Bt toan cao cap tap 1 nguyen thuy thanh

˜
ˆ ’
NGUYEN THUY THANH

` ˆ
BAI TAP
.
´ ´
ˆ
TOAN CAO CAP
Tˆp 1
a
.
´ ´
Dai sˆ tuyˆn t´
. o e ınh
’ ıch
v` H` hoc giai t´
a ınh .

` ´
ˆ ’ ´
ˆ ` ˆ
NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI
. . .

H` Nˆi – 2006
a o.

Muc luc
. .

L`.i ní dû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o ` a 4

1 Sˆ ph´.c
´ u
o 6
1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . .
-. ´
ıa o u . . . . . . . . 6
1.2 Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . .
. ´
. o ’ o u ´ . . . . . . . . 8
’ ˜ ınh .
1.3 Biû diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen
e e o a . . . . . . . . 13
1.4 Biû diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gić
e ’ ˜ o u
e ´ o . . a . . . . . . . . 23

2 Da th´.c v` h`m h˜.u ty
- u a a u ’ 44
-
2.1 Da thú.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.1 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ ph´.c C
- u e o ´
o u . . . . . . . . . 45
2.1.2 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ thu.c R
- u e o ´
o . . . . . . . . . . 46
u.c h˜.u ty . . . . . . . . . . . .
2.2 Phˆn th´ u ’
a . . . . . . . . . 55

3 Ma trˆn. Dinh th´.c
a
. -. u 66
3.1 Ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . .
a
. . . . . . . . . . . 67
-.
3.1.1 Dinh ngh˜ ma trˆn . . . . . .
ıa a
. . . . . . . . . . . 67
e a ´
3.1.2 Cć ph´p toń tuyˆn t´ trˆn
a e ınh e ma trˆn
a. . . . . . 69
3.1.3 Ph´p nhˆn cć ma trˆn . . . .
e a a a
. . . . . . . . . . . 71
’
3.1.4 Ph´p chuyˆn vi ma trˆn . . .
e e . a. . . . . . . . . . . 72
- .nh th´.c . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Di u . . . . . . . . . . 85
. ´
3.2.1 Nghich thˆ . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . 85
-.
3.2.2 Dinh th´ u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.3 T´ chˆt cua dinh th´.c . . .
´
ınh a ’ . u . . . . . . . . . . 88

2 MUC LUC
. .

3.2.4 Phu.o.ng ph´p t´ dinh th´.c . . . . . .
a ınh . u . . . . . 89
3.3 . ’
Hang cua ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . .
a
. . . . . . 109
3.3.1 Di- .nh nghã . . . . . . . . . . . . . . .
ı . . . . . 109
3.3.2 Phu .o.ng ph´p t` hang cua ma trˆn .
a ım . ’ a . . . . . 109
.
3.4 Ma trˆn nghich da
a. . ’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
-.
3.4.1 Dinh nghã . . . . . . . . . . . . . . .
ı . . . . . 118
3.4.2 Phu .o.ng ph´p t` ma trˆn nghich dao
a ım a ’ . . . . . 119
. .

4 Hˆ phu.o.ng tr`
e
. ´
ınh tuyˆn t´
e ınh 132
4.1 Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c
e
. ınh o ’
a o . u khć
a 0. . . . 132
4.1.1 Phu.o.ng ph´p ma trˆn . . . . . .
a a
. . . . . . . . . 133
4.1.2 Phu .o.ng ph´p Cramer . . . . . .
a . . . . . . . . 134
4.1.3 Phu .o.ng ph´p Gauss . . . . . . .
a . . . . . . . . 134
4.2 Hˆ t`y y cć phu.o.ng tr` tuyˆn t´ . .
e u ´ a
. ınh ´
e ınh . . . . . . . . 143
4.3 Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt .
e
. ınh ´
e ınh `
a ´
a . . . . . . . . 165
n
5 Khˆng gian Euclide R
o 177
5.1 Dinh ngh˜ khˆng gian n-chiû v` mˆt sˆ khí niˆm co.
-. ıa o ` a o o a e
e . ´ .
’ `
ban vˆ vecto
e .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.2 Co. so.. Dî co. so. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
’ -o ’ ’ 188
5.3 Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn . . . . . .
o ’ . a’ 201
e ´ o
e ’ ´
5.4 Ph´p biˆn d î tuyˆn t´ . . . . . . . . . . . . . . . . .
e ınh 213
-i
5.4.1 D.nh nghã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 213
a ’
5.4.2 Ma trˆn cua ph´p bdtt . . . . . . . . . . . . . .
. e 213
5.4.3 Cć ph´p toń . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a e a 215
5.4.4 Vecto. riˆng v` gi´ tri riˆng . . . . . . . . . . . .
e a a . e 216

6 Dang to`n phu.o.ng v` u.ng dung d ˆ
. a a ´ . e’ nhˆn dang du.`.ng
a
. . o
v` m˘t bˆc hai
a a a
. . 236
6.1 Dang to`n phu.o.ng . . . . . . . . .
. a . . . . . . . . . . . 236
6.1.1 Phu.o.ng ph´p Lagrange . . .
a . . . . . . . . . . . 237
6.1.2 Phu.o.ng ph´p Jacobi . . . .
a . . . . . . . . . . . 241

MUC LUC
. . 3

6.1.3 Phu.o.ng ph´p biˆn dˆi tru.c giao . . . . . . . . . 244
a ´
e o .’
6.2 -
Du .a phu.o.ng tr` tˆng qu´t cua du.`.ng bˆc hai v` m˘t
ınh o’ a ’ o a a a
. .
a
. e ´
` dang ch´ t˘c . . . . . . . . . . . . . . . . 263
bˆc hai vˆ . ınh a

L`.i ní dû
o o ` a

Gió tr` Bì tˆp toń cao cˆp n`y du.o.c biˆn soan theo Chu.o.ng
a ınh a a . a ´
a a . e .
tr` Toń cao cˆp cho sinh viˆn cć ng`nh Khoa hoc Tu. nhiˆn cua
ınh a ´
a e a a . . e ’
Dai hoc Quˆc gia H` Nî v` d˜ du.o.c Dai hoc Quˆc gia H` Nî thˆng
. . o´ a o a a
. . . . ´
o a o. o
qua v` ban h`nh.
a a
Muc d´ cua gió tr` l` gi´p d˜. sinh viˆn cć ng`nh Khoa hoc
. ıch ’ a ınh a u o e a a .
Tu . nhiˆn n˘m v˜.ng v` vˆn dung du.o.c cć phu.o.ng ph´p giai toń cao
e ´ a u a a ’
. . . . a a a
´ . e a ´
e . a o a . ´ u ’
cˆp. Muc tiû n`y quyˆt dinh to`n bˆ cû trć cua gió tr`nh. Trong
a a ı
mˆ ˜ i muc, dû tiˆn chńg tî tr`nh b`y t´m t˘t nh˜.ng co. so. l´ thuyˆt
o . ` a e u o ı a o ´
a u ’ y ´
e
v` liˆt kˆ nh˜
a e e u .ng cˆng th´.c cˆn thiˆt. Tiˆp d´, trong phˆn Cć v´ du
o u ` a e´ ´
e o à a ı .
.
chńg tî quan tˆm d˘c biˆt t´.i viˆc giai cć bì toń mˆ u b˘ng cćh
u o a a. e o e
. . ’ a a a ˜ `
a a a
vˆn dung cć kiˆ
a
. . a eń th´.c l´ thuyˆt d˜ tr` b`y. Sau c`ng, l` phˆn Bì
u y e´ a ınh a u a ` a a
tˆp. O a
a ’. dˆy, cć bì tˆp du.o.c gˆp th`nh t`.ng nh´m theo t`.ng chu dˆ
a a a ’ `
. . . o . a u o u e
v` du.o.c s˘p xˆp theo th´. tu. t˘ng dˆn vˆ dˆ kh´ v` mˆ i nh´m dû
a . ´ ea ´ u . a ` ` o o a ˜
a e . o o `
e
c´ nh˜
o u .ng chı dˆ n vˆ phu.o.ng ph´p giai. Chńg tî hy vong r˘ng viˆc
˜ `
’ a e a ’ u o `
a e
. .
l`m quen v´ o
a o.i l`.i giai chi tiˆt trong phˆn Cć v´ du s˜ gi´p ngu.`.i hoc
’ e´ à a ı . e u o .
n˘m du.o.c cć phu.o.ng ph´p giai toń co. ban.
´
a . a a ’ a ’

