1. INTERVALOS APARENTES.
POR EL ALUMNO: Luis Eduardo Barco Aranda.

2. INTRODUCCION.
• En esta presentación les explicare
claramente y paso a paso como obtener los
intervalos aparentes de un problema de
datos agrupados.
• Con el fin de facilitar la manera de entender
y encontrar dichos intervalos.

3. 1er. Paso.
• Necesitamos encontrar el valor
máximo de nuestra serie de datos
agrupados.

4. Valor máximo = 1.578
1.444 1.413 1.484 1.555 1.467 1.516 1.482 1.519 1.533 1.53 1.506 1.553 1.537 1.432 1.498 1.492 1.492 1.484 1.484 1.449
1.488 1.424 1.547 1.49 1.558 1.531 1.577 1.484 1.545 1.531 1.571 1.494 1.496 1.473 1.467 1.49 1.483 1.504 1.528 1.491
1.51 1.469 1.554 1.456 1.511 1.435 1.487 1.562 1.546 1.528 1.49 1.549 1.431 1.474 1.492 1.549 1.474 1.489 1.547 1.557
1.489 1.524 1.394 1.539 1.515 1.48 1.437 1.506 1.506 1.449 1.54 1.512 1.489 1.458 1.501 1.506 1.494 1.512 1.503 1.481
1.566 1.499 1.471 1.522 1.561 1.513 1.44 1.529 1.487 1.505 1.507 1.481 1.532 1.448 1.468 1.479 1.515 1.564 1.501 1.483
1.545 1.512 1.492 1.576 1.445 1.535 1.533 1.424 1.511 1.528 1.483 1.482 1.447 1.461 1.441 1.491 1.507 1.456 1.491 1.405
1.534 1.487 1.476 1.498 1.515 1.469 1.54 1.545 1.554 1.466 1.519 1.441 1.479 1.521 1.504 1.55 1.527 1.424 1.531 1.483
1.423 1.551 1.508 1.529 1.526 1.503 1.481 1.45 1.494 1.537 1.528 1.515 1.503 1.49 1.569 1.501 1.551 1.482 1.578 1.46
1.488 1.481 1.543 1.494 1.491 1.453 1.49 1.539 1.472 1.424 1.551 1.454 1.51 1.489 1.462 1.52 1.541 1.492 1.469 1.443
1.532 1.502 1.497 1.526 1.523 1.535 1.499 1.548 1.46 1.518 1.509 1.49 1.547 1.479 1.46 1.485 1.467 1.553 1.458 1.467
1.49 1.496 1.486 1.469 1.521 1.53 1.496 1.51 1.479 1.494 1.434 1.474 1.458 1.484 1.502 1.459 1.48 1.485 1.496 1.491
1.544 1.443 1.493 1.488 1.559 1.512 1.526 1.474 1.483 1.463 1.484 1.45 1.489 1.461 1.512 1.462 1.514 1.495 1.483 1.502
1.457 1.463 1.538 1.478 1.482 1.499 1.505 1.469 1.467 1.554 1.481 1.508 1.455 1.496 1.524 1.488 1.516 1.538 1.531 1.468
1.475 1.46 1.518 1.495 1.441 1.467 1.512 1.469 1.528 1.488 1.498 1.454 1.411 1.491 1.473 1.501 1.508 1.515 1.492 1.499
1.563 1.484 1.5 1.521 1.529 1.508 1.544 1.54 1.492 1.537 1.469 1.515 1.465 1.455 1.44 1.476 1.471 1.471 1.51 1.501

5. 2do. Paso.
• Necesitamos encontrar el valor
mínimo de nuestra serie de datos
agrupados.

