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TERCER GRADO,[object Object],SECUNDARIA,[object Object],PRIMER BLOQUE,[object Object]
TEMA  UNO,[object Object],CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES,[object Object],[object Object],[object Object]
		Tanto en la multiplicación aritmética como en la algebraica se sigue un algoritmo (Un sistema en el que manipulamos símbolos) cuyos pasos nos lleva a un producto. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla que simplifica el lograr los resultados. Estos son los productos notables. ,[object Object],Ustedesdeberán descubrir esas regla.  ,[object Object]
¿Qué es un producto notable? ,[object Object],	Los productos notables son aquellos que se pueden hallar sin tener que efectuar paso a paso la multiplicación, sino por simple observación y empleando la fórmula debida.,[object Object],	 ¿cuáles son los principales productos notables? (binomio de suma al cuadrado, diferencia de suma al cuadrado, diferencia de cuadrados, producto de binomios con término común),[object Object]
	CUADRADO DE LA SUMA 0 DIFERENCIA  DE DOS CANTIDADES,[object Object],	( a + b )2= a2 + 2ab +b2,[object Object],( a – b )2 =  a2 – 2ab + b2,[object Object],	PRODUCTO DE LA SUMA POR  SU DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES,[object Object], ( a + b) ( a – b )= a2 – b2,[object Object],	PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN.,[object Object],	(a + b)(a + c) =a2+ (+b +c)a + (b)(c) ,[object Object]
BINOMIOS  AL CUADRADO,[object Object]
Analizaremos geométricamente el cuadrado de un binomio .,[object Object],Consideremos  que  ( x + a) es el lado de un cuadrado ,[object Object],	El área del cuadrado de lado (x +a) corresponde a las sumas de las áreas que se forman.,[object Object],(x + a)2 = x2+ ax+ ax+ a2,[object Object],	    = x2+ 2ax  +  a2,[object Object],5  y  3,[object Object]
EJEMPLO 2,[object Object],( X + 6)2 = ,[object Object],(X + 6)2 = X2 + 6X + 6X + 36,[object Object],	    = X2 + 12X  +  36,[object Object],6  y  3,[object Object]
4  y  3,[object Object],3)	(X + b)2 = (x + b)(x + b) ,[object Object],(X + b)2 = (x + b)(x + b) ,[object Object],	    =  x2 + b x + b x + b2,[object Object],	    = x2+ 2bx +  b2,[object Object],(4)	(c + 5)2 = (c + 5)(c + 5) ,[object Object],5  y  2,[object Object],(c + 5)2 = (c + 5)(c + 5) ,[object Object],	    =  c2 + 5c + 5c + 25  ,[object Object],	    = c2 + 10c  +  25,[object Object],5)  (2m + 1)2 = 		6)  (a2 + 2) (a2 + 2) =,[object Object],7)  (3a + 2)2 = 		8)  (2x2 + 3) (2x2 + 3) =,[object Object],9)  (2b + 1)2 =	      10) (3m3 + 2n2) (3m3 + 2n2) = ,[object Object]
Productosnotables011
¿Qué  sucede cuando tenemos signo menos?,[object Object],1)	(a – b)2 = (a – b) (a – b) ,[object Object],(a – b)2 = (a – b) (a – b) ,[object Object],	    =  a2 – ab  – ab + b2,[object Object],	    = X2  –  2ab  +  b2,[object Object],2)	(m – n)2 = (m – n) (m – n) ,[object Object],(m – n)2 = (m – n) (m – n) ,[object Object],	    =  m2 – m n – m n + n2,[object Object],	    = m2  –  2mn +  n2,[object Object],3)	(2x – 3y)2 = (2x – 3y) (2x – 3y) ,[object Object]