Gió tr` Bì tˆp n`y c´ thˆ su. dung du.´.i su. hu.´.ng dˆ n cua
a ınh a a a o e ’ .
. ’ o . o ˜
a ’
gió viˆn ho˘c tu. m` nghiˆn c´.u v` cć bì tˆp dû c´ d´p sˆ, mˆt
a e a . ınh
. e u ı a a a ` o a o o
. e ´ .
´
o o ’ a a ˜ .´.c khi giai cć bì tˆp n`y d˜ c´ phˆn Cć v´ du
sˆ c´ chı dˆ n v` tru o ’ a a a a a o ` a a ı .
.
tr` b`y nh˜.ng chı dˆ n vˆ m˘t phu.o.ng ph´p giai toń.
ınh a u ˜ e .
’ a ` a a ’ a

Tć gia gió tr` chˆn th`nh cam o.n cć thˆy gió: TS. Lˆ D`nh
a ’ a ınh a a ’ a `
a a e ı
˜ ´
a a . y ’ ’ a o
Ph`ng v` PGS. TS. Nguyˆn Minh Tuˆn d˜ doc k˜ ban thao v` dńg
u a e

Co. so. l´ thuyˆt h`m biˆn ph´.c
’ y ´
e a ´
e u 5

o ` ´ e
e ´ y a ` ae ´
g´p nhiû y kiˆn qu´ bú vˆ cû trć v` nî dung v` d˜ g´p y cho tć
u a o . a a o ´ a
’ ` u
gia vˆ nh˜
e .ng thiû s´t cua ban thao gió tr`
´
e o ’ ’ ’ a ınh.
M´.i xuˆt ban lˆn dû, Gió tr`nh kh´ trńh khoi sai s´t. Chńg
o a ’ ` `
´ a a a ı o a ’ o u
tî rˆt chˆn th`nh mong du.o.c ban doc vui l`ng chı bao cho nh˜.ng
o a ´ a a . . . o ’ ’ u
´
e o ’ ´ ’ gió tr` ng`y du.o.c ho`n thiˆn ho.n.
thiû s´t cua cuˆn sćh dˆ a
o a e ınh a . a e.

H` Nî, Mà thu 2004
a o. u
Tć gia
a ’

Chu.o.ng 1

Sˆ ph´.c
´
o u

1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . . .
-. ıa o´ u 6

1.2 Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . . . .
. ´
. o ’ ´
o u 8

1.3 ’ ˜
Biû diˆ n h`
e e ınh hoc. Mˆd un v` acgumen . 13
. o a

1.4 Biû diˆ n sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gić . 23
e’ ˜
e ´
o u o . . a

1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c
-. ´ u
ıa o
Mˆ i c˘p sˆ thu.c c´ th´. tu. (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o.c goi l` mˆt sˆ
˜ . ´
o a o . o u . . . a o o . ´
ph´.c nû trˆn tˆp ho.p cć c˘p d´ quan hˆ b˘ng nhau, ph´p cˆng v`
u e ´ e a . . a a o
. e `
. a e o . a
ph´p nhˆn du .
e a .o.c du.a vò theo cć dinh nghã sau dˆy:
a a . ı a
e `
(I) Quan hˆ b˘ng nhau
. a

a = a ,
1 2
(a1, b1) = (a2, b2 ) ⇐⇒
b1 = b2.

(II) Ph´p cˆng
e o .

1.1. D. nh ngh˜ sˆ ph´.c
-i ´
ıa o u 7

def
(a1 , b1) + (a2, b2 ) = (a1 + a2, b1 + b2 ).1
(III) Ph´p nhˆn
e a
def
(a1, b1 )(a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1 b2 + a2b1 ).
Tˆp ho.p sˆ ph´.c du.o.c k´ hiû l` C. Ph´p cˆng (II) v` ph´p nhˆn
a . o u
. ´ . y e a . e o . a e a
´
(III) trong C c´ t´ chˆt giao hoń, kˆt ho
o ınh a a ´
e . .p, liˆn hˆ v´.i nhau bo.i
e e o ’
.
luˆt phˆn bˆ v` moi phˆn tu. = (0, 0) dû c´ phˆn tu. nghich dao.
a. a ´
o a . à ’ `
e o ` a ’ . ’
Tˆp ho.p C lˆp th`nh mˆt tru.`.ng (goi l` tru.`.ng sˆ ph´.c) v´.i phˆn
a. . a
. a o
. o . a o ´
o u o à
tu’. khˆng l` c˘p (0; 0) v` phˆn tu. do.n vi l` c˘p (1; 0). Ap dung quy
o a a a ` a ’ ´
. . a a . .
ć (III) ta c´: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nû k´ hiû i = (0, 1) th`
t˘
a o ´ y e
e . ı
i2 = −1

Dî v´.i cć c˘p dang d˘c biˆt (a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v` (III) ta
´
o o a a . . a
. e
. a
c´
o

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0),
(a, 0)(b, 0) = (ab, 0).

T`. d´ vˆ m˘t dai sˆ cć c˘p dang (a, 0), a ∈ R khˆng c´ g` khć biˆt
u o ` a . o a a
e . ´ . . o o ı a e
.
.i sˆ thu.c R: v` chńg du.o.c cˆng v` nhˆn nhu. nh˜.ng sˆ thu.c. Do
o ´
v´ o . ı u ´
. o . a a u o .
a o e `’ o ´
a a a .i sˆ thu.c a:
o ´
vˆy ta c´ thˆ dˆng nhˆt cć c˘p dang (a; 0) v´ o .
. . .

(a; 0) ≡ a ∀ a ∈ R.

D˘c biˆt l` (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1.
a
. e a
.
Dî v´.i sˆ ph´.c z = (a, b):
´
o o o u ´
1+ Sˆ thu.c a du.o.c goi l` phˆn thu.c a = Re z, sˆ thu.c b goi l` phˆn
´
o . . . a ` a . ´
o . . a ` a
’ a y e a
ao v` k´ hiû l` b = Im z.
.
2 Sˆ ph´.c z = (a, −b) goi l` sˆ ph´.c liˆn ho.p v´.i sˆ ph´.c z
+ ´
o u ´
. a o u e . ´
o o u

1
def. l` cćh viˆt t˘t cua t`. tiˆng Anh definition (dinh ngh˜
a a e ´ ’ u e
´ a ´ . ıa)

8 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c
´
o u

1.2 Dang dai sˆ cua sˆ ph´.c
. ´
. o ’ ´ u
o
Moi sˆ ph´.c z = (a; b) ∈ C dû c´ thˆ viˆt du.´.i dang
´
. o u ` o e e
e ’ ´ o .

z = a + ib. (1.1)

Thˆt vˆy, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib
a a
. .
’u th´.c (1.1) goi l` dang dai sˆ cua sˆ ph´.c z = (a, b). T`. (1.1)
Biˆ
e u . a . ´
. o ’ o u ´ u
a . ´
v` dinh ngh˜ sˆ ph´ e .
ıa o u .c liˆn ho.p ta c´ z = a − ib.
o
Du.´.i dang dai sˆ cć ph´p tńh trˆn tˆp ho.p sˆ ph´.c du.o.c thu.c
o . ´
. o a e ı e a. ´
. o u . .
. a ´
hiˆn theo cć quy t˘c sau.
e a
Gia su. z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Khi d´
’ ’ o
(I) Ph´p cˆng: z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2 ).
e o .
(II) Ph´p nhˆn: z1z2 = (a1a2 − b1b2 ) + i(a1b2 + a2b1 ).
e a
z2 a1 a2 + b1b2 a1b2 − a2 b1
(III) Ph´p chia:
e = 2 2
+i 2 ·
z1 a1 + b1 a1 + b2
1

CAC V´ DU
´ I .