6. Valor mínimo = 1.394

7. 3er. Paso.
• Obtener el rango.
• Ya que contamos con los valores máximo y
mínimo, tendremos que obtener el
rango, restando el valor máximo menos el
mínimo.
• Rango= Valor Máximo – Valor Mínimo
• Max= 1.578
• Min = 1.394
• Rango = 0.184

8. 4to. Paso.
• Obtener el tamaño de intervalo.
• Se obtiene utilizando el rango y dividiéndolo entre el
número de intervalos.
• Este se escoge arbitrariamente, en este caso nuestro
numero de intervalos será el 13.
• Tamaño de intervalo.
0.184/13 = 0.014
Una ves obtenido el resultado, tenemos que
redondearlo, en este caso quedaría así.
0.013 0.014

9. 5to. Paso.
• Realizar una tabla de Limite Inferior. Limite Superior.
intervalos aparentes.
• Dividida en dos
secciones limite
inferior y superior.
• Como se muestra
alado.

10. 6to. Paso.
Limite Limite
• Para obtener el primer Inferior. Superior.
intervalo aparente 259
, escogemos un numero que 263
sea igual o menor que el 267
mínimo y le sumamos el 271
tamaño de nuestro 275
intervalo, hasta avanzar 279
13filas.
283
• Que en este caso 287
representan a nuestro N° de
291
intervalos.
295
299
303
307

11. • Después para hacer Limite Inferior. Limite Superior.
los limites 259 262
inferiores, pasamos 263 266
el segundo limite 267 270
inferior a la primer 271 274
columna de limite 275 278
superior. Y de igual 279 282
manera le seguimos 283 286
sumando el tamaño 287 290
de intervalo. 291 294
295 298
299 302
303 306
307 310

12. • NOTA: Para saber si
L.Inf. L.Sup.
nuestros intervalos En este caso están
incorrectos . < Min 259 262
aparentes están
263 266
correctos. Checa 267 270
que el primer limite 271 274
inferior sea < Min y 275 278
el ultimo limite 279 282
inferior sea < Max. 283 286
287 290
291 294
• Que el primer
295 298
limite superior sea
299 302
>Min y el ultimo > 303 306
Max. 307 310
< Max

13. Ahora tendremos que volver a realizar los intervalos aparentes hasta que los
números estén en el orden que decía la NOTA anterior.
Limite Limite
• Ahora si están correctos Inferior Superior
nuestros intervalos < Min
aparentes. 259 262 > Min
263 266
267 270
Observa como quedan los 271 274
intervalos aparentes de forma 275 278
correcta.
279 282
283 286
287 290
291 294
295 298
299 302
303 306
> Max
< Max • 307 310

14. Intervalos Reales.
POR EL ALUMNO: Luis Eduardo Barco Aranda.

15. INTRODUCCIÓN.
En esta presentación les explicare como
obtener los intervalos reales, de un problema
de datos agrupados.
Con el fin de facilitar la manera de obtener
dichos intervalos.

16. 1er. Paso. • Una vez terminados
nuestros intervalos
Limite Inferior. Limite Superior
aparentes, para
continuar con los
intervalos reales.
258,5 262.5
• Tenemos que tomar el
segundo límite inferior
262.5
266,5 de los intervalos
aparentes y el primer
límite superior de los
intervalos aparentes,
para restarlos.
• Como se muestra a la
izquierda.
262.5 – 262.5 = 0.001

17. 2do.Paso.
• Después tenemos
que dividir el
resultado de la resta 0.001 2
entre dos como se
muestra a la derecha.
0.0005

18. 3er. Paso.
Limite Inferior. Limite Superior.
• Realizar una tabla de
intervalos reales,
dividida en dos
secciones, limite
inferior y limite
superior.

