑢⃗ | = √14

57
Exercícios de Aplicação
1. Determine o módulo dos vetores, abaixo, e as componentes dos versores de cada um desses vetores.
a) 𝑢 = (2, 3) b) 𝑣 = (−2, 4)
𝑐) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , sendo A(1, -3) e B(2, 3) d) 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ , sendo A(0, 5) e B(2, 1)
2. Sabendo que a distância entre os pontos A(1, 2) e B(4, m) é igual a 5 , calcule m.
3. Determine o valor de 𝛼 para que o vetor 𝑣 = (𝑚, −
1
2
) 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜.
Módulo de um vetor soma ou diferença
Dado 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2), define-se:
|𝑢 + 𝑣| = √|𝑢|2 + |𝑣|2 − 2|𝑢||𝑣|𝑐𝑜𝑠𝜃
Dado o vetor 𝑢 = (−2, − 2)e 𝑣 = (0, − 2), determine o módulo de 𝑢 + 𝑣, sabendo que o ângulo formado entre eles
é de 𝜃 = 45°.
Solução
1° passo (Calcular |𝑢⃗ |𝑒 |𝑣|)
|𝑢⃗ | = √𝑥2 + 𝑦2
|𝑢⃗ | = √(−2)2 + (−2)2
|𝑢⃗ | = 2√2u
|𝑣| = √𝑥2 + 𝑦2
|𝑣| = √02 + (−2)2
|𝑣| = 2u
2° passo (Calcular |𝑢 + 𝑣|)
|𝑢 + 𝑣| = √|𝑢|2 + |𝑣|2 − 2|𝑢||𝑣| cos(135°)
|𝑢 + 𝑣| = √(2√2)2 + 22 − 2 ∙ 2√2 ∙ 2 ∙ (−
√2
2
)
|𝑢 + 𝑣| = √8 + 4 + 8 = √20 u
Definição Geométrica de Produto Escalar
O produto de dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo por eles formado, ou
seja, se 𝑢⃗ e 𝑣 são vetores não-nulos e 𝜃 o ângulos entre eles, então
𝑢⃗ ∙ 𝑣 = |𝑢⃗ | ∙ |𝑣| ∙ cos 𝜃, 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°
1. Sendo |𝑢⃗ | = 2, |𝑣| = 3 𝑒 120° o ângulo entre eles, calcular:
a) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 b) |𝑢⃗ + 𝑣| c) |𝑢⃗ − 𝑣|
Solução
a) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = |𝑢⃗ | ∙ |𝑣| ∙ cos( 120)°
𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 2 ∙ 3 ∙ (−
1
2
)
𝑢⃗ ∙ 𝑣 = −3
b) |𝑢⃗ + 𝑣|2
= |𝑢⃗ |2
+ 2𝑢⃗ ∙ 𝑣 + |𝑣|2
|𝑢⃗ + 𝑣|2
= 22
+ 2(−3) + 32
|𝑢⃗ + 𝑣| = √7 u
c) |𝑢⃗ − 𝑣|2
= |𝑢⃗ |2
− 2𝑢⃗ ∙ 𝑣 + |𝑣|2
|𝑢⃗ − 𝑣|2
= 22
− 2(−3) + 32
|𝑢⃗ − 𝑣| = √19 u

