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Elda Vieira Tramm EMFoco/UFBA [email_address] www.grupoemfoco.com.br Matemática e Cultura popular : um casamento promissor?
A bola de futebol é um Objeto de desejo do aluno? A bola de futebol é um Objeto matemático? Você gostaria de construir uma bola de futebol?
Então precisamos Descobrir/Identificar  PISTAS  (regularidades e padrões) Investigar o objeto/  a BOLA PARA QUE?
O que descobrimos? Feita a Investigação do  OBJETO DE ESTUDO/  a bola de futebol
Conclusões da investigação /por grupo - SHIAM - UNESP Grupo 1   3 fig geométricas diferentes 5 hexágonos e um pentágono no centro Elemento comum são as 3 figuras geométricas É uma  esfera  formada por  12  pentágonos e  36  hexágonos A união dos lados favorece a construção da esfera
Grupo 2 Redonda, tipos de materiais (couro ou sintético), costurados ou colados Formas geométricas são os pentágonos e hexágonos Parece flor, pentágono ao centro e hexágono em volta 10  pentágonos e  20   hexágonos
Grupo 3  É um polliedro não regular,formado por pentágonos e hexágonos Cada lado do pentágono é adjacente a um lado do hexágono Para cada hexágono há 3 pentágonos adjacentes e 3 hexágonos respectivamente alternados 10  pentágonos e  14  hexágonos
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],CONCLUSÃO do GRUPÃO
Destas conclusões nasce  mais investigação/DESAFIO É formada por  hexágonos  e  pentágonos O pentágono é arrodeado por hexágonos O lado do pentágono é o mesmo do hexágono portanto a  aresta  tem a mesma medida. É formada de .... pentágonos e ... hexágonos
[object Object],[object Object],DESAFIOS.... Para responder, convidamos você para fazer uma investigação  matemática  com regras/limites  ( aresta  tem a mesma medida).
D E S C O B R I N D O P A D R Õ E S Regularidades Investigação dos poliedros....
Nomeando!!! Etiquetando!!!
Registrando em tabelas...
Eis a tabela  ( organizando as descobertas) Polígonos  (com lados iguais) Poliedros formados por polígonos Elementos do poliedro (quantidade) Faces Arestas Vértices Triângulos (3 lados) Tenda 4 6 4 Triângulos Diamante 6 9 5 Triângulos Abajour 12 24 10 Triângulos Balão 8 12 6 Triângulos Pião 10 15 7 Triângulos Bola 20 30 12 Quadrados(4 lados) Cubo 6 12 8 Pentágono (5 lados) Invenção 12 30 20 Hexágonos (6 lados) Não forma - - - Preparando para o salto  ( formalizando)
brota os “certinhos”, ops!, os “Poliedros de Platão”  (surpresa) E da arrumação (classificação) ?
Investigando o porquê não fica em pé, REINVENTANDO DURO!!? Mais SURPRESAS!!!
balão transferidor As soluções dependem da vivência dos alunos Inventando uma solução REINVENTANDO.
Nosso objetivo é a formalização dos certinhos!!!! (salto ou zona proximal)  Fórmula de Euler? F + V – A = 2? Formalizacão/Salto
O do aluno é a bola, é o icosaedro!!! Poliedros Elementos F V A Tenda 4 4 6 BOLA 20 12 30 Cubo 6 8 12 Balão 8 6 12 Invenção 12 20 30 O do professor é Formalizar . Por que são certinhos? Por que o Icosaedro é a bola?
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Estes poliedros foram chamados pelos alunos de “certinhos” e pelos matemáticos de Platão Retornando a tabela, descobrem regularidades
O que estes poliedros  significam ? É hora da História….e de pesquisa Curiosidade!!!  Eis a aprendizagem  significativa Tetraedro Hexaedro/ Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro
I C O S A E D R O Professores do Ensino Fundamental ( 1ª a 4ª) Por que a bola é o Icosaedro?
