Vibraciones mecanicas

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA
LABORATORIO DE TECNOLOGÍA DE MATERIALES
LECTURAS DE INGENIERÍA 17
VIBRACIONES MECÁNICASVIBRACIONES MECÁNICASVIBRACIONES MECÁNICASVIBRACIONES MECÁNICAS
M. en I. Felipe Díaz del Castillo Rodríguez.
CUAUTITLÁN IZCALLI 2011

ÍNDICE
Pag.
INTRODUCCIÓN ………………………….……… ……………………………………..1
CAPITULO 1
CONCEPTOS GENERALES
1.1. CONCEPTO DE VIBRACIÓN …………………………………………………..……..1
1.2 EL ORIGEN DE LAS VIBRACIONES ……………...……….……………..…3
1.3 IMPORTANCIA DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS ……………...……7
1.3.1 ¿Porque estudiar las vibraciones mecánicas? por el impacto y los efectos 12
1.4 LAS VIBRACIONES MECÁNICAS COMO CIENCIA APLICADA…… …….…..13
1.5. DEFINICIÓN DE VIBRACIÓN MECÁNICA …………………………… ….…..16
1.6. UNIDADES DEL MOVIMIENTO DE LAS VIBRACIONES ………… ….…….18
1.7. CLASIFICACIÓN DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS …………… ….…….21
1.8. OTROS CONCEPTOS ………………………………………………..……………..26
1.9. MODELADO MATEMÁTICO …………………………………………..…………..27
1.10 GRADOS DE LIBERTAD, ECUACIÓN DE KUTZBACH MODIFICADA ….29
CAPÍTULO 2
ELEMENTOS DE SISTEMAS VIBRATORIOS
2.1 ELEMENTOS ELÁSTICOS ………………………...………………..………………35
2.1.1. Resortes helicoidales y a torsión…………………… ... ………………..35
2.1.2. Elementos estructurales…………………………… …..…………………….39
2.1.3. Elementos elásticos equivalentes. ……………...…… …………………….41
2.1.3.1 Arreglos serie y paralelo ………………… …… ……..………….41
2.1.3.2 Algunas equivalencias elásticas torsional …………………..… …45
2.2 ELEMENTOS AMORTIGUADORES ……………………………………………….50
2.2.1. Elementos amortiguadores equivalentes. ……………...…………………….51

2.3 ELEMENTOS INERCIALES …………………………… ……………..…………..53
2.3.1. Inercia equivalente …………………………………………..………………..55
2.4. EJERCICIOS ……………………………………… …………………………………57
CAPÍTULO 3
VIBRACIÓN LIBRE DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD ALREDEDOR
DEL PUNTO DE EQUILIBRIO
3.1. VIBRACIÓN LIBRE O AMORTIGUADA …………………………………………60
3.1.1. Determinación de la ecuación diferencial ……………………………..…… ………60
3.1.2. Modelo representativo y cálculo de la frecuencia natural …..…….………63
3.2 VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA ……………………………..………….67
3.3 MÉTODOS DE ANÁLISIS …………………………………………...……………….75
CAPÍTULO 4
BALANCEO
4.1. DESEQUILIBRIO …………………………………………………....……………….79
4.2. EQUILIBRADO ESTÁTICO ……………………………………..………..…….…..80
4.3. DESEQUILIBRIO Y EQUILIBRADO ………………………..………….…….….84
4.4. MAQUINAS DE EQUILIBRADO ESTÁTICO ……………...……………….…….88
4.5. MÁQUINAS DE EQUILIBRADO DINÁMICO ……………...…………….……….89
4.5.1. Bastidor basculante ………………………………….……………………….89
4.5.2. Punto nodal …………………………………… ………………..………….92
4.5.3. Compensación mecánica ………………… ……………………….………93
4.6. BALANCEO “I N S I T U” …………………………… …………………….……….94
4.7. ROTORES RÍGIDOS Y FLEXIBLES ………………… …………………………..97
4.7.1. Rotores flexibles ………………………………… ………………………….97
BIBLIOGRAFÍA ………………………… ………………………………………………101

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Mtro. FELIPE DÍAZ DEL CASTILLO R.
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INTRODUCCIÓN
El desarrollo de la Ciencia y Tecnología actuales implican la generación y aplicación del
conocimiento en muchas áreas y consecuentemente el estudiante de Ingeniería debe estar
al tanto de los mismos, sin embargo, debido a la actualización poco frecuente de los
programas y planes de estudio y por las limitaciones propias de semestres de apenas cuatro
meses de actividades académicas, es difícil la actualización del estudiante en dichos
conocimientos, además, dejar trabajos de investigación no funciona de la manera deseada,
ya que en muchas ocasiones se descargan de Internet y se imprimen sin leerlos siquiera, de
ese modo, surge la idea de crear una serie de apuntes de temas básicos para el ingeniero
actual como son: el endurecimiento superficial del acero, las fundiciones de hierro, la
tribología y el desgaste, la superplasticidad, los avances en la industria siderúrgica,
superaleaciones, etc.
En este trabajo se habla de entre otros temas: a) la historia e importancia de las
vibraciones mecánicas, b) el presente y futuro del estudio de las vibraciones, c) la
clasificación de las vibraciones, d) el procedimiento para la elaboración de un modelo
matemático.
Como siempre cualquier comentario o corrección será bienvenido.
ATTE.
Mtro. Felipe Díaz del Castillo Rodríguez.

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CAPITULO 1
CONCEPTOS GENERALES
1.1. CONCEPTO DE VIBRACIÓN
Se dice que un cuerpo vibra cuando experimenta cambios alternativos, de tal modo que sus
puntos oscilen sincrónicamente en torno a sus posiciones de equilibrio, sin que el campo
cambie de lugar.
Como otro concepto de vibración, se puede decir que es un intercambio de energía cinética
en cuerpos con rigidez y masa finitas, el cual surge de una entrada de energía dependiente
del tiempo.
Este intercambio de energía puede ser producido por:
• Desequilibrio en maquinas rotatorias
• Entrada de Energía Acústica
• Circulación de Fluidos o masas
• Energía Electromagnética
Sea cualquiera la causa de la vibración, su reducción es necesaria debido a razones entre
las cuales se tienen:
• La excesiva vibración puede limitar la velocidad de procesamiento.
• La vibración es responsable de la pobre calidad de los productos elaborados por
maquinas-herramientas.
• La vibración de maquinarias puede resultar en radiación de ruido.
• La vibración puede alcanzar a otros instrumentos de precisión de otras fuentes, y causar
fallas de funcionamiento.
La Medición de la vibración, juega un papel muy importante en el desarrollo de técnicas
para mitigarla o reducirla, y en el establecimiento de límites en los niveles de ruido de la
maquinaria existente en una instalación industrial. Aproximadamente el 50% de las averías
en máquinas rotativas se deben a desalineaciones en los ejes. Las máquinas mal alineadas
generan cargas y vibraciones adicionales, causando daños prematuros en rodamientos,

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obturaciones y acoplamientos, también aumenta el consumo de energía. Gracias a los
avances de la electrónica, actualmente se tienen instrumentos de medición altamente
sofisticados que permiten cuantificar la vibración de manera precisa, a través de diversos
principios. Es por esto que es muy importante, un buen entendimiento de los transductores
empleados para la medición de vibración, y su interfaz con los sofisticados equipos de
instrumentación y de adquisición de datos.
Hoy en día, uno de los puntos importantes a considerar en el buen funcionamiento de los
procesos industriales esta basado entre otras cosas en reglas, procedimientos ó
metodologías de mantenimiento, en especial uno conocido como mantenimiento predictivo
ya que permite saber el estado actual y futuro de una maquinaria o de sus elementos; el
análisis de vibraciones de maquinaria es una de las metodologías ampliamente usadas en el
mantenimiento de maquinaria, de tal manera que el estudio de las vibraciones mecánicas se
ha convertido en algo esencial para el estudiante de ingeniería mecánica ya que le permite
comprender, analizar y proponer soluciones sobre diversa problemática relacionada con
procesos industriales. En este capítulo se presentan los conceptos introductorios de las
vibraciones mecánicas como lo es: su historia, presente, aplicaciones e importancia entre
otras cosas.
1.2 EL ORIGEN DE LAS VIBRACIONES
Es difícil establecer el origen de la ciencia de las vibraciones mecánicas, ni si quiera
adjudicar a una sola persona el título del “padre de la ciencia de las vibraciones” ya que a
través de la historia grandes científicos realizaron importantes aportaciones que hicieron
hoy en día del fenómeno de las vibraciones toda una ciencia.
A continuación se presenta un breve recorrido de algunos personajes de ciencia que
hicieron aportaciones sobre el fenómeno de las vibraciones.
Remontándose en la historia, un personaje celebre de la antigua Grecia sorprendía con
grandes e importantes aportaciones filosóficas y matemáticas, sobre todo en el área de
aritmética; hoy en día todos conocemos de el gracias a un famoso teorema dado en su
honor conocido como el teorema de Pitágoras. Pitágoras (570 – 497 a.C.) desarrolló la

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teoría de los números y la teoría de la música y de la armonía en donde afirmaba la relación
entre estas dos ciencias. Cuenta la historia que un día pasó por una herrería y se quedó
sorprendido al darse cuenta de la rítmica regularidad con la que el herrero hacía repicar el
martillo sobre el yunque; tal fue su admiración que llegado a su casa se puso a
experimentar, haciendo vibrar varias agujas del mismo espesor y misma tensión, pero de
distinta longitud. De esta manera pudo concluir que las notas dependían de la frecuencia de
vibración, esto mismo Pitágoras lo calculó y concluyó que la música no era más que una
relación matemática de las vibraciones medidas según intervalos.
Por otro lado un importante filósofo e investigador llamado Aristóteles (374-355 a.C.).
Trabajo con las leyes del movimiento, escribió el primer escrito relacionado con la acústica
llamado On Acoustic, introdujo el principio del trabajo virtual
En el presente siglo uno de los personajes de ciencia mas inquietados por este fenómeno es
conocido como Galileo Galilei (1564-1642). Galileo encontró la relación existente entre la
longitud de cuerda de un péndulo y su frecuencia de oscilación, además encontró la
relación entre la tensión, longitud y frecuencia de vibración de las cuerdas. Se cuenta que
cierta vez, mientras observaba despreocupadamente las oscilaciones de un candelabro en la
catedral de Pisa Galileo Galilei se interesó en medir el tiempo de cada oscilación
comparándolo con el número de latidos de su pulso (en esa época todavía no se inventaba

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los relojes ni los cronómetros). Pudo comprobar, sorprendido, que aun cuando las
oscilaciones fueran cada vez más menores, el tiempo de cada oscilación era siempre el
mismo. Al repetir el experimento en su casa, comprobó lo anterior utilizando un péndulo
(una piedra atada al extremo de una cuerda), encontrando además que el tiempo de la
oscilación dependía de la longitud de la cuerda.
En la década de los 40 del siglo XVII existió uno de los grandes científicos de la historia
llamado Isaac Newton (1642-1727), matemático y físico británico, considerado uno de los
más grandes científicos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos
campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de
los avances científicos desarrollados desde su época. Newton fue, junto al matemático
alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemáticas
denominada cálculo. También resolvió cuestiones relativas a la luz y la óptica, formuló las
leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitación universal. En el
campo de las vibraciones el uso de las leyes de Newton forma un papel importante en el
análisis de sistemas y la determinación de frecuencias de oscilación. Publicó su teoría en
Principios matemáticos de la filosofía natural (1687), obra que marcó un punto de inflexión
en la historia de la ciencia, y con la que perdió el temor a publicar sus teorías.