58
Observações
 Se 𝑢⃗ ∙ 𝑣 > 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜃 > 0 e 0° ≤ 𝜃 < 90° (figura a)
 Se 𝑢⃗ ∙ 𝑣 < 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜃 < 0 e 90° < 𝜃 ≤ 180° (figura b)
 Se 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜃 = 0 e 𝜃 = 90° (figura c)
Mostre que 𝑢⃗ = (−2, 3) é ortogonal ao vetor 𝑣 = (−1, −
2
3
).
𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 0
(−2, 3) ∙ (−1, −
2
3
) = 0
−2 ∙ (−1) + 3 ∙ (−
2
3
) = 0
2 − 2 = 0
∴ 0 = 0
Cálculo do ângulo de dois vetores
Da igualdade
𝑢⃗ ∙ 𝑣 = |𝑢⃗ | ∙ |𝑣| ∙ cos 𝜃, 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°, vem
Fórmula a partir da qual se calcula o ângulo 𝜃 entre os vetores 𝑢⃗ 𝑒 𝑣 não-nulos.
Calcular o ângulo entre os vetores 𝑢⃗ = (1,1,4) 𝑒 𝑣 = (−1,2,2)
Solução
cos 𝜃 =
𝑢 . 𝑣
|𝑢|. |𝑣|
cos 𝜃 =
(1,1,4) . (−1,2,2)
√1 + 1 + 16. √1 + 4 + 4
cos 𝜃 =
−1 + 2 + 8
√18. √9
cos 𝜃 =
9
3√2. 3
cos 𝜃 =
√2
2
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos (
√2
2
)
∴ 𝜃 = 45°
cos 𝜃 =
𝑢 . 𝑣
|𝑢|. |𝑣|
u
v
u - v
𝜃

59
1. Se 𝑢 = (−2, −2) e 𝑣 = (0, −2), determine o ângulo 𝜃, oposto ao vetor u – v.
2. Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais:
a) 𝑢⃗ = (1, −2,3) 𝑒 𝑣 = (4,5,2) b) 𝑖 𝑒 𝑗
3. Provar que o triângulo de vértice 𝐴(2,3,1), 𝐵(2,1, −1) 𝑒 𝐶(2,2, −2) é um triângulo retângulo.
4. Determinar um vetor ortogonal aos vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (1, −1, 0) e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (1,0,1)
5. Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo 𝐴(3, −3,3), 𝐵(2, −1,2) 𝑒 𝐶(1,0,2).
6. Sabendo que o vetor 𝑣 = (2,1, −1)forma ângulo de 60° com o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ determinar pelos pontos 𝐴(3,1, −2) e
𝐵(4, 0, 𝑚), calcular m.
7. Calcular o trabalho realizado pelas forças constantes, 𝐹, 𝐹𝑎
⃗⃗⃗ , 𝐹 𝑁
⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑃⃗ e pela força resultante, para deslocar o bloco A até
B, sabendo que |𝐹| = 10𝑁.
|𝐹𝑎
⃗⃗⃗ | = 8𝑁, |𝑃⃗ | = 3𝑁, |𝐹 𝑁
⃗⃗⃗⃗ | = 3𝑁, 𝑑 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 |𝑑| = 10𝑚
Lembrete:
𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑑 ou 𝑊 = |𝐹| ∙ |𝑑| ∙ 𝐶𝑂𝑆 𝜃 (J)
Para
 W: trabalho (jaule),
 𝐹: força (Newton)
 𝑑: distância (metros)
 𝜃: ângulo entre 𝐹 e 𝑑
8. alcular o trabalho realizado pela força 𝐹 para deslocar o corpo de A até B, sabendo que
|𝐹| = 10𝑁, |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑑| = 20𝑚 𝑒 𝜃 = 36,9°

60
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135 ° 150° 180°
Sen 0 1
2
√2
2
√3
2
1 √3
2
√2
2
1
2
0
Cos 1 √3
2
√2
2
1
2
0
−
1
2 −
√2
2
−
√3
2
-1
Tg 0 √3
3
1 √3 ∄ −√3 - 1
−
√3
3
0

61
Atividade (Nota)
1. Determinar a

, ba

 , ba

 , a

2 e ba

43  , considerando:
a) )3,4(a

e )2,6(b

b) jia

32  e jib

5
Resp:
a) 5a

, )5,2( ba
 , )1,10( ba
 , )6,8(2 a

, )17,12(43  ba

b) 13a
 , jiba

23  , jiba

8 , jia

642  , jiba

111043 
2. Escrever o vetor jiu

210  como combinação linear dos vetores jiv

52  e jiw

 4 .
Resp.: wvu

3 .
3. Determinar o vetor w

na igualdade wvuw


2
1
23 , sendo dados )1,3( u

e )4,2(v

.
Resp.: 





