Ingeniería Económica

INGENIERIA ECONOMICA
Apuntes de clase
Parte 1
Material sujeto a revisión
Ing. Julio César Cañón Rodríguez
Profesor Asociado
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá
Abril de 2013

Índice – Parte 1
1. Conceptos básicos de la actividad macroeconómica: variables e
intervención del gobierno
2. Áreas de interés de la microeconomía: Demanda, Oferta,
Equilibrio y asignación de precios
3. El modelo de mercado de competencia perfecta
4. Ajustes y distorsiones
5. Monopolios, Oligopolios, Monopsonios.
6. Elasticidad, elasticidad precio, elasticidad ingreso.
7. Excedente del consumidor, excedente del productor
8. Impuestos, subsidios
9. Variables demográficas, tasas e indicadores
10.Curva de Lorenz y coeficiente Gini
11.Externalidades: identificación y efectos
12.Bienes públicos, bienes privados, recursos comunes
13.Ejercicios propuestos [preguntas y aplicaciones]

Ingeniería Económica
Concepto
Identificación, caracterización y gestión de costos presentes en el
diseño, desarrollo, producción y comercialización de bienes y servicios.
Criterios:
Preservar la calidad esencial, la confiabilidad, el rendimiento y la
satisfacción de restricciones normativas [ambientales, culturales]
Objetivo central:
Alcanzar la relación óptima entre calidad, rendimiento y costos
Ref. Ingeniería Económica . Arbones Malisani, Marcombo

Temas básicos - 1
EMPLEO
GASTO PÚBLICO
INVERSIÓN PRIVADA
IMPUESTOS TASAS DE INTERÉS
(ahorro)
Ref. The Instant Economist, Pool, La Roe (1985)
La ecuación de
continuidad de las
principales variables
macroeconómicas

Variables macroeconómicas
EMPLEO
GASTO PÚBLICO INVERSIÓN
IMPUESTOS
TASAS DE
INTERÉS (ahorro)
Ref. The Instant Economist, Pool, La Roe (1985)
Una vez establecido el equilibrio
en el nivel de empleo los
ingresos [GASTO DEL GOBIERNO
e INVERSIONES] deben
mantenerse equilibrados con las
salidas [IMPUESTOS y AHORROS]
Las variaciones en cualquiera de
las variables generan efectos
sobre el EMPLEO y pueden
producir INFLACIÓN

Ciclos monetario y real de la economía
FAMILIAS EMPRESAS
SALARIOS
TRABAJO
CONSUMO
BIENES Y
SERVICIOS

Papel del gobierno en la economía
El gobierno controla la economía a través de su intervención en los
gastos, los impuestos, las regulaciones laborales y salariales, los
estímulos a la inversión [garantías para los inversionistas], entre otras
medidas. El Banco de la República determina las tasas de interés
El comportamiento de las tasas de interés regula la inversión:
Tasas altas desestimulan la inversión interna, incrementan las
importaciones y disminuyen las exportaciones lo cual produce
DESEMPLEO
El aumento de la actividad económica puede conseguirse con el
Incremento de los gastos del gobierno o con la reducción de los
impuestos

Condiciones:
La existencia de un elevado número de productores y consumidores.
Homogeneidad de productos.
Información plena y de acceso garantizado para todos [transparencia]
Libertad de entrada y salida de empresas.
Movilidad perfecta de bienes y factores.
Sin costos de transacción.
En una situación de competencia perfecta la búsqueda de mayores
beneficios va asociada a la combinación más eficiente y rentable de los
factores productivos y a la modernización tecnológica.
Modelo de mercado de competencia perfecta

Monopolio
Situación en la que un único productor ofrece el B/S requerido para
cubrir las necesidades de un sector del mercado. En una condición de
monopolio sea eficaz no existen productos sustitutos o alternativos
para el bien o servicio ofrecido y no existen opciones de entrada de
competidores en ese mercado. Esto permite controlar los precios.
Distorsiones y ajustes del Modelo
Condiciones para ejercer un poder monopolista:
1) Control de un recurso indispensable
2) Posesión de tecnología específica que permita
producir, a precios razonables, la cantidad necesaria para abastecer
el mercado. [monopolio “natural”]
3) Derecho [patente] sobre un producto o un proceso productivo
4) Franquicia que otorga el derecho en exclusiva para producir un bien
o servicio en determinada área.

Oligopolio, Monopsonio, Oligopsonio, Cartelización
Marcas y diferenciación de productos
Asimetría de la información
Barreras y limitaciones de entrada y salida
Restricciones de movilidad de bienes y factores.
Costos de transacción.
Distorsiones y ajustes del Modelo

Demanda Oferta Equilibrio Precios

Demanda
Cantidad de bienes y/o servicios que los
consumidores están dispuestos a
adquirir para satisfacer total o
parcialmente sus necesidades gracias a
que tienen la capacidad de pago para
realizar la transacción a un precio
determinado y en un lugar y momento
específicos.
Determinantes de la demanda:
1. El precio del bien
2. Los precios de otros bienes
3. Los gustos de los consumidores
4. El ingreso
5. La calidad

Demanda
El área bajo la curva de
demanda representa la
satisfacción (utilidad) del
consumidor.
La satisfacción que
proporciona una unidad
adicional disminuye con la
cantidad consumida y se
espera igual comportamiento
de la disposición a pagar por
parte del consumidor

Oferta
Cantidades de bienes o
servicios que un empresario
está dispuesto a ofrecer por
unidad de tiempo.
Representa, para unos
precios determinados, las
cantidades que los
productores estarían
dispuestos a ofrecer a los
consumidores.

Oferta
El área bajo la curva de oferta
representa los costos de
producción en los que incurren
los productores.
A medida que los precios
aumentan se hace más
atractivo incrementar el
número de unidades ofrecidas
al mercado.
El costo de producir una unidad
adicional debe ser por lo
menos igual al precio (ingreso
por una unidad), de lo contrario
no hay incentivo para producir.

Equilibrio
Cuando se evalúan las
curvas de demanda y oferta
de un producto específico,
en un mercado particular y
un momento determinado,
es posible situar las
condiciones en las cuales
los consumidores y los
productores encuentran
que sus intereses y
expectativas coinciden.
Este equilibrio de objetivos
e intereses se encuentra
dentro de una Zona de
Posibles Acuerdos ZOPA.

Equilibrio
En el punto de corte de las curvas de
demanda y oferta se encuentra la
condición [precio] que produce
satisfacción a los dos agentes:
consumidores y productores.
Este precio se denomina precio de
equilibrio (PE) y a la cantidad
asociada con él, se le llama cantidad
de equilibrio (QE)
PE
QE

Equilibrio
En el punto de equilibrio (E) el
consumidor obtiene una cantidad de
producto (Q) valorada con el precio de
la unidad menos atractiva; y el
productor vende esa misma cantidad
de producto (Q) al precio de la que le
resulta más costoso producir.
De esa manera se generan
excedentes sociales (excedente del
consumidor + excedente del
productor) por encima del valor de la
transacción:
Ing = P x Q
Precio
Cantidad
E
Oferta
Demanda
P
Q
Excedente
del
Consumidor
Excedente
del
Productor
O

Ingresos y consumo
El Ingreso como restricción del consumo
I = P1Q1 + P2Q2+ P3Q3 + ……PnQn céteris paribus I = P1Q1 + P2Q2
El consumidor (productor) destina sus Ingresos (Presupuesto) a la satisfacción de sus
necesidades conformando canastas de [productos (B/S), Insumos]
Índices: IPC // IPP
Bien 1
Bien 2
Curvas de
Indiferencia
INGRESOS
A
B
I / P1
I/P2
O
Conjunto de
combinaciones de dos
bienes, con los cuales un
individuo obtiene el
mismo nivel de utilidad.
Con un ingreso dado,
para el individuo es
indiferente ubicarse en
cualquiera de los puntos
sobre la curva.

Elasticidad
Relación entre variaciones porcentuales
de dos variables
Elasticidad – Precio de la demanda
Es una medida que muestra el grado de
respuesta [elasticidad] de la cantidad
demandada de un bien o servicio frente a los
cambios en el precio de dicho bien o servicio.
Se calcula como el cambio porcentual de la
cantidad demandada en relación a un cambio
porcentual en el precio,
• Bienes elásticos
• Bienes normales [o de elasticidad
unitaria]
• Bienes inelásticos
EPD = [(ΔQ / Q1) / (ΔP / P1)]

Elasticidad
Elasticidad – Ingreso de la demanda EID
Medida de la proporción del cambio porcentual en el consumo de un producto en
relación con un cambio porcentual en el ingreso.
Elasticidad – Ingreso
• Bienes inferiores: Su demanda disminuye cuando se incrementa el Ingreso de los
consumidores
• Bienes superiores: Su demanda aumenta cuando se incrementa el Ingreso de los
consumidores
EID= [(ΔQ / Q1) / (ΔI / I1)]
Elasticidad cruzada
Mide la sensibilidad de la demanda de un producto ante el cambio en el precio de
otro bien. Se define como la relación entre el cambio porcentual en la cantidad
demandada de un bien y el cambio porcentual del precio del segundo bien. [Valor
y signo dependen de la naturaleza de los productos comparados]

Bienes Sustitutos
Si la demanda de un bien B1 aumenta cuando sube el precio de otro bien B2 puede
tratarse de Bienes Sustitutos [Bienes que pueden atender una necesidad con la misma
satisfacción por parte del consumidor]
Bienes Complementarios
Los bienes complementarios son aquellos que usualmente se consumen en forma
conjunta para atender una necesidad. En este caso si sube el precio de un bien B1,
disminuye la demanda de su complementario B2.
Bienes Independientes
Son aquellos cuyo consumo no está relacionado, de tal forma que un cambio en el
precio de uno de ellos no afectará a la demanda del otro.
Clasificación de bienes

Impuestos y subsidios
PE
QE
Precios
Cantidades
demandadas
Oferta
Demanda
E
PE + I
Q´E
E´
Los impuestos y los
subsidios afectan los
precios de mercado
y el equilibrio.
El efecto del
impuesto se traslada
al consumidor, total
o parcialmente, de
acuerdo con la
elasticidad-precio
del bien o servicio
afectado
I

Impuestos y subsidios
PE
QE
Precios
Cantidades
demandadas
Oferta
Demanda
E
PE - Sub
Q´E
E´
S
El subsidio a la
demanda permite el
acceso a bienes y
servicios –
generalmente básicos-
de los sectores de
población que carecen,
total o parcialmente,
de capacidad de pago.
Las diferencias con
respecto a los precios
de mercado se
absorben con recursos
públicos

Variables demográficas: Tasas e indicadores
Ref. Lora, E. (2008) Técnicas de Medición Económica. Metodología y aplicaciones en Colombia. Alfaomega, Bogotá.
Tasa de Crecimiento de la población (TCP)
Se expresa en términos anuales por cada 1000 habitantes
TCP = TCV + TNM
[(𝑷𝟏 −𝑷𝒐 )/𝑷𝒐] x 1000= [(N-D)/Po] x 1000 + [(IN-EM)/Po] x 1000
Expresión en la cual
TCV: Tasa de crecimiento vegetativo [Nacimientos(N), Defunciones (D)]
[(N-D)/Po] x 1000
TNM: Tasa neta de migración [Inmigración (IN), emigración (EM)]
[(IN-EM)/Po] x 1000
Tasas brutas de natalidad y mortalidad
Transición demográfica
Índices específicos de mortalidad
Expectativa de vida
http://www.dane.gov.co/#twoj_fragment1-4
http://esa.un.org/unpd/wpp/

Expectativa de vida al nacer: edad a la que morirían en promedio los
nacidos en una cohorte [grupo de individuos nacidos en un mismo periodo] si
se mantienen iguales las tasas específicas de mortalidad.
Tasas de fecundidad específica:
Número de hijos nacidos en un año a partir de
una cohorte [grupo de edad] de mujeres
Tasa de fecundidad general: número
de nacimientos en un año a partir del conjunto
de mujeres en edad reproductiva (15 – 49 años)
Tasa de fecundidad total: número total de hijos que tendría una mujer si
se mantuvieran invariables las tasas de fecundidad específicas a lo largo de su
vida reproductiva
Tasa neta de reproducción: Número de hijas que tendría una cohorte de
niñas recién nacidas manteniendo invariables las tasas de mortalidad y
fecundidad específicas hasta el final de su vida procreativa

Pirámides
poblacionales
Representaciones gráficas de la
distribución de poblaciones por
grupos, edades y sexo
Razón de dependencia
Relación entre la población en
edades económicamente
Improductivas y la población en
edades productivas
Proyecciones demográficas
Basadas en La estructura de edades, la
distribución por sexo y las TEM, TEF y MN.
Se emplean también modelos matemáticos
𝐑𝐃 =
𝑃≤15+𝑃≥65
𝑃≥15 −<65
X 100
Pt= 𝐏𝑜(1 + 𝑟)𝐭
Pt = Po𝒆𝒈𝒕

