1. Dinheiro e Tempo Dinheiro e Tempo
Se um amigo lhe pedisse R$ 1.000,00 emprestados Por melhor que seja seu amigo, com certeza esse
para lhe pagar de volta o mesmo valor daqui a um pedido não lhe agradaria. Algumas questões surgiriam
ano, você acharia a proposta atraente? em sua mente...
Dinheiro e Tempo Dinheiro e Tempo
“Será que ele me pagará na data prevista?” Risco: existe sempre a possibilidade de não
ocorrerem os planos conforme o previsto; em outras
palavras, sempre haverá o risco de não receber os
valores programados em decorrência de tatos
p
imprevistos.
1

2. Dinheiro e Tempo Dinheiro e Tempo
“Será que o poder de compra dos R$ 1.000,00 Inflação: conceituada como um aumento contínuo e
permanecerá inalterado durante o ano inteiro?” generalizado no nível geral de preços, resulta em perda
ininterrupta do poder aquisitivo da moeda.
Dinheiro e Tempo Dinheiro e Tempo
“Se eu permanecesse com o dinheiro, poderia Oportunidade: se os recursos monetários são
consumi-lo, satisfazendo minhas necessidades, ou limitados, a posse deles, no presente, permite aproveitar
poderia aplicá-lo na caderneta de as oportunidades mais rentáveis que surgirem.
poupança, ganhando os juros e os rendimentos do
período!
período!”
Dinheiro e Tempo Dinheiro e Tempo
O Capital (Dinheiro) jamais deve ficar parado, ou seja,
deve ser emprestado a alguém ou aplicado em algum
negócio.
2

3. Dinheiro e Tempo Dinheiro e Tempo
O valor do dinheiro no tempo
relaciona-se à idéia de que, ao longo
do tempo, o valor do dinheiro muda,
quer em função de ter-se a
oportunidade de aplicá-lo, obtendo-
se, assim, uma remuneração (juros)
sobre a quantia envolvida, quer em
O dinheiro emprestado sofre o efeito no tempo, podendo
aumentar através dos juros e também perder valor em função de sua desvalorização por
relação a outros bens devido a inflação. causa da inflação.
Princípios Básicos Princípios Básicos
Só se pode comparar
valores ($) se estes estiverem
referenciados na mesma data.
Só se pode efetuar
operações algébricas com
valores referenciados na
mesma data.
A Matemática Financeira A Matemática Financeira
A matemática financeira tem como objetivo básico A matemática financeira compreende um conjunto de
estudar a evolução do valor do dinheiro no tempo. técnicas e formulações extraídas da matemática, com o
objetivo de resolver problemas relacionados às finanças
(prof. Carlos Shinoda).
de modo geral, e que, basicamente consistem no estudo
g , q ,
do valor do dinheiro no tempo.
3

4. A Matemática Financeira Regimes de Capitalização
Existem duas formas básicas para considerar a
evolução do custo do dinheiro no tempo:
Regimes de
p ç
Capitalização
A matemática financeira busca, essencialmente, Simples
analisar a evolução do dinheiro ao longo do tempo,
determinando o valor das remunerações relativas a seu
emprego, ou seja, o valor dos juros correspondentes.
Composta
Elementos básicos para Capitalização Definição de Capital
É a quantidade de moeda (ou dinheiro) que um indivíduo
tem disponível e concorda em ceder a outro,
Capital temporariamente, mediante determinada remuneração.
Juros
Montante
Tempo
Definição de Juros Definição de Juros
Exemplo: ao emprestarmos determinada quantia de
Juro é a remuneração pelo capital emprestado ou
dinheiro a outrem, por certo prazo de tempo, cobramos
aplicado.
uma importância a título de juros, que se refere à
remuneração pelo capital emprestado.
4

5. Definição de Juros Definição de Montante
Por exemplo, o Sr. João tomou emprestado de um É o resultado da aplicação do capital inicial,
banco uma quantia de R$ 1.000,00 por 30 representando a soma do capital inicial mais os
dias, devolvendo ao final do prazo a quantia total de juros capitalizados durante o período.
R$ 1.100,00. Qual o valor dos juros?
Definição de Tempo Diagrama de Fluxo de Caixa
Corresponde à duração (em Para facilitar a representação das operações
dias, semanas, meses, semestres, anos etc.) da financeiras, costuma-se empregar o diagrama de fluxo
operação financeira. de caixa que consiste na representação gráfica da
movimentação de recursos ao longo do tempo
(entradas
( t d e saídas d caixa)
íd de i )
Diagrama de Fluxo de Caixa Operação de Empréstimo
Valor
Presente
Período de
Capitalização
Dinheiro
Pago
g
Dinheiro Valor Presente
Recebido
Montante +
Juros
5