V´ du 1. 1+ T´ in . T`. d´ ch´.ng minh r˘ng
ı . ınh u o u `
a
a) in + in+1 + in+2 + in+3 = 0;
b) i · i2 · · · i99 · i100 = −1.
2+ T` sˆ nguyˆn n nû:
´
ım o e ´
e
a) (1 + i)n = (1 − i)n ;
1+i n 1−i n
b) √ + √ = 0.
2 2
Giai. 1+ Ta c´ i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i v`
’ o a
gi´ tri l˜y th`
a . u .a b˘t dû l˘p lai. Ta khí qu´t há. Gia su. n ∈ Z v`
´ a .
u a ` a . a a o ’ ’ a
n = 4k + r, r ∈ Z, 0 r 3. Khi d´ o

in = i4k+r = i4k · ir = (i4 )k ir = ir

1.2. Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c
. ´
. o ’ o u ´ 9

(v` i4 = i). T`. d´, theo kˆt qua trˆn ta c´
ı u o ´
e ’ e o

1
 ´
nû n = 4k,
e



i ´
nû n = 4k + 1,
e
in = (1.2)
−1 nû n = 4k + 2,
 ´
e



 ´
−i nû n = 4k + 3.
e

T`. (1.2) dˆ d`ng suy ra a) v` b).
u ˜ a
e a
+ . hˆ th´.c (1 + i)n = (1 − i)n suy ra
2 a) T` e u
u .

1+i n
= 1.
1−i

1+i 1+i n
Nhu.ng = i nˆn
e = in = 1 ⇒ n = 4k, k ∈ Z.
1−i 1−i
1+i n 1−i n 1+i n
b) T`. d˘ng th´.c √
u a ’ u + √ `
= 0 suy r˘ng
a = −1
2 2 1−i
v` do d´ in = −1 ⇒ n = 4k + 2, k ∈ Z.
a o

V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng nû n l` bî cua 3 th`
ı . u `
a ´
e a o ’
. ı
√ √
−1 + i 3 n −1 − i 3 n
+ =2
2 2

a e´ o ´
v` nû n khˆng chia hˆt cho 3 th`
e ı
√ √
−1 + i 3 n −1 − i 3 n
+ = −1.
2 2

Giai. 1+ Nû n = 3m th`
’ ´
e ı
√ √
−1 + i 3 3 m −1 − i 3 3 m
S= +
2 √ √ 2 √ √
−1 + 3i 3 + 9 − 3i 3 m −1 − 3i 3 + 9 + 3i 3 m
= +
8 8
m m
= 1 + 1 = 2.

´
o u

2+ Nû n = 3m + 1 th`
´
e ı
√ √ √ √
−1 + i 3 3 m −1 + i 3 −1 − i 3 3 m 1−i 3
S= +
2
√ √ 2 2 2
−1 + i 3 −1 − i 3
= + = −1.
2 2
Tu.o.ng tu. nû n = 3m + 2 ta cñg c´ S = −1.
. e ´ u o
V´ du 3. T´ biû th´.c
ı . ınh e ’ u

1+i 1+i 2 1+i 22 1+i 2n
σ = 1+ 1+ 1+ ··· 1 + .
2 2 2 2
1+i
Giai. Nhˆn v` chia biû th´.c d˜ cho v´.i 1 −
’ a a e’ u a o ta c´
o
2
1 + i 2n 2 1 + i 2n+1
1− 1−
σ= 2 = 2 ·
1+i 1+i
1− 1−
2 2
` ınh
Ta cˆn t´
a
n
1+i 2n+1 1+i 2 2n i 2n i2 1
= = = 2n = 2n ·
2 2 2 2 2
Do d´
o
1 1
1− 2n
2 1 − 2n 1+i
σ= 2 = 2 ×
1+i 1−i 1+i
1−
2
1
= 1 − 2n (1 + i)
2
√
V´ du 4. Biû diˆn sˆ ph´.c 4 − 3i du.´.i dang dai sˆ.
ı . e’ ˜ o u
e ´ o . . o ´
Giai. Theo dinh nghã ta cˆn t` sˆ ph´.c w sao cho w2 = 4 − 3i.
’ . ı ` ım o u
a ´
´
Nû w = a + bi, a, b ∈ R th`
e ı

4 − 3i = (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi.

1.2. Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c
. ´
. o ’ o u ´ 11

T`. d´
u o

a2 − b2 = 4, (1.3)
2ab = −3. (1.4)

3
T`. (1.4) ta c´ b = − . Thˆ vò (1.3) ta thu du.o.c
u o ´
e a .
2a

4u2 − 16u − 9 = 0, u = a2
√
8 + 100 8 + 10 18 9
u1 = = = = ,
⇐⇒ 4 4 4 2
√
8 − 100 8 − 10 1
u2 = = =− ·
4 4 2
9
V` a ∈ R nˆn u
ı e 0⇒u= v` do vˆy
a a
.
2
3 1
a = ±√ ⇒ b = √ ·
2 2
T`. d´ ta thu du.o.c
u o .
3 1
w1,2 = ± √ − √ i
2 2

V´ du 5. Biû diˆn sˆ ph´.c
ı . ’
e ˜ o u
e ´
√ √
5 + 12i − 5 − 12i
z=√ √
5 + 12i + 5 − 12i
√ √
v´.i diû kiˆn l` cć phˆn thu.c cua 5 + 12i v` 5 − 12i dû ˆm.
o ` e e a a
. `
a . ’ a ` a
e
’ ´
Giai. Ap dung phu .o.ng ph´p giai trong v´ du 4 ta c´
a ’ ı . o
.
√
5 + 12i = x + iy ⇒ 5 + 12i = x2 − y 2 − 2xyi

x2 − y 2 = 5,
⇐⇒
2xy = 12.

´
o u

e a o
. e
. a a `
Hˆ n`y c´ hai nghiˆm l` (3; 2) v` (−3; −2). Theo diû kiˆn, phˆn
e e. à
thu ’ .c cua √5 + 12i ˆm nˆn ta c´ √5 + 12i = −3 − 2i. Tu.o.ng tu. ta
a e o
. √ .
t`m du .
ı .o.c 5 − 12i = −3 + 2i. Nhu. vˆy
a
.
−3 − 2i − (−3 + 2i) 2
z= = i
−3 − 2i + (−3 + 2i) 3
z−1
V´ du 6. Gia su. z = a + ib, z = ±1. Ch´.ng minh r˘ng w =
ı . ’ ’ u `
a l`
a
z+1
sˆ thuˆn ao khi v` chı khi a2 + b2 = 1.
´
o ` ’
a a ’
’
Giai. Ta c´
o
(a − 1) + ib a2 + b2 − 1 2b
w= = 2 + b2
+i ·
(a + 1) + ib (a + 1) (a + 1)2 + b2

T`. d´ suy r˘ng w thuˆn ao khi v` chı khi
u o `
a ` ’
a a ’
a2 + b2 − 1
= 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 1.
(a + 1)2 + b2

` ˆ
BAI TAP
.
T´
ınh
(1 + i)8 − 1 15
1. · (DS. )
(1 − i)8 + 1 17
(1 + 2i)3 + (1 − 2i)3 11
2. · (DS. − i)
(2 − i)2 − (2 + i)2 4
(3 − 4i)(2 − i) (3 + 4i)(2 + i) 14
3. − · (DS. − )
2+i 2−i 5
1−i 1−i 2 1−i 22 1−i 2n
4. 1+ √ 1+ √ 1+ √ ··· 1 + √ .
2 2 2 2
(DS. 0)
’ ˜ ´
a . a ’ ı .
Chı dˆ n. Ap dung cćh giai v´ du 3.
5. Ch´.ng minh r˘ng
u `
a
z1 z1
a) z1 + z2 = z1 + z 2 ; b) z1 z2 = z1 · z 2 ; c) = ;
z2 z2

’ ˜ ınh .
1.3. Biû diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen
e e o a 13

n
d) z n = (z) ; e) z + z = 2Re z; g) z − z = 2Im z.
6. V´.i gi´ tri thu.c nò cua x v` y th` cć c˘p sˆ sau dˆy l` cć c˘p
o a . . a ’ a . ´
ı a a o a a a a .
´ .c liˆn ho.p:
sˆ ph´ e .
o u
1) y 2 − 2y + xy − x + y + (x + y)i v` −y 2 + 2y + 11 − 4i;
a
2) x + y 2 + 1 + 4i v` ixy 2 + iy 2 − 3 ?
a
(DS. 1) x1 = 1, y1 = 3; x2 = 9, y2 = 5; 2) x1,2 = −5, y1,2 = ±5)
7. Ch´.ng minh r˘ng z1 v` z2 l` nh˜.ng sˆ ph´.c liˆn ho.p khi v` chı
u `
a a a u ´
o u e . a ’
khi z1 + z2 v` z1z2 l` nh˜
a a u .ng sˆ thu.c.
´
o .
8. T´
ınh:
√
1) −5 − 12i. (DS. ±(2 − 3i))
√
2) 24 + 10i. (DS. ±(5 + i))
√
3) 24 − 10i. (DS. ±(5 − i))
√ √ √ √
4) 1 + i 3 + 1 − i 3. (DS. ± 6, ±i 2)
u `
a
2 4 6 8
1) 1 − C8 + C8 − C8 + C8 = 16;
2 4 6 8
2) 1 − C9 + C9 − C9 + C9 = 16;
1 3 5 7 9
3) C9 − C9 + C9 − C9 + C9 = 16.
Chı dˆ n. Ap dung cˆng th´.c nhi th´.c Newton dî v´.i (1 + i)8 v`
’ a ´
˜ . o u . u ´
o o a
9
(1 + i) .