INDICADORES DE EMPLEO Y DESEMPLEO
PEA
Población económicamente
activa
Población en edad de
trabajar que está ocupada o
buscando empleo.
Está ocupado quien trabaja al
menos una hora en la
semana
TBP
Relación entre la PEA y la
población total PT
TBP =
𝐏𝐄𝐀
𝐏𝐓
X 100

Indicadores de empleo y desempleo
TBP =
𝐏𝐄𝐀
𝐏𝐓
X 100
Tasa bruta de participación
Tasa global de participación
Tasa de desempleo
Tasa de subempleo
• Por dedicación
• Por competencias
• Por ingresos
Tasa de ocupación
TGP =
𝐏𝐄𝐀
𝐏𝐄𝐓
X 100
TD =
𝐃
𝐏𝐄𝐀
X 100
TS =
𝐒
𝐏𝐄𝐀
X 100
TO =
𝐎
𝐏𝐄𝐓
X 100

indicadores de salud y morbilidad
Tasa de mortalidad infantil
TEM 1 a 4 años
Esperanza de vida
Morbilidad
• Tasa de incidencia
• Tasa de prevalencia (instantánea)
• Tasa de letalidad
OTROS
Número de habitantes/médico
Número de camas hospitalarias/1000 habitantes
Acceso a fuentes de agua potable
Manejo de residuos
Programas de control natal
Gasto público en salud (%PIB, valor per cápita)

indicadores de educación
TASAS DE ANALFABETISMO
TASAS DE ESCOLARIDAD
• PRIMARIA 7 A 11 AÑOS
• MEDIA 12 A 17 AÑOS
TASA DE RETENCIÓN
TASA DE TERMINACIÓN
NÚMERO DE AÑOS DE EDUCACIÓN ALCANZADO
POR UNA COHORTE
OTROS
Cobertura
Resultados de pruebas internacionales
Estudiantes/profesor
Gasto público en educación (%PIB, valor per cápita)

indicadores de vivienda y servicios públicos
VIVIENDA
HOGAR
DÉFICIT DE VIVIENDA
ÍNDICE DE HACINAMIENTO
TIPO DE OCUPACIÓN [SEGÚN NÚMERO
DE CUARTOS EN LA VIVIENDA]
• HOLGADA
• NORMAL
• HACINADA
OTROS
MATERIALES
ACABADOS
COBERTURA DE SERVICIOS PÚBLICOS

índice de desarrollo humano idh
Medida internacional de sintetiza cuatro
componentes (indicadores):
1. Esperanza de vida al nacer
2. Tasa de alfabetización
3. Tasa de matrícula escolar
4. Nivel de ingreso per cápita
Índice del componente
𝑰𝒄 =
𝒙 − 𝒎
𝑴 − 𝒎
M: valor máximo
m: valor mínimo
X : valor del país

Índice del componente
𝑰𝒄 =
𝒙 − 𝒎
𝑴 − 𝒎
M: valor máximo
m: valor mínimo
X : valor del país
Una vez calculados los índices de los componentes se
calcula su promedio ponderado
INDICADOR M m Ponderación
Esperanza de vida al nacer (años) 85 25 0.3333
Tasa de alfabetismo de adultos (%) 100 0 0.2222
Tasa bruta combinada de matrícula escolar (%) 100 0 0.1111
PIB per cápita (US$) log 40.000 100 0.3333
Fuente: PNUD- Cálculo del IDH Reporte Desarrollo humano 2003
OTROS INDICADORES
Índice de Pobreza Humana 1
Índice de Pobreza Humana 2
Índice de desarrollo relativo al género
índice de desarrollo humano idh

Curva de Lorenz y coeficiente Gini
La curva de Lorenz
representa la distribución
acumulada (%) de un recurso
(B/S, derecho) contra el (%)
acumulado de la población.
Una distribución equitativa
se representa con una recta a
45º [AC] la cual sirve de
referente para establecer la
inequidad de la distribución.
La desigualdad extrema [una persona posee todo el recurso] estaría representada por la línea
ABC. En general la curva se encuentra en una situación intermedia entre la recta de
perfecta equidad y la poligonal de desigualdad extrema. La proximidad de la curva con
relación a estos referentes representa el grado de desigualdad.
A
C
B

El coeficiente Gini, un valor
comprendido entre 0 y 1,
permite estimar el grado de
desigualdad en la distribución
de un recurso dentro de la
sociedad.
Puede calcularse como el
doble del valor del área
comprendida entre la recta de
distribución ideal y la poligonal
de la distribución real (curva
de LORENZ)
G=2A

Ejercicio propuesto: Con base en la siguiente información construya
la Curva de Lorenz y calcule el índice Gini para la distribución del
ingreso mostrada en la tabla.
Población
(miles de hab)
Ingreso individual promedio
($)
600 550.000
300 750.000
100 1.000.000
70 1.500.000
30 2.200.000
10 3.500.000
2 5.500.000
El procedimiento de cálculo se ilustra en el cuadro de la siguiente transparencia

Población
(miles de
hab)
% % acumulado
Ingreso individual
promedio
($)
Ingreso total
(𝟏𝟎𝟏𝟏
$)
% %
acumulado
600 53,96 53,96 550.000 3,3 37,84 37,84
300 26,98 80,94 750.000 2,25 25,80 63,64
100 8,99 89,93 1.000.000 1 11,47 75,11
70 6,29 96,22 1.500.000 1,05 12,04 87,15
30 2,70 98,92 2.200.000 0,66 7,57 94,72
10 0,90 99,82 3.500.000 0,35 4,01 98,73
2 0,18 100,00 5.500.000 0,11 1,27 100,00
1112 100,00 8,72 100,00

100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x
x
x
x
Población (%)
Salarios (%)
Curva de Lorenz

Externalidades: identificación y efectos
Una externalidad es una influencia no compensada de un agente sobre el
bienestar de otro. Dicha influencia puede generar un mayor nivel de bienestar
(externalidad positiva) o, por el contrario, provocar un perjuicio (externalidad
negativa).
El responsable de estas acciones tiene en cuenta los efectos secundarios de
sus decisiones y el gobierno debe intervenir para proteger los intereses de los
afectados.
Sin considerar las externalidades, los mercados son eficientes y se encuentran
en equilibrio; sin embargo, en presencia de una externalidad, la eficiencia del
mercado se ve afectada.
Los impuestos permiten internalizar las externalidades negativas.
Los subsidios facilitan internalizar las externalidades positivas

Externalidades: identificación y efectos
Precio
E
E´
P
P´
Q´
Q
Cantidad
Una empresa produce una
cantidad Q superior a la
socialmente deseable Q´.
El Estado aplica un
impuesto pigouviano
cuyo objetivo es reducir la
cantidad producida
obligando a la empresa a
asumir el costo de la
externalidad negativa

PREGUNTAS Y PROPUESTAS DE EJERCICIOS
Ref.
Ejercicios de los capítulos
1, 2 y 3 del libro
Lora, E (2008). Técnicas
de Medición Económica.
Alfaomega, Bogotá (2008)

Apuntes de clase
Parte 2
Material sujeto a revisión
Ing. Julio César Cañón Rodríguez
Profesor Asociado
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá
Febrero de 2013

Apuntes de clase
CONCEPTOS BÁSICOS
Cambio del valor del dinero a
través del tiempo
La legitimidad (relativa) de la
remuneración del dinero
• Intereses
• Tasas de interés
• Usura
¿Por qué se cobra por el uso del
dinero?
• Inflación
• Costo de oportunidad,
• Riesgo

Apuntes de clase
ELEMENTOS Y SIMBOLOGIA
P Presente, Capital, Principal
F Futuro
A Anualidad
I Interés
i Tasa de interés
n Número de periodos
G Gradiente
FLUJO DE CAJA
Perspectivas
Prestatario
Prestamista
Recibe Devuelve
Desembolsa
Recauda
Tiempo
Tiempo

Apuntes de clase
• crédito
• financiación
• préstamo
• endeudamiento
• capitalización
• desembolso…..
• monto
• plazo
• intereses
• abonos
• garantías
• sanciones
• monitoreo….
• ordinario
• hipotecario
• consumo
• fomento
• vehículos
• educativos
• comercial
• prendario….
• libranza
• pignoración
• aval
• pagaré
• carta de
crédito
• letras
• órdenes de
pago..
• encaje
• sobregiro
• préstamo
interbancario
• CDT
• títulos
• ahorros a la vista
• leasing
• banca comercial
• banca de fomento
• banca de segundo
piso
• banca oficial
• banca privada
• superintendencia financiera
• banco de la república
• asociación bancaria
• anif
• establecimientos
bancarios
• corporaciones
financieras
• compañías de
financiamiento
• entidades
cooperativas de
carácter financiero
• organismos
cooperativos de
grado superior

Apuntes de clase

Apuntes de clase
Interés simple
Se denomina interés simple (is)al interés que se aplica siempre sobre el
capital inicial [los intereses generados no se capitalizan].
Se emplea especialmente en el cálculo de algunas formas de descuento
comercial y en el sistema financiero informal.
Is = f(P, n) Is = Pin
Plazo comercial 360 días
Plazo exacto número real de días entre dos fechas
VFs = VP [ 1 + ni] Valor futuro de una suma con interés simple
VPs =
𝐕𝐅𝐬
[𝟏+𝐧𝐢]
Valor presente de una suma con interés simple

Apuntes de clase
Un agente inmobiliario recibe tres ofertas de compra por una casa:
1. $65 millones hoy y un pagaré por $35 millones a 180 días
2. $30 millones a 120 días y $63 millones a 180 días
3. $20 millones hoy y un pagaré por $75 millones a 4 meses
a. Construir los flujos de caja para los tres casos
b. Determinar cual es la mejor oferta si el interés (simple) es del 24% anual
¿Cuánto tiempo debe esperar un inversionista para duplicar su inversión
en un negocio que ofrece rendimientos del 2,5% mensual simple?
Ejercicios con interés simple

Apuntes de clase
Interés compuesto
Si en cada uno de los periodos pactados para atender una obligación los
intereses periódicos se suman al capital conformando un nuevo capital
sobre el cual se calculan los nuevos intereses, se dice que los intereses
se van capitalizando y que la operación se realiza en la modalidad de
interés compuesto (i).
Periodo de capitalización: periodo pactado para convertir el interés en
capital. Si no se especifica otra cosa, es ANUAL. No siempre coincide con el
periodo de pago
ECUACIÓN BÁSICA
VF = 𝑽𝑷 𝟏 + 𝒊 n
Valor futuro de una suma presente con interés compuesto

Apuntes de clase
1. Los intereses que se causan periódicamente se capitalizan,
NO SE PAGAN, se suman al capital.
2. Los intereses se reinvierten a la misma tasa de interés i
3. El supuesto de reinversión establece la principal diferencia entre los
Intereses simples y los intereses compuestos.
Interés simple
Interés compuesto
Tiempo
Tiempo

Apuntes de clase
Se depositan $10 millones durante un año en banco que reconoce el 3%
mensual. Calcular el valor acumulado al final del año:
a. Utilizando tasa de interés simple
b. Utilizando tasa de interés compuesto
Construir los flujos de caja para los dos casos
Construir una gráfica que muestre la diferencia resultante de aplicar las
dos formas de interés
Describir un esquema de Ponzi
¿A qué se denomina tasa de usura?
¿Cuánto tiempo debe esperar un inversionista para duplicar su inversión
en un negocio que ofrece rendimientos del 2 % mensual?
Ejercicios con interés compuesto

Apuntes de clase
VALOR FUTURO CON TASA VARIABLE
En este caso no se cumple el principio de reinversión de los intereses a la misma tasa i
VF = VP [1 + i1][1 + i2][ ………][1 + in]
De esta expresión puede obtenerse la correspondiente al VP con tasa variable
Ejemplo:
Un inversionista participa en un negocio con $2,5 millones durante seis meses. La tasa de interés
inicial que le reconocen es de 1% mensual. Si cada mes la tasa aumenta 0.2% ¿cuál será el valor
que recibe el inversionista al final del semestre?
Rta.
VF = 2,5 [1 + 0.01][1 + 0.012][1 + 0.014][1 + 0.016][1 + 0.018][1 + 0.020]
VF = $2.733.515,29

Apuntes de clase
VALOR PRESENTE CON TASA VARIABLE
Como en el caso anterior, no se cumple el principio de reinversión de los intereses a la misma
tasa i
𝑽𝑷 =
𝑽𝑭
𝟏+𝒊𝟏
𝟏+𝒊𝟐
……. [𝟏+𝒊𝑵]
Ejercicio:
Un inversionista recibe $5 millones después de un programa de ahorro
de seis meses. La tasa de interés inicial que le reconocieron fue de 1,5 %
mensual y cada mes la tasa aumentó 0.15 %
¿cuál fue el valor inicial depositado por el inversionista?

Apuntes de clase
VALOR PRESENTE CON INTERÉS COMPUESTO
Se calcula con la misma expresión básica ordenada en términos de VP
VP = VF[1 + i]-n
De la ecuación básica pueden obtenerse también expresiones para el cálculo
de la tasa de interés (i) o el número de periodos (n)
Ejemplo:
Un ahorrador necesita disponer de $5 millones de pesos dentro de seis meses para pagar una
matrícula universitaria. Si un banco le ofrece 3% mensual como interés por su ahorro
a. ¿cuánto debe depositar HOY para cumplir su objetivo en el plazo fijado?
b. Si solo dispusiera de cuatro meses de plazo ¿a que tasa debe pactar su ahorro para disponer
de los $5 millones depositando HOY la misma suma obtenida en el literal a.