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Con la aparición de la obra de Newton “The principia” implicó a Newton en un
desagradable episodio con otro gran filósofo y físico llamado Robert Hooke (1635-1701).
En 1687 Hooke afirmó que Newton le había robado la idea central del libro: que los
cuerpos se atraen recíprocamente con una fuerza que varía inversamente al cuadrado de
la distancia entre ellos. Sin embargo, la mayor parte de los historiadores no aceptan los
cargos de plagio de Hooke. Sin embargo, este científico es reconocido por sus
investigaciones en el campo de la elasticidad. En 1678, el también llamado Leonardo
Inglés, publico el libro: “Ut Pondus Sic Tensia” (como el peso así es la tensión) que
representa un primer enunciado de su conocida ley de la elasticidad
Ya en una época reciente Daniel Bernoulli (1700-1782), estudio la forma de vibrar de
algunos cuerpos usando el principio de superposición de armónicos. Daniel Bernoulli hizo
una estrecha correspondencia con su amigo Euler en la que trataron temas de la
mecánica de los medios flexibles y elásticos, en particular los problemas de pequeñas
oscilaciones de cuerdas y vigas. Particularmente atractiva es la polémica que se abrió sobre
el tema de la cuerda musical, no sólo entre Euler y Daniel, sino con la incorporación de un
joven geómetra Jean le Rond D’Alembert, quien pronto fue considerado entre los más
prestigiosos geómetras de Francia en el Siglo de las Luces. El debate sobre la ecuación de
la cuerda, sometida a una vibración en un mismo plano, es importante desde el punto de
vista matemático, no sólo porque representa el primer análisis de la solución de una
ecuación diferencial en derivadas parciales, sino además porque la discusión llevó al
cuestionamiento de las nociones establecidas de función y de representación de funciones
mediante series trigonométricas. En particular en las ideas de Daniel estaba el germen de
la teoría de representación en series de Fourier que se estableció en el siglo XIX con los
trabajos de Fourier, Dirichlet, Riemann y otros.

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Pero en el siglo XVIII el matemático francés Joseph Fourier (1768-1830) vino a realizar
una de las aportaciones mas importantes en el área de las vibraciones, en 1807 envió un
artículo a la Academia de Ciencias en Paris, en él presentaba una descripción matemática
de problemas relacionados con la conducción de calor. Pese a que el artículo fue
rechazado, contenía ideas que se convertirían en una importante área de las matemáticas
llamada en su honor, el análisis de Fourier. Una de las sorprendentes aportaciones del
trabajo de Fourier fue que muchas de las funciones más conocidas podían expandirse en
series de senos y cosenos; de tal modo que esta aportación es una de las más interesantes e
importantes en el campo de las vibraciones mecánicas ya que en base al algoritmo de la
serie de Fourier trabajan los modernos analizadores de vibración.
1.3 EL PRESENTE E IMPORTANCIA DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS
En la era moderna, en donde los avances tecnológicos están a la puerta, grandes
aportaciones matemáticas y métodos de análisis vinieron a resolver algunos problemas en el
campo de las vibraciones mecánicas.
Por ejemplo en 1909, Frahm propuso una forma de reducir las vibraciones
mecánicas mediante la implementación de sistema agregado sistema masa-resorte. Stodola
Aurel (1859–1943) hizo aportaciones importantes relacionadas con las vibraciones de
membranas, vigas y placas. Timoshenko (1872-1972) realizó aportaciones importantes en la
teoría de vibración en vigas.

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Por otro lado, importantes aportaciones matemáticas ampliaron considerablemente
el área de investigación del campo de las vibraciones mecánicas, por mencionar algunos,
los métodos de Rayleigh que sirven para determinar las frecuencias de resonancia de
algunos elementos basándose en ecuaciones de energía, las variables de estado que
permiten “resolver” y analizar problemas basados en ecuaciones diferenciales no lineales,
el elemento finito que consiste en discretizar cualquier elemento para posteriormente
modelar y analizar su comportamiento como pudiera ser los modos de vibrar, ecuaciones
estadísticas que facilitaron el estudio de vibraciones aleatorias.
Estos métodos modernos unidos a los avances tecnológicos por ejemplo, a) Las
computadoras, b) Los PLC´s, c) Analizadores de vibración, d) sopieware de monitoreo y/o
mantenimiento, etc. hacen hoy en día de las vibraciones todo un campo de investigación tal
que existen asociaciones, revistas, seminarios, cursos especializados. dedicados al estudio de
este fenómeno.
En la actualidad el estudio en este campo es tan grande que basta con ver algunos de
sus causa-efecto para entender su importancia. La gente de una u otra forma esta
constantemente relacionada con este fenómeno, por ejemplo, el buen funcionamiento de los
amortiguadores de un automóvil permite un mejor manejo entre los tripulantes, el mal
aislamiento de alguna maquinaria industrial puede dañar la infraestructura de la misma y
zona aledaña pudiendo ser conjuntos habitacionales, ruido causado por maquinaria que
puede afectar física y psicológicamente a personas de la empresa e inclusive a personas
ajenas a la misma, ruidos nocturnos producto de las vibraciones mecánicas de algunos
objetos y que en algunas ocasiones son confundidos y relacionados algunas veces con
esoterismo y fantasmas.
Pero para ampliar lo anterior vamos a considerar ahora la causa-efecto de las
vibraciones mecánicas en la industria mecánica. Primero considere que existen diferentes
tipos de maquinaria que pueden ser causantes de vibración en algunos casos causado por
algunos de los elementos ó por algún proceso; algunos ejemplos de vibración causada por
elementos son: desbalance rotativo, coples mal alineados, chumaceras dañadas, engranes
defectuosos, bandas mal alineadas, entre otros.

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Por otro lado, algunos ejemplos causados por procesos industriales pueden ser:
procesos de maquinado o de máquinas herramientas, procesos de extrucción, procesos de
centrifugado, pruebas mecánicas, etc.
Pues bien, estas vibraciones pueden implican problemas de diferente índole como lo
es: a) pérdidas económicas, b) daños en maquinaria, c) contaminación por ruido, d)
accidentes laborales, entre otros.
Es por eso que para el buen funcionamiento de la maquinaria se requiere de una
constante inspección para evitar fallas en la misma ya que pueden causar pérdidas
económicas a la empresa e incluso daños físicos a las personas.
“Yo soy el doctor de este hospital y las maquinas son mis pacientes” fue la frase
usada por un colega de la industria minera y con más de 20 años de experiencia industrial
en el ramo de la vibraciones mecánicas, “El porqué una maquina tiene temperatura, si una
maquina vibra ¿por qué tiene frío?, si una maquina genera ruido ¿por qué llora?, etc” son
algunas expresiones usadas por esta persona y que dan un panorama de la importancia del
buen monitoreo y funcionamiento de la maquinaria industrial.
Uno de las formas de monitorear el buen funcionamiento y vida útil de las máquinas
es por medio del análisis de vibración, este consiste en tomar medidas de vibración de las
maquinas y mediante el uso de gráficos y/o experiencia, determinar la vida útil de la
máquina o de uno de sus elementos. Esto conlleva a conservar un historial gráfico y
bitácora con el fin de predecir fallas futuras y realizar las acciones correctivas
correspondientes.
Por otro lado, un fenómeno bien conocido en el ambiente de las vibraciones
mecánicas y en el cuál todo ingeniero del ramo de la ingeniería mecánica debería poner
atención se le conoce como resonancia, este fenómeno es de gran interés en el estudio de las
vibraciones mecánicas ya que ha estado relacionado con diferentes eventos destructivos en
la historia de la industria y estructuras, este ha sido el causante de problemas en
estructuras, maquinas y contaminación por ruido.
Pero ¿Qué es el fenómeno de la resonancia?, en capítulos posteriores se proporciona
una explicación detallada por el momento resta decir que es un fenómeno que se manifiesta

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con grandes amplitudes de vibración.
En la actualidad los investigadores han encontrado aplicaciones de las vibraciones
mecánicas como antes no se había imaginado.
Sin embargo no todas las vibraciones son malas, algunas se producen con
propósitos específicos en algún proceso industrial y generalmente son controladas, estas
vibraciones son llamadas “buenas vibraciones”; por ejemplo: procesos de centrifugado para
separar desechos de materiales, transportación de material por bandas vibratorias (Figura
1.1), acabado y pulido por vibración, elevadores vibrantes, etc.
Figura 1. 1Transportador vibrante de frecuencia natural (Cortesía de Urbar Ingenieros
www.urbar.com)
Pero la aplicación benéfica de las vibraciones va aún más allá, en conjunto con
científicos de diferentes especialidades, las vibraciones han encontrado nuevos campos de
investigación y de aplicación, hoy en día se oye hablar además de vibraciones buenas,
“vibraciones saludables”
Por ejemplo, un problema presentado por los astronautas es que en el espacio, los
huesos y los músculos de los astronautas, liberados de la tensión normal de la gravedad,
pueden debilitarse en forma alarmante. Los músculos se atrofian, mientras que los huesos
se vuelven frágiles. Ahora, sin embargo, parece que se ha encontrado una solución: un
grupo de científicos, patrocinados por la NASA, sugieren que los astronautas podrían
prevenir la pérdida de los huesos parándose sobre una plataforma vibrante durante unos 10
ó 20 minutos cada día. Sosteniéndose sobre ella con la ayuda de unas bandas elásticas, los
astronautas pueden continuar haciendo otras tareas mientras vibran sobre la plataforma.

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Hoy en día se estudia esta terapia para ser usada eventualmente usada para el tratamiento
de algunos de los millones de personas que sufren de pérdidas de masa ósea, enfermedad
conocida como osteoporosis.
En un estudio (publicado en el número de octubre del 2001 de la revista The FASE
Journal), sólo 10 minutos al día de terapia de vibraciones ayudaron a promover niveles casi
normales de formación ósea en un grupo de ratas, a las que se les impidió apoyarse sobre
las patas traseras durante el resto del día. Otro grupo de ratas que habían tenido sus
miembros traseros suspendidos todo el día, mostraron una disminución considerable en su
ritmo de formación ósea hasta de un 92% mientras que otro grupo de ratas, a las que se les
permitió soportar su peso por 10 minutos diarios, pero sin el tratamiento de vibraciones,
tuvieron también reducciones en la formación de hueso 61% menos.
Estos resultados indican que el tratamiento por vibraciones mantiene a los huesos
sanos, mientras que breves periodos de soporte del peso no tiene mayores efectos.
Por último, aún con la evolución de los procesos industriales, las computadoras, los
sistemas de control y con la aparición de modernos métodos matemáticos. Los principios
básicos de las vibraciones mecánicas se ven casi inalterables, mas bien estos avances han
aportado a nuevos campos de investigación y al desarrollo didáctico e industrial, por
ejemplo:
a) Uso de la computadora para simulación. Permite mediante programas de
simulación resolver diferentes problemas del análisis de vibración, por ejemplo:
Working Model, ANSYS, MatLab, LabVIEW, EasyJava Simulation etc.
b) Uso de la computadora para el análisis. Existen diferentes programas que
facilitan el análisis de vibración de maquinaria industrial, en su mayoría vienen
acompañados con los equipos de medición.
c) Equipos de medición. Desde los primeros analizadores de vibración hasta los
más sofisticados la mayoría se basan en los mismos principios, han evolucionado
en tamaño, aditamentos, sopieware entre otros que han facilitado las medidas y
el diagnóstico.