 2,
2
7
w

4. Dados os vetores u = )1,3(  e v = )2,1( , determinar o vetor w tal que )34(2)2(3 uwuvw  . Resp.:







5
11
,
5
23
w
5. Considere os vetores jis

2 , jit

52  e os pontos )3,0( A e )2,7(B . Pede-se:
a)  ts

3 AB b) ts

 c) versor do vetor AB
d) vetor com tamanho 4, paralelo ao vetor s

, mas de sentido oposto à s

Resp.:
a) ji

814  b) 7,62 u.c. c) jiAB

581,0814,0 
6. Dados os vetores jiu

 3 e jiv

2 , determinar o vetor x

tal que xuxvu

 2
3
1
)(4 .
Resp.: 






2
15
,
2
15
7. Se )1,1( u

e )6,8( w

, calcular uw

3 .
Resp.: 34 u.c.
8. Dados os pontos )2,3(A e )2,5( B , determinar os pontos M e N pertencentes ao segmento AB tais que
ABAM
2
1
 e ABAN
3
2
 . Resp.: )0,1(M , 






3
2
,
3
7
N

62
9. Calcular os valores de a para que o vetor jiau

2 tenha módulo 4.
Resp: 32
10. Calcular os valores de a para que o vetor jiau

2
1
 seja unitário.
Resp:
2
3

11. Dado o vetor u = )3,1(  , determinar o vetor paralelo à u que tenha:
a) Sentido contrário à u e duas vezes o módulo de u . Resp.: )6,2(
b) O mesmo sentido de u e módulo 2. Resp.:







10
6
,
10
2
c) Sentido contrário ao de u e módulo 4. Resp.:







10
12
,
10
4
12. Para cada uma das figuras abaixo, determinar a resultante das forças utilizando os versores i

e j

, calcular a
intensidade desta resultante e sua direção.
Resp.:
a)
iNFR

1()71,123( 
, NFr 48,124

,
º4,6 a
partir de Ox,
anti- horário.
b)
iNFR

1()82,290( 
,
NFr 78,1448

, º42,78 a
partir de Ox, a-h.
13. Dados 𝑢⃗ = (4, 𝑦, −1) e 𝑣 = (𝑦, 2, 3) e os pontos A(4, -1, 2) e B(3, 2, -1), determine o valor de y tal que 𝑢⃗ . (𝑣 +
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 5.
14. Sabendo que a distância entre os pontos A(-1, 2, 3) e B(1, -1, m) é 7, calcule m.
15. Determine x para que o vetor 𝑢⃗ = (𝑥, −
1
2
,
1
4
) seja unitário.
16 Calcule o ângulo entre os vetores 𝑢⃗ = (1, 1, 4) e 𝑣 = (−1, 2, 2).
a)

63
17. Sabendo que o vetor 𝑢⃗ = (2, 1, −1) forma um ângulo de 60° com o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ determinado pelos pontos A(3, 1, -2) e
B(4, 0, m), calcular m.
18. Prove que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, -1) e C(2, 2, -2) é um triângulo retângulo.
19. Determinar um vetor que seja ortogonal aos vetores 𝑢⃗ = (1, − 1,0) e 𝑣 = (1, 0,1).

