1) O documento descreve conceitos básicos sobre matrizes, incluindo definição, tipos, operações e propriedades.
2) São apresentados exemplos de adição, multiplicação por escalar e multiplicação de matrizes.
3) São definidos conceitos como matriz transposta, triangular superior/inferior, nula e identidade.
2. Apostila ITA
E 01
Matrizes
Uma matriz de ordem n × m é, informalmente, uma tabela com n linhas e m
colunas, em que “linhas” são as filas horizontais e “colunas” são as filas verticais. Com
esta idéia temos a seguinte representação para a matriz A de ordem n × m :
⎡ a11 a12 a1m ⎤
⎢a a22 a2 m ⎥
A = ⎢ 21 ⎥ .
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ an1 an 2 anm ⎦ n×m
O símbolo “ aij ” representa o elemento da linha i e coluna j .
Uma definição formal para uma matriz é:
“Considerando os conjuntos I n = {1, 2,..., n} e I m = {1, 2,..., m} . Uma matriz A , de
ordem n × m , é uma função A : I n × I m → , que associa cada par ordenado ( i, j ) a
um número real aij ”.
A notação A = ( aij )n × m representa uma matriz de ordem n × m e o elemento aij é
chamado de termo geral.
Exemplo: A matriz A = ( aij ) , com aij = 2 ⋅ i − j 2 é determinada pelo cálculo de todos
2×3
os elementos de acordo com a lei de formação, ou seja:
a11 = 2 ⋅1 − 12 = 1 a12 = 2 ⋅1 − 2 2 = −2 a13 = 2 ⋅ 1 − 32 = −7
a21 = 2 ⋅ 2 − 12 = 3 a22 = 2 ⋅ 2 − 2 2 = 0 a23 = 2 ⋅ 2 − 32 = −5
desta forma temos:
⎡ 1 −2 −7 ⎤
A=⎢ ⎥
⎣ 3 0 −5 ⎦ 2 × 3
Observações sobre a linguagem:
• O conjunto de todas as matrizes reais de ordem n × m é denotado por M n × m ( )
• Na matriz A = ( aij )n × m sequência ( ai1 , ai 2 , , aim ) é a i - ésima linha
• Na matriz A = ( aij )n × m a sequência ( a1 j , a2 j , , anj ) é a j - ésima coluna
3. Matemática
a11 a12 a13 ... a1 j ... a1n
GG a 21 a 22 a 23 ... a 2 j ... a 2n JJ
GG ... ... ... ... ... ... ... J
a J
GG a...
i1 ai 2
...
ai 3
...
...
...
aij
...
...
...
in
... J
J
i-ésima linha
GH a
m1 a m2 am3 ... a mj ... a J K
mn m× n
j-ésima coluna
• Sejam A = ( aij ) e B = ( bij ) duas matrizes reais. Diz-se que as matrizes A e
m×n m×n
B são iguais, e escreve-se A = B , se, e somente se, aij = bij , ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e
∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n} .
Classificações de matrizes
Matriz linha: É toda matriz formada por apenas uma linha.
Matriz coluna: É toda matriz formada por apenas uma coluna.
Matriz retangular: É toda matriz de ordem n × m com n ≠ m .
Matriz nula: É toda matriz com todos os elementos nulos.
Matriz quadrada: É toda matriz de ordem n × n . Neste caso dizemos que a matriz é de
ordem n . Em uma matriz quadrada os elementos da sequência ( a11 , a22 , , ann )
formam a diagonal principal e os elementos da sequência an1 , a( n −1) 2 , ( , a1n ) forma a
diagonal secundária.
Matriz triangular Superior: É toda matriz quadrada de ordem n , em que aij = 0 se
i > j , ou seja, os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.
Matriz triangular Inferior: É toda matriz quadrada de ordem n, em que aij = 0 se i < j ,
ou seja, os elementos acima da diagonal principal são nulos.
2
4. Apostila ITA
Matriz transposta
Seja A = ( aij )n × m , a matriz transposta de A , indicada por A t , e é At = ( bij )m × n em
que bij = a ji . Em outros termos, a matriz transposta é obtida trocando linha por coluna
da matriz original.
Exemplo:
⎡1 3⎤
⎡ 1 −2 −7 ⎤ ⎢ −2 0 ⎥
A=⎢ ⎥ A =⎢
t
⎥
⎣ 3 0 −5 ⎦ 2 × 3 ⎢ −7 −5⎥ 3× 2
⎣ ⎦
Observações:
• Quando At = A dizemos que a matriz A é simétrica.
• Quando At = − A dizemos que a matriz A é antisimétrica.
Operações com matrizes
Adição de matrizes
Sejam A = ( aij ) e B = ( bij ) duas matrizes quaisquer. A soma de A com B ,
m×n m×n
que indicaremos por A + B , é a matriz m × n cujo termo geral é aij + bij , isto é:
⎛ a11 + b11 a12 + b12 ... a1n + b1n ⎞
⎜ ⎟
a + b21 a 22 + b22 ... a 2 n + b2 n ⎟
A + B = ⎜ 21
⎜ ... ... ... ... ⎟
⎜ ⎟
⎝ a m1 + bm1 a m2 + bm2 ... a mn + bmn ⎠ m× n
Multiplicação por escalar
Dados a matriz A = ( aij ) e um número real k , o produto indicado por k ⋅ A , é
m×n
a matriz m × n cujo termo geral é k ⋅ aij , isto é:
⎛ k ⋅ a11 k ⋅ a12 ... k ⋅ a1n ⎞
⎜ ⎟
k ⋅ a21 k ⋅ a22 ... k ⋅ a2 n ⎟
k⋅A=⎜
⎜ ... ... ... ... ⎟
⎜ ⎟
⎝ k ⋅ am1 k ⋅ am 2 ... k ⋅ amn ⎠ m× n
3
5. Matemática
Multiplicação de matrizes
Consideremos as matrizes A = ( aij ) e B = ( b jk ) . O produto de A por B ,
m×n n×t
indicado por A ⋅ B , é a matriz m × t cujo termo geral é cik , em que:
n
cik = ∑a
j =1
ij . b jk = ai1 . b1k + a i 2 . b2 k + ... + ain . bnk .