	CUADRADO DE LA SUMA o RESTA  DE DOS CANTIDADES,[object Object],( a + b )2 = a2 +2ab + b2 ,[object Object],			 ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2,[object Object],El cuadrado de la suma y/o resta de dos términos es igual:,[object Object],Cuadrado del primer término,,[object Object], más o menos el doble producto de ambos términos,,[object Object], más el cuadrado del segundo término.,[object Object]
(5x + 7)2 =,[object Object],El cuadrado del 1er término es:,[object Object], (5x)(5x) = (25x2) ,[object Object],El doble producto de ambos términos es:,[object Object],2(5x)(7)=(10x)(7)=70x,[object Object],El cuadrado del 2do término es:,[object Object], (7)(7) = 49,[object Object],Entonces:,[object Object], ( 5x + 7 )2 =25x2 +70x+49,[object Object]
APLICACIÓN. De manera mental, resolver la siguiente multiplicación   (105) (105) =,[object Object],Es decir: (100 + 5) (100 + 5)=,[object Object],(100) (100) =,[object Object],2(100) (5) =,[object Object],(5) (5) =,[object Object],R = 11025,[object Object]
Ejercicios (1),[object Object],Nombre:,[object Object],Grupo:,[object Object],N° L:,[object Object],Fecha:,[object Object],Tema: productos notables, (binomios al cuadrado).,[object Object],(x + 9)2 = (x)2 + 2(x)(9) + (9)2,[object Object],				x2 + 18x + 81,[object Object],2)  (x – 10)2 = (x)2 – 2(x)(10) + (10)2,[object Object],(2x + 9y)2= ,[object Object],4) (2x + 5m)(2x + 5m)= ,[object Object]
  (3a3–8b4) (3a3–8b4)=,[object Object],6)  (x10 – 10y12) =,[object Object],7)  (am + an) = ,[object Object],8)  (24)2 = (20 + 4)2 =,[object Object],9) (1996)2 = (2000 – 4)2 =,[object Object],10) (33)2 =,[object Object]
Ejercicios,[object Object]
   En binas los siguientes ejercicios pero cada quien entrega el suyo. Le agrega datos:,[object Object],Nombre  iniciando con apellidos,,[object Object], grupo, n° de lista  y fecha, al final la firma de Ud.,[object Object],   (7x + 11)2 =,[object Object],   (x + y)2 = ,[object Object],   (1 + 3x2)2 = ,[object Object],   (2x + 3y)2 = ,[object Object],   (a2x + by2)2 =  ,[object Object],   (3a3 + 8b4)2 = ,[object Object],   (4m5 + 5n6)2 =  ,[object Object],   (7a2b3 + 5x4)2 =,[object Object],   (4ab2 + 5xy3)2 = ,[object Object],10) (8x2y + 9m3) =  ,[object Object]
   En binas los siguientes ejercicios pero cada quien entrega el suyo. Le agrega datos:,[object Object],Nombre  iniciando con apellidos,,[object Object], grupo, n° de lista  y fecha, al final la firma de Ud.,[object Object],   (9 – a)2 =,[object Object],   (2a – 3b)2 = ,[object Object],   (4ax – 1)2 = ,[object Object],   (a3 – b3)2 = ,[object Object],   (3a4 – 5b2)2 =  ,[object Object],   (x2 – 1)2 = ,[object Object],   (4m5 + 5n6)2 =  ,[object Object],   (x5 – 3ay2)2 =,[object Object],   (2m – 3n)2 = ,[object Object],10) (10x3 – 9xy5) =  ,[object Object]
BINOMIOS  CONJUGADOS,[object Object]
BINOMIOS CONJUGADOS,[object Object],b2,[object Object],a,[object Object],a2,[object Object],b,[object Object],a,[object Object],(a – b) (a + b) = a2 – b2,[object Object]