19. 4to.Paso.
Limite Inferior. Limite Superior.
• Ahora le restamos 258.5 262.5
0.0005 a todos los 262.5 266.5
limites inferiores de los 266.5 270.5
intervalos aparentes y 270.5 274.5
le sumamos ese mismo 274.5 278.5
resultado a todos los 278.5 282.5
limites superiores de 282.5 286.5
los intervalos 286.5 290.5
aparentes. 290.5 294.5
294.5 298.5
Tal y como se ve ala
298.5 302.5
derecha.
302.5 306.5
306.5 310.5

20. Nota
Importante: Limite
inferior.
Limite
Superior.
Para saber si tus intervalos < Min 258,5 262,5 > Min
reales están correctos debes 262,5 266,5
recordar la regla que es la
siguiente: 266,5 270,5
El primer intervalo real inferior 270,5 274,5
es < Mínimo, el ultimo intervalo
inferior es < Max. 274,5 278,5
El primer intervalo real superior 278,5 282,5
es > Min , y el ultimo intervalo 282,5 286,5
real superior es > Max.
286,5 290,5
Observa bien, en este caso este 290,5 294,5
problema si esta correcto. 294,5 298,5
298,5 302,5
302,5 306,5
< Max 306,5 310,5 > Max

21. MARCA DE CLASE Y FRECUENCIAS:
ABSOLUTA,ACUMULADA,
RELATIVA,FRECUENCIA RELATIVA
ACUMULADA .
POR EL ALUMNO: Luis Eduardo Barco Aranda.

22. INTRDUCCÍON.
En ésta presentación les explicaré como obtener la marca de
clase y todas las frecuencias de un problema para elaborar la
tabla de un problema de datos agrupados.

23. 1er. Paso. Como muestra el ejemplo:
• Para obtener las Limite Inferior. Limite Superior.
frecuencias de un 258,5 262,5
problema de datos 262,5 266,5
agrupados, necesitamos 266,5 270,5
primero, los intervalos 270,5 274,5
reales de nuestro 274,5 278,5
problema. 278,5 282,5
282,5 286,5
286,5 290,5
290,5 294,5
294,5 298,5
298,5 302,5
302,5 306,5
306,5 310,5

24. 2do paso. EJEMPLO:
LIMITE LIMITE MARCA DE
INFERIOR SUPEIOR. CLASE.
• Obtener la marca de clase, ( Xi )
esta se obtiene mediante esta
2do. Paso. 258.5 262.5 260.5
operación que es la siguiente.
262.5 266.5 264.5
Limite Inferior + Limite Superior 266.5 270.5 268.5
2 270.5 274.5 272.5
De esta manera vamos 274.5 278.5 276.5
obteniendo las marcas de clase 278.5 282.5 280.5
de cada uno de nuestros 13
intervalos. 282.5 286.5 284.5
286.5 290.5 288.5
258.8 + 262.5 / 2 = 260.5 290.5 294.5 292.5
294.5 298.5 296.5
298.5 302.5 300.5
302.5 306.5 304.5
306.5 310.5 308.5

25. Frecuencia absoluta (fi)
• Calcular la frecuencia absoluta
• Este paso se elabora a mano ya que este paso
requiere de encontrar los números del grupo de
datos que se encuentran entra cada par de
intervalos.
Por ejemplo:
• Cuantos hay entre (258.5 y 262.5 )
• En este caso encontramos 2 números que
están dentro de estos dos números.
• Como muestra la siguiente diapositiva.

26. ejemplo:
LIMITE INFERIOR. LIMITE SUPERIOR. X1 fi
258.5 262.5 260.5 2
262.5 266.5 264.5 7
266.5 270.5 268.5 5
270.5 274.5 272.5 13
274.5 278.5 276.5 32
278.5 282.5 280.5 33
282.5 286.5 284.5 54
286.5 290.5 288.5 59
290.5 294.5 292.5 44
294.5 298.5 296.5 20
298.5 302.5 300.5 22
302.5 306.5 304.5 7
306.5 310.5 308.5 2

27. Frecuencia acumulada (fai)
• Una vez obtenida la frecuencia
absoluta continuaremos a
determinar la frecuencia
acumulada.
• Esta frecuencia se calcula
partiendo de la frecuencia
absoluta de la siguiente manera,
como muestra la siguiente

28. Frecuencia absoluta(fi) Frecuencia acumulada
(fai) El primer valor se pasa igual
al de la frecuencia absoluta
2 + 2 después a este se le va
7 9 sumando el valor siguiente
de la frecuencia (fi)
5 14
13 27
32 59
33 92
54 146
59 205
44 249
20 269
22 291
NOTA: Debes fijarte
7 298 bien que el último
2 300 número sea igual a el
número total de datos
que en este caso es 300.