Observação: Para que o produto de matrizes seja possível é necessário que o
número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda
matriz.
A matriz identidade de ordem n , denotada por I n , é a matriz quadrada na qual
todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais
a 0 , ou seja:
⎛1 0 0⎞
⎜ ⎟
0 1 0⎟
In = ⎜
⎜0 0 0⎟
⎜ ⎟
⎝0 0 1 ⎠n × n
Propriedades
1. Para a adição de matrizes temos A, B , C ∈ M n× m ( ):
• A adição de matrizes é associativa : ( A + B) + C = A + ( B + C )
• A adição de matrizes é comutativa : A + B = B + A
• A adição de matrizes admite elemento neutro: Existe uma matriz O ∈ M n × m ( R ) tal
que A + O = O + A = A .
• Existe matriz oposta: Para toda matriz A ∈ M m ×n ( R ) , existe uma matriz indicada
por − A , também de ordem n × m , chamada matriz oposta de A , tal que
A + (− A) = (− A) + A = O .
2. Para a multiplicação por escalar temos k1 , k2 ∈ e A, B ∈ M n × m ( )
• k1 ⋅ ( k 2 ⋅ A ) = ( k1 ⋅ k 2 ) ⋅ A
• ( k1 + k 2 ) ⋅ A = k1 ⋅ A + k 2 ⋅ A
• k1 ⋅ ( A + B ) = k1 ⋅ A + k1 ⋅ B
3. Para a multiplicação de matrizes temos A ∈ M m× n ( ), B ∈ M n× p ( ) e
C ∈ M p× q ( )
4
6. Apostila ITA
• A multiplicação de matrizes é associativa: ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) .
• ( A ⋅ B )t = B t ⋅ At .
• Vale a propriedade distributiva à esquerda: A ⋅ ( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C .
• Vale a propriedade distributiva à direita: ( B + C ) ⋅ A = B ⋅ A + C ⋅ A .
• Existe elemento neutro: A ⋅ I n = I m ⋅ A = A .
• (k1 ⋅ A) ⋅ B = A ⋅ (k1 ⋅ B) = k1 ⋅ ( A ⋅ B) .
Exercícios
⎡ 1 ⎤ ⎡2b 9⎤
a2 ⎥
01. (UFG) Sejam as matrizes A = ⎢ 16 e B=⎢ 3 ⎥ . Para que elas sejam
⎢ ⎥ ⎣a c ⎦
⎣ −27 −4 ⎥
⎢ ⎦
iguais, deve-se ter:
a) a = −3 e b = −c = 4
b) a = 3 e b = c = −4
c) a = 3 e b = −c = − 4
d) a = −3 e b = c = − 4
e) a = −3 e b = c 2 = 4
⎛ 4 1⎞ ⎛3 − 2⎞
02. (UFBA) Se P=⎜⎜ − 2 3⎟ e Q = ⎜ 5
⎟ ⎜ ⎟ , a matriz transposta de P − 2Q é:
⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎟
⎠
⎛ 10 8 ⎞ ⎛− 2 − 12 ⎞ ⎛ 1 − 7⎞
a) ⎜
⎜ − 3 11⎟
⎟ b) ⎜⎜ 5 ⎟ c) ⎜
⎜−1 −1⎟
⎝ ⎠ ⎝ −5 ⎟ ⎠ ⎝
⎟
⎠
⎛ − 2 8⎞ ⎛ 10 11⎞
d) ⎜
⎜ − 5 5⎟
⎟ e) ⎜⎜− 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 8⎟⎠
⎡2 1 −1 ⎤
⎢ 2
03. (SANTA CASA - SP) Se a matriz x 0 1 − y ⎥ é simétrica, então o valor
⎢ ⎥
⎢x
⎣ y −3 1 ⎥ ⎦
de x + y é:
a) 3 b) 1 c) 0
d) −2 e) −3
5
7. Matemática
04. (SANTA CASA - SP) Se uma matriz quadrada A é tal que A = − A ela é
t
chamada anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e,
⎡4 + a ... ... ⎤
⎢ a
M =⎢ b+2 ... ⎥
⎥
⎢ b
⎣ c 2c − 8⎥ 3×3
⎦
Os termos a12 , a13 e a23 da matriz M valem respectivamente:
a) −4 , −2 e 4 .
b) 4 , 2 e −4 .
c) 4 , −2 e −4 .
d) 2 , −4 e 2 .
e) n.d.a.
05. (FATEC) Sabe-se que as ordens das matrizes A , B e C são, respectivamente,
3 × r , 3 × s e 2 × t . Se a matriz ( A − B ) C é de ordem 3 × 4 , então r + s + t é igual
a:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
06. (FATEC) Uma indústria automobilística produz carros X e Y nas versões standart,
luxo e superluxo. Peças A , B e C são utilizadas na montagem desses carros.
Para um certo plano de montagem, é dada a seguinte informação:
Carro X Carro Y
Peça A 4 3
Peça B 3 5
Peça C 6 2
Standard Luxo Superluxo
Carro X 2 4 3
Carro Y 3 2 5
Em termos matriciais, temos:
6
8. Apostila ITA
⎡4 3⎤
matriz peça-carro = ⎢ 3 5 ⎥
⎢ ⎥
⎢6 2⎥
⎣ ⎦
⎡ 2 4 3⎤
matriz carro-versão = ⎢ ⎥.