1.3 e’ ˜
Biû diˆn h` hoc. Mˆdun v` acgu-
e ınh . o a
men
Mˆ i sˆ ph´.c z = a + ib c´ thˆ d˘t tu.o.ng u.ng v´.i diˆm M(a; b) cua
˜ ´
o o u o e a ’ . ´ o e ’ ’
’
m˘t ph˘ng toa dˆ v` ngu . .
a a .o.c lai mˆ i diˆm M (a; b) cua m˘t ph˘ng dû
˜ ’ ’ ’ `
. . o a . o e a. a e
tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z = a + ib. Ph´p tu.o.ng u.ng du.o.c xć lˆp l`
´ o o u´ e ´ . a a a .
do.n tri mˆt - mˆt. Ph´p tu.o.ng u.ng d´ cho ph´p ta xem cć sˆ ph´.c ´
. o. o. e ´ o e a o u
. l` cć diˆm cua m˘t ph˘ng toa dˆ. M˘t ph˘ng d´ du.o.c goi l`
nhu a a ’
e ’ a ’
a ’
. . o . a
. a o . . a
m˘t ph˘ng ph´.c. Truc ho`nh cua n´ du.o.c goi l` Truc thu.c, truc tung
a. ’
a u . a ’ o . . a . . .

´
o u

du.o.c goi l` Truc ao. Thˆng thu.`.ng sˆ ph´.c z = a + ib c´ thˆ xem
. . a −→ . ’ o o ´
o u o e ’
nhu . vecto. OM . Mˆ i vecto. cua m˘t ph˘ng v´.i diˆm dû O(0, 0) v`
˜
o ’ a ’
a o e’ ` a a
.
diˆm cuî tai diˆm M(a; b) dû tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z = a + ib v`
e’ ´
o . e ’ `
e ´ ´
o o u a
.o.c lai.
ngu . .
Su. tu.o.ng u.ng du.o.c xć lˆp gi˜.a tˆp ho.p sˆ ph´.c C v´.i tˆp ho.p
. ´ . a a . u a. ´
. o u o a . .
’
cć diˆm hay cć vecto a
a e a . m˘t ph˘ng cho ph´p goi cć sˆ ph´.c l` diˆm
’
a ´
e . a o u a e ’
.
hay vecto ..
V´.i ph´p biû diˆn h`nh hoc sˆ ph´.c, cć ph´p toń cˆng v` tr`.
o e e’ ˜ ı
e ´
. o u a e a o . a u
cć sˆ ph´.c du.o.c thu.c hiˆn theo quy t˘c cˆng v` tr`. cć vecto..
a o u´ . . e
. ´ o
a . a u a
Gia su. z ∈ C. Khi d´ dˆ dì cua vecto. tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z
’ ’ o o a ’
. ´ ´
o o u
du.o.c goi l` mˆdun cua n´.
. . a o ’ o
e´
Nû z = a + ib th` ı

√ √
r = |z| = a2 + b2 = z z.

Gć gi˜.a hu.´.ng du.o.ng cua truc thu.c v` vecto. z (du.o.c xem l` gć
o u o ’ . . a . a o
du.o.ng nû n´ c´ dinh hu.´.ng ngu.o.c chiû kim dˆng hˆ) du.o.c goi l`
´
e o o . o è `
o `
o
. . . a
’ o ´ o o ´
acgumen cua sˆ z = 0. Dî v´ o´ .i sˆ z = 0 acgumen khˆng xć dinh.
o a .
Khć v´.i mˆdun, acgumen cua sˆ ph´.c xć dinh khˆng do.n tri, n´
a o o ´
’ o u a . o . o
.i su. sai khć mˆt sˆ hang bî nguyˆn cua 2π v`
xć dinh v´ .
a . o a . ´
o o . o
. e ’ a

Arg z = arg z + 2kπ, k ∈ Z,

trong d´ arg z l` gi´ tri ch´ cua acgumen du.o.c xć dinh bo.i diû
o a a . ınh ’ . a . ’ `
e
kiˆn −π < arg z π ho˘c 0 arg z < 2π.
e
. a
.
`
a .c v` phˆn ao cua sˆ ph´.c z = a + ib du.o.c biû diˆn qua
Phˆn thu a ` ’ a ´
’ o u e’ ˜
e
. .
mˆdun v` acgument cua n´ nhu. sau
o a ’ o

a = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.

’ ˜ ınh .
e e o a 15

Nhu. vˆy, acgumen ϕ cua sˆ ph´.c c´ thˆ t`m t`. hˆ phu.o.ng tr`
a
. ´
’ o u o e ı ’ u e . ınh

cos ϕ = √ a
 ,
a2 + b2
sin ϕ = √ b
 ·
a2 + b2

CAC V´ DU
´ I .
x − y 2 + 2xyi
2
ı . ım o ’ o ´
V´ du 1. T` mˆdun cua sˆ z = √ ·
xy 2 + i x4 + y 4
’
Giai. Ta c´
o
(x2 − y 2 )2 + (2xy)2 x2 + y 2
|z| = √ = 2 = 1.
2+( 4 + y 4 )2 x + y2
(xy 2) x

V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng ∀ z1, z2 ∈ C ta dˆu c´:
ı . u `
a ` o
e
(i) |z1 + z2| |z1 | + |z2|; (ii) |z1 − z2| |z1| + |z2|;
(iii) |z1 + z2| |z1 | − |z2 |; (iv) z1 − z2 | |z1| − |z2.
’
Giai. (i) Ta c´o

|z1 + z2|2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1|2 + |z2|2 + 2Re(z1z 2 ).

V` −|z1z2 |
ı Re(z1 z 2) |z1z2| nˆn
e

|z1 + z2|2 |z1|2 + |z2|2 + 2|z1 ||z2| = (|z1| + |z2|)2

⇒ |z1 + z2| |z1| + |z2 |.

(ii) V` |z2 | = | − z2| nˆn
ı e

|z1 − z2 | = |z1 + (−z2)| ≤ |z1| + | − z2| = |z1 | + |z2|.

(iii) Ap dung (ii) cho z1 = (z1 + z2 ) − z2 v` thu du.o.c
´ . a .

|z1| |z1 + z2 | + |z2| → |z1 + z2| |z1| − |z2|.

´
o u

(iv) |z1 − z2| = |z1 + (−z2)| ≥ |z1| − | − z2 | = |z1| − |z2|.
Nhˆn x´t. Cć bˆt d˘ng th´.c (iii) v` (iv) c`n c´ thˆ viˆt du.´.i
a e
. a a a ´ ’ u a o o e e ’ ´ o
dang
.
(iii)∗. |z1 + z2 | |z1| − |z2| ; (iv)∗. |z1 − z2 | |z1| − |z2| .
Thˆt vˆy ta c´ |z1 + z2| |z1| − |z2| v` |z1 + z2| |z2| − |z1 |. Cć
a a
. . o a a
vˆ phai khć nhau vˆ dû do d´ nû lˆy vˆ phai du.o.ng th` thu du.o.c
´ ’
e a ` a
e ´ ´ ´ ´ ’
o e a e ı .
∗ ´ ’
(iii) . Bˆt d˘ng th´
a a u.c (iv)∗ thu du.o.c t`. (iii)∗ b˘ng cćh thay z2 bo.i
` ’
. u a a
−z2.
V´ du 3. Ch´.ng minh dˆng nhˆt th´.c
ı . u `
o ´
a u

|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2).

