1) O documento apresenta a fórmula da integral por partes, que permite calcular o valor de uma integral do produto de duas funções dividindo-a em duas partes. 2) A integral por partes é útil quando a derivada de uma das funções for mais simples de se calcular do que a outra, permitindo resolver a integral de forma indireta em duas etapas. 3) O documento fornece exemplos ilustrando como escolher qual função será u e dv, de modo a garantir que a segunda integral resultante seja mais simples de se resolver.

1. Profª Débora Bastos

2. Integral por partes.
Das fórmulas básicas da derivação, uma não consta no formulário de
integrais: sendo
d u v)
( dv du u f x)
(
u v
dx dx dx v g x)
(
Embora derivar um produto de funções de x seja simples, aplicar o
processo inverso não é tanto. Hoje dedicaremos a aula especialmente
para essa antiderivada, a antiderivada do produto de funções que é a
integral por partes.
d u v)
( dv du
dx u v dx du
( v) udv vdu
dx dx dx
du
( v) udv vdu u v udv vdu

3. Integral por partes
du
( v) udv vdu u v udv vdu
 Com essa expressão teríamos que ter a soma de duas
integrais para poder dizer o resultado direto:
d x sin x
x cos x sin x
dx
x cos xdx sinxdx x sinx k
v dx
u dv
 Dificilmente teremos uma expressão assim para
resolver e sim, por exemplo:
x cos xdx x sinx - sinxdx
x sinx cosx k

4. Integral por partes
 Ou seja, em vez de:
udv vdu u v k
 Usaremos:
udv u v vdu
 Nesses casos para resolver uma integral precisaremos
de outro, assim não resolvemos a integral de imediato
e sim POR PARTES.

5. Integral por partes:
 Diante da igualdade:
udv u v vdu
 Além de identificar quem é u e dv, devemos nos
preocupar se a segunda integral será “resolvível”, ou
seja, se ela terá solução direta. Então devemos ter esse
cuidado.

6. Exemplos: udv u v vdu
xe xdx
 Nada no formulário, pois a integral de ex é ex , então o x
fica “sobrando”. Perfeita para a integral por partes.
 Cuidado ao escolher quem é u e quem é dv. Temos que
escolher u para garantir que du seja mais simples e não
“atrapalhe” a integral de vdu.
 No nosso caso então x é a melhor escolha para u, e
consequentemente, dv será exdx.
 u=x du=dx dv=exdx v = ex
xexdx xex exdx xe x ex k ex(x 1) k

7. udv u v vdu
Exemplos:
2 2
1 x ln xdx R tA x3 ln x
3 3
2 ln xdx R ta x ln x 1 k
dx R ta
x
ln x2
3 2
3 k
2 2 2
(x 3) x 3
4 ex cos xdx ta ex
R sin x cos x k
2