⎣ 3 2 5⎦
A matriz peça-versão é:
⎡17 22 27 ⎤ ⎡17 22 27 ⎤ ⎡17 22 27 ⎤
a) ⎢ 21 28 34 ⎥
⎢ ⎥ b) ⎢ 21 34 22 ⎥
⎢ ⎥ c) ⎢ 21 22 28 ⎥
⎢ ⎥
⎢18 28 22 ⎥
⎣ ⎦ ⎢18 28 28 ⎥
⎣ ⎦ ⎢18 34 28 ⎥
⎣ ⎦
⎡17 22 27 ⎤ ⎡17 22 27 ⎤
d) ⎢ 21 22 34 ⎥ e) ⎢ 21 28 28 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢18 28 28 ⎥
⎣ ⎦ ⎢18 34 22 ⎥
⎣ ⎦
07. (FUVEST) Considere as matrizes:
( ) , 4 × 7 , definida por a
A = aij ij =i− j
;
B = (b ) 7 × 9 b =i
,ij
, definida por ij
;
C = (c ) C = AB
,ij
.
O elemento c63 :
a) é −112 . b) é −18 .
c) é −9 . d) é 112.
e) não existe.
08. (ITA) Sejam A , B e C matrizes reais quadradas de ordem n e On a matriz nula
também de ordem n . Considere as afirmações:
I. AB = BA
II. AB = AC ⇒ B = C
A2 = On ⇒ A = On
III.
IV. ( AB )C = A(BC )
V. ( A − B ) = A − 2 AB + B
2 2 2
Então podemos afirmar que:
a) apenas a I é falsa. b) apenas a IV é verdadeira.
c) V é verdadeira. d) II e III são verdadeiras.
e) III e IV são verdadeiras.
7
9. Matemática
E 02
Operação Elementar Sobre Linhas
Uma operação elementar sobre linhas de uma matriz A ∈ M m× n ( ) é qualquer
uma das transformações:
• multiplicação de uma linha de A por uma constante real não nula k ;
• permuta de duas linhas de A ;
• substituição da r - ésima linha de A por uma linha formada pela soma da r -
ésima linha com k vezes a s - ésima linha, sendo k um escalar arbitrário e r ≠ s .
⎛2 3 5 ⎞
Exemplo: Sendo A = ⎜ ⎟ , temos:
⎝ 7 11 13 ⎠ 2×3
⎛4 6 5 ⎞
• A multiplicação da primeira linha por 2 : ⎜ ⎟ .
⎝ 7 11 13 ⎠ 2 × 3
⎛ 7 11 13 ⎞
• A permuta da primeira com a segunda linha: ⎜ ⎟ .
⎝ 2 3 5 ⎠2 × 3
• A substituição da primeira linha pela primeira linha soma da primeira linha com
⎛ 16 25 31⎞
duas vezes a segunda linha: ⎜ ⎟
⎝ 7 11 13 ⎠ 2 × 3
Cada operação elementar sobre linhas de uma matriz A pode ser representada
pela multiplicação por uma matriz quadrada, observe:
• A multiplicação da primeira linha por 2:
⎛ 2 0⎞ ⎛2 3 5 ⎞ ⎛ 4 6 10 ⎞
⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎟ .
⎝ 0 1 ⎠ 2× 2 ⎝ 7 11 13 ⎠ 2×3 ⎝ 7 11 13 ⎠ 2×3
• A permuta da primeira com a segunda linha:
⎛0 1⎞ ⎛2 3 5 ⎞ ⎛ 7 11 13 ⎞
⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎟ .
⎝ 1 0 ⎠ 2×2 ⎝ 7 11 13 ⎠ 2×3 ⎝ 2 3 5 ⎠ 2×3
• A substiruição da primeira linha pela soma dela com duas vezes a segunda:
⎛1 2⎞ ⎛2 3 5 ⎞ ⎛ 16 25 31⎞
⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝ 0 1 ⎠ 2× 2 ⎝ 7 11 13 ⎠ 2×3 ⎝ 7 11 13 ⎠ 2×3
8
10. Apostila ITA
Matriz elementar
Definição:
Uma matriz E ∈ M m × m ( ) é dita elementar se E ⋅ A é alguma transformação
elementar sobre linhas de A , para toda matriz A ∈ M m× n ( ).
Usando a linguagem:
e1 = (1 0 0 )1× m , e2 = ( 0 1 0 )1× m ,... e em = ( 0 0 1)1× m , podemos
formar as matrizes elementares:
• Permutação da i - ésima linha com a j - ésima linha
⎛ e1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ e j ⎟ ← i − ésima linha
⎜ ⎟
Pij = ⎜ ⎟ .
⎜ e ⎟ ← j − ésima coluna
⎜ i⎟
⎜ ⎟
⎜e ⎟
⎝ m⎠
Exemplo:
⎛ e2 ⎞ ⎛ 0 1 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
e 1 0 0⎟
P =⎜ 1 ⎟=⎜ (Permutação da primeira linha com a segunda linha)
12
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ em ⎠ ⎝ 0 0 1 ⎠m × m
• Multiplicação da i - ésima linha por uma constante não nula k :
⎛ e1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
M i ( k ) = ⎜ k ⋅ ei ⎟ ← i − ésima linha .
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ e ⎟
⎝ m ⎠
Exemplos:
⎛ 3 ⋅ e1 ⎞ ⎛ 3 0 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
e 0 1 0⎟
M 1 ( 3) = ⎜ 2 ⎟ = ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ em ⎠ ⎝ 0 0 1⎠
9
11. Matemática
⎛ e1 ⎞ ⎛ 1 0 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
5⋅e 0 5 0⎟
M 2 ( 5) = ⎜ 2 ⎟ = ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ em ⎠ ⎝ 0 0 1⎠
• Substituição da i - ésima linha pelo resultado da soma da i - ésima linha com
uma constante k arbitrária multiplicada pela j - ésima linha:
⎛ e1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ei + k ⋅ e j ⎟ ← i − ésima linha
⎜ ⎟
S j (k ) = ⎜
i
⎟ .
