1. Razones trigonométricas
Prof. Laura Bottasso

2. Un poquito de historia
Trigonometría es una palabra de
etimología griega, aunque no es una
palabra griega.
TRIGONO METRIA
triángulo medición

3. Comencemos con triángulos rectángulos.
Si conocemos dos de los lados
del triángulo, como el Teorema
de Pitágoras afirma que
c
b
a2 + b2 = c2,
a conocemos el tercer lado.
Eso sí, debemos saber si los
lados que conocemos son catetos
o la hipotenusa.

4. Las observaciones anteriores permiten
resolver el siguiente
Problema
¿ Cuál será la altura
del árbol que
proyecta una sombra
de 4 m si se
encuentra al lado de
Alberto que mide
1.75 m y proyecta
una sombra de 3.5 m
?

5. La figura muestra las funciones trigonométricas
asociadas a un ángulo agudo  ubicado en una
circunferencia
 sen 
coseno
cos 
cosecante 
seno
tan 

secante cotan
sec 
cosec 

6. trigonométricas: seno
de un ángulo agudo
cateto opuesto a
sen   
hipotenusa c
c 1
a/c

a b/c

b

7. coseno de un ángulo
agudo
cateto adyacente b
cos   
hipotenusa c
c 1
a/c

a b/c

b

8. Funciones trigonométricas: tangente
y cotangente de un ángulo agudo
cateto opuesto a cateto adyacente b
tan    cotan   
cateto adyacente b cateto opuesto a
c 1
a/c

a b/c

b

9. Funciones trigonométricas: secante
y cosecante de un ángulo agudo
hipotenusa c hipotenusa c
sec    cosec   
cateto adyacente b cateto opuesto a
c 1
a/c

a b/c

b

10. Identidades
Trigonométricas
La identidad fundamental
es consecuencia del
1 Teorema de Pitágoras
sen 

cos 
sen   cos   1
2 2

11. Todas las funciones trigonométricas de un
ángulo agudo pueden expresarse a partir
de una de ellas, de la identidad pitagórica,
antes señalada. A modo de ejemplo
tomemos sen
cos  = 1 - sen 2 
tan  =
cotan =
sec  =
cosec  =

12. Identidades
Trigonométricas
Si  es el ángulo complementario
de  , hay un triángulo rectángulo
1  que los tiene como ángulos agudos
sen 
 y se tiene que
cos 

sen   cos   cos 90   

cos   sen   sen 90 


13. Identidades
Trigonométricas
En una diapositiva anterior
demostramos que
1
 
2sen 2
 1  cos 
2
o bien, tomando   2
cos 2  1  2sen  2

14. Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
P P
 en I II III IV
cuadr.

sen  + + - -
P l
cos  + - - +
P tan  + - + -
¿Cómo obtuvimos la última hilera de la tabla?

15. Problema I
En una circunferencia de
centro O y radio 5 está
trazada una cuerda que mide
5 3.5 ¿cuánto mide
O
el ángulo central asociado?
En la misma
circunferencia, halle la
longitud de
la cuerda subtendida por un
ángulo de 72o.

16. Problema II
Una cuerda de 100m de
101m
largo se estira un metro más
C
y se sostiene del centro (ver
 la figura). ¿ A qué altura
100m se encuentra el punto C?
Dé una medida aproximada
del ángulo  .

17. Pregunta
¿ cuáles son los valores máximo
y mínimo de la función seno ?
¿ cuáles son los valores máximo
c y mínimo de la función coseno ?
a
 ¿alguno de los catetos puede ser
b mayor que la hipotenusa?
¿ cuáles son los valores máximo
y mínimo de la función tangente ?

18. Actividad
1. Trace los triángulos rectángulos definidos
por las siguientes ternas de puntos:
a) (0,0), (8,0), (8,6)
b) (0,0), (-4,0), (-4,3)
c) (0,0), (-3,0), (-3,-4)
d) (0,0), (8,-6), (8,0)
2. En cada uno de los triángulos
trazados, ubique el ángulo formado entre la
hipotenusa y el eje de las abscisas.
3. Calcule el seno, coseno y tangente de tal
ángulo.

19. Empecemos así…
II I
I II III IV
sen() + + - -
cos() + - - +
tan() + - + -
III IV