2. DEFINIR ANÁLISIS
NUMÉRICO
es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de
números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos
aplicados a procesos del mundo real.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los
ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en
última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.
Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje
necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de
expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o
cálculo en procesos más sencillos empleando números.
3. INDICAR LA
IMPORTANCIA DE
UTILIZAR MÉTODOS
NÚMERICOS
Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas
matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir
programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no
solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la
comprensi6n de los principios científicos básicos.
Éstos métodos son adecuados para la solución de problemas comunes de ingeniería, ciencias y
administración, utilizando computadoras electrónicas. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver
procedimientos matemáticos en:
• Cálculo de derivadas
• Integrales
• cuaciones diferenciales
• Operaciones con matrices
• Interpolaciones
• Ajuste de curvas
• Polinomios
4. DEFINIR NÚMEROS DE
DECIMALES Y DE
MÁQUINAS
"Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y
unos (1) de base 2". El término "representación máquina" o
"representación binaria" significa que es de base 2, la más pequeña
posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en
lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el
hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras digitales usan
componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica
abierta/cerrada
5. DEFINIR NÚMEROS DE
DECIMALES Y DE
MÁQUINAS
"Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y
unos (1) de base 2". El término "representación máquina" o
"representación binaria" significa que es de base 2, la más pequeña
posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en
lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el
hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras digitales usan
componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica
abierta/cerrada
6. DEFINICIÓN DE NÚMERO
MÁQUINA DECIMAL
"Son aquellos números cuya representación viene dada de la
siguiente forma:
± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9
para cada i=2, 3, 4, ..., k";
De lo antes descrito, se indica que las maxicomputadoras IBM
(mainframes) tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76.
7. E N C O N T R A R N Ú M E R O S D E C I M A L E S A PA R T I R
DE NÚMEROS MÁQUINA DECIMALES EN BITS
Existen varios métodos de conversión de números decimales a binarios; aquí solo se analizará uno.
Naturalmente es mucho mas fácil una conversión con una calculadora científica, pero no siempre se
cuenta con ella, así que es conveniente conocer por lo menos una forma manual para hacerlo.
El método que se explicará utiliza la división sucesiva entre dos, guardando el residuo como dígito
binario y el resultado como la siguiente cantidad a dividir.
Tomemos como ejemplo el número 43 decimal.
43/2 = 21 y su residuo es 1
21/2 = 10 y su residuo es 1
10/2 = 5 y su residuo es 0
5/2 = 2 y su residuo es 1
2/2 = 1 y su residuo es 0
1/2 = 0 y su residuo es 1
Armando el número de abajo hacia arriba tenemos que el resultado en binario es 101011
8. ERRORES ABSOLUTOS Y
RELATIVOS
Hasta ahora hemos estudiado alguna teoría básica de los métodos numéricos que se
implementarán más adelante, suponiendo condiciones ideales para su implementación. En
otras palabras, no hemos tenido en cuenta que al realizar estos procedimientos de forma
numérica en una computadora se generan situaciones de error. Tales situaciones de error
se denominan errores numéricos y la presente sección se encarga un poco de su estudio y sus
efectos en los cálculos numéricos.
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando
su exactitud y precisión. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual
medido o calculado con respecto a los otros. Los métodos numéricos deben ser lo
suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema en
particular. Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para
representar las operaciones y cantidades matemáticas.
9. CALCULAR ERRORES ABSOLUTOS
Y E R R O R E S R E L A T I VO S
Hasta ahora hemos estudiado alguna teoría básica de los métodos numéricos que se
implementarán más adelante, suponiendo condiciones ideales para su implementación. En otras
palabras, no hemos tenido en cuenta que al realizar estos procedimientos de forma numérica en
una computadora se generan situaciones de error. Tales situaciones de error se denominan errores
numéricos y la presente sección se encarga un poco de su estudio y sus efectos en los cálculos
numéricos.
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su
exactitud y precisión. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o
calculado con respecto a los otros. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos
o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema en particular. Los errores numéricos
se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades
matemáticas.
10. C A L C U L A R C O TA S D E E R R O R E S
A BSOLUTOS Y R ELA TIVOS
Ejemplo
Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer las siguientes
aproximaciones:
a) Precio de una casa: 275 miles de €.
b) 45 miles de asistentes a una manifestación.
c) 4 cientos de coches vendidos.
Solución:
Solución:
a) |Error absoluto| < 500 €
error relativo<500/275000=0,0018
b) |Error absoluto| < 500 personas
error relativo=500/45000=0,011
c) |Error absoluto| < 50 coches
error relativo<50/400=0,125
11. DEFINIR LAS FUENTES BÁSICAS
DE ERRORES
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y error
de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan
los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas
en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC). El Error
de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie
de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los
errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso
infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).
12. ERROR DE REDONDEO
El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema
numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su
longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza por el
número de máquina más cercano. Esto significa que todos los
números en un intervalo local están representados por un solo
número en el sistema numérico de punto flotante.
13. ERROR DE TRUNCAMIENTO
Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que se representará por fl
, se obtiene terminando la mantisa de y en k cifras decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la terminación.
Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtener
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
Este método es bastante preciso y se llama truncar el número.
Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos se detiene en un
número finito de pasos. Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas para
aproximar la suma de una serie infinita. El error de truncamiento, a diferencia del error de redondeo no depende
directamente del sistema numérico que se emplee.
14. SLIDESHARE
Es un servicio de alojamiento de diapositivas en línea. Los usuarios
pueden cargar archivos en los formatos de archivo: presentaciones de
PowerPoint, PDF u OpenOffice. Es un gran recurso para compartir
documentos y obviamente información con millones de personas, la
diferencia entre Issuu y este servicio es que SlideShare no acepta música
de fondo, las páginas son diapositivas y Issuu el entorno gráfico que usa es
mucho más llamativo, aun asi SlideShare es más ligero y carga más rápido.
