1) O documento discute anagramas, que são alterações na ordem das letras de uma palavra.
2) Explica como calcular o número de anagramas possíveis para uma palavra de determinado tamanho.
3) Fornece exemplos para as palavras "CHÁ" e "CAFÉ".
1. á li se ória
A n in at
o m b
C Desenvolvido por:
Cristiano De Angelis
Jorge Cunha
Adélson Jardim
2. Anagrama é a alteração da posição das
letras de uma mesma palavra.
Vejamos quantos anagramas tem a palavra CHÁ:
H A 1º- CHA
C
A H 2º - CAH
A C 3º - HAC
H
C A 4º - HCA
C H 5º - ACH
A
H C 6º - AHC
3. Ao considerarmos três espaços, temos:
3 letras 2 letras 1 letra
uma que
c,h ou a não tenha a
sido usada restante
No primeiro espaço podemos considerar três letras - C, H ou A
No segundo espaço temos somente duas opções. (caso contrário
repetiremos a primeira letra)
No terceiro espaço teremos somente uma opção, a letra restante.
3.2.1 = 3! = 6
4. Vejamos agora quantos anagramas tem a palavra
CAFÉ. F E 1º- CAFE
A
E F 2º - CAEF
E A 3º - CFEA
C F
A E 4º - CFAE
A F 5º - CEAF
E
Puts !!! F A 6º - CEFA...
Isto somente começando com a letra C ! Mas, como
existem só mais três letras que podem começar os
anagramas da palavra café, temos:
4 . 3! = 4! = 24
5. No primeiro anagrama temos: 3! = 3.2.1 = 6
No segundo anagrama temos: 4! = 4.3.2.1 = 24
Definição:
Quando o número de elementos “n” é igual ao número
de vagas, teremos:
n! Isto quer dizer:
6. Existe um grupo de 5 estudantes
(Cristiano, Jorge, Adélson, Marina,
Raquel) para concorrer ao Daema,
sendo a chapa formada por presidente
e vice. Quantas serão as chapas
possíveis?
Vamos fazer inicialmente todas as
permutações possíveis.
8. O resultado das permutações será:
5! = 5.4.3.2.1 = 120,
mas existem vários resultados repetidos que
consideram o mesmo presidente com o mesmo vice:
CJAMR
Quais resultados serão estes?
CJARM
CJMRA
A permutação de todos os
CJMAR
elementos que não influenciam
CJRMA na formação da chapa!
CJRAM
9. Temos então, a permutação de “n” objetos, mas
precisamos excluir a permutação dos objetos que
não influenciam no resultado.
5! ou 5.4.3.2.1
3! 3.2.1
Precisamos excluir a permutação
dos três objetos sem influência.
Agora podemos simplificar !!
11. An, p = Pn ou n!
P( n − p) (n - p)!
Arranjo aparece quando temos um universo de “n”
objetos agrupados em “p” vagas em que a ordem
interessa!
12. Existe um grupo de 5
estudantes (Cristiano, Jorge,
Adélson, Marina, Raquel)
para formar uma dupla de
representantes de turma.
Quantas serão as duplas
possíveis?
14. Mas, agora todas as
permutações com CJ e JC , por
exemplo, são desnecessárias
pois a dupla não tem ordem.
CJAMR JCAMR
CJARM JCARM
CJMRA JCMRA
CJMAR JCMAR
CJRMA JCRMA
CJRAM JCRAM
15. Novamente, temos a permutação de “n” objetos,
precisamos excluir a permutação dos objetos que
não influenciam no resultado, e ainda excluir a
permutação possível entre as vagas.
5.4.3.2.1 =5.4
3.2.1
5.4
= 10
2!
16. n!
C n, p = ( n − p)!
p!
ou
C n, p =
n!
( n - p)!p!
18. UFRGS/ 95-2) Com 4 lápis de cores diferentes,
quantas são as maneiras de pintar o seguinte
mapa, de modo que as regiões que tem fronteira
comum fiquem com cores distintas?
(A) 96
(B) 60
(C) 48
(D) 36
(E) Não é possível
19. Unisinos-97/2- Luciane estuda na Unisinos, de
segunda a quarta, no turno da noite. Para vir à
Unisinos e dela regressar para casa, Luciane
costuma utilizar o seu próprio carro, ônibus ou
mesmo carona. Quando ela vai no próprio
carro, é claro que ela também volta de carro.
O número de opções que Luciane tem para vir
a Unisinos e dela voltar, nesses três dias é:
a) 5
b) 25
c) 125
d) 300
e) 500
20. Clóvis- 95/2) Um pintor tem 6 tintas para pintar 7
peças. Quer usar todas as tintas. Uma cor em cada
peça. De quantos modos pode fazê-lo ?
Solução do Clóvis:
n ( n + )!
1
2!
21. Solução
Vamos tentar com um universo menor, 3 tintas e 4 peças.
nº de cores permutação de 2
cores restantes
B B
C4,2 .3 .2!
B B
B B
Cn+1,2 .n .(n-1)!
B B
B B
B B
C7,2 .6 .5! = 15120
22. C n+1 , 2
. n.( n −1)!
( n +1)!
. n.( n −1)!
2 !( n +1 −2)!
( n +1)!
. n.( n −1)!
2 !( n −1)!
n ( n +)!
1
2!
.d
c.q