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d) Modernos métodos de análisis. Métodos modernos matemáticos son utilizados en
el análisis e investigación ya que son fácilmente demostrables mediante el uso de
las computadoras; por ejemplo las variables de estado y el elemento finito.
1.3.1 ¿Porque estudiar las vibraciones mecánicas? por el impacto y los efectos.
Estos pueden ser de carácter económico, social, físico y psicológico, entre otros. El
impacto económico es de preocupar a la industria ya que un problema de vibración no
atendido puede repercutir en el daño de maquinaria e incluso, en daños físicos a personas
causando pérdidas económicas por detención del proceso, mantenimiento e indemnización.
El impacto físico y psicológico a personas puede manifestarse de diferentes maneras,
por ejemplo, cuando un obrero es sometido a constantes fuentes de vibración le afecta a
algunas partes del cuerpo ya que son susceptibles a diferentes frecuencias de vibración.
Otro caso se puede observar cuando una fuente de vibración genera ruido a diferentes
frecuencias y niveles sonoros en rangos no deseables, además de ser un causante de
contaminación ambiental y que puede alterar el comportamiento humano, puede causar
daños irreversibles al oído incluyendo sordera.
El impacto social se puede manifestar si diferentes fuentes de vibración pueden
causan problemas a una persona o grupos de personas ya que esto pudiera repercutir en
problemas de relación laboral entre dueños, gerentes o supervisores con empleados o
síndicos de la empresa. Otro ejemplo puede ser si en un proceso de maquinaria es causante
de transmisión de vibración al piso repercutiendo en problemas a unidades habitacionales a
su alrededor, por ejemplo, daños en estructuras y ruido causando inconformidad entre
grupos de vecinos.
Matemática y Ciencia aplicada
Una de las principales aplicaciones de temas vistos en el cálculo diferencial,
ecuaciones diferenciales, series de Fourier, entre otras, tiene que ver con los sistemas
vibratorios, esto convierte a las vibraciones mecánicas en matemáticas aplicadas.
Además, puesto que las bases de las vibraciones mecánicas están dadas en diferentes

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postulados y expresiones matemáticas bien definidas, dichos postulados no se quedan solo
plasmados “en papel” ya que sus alcances van más allá debido a que es una ciencia
involucrada en los procesos industriales.
1.4 LAS VIBRACIONES MECÁNICAS COMO CIENCIA APLICADA
Las vibraciones mecánicas han pasado a ser desde una “ciencia pura” hasta llegar a una
ciencia aplicada pasando por el proceso tecnológico o tecnología, ¿qué quiere decir esto?,
pues bien, primero definamos a la ciencia como un conjunto coordinado de explicaciones
sobre el porque de los fenómenos que observamos o sea, de las causas de esos fenómenos.
Para construir la ciencia se investigan las causas y determina su ordenamiento. La ciencia
es la aplicación del llamado método científico a la investigación de algún sector de la
realidad. La ciencia tiene como objetivo crear conocimiento para entender el universo, la
naturaleza y publicar el conocimiento.
La tecnología es el conjunto de conocimientos, técnicas y procesos para el diseño y
construcción de objetos y útiles que sirven para satisfacer las necesidades de la humanidad.
La tecnología se percibe con los sentidos, es decir, podemos observarla y verla, ambas.
Sin embargo la tecnología y la ciencia, necesitan de un método experimental para
ser confirmadas y que puede ser demostrable por medio de la repetición, sin embargo
podemos decir que existe una tecnología para cada ciencia, es decir, cada rama posee un
sistema de tecnología diferente, que permite un mejor desarrollo para cada una de estos.
En tal sentido, debemos entender el concepto "ciencia pura", como la actividad de
hacer ciencia al margen de su aplicación, es decir, cuando se realiza la investigación
científica con el único propósito de producir conocimiento científico. Luego, la conjugación
de intereses sociales, económicos y políticos encuentra aplicación a los conocimientos
alcanzados, lo cual da lugar a la investigación tecnológica, que a su vez da origen a la
tecnología, que es la "ciencia aplicada". Es decir, cuando la ciencia surte su función
práctica, al servicio de quien la posee y al margen de cualquier consideración ética, se
convierte en tecnología.
¿Es pues las vibraciones mecánicas una ciencia aplicada?, claro que si. Antes que

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nada y para empezar recordemos que grandes los grandes científicos que realizaron y
formularon conceptos que rigen hoy las vibraciones mecánicas se rigieron bajo todo un
proceso científico, es decir, aplicaban la ciencia a todo lo que postulaban. Pero además las
bases o principios básicos del estudio de las vibraciones mecánicas cumplen con el
procedimiento del método científico, por lo tanto es una ciencia.
Pero con la aparición de tecnologías que han permitido no tan solo reforzar algunos
conceptos científicos del área de vibraciones, como por ejemplo, los modos de vibrar
elementos continuos, sino que además estos conocimientos han sido aplicados movidos por
intereses sociales, económicos, entre otros, por ejemplo:
a) Mesas vibratorias basados en el principio de la frecuencia natural.
b) Aisladores de vibración que se basan en el principio de sistemas
de varios grados de libertad.
c) Análisis de fallas en maquinaria basado en el principio del teorema
de Fourier.
d) Calculo de frecuencias naturales de algunos elementos de
máquinas basados en ecuaciones de energías.
e) Edificios que soportan terremotos basados en el principio de
frecuencias naturales y del amortiguamiento.
f) Estudios clínicos basados en el principio de resonancia.
g) Solución a algunos problemas de maquinaria basados en el
principio del impulso ó impacto.
Es por eso que hoy en día esta ciencia se encuentra tan fundamentada de manera
que comprende:
a) Temáticas ordenadas y comprensibles.
b) Modelos matemáticos representativos.
c) Solución a problemas establecidos.
-Temáticas ordenadas y comprensibles
El estudio de las vibraciones mecánicas, al igual que otras ciencias, va encaminado
desde lo básico, simple hasta lo complejo, los temas expuestos pueden clasificarse como

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temas: a) introductorios, b) básico, b) intermedio y c) avanzado.
a) Temas introductorios. Establecen los conceptos y la terminología general del
campo de las vibraciones mecánicas fomentando el interés y la importancia de
esta ciencia. Se dan las bases cinemáticas y dinámicas que facilitan la
comprensión de los modelos y métodos. Se explican los elementos que forman
un sistema vibratorio.
b) Temas básicos. Se estudian los sistemas vibratorios basados en un modelo de un
solo grado de libertad para pequeñas oscilaciones; además se definen métodos
de análisis para modelar sistemas vibratorios con estas características. Los
temas involucrados son: vibración libre amortiguada y no amortiguada, métodos
para el cálculo de frecuencias naturales, vibración forzada con excitación
armónica y por desbalance y la transmisibilidad de vibración.
c) Temas intermedios. Aquí se estudian los sistemas de varios grados de libertad
replanteando algunos de los temas básicos y definiendo métodos adecuados para
este tipo de sistemas. Los temas relacionados con el control de vibraciones y el
análisis de vibración son considerados.
d) Temas avanzados. Estos temas comprenden el estudio de los sistemas no lineales
de uno a varios grados de libertad, métodos modernos de análisis como elemento
finito y variables de estado, análisis modal de elementos estructurales, vibración
en sistemas continuos, etc.
-Modelos matemáticos representativos
Como posteriormente se explicara en detalle, resulta ser que un sistema vibratorio
puede ser representado por un modelo matemático que incluya los parámetros del sistema,
las condiciones iniciales y el tipo de excitación, entre otras cosas, este modelo permite la
formulación de criterios importantes para su análisis y diseño y son representados por
ecuaciones diferenciales que pueden clasificarse como:
a) Modelo lineal y no lineal. Representado por ecuaciones diferenciales lineales o
no lineales respectivamente.
b) Modelo no forzado y forzado. Representado por un ecuación diferencial
homogénea y no homogénea respectivamente.

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c) Modelo con y sin amortiguamiento. Representado por una
ecuación diferencial en donde interviene el término que
representa la perdida de energía ó no, respectivamente.
d) Modelo de 1 grado de libertad o de varios grados de libertad. Representado por
una ecuación diferencial ó un conjunto de ecuaciones diferenciales
respectivamente.
-Solución a problemas establecidos.
El primer paso dentro del análisis e investigación científica es el planteamiento del
problema para posteriormente dar seguimiento a una serie de pasos hasta llegar a la
solución. En el campo de las vibraciones mecánicas existen problemas definidos y
planteados de tal manera que su solución pasa algunas por el proceso del método científico
y otros solo por inducción; por ejemplo:
a) ¿Qué son las vibraciones y que efectos producen?
b) ¿Cómo representar un sistema vibratorio?
c) ¿Cómo modelar matemáticamente los sistemas vibratorios?
d) ¿Cómo determinar la frecuencia natural de un sistema vibratorio?
e) ¿Qué efectos rodean a un sistema vibratorio cuando es forzado a vibrar?
¿Cómo reducir y controlar los efectos de las vibraciones?
Por lo tanto, basándose en estos conceptos podemos definir:
Las vibraciones mecánicas ó también conocida como la mecánica de las vibraciones
es una ciencia aplicada como una rama de la mecánica, o más generalmente de la ciencia,
que estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas
con ella
1.5. DEFINICIÓN DE VIBRACIÓN MECÁNICA
Vibración, vibración mecánica, oscilación, movimiento periódico, etc. son conceptos
utilizados para describir el movimiento de un elemento, sistema o en si de una máquina.

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Una forma simple de definir vibración mecánica es el movimiento de una parte mecánica
hacia atrás y hacia delante a partir de una posición de descanso, otra manera más formal
de definirlo es a partir de la definición de oscilación, por lo tanto:
Oscilación: Es el movimiento de vaivén de un parámetro físico alrededor de una referencia.
Vibración mecánica: Es la oscilación mecánica de un cuerpo y/o sistema.
En la definición de vibración mecánica se habla de cuerpo y/o sistema ya que si un
cuerpo no tiene la capacidad de vibrar se puede unir a otro y formar un sistema vibratorio;
por ejemplo, en un sistema masa-resorte la masa posee características energéticas cinéticas,
y el resorte, características restauradoras.
Es importante aclarar que para que un sistema vibre es necesario que posea por lo
menos un elemento inercial (energía cinética) y un restaurador (energía potencial). Aunque
en algunos casos los elementos restauradores se generalizan como elementos elásticos,
existen sistemas en las que no existe un elemento elástico y sin embargo pueden vibrar, por
ejemplo el penduleo que se manifiesta como elemento restaurador.
Ahora bien, cuando un cuerpo vibra resulta importante definir la causa de la
vibración, es decir, si el cuerpo vibra por su condición natural debido a una perturbación
instantánea y ajeno a toda excitación permanente, o bien si se debe a que existen fuerzas
perturbadoras que hacen vibrar al sistema.
De aquí la importancia de considerar los tipos de perturbaciones que hacen vibrar a
un sistema. Estas perturbaciones conocidas como excitaciones pueden clasificarse como: a)
Instantánea y b) Permanente.
Una perturbación del tipo instantánea es aquella que aparece como una
perturbación y desaparece inmediatamente. Ejemplos de ello: el golpeteo de una placa, el
rasgueo de las cuerdas de una guitarra, el impulso y deformación inicial de un sistema
masa resorte, el impulso generado por el impacto. Una excitación de este tipo además puede
aparecer a manera de impulso o a manera de desplazamiento inicial; por ejemplo, una
persona en un columpio puede iniciar el movimiento si es impulsado desde su posición de

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equilibrio o bien si es desplazado desde su posición de equilibrio
Una excitación del tipo permanente siempre esta presente en el movimiento del
cuerpo. Ejemplos: el caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor
desbalanceado cuyo efecto es vibración por desbalance, el motor de un automóvil, un tramo
de retenedores es una excitación constante para el sistema vibratorio de un automóvil, etc.
La figura 1.2 muestra un panorama práctico de estos los tipos de excitación en
donde un carro pasa primero por un borde y vibra en su forma natural producto de esta
excitación instantánea, posteriormente pasa por un conjunto de bordes que lo obligan a
vibrar siendo una excitación permanente.
Figura 1.2 Excitación instantánea y permanente
1.6. UNIDADES DEL MOVIMIENTO DE LAS VIBRACIONES
Las vibraciones mecánicas pueden ser medidas tomando diferentes patrones y
criterios y que en su mayoría están establecidos, estas medidas tienen que ver con el
movimiento por lo tanto conviene analizar algunos criterios relacionados con el movimiento
de oscilación.
Cuando la variación de una cantidad física se repite con las mismas características
después de cierto intervalo de tiempo se dice que se tiene un movimiento periódico, ejemplos
de este movimiento pudieran ser la variación de voltaje en generadores de CA, la vibración
producida por maquinaria rotativa desbalanceada. Ahora bien, cuando el movimiento de
una partícula puede ser representada por una forma senoidal entonces a este movimiento se
le conoce como movimiento armónico, ejemplo de un movimiento armónico se puede
observar en la figura 1.3 en donde la posición vertical de la partícula p puede ser
representada como una onda senoidal.