Giai th´ y ngh˜ h`nh hoc cua hˆ th´.c d˜ ch´.ng minh.
’ ıch ´ ıa ı . ’ e u a u
.
’ ’ ’
Giai. Gia su . z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 . Khi d´
o

z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2),
z1 − z2 = x1 − x2 + i(y1 − y2 ),
|z1 + z2|2 = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2)2 ,
|z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 .

T`. d´ thu du.o.c
u o .
|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(x2 + y1 )2 + 2(x2 + y2 ) = 2(|z1 |2 + |z2 |2).
1 2
2

T`. hˆ th´.c d˜ ch´.ng minh suy r˘ng trong mˆ i h`nh b`nh h`nh tˆng cć
u e u a u
. `
a ˜
o ı ı a o’ a
b` phu.o.ng dˆ dì cua cć du.`.ng chó b˘ng tˆng cć b` phu.o.ng
ınh o a ’ a
. o e ` a o’ a ınh
o a ’ a . ’ o
dˆ dì cua cć canh cua n´.
.
V´ du 4. Ch´.ng minh r˘ng nû |z1| = |z2| = |z3| th`
ı . u `
a ´
e ı
z3 − z2 1 z2
arg = arg ·
z3 − z1 2 z1
Giai. Theo gia thiˆt, cć diˆm z1 , z2 v` z3 n˘m trˆn du.`.ng tr`n
’ ’ ´
e a e’ a `
a e o o
.i tˆm tai gˆc toa dˆ. Ta x´t cć vecto. z3 − z2; z3 − z1, z1 v`
nò d´ v´ a
a o o ´
. o . o . e a a
z2 (h˜y v˜ h`
a e ınh).

’ ˜ ınh .
e e o a 17

B˘ng nh˜.ng nguyˆn do h` hoc, dˆ thˆy r˘ng
`
a u e ınh . ˜ a a
e ´ `
z3 − z2
arg = arg(z3 − z2 ) − arg(z3 − z1)
z3 − z1
v` gć n`y nh` cung tr`n nî diˆm z1 v` z2 v` gć o. tˆm
a o a ın ´ ’
o o e a a o ’ a
z2
arg = argz2 − argz1
z1
´ ınh o o . y o ’ ınh .
cñg ch˘n ch´ cung tr`n d´. Theo dinh l´ quen thuˆc cua h` hoc
u a .
. cˆp ta c´
so a ´ o
z3 − z2 1 z2
arg = arg ·
z3 − z1 2 z1
V´ du 5. Ch´.ng minh r˘ng nû |z1| = |z2| = |z3 | = 1 v` z1 +z2+z3 = 0
ı . u `
a ´
e a
’ a a ’ ’ a ` . ´
th` cć diˆm z1, z2 v` z3 l` cć dınh cua tam gić dû nî tiˆp trong
ı a e a e o e
du.`.ng tr`n do.n vi.
o o .
Giai. Theo gia thiˆt, ba diˆm z1, z2 v` z3 n˘m trˆn du.`.ng tr`n
’ ’ ´
e ’
e a `
a e o o
.n vi. Ta t` dˆ dì cua cć canh tam gić.
do . ım o a ’ a . a
.
+
1 T` dˆ dì |z1 − z2|. Ta c´
ım o a
. o

|z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2
= x2 + y1 + x2 + y2 − (2x1 x2 + 2y1 y2)
1
2
2
2

= 2(x2 + y1 ) + 2(x2 + y2 ) − [(x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2]
1
2
2
2

= 2|z1 |2 + 2|z2 |2 − 2|z1 + z2 |2.

Nhu.ng z1 + z2 = −z3 v` |z1 + z2| = |z3|. Do d´
a o

|z1 − z2|2 = 2|z1 |2 + 2|z2|2 − |z3|2 = 2 · 1 + 2 · 1 − 1 = 3

v` t`. d´
a u o
√
|z1 − z2| = 3 .
√ √
2+ Tu.o.ng tu. ta c´ |z2 − z3 | = 3, |z3 − z1 | = 3. T`. d´ suy ra
. o u o
tam gić v´.i dınh z1 , z2, z3 l` tam gić dû.
a o ’ a a è

´
o u

V´ du 6. V´.i diû kiˆn nò th` ba diˆm khć nhau t`.ng dî mˆt z1,
ı . o ` e e a
. ı e’ a u o o .
`
z2 , z3 n˘m trˆn mˆt du o
a e o .`.ng th˘ng.
a’
.
’ +
Giai. 1 Nˆ a ú cć diˆm z1, z2, z3 n˘m trˆn du.`.ng th˘ng cho tru.´.c
e ’
e `
a e o ’
a o
th` vecto
ı . di t`. z2 dˆn z1 c´ hu.´.ng nhu. cua vecto. di t`. diˆm z3 dˆn
u ´
e o o ’ u e ’ ´
e
z1 ho˘c c´ hu.´.ng ngu.o.c lai. Diû d´ c´ ngh˜ l` cć gć nghiˆng cua
a o o
. . . ` o o
e ıa a a o e ’
cć vecto. n`y dî v´.i truc thu.c ho˘c nhu. nhau ho˘c sai khć gć π.
a a o o ´ . . a
. a
. a o
Nhu .ng khi d´ ta c´
o o

arg(z1 − z2 ) = arg(z1 − z3 ) + kπ, k = 0, 1.

T`. d´ suy ra
u o
z1 − z2
arg = arg(z1 − z2 ) − arg(z1 − z3) = kπ, k = 0, 1.
z1 − z3
z1 − z2
Nhu. vˆy sˆ ph´.c
. ´
a o u c´ acgumen b˘ng 0 ho˘c b˘ng π, t´.c l` sˆ
o `
a a `
. a u a o ´
z1 − z3
z1 − z2
l` sˆ thu.c. Diû kiˆn thu du.o.c l` diû kiˆn cˆn.
´
a o . è e
. . a ` e e `
. a
z1 − z3
2+ Ta ch´.ng minh r˘ng d´ cñg l` diû kiˆn du. Gia su.
u `
a o u a ` e e ’
. ’ ’
z1 − z2
= α, α ∈ R.
z1 − z3
z1 − z2
Khi d´ Im
o = 0. Hˆ th´.c n`y tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ th´.c
e u a
. o e u.
z1 − z3
y1 − y3 x1 − x3
= · (1.5)
y1 − y2 x1 − x2

Phu.o.ng tr` du.`.ng th˘ng qua diˆm (x1, y1) v` (x2, y2 ) c´ dang
ınh o ’
a ’
e a o .
y − y1 x − x1
= · (1.6)
y2 − y1 x2 − x1

T`. (1.5) v` (1.6) suy ra diˆm (x3 , y3) n˘m trˆn du.`.ng th˘ng d´.
u a ’
e `
a e o ’
a o
V´ du 7. Xć dinh tˆp ho.p diˆm trˆn m˘t ph˘ng ph´.c thoa mñ cć
ı . a . a .
. ’
e e a
. ’
a u ’ a a
`
diû kiˆn:
e e
.