Professores do Ensino Fundamental (1ª a 4ª) Corta os bicos do icosaedro!!! Nasce A BOLA !!!  Como tornar o icosaedro mais redondo? Surgem os Triângulos  sem bicos ,
Por que é formada de hexágonos e pentágonos? Quantos ? O triângulo equilátero (face)  se transforma no hexágono Dos vértices nascem os pentágonos 20 Faces= hexágonos,  12 Vértices= pentágonos
Alunos do Ensino Fundamental (3º e 4º) O desejo do aluno influencia… Deu trabalho mas não desistiu Salto!!!! A Bola de futebol construída por
O aluno tinha razão?!!! Bola de futebol construída por  NÓS
Rigidez - ângulos ,[object Object],[object Object],[object Object],com hexágonos não é possível construir poliedros Descoberta de propriedades como se fosse uma brincadeira Resultados - alunos
A consolidação e a transferência dos conhecimentos trabalhados acontece de maneira natural. A L U N O S As REINVENÇÕES dependem dos desejos e vivência dos alunos Resultados - alunos
Deu trabalho mas não desistimos. Por que? estávamos motivados. Motivação é o problema nº 1 do ensino  (professor e alunos). Imagens falam mais que palavras Alegria  -  é o que este trabalho representou para todos os participantes envolvidos  Considerações Finais - alunos
O grande prazer que é aprender, manifestado desta forma  A L U N O S Resultados - alunos
C O N E X Õ E S Geometria e aritmética N A S C E M E L O S Matemática  Realista E para o(s) professor(es)/pesquisador ?
Divisores de um número natural Cria-se atividades significativas para o aluno Matemática  Realista Brotam atividades significativas
Planificação dos poliedros Nasce o estudo de ângulos, com o transferidor Matemática  Realista Brotam atividades significativas
Criação do triângulo com corte Cria-se material , prepara-se para o salto Matemática  Realista Brotam materiais de apoio
Nós iniciamos um percurso de inovação, reflexão e reorganização do ambiente de aprendizagem que ultrapassam a área de matemática. Despertou a curiosidade das comunidades envolventes, especialmente a família... (prof. da EB 1 – Lisboa) Nascem Atividades que reorganizam os conteúdos (currículo) Investigando e construindo o conceito de Matemática  Realista Brotam ambientes de aprendizagem quadriláteros triângulos
Imagens falam mais que palavras Contagiou a Escola e o Ministério de Educação. Todos querem aprender.  Considerações Finais
Aprendizagem significativa Problemas de disciplina? Tô fora
Concurso do AMM2000 - Portugal Tema: Poliedros População alvo: professores da Escola Básica do 1º ciclo  escola/currículo/alunos Onde NASCEU e FLORESCEU esta  INVESTIGAÇÃO
Matemática realista No domínio do conhecimento Matemático  sobre poliedros  Instituto Freudenthal - www.fi.ru.nl O apoio para  Ousar Investigar ?
Que a Matemática euclideana não é um objeto ideal para se pensar dedutivamente. Prof. Freudenthal defendia: (meus pressupostos) A inclusão da geometria, o mais cedo possível, na aprendizagem da Matemática. A Matemática é uma atividade humana e a melhor forma de aprender uma atividade é  executá-la  , reinventá-la, recriá-la (...)