1)	 (x + y) (x – y) =  x2 + x y – x y – y2,[object Object],=  x2 + x y – x y – y2,[object Object],				= x2  –  y2,[object Object],2)	 (2m + 3n) (2m – 3n) =   ,[object Object], (2m + 3n) (2m – 3n) =  4m2 + 6m n – 6m n – 9n2,[object Object],				= 4m2  – 9n2,[object Object],3)	 ( – 2b3 + 5a2) (2b3 + 5a2) =   ,[object Object],	 ( 5a2 – 2b3)  ( 5a2 + 2b3) = ,[object Object],			 25a2 + 10 a b – 10 a b – 4 b2,[object Object],				= 25a2 –  4b2,[object Object]
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES,[object Object],		(binomios conjugados),[object Object],			( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2,[object Object], 			( a  - b ) ( a + b )= a2 - b2,[object Object],	La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual:,[object Object],Cuadrado del primer término,,[object Object],Menos el cuadrado del segundo término.,[object Object]
Por tanto podemos decir:,[object Object],	Que la suma por su diferencia (binomios conjugados) es igual al cuadrado de los términos que tienen el mismo signo, menos el cuadrado de los términos que tienen distinto signo.,[object Object]
(4x + 9y) (4x – 9y) =  	,[object Object],El cuadrado del 1er término es:,[object Object],		 (4x)(4x) = 16x2,[object Object],El cuadrado del 2do término es:,[object Object],		 (9y)(9y) = 81y2,[object Object],	Entonces:,[object Object], ( 4x + 9y )( 4x - 9y )= 16x2– 81y2,[object Object]
binomios conjugados.,[object Object],1) (2x + 5m)(2x – 5m)=,[object Object],2) (3a3– 8b4) (3a3– 8b4)=,[object Object],3) (4x3y – 1)(4x3y + 1) = ,[object Object],4) (3x4 – 4)(3x4 + 4) = ,[object Object],5) (2y5 – 5xz)(2y5 + 5xz) =,[object Object],6) (1 + 100ab5)(1 – 100ab5) =,[object Object],7) (20mn + 5)(– 5 + 20mn) =,[object Object],8) (– 7ax3 + 6by)(7ax3 + 6by) =,[object Object],9) (3m + 8n2)(3m – ___) =____ – 64n4,[object Object],10)(3n3 – ___)(____ + 10) = 9n6 – ___ ,[object Object]
Ejercicios,[object Object],Nombre:,[object Object],Grupo:,[object Object],N° L.,[object Object],Fecha:,[object Object],Tema:  productos notables, binomios conjugados,[object Object],1)  (4xy – 2x)(4xy + 2x) = ,[object Object],  ___ – 16y 2 = ( __ + 4y )(5x - __ ),[object Object],(y2 – 3y) (y2 + 3y)= 	,[object Object],(1 – 8xy) (1 + 8xy)=,[object Object],5) (6x2 – m2x) (6x2 + m2x) =,[object Object]
(am – bn) (am – bn) =,[object Object],  (3xa + 5ym) (3xa – 5ym) =,[object Object],(35)(25) = (30 + 5)(30 – 5)=,[object Object],  (52)(48) = (50 + 2) (50 – 2) =,[object Object],10)  (38)(42) = ,[object Object]
BINOMIOS  CON ,[object Object],TERMINO COMUN,[object Object]
Producto de binomios con término común,[object Object],Ejemplo 1,[object Object],(x + 4)(x + 2) = ,[object Object],2,[object Object],x,[object Object],x,[object Object],4,[object Object]
Ejemplo 2,[object Object],(m + 1)(m + 4) = ,[object Object],Ejemplo 3,[object Object],(x + 2)(x + 1) = ,[object Object],Ejemplo 4,[object Object],(a + 4)(a + 4) = ,[object Object],Ejemplo 5,[object Object],(b + 3)(b + 5) = ,[object Object]
(x + 2)(x + 7 )= ,[object Object],El cuadrado del término común es:,[object Object],	(x)(x) =x2,[object Object],La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es:,[object Object],	(2 + 7)x = 9x,[object Object],El producto de los términos no comunes es: (2)(7) = 14,[object Object],	(x + 2)(x + 7 )= x2 + (2 + 7)x + (2)(7),[object Object],				   = x2 + 9x+ 14,[object Object]