’ ˜ ınh .
e e o a 19

1) |z − 2| + |z + 2| = 5;
2) |z − 2| − |z + 2| > 3;
3) Re z c;
4) Im z < 0.
Giai. 1) D˘ng th´.c |z − 2| + |z + 2| = 5 xć dinh qu˜ t´ nh˜.ng
’ ’
a u a . y ıch u
e’ ’
diˆm cua m˘t ph˘
a
. ’ ng m` tˆng khoang cćh t`. d´ dˆn hai diˆm cho
a a o ’ ’ a u o e ´ e’
.´.c F1 = −2 v` F2 = +2 l` h˘ng sˆ b˘ng 5. Theo dinh nghã trong
tru o a a `
a o `
´ a ı
.
5
h` hoc giai t´ d´ l` du.`.ng ellip v´.i bń truc l´.n b˘ng v` tiû
ınh . ’ ıch o a o o a . o `
a a e
2
’
diˆm ±2.
e
e’ ’ a
. ’
a ’
2) Qu˜ t´ cć diˆm cua m˘t ph˘ng C thoa mñ diû kiˆn
y ıch a a `
e e
.
a .`.ng hypecbˆn. D˘ng th´.c
|z − 2| − |z + 2| = 3 l` du o o ’
a u

|z − 2| − |z + 2| = 3

xć dinh nhńh bˆn trí cua du.`.ng hypecbˆn v` bˆt d˘ng th´.c
a . a e a ’ o o a a a´ ’ u
a . à ’
|z − 2| − |z + 2| > 3 xć dinh phˆn trong cua nhńh d´.
a o
3) Rez c ⇒ x c. D´ l` nu o a ’ .a m˘t ph˘ng bˆn phai du.`.ng th˘ng
a ’
a e ’ o ’
a
.
’
e ’
x = c (kˆ ca du o .`.ng th˘ng x = c).
’
a
4) V` Im z = y ⇒ Im z < c ⇒ y < c. D´ l` nu.a m˘t ph˘ng du.´.i
ı o a ’ a
. ’
a o
.`.ng th˘ng y = c (khˆng kˆ du.`.ng th˘ng d´).
du o a’ o ’
e o ’
a o

V´ du 8. Xć dinh tˆp ho.p diˆm trˆn m˘t ph˘ng ph´.c C du.o.c cho
ı . a . a
. . e’ e a
. ’
a u .
’.i diû kiˆn:
bo ` e e
.
1) |z| = Rez + 1;
2) |z − 1| 2|z − i|;
3) |z − 2 + i|u2 − 2|z − 2 + i|u + 1 > 0 ∀ u ∈ R.
1
4) log3(2 + |z 2 + i|) + log27 = 0.
(2 + |z 2 − i|)3
Giai. 1) Gia su. z = x + iy. Khi d´ t`. diû kiˆn
’ ’ ’ o u ` e e
.

|z| = Rez + 1 ⇒ x2 + y 2 = x + 1 ⇒ y 2 = 2x + 1.

´
o u

1
D´ l` phu.o.ng tr` parabˆn v´.i dınh tai diˆm
o a ınh o o ’ . e ’ − ; 0 v´.i truc dî
o . o ´
.ng l` tia 2
x´
u a
1
γ = (x, y) ∈ R2 : x − ,y = 0 .
2
2) Gia su. z = x + iy. Khi d´ t`. diû kiˆn d˜ cho suy ra:
’ ’ o u ` e e a
.

|x − 1 + iy| 2|x + i(y − 1)|
⇒ (x − 1)2 + y 2 ≥ 2 x2 + (y − 1)2
1 2 4 2 8
⇒ x+ + y− ·
3 3 9
1 4
T`. d´ suy ra r˘ng diû kiˆn d˜ cho xć dinh h`nh tr`n tˆm z0 = − +i
u o `
a `
e e a
. a . ı o a
√ 3 3
2 2
v` bń k´
a a ınh .
3
3) V` tam th´.c bˆc hai (dî v´.i u) o. vˆ trí cua diû kiˆn d˜ cho
ı u a . ´
o o ´
’ e a ’ `
e e a
.
.o.ng ∀ u ∈ R nˆn biˆt sˆ cua n´ ˆm, t´.c l`
du e . ´
e o ’ oa u a

|z − 2 + i|2 − |z − 2 + i| < 0
⇒|z − 2 + i| < 1.

D´ l` h` tr`n v´.i tˆm tai z0 = 2 − i v` bń kńh b˘ng 1.
o a ınh o o a . a a ı `
a
. diû kiˆn d˜ cho ta thu du.o.c
4) T` `
u e e a
. .
2 + |z 2 + i|
log3 =0
2 + |z 2 − i|
2 + |z 2 + i|
⇒ 2 − i|
= 1 v` |z 2 + i| = |z 2 − i|.
a
2 + |z

T`. d´ suy r˘ng z 2 l` sˆ thu.c bˆt k`. Nhu.ng khi d´ z l` sˆ thu.c bˆt
u o `
a ´
a o . ´
a y o a o . ´ ´
a
k` ho˘c sˆ thuˆn ao bˆt k`. Nhu. vˆy chı c´ cć diˆm n˘m trˆn cć
y a o. ´ ` ’
a ´
a y a
. ’ o a ’
e `
a e a
. . o a ’
. `
truc toa dˆ l` thoa mñ diû kiˆn d˜ cho.
a e e a
.

` ˆ
BAI TAP
.

’ ˜ ınh .
e e o a 21

u `
a
1) |z1 · z2| = |z1 | · |z2 |;
2) |z1 ± z2 | |z1| + |z2|;
3) |z1 ± z2 | |z1| − |z2| .
2. Xuˆt ph´t t`. cć biû diˆn h`nh hoc, ch´.ng minh:
´
a a u a e’ ˜ ı
e . u
z
1) −1 |argz|;
|z|
2) |z − 1| |z| − 1 + |z||argz|.
3. Ch´.ng minh r˘ng nû gi´ tri ch´ argz = arg(a + ib) thoa mñ
u `
a ´
e a . ınh ’ a
diû kiˆn −π < argz π th` n´ du.o.c tńh theo cˆng th´.c
`
e e
. ı o . ı o u

arctg b
 ´
nû a > 0,
e

 a


b
´
arg(a + ib) = arctg + π nû a < 0, b 0,
e

 a



arctg b − π nû a < 0, b < 0.
´
e
a
4. Ch´.ng minh r˘ng nû gi´ tri ch´ arg(a + ib) thoa mñ diû kiˆn
u `
a ´
e a . ınh ’ a `
e e
.
0 arg(a + ib) < 2π th`ı

arctg b
 ´
nû a > 0, b > 0,
e

 a


b
arg(a + ib) = arctg + 2π ´
nû a > 0, b < 0,
e

 a



arctg b + π ´
nû a < 0.
e
a
b π π
Chı dˆ n. Lu.u y r˘ng gi´ tri ch´ cua arctg ∈ − ,
’ a˜ ´ a` a . ınh ’ .
a 2 2
5. Ch´.ng minh r˘ng |a + b|2 + |a − b|2 = 4|a|2 nû |a| = |b|.
u `
a ´
e
6. Ch´.ng minh dˆng nhˆt th´.c
u `
o ´
a u

|1 − ab|2 − |a − b|2 = (1 + |ab|)2 − (|a| + |b|)2, a ∈ C, b ∈ C.

Chı dˆ n. Su. dung hˆ th´.c |z|2 = zz.
’ ã ’ . e u
.

´
o u

7. Ch´.ng minh dˆng nhˆt th´.c
u `
o ´
a u
1) |a + b|2 = (|a| + |b|)2 − 2 |ab| − Re(ab) .
2) |ab + 1|2 + |a − b|2 = (|a|2 + 1)(|b|2 + 1).

8. Ch´.ng minh r˘ng moi sˆ ph´.c z = −1 v` |z| = 1 dû c´ thˆ biû
u `
a ´
. o u a ` o e e
e ’ ’
diˆn du.´.i dang
˜
e o .

1 + ti
z= , t ∈ R.
1 − ti

Chı dˆ n. Biû diˆn t qua z v` ch´.ng minh t = t.
’ a˜ ’
e ˜
e a u
1 + |a|
9. Ch´.ng minh r˘ng nû Rea
u `
a ´
e √ ·
0 th` |1 + a|
ı
2
’ a˜ ’
Chı dˆ n. C´ thˆ ch´
o e u .ng minh b˘ng phan ch´.ng.
`
a ’ u

10. Trong cć sˆ ph´.c thoa mñ diû kiˆn
´
a o u ’ a `
e e
.

|z − 25i| 15

h˜y t` sˆ c´ acgument du.o.ng nho nhˆt.
´
a ım o o ’ a ´

11. T` acgumen cua cć sˆ ph´.c sau dˆy
ım ´
’ a o u a
π π π
1) cos − i sin · (DS. − )
6 6 6
π π 2π
2) − cos + i sin · (DS. )
3 3 3
3) cos ϕ − i sin ϕ. (DS. −ϕ)

4) − cos ϕ − i sin ϕ. (DS. π + ϕ)
π
5) sin ϕ + i cos ϕ. (DS. − ϕ)
2
π
6) sin ϕ − i cos ϕ. (DS. ϕ − )
2
π
7) − sin ϕ − i cos ϕ. (DS. − − ϕ )
2