Prof. Freudenthal defendia que: (meus pressupostos) Em vez de proceder de maneira antididática, devia-se reconhecer que o aprendiz tem o direito de recapitular, de certa forma, o processo de aprendizagem da humanidade (...)  (Freudenthal, 1983)
A geometria (espaço e plano) se presta muito bem para a matematização da realidade do aluno pois a criança vive uma ótima oportunidade de  experimentar a organização local  (espaço), se locomove no plano   e com “boas” experiências  descobre idéias matemáticas  (Tramm, 2000) Conclui que:
Identificando um elo entre a teoria  (conhecimento matemático)  e a cultura do aluno  ( a bola de futebol) Tendo um olhar de observador/ escutador Sendo corajoso e criativo Investigando o que? Sendo um pesquisador em processo COMO? A bola de futebol  (Icosaedro truncado)
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Método?  Investigação Matemática
Ou seja, a  Investigação Matemática  permite ao aluno
A integração de diferentes ASSUNTOS A redescoberta A memorização de resultados A aprendizagem de diferentes estratégias de resolução de problemas A verificação de conjecturas ou de resultados Ou seja, a  Investigação Matemática  permite
Qual o papel do ALUNO? Descobrir e construir conceitos (os poliedros)  e considerar esta atividade: ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Ser um aluno/pesquisador
Qual o papel do professor? Elaborar e (re)elaborar atividades  identificando os elos  que permitam que o aluno trabalhe conhecimentos matemáticos na realidade do aluno. Ter um olhar de observador Ser um escutador Ser um professor/pesquisador  do processo
“ Aprender Matemática não é simplesmente compreender a Matemática já feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza matemática (ao nível adequado de cada grau de ensino).  Só assim se pode verdadeiramente perceber o que é a Matemática e a sua utilidade na compreensão do mundo e na intervenção sobre o mundo (p.98)  Braumann (2002, apud Ponte, 2003) Uma atividade humana
E mais… Por que os jogadores estão estranhando a Jobulani? E aí? Matemática e Cultura popular é  um casamento promissor?
Agradecimentos http://www.fi.ru.nl Matemática realista A VOCÊ, Muito  OBRIGADA .
Referências bibliográficas NCTM. Princípios e Normas para  a Matemática Escolar.  Trad. Associação de Professores de Matemática (APM). Lisboa. 2007. Disponível em:  http://www.apm.pt/portal/index.php?id=89310  Acesso em 14/05/2008.  Freudenthal, Hans.  Mathematics as an Educational Task. D. Reidel 1976. ____.  Didactical Phenomenology...p.ix. Pag.  125 - 127. in www.fi.ru.nl Ponte, J.P. da et alli.(org). Atividades de Investigação na Aprendizagem da Matemática e na Formação de  Professores.  Soc. Port. De Ciências da Educação (SPCE). Lisboa. 2002.
TRAMM, Elda.  O prazer da Geometria.  1º lugar nas  comemorações do Ano Mundial da Matemática (AMM 2000).   Disponível em  http://www.faced.ufba.br/~dept02/    professores/elda/e_tra   mm.htm . Acesso em 18/05/2008. TRAMM, Elda.  A bola de futebol como um importante  aliado na aquisição de novos conhecimentos . In Atividades de Investigação na  Aprendizagem da Matemática e na Formação de Professores.  Soc. Port. de Ciências da Educação (SPCE). Lisboa. 2002. pag 159 a 167.  PONTE, J. P. et al.  Investigar a nossa própria prática . In GTI (Org), Reflectir e Investigar sobre a prática profissional. (pp. 5 – 28). Lisboa: Associação de Professores de Matemática (APM).2002.
Matemática realista? Consiste em matematizar a realidade do aluno e cabe a  nós  especialistas/pesquisadores promover isto.
“ As descobertas sendo feitas com os próprios olhos e mãos são mais convincentes e surpreendentes” (Freudenthal,1983) Instituto Freudenthal (FI) trabalha para abrir a  Matemática para todos mas  nunca para diminuir a exigência de um intelectual, de um pensador científico  (htpp://www.fi.ru.nl) COMO?
Se queremos que o aluno atinja níveis cada vez superiores, teremos que lhe dar a oportunidade de chegar lá. (...) Isto implica atividades que o preparam para o salto.(...)  É este o significado de  "Reinventar".
Em vez de proceder de maneira antididática, devia-se reconhecer que o jovem que aprende tem o direito de recapitular, de certa forma, o processo de aprendizagem da humanidade (...)  (Freudenthal, 1983)

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  • 1. Elda Vieira Tramm EMFoco/UFBA [email_address] www.grupoemfoco.com.br Matemática e Cultura popular : um casamento promissor?