Apuntes de clase
ACEPTACIONES BANCARIAS
Se trata de títulos valores [letras, actas de obra, órdenes de pago] con los cuales se
garantizan operaciones de crédito. Al negociarse en el mercado se aplica un descuento
sobre su valor, en función del tiempo que resta para poder hacerlos efectivos. Para los
cálculos se aplica la fórmula básica del interés compuesto.
VP = VF[1 + i]-n
De la ecuación básica pueden obtenerse también expresiones para el cálculo
de la tasa de interés (i) o el número de periodos (n)
Ejemplo:
Un contratista dispone de una aceptación bancaria por $20 millones a 180 días y necesita
negociarla faltando 72 días para su vencimiento. Si finalmente negocia con un comisionista que
le cobra una tasa de 18% anual ¿cuánto recibirá a cambio del título negociado?
Rta:
El valor que recibe equivale al valor presente de un valor futuro de $20 millones, negociado al
18% anual por un plazo de [72/360] año
VP = 20.000.000 (1 + 0.18) - [72/360] = $19.348.780.34

Apuntes de clase
CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS COMPUESTO
A partir de:
VF = VP[1 + i]n
log(VF) = log (VP) + n log[1 + i]
log(VF) - log (VP) = n log[1 + i]
log[1 + 𝑖] =
log(𝑉𝐹)−log(𝑉𝑃)
𝑛
Ejercicio:
Una inversión de $10 millones se convierte en $20 millones después de 18
meses. Si la operación se efectuó con interés compuesto calcular la tasa
mensual correspondiente.
Sugerencia: Emplee dos formas diferentes de cálculo y compare los
resultados
Rta: I = 3.93 % mensual

Apuntes de clase
CALCULO DEL PLAZO (n) DE UNA OPERACIÓN CON INTERÉS
COMPUESTO
A partir de:
VF = VP[1 + i]n
log(VF) = log (VP) + n log[1 + i]
log(VF) - log (VP) = n log[1 + i]
n=
log(𝑉𝐹)−log(𝑉𝑃)
𝑙𝑜𝑔[1+𝑖]
Ejercicios:
1. ¿Cuánto tiempo tomará duplicar una inversión en un negocio que ofrece
una tasa de 2% mensual.
2. ¿En cuanto tiempo se obtendrán $700.000 a partir de una inversión de
$500.000 hecha al 4% mensual?

Apuntes de clase
ECUACIONES DE VALOR CON INTERÉS COMPUESTO
Aplicación de la expresión básica:
VF = VP[1 + i]n
1. Construir el flujo de caja del problema
2. Determinar la fecha focal
3. Trasladar a la fecha focal los Ingresos y los Egresos
e igualarlos. La ecuación resultante es la ECUACIÓN DE VALOR
Ejemplo: Un deudor se comprometió inicialmente a pagar una obligación con tres pagos:
Un pago hoy por $500.000
Un pago dentro de cinco meses por $2 millones
Un pago dentro de ocho meses por $3,5 millones
Posteriormente acordó con el acreedor una nueva forma de atender la obligación: dos pagos
iguales en los meses 6 y 12 (contados a partir de hoy)
¿Cuál es el valor de estos pagos si la operación se realiza a una tasa de 3% mensual?

Apuntes de clase
Desarrollo:
Flujo de caja de la propuesta inicial de pago
ECUACIÓN DE VALOR
VP= 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 +
𝟐.𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎
𝟏+𝟎.𝟎𝟑 𝟓 +
𝟑.𝟓𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎
𝟏+𝟎.𝟎𝟑 𝟖
VP = $4.988.149,89
MESES
VP
500.000
2.000.000 3.500.000
FECHA
FOCAL 5 8

Apuntes de clase
Desarrollo:
Flujo de caja de la propuesta alternativa
ECUACIÓN DE VALOR
4. 𝟗𝟖𝟖. 𝟏𝟒𝟗. 𝟖𝟗 =
𝐅𝟏
𝟏+𝟎.𝟎𝟑 𝟔 +
𝐅𝟏
𝟏+𝟎.𝟎𝟑 𝟏𝟐
Valor de cada uno de los pagos F1 = $3.241.966
Sugerencia: Repetir con nueva fecha focal y comparar resultados
MESES
VP = $4.988.149.89 F1 F2 = F1
FECHA
FOCAL 6 12

Apuntes de clase
CALCULO DE FECHAS ALTERNATIVAS DE PAGO
Se emplea la expresión básica:
VF = VP[1 + i]n
El procedimiento desarrollar el mismo planteamiento de ecuaciones de valor
Ejemplo: Un prestamista tiene tres documentos pendientes de cobro:
Uno por $200.000 con vencimiento dentro de cuatro meses
Uno por $300.000 con vencimiento dentro de seis meses
Uno por $600.000 con vencimiento dentro de ocho meses
Pacta con el deudor cambiar los tres pagos por UNO solo de $900.000.
Si la tasa de interés de la operación es de 4% mensual ¿En cuanto tiempo (a partir de
hoy) deberá efectuar el deudor ese pago único?
Sugerencias:
inicialmente situar la FECHA FOCAL en el momento cero (Hoy)
Repetir con nueva fecha focal y variar las tasas de interés o el valor del pago único

Apuntes de clase
EFECTO DEL PERIODO DE DESCUENTO DE LAS TASAS DE INTERÉS
Para un VP = $1.000.000 , un plazo de un año y modalidad de intereses
vencidos:
El valor del interés generado y la respectiva tasa efectiva crecen al disminuir el
periodo de descuento de los intereses
i (nominal) Interés ($) i (efectivo)
18 % 180.000 18%
18%, S 188.100 18,81%
18%, T 192.519 19,25%
18%, M 195.618 19,56%
18%, D 197.164 19,72%

Apuntes de clase
TASAS NOMINALES Y TASAS EFECTIVAS
Tasa nominal: Tasa de referencia que orienta sobre el verdadero costo
del dinero. Expresa el valor anual de la tasa, la frecuencia y modalidad
de liquidación de los intereses. En su forma más simple corresponde a la
tasa resultante de aplicar intereses compuestos, anuales y vencidos. La
tasa nominal supone interés simple mientras que la tasa efectiva supone
interés compuesto.
Formas habituales de expresión de tasas nominales:
i % nominal anual con capitalización trimestral
i % trimestre vencido
i % TV

Apuntes de clase
TASAS NOMINALES Y TASAS EFECTIVAS
Tasa nominal referida a DTF
DTF (1988) Indicador de costo del dinero para entidades financieras
[Costo promedio del dinero captado a través de CDT a 90 días]
i % = DTF + (x)%
Tasa nominal referida a UVR
UVR creada por la ley 546 de 1999 se aplica desde 01/01/2000
En estos casos se consideran los márgenes de intermediación y las tasas
remuneratorias

Apuntes de clase
TASA PARA DEPÓSITOS A TÉRMINO FIJO DTF
Es un tipo de interés calculado con base en el promedio ponderado semanal de las
tasas y montos captados diariamente a través de los Certificados de Depósitos a
Término - CDT a 90 días. DTF es calculada semanalmente por el Banco de la República
con los datos provistos por los bancos y otras entidades financieras a través de la
Superintendencia Financiera hasta el día anterior al del cálculo.
Los factores que influyen sobre el valor de la DTF incluyen:
• La tasa de interés de la entidad financiera que tenga mayor cantidad de recursos
captados mediante CDT a 90 días.
• La demanda de recursos de inversión por parte de la economía real
• La disponibilidad de liquidez con la que cuenten las entidades financieras que
captar por medio de CDTs
• Las tasa de referencia del Banco de la República
• La inflación

Apuntes de clase
TASAS EN FUNCIÓN DE DTF
DTF se expresa como nominal T,A y como Efectiva Anual y los puntos porcentuales
adicionales se expresan como tasas efectivas anuales.
i = DTF + (X)%
Por ejemplo, i = DTF + 8%
si DTF = 8,75% EA , entonces i = 16,75 % EA
Ejemplo: Un banco concede un crédito de $10 millones a una tasa DTF + 8% con
intereses pagados mensualmente. Si DTF es de 10% EA calcular:
a. Tasa de interés del crédito
b. Valor de los intereses del primer mes (*)
La tasa de interés del crédito es de DTF + 8% = 10% + 8% = 18% EA
Para el cálculo de la Tasa Efectiva Mensual
TEA = (1 + TEM) 12 – 1
0,18 = (1 + TEM)12 – 1 , de donde
TEM = 1,39% (Tasa efectiva mensual para el primer mes)
(*) DTF varía semanalmente y por esa razón cada mes debe calcularse la TEM

Apuntes de clase
UNIDAD DE VALOR REAL - UVR
Es una unidad de cuenta expresada en pesos que refleja el poder adquisitivo de la
moneda. Creada por la ley 546 de 1999 y aplicada desde el 1 de enero de 2000. Se
calcula por el Banco de la República para cada día del año con base en la inflación
reportada en periodos mensuales comprendidos entre el día 16 de un mes y el día 15
del mes inmediatamente siguiente.
Se liquida y abona día vencido sobre saldos y se calcula con la expresión:
UVR t = UVR15 (1 + i) t/d
Expresión en la cual:
UVR
t
:Valor de la UVR el día t UVR
15: valor de la UVR el último día del periodo de cálculo anterior
i = cambio (%) del IPC en el mes calendario anterior al mes de inicio del periodo de cálculo
t: número de días calendario transcurridos desde el inicio de un periodo de cálculo hasta el día en el que
se desea calcular el valor de la UVR 1 < t < 31
d: Número de días calendario del respectivo periodo de cálculo 28 < d <31

Apuntes de clase
UNIDAD DE VALOR REAL - UVR
Ejemplo:
Si el valor de la UVR el 15 de agosto/12 es $203,3924 calcular el valor de la UVR para
el 17 del mismo mes si la inflación del mes de julio/12 fue de - 0.02 %
El periodo de cálculo corresponde al 16 de agosto – 15 septiembre d = 31 días
t = 2 días
UVR 17 = UVR15 (1 – 0.0002) 2/31
UVR 17 = 203,3924 (1 – 0.0002) 0,0645
UVR 17 = $203.3898
Ejercicio: Calcular valores de UVR usando datos registrados de inflación para diferentes fechas y
verificarlos contra las estadísticas del Banco de la República
http://www.banrep.gov.co/series-estadisticas/see_upac.htm

Apuntes de clase
INFLACIÓN
Crecimiento continuo y generalizado de los precios de los
bienes, servicios y factores productivos de la economía.
La evolución de la inflación se mide a través de la variación
del Índice de Precios al Consumidor (IPC).
Inflación Anticipada (Efectos sensibles)
• Minimizar pérdidas reduciendo saldos medios de dinero.
• Aumento del consumo de bienes durables.
• Pérdida de ingreso disponible por causa de distorsiones tributarias.
• Costos para el Estado, por deterioro del valor de los tributos que
recauda.

Apuntes de clase
Inflación no anticipada (Algunos efectos sensibles)
Los principales efectos de la inflación no anticipada son redistributivos.
Los cambios en las tasas de inflación desplazan el ingreso y la riqueza
entre diferentes grupos de la población.
Durante un proceso inflacionario, los deudores se verán beneficiados a
costa de los acreedores, ya que la inflación reduce las tasas reales de
interés que pueden llegar a ser negativas.
Para evitar el desgaste que sufren los activos financieros por el aumento
de los precios, se han desarrollado instrumentos indexados que ajustan
la tasa de interés nominal.
Referencia inicial para ampliación de los conceptos básicos:
http://www.banrepcultural.org/blaavirtual/ayudadetareas/economia/econo103.htm

Apuntes de clase
La tasa de inflación, f(%) es la medida del incremento continuo de los precios de
bienes y servicios a través del tiempo. Se aplica sobre los precios anteriores (ya
afectados por la inflación) y por eso funciona análogamente al interés compuesto.
Ejemplos:
1. Si la tasa media de inflación mensual para un periodo de seis meses es de
2,5% ¿cuánto valdrá al final de ese periodo un producto que hoy vale $12.500?
VF = 12.500 (1 + 0.025)6 = $14.496,17
2. Si la tasa promedio de inflación mensual para los próximos tres años es de
0,5% ¿cuánto costará dentro de 3 años una casa que hoy vale $140 millones?
VF = 140.000.000 (1 + 0.005)36 = $167.535.273
Este valor del bien se conoce como valor en pesos corrientes (o nominales)
Si se sustrae el efecto de la inflación se tienen los valores en pesos constantes
VP = VF ( 1 + f ) – n