⎜ ej ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ em ⎟
⎝ ⎠
Exemplos:
⎛ e1 + 5 ⋅ e2 ⎞ ⎛ 1 5 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
e2 ⎟ = ⎜0 1 0⎟
S2 ( 5) = ⎜
1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ em ⎠ ⎝ 0 0 1⎠
⎛ e1 + 7 ⋅ e3 ⎞ ⎛ 1 0 7 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ e2 ⎟ ⎜0 1 0 0⎟
S3 ( 7 ) = ⎜ e3
1
⎟ = ⎜0 0 1 0⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ e ⎟ ⎜0 0 0 1⎟
⎝ m ⎠ ⎝ ⎠
⎛ e1 ⎞ ⎛1 0 0 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ e2 + 11 ⋅ e1 ⎟ ⎜ 11 1 0 0⎟
S12 (11) = ⎜ e3 ⎟=⎜ 0 0 1 0⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ em ⎟ ⎜0 0 0 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Matriz inversa
Definição: (Inversa à esquerda)
Diremos que uma matriz A ∈ M m× n ( ) tem inversa à esquerda, denotada por L
(uma matriz pertencente à M n× m ( ) ), se:
L ⋅ A = In .
10
12. Apostila ITA
⎛1 1⎞
⎜ ⎟ ⎛ 1 3 1⎞
Exemplo: Seja a matriz A = ⎜ −1 0 ⎟ , observamos que L = ⎜ ⎟ é uma
⎜ 3 −1⎟ ⎝ 2 5 1⎠
⎝ ⎠
inversa à esquerda de A , pois:
⎛1 1⎞
⎛ 1 3 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛1 0⎞
L⋅ A = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ −1 0 ⎟ = ⎜ ⎟.
⎝ 2 5 1⎠ ⎜ ⎟ ⎝0 1⎠
⎝ 3 −1⎠
Definição: (Inversa à direita)
Diremos que uma matriz A ∈ M m × n ( ) tem inversa à direita, denotada por R
(uma matriz pertencente à M n× m ( ) ), se:
A ⋅ R = Im .
⎛ 4 8 ⎞
⎛0 3 7⎞ ⎜ ⎟
Exemplo: Seja a matriz A = ⎜ ⎟ , observamos que R = ⎜ 5 −7 ⎟ é uma
⎝ 0 2 5⎠ ⎜ −2 3 ⎟
⎝ ⎠
inversa à direita de A , pois:
⎛ 4 8 ⎞
⎛0 3 7⎞ ⎜ ⎟ ⎛1 0⎞
A⋅ R = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ 5 −7 ⎟ = ⎜ ⎟.
⎝0 2 5⎠ ⎜ ⎟ ⎝0 1⎠
⎝ −2 3 ⎠
Definição: (Matriz inversa)
Diremos que uma matriz A ∈ M m× m ( ) tem inversa, denotada por A−1 , se:
A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I m ,
ou seja, se possui inversa à direita e à esquerda simultaneamente.
Observações:
• Se uma matriz A possui inversa à direita e inversa a esquerda elas serão iguais,
ou seja:
Se L ⋅ A = I e A ⋅ R = I , então L = R .
Se A é inversível, A−1 tambem o é e ( A−1 ) = A .
−1
•
Se A e B são inversíveis, A ⋅ B também o é e ( A ⋅ B ) = B −1 ⋅ A −1 .
−1
•
• Chamamos de matriz ortogonal à matriz que satisfaz à condição:
A−1 = At
• As matrizes elementares são inversíveis, note:
(P )
−1
ij = Pij
11
13. Matemática
⎛1⎞
( M ( k ))
−1
i = Mi ⎜ ⎟ , k ≠ 0
⎝k⎠
( S ( k ))
−1
i
j = S ij ( − k )
• Se A é uma matriz inversível de ordem n , então existe uma sequência
E 1 , E2 , , E p de matrizes elementares tal que ( E1 ⋅ E2 ⋅ ... ⋅ E p ) ⋅ A = I , ou seja
A −1 = E1 ⋅ E2 ⋅ ... ⋅ E p . Tal sequência garante um método para a obtenção da matriz
inversa conhecido como método de Gauss-Jordan.
⎡2 1 3⎤
Exemplo: Para a obtenção da matriz inversa de A = ⎢1 −1 2 ⎥ criamos a matriz:
⎢ ⎥
⎢4 3 5⎥
⎣ ⎦
⎡2 1 3 1 0 0⎤
⎢ ⎥
⎡A
⎣ I ⎤ = ⎢ 1 −1 2 0 1 0 ⎥
⎦
⎢4 3 5 0 0 1⎥
⎣ ⎦
Note que ao efetuarmos uma transformação elementar em ⎡ A I ⎤ , a matriz
⎣ ⎦
transformação elementar fica registrada na parte correspondente à matriz identidade,
observe:
⎡ 2 1 3 1 0 0⎤ ⎡1 0 0 ⎤
⎢ ⎥
M 2 ( −2 ) ⋅ ⎣ A I ⎦ = ⎢ −2 2 −4 0 −2 0 ⎥ ⇒ M 2 ( −2 ) = ⎢0 −2 0 ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎢ 4 3 5 0 0 1⎥
⎣ ⎦ ⎢0 0 1 ⎥
⎣ ⎦
.
Quando forem efetuadas todas as transformações elementares em
⎡2 1 3 1 0 0⎤
⎢ ⎥
⎢ 1 −1 2 0 1 0 ⎥
⎢4 3 5 0 0 1⎥
⎣ ⎦
até transformá-la em
⎡ −11 2 5 ⎤
⎢1 0 0 2 2 ⎥
⎢0 1 0 3 −1 − 1 ⎥
⎢ 2 2⎥
⎢0 0 1 3 ⎥
⎢ 7 2 −1 − ⎥
⎣ 2⎦
,
temos que
12
15. Matemática
03. Usando o método de Gauss-Jordan determine a inversa de cada matriz:
⎡2 1 0 0⎤
⎡ −1 2 −3⎤ ⎢1 0 −1 1⎥
a) A=⎢2 1 0 ⎥
⎢ ⎥ b) B=⎢ ⎥
⎢0 1 1 1⎥
⎢ 4 −2 5 ⎥
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎣ −1 0 0 3⎦
⎧2 ⋅ x + 3 ⋅ y − z = 5
⎪
04. O sistema linear ⎨ x + 2 ⋅ y − 2 ⋅ z = −1 pode se associado à equação matricial
⎪3 ⋅ x + 3 ⋅ y + z = 12
⎩
⎛ 2 3 −1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 2 3 −1 ⎞ ⎛ x⎞ ⎛5⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 1 2 −2 ⎟ ⋅ ⎜ y ⎟ = ⎜ −1⎟ . Sendo A = ⎜ 1 2 −2 ⎟ , X = ⎜ y ⎟ e B = ⎜ −1⎟ , responda
⎜ 3 3 1 ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎜3 3 1 ⎟ ⎜z⎟ ⎜ 12 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
o que se pede:
a) Determine A−1 .