29. Frecuencia relativa (fri)
• Para esta frecuencia necesitaremos de
la frecuencia absoluta, para determinar
la frecuencia relativa.
• Esta frecuencia la calcularemos
dividiendo cada uno de los datos de la
frecuencia absoluta entre el numero
total de datos qu en este caso son:
(300).

30. •Hacemos esta operación en cada
una de nuestras frecuencias
absolutas y así obtener las
frecuencias relativas.
•Los datos obtenidos de cada una de
estas divisiones serán los datos que
colocaremos en la tabla de
frecuencia relativa.

31. EJEMPLO:
Frecuencia Relativa (fri)
0.006667
0.023333
0.016667
0.043333
0.106667
0.11
0.18
0.196667
0.146667
0.066667
0.073333
0.023333
0.006667

32. Frecuencia relativa acumulada
(frai)
• Como último calcularemos la frecuencia
relativa absoluta (frai)
• Esta última frecuencia la determinaremos
igual manera en que obtuvimos la
frecuencia acumulada.
• Ejemplo:
• (fri) 0.006667 se pasa igual a el (frai)
• El que pasamos igual se suma esquinado
con el siguiente dato del (fri) para sacar
el (frai)

33. EJEMPLO: 0.006667 + 0.023333 = 0.03
Frecuencia Relativa. Frecuencia Relativa
Acumulada. El primero pasa igual y
se va sumando
0.006667 0.006667 esquinado junto con la
0.023333 0.03 frecuencia relativa
acumulada.
0.016667 0.046667
0.043333 0.09
0.106667 0.196667
0.11 0.306667
0.18 0.486667
0.196667 0.683333
0.146667 0.83
0.066667 0.896667
0.073333 0.97
0.023333 0.993333
0.006667 1

34. MEDIA , DESVIACIÓN MEDIA,
VARIANZA Y DESVIACIÓN
ESTANDAR.
POR EL ALUMNO: Luis Eduardo Barco Aranda.

35. INTRODUCCIÓN.
• En esta presentación explicaré como obtener los
tipos de dispersión (media , desviación media,
varianza y desviación estándar)en una tabla de
datos agrupados.

36. Una ves terminadas nuestras frecuencias tendremos que calcular la media
(fi)(xi).
Primero se obtiene utilizando, la frecuencia absoluta y multiplicándola por la
marca de clase. EJEMPLO: 2 * 260.5 = 521.00
Lim.Inf. Lim.Sup. Marca de Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia (fi)(xi)
clase. absoluta. acumulada. relativa. relativa
acumulada.
258.5 262.5 260.5 2 2 0.006667 0.006667 521.00
262.5 266.5 264.5 7 9 0.023333 0.03 1851.50
266.5 270.5 268.5 5 14 0.016667 0.046667 1342.50
270.5 274.5 272.5 13 27 0.043333 0.09 3542.50
274.5 278.5 276.5 32 59 0.106667 0.196667 8848.00
278.5 282.5 280.5 33 92 0.11 0.306667 9256.50
282.5 286.5 284.5 54 146 0.18 0.486667 15363.00
286.5 290.5 288.5 59 205 0.196667 0.683333 17021.50
290.5 294.5 292.5 44 249 0.146667 0.83 12870.00
294.5 298.5 296.5 20 269 0.066667 0.896667 5930.00
298.5 302.5 300.5 22 291 0.073333 0.97 6611.00
302.5 306.5 304.5 7 298 0.023333 0.993333 2131.50

37. Para continuar calculado la media tendremos que sumar todos
los valores que nos dieron en esa fila y dividirlos entre el
número total de datos. EJEMPLO:
(fi)(xi)
521.00
1851.50
1342.50
3542.50
8848.00
9256.50
15363.00
17021.50
12870.00
5930.00
6611.00
2131.50
617.00
TOTAL = 85906.0 / 300 = 286.4 MEDIA.