Apuntes de clase
TASAS EFECTIVAS Y TASAS PERIÓDICAS
Tasa efectiva: Tasa que mide el costo efectivo de un crédito o la rentabilidad
efectiva de una inversión, involucrando en concepto de interés compuesto.
𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫é𝐬 𝐬𝐢𝐦𝐩𝐥𝐞
𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫é𝐬 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨
=
𝐓𝐚𝐬𝐚 𝐧𝐨𝐦𝐢𝐧𝐚𝐥
𝐓𝐚𝐬𝐚 𝐞𝐟𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐚
Tasa periódica: Tasa que se aplica para calcular el interés en un periodo
determinado. Por ejemplo, 1% diario, 1, 5% mensual, 5% anual
La tasa periódica puede calcular a partir de la tasa nominal y la
tasa efectiva
Tasa nominal = Tasa periódica x n (número de periodos)

Apuntes de clase
ECUACIÓN DE LA TASA EFECTIVAS
TE__= 𝟏 + 𝒊𝒑 𝑵 − 𝟏
TE__: Tasa efectiva para un periodo determinado
ip : Tasa periódica
N: Número de veces que se liquida la tasa periódica en el
plazo expresado en la tasa efectiva que se quiere calcular
Ejemplo: calcular la Tasa Efectiva Anual (TEA) que corresponde a una
tasa periódica de 2% mensual
La tasa periódica (mensual) se liquida doce veces en el periodo para el
cual se desea calcular la Tasa Efectiva
TEA = (1 + 0.02) 12 – 1 = 26,82%

Apuntes de clase
Ejemplo:
Un prestamista entrega $1.000.000 a un cliente por tres meses a una tasa de interés de 36% con
capitalización mensual. Se acuerda cancelar el valor del préstamo más los intereses al final del
trimestre.
a. Calcular el valor acumulado al final del trimestre (valor del pago único)
b. Calcular la tasa efectiva trimestral (TET) de la operación
Solución
a. Se calcula la tasa mensual a partir de la nominal i = 0,36/12 = 0.03 = 3% mensual
Mediante la ecuación básica VF = VP (1 + i) n
VF = 1.000.000 (1 + 0.03)3 = $1.092.727 (Valor pago único)
b. Cálculo de la tasa efectiva trimestral TET
TET = (1 + 0.03)3 – 1 = 9.27%

Apuntes de clase
TASAS EQUIVALENTES
Dos tasas de interés son equivalentes cuando ambas,
obrando en condiciones diferentes, producen la misma tasa
efectiva anual o el mismo valor futuro
Caso De una tasa Pasar a una tasa
1 EFECTIVA EFECTIVA EQUIVALENTE
2 EFECTIVA NOMINAL EQUIVALENTE
3 NOMINAL EFECTIVA EQUIVALENTE
4 NOMINAL NOMINAL EQUIVALENTE

Apuntes de clase
CASO 1. A partir de una tasa efectiva periódica calcular la tasa
efectiva correspondiente a otro periodo
Ejemplos:
1. ¿Qué tasa efectiva trimestral corresponde a una tasa de 2% mensual?
TET = (1 + 0.02) 3 – 1 = 6,12%
2. ¿Qué tasa efectiva mensual (TEM) equivale a una tasa efectiva anual
de 40%?
TEA = (1 + TEM) 12 – 1
0.40 = (1 + TEM)12 - 1
1,40 = (1 + TEM)12
1 + TEM = (1,40) 1/12
TEM = 2,84%

Apuntes de clase
CASO 2. A partir de una tasa efectiva calcular una tasa nominal
equivalente
Ejemplo:
1. A partir de una TEA de 40% calcular la tasa nominal con capitalización trimestral equivalente
Paso 1: Calcular la TET
TEA = (1 + TET) 4 – 1
0.40 = (1 + TET)4 - 1
1,40 = (1 + TET)4
1 + TET = (1,40) 1/4
TET = 8,77%
Paso 2: Calcular la tasa nominal anual
Si se multiplica una tasa efectiva periódica por el número de periodos se obtiene
la tasa nominal correspondiente
Tasa Nominal Anual = 8.77% x 4 = 35,08%
La tasa nominal 35,08%, TV equivale a una Tasa Efectiva Anual de 40%

Apuntes de clase
CASO 3. A partir de una tasa nominal calcular una tasa efectiva
periódica equivalente
Ejemplo:
1. A partir de una tasa de 22% capitalizable mensualmente calcular la TEA
Paso 1: Determinar la tasa periódica efectiva
22%/12 = 1,83%
1,83% es la tasa periódica (mensual) efectiva
Paso 2: Calcular la Tasa Efectiva Anual
TEA = (1 + 0.0183)12 - 1
TEA = 24,36%
La tasa nominal 22%, MV equivale a TEA de 24,36%
Ejercicio
Calcular la TEA a partir de una tasa nominal de:
36%, M
36%, T
36%, S
36%, A

Apuntes de clase
CASO 4. A partir de una tasa nominal calcular otra tasa nominal
equivalente
Ejemplo:
1. A partir de una tasa de 36% con capitalización mensual calcular la tasa nominal con capitalización
trimestral equivalente
Paso 1: Calcular la tasa periódica efectiva mensual
36%/12 = 3%
Paso 2: Calcular la Tasa Efectiva Trimestral TET
TET = (1 + 0,03)3 – 1
TET = 9,27%
Paso 3: Calcular la tasa nominal trimestral
Si se multiplica una tasa efectiva periódica por el número de periodos se obtiene
la tasa nominal correspondiente
Tasa Nominal = 9.27% x 4 = 37,08%
La tasa nominal 36%, ,MV equivale a tasa nominal 37,08% TV

Apuntes de clase
TASA DE INTERÉS ANTICIPADO
La liquidación de los intereses se hace al principio del
respectivo periodo
Flujo de caja para un crédito de $100 a una tasa de 30% anual ANTICIPADO
Tasa de interés nominal 30%, A
Tasa de interés efectivo 𝐢𝐞 =
𝟑𝟎
𝟕𝟎
= 42,86%
Una tasa nominal de 30% anticipado equivale a una tasa real de 42,86%
1 año
30
100 100
Reintegro del préstamo
Préstamo
Intereses por anticipado

Apuntes de clase
CONVERSIONES
1. De tasa anticipada a tasa vencida
𝐢𝐯 =
𝒊𝒂
(𝟏 −𝒊𝒂)
Grs. 02 y 04
Ejemplo:
Un cliente bancario necesita $1 millón para un negocio que le exige exactamente esa
cantidad. El banco le cobra una tasa de 5%, mensual anticipada, pero el cliente solicita
una tasa vencida equivalente para que su negocio no se afecte. ¿Cuál será el valor de
esa tasa?
iv =
0.05
(1 −0.05)
= 5,26% mensual vencida
Sugerencia: comprobar la equivalencia de las dos operaciones

Apuntes de clase
CONVERSIONES
2. De tasa vencida a tasa anticipada
𝐢𝐚 =
𝒊𝒗
(𝟏+𝒊𝒗)
Ejemplo:
El inverso del ejemplo anterior.
i𝑎 =
0.0526
(1+0.0526)
= 5% mensual anticipado
Ejercicio:
Calcular la tasa trimestral anticipada equivalente a una del 2% mensual anticipada
Paso 1:
Convertir la tasa de 2% mensual anticipada a mensual vencida equivalente
2% mensual anticipada equivale a 2,04% mensual vencida
Paso 2: Calcular la TET con base en la mensual vencida TET = 6,25%
Paso 3: Calcular la tasa trimestral anticipada
i𝑎 =
0.0625
(1+0.0625)
= 5,88 trimestre anticipado

Apuntes de clase
Ejercicios propuestos:
1. A partir de una tasa nominal de 36% TA calcular la TEA
Nota: Las tasas de interés anticipado también se presentan como nominales y a
partir de ellas se calculan las tasas periódicas
2. De las siguientes opciones que se ofrecen para créditos bancarios ¿cuál es la
mejor?
a. 36% TA
b. 36,5% MV
Sugerencia: Comparar Tasas Efectivas Anuales
3. Calcular la tasa equivalente solicitada
Tasa (origen) Tasa equivalente solicitada
4% MV (x)% TA
1,5% MV (x)% SA
18% (x)% MA

Apuntes de clase
La ecuación básica en términos de tasa efectiva periódica
anticipada toma la forma
VF = VP[1 – ia]-n
VF : Valor futuro tras n periodos
VP: Valor presente de la operación
ia: Tasa efectiva periódica anticipada
N: Número de periodos
Si la tasa anticipada se convierte a tasa vencida puede emplearse la
ecuación básica
VF = VP[1 + i]n

Apuntes de clase
Ejemplo:
Se depositan hoy $4 millones en un banco que reconoce una tasa de 20% TA sobre los
valores depositados. ¿Cuál será el valor acumulado al final del año?
Opción 1: Utilizando la tasa periódica efectiva anticipada
ia = 0.20/4 = 0.05 = 5% Trimestral
VF = 4.000.000[1 – 0.05]-4
VF = $4.910.950
Opción 2: Utilizando la tasa periódica vencida equivalente
𝐢𝐯 =
𝟎.𝟎𝟓
(𝟏 −𝟎.𝟎𝟓)
= 5,26% TV
Puede emplearse la fórmula básica
VF = 4.000.000[1 + 0.0526]4
VF = $4.910.950
Los dos resultados son idénticos

Apuntes de clase
DESCUENTOS POR PRONTO PAGO
El crédito de proveedores es una alternativa de financiación usualmente ligada a
ciertas condiciones de pago que generan descuentos en el valor de las operaciones
Ejemplo:
Una empresa adquiere a crédito su materia prima. El proveedor le plantea un
descuento de 5% por compra de contado. Si la empresa no se acoge a ese descuento
por pronto pago y prefiere pagar a los 30 días, calcular el costo efectivo anual.
0.95C C
30 días
Sea C el costo de la mercancía. Si se acoge al descuento pagaría 0,95C en el
momento de la compra. Si la empresa NO compra de contado la mercancía por 0.95 C
y prefiere pagar a los 30 días el costo total C, eso equivale a pagar 5% de interés sobre
0.95C en 30 días, es decir, una tasa de interés mensual i =
𝑪
𝟎.𝟗𝟓𝑪
– 1 = 5,26%, M
equivalente a una TEA = (1 + 0.0526)12 – 1 = 84,99%

Apuntes de clase
DESCUENTOS POR PRONTO PAGO
Ejemplo:
Un proveedor factura una mercancía por $5 millones con el siguiente plan de
descuento por pronto pago: 4/10 neto 30 (*). Calcular el costo efectivo para el
comprador si no se acoge al descuento
(*) 4/10 neto 30 significa que si el comprador paga la mercancía dentro de los primeros 10
días tendrá un descuento de 4%, de lo contrario pagará a los 30 días el valor total de la
factura.
$4,8 millones $5 millones
10 días 30 días
Si el comprador NO se acoge al descuento y prefiere pagar a los 30 días el costo total
pagará una tasa de interés mensual i =
𝟓.𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎
𝟒.𝟖𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎
– 1 = 4,17%, por 20 días
4,17% es la tasa efectiva periódica para 20 días (periodo para el cálculo)
A partir de este valor se obtiene TEA = 108,63%

Apuntes de clase
ANUALIDADES – SERIES UNIFORMES
Serie de pagos ( o Ingresos) iguales, periódicos no necesariamente
anuales (pueden ser mensualidades, por ejemplo)
Ejemplo:
Se compran muebles por valor de $2 millones con un plan de pagos de cuatro cuotas
mensuales iguales pagaderas al final de cada mes con una tasa de interés de 36%, M.
¿Cuál es el valor de la mensualidad?
2.000.000 i = 36%, M
A [mensualidad]
0
1 2 3 4 meses
Tasa periódica efectiva (tasa mensual) = 3%
Fecha focal Origen
Ecuación de valor 𝟐. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 =
𝑨
(𝟏,𝟎𝟑)
+
𝑨
𝟏,𝟎𝟑 𝟐 +
𝑨
𝟏,𝟎𝟑 𝟑 +
𝑨
𝟏,𝟎𝟑 𝟒
Despejando el valor de la mensualidad A = $538.054.09

Apuntes de clase
ANUALIDADES – SERIES UNIFORMES
Condiciones de una serie de anualidades
1. Pagos iguales
2. Pagos periódicos
3. Número de pagos = número de periodos
Tipos de anualidades
 VENCIDA
 ANTICIPADA
 DIFERIDA
 PERPETUA

Apuntes de clase
Para calcular el Valor Presente de la serie se traslada el valor equivalente
de la misma, VES, hasta la Fecha Focal correspondiente.
ANUALIDADES VENCIDAS
Pagos al final del periodo: salarios, arrendamientos, cuotas
VES = 𝑨[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ]
VES: valor equivalente de la serie, está SIEMPRE al inicio del periodo
en el que se hace el primer pago de la serie.
VP = VES(1 + i) - N
VES
A
7 8 9 10 ……

Apuntes de clase
Ejercicio:
Un vehículo se adquiere con el siguiente plan:
• Cuota Inicial de $10 millones y 24 cuotas mensuales de $1 millón cada una
• Tasa de interés i = 2,5 % , M
¿Cuál es el valor del vehículo? R: $27.884.985.83
Repetir el ejercicio si la primera cuota mensual se paga seis meses después de la cuota inicial
VALOR PRESENTE DE ANUALIDAD VENCIDA CON TASA VARIABLE
No aplica la ecuación. Debe emplearse la ecuación básica variando la tasa
Ejemplo:
Calcular el VP de una serie de cuatro cuotas vencidas mensuales de $200.000 c/u dadas las
tasas siguientes
R. $777.017.47
MES 1 2 3 4
Tasa 1% 1,2% 0,8% 1,5%