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Figura 1.3 Movimiento armónico
Todo movimiento periódico ó armónico cumple con las característica de una función
periódica, es decir que existe una constante T llamada período tal que la posición en un
instante x(t) es la misma en x( t + nT) para n = 1,2,3,4 ..... , por lo tanto se puede definir a el
período como el valor del tiempo en la cuál se efectua un ciclo completo. El inverso del
período se le conoce como la frecuencia de oscilación y representa de una manera las veces
que se repite el movimiento en un determinado tiempo
…………(1.1)
En donde el Hertz se define como ciclos/s. Es posible representar la frecuencia en
otras unidades, para ello es necesario recordar que 1 rev = 2π radianes y que 1 minuto = 60
segundos, por lo tanto la frecuencia en rad/s y en rpm están dadas por:
……….(1.2)
En una señal armónica el valor máximo se le conoce como amplitud y si se mide
desde la referencia se le llama amplitud de pico pero si se mide desde extremo a extremo
entonces se le conoce como amplitud de pico a pico como se muestra en la figura 1.3.
Dentro del ambiente laboral, estos parámetros son utilizados para la medida del
movimiento de la vibración de una maquina y que son:
a) El desplazamiento de la vibración.
b) La velocidad de la vibración.
c) La aceleración de la vibración.
d) La fase.

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El desplazamiento de la vibración generalmente se mide de pico – pico y usualmente
se usan las unidades de milésimas de pulgada (mils) que es 0.001 in. ó micrómetro que es
0.001 m.
La velocidad de vibración generalmente se mide de pico y usualmente se usan las
unidades de pulgada por segundo (in/s) ó milímetros por segundo (mm/s).
Mientras que en a aceleración de vibración generalmente se mide de pico y
usualmente se usa como unidad el gs, donde g es la aceleración de la gravedad 980.665
cm/s
2
.
La fase se refiere a la medida relativa entre dos puntos de medición, generalmente se
usa el ángulo de separación entre las señales que representan el movimiento de estos
puntos.
Estos parámetros se pueden visualizar fácilmente en la figura 1.4 se puede observar
como los parámetros de desplazamiento y velocidad en fase a 90
o
mientras que entre la
velocidad y la aceleración están en fase también a 90º con la velocidad y a 180
0
con el
desplazamiento. Lo anterior se debe a que si el desplazamiento del movimiento es expresado
como y(θ) = Ysen(θ), entonces la velocidad que es la derivada del desplazamiento quedará
expresada como v(θ) = Vcos(θ) y la aceleración que es la derivada de la velocidad como a(θ)
= Asen(θ).
Figura 1.4. Las Unidades de medición de las vibraciones
Puesto que se puede medir la amplitud de vibración en términos de desplazamiento,
velocidad ó aceleración ahora la pregunta es: ¿Qué unidad de amplitud utilizar?, hay varios
elementos a considerar para seleccionar cuál parámetro a utilizar, por ejemplo, el tipo de
problema causante de la vibración, tipo de diagnóstico, el equipo utilizado, etc., pero la
experiencia dice que para bajas frecuencias hasta 10 Hz (600 rpm) la medida de
desplazamiento es recomendable, mientras que para frecuencias de 10 a 1000 Hz (600 –
60000 rpm) cualquier unidad de amplitud puede ser utilizada aunque se recomienda el

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análisis de velocidad, por último para frecuencias arriba de 1000 Hz la medida de la
amplitud de aceleración es recomendable.
1.7. CLASIFICACIÓN DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS
Las vibraciones mecánicas pueden clasificarse desde diferentes puntos de vistas
dependiendo de: a) la excitación, b) la disipación de energía, c) la linealidad de los
elementos y d) de las características de la señal.
a)
Una Vibración libre es cuando un sistema vibra debido a una excitación del tipo
instantánea, mientras que la vibración forzada se debe a una excitación del tipo
permanente. Esta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libremente
si solo existen condiciones iniciales del movimiento, ya sea que suministremos la energía
por medio de un impulso ( energía cinética) o debido a que posee energía potencial, por
ejemplo deformación inicial de un resorte.
b)
El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas vibratorios y se
manifiesta con la disminución del desplazamiento de vibración. Este hecho puede aparecer
como parte del comportamiento interno de un material por ejemplo la fricción, o bien, o
como un elemento físico llamado precisamente amortiguador.
Por lo tanto, la vibración amortiguada es aquella en la que la frecuencia de oscilación de
un sistema se ve afectada por la disipación de la energía, pero cuando la disipación de

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energía no afecta considerablemente a la frecuencia de oscilación entonces la vibración es
del tipo no amortiguada.
c)
Si el comportamiento de cada uno de los parámetros de los componentes básicos de un
sistema es del tipo lineal la vibración resultante es lineal, en caso contrarío será del tipo no
lineal. En la realidad todo elemento se comporta como un elemento no lineal pero si bajo
ciertas condiciones se puede considerar como un elemento lineal, entonces el análisis se
facilita considerablemente. Por ejemplo, un resorte helicoidal en donde según la ley de
Hooke el comportamiento fuerza-deformación es lineal (Figura 1.5) aunque en la realidad
los resortes helicoidales tienen un comportamiento no lineal pero este que puede ser
aproximado a un elemento lineal y facilitar su estudio sin afectar considerablemente el
comportamiento real.
Figura 1.5. Grafica lineal y aproximación lineal.
En algunos casos se puede considerar la linealidad en una región de trabajo y que
generalmente es alrededor del punto de equilibrio, por ejemplo, suponga que el
comportamiento de un parámetro esta dado por la ecuación y = sen (q) (Figura 1.6) resulta
ser que la gráfica es no lineal, pero alrededor del punto de equilibrio se tiene que para

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ángulos pequeños, digamos θ ≤ 15º se puede observar una linealidad tal que y = sen (q) ≈ q.
Otro ejemplo de gran utilidad para temas posteriores y no es precisamente una linealización
sino de aproximación es la ecuación y = 1- cos (q ) en donde alrededor del punto de
equilibrio se tiene y = 1 - cos(q) ≈ θ
2
/2 . Lo anterior puede comprobarse si se analizan
estas funciones en su forma expansiva de la serie de Taylor.
Figura 1.6. Región de trabajo en y=sen (Θ ) , y=1-cos(Θ )
d)
Cuando el comportamiento vibratorio de un sistema puede ser representado por medio de
una ecuación matemática entonces se dice que la vibración es determinística, pero si la
señal de vibración se caracteriza por ciclos irregulares de movimiento entonces no es
predecible y la vibración es del tipo probabilística o al azar. En la Figura 1.7 se puede
observar un ejemplo de estas señales, aunque en apariencia en algunas ocasiones las
señales del tipo deterministicas suelen confundirse con otras llamadas complejas, las
vibraciones probabilísticas se caracterizan por no ser señales periódicas.

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Figura 1.7. Vibración a) determinística b) probabilística
Por otro lado, si las características de la señal se repiten de igual característica después de
cierto intervalo de tiempo entonces la vibración será del tipo periódica, si la señal de
vibración de un sistema se asemeja a una señal del tipo senoide, entonces se dice que la
vibración es senoidal. Una señal compleja a simple vista no se puede representar por medio
de una ecuación matemática, pero si esta es del tipo periódica puede ser descompuesta en
señales del tipo senoides y/o cosenoides, según el teorema de Fourier. La figura 1.8 muestra
un ejemplo de como una señal compleja llamada total puede ser descompuesta en suma de
señales senoidales y/o cosenoidales llamados componentes armónicos; en este caso, la señal
total es la ecuación:
y(x) = sen(x) + sen(3x) + sen(5x),
Donde:
sen(x), sen(3x) y sen(5x) son los armónicos.
Si las señales pueden ser representadas por medio de una ecuación matemática y si cumple
con algunos requisitos, entre ellos ser periódica, entonces los armónicos pueden obtenerse
mediante un procedimiento matemático conocido como serie de Fourier; para el caso en
que su representación matemática sea problemático, existe otro método en el cuál se pueden
calcular los términos armónicos mediante un procedimiento de muestreo de la señal y es
conocido como Transformada rápida de Fourier (FPIE de sus siglas en ingles Fast Fourier
Transform).

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Figura 1.8. Señal compleja y sus armónicos
El concepto involucrado en las series de Fourier es de gran importancia en el campo y el
estudio de las vibraciones mecánicas ya que aunque el movimiento armónico es simple de
analizar, pues resulta que muchos de los sistemas vibratorios no son armónicos aunque si
periódicos 1, para ilustrarlo considere la máquina de Figura 1.9 compuesta por un motor,
chumaceras, coples y flechas. Estos elementos pueden ser fuentes de vibración por ejemplo,
motor con rotor desbalanceado, daño en las chumaceras, bandas mal tensionadas, etc.;
estas fuentes de vibración aunque pudieran ser armónicas, sumadas forman una señal
compleja.
El principio del análisis de vibración consiste en hacer uso de un instrumento de medición
llamado precisamente analizador de vibraciones con el fín de registrar y estudiar esta señal
(señal total) y por medio de un procedimiento de filtrado que el mismo analizador dispone
filtrar esta señal en sus componentes armónicos, posteriormente mediante el estudio del
comportamiento tanto de la señal total así como de los componentes armónicos poder
predecir la falla. Este tipo de análisis se le conoce como análisis de la amplitud en función
del tiempo, pero existe otro análisis en función de la frecuencia, ambos serán detallados en
forma posterior.