38. Calcular (xi-x)(fi), tenemos que: Restarle a la marca
de clase la media y posteriormente multiplicarla por
la frecuencia absoluta.
• EJEMPLO:
• 260.5 – 286.4 * 2 = 51.71
• Asa seguimos este procedimiento hasta terminar los 13
intervalos.
• Como muestra la siguiente diapositiva.

39. EJEMPLO:
(XI – X)(FI)
51.71
152.97
89.27
154.09
315.31
193.16
100.08
126.65
358.45
202.93
311.23
127.03
44.29

40. Luego tenemos que dividir el resultado de la suma de
todos los valores anteriores entre (300).
(XI – X)(FI)
51.71
152.97
89.27
154.09
315.31
193.16
100.08
126.65
358.45
202.93
311.23
127.03
44.29
TOTAL= 2227.17 / 300
=7.423911 DESVIACIÓN MEDIA.

41. Ahora calcularemos la varianza y la
desviación estándar.
• Primeramente tenemos que hacer una serie de operaciones,
multiplicar la marca de clase, menos la media, el resultado de
eso elevarlo al cuadrado y por último multiplicar ese resultado
por 2.
• EJEMPLO:
• (xi - x )^2 fi
• Hacemos estas operaciones a cada uno de nuestros trece
valores, y la suma de esos valores es nuestra varianza.
• Como muestra la siguiente diapositiva.

42. EJEMPLO:
(xi - x )^2 fi
1336.79
3342.977
1593.708
2494.893
3106.822
1130.63
185.4816
271.8825
1662.386
2059.097
4402.82
2305.111
980.9497
TOTAL= 24873.55 /300 = 82.91182 VARIANZA.

43. Por último la desviación estándar se
obtiene sacando la raíz cuadrada de el
resultado de la varianza.
• EJEMPLO:
• = 9.105593.

44. Entonces nuestra tabla de
datos agrupados quedaría así:
lim infe. lim.supe. X1 fi fai fri frai fi xi (xi - x )fi (xi - x )^2 fi
258.5 262.5 260.5 2 2 0.006667 0.006667 521.00 51.71 1336.79
262.5 266.5 264.5 7 9 0.023333 0.03 1851.50 152.97 3342.977
266.5 270.5 268.5 5 14 0.016667 0.046667 1342.50 89.27 1593.708
270.5 274.5 272.5 13 27 0.043333 0.09 3542.50 154.09 2494.893
274.5 278.5 276.5 32 59 0.106667 0.196667 8848.00 315.31 3106.822
278.5 282.5 280.5 33 92 0.11 0.306667 9256.50 193.16 1130.63
282.5 286.5 284.5 54 146 0.18 0.486667 15363.00 100.08 185.4816
286.5 290.5 288.5 59 205 0.196667 0.683333 17021.50 126.65 271.8825
290.5 294.5 292.5 44 249 0.146667 0.83 12870.00 358.45 1662.386
294.5 298.5 296.5 20 269 0.066667 0.896667 5930.00 202.93 2059.097
298.5 302.5 300.5 22 291 0.073333 0.97 6611.00 311.23 4402.82
302.5 306.5 304.5 7 298 0.023333 0.993333 2131.50 127.03 2305.111
306.5 310.5 308.5 2 300 0.006667 1 617.00 44.29 980.9497

45. GRACIAS POR SUA TENCIÓN.
SALUDOS.