6. Operação de Aplicação Fluxo de Caixa (Tipo 1)
Pagamento Único:
Valor Presente PV
Montante + 4
meses
0
Juros
Período de FV
Capitalização
O valor inicial aplicado ou emprestado (PV) será
Valor recebido ou pago numa data futura por meio de um
Presente
único pagamento (FV), com juros.
Fluxo de Caixa (Tipo 2) Fluxo de Caixa (Tipo 3)
Séries Uniformes Postecipadas (Crediário s/ entrada): Séries Uniformes Antecipadas (Crediário c/ entrada):
PV PV
1 2 3 4 1 2 3 4
meses 0 meses
0
PMT PMT
O valor inicial (PV) será pago ou recebido por meio de O valor inicial (PV) será pago ou recebido por meio de
prestações iguais e com periodicidade constante prestações iguais e com periodicidade constante
(PMT), sendo a primeira no final do primeiro período. (PMT), sendo a primeira no ato da contratação.
Fluxo de Caixa (Tipo 4) Exercícios de Diagramas de Fluxos (1)
Séries Variáveis: Represente o diagrama de fluxo de caixa de uma
aplicação no valor de R$ 500,00 que será resgatado em
PV
três parcelas iguais, mensais, no valor de R$ 200,00
1 2 3 4
0 meses
FC2 FC4
FC1 FC3
O valor inicial (PV) será pago ou recebido por meio de
prestações diferenciadas (Ex: Financiamento de
imóveis com prestações intermediárias).
6

7. Exercícios de Diagramas de Fluxos (2) Exercícios de Diagramas de Fluxos (3)
Uma compra a prazo de um CD player que custa a vista Construa o diagrama de fluxo de caixa para os
R$ 100,00 pode ser paga em duas parcelas mensais seguintes pagamentos ou recebimentos:
(entrada no ato) no valor de R$ 60,00
Fluxo de
Ano
Caixa
0 (500,00)
1 250,00
2 200,00
3 150,00
4 100,00
Exercícios de Diagramas de Fluxos (4) Exercícios de Diagramas de Fluxos (5)
Construa o diagrama para os fluxos de caixa dados a Um cliente do Banco Bom Negócio gostaria de
seguir: descontar uma nota promissória, no valor de R$
3.000,00, com vencimento para 30 dias. O
gerente, além de cobrar-lhe juros antecipadamente de
Fluxo de
Ano R$ 600 00 obriga-o a manter um CDB (Certificado de
600,00, obriga o
Caixa
0 (700,00) Depósito Bancário) no valor de R$ 400,00 e
1 500,00 remunerado à 10% durante do prazo da operação. Qual
2 400,00
o diagrama de fluxo de caixa correspondente?
3 300,00
4 200,00
5 (300,00)
Exercícios de Diagramas de Fluxos (6)
A empresa Leve Como Chumbo pensa em abrir uma
nova instalação industrial com investimento inicial igual
a R$ 300,00. Os gastos anuais associados aos cinco
anos de vida do negócio são estimados em R$ 80,00, e
as receitas em R$ 200 00 Represente o diagrama de
receitas, 200,00.
fluxo de caixa dessa operação.
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8. Regime de Capitalização Regime de Capitalização Simples
Refere-se ao processo de formação dos juros, que
Os juros incidem somente sobre o valor inicialmente
poderá ser SIMPLES ou COMPOSTO
aplicado ou tomado emprestado:
n Capital Juros de cada período Valor Acumulado
1 R$ 1.000 R$ 1.000 × 10% = 100 R$ 1.000 + R$ 100 = R$ 1.100
2 R$ 1.000 R$ 1.000 × 10% = 100 R$ 1.100 + R$ 100 = R$ 1.200
3 R$ 1.000 R$ 1.000 × 10% = 100 R$ 1.200 + R$ 100 = R$ 1.300
Regime de Capitalização Composta Juros Simples e Compostos
É popularmente conhecido como juros sobre juros.
Os juros gerados a cada período são incorporados
ao principal para o cálculo dos juros do período
seguinte:
n Capital Juros de cada período Valor Acumulado
1 R$ 1.000 R$ 1.000 × 10% = 100 R$ 1.000 + R$ 100 = R$ 1.100
2 R$ 1.100 R$ 1.100 × 10% = 110 R$ 1.100 + R$ 110 = R$ 1.210
3 R$ 1.210 R$ 1.210 × 10% = 121 R$ 1.210 + R$ 121 = R$ 1.331
Juros Simples Juros Composto
Conclusão Conclusão
Os juros crescem linearmente ao longo do tempo no O valor dos juros simples e dos juros compostos é
regime de capitalização simples, sendo seu valor igual no primeiro período de capitalização
constante durante os períodos
Após o primeiro período de capitalização o valor dos
Os juros crescem exponencialmente ao longo do juros compostos é superior ao valor dos juros simples
tempo no regime de capitalização composta, sendo
que o montante calculado até o período anterior serve Antes do primeiro período de capitalização, o valor
como base de cálculo para os juros do próximo período dos juros simples é superior ao dos juros compostos
8