1.4. Biû diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gić
’
e ˜ o u
e ´ o . . a 23

1.4 Biû diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng
e’ ˜
e ´
o u o . .
gić
a
Moi sˆ ph´.c z = a + ib = 0 dû biû diˆn du.o.c du.´.i dang
´
. o u `
e ’
e ˜
e . o .

z = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ) (1.7)
√
trong d´ r = |z| = a2 + b2, ϕ l` mˆt trong cć acgumen cua n´.
o a o. a ’ o
Ph´p biû diˆn d´ du.o.c goi l` dang lu.o.ng gić cua sˆ ph´.c z. Dˆ
e e’ ˜ o
e . . a . . a ’ o u ´ ’
e
chuyˆn t`. dang dai sˆ sang dang lu.o.ng gić ta chı cˆn t`m mˆdun
’
e u . . o ´ . . a ’ ` ı
a o
. a ’
v` mˆt trong cć acgument cua n´. V` mˆdun v` acgumen cua tˆng
a o o ı o a ’ o ’
(hiû) hai sˆ ph´.c kh´ c´ thˆ biû diˆn qua mˆdun v` acgumen cua
e. ´
o u o o e e ’ ’ ˜
e o a ’
´
cć sˆ hang nˆn ph´p cˆng v` ph´p tr`
a o . e e o a e u. du.´.i dang lu.o.ng gić l` khˆng
o . a a o
. .
kha thi. Ngu.o.c lai, ph´p nhˆn, ph´p chia, ph´p nˆng lˆn l˜y th`.a v`
’ . . e a e e a e u u a
.o.c thu.c hiˆn rˆt tiˆn lo.i du.´.i dang lu.o.ng gić.
khai c˘n du .
a . . ´ .
e a e . o . . a
’ ’
Gia su . z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2),
z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi d´ o
+
1 z1z2 = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )]
z1 r1
2+ = [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )], r2 = 0.
z2 r2
3 z = rn [cos nϕ + i sin nϕ], n ∈ Z.
+ n

√ ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ
4+ wk = n r cos + i sin , k = 0, n − 1.
n n
T`. 3+ suy ra
u

[cos ϕ + i sin ϕ]n = cos nϕ + i sin nϕ. (1.8)

Cˆng th´.c (1.8) du.o.c goi l` cˆng th´.c Moivre.
o u . . a o u
Ph´p toń nˆng sˆ e lˆn lu˜ th`.a ph´.c z = x + iy du.o.c dinh nghã
e a a ´
o e y u u . . ı
bo.i cˆng th´.c
’ o u
def
ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y). (1.9)

’
Ch˘ng han
a .

´
o u

e1+i = e(cos 1 + i sin 1),
π π
eπi/2 = cos + i sin = i,
2 2
πi
e = cos π + i sin π = −1.

T`. (1.9) khi z = iϕ ta thu du.o.c cˆng th´.c
u . o u

eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ (1.10)

goi l` cˆng th´.c Euler.
. a o u
Moi sˆ ph´.c z = 0 dû c´ thˆ biû diˆn du.´.i dang
´
. o u ` o e e
e ’ ’ ˜
e o .

z = reiϕ , (1.11)

a o. a ’ o e e’
trong d´ r = |z|, ϕ l` mˆt trong cć acgumen cua n´. Ph´p biû diˆn
o ˜
e
(1.11) du.o.c goi l` dang m˜ cua sˆ ph´.c. Cñg nhu. dî v´.i dang lu.o.ng
. . a . u ’ o u ´ u ´
o o . .
gić ta c´:
a o
1/ nû z1 = r1 eiϕ1 , z2 = r2 eiϕ2 th`
´
e ı

z1z2 = r1 r2 ei(ϕ1+ϕ2 ) , (1.12)
r1
z1/z2 = ei(ϕ1 −ϕ2 ) , (1.13)
r2
2/ nû z = reiϕ th`
´
e ı

z n = rn einϕ , (1.14)
√ √ ϕ+2kπ
n
z = n rei n , k = 0, n − 1 (1.15)

CAC V´ DU
´ I .
ı . e’ ˜ a o u
e ´
V´ du 1. Biû diˆn cć sˆ ph´ .c sau dˆy du.´.i dang lu.o.ng gić
a o . a
√ √ .
1) −1 + i 3; 2) 2 + 3 + i.
Giai. 1) T` mˆdun v` acgumen cua sˆ ph´.c d˜ cho:
’ ım o a ´
’ o u a
√ √
r= (−1)2 + ( 3)2 = 2; tg ϕ = − 3 .

’
e ˜ o u
e ´ o . . a 25

π 2π
T`. d´ ho˘c ϕ = −π/3, ho˘c ϕ = − + π =
u o a . a. . V` sˆ ph´.c d˜
ı o´ u a
3 3
2π √
cho thuˆc gć phˆn tu. II nˆn ta chon ϕ =
o o
. `
a e . . T`. d´ −1 + i 3 =
u o
3
2π 2π
2 cos i sin .
3 3
2) T` modun v` acgumen:
ım a
√ √ √ √
|2 + 3 + i| = (2 + 3)2 + 1 = 8+4 3=2 2+ 3.
√
´
Nû ϕ = arg(2 +
e 3 + i) th`
ı
√
√ √ 3 π
2+ 1+ 1 + cos
cos ϕ =
3 2+ 3 2 = 6 = cos π ·
√ = =
2 2+ 3 2 2 2 12

T`. d´ suy r˘ng
u o `
a
√ √ π π
2 3+i=2 2+ 3 cos + i sin
12 12
V´ du 2. Biû diˆn cć sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gić
ı . ’
e ˜ a o u
e ´ o . . a
1) 1 + cos ϕ + i sin ϕ, −π < ϕ < π.
2) 1 + cos ϕ + i sin ϕ, π < ϕ < 2π.
1 + cos ϕ + i sin ϕ π
3) w = , 0<ϕ< ·
1 + cos ϕ − i sin ϕ 2
’
Giai. 1) Ta có
ϕ ϕ
|z| = 2(1 + cos ϕ) = 2 cos = 2 cos
2 2
π ϕ π ϕ
v` −π < ϕ < π ⇒ − < < ⇒ cos > 0.
ı
2 2 2 2
Gia su. α = argz. Khi d´
’ ’ o

1 + cos ϕ ϕ 
cos α = ϕ = cos 2 ,


2 cos ϕ ϕ ϕ
2 ⇒ z = 2 cos cos + i sin .
sin ϕ ϕ  2 2 2
sin α = ϕ = sin 2 · 


2 cos
2

´
o u

2) Trong tru.`.ng ho.p n`y ta c´
o . a o
ϕ ϕ
r = |z| = 2(1 + cos ϕ) = 2 cos = −2 cos
2 2
π ϕ
v`
ı < < π. Gia su. α = argz. Khi d´
’ ’ o
2 2
1 + cos ϕ ϕ ϕ
cos α = ϕ = − cos 2 = cos −π ,
−2 cos 2
2
sin ϕ ϕ ϕ
sin α = ϕ = − sin 2 = sin −π .
−2 cos 2
2
T`. d´ suy r˘ng
u o `
a
ϕ ϕ ϕ
1 + cos ϕ + i sin ϕ = −2 cos cos − π + i sin −π .
2 2 2
3) Tru.´.c hˆt nhˆn x´t r˘ng |w| = 1 v` tu. sˆ v` mˆ u sˆ cua n´ c´
o e ´ a e a
. ` ´ ˜ ´
ı ’ o a a o ’ o o
`
modun b˘ng nhau. Ta t`m dang lu .
a ı .o.ng gi´c cua tu. sˆ v` mˆ u sˆ.
a ’ ´
’ o a a o ˜ ´
.
π
X´t tu. sˆ: z1 = 1 + cos ϕ + i sin ϕ, ϕ ∈ 0,
e ’ o ´
2

|z1| = 2(1 + cos ϕ) ,
sin ϕ ϕ ϕ π π
ϕ1 = argz1 = arctg = arctg tg = ∈ − , .
1 + cos ϕ 2 2 2 2

Tu.o.ng tu., dˆi v´.i mˆ u sˆ
. o o´ ˜ ´
a o

z2 = 1 + cos ϕ − i sin ϕ

ta c´
o

|z2| = 2(1 + cos ϕ) ,
− sin ϕ
ϕ2 = argz2 = arctg
1 + cos ϕ
ϕ ϕ ϕ π π
= arctg − tg = arctg tg − =− ∈ − , .
2 2 2 2 2