	Analizaremos que sucede cuando los productos tienen diferentes signos.,[object Object],1)	(x + 5) (x – 2) =,[object Object],2)	(3y – 8) (3y – 3) =,[object Object],3)	(4b – 10) (2b + 7) =,[object Object],4)	(3m – 1) (2m + 6) =,[object Object],5)	(2a3 – 10) (2a3 – 4) =,[object Object]
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN,[object Object],		(x + a )(x + b )= x2 + (a+b) x + a b,[object Object],	El producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual:,[object Object],Al cuadrado del término común,,[object Object],Más la suma algebraica de los términos no comunes, multiplicado por el término común.,[object Object],Más el producto de los términos no comunes.,[object Object]
Ejercicios en binas pero cada quien entrega su trabajo.,[object Object],Nombre:,[object Object],Grupo:,[object Object],N° L.,[object Object],Fecha:,[object Object],Tema:  Binomios con término común,[object Object],  (a + 1) (a + 2) = ,[object Object],(x + 2) (x + 4) = ,[object Object],(x + 5) (x – 2) = ,[object Object],4) (m – 6) (m – 5) = ,[object Object],5) (x + 7) (x – 3) =,[object Object]
6)  (x + 2) (x – 1) =,[object Object],7)  (x – 3)(x – 1) =,[object Object],8)  (x – 5) (x + 4) =,[object Object],9)  (a – 1) (a + 19) =,[object Object],10) (n – 19) (n + 10) =,[object Object],11) (a2 + 5) (a2 – 9) =,[object Object],12) (x2 – 1) (x2 – 7) =,[object Object],13) (2x3 + 8) (2x3 – 3) =,[object Object],14) (7a2b3 – 6) (7a2b3 – 8) =,[object Object],15) (3m3 + 9b) (3m3 -3b) = ,[object Object]
Ejercicios en la libreta,[object Object],1)  3052  = (300 + 5)2  =,[object Object],2)  (1996)2 = (2000 – 4)2,[object Object],3) (64)(56) = (60 + 4)(60 – 4)=,[object Object],4) (34)(26) = (30 + 4) (30 – 4) =,[object Object],5)  (36)(44) = ,[object Object]
6)  (2a2 – 3b2) (2a2 – 3b2) =,[object Object],7)  (3x4 + 5y2) (3x4 – 5y2) =,[object Object],8)  (5ab + 5)(5ab – 5)=,[object Object],9)  (5x2 + 2) (5x2 – 8) =,[object Object],10)  (3m3 +9)(3m3 + 7) = ,[object Object]
Nombre:,[object Object],Grupo:,[object Object],N° L. :,[object Object],Fecha:,[object Object],Tema: “Productos notables”,[object Object],	Por simple inspección resuelve los siguientes ejercicios y después realiza la multiplicación para comprobar. ,[object Object]
(x – 3)(x – 3)=		2) (m – 12)2 =,[object Object],3) (2x2 + 5)2 = 			4) (7x – y3)(7x – y3) =,[object Object],5) (5m5 + 1)(5m5 – 4)= 	6) (4x + 13y)(4x – 13y)=,[object Object],7) (7x – 4)(7x – 3)=		8) (a2b3 + 2c5)2 =,[object Object],9) (–3+5mn2)(5mn2 + 3)=	10) (3b3 + 2) (3b3 + 6)=,[object Object]
APLICACIONES DE LOS PRODUCTOS NOTABLES,[object Object],EJERCICIOS,[object Object]
1)	X + 6   =  X + 4,[object Object],		X + 2        X – 8 ,[object Object],2)	X + 6   =  X + 2,[object Object],		X + 2        X – 1 ,[object Object],3)	2X + 6   =  2X + 2,[object Object],		2X + 1        2X – 4 ,[object Object],4)	3X + 9   =  3X – 3 ,[object Object],		3X + 6        3X – 8 ,[object Object],5)		X – 1   =  X – 2 ,[object Object],		X + 3       X +1 ,[object Object]