Apuntes de clase
EXPRESIÓN PARA EL VALOR DE LA CUOTA A = 𝑷[
𝒊 𝟏+𝒊 𝑵
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
]
VALOR FUTURO DE ANUALIDAD VENCIDA F = 𝑨[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊
]
El valor futuro F equivalente a una serie de pagos iguales
vencidos está ubicado en la fecha del pago de la última cuota
Ejercicios propuestos
1. Un lote de terreno que cuesta $20 millones se compra con una CI del 10% y 12 cuotas
mensuales con i = 2% mensual. Calcular el valor de cada una de las cuotas mensuales
R. A=$1.702.072.74
2. Un crédito de $5 millones se paga en 18 mensualidades de $50.000 más dos cuotas extras
iguales en los meses 6 y 12. Si la tasa de interés es 3% mensual, calcular el valor de las
cuotas extras. R. $2.802.212.20

Apuntes de clase
Ejercicios:
1. Un ahorrador deposita $1,2 millones cada fin de mes durante un año en un banco que le
reconoce 3% mensual. ¿cuánto tendrá acumulado al final del año?
2. Un ahorrador decide depositar $1 millón mensualmente durante un año en una entidad que
le paga 1,8% mensual. En el momento de hacer su séptimo depósito le informan que la tasa de
interés ha subido al 2% mensual por lo que decide aumentar su ahorro a $1,5 millones
mensuales, ¡cuánto ha acumulado al final del año?
VALOR FUTURO DE ANUALIDAD VENCIDA CON TASA VARIABLE
No aplica la ecuación. Debe emplearse la ecuación básica variando la tasa
EXPRESIÓN PARA EL VALOR DE LA CUOTA A = 𝑭[
𝒊
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
]
Ejercicio:
¿Cuánto debe depositarse al final de cada mes, durante dos años, en una cuenta de ahorros que
reconoce 2,5% mensual para reunir $8,5 millones?
Repetir el ejercicio si la tasa de interés es de 2% mensual y el plan de ahorro es de 36 meses

Apuntes de clase
CÁLCULO DE PLAZO DE PAGOS N = [
𝒍𝒐𝒈𝑨 −𝒍𝒐𝒈(𝑨 −𝑷𝒊)
𝒍𝒐𝒈 𝟏+𝒊
]
Ejemplo
Una deuda de $1 millón debe cancelarse con cuotas mensuales iguales de $100.000 cada una. Si
la tasa de interés es 36%, M ¿con cuantos pagos se cancelará la deuda?
Paso 1. Se calcula la tasa periódica efectiva ip = 0,36/12 = 0.03 = 3% mensual
Paso 2. Se aplica la expresión mostrada arriba, remplazando los valores indicados
N = [
𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 −𝒍𝒐𝒈(𝟏𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 −𝟏.𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎∗𝟎,𝟎𝟑)
𝒍𝒐𝒈 𝟏+𝟎,𝟎𝟑
] = 12 cuotas
Si el resultado del cálculo NO es exacto, por ejemplo, si fuera 12,4 meses significa que una vez se
pague la cuota 12 habrá un saldo pendiente para cubrir totalmente la deuda.

Apuntes de clase
Para calcular el Valor Presente de la serie se traslada el valor equivalente
de la misma, VES, hasta la Fecha Focal correspondiente. En el caso
ilustrado en el diagrama el valor VES se lleva a la fecha focal cero,
utilizando la expresión conocida
ANUALIDADES ANTICIPADAS
Los pagos se realizan al comienzo del periodo respectivo.
ATENCIÓN: Pueden utilizarse las mismas expresiones empleadas para anualidades
vencidas , teniendo en cuenta el momento de aplicación de los valores
VES = 𝑨[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ]
RECUERDE que el VES se localiza al inicio del periodo anterior al del primer pago de
la serie.
VF = P(1 + i) N
A
0 1 2 4 ……
3
I
VES
- 1
Como el primer pago de la serie se
realiza en el momento cero, es
necesario crear un periodo ficticio,
anterior al origen del diagrama para
localizar en ese punto el VES

Apuntes de clase
Ejemplo
Una deuda que se había pactado pagar en 18 cuotas mensuales anticipadas iguales de $150.000
se renegocia para cancelarla de contado. Si la tasa de interés usada en el negocio es de 3%
mensual ¿cuál es el valor del pago de contado?
Paso 1. Para utilizar la expresión de mensualidad vencida se añade un periodo imaginario a la
izquierda del origen del diagrama
Paso 2. Se aplica la expresión VES = 𝑨[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ] remplazando los valores indicados
Se obtiene como resultado VES = $2.063.026,70
Como este es el valor de VES está en el momento -1 es necesario trasladarlo a la fecha focal
cero con la expresión VF = P(1 + i) N
VF = 2.063.026,70(1,03)1 = $2,124,917,5
EXPRESIONES DIRECTAS PARA EL CÁLCULO CON ANUALIDADES ANTICIPADAS
VES = 𝐀(𝟏 + 𝒊)[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ] 𝐕𝐅 = 𝐀[
(𝟏+𝒊)𝑵+𝟏 −(𝟏+𝒊)
𝒊
]

Apuntes de clase
Ejemplo
Un ahorrador consigna el primer día de cada mes la suma de $500.000
en una cuenta de ahorros que le reconoce una tasa del 3% mensual
¿cuánto será el saldo de su cuenta al final del año?
Se aplica la expresión 𝐕𝐅 = 𝐀[
(𝟏+𝒊)𝑵+𝟏 −(𝟏+𝒊)
𝒊
]
remplazando los valores suministrados y se obtiene como resultado:
VF = $7.308.895,20
EXPRESION PARA EL CÁLCULO DE PLAZOS CON ANUALIDADES
ANTICIPADAS
N =
𝒍𝒐𝒈𝑨 −𝒍𝒐𝒈[𝑨 −𝒊 𝑷 −𝑨 ]
𝒍𝒐𝒈 𝟏+𝒊
+ 1

Apuntes de clase
ANUALIDADES DIFERIDAS
Pagos que comienzan unos periodos después de realizada la operación financiera.
Periodo de gracia: tiempo que transcurre sin amortizar capital. Puede tener
tasa de interés diferente a la del periodo normal de pagos.
Ejemplo 1
Se adquiere hoy un electrodoméstico financiado con 18 cuotas mensuales iguales de
$150.000 cada una con pagos que se iniciarán dentro de cinco meses. Si la operación
se realiza al 3% mensual, calcular el valor del negocio
Se calcula el valor equivalente de la serie VES = 𝑨[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ]= $2.063.026,96
En este caso está VES está al inicio del periodo 4. Para calcular el Valor Presente VP
de la serie se traslada el valor equivalente de la misma hasta la Fecha Focal [cero en
este caso], con la expresión VP = P(1 + i) - N
A
0 4
VES
5 6 7 …………… 22 meses
VP
VP = 2.063.026.96(1 ,03) – 4 = $1.832.972.73

Apuntes de clase
ANUALIDADES DIFERIDAS
Ejemplo 2
Una deuda de $50 millones debe cancelarse con pagos de $750.000 desde el mes 6 hasta el
mes 12 y un pago final en el mes 18. Si el negocio se hace al 3% mensual ¿cuál es el valor del
pago final?
X es el valor del pago final
Se calcula la ecuación de valor con fecha focal en cero
50.000.000 = 𝟕𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎[
𝟏,𝟎𝟑 𝟕
−𝟏
𝟎,𝟎𝟑 𝟏,𝟎𝟑 𝟕
𝟏,𝟎𝟑 𝟓 ] + x (1,03)-18
Y se obtiene X = $78.259.617.64 [Valor del pago final]
A
0 5
VES
6 7 8 ……… 12 18 (meses)
VP Pago final (X)

Apuntes de clase
ANUALIDADES A PERPETUIDAD
Herencias, legados, premios, fondos de retiro, arrendamientos sin opción de compra.
Por su naturaleza de pagos indefinidos NO existe el valor futuro de la serie.
Cálculo del Valor Equivalente de la serie
Considerando que N ∞ la expresión P = 𝑨[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ] se convierte en:
P=
𝑨
𝒊
∞
Ejemplo:
Un filántropo dispone en su testamento que de su capital se destinen $250 millones a favor de
un hogar geriátrico para que reciba mensualmente el valor de los intereses sin afectar el saldo
del capital. Si la tasa de interés del mercado es de 0,5% mensual ¿cuánto recibirán los
beneficiarios mensualmente?
A = P *i = 250.000.000 * 0.005 = $1,250.000
A
0 1 2 3 4 5
P

Apuntes de clase
GRADIENTES – SERIES VARIABLES
Series de pagos cuyo valor se incrementa (o disminuye) con relación al pago (o
ingreso) inmediatamente anterior.
Gradiente Lineal o Aritmético:
El valor del cambio (incremento o disminución)
es constante de periodo en periodo.
Gradiente Geométrico: El valor del porcentaje
del cambio se mantiene constante de periodo
en periodo
Gradiente Escalonado: Los cambios (valores o
porcentajes) se sostienen durante un tiempo
y aumentan (o disminuyen) para periodos
Posteriores Serie 1 Serie 2 Serie 3
Serie 2 Serie 3

Apuntes de clase
Ejemplo:
Una deuda se cancela con seis cuotas mensuales que aumentan cada mes en
$50.000. El valor de la primera cuota es de $100.000 y el interés de la operación es de
3% mensual. ¿Cuál es el valor inicial de la deuda?
VP 1 2 3 4 5 6 meses
P = 𝑨[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ]
Con la fecha focal en el momento cero se calcula el valor presente de la deuda VP
VP=
100.000
(1,03)
+
150.000
1,03 2 +
200.000
1,03 3 +……….+
350.000
1,03 6 = $1.195.529
100.000
150.000
250.000
350.000

Apuntes de clase
Ejemplo:
Una deuda se cancela con seis cuotas mensuales que aumentan cada mes en
$50.000. El valor de la primera cuota es de $100.000 y el interés de la operación es de
3% mensual. ¿Cuál es el valor inicial de la deuda?
VP 1 2 3 4 5 6 meses
Con la fecha focal en el momento cero se calcula el valor presente de la deuda VP
VP=
100.000
(1,03)
+
150.000
1,03 2 +
200.000
1,03 3 +……….+
350.000
1,03 6 = $1.195.529
100.000
150.000
250.000
350.000

Apuntes de clase
Condiciones para que una serie sea Gradiente:
1. Pagos deben tener ley de formación
2. Periodicidad de los pagos
3. La serie debe tener valores equivalentes P y F
Gradiente Lineal creciente vencido
P = 𝑨[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ]+ 𝑮
𝒊
[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 - 𝑵
𝟏+𝒊 𝑵]
F = 𝑨[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊
]+
𝑮
𝒊
[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊
- N]
A: Anualidad
G: Valor del gradiente
N: Número de periodos
Para gradientes lineales con tasa variable NO se aplican las fórmulas y
debe trabajarse con la ecuación básica VF = VP (1+ i)N

Apuntes de clase
Ejemplo:
El valor de un equipo industrial se cancela con 24 cuotas mensuales que aumentan
cada mes en $10.000. El valor de la primera cuota es de $150.000. Con tasa de interés
del 3% mensual, calcular el valor del equipo
P = 𝑨[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ]+
𝑮
𝒊
[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 -
𝑵
𝟏+𝒊 𝑵]
P = 𝟏𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎[
𝟏,𝟎𝟑 𝟐𝟒
−𝟏
𝟎,𝟎𝟑 𝟏,𝟎𝟑 𝟐𝟒]+
𝟏𝟎.𝟎𝟎𝟎
𝟎,𝟎𝟑
[
𝟏,𝟎𝟑 𝟐𝟒
−𝟏
𝟎,𝟎𝟑 𝟏,𝟎𝟑 𝟐𝟒 -
𝟐𝟒
𝟏,𝟎𝟑 𝟐𝟒] = $4.250.042.13
El valor P de la serie se encuentra al principio del primer periodo de pago y el gradiente
G ($10.000) aparece por primera vez en el segundo periodo
P 1 2 3 . . . . . . .. . . . . . . 24 (meses)
$150.000
$160.000 $170.000
$150.000 + 10.000 (N – 1)

Apuntes de clase
Ejercicio de cálculo de valor futuro (Gradiente creciente vencido):
En un banco que reconoce una tasa de interés trimestral del 9% se hacen durante dos
años depósitos trimestrales que aumentan cada trimestre en $100.000. Si el valor del
primer depósito es de $500.000 calcular el valor acumulado al final del segundo año.
F = 𝑨[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊
]+
𝑮
𝒊
[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊
- N]
F
F = 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎[
𝟏,𝟎𝟗 𝟖
−𝟏
𝟎.𝟎𝟗
]+
𝟏𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎
𝟎.𝟎𝟗
[
𝟏,𝟎𝟗 𝟖
−𝟏
𝟎.𝟎𝟗
- 8] = $8.879.207.78 [verificar]
El valor F de la serie se encuentra en la fecha del último depósito
1 2 3 . . . 8 (trimestres)
$500.000
$700.000 $500.000 + 100.000 (7)