64
Produto Vetorial
X. Produto Vetorial
Definição
Chama-se produto vetorial de dois vetores 𝑢⃗ = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘⃗ e 𝑣 = 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2 𝑘⃗ , tomados nesta ordem, e se
representa por 𝑢⃗ × 𝑣, ao vetor
𝑢⃗ × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 𝑘⃗
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
|
Aplicando o Teorema de Laplace
𝑢⃗ × 𝑣 = |
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
| 𝑖 − |
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
| 𝑗 + |
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
| 𝑘⃗
∴ 𝑢⃗ × 𝑣 = (𝑦1 𝑧2 − 𝑦2 𝑧1)𝑖 − (𝑥1 𝑧2 − 𝑥2 𝑧1)𝑗 + (𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1)𝑘⃗
O produto vetorial de 𝑢⃗ por 𝑣 também é indicado por 𝑢⃗ ˄ 𝑣, e lê-se “𝑢⃗ vetorial 𝑣 ”.
Calcular 𝑢⃗ × 𝑣 para 𝑢⃗ = 5𝑖 + 4𝑗 + 3𝑘⃗ e 𝑣 = 𝑖 + 𝑘⃗
Solução
𝑢⃗ × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 𝑘⃗
5 4 3
1 0 1
|
𝑢⃗ × 𝑣 = |
4 3
0 1
| 𝑖 − |
5 3
1 1
| 𝑗 + |
5 4
1 0
| 𝑘⃗
𝑢⃗ × 𝑣 = (4 ∙ 1 − 0 ∙ 3)𝑖 − (5 ∙ 1 − 1 ∙ 3)𝑗 + (5 ∙ 0 − 1 ∙ 4)𝑘⃗
∴ 𝑢⃗ × 𝑣 = 4𝑖 − 2𝑗 − 4𝑘⃗
Características do Vetor 𝒖⃗⃗ × 𝒗⃗⃗
Consideremos os vetores 𝑢⃗ = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘⃗ e 𝑣 = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘⃗ .
I. Direção de 𝒖⃗⃗ × 𝒗⃗⃗
O vetor 𝑢⃗ × 𝑣 é simultaneamente ortogonal a 𝑢⃗ e 𝑣.
Então,
(𝑢⃗ × 𝑣) ∙ 𝑢⃗ = 0 e (𝑢⃗ × 𝑣) ∙ 𝑣 = 0

65
Dados os vetores 𝑢⃗ = (3, 1, 2) e 𝑣 = (−2, 2,5), mostre que:
a) (𝑢⃗ × 𝑣) ∙ 𝑢⃗ = 0
b) (𝑢⃗ × 𝑣) ∙ 𝑣 = 0
Solução
1° passo:
𝑢⃗ × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 𝑘⃗
3 1 2
−2 2 5
|
𝑢⃗ × 𝑣 = |
1 2
2 5
| 𝑖 − |
3 2
−2 5
| 𝑗 + |
3 1
−2 2
| 𝑘⃗
∴ 𝑢⃗ × 𝑣 = 1𝑖 − 19𝑗 + 8𝑘⃗
a) (𝑢⃗ × 𝑣) ∙ 𝑢⃗ = 0
(1𝑖 − 19𝑗 + 8𝑘⃗ )∙(3𝑖 + 𝑗 + 2𝑘⃗ ) = 0
3 − 19 + 16 = 0
0 = 0 c.q.m
b) (𝑢⃗ × 𝑣) ∙ 𝑣 = 0
(1𝑖 − 19𝑗 + 8𝑘⃗ )∙(−2𝑖 + 2𝑗 + 5𝑘⃗ ) = 0
−2 − 38 + 40 = 0
0 = 0 c.q.m
II. Sentido de 𝒖⃗⃗ × 𝒗⃗⃗
O sentido de 𝑢⃗ × 𝑣 poderá ser determinado utilizando-se a “regra da mão direita”. Sendo θ o ângulo entre 𝑢⃗ 𝑒 𝑣,
suponhamos que 𝑢⃗ sofra uma rotação de ângulo θ até coincidir com 𝑣. Se os dedos da mão direita forem dobrados na
mesma direção da rotação, então o polegar estendido indicará o sentido de 𝑢⃗ × 𝑣.
Obs.: Para o sentido entre o produto vetorial entre 𝑖, 𝑗 e 𝑘⃗ , temos:
𝑖 × 𝑗 = 𝑘⃗ 𝑗 × 𝑘⃗ = 𝑖 𝑘⃗ × 𝑖 = 𝑗
𝑗 × 𝑖 = −𝑘⃗ 𝑘⃗ × 𝑗 = −𝑖 𝑖 × 𝑘⃗ = −𝑗
Assim, se considerarmos 𝑖, 𝑗 e 𝑘⃗ como um ciclo, aonde 𝑖 vem após 𝑘⃗ e,
consequentemente, 𝑘⃗ precede 𝑖, então o produto vetorial entre dois deles no