  • 2. A bola de futebol é um Objeto de desejo do aluno? A bola de futebol é um Objeto matemático? Você gostaria de construir uma bola de futebol?
  • 3. Então precisamos Descobrir/Identificar PISTAS (regularidades e padrões) Investigar o objeto/ a BOLA PARA QUE?
  • 4. O que descobrimos? Feita a Investigação do OBJETO DE ESTUDO/ a bola de futebol
  • 5. Conclusões da investigação /por grupo - SHIAM - UNESP Grupo 1 3 fig geométricas diferentes 5 hexágonos e um pentágono no centro Elemento comum são as 3 figuras geométricas É uma esfera formada por 12 pentágonos e 36 hexágonos A união dos lados favorece a construção da esfera
  • 6. Grupo 2 Redonda, tipos de materiais (couro ou sintético), costurados ou colados Formas geométricas são os pentágonos e hexágonos Parece flor, pentágono ao centro e hexágono em volta 10 pentágonos e 20 hexágonos
  • 7. Grupo 3 É um polliedro não regular,formado por pentágonos e hexágonos Cada lado do pentágono é adjacente a um lado do hexágono Para cada hexágono há 3 pentágonos adjacentes e 3 hexágonos respectivamente alternados 10 pentágonos e 14 hexágonos
  • 8.
  • 9. Destas conclusões nasce mais investigação/DESAFIO É formada por hexágonos e pentágonos O pentágono é arrodeado por hexágonos O lado do pentágono é o mesmo do hexágono portanto a aresta tem a mesma medida. É formada de .... pentágonos e ... hexágonos
  • 10.
  • 11. D E S C O B R I N D O P A D R Õ E S Regularidades Investigação dos poliedros....
  • 14. Eis a tabela ( organizando as descobertas) Polígonos (com lados iguais) Poliedros formados por polígonos Elementos do poliedro (quantidade) Faces Arestas Vértices Triângulos (3 lados) Tenda 4 6 4 Triângulos Diamante 6 9 5 Triângulos Abajour 12 24 10 Triângulos Balão 8 12 6 Triângulos Pião 10 15 7 Triângulos Bola 20 30 12 Quadrados(4 lados) Cubo 6 12 8 Pentágono (5 lados) Invenção 12 30 20 Hexágonos (6 lados) Não forma - - - Preparando para o salto ( formalizando)
  • 15. brota os “certinhos”, ops!, os “Poliedros de Platão” (surpresa) E da arrumação (classificação) ?
  • 16. Investigando o porquê não fica em pé, REINVENTANDO DURO!!? Mais SURPRESAS!!!
  • 17. balão transferidor As soluções dependem da vivência dos alunos Inventando uma solução REINVENTANDO.
  • 18. Nosso objetivo é a formalização dos certinhos!!!! (salto ou zona proximal) Fórmula de Euler? F + V – A = 2? Formalizacão/Salto
  • 19. O do aluno é a bola, é o icosaedro!!! Poliedros Elementos F V A Tenda 4 4 6 BOLA 20 12 30 Cubo 6 8 12 Balão 8 6 12 Invenção 12 20 30 O do professor é Formalizar . Por que são certinhos? Por que o Icosaedro é a bola?
  • 20.
  • 21. O que estes poliedros significam ? É hora da História….e de pesquisa Curiosidade!!! Eis a aprendizagem significativa Tetraedro Hexaedro/ Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro
  • 22. I C O S A E D R O Professores do Ensino Fundamental ( 1ª a 4ª) Por que a bola é o Icosaedro?