1)X + 3=  X + 1,[object Object],		X – 2         X – 9 ,[object Object],2)X + 8=  X + 12,[object Object],		X + 9        X + 15 ,[object Object],3)X – 1 =  X + 2,[object Object],X + 3       X + 10 ,[object Object],4)3X + 9   =  3X – 3 ,[object Object],		3X + 6        3X – 8 ,[object Object],5)	X + 8   =  X – 4 ,[object Object],		X – 4         X – 7 ,[object Object],Nombre:,[object Object],Grupo:,[object Object],N° L. :,[object Object],Fecha:,[object Object],Tema: “Productos notables”,[object Object]
FACTORIZACION,[object Object]
	En matemáticas, la factorización es la descomposición de un número, un termino, un polinomio, en factores, y que, al multiplicarlos, resulta a la expresión dada originalmente.,[object Object], Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5,[object Object],	La Factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes.,[object Object],	Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra.,[object Object]
Proceso inverso de desarrollar una multiplicación es la factorización . ,[object Object],	Factorizar quiere decir identificar los factores comunes de todos los términos y agruparlos. ,[object Object],	Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.,[object Object],	Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras. ,[object Object],	Así, factorizar un polinomio, es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre si se obtenga el polinomio original. ,[object Object]
FACTOR  COMUN,[object Object]
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS,[object Object],FACTOR COMUN, MONOMIO:,[object Object],	ESTE CASO SE DISTINGUE POR QUE EN TODOS LOS TERMINOS DEL POLINOMIO TENDREMOS COEFICIENTES Y LITERALES COMUNES, DE MANERA QUE TOMAREMOS LOS  NUMEROS Y LITERALES COMUNES CON SU MENOR EXPONENTE. ,[object Object],	EL RESULTADO SERÁ UNA EXPRESIÓN CON DOS FACTORES, EN UNO EL FACTOR COMUN Y EN EL OTRO  FORMADO POR LOS TERMINOS NO COMUNES.,[object Object]
Ejemplo,[object Object],6X3 – 9X4 – 12X2 =,[object Object],6x3 = 3*2 x*x*x,[object Object],9x4 = 3*3 x*x*x*x,[object Object],12x2 = 3*4 x*x,[object Object],6X3 – 9X4 -12X2 = 3*2 x*x*x – 3*3 x*x*x*x – 3*4x*x   ,[object Object],6X3 – 9X4 – 12X2 = 3x*x (2x – 3x*x – 4),[object Object],6X3 – 9X4 – 12X2 = 3x2 (2x – 3x2 – 4),[object Object]
Ejemplo 2,[object Object],3X4y – 6X2y4 + 12X3y3 – 15X4y2 =,[object Object],3x2y (x2 – 2y3 + 4xy2 – 5x2y)  ,[object Object],Ejemplo 3,[object Object],4x3y5z3 – 2x3y4z5 + 10x4y3z2 – 8x3y5z=,[object Object],2x3y3z (2y2z2 – yz4 + 5xz– 2y2)  ,[object Object]
Ejercicios,[object Object],10b – 30ab2 =,[object Object],2)  3x4y – 6x2y4 + 12x3y3 – 15x4y2 =,[object Object],3)  10a2 – 5a + 15a3 =,[object Object],4)  6xy3 – 9nx2y3 + 12nx3y3 – 3n2x4y3 =,[object Object],  x – x2 + x3 – x4 =,[object Object]
6)  a6 – 3a4 + 8a3 – 4a2= ,[object Object],7) 25x7 – 10x5 + 15x3 – 5x2=,[object Object],8)  9a2 – 12ab + 15a3b2 – 24ab3 =,[object Object],9)  16x3y2 – 8x2y – 24x4y2 – 40x2y3 =,[object Object],10) 12m2n + 24m3n2 – 36m4n3 + 48m5n4=,[object Object]
Trinomio cuadrado perfecto,[object Object]
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando tiene raíz exacta.,[object Object],Completa correctamente los espacios que faltan en las siguientes expresiones. (en una hoja blanca o de color con tus datos),[object Object], (c + 5)(c + __ ) = ____ + 10c  +  _____,[object Object], (__ + 7)( __ + 7) = ____ + 14 x  +  _____,[object Object]