Apuntes de clase
Ejercicio propuesto:
Con base en el flujo de caja siguiente calcular el valor presente de la
operación (la tasa de interés es de 2% mensual)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (meses)
500.000
600.000
900.000
700.000
800.000
Sugerencia: Repetir el ejercicio con los siguientes valores, comparar y
comentar los resultados
i A G
3% mensual 400.000 50.000
1,5% mensual 600.000 150.000

Apuntes de clase
GRADIENTE LINEAL CRECIENTE ANTICIPADO
P = 𝑨[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊 𝟏+𝒊 𝑵_𝟏 ]+
𝑮
𝒊
[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊 𝟏+𝒊 𝑵_𝟏 -
𝑵
𝟏+𝒊 𝑵
_
𝟏]
F = 𝐀[
𝟏+𝐢 𝐍+𝟏
−(𝟏+𝐢)
𝐢
]+
𝐆
𝐢
[
𝟏+𝐢 𝐍+𝟏
−(𝟏+𝐢)
𝐢
- N(1+i)]
1. ¿Cuál es el valor de un electrodoméstico que se financia con 14 cuotas mensuales
anticipadas que crecen cada mes en $20.000 y con una tasa de interés de 2,5% mensual. Si
la primera cuota es de $100.000 y se paga el mismo día de la negociación?
R. $5.618.312,46
2. Un trabajador se propone invertir en un título de la compañía donde trabaja, comenzando
con $500.000 e incrementando $50.000 mensualmente. Con una tasa de interés de 2%
mensual ¿cuál será el valor de la inversión al finalizar el primer año?
R. $10.440.994,57

Apuntes de clase
GRADIENTE LINEAL CRECIENTE DIFERIDO
El manejo es semejante al de los casos de series uniformes diferidas
Paso 1. Calcular el valor equivalente P de la serie gradiente
Paso 2. Trasladar el valor P a la fecha focal
Paso 3. Plantear y resolver la ecuación de valor
GRADIENTE LINEAL DECRECIENTE VENCIDO
La diferencia con el caso de Gradiente Lineal Creciente se encuentra en el
signo del Gradiente [negativo para el caso de GL Decreciente]
P = 𝑨[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ] -
𝑮
𝒊
[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 -
𝑵
𝟏+𝒊 𝑵]
F = 𝑨[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊
] -
𝑮
𝒊
[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊
- N]

Apuntes de clase
GRADIENTE LINEAL DECRECIENTE VENCIDO
1. Una obligación bancaria se paga con 18 cuotas mensuales que
decrecen en $10.000 cada mes. Si la primera cuota es de $2,500.000
y la tasa de interés de la operación es de 3% mensual ¿cuál es el valor
de la obligación?
R. $33.323.645,98
2. Se realiza un primer depósito por $500.000 en el día de hoy en una
entidad que reconoce una tasa de interés de 2% mensual y cada mes
se harán depósitos cuya cuantía disminuye $10.000 cada mes. ¿Cuál
será el valor acumulado después de hacer 6 depósitos?
R. $3.000.000

Apuntes de clase
GRADIENTE GEOMÉTRICO O EXPONENCIAL CRECIENTE
Serie de pagos periódicos en la cual cada pago es igual al anterior aumentado
en un porcentaje fijo (j%)
P = 𝑨[
𝟏+𝒋 𝑵
− 𝟏+𝒊 𝑵
(𝒋−𝒊) 𝟏+𝒊 𝑵 ] para i ≠ j P = [
𝑵𝑨
𝟏+𝒊
] para 1 = j
CN = A (1 + j) N-1 Valor de una cuota determinada
Ejercicio:
Una obligación comercial se está cancelando mediante el pago de una cuota inicial de $5
millones y 24 cuotas mensuales que aumentan un 5% cada mes. Si el valor de la primera cuota
es de $1,500.000 y se cobra una tasa de interés de 4% mensual se pide calcular
a. El valor de la obligación
b. El valor de la cuota número 22
Resultados
a. $43.727.111,74
b. $4.178.943,88

Apuntes de clase
GRADIENTE GEOMÉTRICO O EXPONENCIAL CRECIENTE
VALOR FUTURO:
F= 𝑨[
𝟏+𝒋 𝑵
− 𝟏+𝒊 𝑵
(𝒋−𝒊)
] para i ≠ j
Ejercicio:
Calcular el valor futuro equivalente a 12 pagos que aumentan
cada mes en 2% si se cobra una tasa de interés del 3% mensual
en el negocio y el valor del primer pago es de $2.000.000
R. $31.503.818,46

Apuntes de clase
GRADIENTE GEOMÉTRICO O EXPONENCIAL DECRECIENTE
Serie de pagos periódicos en la cual cada pago es igual al anterior disminuido
en un porcentaje fijo (j%)
P = 𝑨[
𝟏+𝒊 𝑵
− 𝟏 _ 𝒋 𝑵
(𝒋+𝒊) 𝟏+𝒊 𝑵 ] para i ≠ j P = [
𝑨
𝟏+𝒊
] para 1 = j
CN = A (1 - j) N-1 Valor de una cuota determinada
Una obligación hipotecaria se atiende mediante el pago de una cuota
inicial de $10 millones y 48 cuotas mensuales que disminuyen un 1 %
cada mes. Si el valor de la primera cuota es de $2,500.000 y se cobra
una tasa de interés de 2,5 % mensual se pide calcular
a. El valor de la obligación
b. El valor de las cuotas múltiplos de 8

Apuntes de clase
GRADIENTE GEOMÉTRICO O EXPONENCIAL DECRECIENTE
VALOR FUTURO:
F= 𝑨[
𝟏+𝒊 𝑵
− 𝟏−𝒋 𝑵
(𝒋+ 𝒊)
]
Calcular el valor futuro equivalente a 18 pagos que disminuyen
cada mes en 2,5 % si se cobra una tasa de interés del 3%
mensual en el negocio y el valor del primer pago es de
$3.000.000

Apuntes de clase
GRADIENTE ESCALONADO
Serie de pagos que permanecen constantes durante un periodo determinado
(generalmente un año) y luego aumentan en un porcentaje fijo para el periodo
siguiente.
P = 𝑨𝟏[
𝟏+𝒊 𝑵
−𝟏
𝒊
][
𝟏+𝑻𝑬𝑨 𝑬
− 𝟏+𝒋 𝑬
𝟏+𝑻𝑬𝑨 𝑬
(𝑻𝑬𝑨 −𝒋)
]
Donde:
P: Valor inicial de la obligación
i : Tasa de interés periódica
N: Número de cuotas en el año
TEA: Tasa Efectiva Anual equivalente a la tasa i
j: Tasa de incremento anual de las cuotas
E: Plazo total en años
A1: Valor de la cuota mensual del primer periodo

Apuntes de clase
Una obligación hipotecaria de $60 millones se va a cancelar por medio de 24
cuotas mensuales que aumentan cada año en un 20%. Si la tasa de interés
que se cobra en el negocio es del 3% mensual calcular el valor de las cuotas
mensuales de cada año.
Con
P= $60.000.000
i = 3% mensual
N=12 Se obtiene como resultado
J = 20% anual A1 = $3.272.992,13 Valor de la cuota mensual del primer año
E = 2 años A2 = 1,2 (A1) = $3.927.590,56 Valor de la cuota mensual del segundo año
TEA = 42,58% Valor total pagado $86.406.992,28
P
A2
A1
0 12 24

1- Decisiones de inversión en un proyecto
2- Inversiones en capital de trabajo
3- Los beneficios del proyecto
4- Valores de salvamento (desecho)
5- El flujo de caja
6- Opciones para medir al rentabilidad
CRITERIOS DE EVALUACIÓN FINANCIERA DE
ALTERNATIVAS FINANCIERAS
Índice

El momento de ocurrencia (Las inversiones en el tiempo)
Inversiones previas a la operación del proyecto
Inversiones durante la operación
Inversiones de Reposiciones y sustituciones
Dependen de: La vida útil del Proyecto
La depreciación contable
La imagen del proyecto
Inversiones de difícil evaluación (¿Incluirlas o no?)
Las realizadas en los estudios de Prefactibilidad y factibilidad
Las de carácter previo a la puesta en marcha del Proyecto
Las relacionadas con el capital de trabajo
Las inversiones de un proyecto

Construcción de obras físicas
Equipos, muebles, vehículos
Arrendamientos
Gastos de legalización y puesta en marcha
Gastos de publicidad
Relacionadas con: Sistemas contables
Sistemas de información
Sistemas de venta, cartera, cobranzas
Gastos de Promoción inicial
Inversiones convencionales
Inversiones no convencionales

Inversiones en:
Estudios de Prefactibilidad
Estudios de Factibilidad
Participación en Licitaciones (Pliegos)
Gastos relacionados con la construcción y el
equipamiento
Seguros y gastos de legalización
Gastos administrativos: salarios, materiales de oficina
Esencial para la planeación financiera del Proyecto.
Debe reflejar la TOTALIDAD de las inversiones previas a la
puesta en marcha del proyecto, precisando el momento en el
que ocurren.
Inversiones en estudios y gastos previos a la puesta
en marcha del proyecto
Calendario de Inversiones

El capital de trabajo constituye la componente de inversión que
financia los desfases entre los ingresos generados por el proyecto
y los egresos que deben realizarse.
Es una inversión de largo plazo, semejante a las realizadas en
terrenos, maquinaria o equipos. El volumen de capital de trabajo
necesario puede reducirse, entre otras formas, mediante el
crédito de proveedores
1. Métodos contables (Diferencia entre activos corrientes y
pasivos corrientes)
2. Método del periodo de desfase
3. Método del déficit acumulado máximo [Curva de masas]
Inversiones en capital de trabajo
Métodos para calcular el capital de trabajo

Las fuentes de ingreso del Proyecto incluyen:
Ingresos por venta del producto (B/S) del proyecto
Ingresos por venta de residuos
Ahorros por reducción de costos
Beneficios tributarios
Venta de equipos remplazados
Valores de salvamento
Recuperación del capital de trabajo
Ingresos del Proyecto

Valor recuperado por venta (al final de la vida útil del proyecto) de
activos cuya propiedad se ha generado a través del Proyecto [ No
es el ingreso generado por la venta de bienes patrimoniales]
El valor de salvamento de un bien puede ser un factor decisivo en
el proceso de selección de opciones de adquisición
1. Valor contable (de acuerdo con la depreciación)
2. Valor de mercado (Valor comercial del bien, descontado
los impuestos).
3. Valor económico (capacidad residual del bien para generar
beneficios)
Valores de salvamento
Formas de cálculo de valores de salvamento

EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN
Criterios privados
Rentabilidad, ganancia, lucro, ventajas, posición en el mercado
Criterios públicos
Sostenibilidad, desarrollo, gobernabilidad, equidad
Consideraciones básicas
Asignar recursos a largo plazo es una decisión importante para el
inversionista, sea público o privado
Evaluar la conveniencia de una inversión es un ejercicio que se realiza en
un ambiente de riesgo (incertidumbre) y subjetividad (Calidad de la
Información y apreciación del Costo de oportunidad)

EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE
INVERSIÓN
La decisión de inversión requiere información confiable sobre:
Tasa de interés de referencia (Tasa de Oportunidad del Inversionista):
Tasa máxima que puede obtener dentro del menú de opciones de
inversión
Técnicas de análisis que permitan evaluar si con la inversión realizada
puede obtener beneficios que al menos igualen a los que obtendría en
una inversión a la tasa de oportunidad.
Elementos de Matemáticas Financieras

FUNDAMENTOS
Análisis diacrónico (plazo)
Dinámica del Costo del dinero ( interés)
PROBLEMAS
Inversión y recuperación en un pago
Inversión en cuotas y recuperación en un pago
Inversión en un pago y recuperación en cuotas
Valor presente de un pago en cuotas iguales
Valor presente de flujos diferentes
OPCIONES PARA MEDIR LA RENTABILIDAD
1.VPN
2.TIR
3. COSTO ANUAL EQUIVALENTE
4. RELACION BENEFICIO/COSTO
5. PERIODO DE RECUPERACIÓN DE LA INVERSIÓN
Elementos de Matemáticas Financieras

1.Valor Presente Neto VPN
Mide la rentabilidad del proyecto en unidades
monetarias que exceden a la rentabilidad deseada
después de recuperar toda la inversión.
2.Tasa Interna de Retorno TIR
Mide la rentabilidad como un porcentaje que se calcula
sobre los saldos no recuperados en cada periodo
3. Periodo de Recuperación de la Inversión PRI
Medida del tiempo necesario para recuperar la
inversión más el costo del capital involucrado
ALGUNAS OPCIONES PARA MEDIR LA RENTABILIDAD