9. Juros Simples
Genericamente, os juros capitalizados por período no
regime de capitalização simples poderiam ser
representados como:
INT = PV × i
INT = Juros (INTerest)
PV = Valor Presente (Present Value)
i = Taxa de Juros (Interest Rate)
Taxa Exemplo 1
A taxa costuma ser apresentada ao dia, ao mês, ao Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a taxa de 5%
bimestre, ao trimestre, ao quadrimestre, ao semestre ou a.m. no Regime de Capitalização Simples. Qual o valor
ao ano. Para simplificar a notação, os períodos dos juros mensais?
costumam ser abreviados:
Abreviatura Significado
a.d. ao dia
a.m. ao mês
a.b. ao bimestre
a.t. ao trimestre
a.q. ao quadrimestre
a.s. ao semestre
a.a. ao ano
Juros Simples Exemplo 2
Em n períodos, os juros totais serão iguais aos juros Um capital de R$ 120,00 foi aplicado a taxa de 4%
por período multiplicados pelo número de períodos, ou: a.m. no regime de capitalização simples por 7 meses.
Qual o valor dos juros capitalizados durante o período
de vigência da aplicação?
INT = PV × i × n
INT = Juros (INTerest)
PV = Valor Presente (Present Value)
i = Taxa de Juros (Interest Rate)
n = Período de Tempo (Number of periods)
9

10. Derivações da Fórmula Exemplo 3
Que valor, aplicado durante 6 meses, à taxa de 5%
a.m., rendeu de juros o valor de R$ 240,00?
.
INT PV i n .
Exemplo 4 Exemplo 5
O valor de R$ 800,00 foi aplicado a juros simples O valor de R$ 800,00 foi aplicado a juros simples, à
durante 6 meses, rendendo de juros R$ 240,00. Calcule taxa de 5% a.m., rendendo de juros R$ 240,00. Quanto
a taxa de juros. tempo ficou aplicado?
Importante! Sugestão!
10

11. Taxas Proporcionais Taxas Proporcionais
ic × n q
Qual é a taxa anual, proporcional à taxa de 2% ao
ip =
mês?
nt
ic × n q 0,02 × 360
ip = ip =
ip = Taxa Proporcional nt 30
ic = Taxa Fornecida
nq = Tempo que eu quero (em dias) da taxa proporcional
i p = 0,24 ou 24% ao ano
nt = Tempo que eu tenho (em dias) da taxa fornecida
Taxas Proporcionais Exercícios de Juros Simples (1)
Qual o valor dos juros do capital de R$ 1.200,00,
Qual é a taxa mensal, proporcional à taxa de 24% ao
aplicado a juros simples à taxa de 3% a.m., durante 8
ano? meses e 15 dias?
ic × n q 0,24 × 30
ip = ip =
nt 360
i p = 0,02 ou 2% ao mês
Exercícios de Juros Simples (2) Exemplo 6
Qual o valor dos juros de uma aplicação de R$ Qual deve ser o valor resgatado (montante) de uma
1.600,00 feita a uma taxa de 3% a.m. no regime de aplicação de R$ 1.600,00 feita a uma taxa de 3% a.m.
juros simples durante 2 anos? no regime de juros simples durante 2 anos?
O que é
Montante?
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12. Montante ou Valor Futuro Juro ou Montante
O Montante ou Valor Futuro é a soma do valor
aplicado com o valor dos juros, dos rendimentos:
J = PV × i × n
FV = PV × (1 + i × n)
FV = PV×(1 + i × n)
Sempre são necessárias 3 informações para se
FV = Valor Futuro (Future Value)
obter a quarta.
PV = Valor Presente (Present Value)
i = Taxa de Juros (Interest Rate) Não há como obter conclusões com apenas 1 ou 2
n = Período de Tempo (Number of periods) informações.
Exemplo 6 Derivações da Fórmula
Qual deve ser o valor resgatado (montante) de uma
aplicação de R$ 1.600,00 feita a uma taxa de 3% a.m.
no regime de juros simples durante 2 anos?
.
.
Exercícios de Juros Simples (3) Exercícios de Juros Simples (4)
Rita aplicou durante dois anos e meio a quantia de R$ João tomou emprestado uma certa quantia durante 4
5.000,00 à taxa de juros de 0,50% a.m. Determine o anos à taxa de 1,00% a.b. Ao final deste prazo retornou
Montante ao final do prazo, o juro e monte o fluxo de R$ 99,20. Quanto João captou? Monte o fluxo de caixa
caixa sob o ponto de vista da Rita. do João.
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13. Exercícios de Juros Simples (5) Exercícios de Juros Simples (6)
Uma velhinha tomou emprestado de seu neto a quantia Durante quanto tempo R$ 1.000,00 devem ficar
de R$ 500,00 para saldar dívidas de aluguel. Após aplicados a uma taxa de 10,00% a.m. para que
1 semestre, seu netinho lhe cobrou R$ 740,00 referente duplique?
ao empréstimo. Qual a taxa mensal cobrada?
Exercícios de Juros Simples (7) Juros Simples na HP-12C
Um principal de R$ 3.798,67 foi aplicado à 3,00% a.m.
1) Limpar os registradores financeiros: f FIN
durante 53 dias. Calcule o valor resgatado.
2) Introduzir o período em dias e pressionar n
3) Introduzir a taxa de juros anual e pressionar i
4) Introduzir o valor do Principal e pressionar PV
5) Pressionar f INT para obter o valor do juro
6) Pressionar + para obter o Montante
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