1. A BOLA DE FUTEBOL: IMPORTANTE ALIADA NA PRÁTICA DA
INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA
Elda Vieira Tramm (UFBa/EMFoco)
etramm@gmail.com
Com o objetivo de investigar e descobrir/construir os poliedros de Platão pretendemos
realizar , nesta Oficina, uma investigação matemática baseada na exploração e investigação
de uma bola de futebol. Ela terá uma duração de seis horas, e será destinada aos professores de
Matemática.
Portanto nesta Oficina os participantes deverão vivenciar uma atividade exploratória-
investigativa ao realizar as propostas que serão apresentadas em etapas: a) apresentação do
tema/convite para construir uma bola de futebol, b) investigação de uma bola de futebol e
discussão, em grande grupo, dos resultados obtidos na resolução das fichas de atividades, c)
participação com perguntas sobre o relato de experiências de ensino, vivenciadas por alunos
do 4º e 5º ano do Ensino Fundamental, d) construção da bola de futebol e do argumento do
porquê esta é formada por pentágonos e hexágonos, e) avaliação das potencialidades deste
método e de atividades como estas, a serem desenvolvidas com alunos numa sala de aula e
tendo como referência a reação dos alunos, f) discussão das possibilidades e desafios deste
trabalho (do ponto de vista dos participantes envolvidos - alunos, professores e pesquisadora)
com o objetivo de uma possível aplicação deste na sala de aula dos participantes desta Oficina.
Esta Oficina nasceu, em 2001, de um trabalho de pesquisa investigatória (TRAMM,2002),
realizado com dois professores e quarenta e cinco alunos do 4º ano (9/10 anos) da Escola
Básica em Portugal, no intuito de responder as questões: Os alunos conseguem investigar
idéias matemáticas? Os professores são capazes de promover este tipo de trabalho nas suas
aulas? Que condições são necessárias para que isso aconteça?
O trabalho de investigação acima citado nasceu do desejo de participar do Ano Mundial da
Matemática, promovido pela Associação dos Professores de Matemática (APM), a Sociedade
Portuguesa de Matemática (SPM) e o Jornal Expresso de Portugal, em 2000, que tinha como
tema o ensino dos Poliedros. Surgiu então a pergunta: Como fazer isto se eu trabalhava como
formadora de professores de Escolas do Ensino Básico, 1º ciclo 1? Neste momento, do desejo
de participar no AMM2000, nasceu as questões geradoras de uma proposta pedagógica com
1
O Ensino Básico, 1º ciclo em Portugal corresponde ao primeiros anos(2º ao 4º ano) do Ensino Fundamental no Brasil.

2. carater investigatório. Eis as questões: Existe um elemento na cultura do aluno, que faça parte
do seu desejo e que nos sirva de ponte (elo) para o estudo dos poliedros regulares? Nós,
professores, somos capazes de promover este tipo de trabalho nas nossas aulas? Que condições
são necessárias para que isso aconteça?
Para responder tais questões colocamos “a mão na massa”. No conhecimento matemático do
tema (poliedros) descobrimos o icosaedro truncado (a bola de futebol), que servia
perfeitamente pois ela é um elemento do desejo e da cultura do aluno e portanto eis o “elo”
que precisávamos para matematizar a realidade do aluno. A idéia de matematizar a realidade
do aluno se apoia na Matemática Realista desenvolvida pelo Instituto Freudenthal 2, onde
estudei três anos (1987-1990)3. O Prof. Freudenthal defendia “a inclusão da geometria na
aprendizagem matemática o mais cedo possível. Não defendia a matemática euclidiana como
objeto ideal para pensar dedutivamente”. Para ele, “Matemática é organizar áreas de
experiências; e a geometria se presta para matematizar experiências espaciais.”
(Freudenthal,1978, p. 276-292). E que a Matemática “é uma atividade humana e a melhor
forma de aprender uma atividade é executá-la , reinventa-la, recriá-la”. Donde conclui que
“A geometria (espaço e plano) se presta muito bem para a matematização da realidade do
aluno pois a criança vive uma ótima oportunidade de experimentar a organização local
(espaço), se locomove no plano e com “boas” experiências descobre idéias matemáticas
(Tramm, 2000) Freudenthal afirmava que “estas descobertas sendo feitas com os próprios
olhos e mãos são mais convincentes e surpreendentes”. Ele trabalhou para abrir a Matemática
para todos e nunca diminuiu a exigência de um intelectual, de um pensador científico. Ao
elaborar as atividades tinhamos em mente as proposições do Instituto Freudenthal: “Se
queremos que o aluno atinja níveis cada vez superiores, teremos que lhe dar a oportunidade de
chegar lá” (...) e “isto implica em elaborar atividades que preparam o aluno para o salto”. Este
é o significado de "Reinventar" na Matemática realista.
A minha vivência neste grupo (Instituto Freudenthal) me autorizou a ousar e a propor este
projeto pedagógico que é o estudo dos poliedros regulares através da bola de futebol.
2
Instituto Freudenthal (www.fi.ru.nl ). Prof Hans Freudenthal, é conhecido mundialmente pelo seu papel decisivo nos rumos
na Ed. Matemática.
3
Fui aluna de doutoramento do grupo de Ensino e Pesquisa da Matemática, na Universade de Utecht, Holanda, hoje Instituto
Freudenthal (www.fi.ru.nl ).