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Figura 1.9. Aplicación de las series de Fourier en el análisis de vibración
1.8. OTROS CONCEPTOS
A manera introductoria a capítulos posteriores, a continuación se mencionan
algunos conceptos de interés en el campo de las vibraciones mecánicas y que más adelante
se detallaran con precisión tanto teórica como analíticamente.
(No confunda movimiento periódico con armónico ya que un movimiento puede ser periódico
pero no necesariamente armónico )
Frecuencia natural. Es la frecuencia propia de un cuerpo o sistema al poseer inercia y
elementos restauradores. Es la frecuencia resultante de la vibración libre por lo tanto no
depende de la excitación sólo de las características físicas del sistema.
Resonancia.Fenómeno que ocurre cuando la frecuencia con la que se excita un sistema
vibratorio es igual a su frecuencia natural.
Aunque el fenómeno de resonancia será discutido más adelante, a manera
introductoria se puede decir que es un fenómeno relacionado con las altas amplitudes de
vibración y que depende entre otras cosas, de la frecuencia con la que se excita un sistema
aún cuando los demás parámetros permanecieran constantes como lo es la fuerza de
excitación, la masa y la elasticidad.
Para comprender este fenómeno considere el caso de una guitarra acústica, si está
se encuentra afinada, entonces al colocar el dedo en el quinto trasto de la sexta cuerda y al
hacerla vibrar, sucederá que la quinta cuerda vibrará sola precisamente por el fenómeno de

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resonancia. Esto se debe a que el tono de la sexta cuerda en el quinto trasto es de LA, la
cual es la nota de la quinta cuerda libre (Figura 1.10).
Figura 1. 10 Caso de resonancia en una guitarra acústica
Generalmente cuando se trata de dar un ejemplo de este fenómeno se cita el caso
ocurrido en el puente de Tacoma Narrow en 1940 (Figura 1.11), aunque ha sido un tema de
discusión entre los investigadores, se cree que este puente se derrumbo por el fenómeno de
resonancia producto de la vibración torsional de la estructura del puente debido a una
probable excitación de unos remolinos.
Figura 1.11 Tacoma Narrow (1940)
Se podrían mencionar más ejemplos relacionados con este fenómeno pero esto será
visto con mayor detalle en capítulos posteriores en donde además se discutirá lo que ocurre
durante este fenómeno así como sus efectos.
1.9. MODELADO MATEMÁTICO
La solución de muchos problemas en el área de vibraciones mecánicas y en ingeniería en
general requieren de un proceso que consiste en representar el modelo del sistema en una
expresión matemática para su análisis. El procedimiento de representar matemáticamente
el comportamiento de un sistema se le conoce como modelado matemático.

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El modelaje será la representación con cualquier otro medio de dicha representación
matemática, pudiendo ser una computadora o modelos a escala. Para elaborar este
modelado se requiere de una serie de pasos y métodos que a continuación se describen.
Identificación del problema. En este paso se identifica el tipo de sistema, los elementos que
lo forman, así como el proceso.
Documentación. Aquí se plantean tres pasos importantes:
a) Las leyes que rigen el comportamiento del sistema.
b) Los datos necesarios.
c) La obtención de dichos datos.
Consideraciones. En este paso se realizan una serie de consideraciones para simplificar la
solución del problema, estas deben de ser las adecuadas para el análisis sin afectar el
verdadero comportamiento del sistema, por ejemplo: la linealidad, la fricción, las inercias,
etc.
Representación gráfica. Aquí se realiza una figura del sistema tomando en cuenta las
consideraciones anteriores. En esta figura se colocan los elementos necesarios para el
análisis descartando aquellos que no intervengan; además, es importante representar los
elementos en la forma más simple indicando las conexiones de los elementos.
Por ejemplo, considere la estructura mostrada en la figura 1.12 y que corresponde al
Space Needle, estructura ubicada en Sattle Washington, si lo que se desea es analizar el
comportamiento oscilatorio de la parte superior entonces puede modelarce como un
elemento flexible y una masa en su parte superior como se muestra en la Figura 112
Figura 1.12 (a) Estructura del Space Needle (b) Modelado gráfico

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Otro ejemplo es la suspensión mostrada en la Figura 1.13, esta puede ser modelada
gráficamente por un resorte k y un amortiguador c.
Figura 1.13 (a) Estructura de una suspensión, (b) Modelado gráfico
Desarrollo del modelo. Ahora se hace uso de las leyes físicas y del desarrollo matemático
para encontrar la ecuación diferencial que rige el comportamiento del sistema.
Solución matemática. La solución de la ecuación diferencial es el paso siguiente ya que
proporciona el comportamiento de ciertos parámetros del sistema en función del tiempo.
Algunas veces este paso se realiza mediante programas computacionales o bien, se busca
soluciones análogas, es decir, se busca relacionar la ecuación con otras ya resueltas y así
hacer la analogía.
1.10 GRADOS DE LIBERTAD, ECUACIÓN DE KUTZBACH MODIFICADA
Una de los términos de gran importancia en el modelado matemático de los sistemas
dinámicos se le conoce como grados de libertad, estos influyen en el tipo de análisis,
metodología y solución a utilizar. Los Grados de libertad (GDL) es el número de parámetros
independientes y necesarios para determinar el movimiento entero o la posición entera de
un sistema. Por ejemplo, la posición de una partícula en un eje es de un grado de libertad,
en dos ejes de dos y en el espacio es de tres grados de libertad, las extremidades del robot
hexápodo de la Figura 1.14 es de dos grados de libertad ya que consta de dos servomotores
para el movimiento de cada extremidad.

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Figura 1.14 Extremidades de un hexápodo con 2 GDL
Pero resulta conveniente buscar una metodología que facilite y permita determinar
los grados de libertad de un sistema dinámico; a continuación se presenta un procedimiento
basado y modificado de la ecuación de Kutzbach [2].
Principio 1. Una partícula en un plano es de dos grados de libertad. La demostración
es sencilla, la posición de una partícula queda determinada por las coordenadas x,y o bien
por el radio r y el ángulo teta, o bien
P = Pxi + Pyj
Principio 2. Un sólido rígido en un plano es de tres grados de libertad. La demostración es
simple ya que para determinar la posición de sus partículas es necesario un origen y la
inclinación del mismo ya que el radio es constante por ser sólido rígido.
b = Pa + Pb/a
b = (Paxi + Payj) + rb/a(cos(α)i + sen(α)j)

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Principio 3. Un elemento con flexibilidad líneal es de cuatro grados de libertad. Esto se
puede demostrar considerando el caso anterior pero en donde el radio L ahora es variable.
b = Pa + Pb/a
b = (Paxi + Payj) + (Pb/axi + Pb/ayj)
Principio 4. Una únion tipo articulación ó deslizamiento disminuye en dos los grados de
libertad. Lo anterior es simple de comprender ya que una unión de este tipo limita el
movimiento en ambos ejes.
Principio 5. Una únion tipo patín ó guía disminuye en uno los grados de libertad. Esto se
debe a que este tipo de union limita solo en un eje el movimiento
Principio 6. Un elemento fijo no aporta ningún grado de libertad. Por lo que no se
considerará en el cálculo

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Es importante aclarar que un elemento en deslizamiento puede considerarce como
un elemento rígido y la unión tipo deslizamiento, es decir 3 GDL – 2 GDL = 1 GDL o bien
uno solo elemento tipo guía de 1 GDL.
En base a lo anterior una ecuación que permita determinar los grados de libertad de
los sistemas dinámicos será:
GDL = 4L + 3M – 2P – Q
Esta ecuación se le conoce como la ecuación de Kutzbach modificada en donde:
GDL se refiere a los grados de libertad, L el número de elementos con flexibilidad lineal,
como lo es el resorte , el amortiguador, el pistón, etc., M es el número de elementos rígidos,
P es el número de uniones tipo articulación, y Q es el número de uniones tipo patín
incluyendo las semijuntas por contacto de rodadura con deslizamiento.
Ejemplo 1.1
Determine los grados de libertad del cada uno de los sistemas de la figura 1.15.
Se puede decir que el sistema (a) es de tres grados de libertad ya que permite un
movimiento vertical y angular del resorte, además, del movimiento angular de la masa
alrededor de la articulación, el sistema (b) es semejante al (a) solo que se limita el
movimiento al eje vertical siendo ahora de solo un grado de libertad; en ocasiones el
sistema (a) es considerado como de un grado de libertad ya que se supone que el resorte
esta conectado en el eje de simetría de la masa permitiendo el mismo movimiento vertical
de todas las partículas de la masa, en este caso la masa se considera como una masa
puntual y se modela como sistema (c); por último el sistema
(d) es de dos grados de libertad.

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Figura 1.15 Ejemplos de grados de libertad (GDL)
Usando la ecuación de Kutzbach modificada se tiene que:
Sistema (a) GDL = 4(1) + 3(1) – 2(2) = 3 GDL
Sistema (b) GDL = 4(1) + 3(1) – 2(3) = 1 GDL
Sistema (c) GDL = 4(1) + 3(0) – 2(1) – 1 = 1 GDL
Sistema (d) GDL = 4(2) + 3(2) – 2(6) = 2 GDL
Note que para el caso (b) existen dos formas de solucionarlo, la primera
considerando a la masa como un elemento y el deslizamiento como una unión tipo
articulación ya que limita el movimiento en 1, otra forma es considerar al conjunto de
masa y deslizamiento como una unión tipo patín en donde la articulación entre el resorte
y la masa no se considera ya que es una unión.
Ejemplo 1.2
Determine los grados de libertad del cada uno de los sistemas de la Figura 1.16.

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Figura 1.16 Ejemplos de grados de libertad
Para el caso (a) se tienen 2 elementos elásticos (L=2) 3 rígidos (M=3) y 8 juntas
(P=8) , por lo tanto GDL = 4L + 3M – 2P – Q= 4(2) + 3(3) – 2(8) = 1 GDL.
Para el caso (b) se puede analizar considerando a la corredera como elemento
rígido, es decir,GDL = 4L + 3M – 2P – Q = 4(0) + 3(3) – 2(4) = 1 GDL. o bien como un
elemento de unión tipo patín GDL = 4(0) + 3(2) – 2(2)
– 1 = 1 GDL.
Por último para el caso (c) se tienen 1 elemento elástico (L=1), 2 rígidos (M=2) y cuatro
articulaciones (P=4), por lo tanto GDL = 4L + 3M – 2P – Q= 4(1) + 3(2) – 2(4) = 2 GDL.

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CAPÍTULO 2
ELEMENTOS DE SISTEMAS VIBRATORIOS
Los elementos que forman una maquinaria en toda su complejidad, desde el punto de vista
vibratorio se pueden representar como un modelo que involucre los elementos inerciales,
los restauradores y los amortiguadores conectados formando un modelo de uno o varios
grados de libertad. En este capítulo se hace un análisis detallado de estos tres elementos que
consiste en ver cuál es la función que desempeñan en el sistema vibratorio, los arreglos en
dicho sistema, equivalencias así como las leyes físicas que rigen su comportamiento.
2.1 ELEMENTOS ELÁSTICOS
Todos los materiales poseen características elásticas en mayor o menor grado. Cualquier
material al que se le aplique una fuerza sufrirá una deformación proporcional a la fuerza.
Pueden considerarse como elementos elásticos los resortes de cualquier tipo, los elementos
estructurales como vigas y placas, así como algunos hules, cauchos polímeros, etc. Además
del resultado de acomodarlos en arreglos del tipo serie y/o paralelo.
A continuación se detalla la forma en que se presenta la elasticidad de algunos
elementos elásticos así como la forma de calcular sistemas elásticos equivalentes de
elementos estructurales; además se presentará la forma de representar arreglos de
elementos elásticos serie y/o paralelo así como su representación equivalente.
2.1.1. Resortes helicoidales y a torsión
Los resortes helicoidales (Figura 2.1) son uno de los más usados en sistemas
vibratorios y puede ser considerado como el modelo representativo de la elasticidad de un
sistema vibratorio. Considere un resorte helicoidal del tipo ideal, es decir, aquel cuya
deformación es lineal por lo menos en una región de trabajo. Se puede establecer la ley de
Hooke de la siguiente manera
Ley de Hooke: Un elemento elástico recibe una deformación directamente
proporcional a la fuerza que soporta.