1. VALOR PRESENTE NETO
Resultado de comparar el Valor Presente de TODOS los ingresos con el Valor
Presente de TODOS los egresos. Por conveniencia se calcula normalmente en
el momento cero, pero puede hacerse en cualquier tiempo del diagrama de
flujo.
0 1 2 3 4 5
i = tasa de oportunidad del inversionista
VPN = VP (I1, I2, ……., In) – VP (E1, E2, E3, …., En)
Ingresos
Egresos
Criterios de selección
usando VPN
VPN > 0 Opción atractiva
VPN = 0 Opción Indiferente
VPN < 0 Opción NO atractiva

Ejemplo:
Empleando como criterio el VPN seleccionar la mejor alternativa
de inversión para el negocio ilustrado en el diagrama
0 1 2 3 4 años
i = 20% para la alternativa 1
30% para la alternativa 2
1.000.000
350.000
Resultados
VPN1 = $28,179
VPN2 = - $148.790
380.000
400.000
500.000

1. Si invierte hoy $3.500.000 y dentro de un año recibe
$4.200.000 ¿hizo una buena inversión considerando que su
tasa de oportunidad es del 2,5% mensual?
2. A un inversionista le proponen invertir $10.000.000 y le
aseguran que en los próximos cinco años recibirá tres
millones de pesos anuales. Si la tasa de oportunidad del
inversionista es del 20% anual ¿le conviene el negocio?
3. Repita los ejercicios cambiando las tasas de oportunidad y
busque la tasa que haga al VPN = 0

2. TASA INTERNA DE RETORNO TIR
Es la máxima tasa de interés que un inversionista estaría dispuesto a pagar por
un crédito para financiar la totalidad de su inversión de tal manera que pueda
pagar con los beneficios de la inversión la totalidad del capital y los intereses
del crédito sin perder ni ganar.
0 1 años
VPN = 0 = 200.000 -
𝟐𝟐𝟎.𝟎𝟎𝟎
(𝟏+𝒊)
i = TIR = 10% anual
200.000
CRITERIOS DE SELECCIÓN CON BASE EN
LA TASA INTERNA DE RETORNO
CONDICIÓN INVERSIÓN
TIR > i oportunidad Aceptable
TIR = i oportunidad Indiferente
TIR < i oportunidad Inconveniente
220.000

TASA INTERNA DE RETORNO TIR
Con base en el ejercicio propuesto en el diagrama puede calcularse la tasa de
oportunidad para la cual el VPN es cero. El cálculo puede hacerse
directamente pero se ilustra el método “por tanteos” para establecer el
concepto.
0 1 años
VPN = 0 cuando i = TIR
3.500.000
4.200.000
Tasa (%) VPN
4 - $876.692,39
3 - $554.204,50
2,5 - $377.063,28
2 - $188.328.66
1,5 + $ 12.827,17
Entre 1,5% y 2% existe una tasa de
Interés para la cual el VPN debe ser
CERO

TASA INTERNA DE RETORNO TIR
Si se continua el ejercicio entre los valores 1,5 % y 2% se obtiene:
0 1 años
3.500.000
4.200.000
Tasa (%) VPN
2 - $188.328,66
1,9 - $149.118,40
1,8 - $109.404,71
1,7 - $ 69.180,61
1,6 - $ 28.439,04
1,5 + $ 12.827.17
Entre 1,5% y 1,6% se encuentra la TIR. Mediante una interpolación lineal entre los dos valores
se obtiene el valor TIR = 1,53%

3. COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE CAUE
Resultado de la comparación de valores anualizados de Ingresos y Egresos,
considerando los plazos (vidas útiles) de las opciones comparadas.
0 vida útil (años)
En el diagrama se muestra el flujo de un proyecto de adquisición de maquinaria
P : Costo de adquisición (compra)
M: Cuota mensual (anualidad) de operación y/o mantenimiento
S : Ingreso diferido (Valor de salvamento)
P
CRITERIOS DE SELECCIÓN CON BASE EN
LA CAUE
En general, al comparar opciones de
inversión la que tenga CAUE menor será
la elegible
Si la vida útil de los equipos evaluados
NO es igual debe hacerse la
comparación en un periodo que sea
común múltiplo de las vidas útiles
analizadas
S
M

COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE CAUE
0 vida útil (años)
P
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcular el Costo Anual Uniforme Equivalente CAUE de una máquina
cuyo valor inicial es de $50.000.000, el valor de salvamento es de
$2.500.000, con una vida útil de 10 años. Los costos anuales de operación
se estiman en $10.000.000. Considere para el efecto una tasa de interés
de 18%
2. Seleccionar la alternativa financieramente más atractiva para la
adquisición de un equipo con base en la siguiente información:
Variable Alternativa 1 Alternativa 2
Costo inicial $50.000.000 $70.000.000
Costo anual de operación $2.000.000 $1.000.000
Valor de salvamento $1.000.000 $10.000.000
Vida útil 5 años 7 años
Tasa de interés 20% 20%

4. RELACIÓN BENEFICIO COSTO B/C
Indicador de bondad económica de un proyecto, que puede calcularse de varias
formas.
1. Como relación entre en VP de los beneficios del proyecto [llevados a valor futuro a la
tasa de oportunidad del proyecto y traídos al VP a la tasa de oportunidad del
inversionista] y el VP de los costos.
3.500.000
Ejemplo:
Un proyecto requiere una inversión de
$3 millones hoy y $2 millones dentro
de un año. El proyecto tiene una vida
útil de 4 años y no tiene valor de
salvamento. Se prevén beneficios
netos de $700.000 mensuales. Si el
costo de oportunidad del proyecto es
de 1,5% mensual y el costo de
oportunidad del inversionista es de 3%
mensual ¿cuál es la relación beneficio
/costo?
0 1 2 3 12 31 32 47 48 meses
$700.000
$3.000.000 $2.000.000
VP (Beneficios) = VP 3% [VF1,5% $700.000] = $11.784.289,76
VP (Costos) = $4.402.759,76
B/C = 2,68

RELACIÓN BENEFICIO COSTO B/C
2. Como relación de valores y costos actualizados:
𝐵
𝐶
=
𝑉𝑃 𝐵
𝐼 − 𝑉𝑃 𝑉𝑆 + 𝑉𝑃(𝐶𝐴𝑂𝑀)
3.500.000
Expresión en la cual:
VP(B) : valor presente de los beneficios del proyecto
I : Inversión inicial
VS : Valor de salvamento
CAOM: Costos de Administración, Operación y Mantenimiento

RELACIÓN BENEFICIO COSTO B/C modificada
3. Otra forma de expresar la relación B/C:
𝐵
𝐶
(𝑚𝑜𝑑) =
𝑉𝑃 𝐵 − 𝑉𝑃(𝐶𝐴𝑂𝑀)
𝐼 − 𝑉𝑃 𝑉𝑆
3.500.000
El criterio de selección para la relación BC es:
B/C > 1, el proyecto genera valor y debe aceptarse
B/C = 1, es indiferente aceptar o rechazar el proyecto
B/C <1, el proyecto es inconveniente y debe rechazarse
EJERCICIO PROPUESTO:
Evaluar, utilizando B/C y B/C (mod) si debe llevarse a cabo un proyecto con inversión
inicial de $36 millones, que generará ingresos anuales de $11 millones, gastos anuales
de $2.700.000 y tendrá un valor de salvamento de $7.200.000 al final de su vida útil (5
años). La tasa de rendimiento mínimo aceptable para este negocio es de 8% efectivo
anual

5. PERIODO DE RECUPERACIÓN DE LA INVERSIÓN (Payback)
Indicador de bondad económica que NO considera el valor del dinero en el tiempo pues
se calcula como una suma simple de los valores del flujo de caja.
Se refiere al tiempo necesario para recuperar la inversión hecha en un proyecto.
No es un indicador adecuado para la toma de decisiones de inversión pero es una
buena medida de la rapidez con la que se recupera el capital invertido.
3.500.000
Ejercicio 1
Encontrar el periodo de recuperación de
una inversión de $20 millones en un
proyecto que generará ingresos anuales
de $6 millones, gastos anuales de $1,5
millones y tendrá un valor de
salvamento de $4 millones al final de los
cinco años de vida útil.
0 1 2 3 4 5 6 meses
$10 millones
$2 millones
$2,5 millones
$3 millones
$3,5 millones
$4 millones
Ejercicio 2
¿En cuántos periodos la suma de los gastos del proyecto es
mayor que la inversión inicial?

1. Blair, R y L Kenny. (1983) Microeconomía con aplicaciones
en las empresas. Madrid: McGraw-Hill.
2. Sapag, N (1993). Criterios de evaluación de proyectos. Madrid:
Mc Graw –Hill Serie Management
3. Squire, L. y H. Van Der Tak (1982). Economic Analysis of
Projects. World Bank Research Publications.
Baltimore: The Johns Hopkins University Press
4. Villarreal, Julio (2013). Ingeniería Económica. Pearson, Bogotá
REFERENCIAS

Contabilidad: sistema de información que registra y
clasifica las operaciones financieras de una empresa,
negocio o proyecto.
Los reportes contables conocidos como estados
financieros proporcionan información sobre el estado de
la gestión financiera. Los principales son :
1. Balance general
2. Estado de pérdidas y ganancias (PyG)
3. Flujo de caja
Los estados financieros

Balance general
Reporte de la situación financiera y económica de una empresa
en un momento específico (fecha de balance)
Organiza y presenta tres componentes básicos:
Activos
Pasivos
Patrimonio
Estados financieros

ACTIVOS
Bienes o derechos que representan valor para las empresas.
Se clasifican de acuerdo con su disponibilidad (liquidez):
capacidad de conversión en dinero efectivo
ACTIVOS CORRIENTES (CIRCULANTES)
Alta disponibilidad en el corto plazo (menos de un año)
Disponibles: Caja - Bancos
Inversiones temporales: acciones, bonos, CDTs
Deudores: Cuentas y documentos por cobrar
Inventarios: Mercancías para comerciar
Pagos anticipados: intereses, arrendamientos, impuestos
Estados financieros

ACTIVOS NO CORRIENTES
Utilizados en el proceso productivo-
No destinados para la venta en el corto plazo
Clasificación:
1. Tangibles
Depreciables
No depreciables
Recursos naturales (agotables)
2. Intangibles
Amortizables
No amortizables
3. Otros activos
Estados financieros

ACTIVOS NO CORRIENTES
1. Tangibles : Valor por su estructura física
Depreciables: Pierden valor contable por uso, desgaste u
obsolescencia
No depreciables: Conservan ( o incrementan) su valor con el
paso del tiempo
Recursos naturales (agotables): Minas, canteras, bosques,
petróleo, gas natural
2. Intangibles: Bienes inmateriales, derechos o ventajas que
generan valor
Amortizables: Pierden valor a través del tiempo
No amortizables: Conservan su valor contable: marcas,
licencias, derechos de autor
3. Otros activos
Estados financieros

PASIVOS: Deudas u obligaciones con terceros.
Se clasifican de acuerdo con su exigibilidad (vencimiento)
 Pasivos corrientes o de corto plazo
 Pasivos no corrientes o de largo plazo
PASIVOS CORRIENTES
Obligaciones con vencimiento menor a un año
Proveedores
Cuentas por pagar (Cesantías, Impuestos, dividendos)
Obligaciones bancarias
Ingresos recibidos por anticipado
PASIVOS NO CORRIENTES
Obligaciones con vencimiento superior a un año
Obligaciones bancarias de mediano y largo plazo
Créditos hipotecarios
Emisiones de bonos
Estados financieros

PATRIMONIO: Aportes de los socios y utilidades generadas
Capital social: Aportes de los accionistas, propietarios o socios
al iniciar el negocio o durante el desarrollo de las operaciones del
mismo
Utilidades retenidas, reservas y utilidades del ejercicios
Cuentas principales del patrimonio
Aportes de capital (capital social)
Valorizaciones
Reservas
Superávit de capital
Estados financieros

BALANCE GENERAL
Estrategias Estrategias
de de
Inversión Financiación
Ecuación fundamental de la contabilidad
Activos = Pasivos + patrimonio
Estados financieros
ACTIVOS PASIVOS Y
PATRIMONIO
Corrientes Corrientes
No
corrientes
De largo plazo
Patrimonio

Estados financieros
ACTIVOS PASIVOS
Activos corrientes Pasivos corrientes
Caja 7.500.000 Cuentas por pagar 18.000.000
Inversiones temporales CDT 5.500.000 Total pasivos corrientes 18.000.000
Total activos corrientes 13.000.000
Pasivos de largo plazo 50.000.000
Activos fijos
Terrenos 50.000.000 Total pasivos 68.000.000
Vehículos 30.000.000
Equipos 20.000.000 Patrimonio
Muebles 15.000.000 Capital social 60.000.000
Total activos fijos 115.000.000 Total patrimonio 60.000.000
Total activos 128.000.000 Total pasivos y
patrimonio
128.000.000

Estados financieros
CAJA
CONCEPTO ENTRADAS SALIDAS
Aportes de capital 60.000.000
Compra de terrenos 50.000.000
Compra vehículo 30.000.000
Compra equipos 20.000.000
Compra de muebles 15.000.000
Inversión CDT 5.500.000
Préstamo corto plazo 18.000.000
Préstamo largo plazo 50.000.000
Total entradas y salidas de efectivo 128.000.000 120.500.000
SALDO NETO EN CAJA 7.500.000