3. Desejamos que esta Oficina contribua para clarificar o tipo de atividade de investigação que
nós, educadores, desejamos para nossas escolas no pressuposto que a Matemática é “assunto
de todos e todos somos responsáveis por tornar este instrumento de organização do mundo,
da vida, do quotidiano, acessível às crianças e jovens deste país” (ABRANTES,
SERRAZINA e OLIVEIRA, 1999).
Como foi dito no início deste reusmo, os participantes desta Oficina, deverão vivenciar
atividades exploratória-investigativas e estas serão desenvolvidas por etapas, a saber:
a) apresentação do tema/convite para construir uma bola de futebol. Que tal construir uma
bola de futebol? Geralmente esta proposta é aceita com muito entusiasmo. Feito o contrato
de trabalho partimos para a investigação do objeto de estudo (a bola de futebol).
b) investigação do objeto de estudo (a bola de futebol) e discussão, em grande grupo, dos
resultados obtidos na resolução das fichas de atividades 1 e 2. Com a bola de futebol, em
mãos, passamos a investigação da mesma/do objeto. Os cursistas são incentivados a
descrever a bola de futebol, identificando padrões, levantando hipóteses de trabalho sobre
a quantidade de cada um dos polígonos utilizados e desafiados a responder do porquê ela é
formada pelos polígonos regulares (pentágonos e hexágonos). Serão utilizadas fichas de
atividades 1 e 2 (Apêndice 1) como material de apoio, para que os cursistas registrem suas
hipóteses de trabalho. Esta atividade será realizada em pequenos grupos, e no final
discutiremos em grande grupo, os padrões encontrados. Este servirá de elo para que os
cursistas entendam do porque estabelecermos limites/regras na investigação dos poliedros
convexos ou seja do porque só precisamos investigar os poliedros convexos regulares.
c) participação com perguntas sobre o relato das experiências de investigação, vivenciadas
por alunos do 4º e 5º anos das Escolas Básica, em Portugal 4. Este relato apresentará o
trabalho realizado pelos alunos , ao construir os poliedros regulares (os deltaedros, o
4
As escolas básicas envolvidas foram:
EB1 nº 10 – Setúbal, que envolveu duas professoras (apenas uma delas participou da ação de formação da
APM) e duas turmas do 3º ano (45 alunos). Esta escola ganhou o concurso do AMM2000 (Ano Mundial da
Matemática 2000), promoveu uma exposição interativa para divulgar este trabalho junto a comunidade escolar
(professores e alunos) e a comunidade local (pais e curiosos) onde os alunos do projeto trabalharam como
monitoes;
EB1 nº 9 - Setúbal, que envolveu sete professoras e cinco turmas do 1º ao 4º ano (125 alunos). Esta escola
promoveu uma exposição interativa para divulgar as atividades matemáticas para a comunidade escolar
envolvendo os responsáveis dos alunos e curiosos;
EB1 nº 15 – Lisboa, que envolveu sete professoras e cinco turmas do 1º ao 4º ano (125 alunos). Esta escola
promoveu uma exposição interativa para divulgar as atividades matemáticas para a comunidade escolar
envolvendo os responsáveis dos alunos e curiosos. A escola participou do concurso Pedro Nunes ganhando o 2º
lugar.