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Figura 2.1 Resortes helicoidales
Lo anterior se refiere a que si se aplica una Fuerza F1=10 N el resorte experimentará una
deformación x1=1 cm .Una fuerza F2 aplicada al mismo resorte hará que se deforme x2 =
cx1 donde c es una constante. Por ejemplo, si una fuerza F1 = 10 N deforma a un resorte x1
= 1 cm. intuitivamente es de esperar que una fuerza F2 = 20 N deforme al resorte x2 = 2
cm. ya que si F2 = 2F1, entonces x2 = 2x1. (Figura 2.2)
Figura 2.2 Deformación proporcional
Ahora si una fuerza F3 = 50 N se aplica al resorte entonces la deformación
resultante será de 5 cm. Por lo tanto es importante encontrar una relación directa entra la
fuerza y la deformación y que cumpla para todos los valores. Si se analiza las condiciones
anteriores se tiene que:
donde: k es una constante proporcional llamada constante elástica, de aquí la relación
entre la fuerza y la deformación es:

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f k = kx …….(2.1)
Donde:
fk es la fuerza elástica dada en Newton(N) o Libra (lb.),
x es la deformación en metros (m) o pies
k es la constante elástica en N/m o lb/pie, según el sistema de unidades.
Es común ver en algunas fichas técnicas la constante elástica en unidades de kg/cm
ya que en algunos casos muestra una mejor visión del comportamiento del resorte, tomando
a este como kg fuerza, lógicamente nos referimos al sistema técnico.
Retomando el ejemplo anterior se concluye que k=1000 N/m. Esta relación se
muestra en la gráfica de la Figura 2.3
Figura 2.3 Relación entre la fuerza aplicada y deformación
Los resortes del tipo helicoidal tienen un comportamiento muy aproximado al tipo
lineal y dicha constante se puede encontrar en función de los parámetros de diseño como se
muestra en la ecuación 2.2.
Figura 2.4 Comportamiento de un resorte helicoidal

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………..(2.2)
Donde:
G es el módulo de corte (Young), D el diámetro medio de la espira, d el diámetro del
alambre y n es el número de vueltas.
Ahora considere un resorte torsional como el que se muestra en la Figura 2.5 En la
ecuación 2.3 muestra como calcular esta constante en función de los parámetros de diseño
Figura 2.5 Resorte torsional
………..(2.3)
Donde:
kτ es la constante elástica torsional en Nm/rad, E es el módulo de elasticidad del material de
la espira, L la longitud total de la espira e I es el momento de inercia de la sección
transversal.
Tomando como analogía las notas dadas en resortes helicoidales se tiene que la
relación que existe entre el momento aplicado y la deformación angular será:
M = kτ
θ ………(2.4)
Donde:
M es el momento aplicado en Nm, kτ es la constante elástica torsional en Nm/rad y θ es el
desplazamiento angular en radianes. Una gráfica del momento contra deformación sería de
las mismas características a la mostrada en la figura

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2.1.2. Elementos estructurales
Los materiales sometidos a diferentes fuerzas y momentos pueden experimentar
deformaciones considerables desde el punto de vista vibratorio, por lo tanto existe una
relación lineal entre la carga aplicada y su deformación. Siempre y cuando se trabaje en la
zona conocida como zona elástica (Figura 2.6)
Figura 2.6 Región de trabajo en materiales
Por lo tanto en esta zona de trabajo es posible encontrar una relación entre esfuerzo
y deformación llamado módulo de elasticidad E, donde E = σ /ε donde σ es el esfuerzo en
Pascales y ε es la deformación unitaria en mm/mm. En nuestro caso nos interesa encontrar
la relación entra carga y deformación, es decir k = P/x, donde P es la carga en N, x es la
deformación en m y k la constante elástica en N/m.
Es posible encontrar la relación entre la carga vs. Deformación real usando las
ecuaciones de esfuerzo vs. deformación unitaria, por lo tanto, la constante elástica
equivalente de un resorte con esas características tendrá la misma deformación. Considere
como ejemplo los dos elementos estructurales mostrados en la Figura 2.7 sometidos a una
fuerza P aplicada en un punto como se muestra
Figura 2.7 Elementos estructurales (a) Barra a tensión y (b) viga en cantilever

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Considerando primero el caso de la barra sometida a tensión como se muestra en la
Figura 2.7 (a), si L es la longitud de la barra y A es el área de la sección transversal y E es
el módulo de elasticidad, entonces la deformación real de la barra delta esta dada por δ=
PL/(EA), por lo tanto la relación entre la carga P y la deformación δ dará l constante
elástica:
Ahora considere la viga en cantilever como se muestra en la figura 2.6 (b)b, para el
caso de las vigas la deformación en un punto dado del claro se le conoce como la ecuación
de deflexión de la curva y(x) y que esta en función de entre otras cosas del punto x en donde
se encuentra ubicada la carga P. Para el caso de una viga en cantilever esta ecuación esta
dada por:
Por lo tanto si la carga se coloca en el extremo de la viga, es decir, para x= L, se tiene que la
relación entra la carga P y la deformación y esta dada por:
Se puede realizar el mismo procedimiento para encontrar la constante elástica de diferentes
elementos estructurales como se muestra en la tabla 2.1

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41
Tabla 2.1 Constantes elásticas de elementos estructurales
2.1.3. Elementos elásticos equivalentes.
Los elementos de maquinaria pueden componerse de varios elementos y conectados
de diferentes formas, de aquí la necesidad de encontrar en muchas ocasiones un elemento
elástico equivalente tal que al aplicarle una fuerza P en un punto dado se produzca la
misma deformación x en dicho punto, es decir ke = P/x.
2.1.3.1 Arreglos serie y paralelo
Elementos elásticos en serie.
Dos o más elementos elásticos están en serie si la fuerza aplicada en un extremo se
transmite en la misma proporción en cada uno de ellos.
Para explicar lo anterior considere dos resortes en serie como se muestra en la
Figura 2.8 en donde el objetivo es encontrar un elemento único equivalente de constante
elástica ke tal que al aplicarle la misma fuerza F se tenga la deformación total xT

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42
Figura 2.8. Resortes en serie
Por definición se tiene que F = F1 = F2 y xT = x1 + x2, por lo tanto, un elemento
elástico equivalente tendrá una constante elástica equivalente tal que Ke = F /xT. como el
desplazamiento total esa dado por xT = x1 + x2 y además x1 = F1/k1 y x2 = F2/k2, se tiene
que:
En términos generales para n elementos elásticos en serie la constante elástica equivalente
esta dada por:
Ec. 2.5
Elementos elásticos en paralelo.
Dos o más elementos elásticos están en paralelo si fuerzas distribuidas en ellos producen la
misma deformación.
Para explicar lo anterior considere dos resortes en paralelo como se muestra en la
Figura 2.9 en donde el objetivo es encontrar un elemento único equivalente de constante
elástica ke tal que al aplicarle la misma fuerza F se tenga la deformación total xT

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43
Figura 2.9 Resortes en paralelo
En este caso se tiene que F = F1 + F2, y que xT = x1 = x2, un elemento elástico equivalente
será de constante elástica equivalente ke tal que Ke = F /xT. como la fuerza total esta dada
por PIE = F1 + F2 y además x1 = F1/k1 y x2 = F2/k2, se tiene que:
En términos generales para n elementos elásticos en paralelo la constante elástica
equivalente esta dada por:
……..(2.6)
En un sistema vibratorio además de resortes se puede disponer de otros elementos
elásticos tales como vigas, muelles, etc. y pueden intervenir de la misma manera, ya sea
como arreglo serie o paralelo, ver figura 2.10
Figura 2.10 Arreglos serie, paralelo y combinado

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44
Ejemplo 2.1
Considere el sistema mostrado en la, Figura 2.11 si se aplica una fuerza F = 500 N,
determine la fuerza y deformación en cada elemento. El elemento k1 es de acero de 20
cm. de claro y de sección transversal circular de 1 cm. de diámetro, el elemento k3 es de
aluminio de 25 cm. de claro y de sección transversal cuadrada de 1 cm. *por lado. El
resorte es de k2=30 kN/m
Figura 2.11. Ejemplo de arreglos
Primero, se calculan las constantes elásticas k1 y k3; de la tabla 2.1 se obtiene que
la constante elástica para una viga en cantilever es k=3EI/L
3
. El módulo de elasticidad
para el acero es 200 GPa y para el aluminio es de 70 GPa. Las secciones circulares tienen
un momento de inercia para la sección circular de I = πr
4
/4 y para la sección rectangular
es de I=bh
3
/12.
Ahora obteniendo el diagrama equivalente se tiene que el elemento k1 y el elemento k2
están en serie ya que se transmite la misma fuerza, estos a su vez están en paralelo con el
elemento k3 como se muestra en al figura 2.12.

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45
Figura 2. 12 Ejemplo: diagramas equivalentes
Por lo tanto la fuerza se transmite en la misma proporción, entre k1 y k2, y el
desplazamiento xe1 = x3 = xT . Calculando las equivalencias
La deformación total será:
Como xe1 = x3 = xT, se tiene que la fuerza en el elemento 3 y el equivalente 1 será F3 =
k3 x3 = 0.20195 KN y Fe1 = ke1xe1 = 0.29805 KN; por otro lado como Fe1 = F1 = F2 se
tiene que el desplazamiento en el elemento 1 y el 2 será x1 = F1/k1 = 8.097 x 10
3
m, x2 =
F2/k2 = 2.66 x 10
3
m.
2.1.3.2 Algunas equivalencias elásticas torsional
Es común ver dentro de los modelos de sistemas vibratorios acoplamientos de
elementos elásticos con otros y que debido a su comportamiento pueden ser expresados por
un elemento elástico torsional equivalente.
Acoplamiento resorte disco
Considere el ejemplo de la Figura 2.13 en donde un resorte se acopla a la periferia
de un y que posee condiciones de enrollarse sobre la periferia. Como el resultado del
movimiento es angular es posible establecer un elemento elástico equivalente torsional que
reemplace al resorte lineal como se muestra en la figura.