b) Observando que A−1 ⋅ A ⋅ X = A−1 ⋅ B ⇒ X = A−1 ⋅ B , determine a solução do
sistema apresentado.
05. Observando o procedimento apresentado na questão anterior, resolva o sistema:
⎧2 ⋅ x + y = 7
⎪x − z + w = 6
⎪
⎨
⎪y + z + w = 8
⎪− x + 3 ⋅ w = 12
⎩
06. (PUC SP) Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem e X uma matriz tal
que ( X ⋅ A ) = B , então:
t
a) X = A−1 ⋅ Bt
b) X = Bt ⋅ A−1
X = ( B ⋅ A)
t
c)
X = ( AB )
t
d)
e) n.d.a
14
16. Apostila ITA
E 03
Determinantes
Ordem de uma permutação
Uma permutação dos elementos do conjunto I n = {1, 2,3,..., n} é uma bijeção de
I n e I n . Note que existem n ! bijeções.
Exemplo: As permutações dos elementos do conjunto {1, 2,3} são:
⎧σ1 (1) = 1
1 1 ⎪
σ1 : ⇔ ⎨σ1 ( 2 ) = 2
2 2
⎪
3 3 ⎩σ1 ( 3) = 3
⎧σ 2 (1) = 1
1 1 ⎪
σ2 : ⇔ ⎨σ 2 ( 2 ) = 3
2 3 ⎪
3 2 ⎩σ 2 ( 3 ) = 2
⎧σ3 (1) = 2
1 2 ⎪
σ3 : ⇔ ⎨σ3 ( 2 ) = 1
2 1 ⎪
3 3 ⎩σ3 ( 3 ) = 3
⎧σ 4 (1) = 2
σ4 :
1 2 ⎪
⇔ ⎨σ 4 ( 2 ) = 3
2 3 ⎪
3 1 ⎩σ 4 ( 3 ) = 1
⎧σ5 (1) = 3
1 3 ⎪
σ5 : ⇔ ⎨σ5 ( 2 ) = 1
2 1 ⎪
3 2 ⎩σ5 ( 3 ) = 2
⎧σ6 (1) = 3
1 3 ⎪
σ6 : ⇔ ⎨σ 6 ( 2 ) = 2
2 2
⎪
3 1 ⎩σ 6 ( 3 ) = 1
15
17. Matemática
Como os elementos do domínio de uma permutação sempre podem estar em sua
ordem natural, uma permutação fica inteiramente determinada ao ordenarmos as
imgens, assim as permutações do exemplo anterior podem ser escritas como:
σ1 = 123 σ 2 = 132 σ3 = 213 σ 4 = 231 σ5 = 312 σ 6 = 321 .
Observando as permutações da esquerda para a direita, temos que na
permutação σ1 = 123 os elementos estão posicionados em sua ordem natural não
havendo nenhuma inversão entre os elementos, neste caso dizemos que a permutação
é ordem zero, ou seja o ( σ1 ) = 0 . Na permutação σ6 = 321 temos o 3 antes do 2 e do
1 (sofrendo duas inversões) e o 2 antes do 1 (sofrendo uma inversão), ou seja,
houveram 3 inversões, o que diz que a permutação σ 6 é de ordem 3 , que receberá a
notação o ( σ6 ) = 3 . Desta forma temos a seguinte sequência de permutações e suas
respectivas ordens:
permutação ordem
σ1 = 123 o ( σ1 ) = 0
σ 2 = 132 o ( σ2 ) = 1
σ3 = 213 o ( σ3 ) = 1
σ 4 = 231 o ( σ4 ) = 2
σ5 = 312 o ( σ5 ) = 2
σ6 = 321 o ( σ6 ) = 3
Determinante
Definição: Um determinante, denotado por det , é uma função det : M n×n ( )→
dada por:
n!
o ( σi )
det ( A ) = ∑ ( −1) ⋅ a1σi (1) ⋅ a2 σi ( 2 ) ⋅ ... ⋅ anσi ( n ) ,
i =1
ou
a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n n!
o (σ i )
= ∑ ( −1) ⋅ a1σ i (1) ⋅ a2σ i ( 2) ⋅ ... ⋅ anσ i ( n ) .
i =1
an1 an 2 ann
Desta forma o determinante de uma matriz de ordem 2 é calculado fazendo:
16
18. Apostila ITA
o ( σ1 ) o ( σ2 )
det ( A ) = ( −1) ⋅ a1σ1 (1) ⋅ a2σ1 ( 2) + ( −1) ⋅ a1σ2 (1) ⋅ a2σ2 ( 2)
det ( A ) = ( −1) ⋅ a11 ⋅ a22 + ( −1) ⋅ a12 ⋅ a21
0 1
det ( A) = a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21 ,
que na prática pode é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto
dos elementos da diagonal secundária.
a11 a12
= a11.a22 − a12 .a21 .