4. hexaedro e o dodecaedro) segundo regras/limites pré-estabelecidos (Apêncide 2); os
nomes que os alunos criaram para estes poliedros, o registro destes e dos seus elementos
na tabela (Apêndice 3 - ficha de atividade 3), a classificação e finalmente, a identificação
de cada um dos poliedros regulares ou de Platão. Será uma exposição participativa onde os
cursistas deverão intervir com perguntas. Serão apresentadas as reações dos alunos (porquê
o cubo não fica em pé), dos professores5 (materiais, fichas de acompanhamento das
atividades e tempo gasto na realização das atividades) e da pesquisadora (descoberta de
novos “elos” de aprendizagem – geometria e aritmética/divisores de um número natural,
atividades significativas para o estudo de ângulos, dos quadriláteros e dos triângulos,
planificação dos poliedros/tetraedro e cubo, elaboração de material de apoio/triângulos
com recortes, entre outros).
d) construção da bola de futebol e do argumento do porquê esta é formada por pentágonos e
hexágonos. Neste etapa os cursistas serão incentivados a trabalhar com o icosaedro e a
resolver o seguinte problema: Como transformá-lo num objeto “mais redondo”? A partir
desta indagação nasce naturalmente a bola de futebol (o icosaedro sem bicos ou melhor o
icosaedro truncado) e a explicação do porquê a bola de futebol é formada por pentágonos e
hexágonos bem como o porquê da quantidade de hexágonos e pentágonos utilizados. Será
disponibilizado para os cursistas as fichas moldes 1(pentágonos e hexágonos) e 2
(triângulo equilátero de encaixe) no tamanho real (12 cm) da bola de futebol.
e) avaliação das potencialidades das atividades deste método de investigação e de atividades
como estas, tendo como referência a reação dos alunos. Os cursistas deverão avaliar o
método de trabalho (a aula investigativa), o material utilizado (fichas de atividades,
material de apoio) e sua viabilidade para alunos de outras classes escolares. Neste
momento, será apresentada uma lista de indagações (que foram merecedoras de atenção
por parte dos professores e da pesquisadora) para que os cursistas reflitam sobre a
adequação da proposta realizada, identificando os seus pontos fracos e fortes. São elas: na
sua opinião, a bola de futebol é um elo que aproxima a realidade do aluno da idéia
matemática (poliedros)? e o campo conceitual trabalhado – poliedros de Platão –
apresenta-se como adequado para se trabalhar geometria neste nível de ensino? os
5
Os professores envolvidos fizeram o curso de formação “Novos ambientes de aprendizagem no ensino da
Matemática”, ministrado por mim. http://www.apm.pt/portal/index.php?id=10813 e promovido pelo Centro de
Formação da APM (www.apm.pt) .

5. materiais de apoio utilizado prestam-se a descoberta de propriedades (rigidez ou não) dos
objetos e a identificação de todos os elementos que compõem um poliedro? as
regras/limites impostas para a construção e descoberta de poliedros funcionam como
regras de um jogo? Os alunos gostaram de trabalhar este tema (poliedros regulares)? As
tarefas que envolviam organização, sistematização e formalização de conteúdos
matemáticos ajudam na realização de tarefas interdisciplinares? Os professores envolvidos
mostraram-se entusiasmados? Esta proposta pedagógica favoreceu ao intercambio com a
comunidade escolar? Esta proposta pedagógica despertou o interesse do professor pelo
ensino da Matemática? O professor aceitou o tempo gasto pelos alunos para estudar os
poliedros? Os sujeitos envolvidos na experiência (formadora/pesquisadora,
formandos/professores e alunos) evoluíram ao longo do percurso (ação de formação,
intervenção e reflexão crítica dos resultados), modificando sua atitude em relação a
matemática?
f) discussão das possibilidades e desafios deste trabalho (do ponto de vista dos participantes
envolvidos - alunos, professores e pesquisadora) com o objetivo de uma possível aplicação
deste na sala de aula dos participantes do minicurso. Neste momento retomaremos as
perguntas geradoras deste trabalho.
Concluimos a Oficina com o seguinte pensamento:“Aprender Matemática não é simplesmente
compreender a Matemática já feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza
matemática (ao nível adequado de cada grau de ensino). Só assim se pode verdadeiramente
perceber o que é a Matemática e a sua utilidade na compreensão do mundo e na intervenção
sobre o mundo... Só assim se pode ser inundado pela paixão “detetivesca” indispensável à
verdadeira fruição da matemática” Braumann (2002, apud Ponte, 2003, p. 98).
BIBLIOGRAFIA
ABRANTES, P., SERRAZINA, L. & OLIVEIRA, I. A matemática na educação básica.
Lisboa. DEB do MEC.1999.
FREUDENTHAL, H. Weeding and sowing: Preface to a science of mathematical
education. Holanda, Dordrecht. Reidel.1978.
FREUDENTHAL, H.Didactical phenomelogy of mathematical structures.
Holanda,Dordrecht. Reidel.1983.