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46
Figura 2.13 Acoplamiento resorte-disco(a) y su equivalente(b)
Como la longitud del arco s esta dada por s=r θ, donde r es el radio del disco y θ el
desplazamiento angular y la deformación del resorte es precisamente s, se tiene el momento
del resorte en el pivote será Mp = (kx)r , como x=s= r θ se tiene que el momento Mp = kr
2
θ.
Por lo tanto la constante elástica torsional equivalente kτ= M/θ, será
kτ
= kr
2
-Acoplamiento resorte palanca
Ahora considere un acoplamiento de un resorte a una palanca de masa despreciable
como se muestra en la Figura 2.14. Como el resultado del movimiento es angular es posible
establecer un elemento elástico equivalente torsional que reemplace al resorte lineal como
se muestra en la Figura 2. 14
Figura 2.14 Acoplamiento resorte-palanca(a) y su equivalente (b)
En este caso es necesario hacer unas observaciones y suposiciones. Primero es notable que
la deformación del resorte depende directante de la longitud inicial de este de tal manera
que entre más grande sea esta longitud y mas pequeño el ángulo α, se tiene que el efecto
horizontal de la fuerza elástica Fx = kxsen α≈0 y el efecto vertical de la masa Fx = kxcos
α≈kx como se muestra en la siguiente figura:

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47
Esta suposición no se aplicará para el desplazamiento angular θ ya que es la
variable a considerar para el elemento elástisco torsional equivalente.
El momento en el punto de articulación p esta dado por Mp = (Kx)dcosθ, en donde la
deformación del resorte x puede ser expresada como x =dLsenθse tiene que el momento
elástico esta dado por Mp =kd
2
senθ cosθ; por último, para oscilaciones pequeñas, es decir,
alrededor del punto de equilibrio se tiene que senθ ≈ θ y cosθ≈ 1, por lo tanto la constante
elástica equivalente será
kτ= kd
2
-Acoplamiento péndulo vertical
Cuando un cuerpo rígido se pivotea en un punto diferente a su centro de gravedad
puede vibrar debido al efecto de la energía potencial gravitacional, este efecto es semejante
al del resorte en donde la energía potencial es elástica por lo que se puede establecerse una
analogía entre estos.
Considere el péndulo de la Figura 2.15 pivoteado en un punto p, sea cg su centro de
gravedad y r la distancia entre estos puntos
Figura 2.15 El péndulo como elemento elástico torsional
Si después de la perturbación se analiza el efecto de las fuerzas externas (que es el
peso), el momento en el punto p esta dado por Mp = (mgsenθ)r., puesto que para
oscilaciones pequeñas se tiene que sen θ≈θ, por lo tanto la constante equivalente es aquella

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48
tal que kτ= M/θ.
Es importante verificar que en este caso el efecto del peso mg siempre será
restaurador después de la perturbación.
-Acoplamiento péndulo invertido
Existe otra configuración del péndulo como se muestra en la Figura 2.16, en donde
el centro de gravedad esta en la parte superior del centro de gravedad; esta configuración se
le conoce como péndulo invertido. Puesto que sin el resorte el sitema después de la
perturbación nunca se restaurará, entonces se limita el movimiento por medio de dicho
resorte como se indica en la figura.
Figura 2.16 Péndulo invertido
La ecuación quedaría Mp= ka
2
θ mgrθ. El sentido positivo del momento es a
encontra de las manecillas ya que se supone que el momento del resorte es superior para
restaurar el sistema, es decir ka
2
θ> mgrθ. Ahora la constante elástica torsional equivalente
será kτ= M/θ, es decir
kτ= ka
2
− mgr
- Acoplamiento péndulo horizontal
Ahora considere una configuración del péndulo horizontal como se muestra en la
Figura 2.17. Sin el resorte, el sistema después de la perturbación nunca se restaura,
entonces se limita el movimiento por medio de un resorte como se indica en la figura.
Observe que si el sistema se perturba hacia arriba el efecto del peso será restaurador pero si

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49
se perturba hacia abajo no lo será; ¿Que pasa aquí?
Figura 2.17. Péndulo sobre el eje horizontal
Es importante notar que en la posición P1 se supone que no se conecta el resorte a la
masa, pero después de colocar el resorte entonces existe una deformación inicial pasando a
la posición P2 en θ s. Antes de la perturbación existe un equilibrio estático tal que:
mgr =kxsa. Ahora, después de la perturbación se tiene que:
Pero como los términos mgr y kxsa son constantes entones el primer término de la ecuación
desaparece y además como x = asen θ , se tiene que Mp = ka
2
sin(θ )cos(θ +θ s). Como para
ángulos pequeños sin θ ≈ θ y cos(θ + θs) ≈ 1. Se tiene que Mp = ka
2
θ; por lo tanto la
constante elástica equivalente torsional para este caso será kτ = M/θ
kτ e =− ka
2
Aprovechando los resultados previamente expuestos se puede mencionar que cuando
un sistema está estático y uno de sus elementos elásticos este deformado (deformación
estática), entonces el efecto de la(s) masa(s) causantes de dicha deformación no es
considerado en el análisis dinámico ya que es compensado con el efecto de los elementos
elásticos previamente deformados ya que pasarían como parámetros constantes en la
ecuación dinámica y estos se eliminarían. A esto se le conoce como la condición de
deformación estática.

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50
2.2 ELEMENTOS AMORTIGUADORES
La pérdida de energía en los sistemas siempre esta presente ya sea por las
características propias de un material o la combinación de elementos, o bien por la
existencia de un elemento amortiguador, de aquí que se clasifiquen como:
1. Amortiguamiento coulomb
2. Amortiguamiento de viscoso
3. Amortiguamiento de histéresis
El amortiguamiento de coulomb se presenta mediante el rozamiento seco entre de la
superficie de dos elementos. La fuerza del amortiguador del tipo de coulomb es igual al
producto de la fuerza normal y el coeficiente de fricción independiente de la velocidad una
vez que inicie el movimiento.
El amortiguamiento del tipo histéresis se presenta cuando un material es deformado,
entonces la energía es absorbida y desplazada por el material.
El amortiguamiento del tipo viscoso ocurre cuando un componente del sistema esta
en contacto con otro a través de un medio de fluido viscoso, en donde el amortiguamiento es
el resultado de la fricción viscosa entre el fluido y el componente, en estos casos
generalmente la fuerza es directamente proporcional a la velocidad, por lo tanto para
eliminar esta proporcionalidad se agrega un término proporcional que en este caso
llamaremos coeficiente de amortiguamiento c y cuya unidad es (Ns)/m.
fd = c x …….(2.7)
En donde:
fd es la fuerza del amortiguador en N, c es el coeficiente de amortiguamiento en (N-
s)/m.
La Figura 2. 18 muestra la simbología de un amortiguador y el comportamiento
lineal entre la fuerza aplicada y la velocidad.

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51
Figura 2.18 Relación proporcional y constante de amortiguamiento
Ahora considere el caso de un amortiguamiento angular en donde el momento
aplicado es directamente proporcional a la velocidad angular como se muestra en la Figura
2.19.
Figura 2.19 Amortiguamiento torsional
Por lo tanto, el amortiguamiento angular tendrá un coeficiente de amortiguamiento
torsional cτ , por lo tanto la relación entre el momento y la velocidad angular esta dada por:
•
Md = cτθ ……( 2.8)
2.2.1. Elementos amortiguadores equivalentes.
Se puede hacer uso de los conceptos vistos en el apartado elementos elásticos
equivalentes para definir equivalencias en los amortiguadores. En resumen se puede
establecer los siguientes:
- Elementos amortiguadores en serie.
Dos o más elementos amortiguadores están en serie si la fuerza aplicada en un

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52
extremo se transmite en la misma proporción en cada uno de ellos (Figura 2.20).
Figura 2.20 Amortiguadores en serie
En términos generales, el coeficiente de amortiguamiento equivalente de arreglos en
serie estará dado por
……( 2.9)
-Elementos amortiguadores en paralelo
Dos o más elementos amortiguadores están en paralelo si fuerzas distribuidas en
ellos producen la misma velocidad (Figura 2.21) .
Figura 2.21 Amortiguadores en paralelo
En términos generales para n elementos amortiguadores en paralelo constante elástica
equivalente esta dada por:
…..( 2.10)
-Acoplamiento amortiguador disco
Considere un acoplamiento entre un amortiguador y un disco como se muestra en la
Figura 2.22. Es fácil establecer un amortiguamiento equivalente ya que la velocidad en la
periferia del disco es v= ωr, donde v es la velocidad lineal, ω es la velocidad angular, como
la fuerza del amortiguador será:

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53
Como el momento del amortiguador M=f x r, se tiene que el amortiguamiento torsional
equivalente será cτ= M/θ, es decir
cτ = cr2
Figura 2.22 Acoplamiento amortiguador – disco(a) y su equivalente(b)
2.3 ELEMENTOS INERCIALES
La inercia forma parte de un sistema vibratorio ya sea como elemento o como parte de
las propiedades de alguno de ellos., más sin embargo es común despreciar la masa de los
elementos elásticos ó amortiguadores por lo que solo se enfocará a la masa como un
elemento de un sistema vibratorio. Las unidades de la masa en el sistema métrico es
kilogramo (kg) y en el sistema ingles el slug.
En algunos casos en el modelado matemático las masas pueden representarse
indistintamente de su forma como solo una partícula, sobre todo si el movimiento es lineal
ya que las partículas se desplazan con las mismas características de desplazamiento,
velocidad y aceleración. En otros casos es necesario representarla tal y cual su forma ya
que cada una de las partículas tienen características diferentes, por ejemplo en la Figura
2.23 en el caso (a) el resorte se supone que se coloca en una línea simétrica, es decir, pasa
por el centro de gravedad, por lo tanto todas las partículas se mueven igual y puede ser
representada como una masa puntual; pero en el caso (b) la masa además de moverse
verticalmente tendrá a girar por lo que las partículas se mueven indistintamente y no puede
ser representada como una partícula. Para el caso (c) la masa esta pivoteada en p por lo

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54
tanto las partículas tendrán diferentes características de desplazamiento y no puede ser
representada como una partícula.
Figura 2.23 Representaciones del modelado de la inercia
El caso en que la masa tenga que ser representada tal y cual su geometría es
necesario conocer un parámetro que interviene en el análisis de sistemas vibratorios y se le
conoce como momento de inercia de masa. El momento de inercia de masa J se define
como:
Este depende de la geometría de la pieza así como de la masa; puesto que una masa
se puede pivotear en diferentes puntos, en el apéndice ¿? viene una tabla de momentos de
inercia de masa de algunos cuerpos. En ocasiones resulta necesario para análisis
posteriores encontrar el momento de 0inercia en puntos diferentes al del centro de
gravedad. En la literatura del tema existen tablas en las que se muestran la forma de
calcular el momento de inercia de masa de diferentes cuerpos pero generalmente están
dadas en el centro de gravedad, por lo tanto será útil encontrar una forma de obtener dicha
inercia pero en un punto diferente al centro de gravedad. El teorema de los ejes paralelos
resuelve este problema y establece:
……( 2.11)
Esta ecuación se puede mencionar como sigue: El momento de inercia de masa de
un cuerpo en un punto p (Jp) en un eje determinado es igual al momento de su centro de

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55
gravedad paralelo al mismo (Jcg) eje, más un término de traslado (md
2
), donde m es la
masa y d es la distancia entre estos dos ejes. Al final del capítulo se presenta una tabla de
los momentos de inercia de algunos cuerpos.
La inercia puede manifestarse como movimiento inercia lineal y/o inercia angular.
Para el caso en que se disponga de un movimiento lineal, la fuerza inercial esta dada por:
Donde:
fm es la fuerza inercial en N,
m la masa en kg y
x es la aceleración.
Para un movimiento angular se tiene:
Donde:
Mp es el momento inercial en el pivote, Jp es el momento de inercia en el pivote y θ es la
aceleración angular.
2.3.1. Inercia equivalente
Al igual que los elementos elásticos es posible encontrar una representación de la
masa de algunos elementos como una masa equivalente. Para ello es necesario siempre
definir: equivalente a que?, en estos casos generalmente se establece una coordenada de
posición en la cual se hace referencia al movimiento y luego se analiza el efecto de todas las
masas en ese punto. Cuando se establece una coordenada de movimiento lineal es común
hablar solo de “masa equivalente”, no así en movimiento angular donde se habla de
inercia. Este procedimiento se explicará más adelante en el capítulo 2 en el apartado de
métodos energéticos: sistemas equivalentes.
Es posible encontrar una inercia equivalente para 2 más masas si se presenta una
configuración como el que se muestra en la Figura 2.24, en donde la aceleración es la