a21 a22
Desta forma o determinante de uma matriz A de ordem 3 será calculado da
seguinte forma:
o ( σ1 ) o ( σ2 )
det ( A ) = ( −1) ⋅ a1σ1 (1) ⋅ a2 σ1 ( 2 ) ⋅ a3σ1 (3) + ( −1) ⋅ a1σ2 (1) ⋅ a2 σ2 ( 2) ⋅ a3σ2 (3) +
o ( σ3 ) o ( σ4 )
+ ( −1) ⋅ a1σ3 (1) ⋅ a2 σ3 ( 2 ) ⋅ a3σ3 (3) + ( −1) ⋅ a1σ4 (1) ⋅ a2 σ4 ( 2 ) ⋅ a3σ4 (3) +
o ( σ5 ) o ( σ6 )
+ ( −1) ⋅ a1σ5 (1) ⋅ a2 σ5 ( 2 ) ⋅ a3σ5 (3) + ( −1) ⋅ a1σ6 (1) ⋅ a2 σ6 ( 2 ) ⋅ a3σ6 (3)
det ( A) = ( −1) ⋅ a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + ( −1) ⋅ a11 ⋅ a23 ⋅ a32 + ( −1) ⋅ a12 ⋅ a21 ⋅ a33
0 1 1
+ ( −1) ⋅ a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + ( −1) ⋅ a13 ⋅ a21 ⋅ a32 + ( −1) ⋅ a13 ⋅ a22 ⋅ a31
2 2 3
det ( A ) = a11 ⋅ a22 ⋅ a33 − a11 ⋅ a23 ⋅ a32 − a12 ⋅ a21 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31
+ a13 ⋅ a21 ⋅ a32 − a13 ⋅ a22 ⋅ a31
⎛5 2 3 ⎞
⎜ ⎟
Exemplo: O determinante da matriz A = ⎜ 0 2 −1⎟ é:
⎜4 3 1 ⎟
⎝ ⎠
det ( A) = 5 ⋅ 2 ⋅1 − 5 ⋅ ( −1) ⋅ 3 − 2 ⋅ 0 ⋅1 + 2 ⋅ ( −1) ⋅ 4 + 3 ⋅ 0 ⋅ 3 − 3 ⋅ 2 ⋅ 4 = −7
O uso da definição é muito dispendioso para o cálculo dos determinantes, por
este motivo existem algumas regras práticas que tornam o cálculo mais rápido. Uma
destas regras é a de Sarrus que será apresentada a seguir.
Regra de Sarrus
A regra de Sarrus é uma regra prática para o cálculo de determinantes de matrizes
de ordem 3 e é dado pelo diagrama a seguir:
17
19. Matemática
a11 a12 a13 a11 a12
det ( A ) = a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
det ( A ) = a11 .a22 .a33 + a12 .a23 .a31 + a13 .a21 .a32 − a13 .a22 .a31 − a11 .a23 .a32 − a12 .a21 .a33
Lema de Laplace
Uma submatriz de A é qualquer matriz obtida pela eliminação de linhas ou
colunas (ou ambos) da matriz A .
⎛5 2 3 ⎞
⎛ 5 2 3⎞ ⎛ 2 3 ⎞ ⎜ ⎟
Exemplo: As matrizes ⎜ ⎟ e ⎜ ⎟ são submatrizes de ⎜ 0 2 −1⎟ .
⎝ 4 3 1 ⎠ ⎝ 2 −1⎠ ⎜4 3 1 ⎟
⎝ ⎠
Definição (Matriz menor complementar): A submatriz obtida pela eliminação de
uma linha e uma coluna de uma matriz quadrada é chamada de matriz menor
complementar. Ao eliminarmos a linha i e a coluna j da matriz A obtemos a matriz
menor complementar que será denotada por Aij .
⎛5 2 3⎞
⎜ ⎟ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 5 2⎞
Exemplo: Sendo A = ⎜ 0 2 −1⎟ , então: A11 = ⎜ ⎟ , A23 = ⎜ ⎟.
⎜4 ⎟ ⎝3 1 ⎠ ⎝ 4 3⎠
⎝ 3 1⎠
Definição (Cofator): O cofator do elemento aij da matriz A , denotado por Δ ij , é
o número
Δij = ( −1) ⋅ det ( Aij ) .
i+ j
Lema (Laplace): O determinante da matriz A ∈ M n×n ( ) é dado por:
n
det ( A ) = ∑ aij ⋅ Δ ij , em que j pode ser qualquer elemento de {1, 2,..., n}
i =1
ou
n
det ( A) = ∑ aij ⋅ Δij , em que i pode ser qualquer elemento de {1, 2,..., n} .
j =1
⎛5 2 3 ⎞
⎜ ⎟
Exemplo: Para calcular o determinante de A = ⎜ 0 2 −1⎟ primeiro escolhemos uma
⎜4 3 1 ⎟
⎝ ⎠
linha (ou uma coluna) e usamos o segundo somatório do lema de laplace, neste caso
existe vantagem em escolher a segunda linha, ou seja i = 2 , daí:
18
20. Apostila ITA
det ( A) = a21 ⋅ Δ 21 + a22 ⋅ Δ 22 + a23 ⋅ Δ 23 .
Calculando os cofatores:
• Como a21 = 0 não há necessidade de calcular o cofator Δ 21 .
5 3
Δ 22 = ( −1)
2+ 2
• ⋅ = −7
4 1
5 2 n
Δ 23 = ( −1) = −7∑ X i
2+3
• ⋅
4 3 i =1
det ( A) = 0 ⋅ Δ 21 + 2 ⋅ ( −7 ) + ( −1) ⋅ ( −7 ) = −7 .