66
sentido anti-horário é o terceiro, mas o produto de dois deles no sentido oposto
(horário) é o oposto (negativo) do terceiro.
III. Comprimento de 𝒖⃗⃗ × 𝒗⃗⃗
Se θ é o ângulo entre os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 não-nulos, então
|𝒖⃗⃗ × 𝒗⃗⃗ | = |𝑢⃗ | ∙ |𝑣| ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 com 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial
Observando que no paralelogramo determinado pelos vetores não-nulos 𝑢⃗ e 𝑣, a medida da base |𝑢⃗ | e da altura
|𝑣| ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃, a área A desta paralelogramo é
𝐴 = (𝑏𝑎𝑠𝑒) ∙ (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)
𝐴 = |𝑢⃗ | ∙ |𝑣| ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃
∴ 𝐴 = |𝑢⃗ × 𝑣|
Portanto, a área do paralelogramo determinado pelos vetores 𝑢⃗ e 𝑣 é numericamente igual ao comprimento do vetor
𝑢⃗ × 𝑣.
Determinar o vetor 𝑥, tal que 𝑥 seja ortogonal ao eixo das ordenadas (y) e 𝑢⃗ = 𝑥 × 𝑣, sendo 𝑢⃗ = (1,1, −1) e 𝑣 =
(2, −1,1).
Solução
Como 𝑥⦜0𝑦, ele é da forma 𝑥 = (𝑥, 0, 𝑧).
Então 𝑢⃗ = 𝑥 × 𝑣 equivale a
(1,1, −1) = |
𝑖 𝑗 𝑘⃗
𝑥 0 𝑧
2 −1 1
|
Ou
(1,1, −1) = (𝑧, −𝑥 + 2𝑧, −𝑥)
{
𝑧 = 1
−𝑥 + 2𝑧 = 1
−𝑥 = −1
∴ 𝑥 = 1, 𝑧 = 1 𝑒 𝑥 = (1,0,1)
1. Sejam os vetores 𝑢⃗ = (1, −1, −4) e 𝑣 = (3,2, −2). Determine um vetor que seja
a) ortogonal a 𝑢⃗ 𝑒 𝑣; Resp: 𝑢⃗ × 𝑣 = (10, −10,5)
b) ortogonal a 𝑢⃗ 𝑒 𝑣 e unitário; Resp: 𝑢1⃗⃗⃗⃗ = (
2
3
, −
2
3
,
1
3
) e 𝑢2⃗⃗⃗⃗ = −𝑢1⃗⃗⃗⃗ = (−
2
3
,
2
3
, −
1
3
)
c) ortogonal a 𝑢⃗ 𝑒 𝑣 e tenha módulo 4; Resp: (
8
3
, −
8
3
,
4
3
) 𝑜𝑢 (−
8
3
,
8
3
, −
4
3
)
2. Seja um triângulo equilátero ABC de lado 10. Calcular |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |.

67
Resp: 50√3
3. Dados os vetores 𝑢⃗ = (1, −1,1)𝑒 𝑣 = (2, −3,4), calcular
a) a área do paralelogramo determinado por 𝑢⃗ e 𝑣; Resp: 𝐴 = √6 u.a.
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor 𝑢⃗ . Resp: ℎ = √2 𝑢. 𝑐.
4. Determinar a distância do ponto 𝑃(5,1,2) à reta r que passa por 𝐴(3,1,3) e 𝐵(4, −1,1).
Resp: 𝑑 =
√29
3
u.c.
5. Dados os vetores 𝑢⃗ = (2,1, −1) e 𝑣 = (1, −1, 𝛼), calcular o valor de α para que a área do paralelogramo
determinado por 𝑢⃗ e 𝑣 seja igual a √62.
Resp: 𝑎 = 3 𝑜𝑢 𝑎 = −
17
5
6. Dados os pontos 𝐴(2,1,1), 𝐵(3, −1,0) 𝑒 𝐶(4,2, −2), determinar
a) a área do triângulo ABC; Resp: 𝐴 =
5
2
√3 𝑢. 𝑎.
b) a altura do triângulo relativa ao vértice C. Resp: ℎ =
5
2
√2 𝑢. 𝑎.
7. Calcular o torque sobre a barra 𝐴𝐵̅̅̅̅, onde 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 = 2𝑗 (𝑒𝑚 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠), 𝐹 = 10𝑖 (𝑒𝑚 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠) e o eixo de rotação é o
eixo z.
Lembrete:

68
𝜏 = 𝑟 × 𝐹 ou |𝜏| = |𝑟| ∙ |𝐹| ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃
Para
 𝜏: torque (mN)
 𝑟: distância (m)
 𝐹: forço (N)
 Θ: ângulo entre 𝑟 e 𝐹
Resp: |𝜏| = 20𝑚𝑁
8. Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, sendo dados
a) 𝐴(−4,1,1), 𝐵(1,0,1) 𝑒 𝐶(0, −1,3) Resp: √35 e
2√35
√6
b) 𝐴(4,2,1), 𝐵(1,0,1) 𝑒 𝐶(1,2,0) Resp:
7
2
𝑒
7
√5
9. Dados os vetores 𝑢⃗ = (1,1,0) 𝑒 𝑣 = (−1,1,2), determinar
a) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a 𝑢⃗ e 𝑣; Resp: (
1
√3
, −
1
√3
,
1
√3
) 𝑜𝑢 (−
1
√3
,
1
√3
, −
1
√3
)
b) um vetor de módulo 5 simultaneamente a 𝑢⃗ e 𝑣. Resp: (
5
√3
, −
5
√3
,
5
√3
) 𝑜𝑢 (−
5
√3
,
5
√3
, −
5
√3
)

69
Produto Misto
XI. Produto Misto
Definição
Chama-se produto misto de três vetores 𝑢⃗ = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘⃗ , 𝑣 = 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2 𝑘⃗ e 𝑤⃗⃗ = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘⃗ tomados
nesta ordem, ao número real 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ).
Tendo em vista que,
𝑣 × 𝑤⃗⃗ = |
𝑖 𝑗 𝑘⃗
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
|
Aplicando o Teorema de Laplace,
𝑣 × 𝑤⃗⃗ = |
𝑦2 𝑧2
𝑦3 𝑧3
| 𝑖 − |
𝑥2 𝑧2
𝑥3 𝑧3
| 𝑗 + |
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
| 𝑘⃗
Vem,
𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) = 𝑥1 ∙ |
𝑦2 𝑧2
𝑦3 𝑧3
| − 𝑦1 ∙ |
𝑥2 𝑧2
𝑥3 𝑧3
| + 𝑧1 |
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
|
∴ 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) = |
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
|
O produto misto de 𝑢⃗ , 𝑣 𝑒 𝑤⃗⃗ também é indicado por (𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ ).
Calcular o produto misto dos vetores 𝑢⃗ = 2𝑖 + 3𝑗 + 5𝑘⃗ , 𝑣 = −𝑖 + 3𝑗 + 3𝑘⃗ e 𝑤⃗⃗ = 4𝑖 − 3𝑗 + 2𝑘⃗
Solução
𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) = |
2 3 5
−1 3 3
4 −3 2
|
∴ 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) = 27
Propriedades do Produto Misto
I) O produto misto (𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ )muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores;
II) (𝑢⃗ + 𝑥, 𝑣, 𝑤⃗⃗ ) = (𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ ) + (𝑥, 𝑣, 𝑤⃗⃗ )
(𝑢⃗ , 𝑣 + 𝑥, 𝑤⃗⃗ ) = (𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ ) + (𝑢⃗ , 𝑥, 𝑤⃗⃗ )
(𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ + 𝑥) = (𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ ) + (𝑢⃗ , 𝑣, 𝑥)