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56
misma pero las fuerzas inerciales son diferentes en cada elemento.
Figura 2.24 Inercia paralelo
Para la masa m1 se tiene que F- F12=m1a, mientras que para la masa m2 se tiene que
la fuerza F21 = m2a. Agrupando estas dos ecuaciones se tiene que F = m1a + m2a, por lo
tanto la masa equivalente será me= F /a
me = m1 + m 2 +…..+ mn
-Acoplamiento masa-disco y masa-palanca
Al igual que en los elementos elásticos y amortiguadores es posible encontrar una
inercia equivalente para algunos tipos de acoplamientos como se muestra en la Figura 2.25.
El objetivo es representar estos elementos como una inercia equivalente en el pivote.
Figura 2.25 Acoplamiento masa-disco y masa-palanca
Considere primero el caso del acoplamiento masa-disco, sea p el pivote del disco el
momento inercial en dicho pivote será como , se tiene que la inercia
equivalente es
Ahora considere el caso de la palanca, recordando las suposiciones vistas en el caso
del elemento elástico-palanca, se considera que el efecto horizontal de la masa es
despreciable y el efecto vertical es aproximado a:

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57
,
Por lo tanto la masa equivalente será idéntica al de la ecuación 2.11.
Es importante evitar la confusión entre el efecto de la inercia y el efecto del peso.
Según la condición de deformación estática dice que la masa de un cuerpo no se
considerará en el análisis dinámico si este inicialmente deforma a un elemento elástico
puede confundir al no considerar la inercia del sistema.
Por ejemplo, considere el sistema mostrado en la Figura 2.26. Si se desprecia la
masa de la varilla que sirve como palanca, se puede observar que inicialmente la masa m
deformará al resorte, por lo tanto el sistema pasaría a su posición de equilibrio estático,
aquí el momento externo de dicha masa M = mgr no se considerará en análisis dinámicos,
pero la inercia equivalente Je = mr
2
si se considerará ya que no depende de la condición de
deformación estática.
Figura 2.26 Efecto de orientación del peso y la inercia
2.4. EJERCICIOS
E 2.1 Discuta en grupo el siguiente cuestionamiento. Si los resortes en realidad no son
lineales, ¿ Por que confiar en las balanzas de medición que usamos en los
supermercados?.
E 2.2 Respecto al centro de masa, pida a las personas que se sientes completamente
ergidas sobre una silla y solicite que se levanten sin agarrarse de nada ni enderezar
la cabeza. ¿Lo lograron?, ¿qué fenómeno ocurre?.
E 2.3 Realizar una investigación técnica acerca de los resortes y que incluya tablas.

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E 2.4 Realizar una investigación técnica acerca de los amortiguadores y que incluya
tablas.
E 2.5 Realizar una investigación acerca de los amortiguadores magnetoreológicos.
E 2.9 Si un resorte se parte justo a la mitad, ¿cuál deberá ser la constante elástica de
cada uno de los resortes?
E 2.10 Si se parte un resorte a la mitad y cada uno de ellos se unen e serie, ¿cambiará la
constante elástica?

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CAPÍTULO 3
VIBRACIÓN LIBRE DE SISTEMAS DE UN GRADO DE
LIBERTAD ALREDEDOR DEL PUNTO DE EQUILIBRIO
Todo elemento ó sistema que posea características inerciales y elásticas es capaz de vibrar
ya sea por el resultado de una excitación instantánea (vibración libre) ó permanente
(vibración forzada). Esta consideración es de gran importancia en el estudio de las
vibraciones en maquinaria ya que uno de los criterios a seguir en el análisis de vibración es
determinar si dicha vibración es producto de una excitación forzada o por un fenómeno
natural conocido como resonancia, en tal caso es importante determinar las características
naturales de la vibración y que es conocida precisamente como la frecuencia natural.
Existen diferentes métodos y formas para determinar la frecuencia natural de
elementos o sistemas vibratorios, algunos de ellos son analíticos otros experimentales y en
algunos caos por la combinación de ambos. En este capítulo se presentan algunos métodos
analíticos que permita bajo ciertas condiciones representar un sistema vibratorio en un
modelo simple que facilite su análisis y permita un estudio detallado, entre ellos el cálculo
de la frecuencia natural.
Este modelo consiste en un sistema masa – resorte ó un sistema masa resorte-
amortiguador, de un grado de libertad y en la que no se ve afectado por fuerzas externas
salvo la excitación; además se considerará que el sistema presenta oscilaciones alrededor
del punto de equilibrio con el fin de facilitar el análisis, esto al considerarlo como un
sistema lineal. Este modelo aunque sencillo es basto y suficiente para comprender muchos
de los fenómenos relacionados con las vibraciones mecánicas en maquinaria industrial.
Objetivo general. Establecer las ecuaciones matemáticas (modelo matemático) que
describen el comportamiento de un sistema vibratorio libre de un grado de libertad
amortiguado y no amortiguado.

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3.1. VIBRACIÓN LIBRE O AMORTIGUADA
Aunque la perdida de energía en sistemas vibratorios siempre esta presente, existe
ocasiones en las que la frecuencia de la vibración libre conocida como frecuencia natural
se ve casi inalterada al despreciar el amortiguamiento, entonces se puede eliminar este
efecto y considerarlo como un sistema sin amortiguamiento. El resultado es un modelo
simple de analizar y que además proporciona una serie de conclusiones importantes.
El cálculo de la frecuencia natural es de gran importancia ya que nos permite
conocer la frecuencia a la cuál un sistema no debe ser excitado porque aparecería el efecto
de la resonancia manifestándose como grandes amplitudes de vibración.
Por otro lado, puesto que un sistema vibratorio tiene tantas frecuencias naturales
como sea el número de grados de libertad, en este caso nos enfocaremos solo al caso de un
sistema de un solo grado de libertad y calcular entre otras cosas la frecuencia natural o de
resonancia.
3.1.1. Determinación de la ecuación diferencial
Considere el modelo mas simple de un sistema no forzado y sin amortiguamiento con
movimiento lineal que consta de una masa de masa m en Kg o slug y un resorte de rigidez k
en N/m ó lb/pie en cualquiera de las representaciones como se muestra en la Figura 3.1.
Figura 3.1 Modelo m-k libre
Aunque los modelos representativos de la Figura 3.1 se componen de los mismos
elementos existen unas diferencias debido a su condición inicial y que conviene analizarlas,
para el caso (b) el resorte inicialmente está inicialmente deformado debido a el peso, a esto

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61
se le conoce como deformación estática, esto no ocurre para el caso (a), sin embargo el caso
(c) en cierta manera es una combinación de ambos. Sin embargo, puesto que el objetivo
principal es encontrar una expresión para determinar la frecuencia natural no
amortiguada
*
, se demostrará más adelante que ésta solo dependerá de los parámetros de la
masa m y de la rigidez k y no de la forma en que se coloquen.
* Note que se habla de frecuencia natural no amortiguada, es decir
cuando no interviene la fricción.
Considere primero el caso más simple de la Figura 3.1 Modelo m-k libre el caso (a)
en donde si el sistema se perturba como se muestra en la Figura 3.2 (a), entonces después
de esta perturbación el sistema oscilara sin detenerse ya que no existe amortiguamiento.
Figura 3.2 Análisis dinámico de un sistema libre no amortiguado, caso 1
Justo después de la perturbación, un análisis dinámico se muestra en la Figura
3.2(c) en donde kx denota la fuerza elástica y denota la fuerza inercia4l que esta a 180º
(ver Figura 1.4). Por lo tanto:

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62
Esta última representa la ecuación diferencial del movimiento libre amortiguado
para esta consideración.
Ahora considere el caso de la Figura 3.1 Modelo m-k libre (b), para esta situación
existen dos posibilidades de análisis, una considerando el momento justo en que se coloca la
masa, y otra después de que intencionalmente se puso en equilibrio el resorte, es decir, en
que existe deformación estática.
Considerando primeramente el momento justo en que se coloca la masa como se
muestra en la Figura 3.3 y para facilitar el análisis considere el resorte inicialmente no
deformado y que se coloca una masa con velocidad inicial cero, en ese instante se suelta la
masa y el sistema comienza a vibrar sin detenerse.
Justo después de soltar la masa se tiene:
Esta última ecuación denota la ecuación diferencial del movimiento para esta
configuración.
Ahora considere el caso en que intencionalmente se pone en equilibrio estático el
resorte y la masa como se muestra en la Figura 3.4 (b), posteriormente una perturbación
instantánea mueve el sistema una distancia x y en ese instante se suelta el sistema.

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63
Un análisis dinámico después de la perturbación y sabiendo que en del equilibrio
estático mg = kxs se tiene:
Por último considere el caso de la Figura 3.1 (c), es fácil suponer que bajo los
conceptos vistos con anterioridad y girando las coordenadas en el plano inclinado la
ecuación diferencial es idéntica al de la Figura 3.2 por lo tanto queda resuelto también este
caso.
3.1.2. Modelo representativo y cálculo de la frecuencia natural
Las ecuaciones diferenciales vistas en los apartados anteriores se pueden expresar de dos
maneras, la primera de la forma:
…….( 3.1)
Cuya solución para condiciones iniciales igual a cero es:
……( 3.2)
Donde:
A = mg / k

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ω n
=
Y la otra ecuación diferencial es:
……(3.3)
y que tiene una solución de la forma:
….. (3.4)
Donde:
A = x (0) que es la deformación inicial* y el término
, donde es la velocidad inicial.
* Debe tener cuidado de no confundir la deformación inicial con la deformación estática.
Puesto que el interés es buscar una expresión para determinar la frecuencia natural
de un sistema libre no amortiguado, se tomará la ecuación 3.2 como el modelo
representativo, para ello el caso en el que el peso interviene (Figura 3.1 (b)), se considerará
que el análisis en el que esta inicialmente deformado el resorte (Figura 3.4); para ello se
define lo siguiente:
Condición de deformación estática. Si en el equilibrio estático existe un elemento elástico
deformado (deformación estática) entonces en el análisis dinámico la(s) masa(s) que
produjeron dicha deformación no serán considerados ya que se compensan con el efecto del
elemento elástico en la deformación inicial.
Lo anterior quiere decir que si inicialmente una masa deforma a un elemento
elástico, entonces no será considerada en la ecuación diferencial.
La ecuación 3.2 además se puede escribir como:
……..(3.5)
Donde:

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X =A2
+ B
2
y φ=tan
-1
(B/A) (ver Apéndice A.1.1)
Al analizar el término que esta dentro del valor angular coseno se tiene que si ωn
esta en rad/s entonces la ωn es la frecuencia de la vibración libre, es decir, la frecuencia
natural:
……(3.6)
Por otro lado, haciendo uso de los criterios anteriores se puede expresar un modelo
representativo de un sistema con movimiento angular como el que se muestra en la Figura
35, donde kτes la constante elástica torsional en Nm/rad y p es el pivote de la masa cuyo
centro de gravedad esta en c.g.
Figura 3.5 Modelo m-k libre angular
En este caso se observa que en la condición estática, el resorte se deformaría a
manera que el momento generado por el peso es igual el de la deformación estática. Usando
la segunda ley de Newton para el movimiento angular se tiene que:
Donde:
Jp es el momento de inercia de la masa con respecto al pivote, de manera que usando el
teorema de los ejes paralelos

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Jp = Jcg + md
2
……. (3.7)
y la frecuencia natural en rad/s estaría dada por:
……(3.5)
Ejemplo 3.1
El sistema mostrado en la figura consta de dos resortes de igual constante elástica
de 50 N/m, la masa de 8 kg reposa sobre una superficie lisa sin fricción, determine la
frecuencia de la vibración libre.
Solución:
Para solucionar el problema primero se giran las coordenadas, puesto que se tiene
que los dos resortes están en paralelo lo primero es obtener una equivalente entre ellos,
es decir, Ke = k + k, posteriormente usando la formula de la frecuencia natural
para k=50 N/m y m=8 kg. Se tiene que ωn = 3.53 rad/s, para esta frecuencia se tiene que
período natural es Tn = 2π / ωn = 1.77 s.
Una simulación con el programa Working Model confirma los resultados

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