Exercícios
01. (FUVEST) Calcule os determinantes:
1 0 0 3
1 a 0
a 1 −1 4
A= 0 1 1 e B=
0 0 0 3
0 −1 1
0 1 1 4
02. (UFSE) O determinante da matriz A = (aij ) 3× 3 , onde aij = 2i − j , é igual a:
a) −12
b) −8
c) 0
d) 4
e) 6
⎡ 1 2 0⎤
⎢ ⎥
03. (UFPA) Qual o valor de k para que o determinante da matriz − 1 k 1 seja
⎢ ⎥
⎢ 0 1 k⎥
⎣ ⎦
nulo?
a) −1± 2
b) 2 ±1
c) 2± 2
d) 2 ±2
e) −4± 8
19
21. Matemática
04. (SANTA CASA) Seja a matriz quadrada A = (aij ) , de ordem 2 , tal que
⎧ π
⎪cos 2i − j se i = j
⎪
a ij = ⎨ o determinante de A é igual a:
⎪sen π se i ≠ j
⎪
⎩ i+ j
3 1
a) b) c) 0
4 4
1 3
d) − e) −
4 4
05. (UF UBERLÂNDIA) Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a ¿ −3 ,
3π
qual é o valor do sen x , ≤ x ≤ 2π ?
2
⎡cos x 1 1⎤
A=⎢ ⎢ 0 − 1 4⎥⎥
⎢ 0
⎣ cos x 0⎥
⎦
3 1 2
a) − b) − c) −
2 2 2
3 1
d) e)
2 2
2x 8x 0
06. (UNESP) Se a e b são as raízes da equação log 2 x log 2 x 2 0 = 0 , onde
1 2 3
x > 0 , então a + b é igual a:
2 3 3
a) b) c)
3 4 2
4 4
d) e)
3 5
07. (CESESP) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 e I é a matriz identidade
também de ordem 3 , então det ( A − λ ⋅ I ) é um polinômio de grau 3 em λ .
20
22. Apostila ITA
Assinale a alternativa correspondente ao conjunto das raízes do polinômio acima
definido, onde
⎛ 1 1 1⎞
⎜ ⎟
A = ⎜ 1 1 1⎟
⎜ 1 1 1⎟
⎝ ⎠
a) {0, 2} b) {0, 3}
c) {1, −1, 0} d) {1, 0, 3}
e) {−1, 1, 3}
08. (Determinante da matriz de Vandermonde) Demonstre que:
1 1 1
a) x y z = ( y − x) ⋅( z − y) ⋅ ( z − x)
x2 y2 z2
1 1 1 1
x y z w
b) 2 2 2
= ( y − x) ⋅ ( z − y) ⋅ ( z − x) ⋅ ( w − z ) ⋅ ( w − y) ⋅ ( w − x)
x y z w2
x3 y3 z3 w3
09. (UF UBERLÂNDIA) O determinante
1 1 1 1
log 8 log 80 log 800 log 8000
vale:
(log 8) 2 (log 80) 2 (log 800) 2 (log 8000) 2
( log 8) 3 (log 80) 3 (log 800) 3 ( log 8000) 3
a) log (8.80.800.8000)
b) 12
c) log 8 24
d) log 8 + log 80 + log 800 + log 8000 e) 24
21
23. Matemática
E 04
Propriedades dos determinantes
Para uma matriz A ∈ M n×n ( ) valem as seguintes propriedades:
1. Os determinantes da matriz A e de sua transposta A t são iguais, isto é
det A = det A t .
a b c a 1 x
Exemplo: 1 2 3 = b 2 y
x y z c 3 z
2. Se os elementos de uma fila qualquer de A forem nulos, então det A = 0 .
a b 0
Exemplo: 1 2 0 =0
x y 0
3. Se os elementos de duas filas paralelas de A forem iguais ou proporcionais,
então det A = 0 .
a b c a b 2b
Exemplos: 1 2 3 = 0 e 1 2 4 = 0
a b c x y 2y
4. Se A tem uma fila que é combinação linear de outras filas paralelas, então
detA = 0 .
a b c
Exemplo: 2a + 3x 2b + 3 y 2c + 3z = 0
x y z
5. Se trocarmos de posição duas filas paralelas de A , obtemos uma nova matriz A '
tal que det A = −det A ' det A = −det A’.
a b c a c b
Exemplo: 1 2 3 = − 1 3 2
x y z x z y
22
24. Apostila ITA
6. Se multiplicarmos uma fila qualquer de A por uma constante k , obtemos uma
nova matriz A ' tal que det A ' = k ⋅ det A .
a b c a b c
Exemplo: 2 4 6 = 2. 1 2 3
x y z x y z
7. Se multiplicarmos todos os elementos de A por uma constante k , obteremos uma
nova matriz A ' = k ⋅ A tal que det A ' = det ( k ⋅ A) = k n ⋅ det A , onde n é a ordem de
A.
4a 4b 4c a b c
3
Exemplo: 4 8 12 = 4 . 1 2 3
4 x 4 y 4z x y z
8. Teorema de Jacobi: Se adicionarmos a uma fila qualquer uma combinação linear
das demais filas paralelas de uma matriz, seu determinante não se altera.
a b c a b c − 2a + b
Exemplo: 1 2 3 = 1 2 3
x y z x y x − 2y + z
9. Adição de determinantes: Se os elementos da j - ésima coluna de A são tais que:
⎧ a1 j = b1 j + c1 j ⎡ a11 a12 ... (b1 j + c1 j ) a1n ⎤
...
⎪ ⎢a
⎪a 2 j = b2 j + c2 j a22 ... (b2 j + c2 j ) ... a2 n ⎥
, isto é A = ⎢ ⎥ , então teremos
21
⎨ ⎢ ⎥
⎪ ⋅⋅⋅
⎢ ⎥
⎪ a nj = bnj + cnj ⎢ an1 an 2
⎣ ... (bnj + cnj ) ... ann ⎥ ⎦
⎩
que:
⎡ a11 a12 ... b1 j ... a1n ⎤
⎢a a22 ... b2 j ... a2 n ⎥
A' = ⎢ ⎥
21
det A = det A '+ det A '' , onde e
⎢ ... ... ... ... ... ... ⎥
⎢ ⎥
⎢ an1
⎣ an 2 ... bnj ... ann ⎥⎦
23
25. Matemática
⎡ a11 a12 ... c1 j ... a1n ⎤
⎢a a22 ... c2 j ... a2 n ⎥
A '' = ⎢ ⎥.