6. TRAMM, E. A avaliação através da observação do comportamento do aluno. 1986. 2v.
300 p. Tese (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação, Universidade Federal da
Bahia, Salvador,1986.
TRAMM, E. A bola de futebol como um importante aliado na aquisição de novos
conhecimentos. In: Ponte, J et all. (Org) Actividades de Investigação na Aprendizagem da
Matemática e na Formação de Professores. Lisboa, Portugal. Editor: Secção de Educação e
Matemática da Sociedade Portuguesa de Ciências de Educação ( SPCE) e Fundação Calouste
Gulbenkian. 2002
TRAMM, Elda. O prazer da Geometria. 1º lugar nas comemorações do Ano Mundial da
Matemática (AMM 2000). Disponível em http://www.faced.ufba.br/~dept02/
professores/elda/e_tra mm.htm. Acesso em 18/05/2008.
VELOSO, E. Geometria: temas actuais. Materiais para professores. Lisboa: Instituto de
Inovação Educacional (IIE). Lisboa. 1998.
APÊNDICES
APÊNDICE 1
PLANO DE ACTIVIDADES PARA O 4º ANO
Objectivo: descobrir regularidades/padrões na bola de futebol
Actividade 1 - VAMOS BRINCAR COM A BOLA?
Proposta de trabalho:
Que tal construir uma bola de futebol?
Vamos planejar juntos?
Vamos pensar junto o que precisamos para construir a bola de futebol.
O que você observa na bola de futebol?
Com a bola de futebol em mãos, passamos a observar e registrar na ficha de trabalho o
que foi observado.
Ficha de trabalho nº. 01.
1. Observa a bola de futebol e registra as tuas descobertas

7. _________________________________________________
_________________________________________________
2. Investiga se existe alguma regularidade (algum padrão) na bola de futebol. Se sim,
explicita-a.
______________________________________________________
______________________________________________________
Agora fala com os teus colegas sobre as actividades que realizaste.
Ficha de trabalho nº. 02.
Tarefa de casa (Organização dos dados )
Organiza os dados da tua investigação
• O elemento comum (regular) na bola de futebol é
_______________________________________________________________
• Justifica
____________________________________________________________________________
_______________________________________________________
• As figuras planas (polígonos) utilizadas são:
_______________________________________________________________
• Na tua opinião, quantos hexágonos e quantos pentágonos são utilizados na construção da
Bola de Futebol?
______________________________________________________________
• Na tua opinião, porquê na construção da Bola de Futebol foram utilizados hexágonos e
pentágonos?
______________________________________________________________
Fala com os teus colegas sobre as actividades que realizaste.
Amanhã, trazes um texto que relate a sua experiência ao realizar esta atividade.
APÊNDICE 2

8. PLANO DE ACTIVIDADES PARA O 4º ANO
Objectivo: Preencher a tabela com os dados dos poliedros construídos
Analisar a tabela de registro dos poliedros pesquisados.
Vamos brincar com canudos?
Atividade 1:
 Observa a tua tabela, e registra as suas observações
Atividade 2:
 Constrói um poliedro (sólido com muitas faces planas) a partir do triângulo.
 Dá um nome à tua figura.
 Quantos canudos usaste?
 Anota na tua folha de registo o nome da tua figura, o n.º de: canudos que utilizaste
(ARESTAS) , o nº de triângulos (FACES) e o nº de bicos (VÉRTICES).
. Quantas figuras você encontrou?
Atividade 3:
 Repete a atividade 2 utilizando só quadrados.
 Repete a atividade 2 utilizando só pentágonos.
 Repete a atividade 2 utilizando só hexágonos.O que você conclui?
REGRAS
- Os poliedros têm que ficar fechados.
- Os poliedros não podem ter arestas duplas.
- A lã (ou fio de nylon) passa por dentro dos canudos as vezes necessárias.
- Podes dar nós com a lã (o fio de nylon).
Parabéns! Terminaste a tua actividade.
Agora fala com os teus colegas sobre as actividades que realizaste.
Amanhã, trazes um texto que relate a sua experiência ao realizar esta atividade.
APÊNDICE 3
PLANO DE ACTIVIDADES PARA O 4º ANO

9. Objectivo: Registrar os Poliedros construídos.
Actividade 1 -
Ficha de registro/Tabela
Elementos
do poliedro
Polígonos com..lados Nome/ Poliedros
(quantidade)
polígonos Canudos Bicos
F A V
(faces) (arestas) (vértices)
3 LADOS IGUAIS/
TRIÂNGULOS
EQUILÁTEROS
Parabéns! Terminaste a tua actividade.
Agora analisa, com os colegas, a tua tabela e constrói a bola de futebol.