’
e ˜ o u
e ´ o . . a 27

T`. d´ thu du.o.c
u o .
ϕ ϕ
z2 = 2(1 + cos ϕ) cos − + i sin −
2 2
v` do vˆy
a a
.
ϕ ϕ
2(1 + cos ϕ) cos + i sin
w= × 2 2
2(1 + cos ϕ) ϕ ϕ
cos − + i sin −
2 2
= cos ϕ + i sin ϕ.
√
V´ du 3. 1) T´ ( 3 + i)126
ı . ınh
2) T´ acgumen cua sˆ ph´.c sau
ınh ´
’ o u
w = z 4 − z 2 nû argz = ϕ v` |z| = 1.
´
e a
√ π π
’
Giai. 1) Ta c´ 3 + i = 2 cos + i sin
o . T`. d´ ´p dung cˆng
u oa . o
.c Moivre ta thu du.o.c: 6 6
th´
u .
√ 126π 126π
( 3 + i)126 = 2126 cos + i sin
6 6
= 2 [cos π + i sin π] = −2126 .
126

2) Ta c´
o

w = z 4 − z 2 = cos 4ϕ + i sin 4ϕ − [cos 2ϕ − i sin 2ϕ]
= cos 4ϕ − cos 2ϕ + i(sin 4ϕ + sin 2ϕ)
= −2 sin 3ϕ sin ϕ + 2i sin 3ϕ cos ϕ
= 2 sin 3ϕ[− sin ϕ + i cos ϕ].

2kπ (2k + 1)π
(i) Nû sin 3ϕ > 0 (t´.c l` khi
´
e u a <ϕ< , k ∈ Z) th`
ı
3 3
π π
w = 2 sin 3ϕ cos + ϕ + i sin +ϕ .
2 2
(2k − 1)π 2kπ
(ii) Nû sin 3ϕ < 0 (t´.c l` khi
´
e u a <ϕ< , k ∈ Z) th`
ı
3 3
w = (−2 sin 3ϕ)[sin ϕ − i cos ϕ].

´
o u

Ta t` dang lu.o.ng gić cua v = sin ϕ − i cos ϕ. Hiˆn nhiˆn |v| = 1.
ım . . a ’ e’ e
Ta t´ argv
ınh
− cos ϕ
argv = arctg = arctg(−cotgϕ)
sin ϕ
π π
= arctg − tg − ϕ = arctg tg ϕ −
2 2
π
=ϕ− ·
2
Nhu. vˆy nû sin 3ϕ < 0 th`
a e
. ´ ı
π π
w = (−2 sin 3ϕ) cos ϕ − + i sin ϕ − .
2 2
kπ
´
(iii) Nû sin 3ϕ = 0 ⇒ ϕ =
e ⇒ w = 0.
3
Nhu. vˆya
.

π + ϕ
 ´
nû
e
2kπ
<ϕ<
(2k + 1)π
,
2
 3 3

kπ
argw = khˆng xć dinh nû ϕ =
o a . ´
e ,

 3


ϕ − π ´
nû
e
(2k − 1)π
<ϕ<
2kπ
·
2 3 3
V´ du 4. Ch´.ng minh r˘ng
ı . u `
a
π 3π 5π 7π 1
1) cos + cos + cos + cos = .
9 9 9 9 2
2) cos ϕ + cos(ϕ + α) + cos(ϕ + 2α) + · · · + cos(ϕ + nα)
(n + 1)α nα
sin cos ϕ +
= 2 2 ·
α
sin
2
’
Giai. 1) D˘ta
.
π 3π 7π
S = cos + cos + · · · + cos ,
9 9 9
π 3π 7π
T = sin + sin + · · · + sin ,
9 9 9
π π
z = cos + i sin .
9 9

’
e ˜ o u
e ´ o . . a 29

Khi d´
o
z(1 − z 8)
S + iT = z + z 3 + z 5 + z 7 =
1 − z2
9
z−z z+1 1 1
= = = = π π
1 − z2 1 − z2 1−z 1 − cos − i sin
9 9
π π π
1 − cos + i sin sin
= 9 9 =1+ 9 ·
π 2 2 π 2 2 1 − cos π
1 − cos + sin
9 9 9
1
Do d´ S = ·
o
2
2) Tu.o.ng tu. nhu. trong 1) ta k´ hiû
. y e .
S = cos ϕ + cos(ϕ + α) + · · · + cos(ϕ + nα),
T = sin ϕ + sin(ϕ + α) + · · · + sin(ϕ + nα),
z = cos α + i sin α, c = cos ϕ + i sin ϕ.

Khi d´
o
c(1 − z n+1 )
S + iT = c + cz + · · · + cz n =
1−z
(cos ϕ + i sin ϕ)[1 − cos(n + 1)α − i sin(n + 1)α]
=
1 − cos α − i sin α
(n + 1)α (n + 1)α − π (n + 1)α − π
(cos ϕ + i sin ϕ)2 sin cos + i sin
= 2 2 2
α α−π α−π
2 sin cos + i sin
2 2 2
(n + 1)α nα (n + 1)α nα
sin cos ϕ + sin sin ϕ +
= 2 2 + 2 2 i.
α α
sin sin
2 2
T`. d´ so sńh phˆn thu.c v` phˆn ao ta thu du.o.c kˆt qua.
u o a `
a . a ` ’ a . e´ ’
`
B˘ng phu
a .o.ng ph´p tu.o.ng tu. ta c´ thˆ tńh cć tˆng dang
a o e ı’ a o ’
. .
a1 sin b1 + a2 sin b2 + · · · + an sin bn ,
a1 cos b1 + a2 cos b2 + · · · + an cos bn

´
o u

´
e a a. ´ ´ .
e a o o o a e o . ´
nû cć acgumen b1, b2, . . . , bn lˆp nˆn cˆp sˆ cˆng c`n cć hˆ sˆ
´ ´
a1 , a2, . . . , an lˆp nˆn cˆp sˆ nhˆn.
a e a o a
.
V´ du 5. T´ tˆng
ı . ınh o ’
1) Sn = 1 + a cos ϕ + a2 cos 2ϕ + · · · + an cos nϕ;
2) Tn = a sin ϕ + a2 sin 2ϕ + · · · + an sin nϕ.
Giai. Ta lˆp biû th´.c Sn + iTn v` thu du.o.c
’ a
. ’
e u a .

Σ = Sn + iTn = 1 + a(cos ϕ + i sin ϕ) + a2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) + . . .
+ an (cos nϕ + i sin nϕ).

D˘t z = cos ϕ + i sin ϕ v` ´p dung cˆng th´.c Moivre ta c´:
a
. aa . o u o

an+1 z n+1 − 1
Σ = 1 + az + a2z 2 + · · · + an z n =
az − 1
a
(nhˆn tu. sˆ v` mˆ u sˆ v´.i − 1)
´
a ’ o a a o o ˜ ´
z
n+2 n n+1 n+1 a
a z −a z − +1
= 2
1
a2 − a z + +1
z
1
(do z + = 2 cos ϕ)
z
an+2 (cos nϕ + i sin nϕ) − an+1 [cos(n + 1)ϕ + i sin(n + 1)ϕ]
=
a2 − 2a cos ϕ + 1
−a cos ϕ + ai sin ϕ + 1
+
a2 − 2a cos ϕ + 1
an+2 cos nϕ − an+1 cos(n + 1)ϕ − a cos ϕ + 1
= +
a2 − 2a cos ϕ + 1
an+2 sin nϕ − an+1 sin(n + 1)ϕ + a sin ϕ
+i ·
a2 − 2a cos ϕ + 1

B˘ng cćh so sńh phˆn thu.c v` phˆn ao ta thu du.o.c cć kˆt qua cˆn
`
a a a `
a . a ` ’ a . a e ´ ’ à
.o.c t´
du . ınh.
ı . e’ ˜
V´ du 6. 1) Biû diˆn tg5ϕ qua tgϕ.
e

Bt toan cao cap tap 1 nguyen thuy thanh

Bt toan cao cap tap 1 nguyen thuy thanh

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (16)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (6)

Mehr von Duy Duy

Mehr von Duy Duy (20)

Bt toan cao cap tap 1 nguyen thuy thanh