  • 23. Professores do Ensino Fundamental (1ª a 4ª) Corta os bicos do icosaedro!!! Nasce A BOLA !!! Como tornar o icosaedro mais redondo? Surgem os Triângulos sem bicos ,
  • 24. Por que é formada de hexágonos e pentágonos? Quantos ? O triângulo equilátero (face) se transforma no hexágono Dos vértices nascem os pentágonos 20 Faces= hexágonos, 12 Vértices= pentágonos
  • 25. Alunos do Ensino Fundamental (3º e 4º) O desejo do aluno influencia… Deu trabalho mas não desistiu Salto!!!! A Bola de futebol construída por
  • 26. O aluno tinha razão?!!! Bola de futebol construída por NÓS
  • 27.
  • 28. A consolidação e a transferência dos conhecimentos trabalhados acontece de maneira natural. A L U N O S As REINVENÇÕES dependem dos desejos e vivência dos alunos Resultados - alunos
  • 29. Deu trabalho mas não desistimos. Por que? estávamos motivados. Motivação é o problema nº 1 do ensino (professor e alunos). Imagens falam mais que palavras Alegria - é o que este trabalho representou para todos os participantes envolvidos Considerações Finais - alunos
  • 30. O grande prazer que é aprender, manifestado desta forma A L U N O S Resultados - alunos
  • 31. C O N E X Õ E S Geometria e aritmética N A S C E M E L O S Matemática Realista E para o(s) professor(es)/pesquisador ?
  • 32. Divisores de um número natural Cria-se atividades significativas para o aluno Matemática Realista Brotam atividades significativas
  • 33. Planificação dos poliedros Nasce o estudo de ângulos, com o transferidor Matemática Realista Brotam atividades significativas
  • 34. Criação do triângulo com corte Cria-se material , prepara-se para o salto Matemática Realista Brotam materiais de apoio
  • 35. Nós iniciamos um percurso de inovação, reflexão e reorganização do ambiente de aprendizagem que ultrapassam a área de matemática. Despertou a curiosidade das comunidades envolventes, especialmente a família... (prof. da EB 1 – Lisboa) Nascem Atividades que reorganizam os conteúdos (currículo) Investigando e construindo o conceito de Matemática Realista Brotam ambientes de aprendizagem quadriláteros triângulos
  • 36. Imagens falam mais que palavras Contagiou a Escola e o Ministério de Educação. Todos querem aprender. Considerações Finais
  • 37. Aprendizagem significativa Problemas de disciplina? Tô fora
  • 38. Concurso do AMM2000 - Portugal Tema: Poliedros População alvo: professores da Escola Básica do 1º ciclo escola/currículo/alunos Onde NASCEU e FLORESCEU esta INVESTIGAÇÃO
  • 39. Matemática realista No domínio do conhecimento Matemático sobre poliedros Instituto Freudenthal - www.fi.ru.nl O apoio para Ousar Investigar ?
  • 40. Que a Matemática euclideana não é um objeto ideal para se pensar dedutivamente. Prof. Freudenthal defendia: (meus pressupostos) A inclusão da geometria, o mais cedo possível, na aprendizagem da Matemática. A Matemática é uma atividade humana e a melhor forma de aprender uma atividade é executá-la , reinventá-la, recriá-la (...)
  • 41. Prof. Freudenthal defendia que: (meus pressupostos) Em vez de proceder de maneira antididática, devia-se reconhecer que o aprendiz tem o direito de recapitular, de certa forma, o processo de aprendizagem da humanidade (...) (Freudenthal, 1983)
  • 42. A geometria (espaço e plano) se presta muito bem para a matematização da realidade do aluno pois a criança vive uma ótima oportunidade de experimentar a organização local (espaço), se locomove no plano e com “boas” experiências descobre idéias matemáticas (Tramm, 2000) Conclui que:
  • 43. Identificando um elo entre a teoria (conhecimento matemático) e a cultura do aluno ( a bola de futebol) Tendo um olhar de observador/ escutador Sendo corajoso e criativo Investigando o que? Sendo um pesquisador em processo COMO? A bola de futebol (Icosaedro truncado)
  • 44.