ESTADO DE PÉRDIDAS Y GANANCIAS
Reporte periódico del desempeño de una empresa en
función de sus ingresos y egresos
Registro de la utilidad (o la pérdida) de una empresa en
un periodo contable
Está basado en:
1. Ingresos
2. Costos de producción (y/o de ventas)
3. Gastos de operación
4. Otros ingresos y otros egresos

INGRESOS
Entradas que recibe la empresa como producto de su actividad.
Se denominan también ingresos operacionales
COSTOS DE VENTAS (O COSTOS DE PRODUCCIÓN)
Salidas de dinero causadas por la adquisición de un B/S para la
generación de un ingreso o beneficio futuro.
Inventarios de mercancías
Inventario de materias primas
Inventarios de productos en proceso
Inventarios de productos terminados
Costos indirectos de fabricación
Mano de obra directa
Todas las erogaciones relacionadas con la producción:
mantenimiento, depreciaciones, salarios de operarios………

COSTOS DE OPERACIÓN (ADMINISTRACIÓN Y VENTAS)
Salidas de dinero causadas por la venta de un B/S producido en
la empresa
 Salarios administrativos
 Gastos de representación
 Arrendamientos
 Servicios públicos
 Comisiones para el personal de ventas
OTROS INGRESOS Y OTROS EGRESOS
Resultados de operaciones que no hacen parte de la actividad
normal de la empresa
 Rentabilidad de inversiones
 Ingresos y gastos financieros
 Donaciones
 Devoluciones de impuestos

Estados financieros
Estructura General del ESTADO DE PÉRDIDAS Y GANANCIAS
EMPRESA , FECHA (DEL – AL)
CONCEPTO
VENTAS
- Costo de ventas ( o costos de producción)
UTILIDAD BRUTA
- Gastos operacionales de administración y ventas
UTILIDAD OPERACIONAL
+ Ingresos financieros
- Gastos financieros
UTILIDAD ANTES DE IMPUESTOS
- Impuestos
UTILIDAD NETA

DEPRECIACIÓN
Pérdida de valor contable de ciertos activos como consecuencia del desgaste
natural, el uso o la obsolescencia
Se registra como un costo o como un gasto de operación dependiendo del tipo
de activo y de la actividad comercial de la empresa
A medida que el activo pierde valor con el paso del tiempo su registro contable
se reduce en la misma proporción.
El valor en libros o valor neto del activo es la diferencia entre el valor original
del activo y la depreciación acumulada.
Construir el estado de pérdidas y ganancias para el siguiente caso
Periodo 1 de enero a 31 de diciembre de 2010
Ventas. $250.000.000 en el año
Costo de ventas: 40% de las ventas
Gastos de administración y ventas $5 millones mensuales
Gastos de depreciación $15 millones anuales
Rentabilidad de inversiones: $1.500.000 trimestrales
Gastos financieros: $800.000 mensuales
Impuestos 33%

Índice
1- Clasificación
2- Costos y volumen de
producción
3- Análisis del punto de
equilibrio
4- Categorías de presupuestos
de ingresos y egresos.
Ejemplo: IES privadas
Resultado de la valoración del
consumo previsto (o realizado) de
los recursos necesarios para
producir un bien o servicio en
condiciones determinadas
Costos

Costos directos
Costos atribuibles a la fabricación de un producto (B/S)
Materia prima
Mano de obra directa
La medición de los costos directos requiere del
conocimiento de dos variables esenciales:
La cantidad de trabajo (o material) utilizado, y
Los precios unitarios de esas cantidades
Clasificación de los costos
Determinación de los costos directos

Costos indirectos
Costos que no se asocian
directamente con los
productos elaborados
Incluyen todos los costos
de manufactura que no se
clasifiquen como costos
directos de materia prima
y mano de obra.
Clasificación de los costos

Materia prima
directa
Mano de obra
directa
Materia prima
indirecta
Mano de obra
indirecta
Gastos fijos
(varios)
Gastos
generales y de
administración
Gastos de venta
Utilidad
Costos
directos
Costos
indirectos
Costos
de fabricación
Costos
de productos
vendidos
Precio de venta
Estructura típica de costos de fabricación

Costos fijos
Costos
Volumen de producción Q
Costos que permanecen constantes,
independientemente de las variaciones de
la producción para un periodo de tiempo
determinado.
Depreciaciones, impuestos, seguros,
sueldos administrativos, servicios
CF
Q2
Q1

Costos variables y costos unitarios
Costos
variables
lineales
Volumen de producción
Costos
unitarios
Costos variables: Cambian proporcionalmente con el volumen de producción. Están asociados
directamente con la actividad productiva.
Mano de obra directa, materia prima directa, energía, lubricantes, reposiciones y
mantenimiento
Costos unitarios: Resultantes de la relación entre los costos totales y el volumen de producción.
Esenciales en la determinación de costos de procesos cuya valoración global no es posible o
conveniente.

Costos variables crecientes Costos variables decrecientes
Costos variables y costos unitarios
Modalidades de costos variables:
Proporcionales:
Variación proporcional a la variación del volumen de producción
Crecientes:
Variación más que proporcional a la variación del volumen de producción
Decrecientes:
Variación menos que proporcional a la variación del volumen de producción
𝜟𝑪
𝜟𝑸
= 1
𝜟𝑪
𝜟𝑸
> 1
𝜟𝑪
𝜟𝑸
< 1

Representación de la ecuación CT = CF + CV
CT: Costo Total
CV: Costo Variable
CF: Costo Fijo
Costos
El costo total para un nivel dado de producción CT(x) puede expresarse como la suma de
los costos fijos y los costos variables asociados con ese nivel de producción CV(x)
x
CT(x)
CV(x)
CV(x)

Cantidad
Q
(1)
Costos
CF
(2)
CV
(3)
CT
(4)
CTM
(5)
CFM
(6)
CVM
(7)
Cmarginal
(8)
0 50 0 50 - - -
25
1 50 25 75 75 50 25
10
2 50 35 85 42.5 25 17,5
20
3 50 55 105 35 16.7 18,3
30
4 50 85 135 33,75 12.5 21,2
50
5 50 135 185 37 10 27
70
6 50 205 255 42,5 8,3 34,2
90
7 50 295 345 49,3 7,2 42,1
110
8 50 405 455 56,9 6,2 50,6
130
9 50 535 585 65 5,5 59,4
160
10 50 695 745 74,5 5 69,5
CF: Costo Fijo
CV: Costo variable
CT: Costo Total
CM: Costo medio
CFM: Costo Fijo Medio
CVM: Costo Variable
Medio
Cmarginal: Costo marginal
CT = CF + CV
CTM = CT/Q
CFM = CF/Q
CVM = CV/Q
El costo marginal
[costo de producir una
unidad adicional] se
determina como la
diferencia entre dos
costos totales
sucesivos
Determinación de costos

COSTOS MEDIOS/MARGINALES Vs PRODUCCIÓN
CMa creciente
Intersección

COSTOS MEDIOS/MARGINALES Vs PRODUCCIÓN
• El costo marginal es
creciente: se debe al
producto marginal
decreciente. Puede disminuir
en un intervalo pero para
producciones grandes es
creciente.
• El costo total medio tiene
forma de ‘U’: el CFM
disminuye mientras que el
CVM aumenta conforme
aumenta Q. Al ser su suma,
al comienzo influye más el
CFM (decrece) pero después
es el CVM el que más influye
(crece).
• La curva Cmarginal corta a
CTM en su punto más bajo:
si el Cmarginal ≤CTM éste es
decreciente y si Cmarginal
≥CTM éste es creciente.

Representación de los costos y el ingreso
CT: Costo Total
CV: Costo Variable
CF: Costo Fijo
Costos
-
Ingreso
I: Ingreso
QPE
El volumen de producción para el cual los ingresos recibidos igualan a los costos totales
determinan el denominado Punto de Equilibrio QPE de la producción. Analíticamente:
CT = I , expresión que equivale a CF + CV = PV. QPE
como CV = 𝑪𝒗 QPE se obtiene QPE =
𝑪𝑭
𝑷𝑽 −𝑪𝒗
Cv es el costo variable unitario
I = PV. q
I: Ingreso
PV: Precio de venta
q: cantidad (unidades) vendidas

Determinación gráfica del punto de equilibrio PE
Zona de pérdidas Zona de beneficios
I
PE CT
Q1 QPE Q2 Q
Costo
-
Ingresos
El punto de corte de las líneas que representan el costo total CT y los ingresos I determina el
punto de equilibrio. Para cualquier cantidad inferior a QPE, por ejemplo Q1, la empresa tiene
pérdidas, mientras que para cantidades superiores, como Q2, la empresa obtiene beneficios

CATEGORÍAS DE PRESUPUESTOS DE INGRESOS Y EGRESOS
EL PRESUPUESTO DE INGRESOS
Los ingresos del presupuesto dependen:
1. De las acciones que los originan:
Ingresos de operación (venta de servicios de docencia, investigación,
asesoría y extensión)
Ingresos de capital (ingresos financieros, venta de bienes y valores,
cancelación de reservas, aportes de los miembros de la fundación o
corporación y recursos de crédito)
Ingresos por donaciones, aportes y auxilios
2. De la fuente que origina los ingresos
Rentas propias
Rentas externas (de terceros)
3. De la frecuencia y probabilidad recaudo:
Ingresos corrientes u ordinarios
Ingresos extraordinarios

Los tres criterios se reflejan en los siguientes rubros para el caso
de una institución privada de educación superior
1. Ingresos Corrientes
1.1. Rentas Propias
1.1.1. Derechos académicos:
Inscripciones
Matrículas
Exámenes, validaciones, habilitaciones y otros exámenes
Certificados
Derechos de grado
Otros
1.1.2. Derechos por servicios de bienestar:
Servicios médicos
Derechos deportivos
Cafetería
Otros

1. Ingresos Corrientes (continuación)
1.1. Rentas Propias
1.1.3. Productos de bienes y servicios:
Arrendamientos
Publicaciones
Laboratorios y talleres
Otros
1.1.4. Contratos y asesorías
1.1.5. Participaciones
1.1.6. Reintegros y rembolsos
1.1.7. Otras rentas propias
1.2. Aportes
1.2.1. Aportes para funcionamiento
Del Gobierno Nacional
De los gobiernos departamentales
De los gobiernos municipales
Otros
1.2.2. Aportes para inversión
Del Gobierno Nacional
De los gobiernos departamentales
De los gobiernos municipales
Otros

2. Ingresos de capital
2.1. Recursos del balance (*)
2.1. Recursos financieros (**)
Rendimientos de inversiones
Diferencia de tasa de cambio
Créditos de valores y papeles negociables
Otros
3. Recursos de crédito
Interno
Externo
4. Otros Ingresos
Donaciones
(1) El caso fue tomado de “Características financieras de la educación superior en Colombia”, por
Consuelo Gutiérrez de González, Simposio Permanente por la Universidad, ICFES, 2000
(*) Estimativo de la diferencia (tomada del balance del año inmediatamente anterior) entre
[Aportes por cobrar + caja y bancos + cuentas por cobrar] – [cuentas por pagar + reservas]
(**) Ingresos por intereses, dividendos o utilidades en ventas de inversiones financieras

EL PRESUPUESTO DE EGRESOS O GASTOS
Previstos los ingresos el presupuesto debe prever también los egresos o
gastos, clasificados de acuerdo con la siguiente distribución:
1. Gastos de funcionamiento
2. Servicio de la deuda (interna y externa)
3. Operaciones comerciales
4. Inversión
1.1. Servicios personales
1.1.1. Sueldos de personal de nómina
1.1.2. Gastos de representación
1.1.3. Primas técnicas
1.1.4. Jornales
1.1.5. Personal supernumerario
1.1.6. Horas extras y festivos
1.1.7. Primas de vacaciones
1.1.8. Bonificaciones por servicios prestados
1.1.9. Prima de servicios
Continúa

Los gastos en sus distintas clasificaciones se presentan
organizados en los siguientes rubros
1.1. Servicios personales (continuación)
1.1.10. Bonificaciones especiales (recreación)
1.1.11. Prima de Navidad
1.1.12. Otras primas
1.1.13. Subsidio de alimentación
1.1.14. Subsidio familiar
1.1.15. Auxilio de transporte
1.1.16. Indemnizaciones
1.1.17. Honorarios
1.1.18. Remuneración de servicios técnicos

1. Gastos de funcionamiento (continuación)
1.2. Gastos generales
1.2.1. Compra de equipo
1.2.2. Materiales y suministros
1.2.3. Mantenimiento
1.2.4. Seguros
1.2.5. Impresos y publicaciones
1.2.6. Servicios públicos
1.2.7. Comunicaciones y transporte
1.2.8. Gastos de viaje
1.2.9. Viáticos
Continúa

1.2. Gastos generales (continuación)
1.2.10. Arrendamientos
1.2.11. Impuestos, tasas y multas
1.2.12. Pólizas de manejo
1.2.13. Sostenimiento de semovientes
1.2.14. Imprevistos
1.3. Transferencias (dispuestas por normas legales)
Continúa

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