70
III) (𝛼𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ ) = (𝑢⃗ , 𝛼𝑣, 𝑤⃗⃗ ) = (𝑢⃗ , 𝑣, 𝛼𝑤⃗⃗ ) = 𝛼(𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ )
IV) (𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ ) = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares.
1. Qual deve ser o valor de m para que os vetores 𝑢⃗ = (2, 𝑚, 0), 𝑣 = (1, −1,2) e 𝑤⃗⃗ = (−1,3, −1) sejam coplanares?
Solução
Para que 𝑢⃗ , 𝑣 𝑒 𝑤⃗⃗ sejam coplanares deve-se ter
(𝑢⃗ , 𝑣, 𝑤⃗⃗ ) = 0
Isto é,
|
2 𝑚 0
1 −1 2
−1 3 −1
| = 0
Ou
2 − 2𝑚 − 12 + 𝑚 = 0
e, portanto,
𝑚 = −10
2. Verificar se os pontos 𝐴(1,2,4), 𝐵(−1,0, −2), 𝐶(0,2,2)𝑒 𝐷(−2,1, −3) estão no mesmo plano.
Solução
Os quatro pontos dados são coplanares se
forem coplanares os vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ,
e, para tanto, deve-se ter
(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0
Como
(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ) = |
−2 −2 −6
−1 0 −2
−3 −1 −7
| = 0
Os pontos dados são
coplanares
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto
Geometricamente, o produto misto 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas
determinadas pelos vetores não-coplanares 𝑢⃗ , 𝑣 𝑒 𝑤⃗⃗ .
A área da base do paralelepípedo é |𝑣 × 𝑤⃗⃗ |.
Seja θ o ângulo entre os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 × 𝑤⃗⃗ . Sendo 𝑣 × 𝑤⃗⃗ um vetor
ortogonal à base, a altura será paralela a ele, e, portanto,
ℎ = |𝑢⃗ ||𝑐𝑜𝑠𝜃|
Então,
𝑉 = (á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒) ∙ (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)
∴ 𝑉 = | 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) |

71
Sejam os vetores 𝑢⃗ = (3, 𝑚, −2), 𝑣 = (1, −1,0) e 𝑤⃗⃗ = (2, −1,2). Calcular o valor de m para que o volume do
paralelepípedo determinado por 𝑢⃗ , 𝑣 𝑒 𝑤⃗⃗ seja 16 u.v.
Solução
𝑉 = | 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) |
| 𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) | = 16
Sendo
𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) = |
3 𝑚 −2
1 −1 0
2 −1 2
|
𝑢⃗ ∙ (𝑣 × 𝑤⃗⃗ ) = −2𝑚 − 8
Vem
|−2𝑚 − 8| = 16
Pela definição de módulo,
−2𝑚 − 8 = 16 𝑜𝑢 − 2𝑚 − 8 = −16
∴ 𝑚 = −12 𝑜𝑢 𝑚 = 4
Exercício de aplicação
1. Seja 𝐴(1,2, −1), 𝐵(5,0,1), 𝐶(2, −1,1) 𝑒 𝐷(6,1, −3) vértices de um tetraedro. Calcular:
a) o volume deste tetraedro; 𝑉 =
1
6
|(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ )|
b) a altura do tetraedro relativa ao vértice D.
Resp: a) V = 6 u.v. b) h =
18
√35
u.c.