  • 45. Ou seja, a Investigação Matemática permite ao aluno
  • 46. A integração de diferentes ASSUNTOS A redescoberta A memorização de resultados A aprendizagem de diferentes estratégias de resolução de problemas A verificação de conjecturas ou de resultados Ou seja, a Investigação Matemática permite
  • 47.
  • 48. Qual o papel do professor? Elaborar e (re)elaborar atividades identificando os elos que permitam que o aluno trabalhe conhecimentos matemáticos na realidade do aluno. Ter um olhar de observador Ser um escutador Ser um professor/pesquisador do processo
  • 49. “ Aprender Matemática não é simplesmente compreender a Matemática já feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza matemática (ao nível adequado de cada grau de ensino). Só assim se pode verdadeiramente perceber o que é a Matemática e a sua utilidade na compreensão do mundo e na intervenção sobre o mundo (p.98) Braumann (2002, apud Ponte, 2003) Uma atividade humana
  • 50. E mais… Por que os jogadores estão estranhando a Jobulani? E aí? Matemática e Cultura popular é um casamento promissor?
  • 51. Agradecimentos http://www.fi.ru.nl Matemática realista A VOCÊ, Muito OBRIGADA .
  • 52. Referências bibliográficas NCTM. Princípios e Normas para a Matemática Escolar. Trad. Associação de Professores de Matemática (APM). Lisboa. 2007. Disponível em: http://www.apm.pt/portal/index.php?id=89310 Acesso em 14/05/2008. Freudenthal, Hans. Mathematics as an Educational Task. D. Reidel 1976. ____. Didactical Phenomenology...p.ix. Pag. 125 - 127. in www.fi.ru.nl Ponte, J.P. da et alli.(org). Atividades de Investigação na Aprendizagem da Matemática e na Formação de Professores. Soc. Port. De Ciências da Educação (SPCE). Lisboa. 2002.
  • 53. TRAMM, Elda. O prazer da Geometria. 1º lugar nas comemorações do Ano Mundial da Matemática (AMM 2000). Disponível em http://www.faced.ufba.br/~dept02/ professores/elda/e_tra mm.htm . Acesso em 18/05/2008. TRAMM, Elda. A bola de futebol como um importante aliado na aquisição de novos conhecimentos . In Atividades de Investigação na Aprendizagem da Matemática e na Formação de Professores. Soc. Port. de Ciências da Educação (SPCE). Lisboa. 2002. pag 159 a 167. PONTE, J. P. et al. Investigar a nossa própria prática . In GTI (Org), Reflectir e Investigar sobre a prática profissional. (pp. 5 – 28). Lisboa: Associação de Professores de Matemática (APM).2002.
  • 54. Matemática realista? Consiste em matematizar a realidade do aluno e cabe a nós especialistas/pesquisadores promover isto.
  • 55. “ As descobertas sendo feitas com os próprios olhos e mãos são mais convincentes e surpreendentes” (Freudenthal,1983) Instituto Freudenthal (FI) trabalha para abrir a Matemática para todos mas nunca para diminuir a exigência de um intelectual, de um pensador científico (htpp://www.fi.ru.nl) COMO?
  • 56. Se queremos que o aluno atinja níveis cada vez superiores, teremos que lhe dar a oportunidade de chegar lá. (...) Isto implica atividades que o preparam para o salto.(...) É este o significado de "Reinventar".