21
⎢ ... ... ... ... ... ... ⎥
⎢ ⎥
⎢ an1
⎣ an 2 ... cnj ... ann ⎥⎦
a 3 c a 1 c a 2 c
Exemplo: m 6 p = m 2 p + m 4 p
x 1 z x 0 z x 1 z
Teorema de Binet
Sendo A, B ∈ M n× n ( ) , então det ( A ⋅ B ) = det ( A ) ⋅ det ( B ) .
Observação:
O teorema de Binet garante que det ( Ak ) = det ( A) .
k
Matriz Inversa
Definição: A matriz adjunta de A , denotada por A* , é a matriz transposta dos
cofatores de A , ou seja, se Δ ij é o cofator do elemento aij , então:
⎛ Δ11 Δ 21 Δ n1 ⎞
⎜ ⎟
Δ Δ 22 Δn2 ⎟
A* = ⎜ 12 .
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ Δ1n Δ 2n Δ nn ⎠
1
A matriz inversa de A é dada por A−1 = ⋅ A* .
det ( A)
24
26. Apostila ITA
Exercícios
⎡a b c ⎤ ⎡a 5 1⎤
01. (MACK - SP) Dadas as matrizes A = ⎢5 3 2⎥
⎢ ⎥
⎢
e B= b 3 2
⎢
⎥ de
⎥
⎢ 2 4 6⎥
⎣ ⎦ ⎢ c 2 3⎥
⎣ ⎦
determinantes não nulos. Então para quaisquer valores de a , b , c temos:
a) det A = 2 ⋅ det B
b) det A = det ( B)t
c) det ( A)t = det B
d) det B = 2 ⋅ det A
e) det A = det B
1 2 3 x y z
02. (UFRS) Se 6 9 12 = −12 , então 2 3 4 vale:
x y z 1 2 3
a) −4
4
b) −
3
4
c)
3
d) 4
e) 12
m 1 1 1
m 1+ p 1 1
03. (OSEC - SP) O valor do determinante é:
m 1 1+ r 1
m 1 1 1+ s
a) 4 prs
b) prs
c) mps
d) mprs
e) 4mprs
25
27. Matemática
04. (ITA) Sendo A uma matriz quadrada de ordem 3 , cujo determinante é igual a 4 ,
qual o valor de x na equação det (2 ⋅ A ⋅ At ) = 4 x ?
⎡1 2 − 1 ⎤
⎢
05. (ITA) Sendo A = 0 − 3 2
⎥ então o elemento da terceira linha e primeira
⎢ ⎥
⎢3 − 1 − 2⎥
⎣ ⎦
coluna, de sua inversa, será igual a:
5
a)
8
9
b)
11
6
c)
11
2
d) −
13
1
e)
13
06. (ITA) Sejam A , B e C matrizes reais 3 × 3 satisfazendo às seguintes relações:
A ⋅ B = C −1 e B = 2 ⋅ A . Se o determinante de C é 32 , qual é o valor do módulo
do determinante de A ?
07. (UFPE) Seja f : M n → R a função definida por f ( A) = determinante de A , onde
M n é o conjunto das matrizes quadradas de ordem n ≤ 3 .
Assinale a alternativa correta:
a) f é injetiva.
b) f é sobrejetiva.
c) f ( A + B ) = f ( A) + f ( B) .
d) f (λ ⋅ A) = λ ⋅ f ( A) , qualquer que seja λ ∈ R .
e) Se f ( A) = 0 , então A = O .
08. (UFGO) Qual o valor de um determinante de quarta ordem, sabendo-se que
multiplicando duas de suas linhas por 3 e dividindo suas colunas por 2 obtém-se
o número 27 ?
26
28. Apostila ITA
243
a)
16
b) 18
c) 6
d) 48
e) 27
09. (UF FORTALEZA) O determinante de uma matriz é 42 . Se multiplicarmos a
primeira linha da matriz por três e dividirmos sua segunda coluna por nove, a nova
matriz terá determinante igual a:
a) 12
b) 14
c) 21
d) 42
10. (ITA) Sendo A , B , C matrizes reais n × n , considere as seguintes afirmações:
1. A( BC ) = ( AB ) C
2. AB = BA
3. A + B = B + A
4. det ( AB ) = det ( A). det ( B )
5. det ( A + B ) = det ( A) + det ( B)
Então podemos afirmar que:
a) 1 e 2 são corretas.
b) 2 e 3 são corretas.
c) 3 e 4 são corretas.
d) 4 e 5 são corretas.
e) 5 e 1 são corretas.
11. (UECE) Considere as seguintes afirmativas:
T
I. Se A T é a transposta da matriz quadrada A, então det ( A ) = det ( A) .
II. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 tal que AA = O , então a matriz
I − A é inversível.
−1 −1
III. Se A é uma matriz inversível, então det ( A ) = (det A) .
A soma dos números associados às afirmativas corretas é:
a) 3
b) 5
c) 6
d) 4
27
29. Matemática
12. (ITA) Sejam A , B e C matrizes quadradas n × n tais que A e B são inversíveis
e ABCA = A t , onde A t é a transposta da matriz A . Então podemos afirmar
que:
−1
a) C é inversível e det C = det ( AB) .
b) C não é inversível pois det C = 0 .
c) C é inversível e det C = det B .
d) C é inversível e det C = (det A)2 ⋅ det B .
det A
e) C é inversível e det C = .
det B
2
13. (ITA) Seja C = { X ∈ M 2 × 2 ; X + 2 X = O} .Dadas as afirmações:
I. Para todo X ∈ C , ( X + 2 I ) é inversível.
II. Se X ∈ C e det ( X + 2 I ) ≠ 0 , então X não é inversível.
III. Se X ∈ C e det X ≠ 0 , então det X > 0 .
Podemos dizer que:
a) Todas são verdadeiras.
b) Todas sã falsas.
c) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
d) Apenas (I) é verdadeira.
e) n.d.a.
28