72
Atividade (Nota)
1. Qual o valor de 𝛽 para que os vetores 𝑣 = (𝛽, 2,−4) e 𝑤⃗⃗ = (2, 1 − 2𝛽, 3) sejam ortogonais?
2. Use a definição de produto escalar, 𝑎. 𝑏⃗ = |𝑎||𝑏⃗ |𝑐𝑜𝑠𝜃, e o fato de que 𝑎. 𝑏⃗ = 𝑥1. 𝑥2 + 𝑦1. 𝑦2 + 𝑧1. 𝑧2 para calcular o
ângulo entre os dois vetores dados por 𝑎 = 3𝑖 + 3𝑗 + 3𝑘⃗ e 𝑏⃗ = 2𝑖 + 3𝑗 + 3𝑘⃗ . Resp: 𝜃 = 23°
3. Marque com um X a alternativa correta.
3.1.) Os vetores 𝑎 e 𝑏⃗ são 𝑎 = 2𝑖 + 3𝑗 e 𝑏⃗ = −𝑖 + 2𝑗. O ângulo em radianos entre os vetores 𝑎 e 𝑏⃗ é aproximadamente:
a) π/2 b) 3π/2 c) π/4 d) 2π/3 e) π/3
Res:. letra e
3.2.) O vetor 𝑎 = 5𝑖 − 4𝑗 e 𝑏⃗ = −7,5𝑖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 6𝑗. A equação que melhor relaciona os vetores 𝑎 e 𝑏⃗ é:
a) 𝑎 + 𝑏⃗ = 1,5𝑎 b) 𝑎 + 1,5𝑏⃗ = 0 c) 𝑏⃗ = −1,5𝑎 d) 𝑎 = 1,5𝑏⃗ e) 𝑏⃗ − 1,5𝑎 = 0
Resp: letra c
3.3.) Dados os vetores: 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = 80 m/s orientado para norte e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = 60 m/s orientado para leste. Podemos afirmar que a
direção do vetor diferença 𝑣1⃗⃗⃗⃗ - 𝑣2⃗⃗⃗⃗ é o valor do produto escalar entre os vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ . 𝑣1⃗⃗⃗⃗ são respectivamente:
a) θ = 126,87º e 0,2 b) θ = - 53,13º e 0 c) θ = -126,87º e 10 d) θ = 0º e 80,8
e) θ = 53,13º e 80,8
Resp: letra b
4. Se o vetor 𝑏⃗ é somado ao vetor 𝑎, o resultado é 8,0𝑖 - 1,0𝑗. Se 𝑏⃗ é subtraído de 𝑎, o resultado é - 2,0 i + 3,0 j. Qual é o
módulo do vetor 𝑎?
Resp. |𝑎|= 3,16
5. Um objeto em movimento retilíneo tem um deslocamento dado por ∆𝑠⃗⃗⃗⃗ = 2 m𝑖 + 3 m𝑗- 5 m𝑘⃗ , enquanto atua sobre ele
uma força constante 𝐹 = 7 N𝑖 - 7 N𝑗 - 2 N𝑘⃗ . Determine:
a) o trabalho realizado por esta força?
Resp: 𝑊⃗⃗⃗ = 3 J
b) o ângulo entre os dois vetores 𝐹 e ∆𝑠⃗⃗⃗⃗ ?
Resp: 𝜃 = 87,23°
6.Sejam os pontos )8,3,1(A e )7,3,5(B , os vetores kjiu

 32 e kjiv

56  . Pede-se:
a) AB  )( vu

 b) vu

 c) uv

 d) ângulo entre os vetores u

e v

8
Resp.: a) 12, b) kji

999  c) kji

999  d) 31,94°
7. Sejam os vetores kjaiu

 2 , kjiv

23  e kjiaw

42)12(  . Determinar a de modo que  v

=
)( vu

  )( wv

 .
Resp:
8
5
a .
8. Se kjiu

345  e kiv

 , calcular vu

 . Resp: kji

424  .
9. Calcular os ângulos internos do triângulo de vértices )6,1,0( P , )3,1,2( Q e )2,4,5(R .
Resp: 43°, 58° e 79°.
u


Algebra Linear: Introdução aos Vetores, Operações e Espaços Vetoriais R2 e R3

Algebra Linear: Introdução aos Vetores, Operações e Espaços Vetoriais R2 e R3

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (17)

Ähnlich wie Algebra Linear: Introdução aos Vetores, Operações e Espaços Vetoriais R2 e R3

Ähnlich wie Algebra Linear: Introdução aos Vetores, Operações e Espaços Vetoriais R2 e R3 (20)

Algebra Linear: Introdução aos Vetores, Operações e Espaços Vetoriais R2 e R3