  • 57. Em vez de proceder de maneira antididática, devia-se reconhecer que o jovem que aprende tem o direito de recapitular, de certa forma, o processo de aprendizagem da humanidade (...) (Freudenthal, 1983)

Hinweis der Redaktion

  1. Este artigo é uma versão revisada do meu trabalho publicado no livro Actividades de Investigação na Aprendizagem da Matemática e na Formação de Professores. Organização: João Pedro da Ponte, Conceição Costa, Ana Isabel, Ema Maia, Nisa Figueiredo, Ana Filipa Dionísio. Editor: Secção de Educação e Matemática da Sociedade Portuguesa de Ciências de Educação – ( SPCE) com o apoio da Fundação Calouste Gulbenkian. Capítulo 11. pág.: 159 – 168.Lisboa – Portugal. 2002 Este artigo é uma versão revisada do meu trabalho publicado no livro Actividades de Investigação na Aprendizagem da Matemática e na Formação de Professores. Organização: João Pedro da Ponte, Conceição Costa, Ana Isabel, Ema Maia, Nisa Figueiredo, Ana Filipa Dionísio. Editor: Secção de Educação e Matemática da Sociedade Portuguesa de Ciências de Educação – ( SPCE) com o apoio da Fundação Calouste Gulbenkian. Capítulo 11. pág.: 159 – 168.Lisboa – Portugal. 2002 No ensino fundamental e médio, tal como no ensino superior, cada vez mais, existem profissionais que empreendem pesquisas sobre a sua própria prática profissional. Fazem-no porque sentem necessidade de compreender melhor a natureza dos problemas com que se defrontam, para poder transformar sua prática e as suas condições de trabalho. Esta comunicação nasce de um trabalho realizado com alunos do ensino fundamental (3ª e 4ª série) no intuito de responder as questões: Os alunos conseguem investigar questões matemáticas? Os professores são capazes de promover este tipo de trabalho nas suas aulas? Que condições são necessárias para que isso aconteça? De seguida, descreve a intervenção pedagógica, cujo objectivo era explorar e investigar os poliedros, nomeadamente os de Platão, tendo como meta a construção de uma bola de futebol, sendo esta o elemento do desejo e da cultura do educando. E finalmente o artigo analisa o que esse trabalho representou para os diversos participantes envolvidos. Palavras-chave: investigação matemática, desenvolvimento profissional do professor, conhecimento coletivo.
  2. Hipóteses do trabalho de investigacao
  3. Se queremos que o aluno atinja níveis cada vez superiores, teremos que lhe dar a oportunidade de chegar lá. (...) Isto implica em propor atividades que o preparam para o salto.(...) É este o significado de "Reinventar".(Mat realista)
  4. Matemática realista
  5. Se queremos que o aluno atinja níveis cada vez superiores, teremos que lhe dar a oportunidade de chegar lá. (...) Isto implica em propor atividades que o preparam para o salto.(...) É este o significado de "Reinventar".Mat realista. Instituto freudenthal. www.fi.nl
  6. Matemática Realista e a aprendizagem foi significativa
  7. Na sua opinião, COM TRÊS SEGMENTOS DE RETA CONSTRUÍMOS SEMPRE UM TRIÂNGULO?
  8. Do desejo de participar no concurso do AMM2000 promovido pela Assoc Prof Mat, pela Soc Port de Mat e o Jornal Expresso de Portugal
  9. Prof Hans Freudenthal, é conhecido mundialmente pelo seu papel decisivo nos rumos na Ed. Matemática. Mat realista c onsiste em matematizar a realidade do aluno e cabe a nós especialistas/pesquisadores promover isto.
  10. Se queremos que o aluno atinja níveis cada vez superiores, teremos que lhe dar a oportunidade de chegar lá. (...) Isto implica atividades que o preparam para o salto.(...) É este o significado de "Reinventar".
  11. Se queremos que o aluno atinja níveis cada vez superiores, teremos que lhe dar a oportunidade de chegar lá. (...) Isto implica atividades que o preparam para o salto.(...) É este o significado de "Reinventar".
  12. E não dos resultados
  13. Eu fui aluna de doutorado , 3 anos, quando eles iniciaram este trab de pesquisa. Surgindo dai o nome de matemática realista. Actualmente, o centro de pesquisa sobre o ensino da Matemática, transformou-se em Instituto Freudenthal em sua homenagem, chama-se Institute Freudenthal. http :www.fi.ru.nl