 (__ + 3)( 2a + __ ) = ___ + 12a +  _____,[object Object], (__ –  4)( __ –  4) = 9x2+ _____ +  _____,[object Object], (__ + 5)(2a + __ ) = ___ + 20a +  _____,[object Object]
1)	x2 – 4xy + 4y2 =    ,[object Object],	Es un trinomio cuadrado perfecto porque:,[object Object],[object Object]
raíz cuadrada de 4y2 es …… 2y
Doble producto de estas raíces cuadrada, es decir:   2 ( x) ( 2y ) es ……. 4xyY coincide con el segundo término del trinomio x2 – 4xy + 4y2 = (x – 2y)2,[object Object]
NO es t. c. p.,[object Object],36x2 – 18xy4 + 4y8 =     ,[object Object],Será un trinomio cuadrado perfecto?,[object Object],[object Object]
raíz cuadrada de 4y8 es …….	2y4
Doble producto de estas raíces cuadrada, es decir:   2 ( 6x) ( 2y4 ) es …….	24xy4Y no coincide con el segundo término del trinomio,[object Object]
3)	4x2 + 12xz + 9z2 =    ,[object Object],	Es un trinomio cuadrado perfecto porque:,[object Object],(2x + 3z)2,[object Object],[object Object]
raíz cuadrada de 9z2 es …….	3z
Doble producto de estas raíces cuadrada, es decir:   2 ( 2x) ( 3z ) es …….	12xzY coincide con el segundo término del trinomio,[object Object]
Procedimiento:,[object Object],1°Paso:,[object Object],	Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante, se les extrae raíz cuadrada.,[object Object],2° Paso:,[object Object],	A las raíces se les multiplica por (2); y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto en el segundo término del trinomio dado.,[object Object],3° Paso:,[object Object], Si coinciden, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego se factoriza como el cuadrado de un binomio.,[object Object]
Ejercicios,[object Object],En una hoja blanca o de color con tus datos,[object Object],1)  a2 + ab + b2 = ,[object Object],2)  x2 – 2x + 1 =,[object Object],3)  y4 + 2y2  + 1 =,[object Object],4)  a2 – 10a + 25 =,[object Object],5)  9 – 6x + x2 =,[object Object]
6)  16 + 80x2 +25x4 =,[object Object],7)  1 – 14a + 49a2 =,[object Object],8)  36 + 12m2 + m4 =,[object Object],9)  1 – 4a3 + a6 =,[object Object],10)  9b2 – 30a2b + 25a4 =,[object Object]
Diferencia de cuadrados,[object Object]
	Analicemos geométricamente la suma por su diferencia:,[object Object],	Consideremos que (x + a) es un lado del rectángulo y (x – a ) el otro lado.,[object Object],x2 - ax,[object Object],ax – a2,[object Object],x – a  ,[object Object],a,[object Object],x,[object Object],(x – a) (x + a) = x2 – a x + a x – a2,[object Object],			= x2 –  a2,[object Object]
Ejemplo 2,[object Object],x,[object Object],3,[object Object],x2 - 3x,[object Object],3x – 9,[object Object],x – 3  ,[object Object],(x – 3) (x + 3) = x2 – 3x + 3x – 9 ,[object Object],			= x2 –  9,[object Object],NOTA:,[object Object],Al factorizar una diferencia de cuadrados se obtienen, “binomios conjugados”,[object Object]
Ejercicios:,[object Object], Encuentra el producto de las siguientes multiplicaciones geométricamente, utiliza  hojas de colores en el trazo de rectángulos. ,[object Object],1)  (x +7) (x – 7) =,[object Object],2)  (m – 4) (m + 4) =,[object Object],3)  (2a + 3) (2a – 3) = ,[object Object],4)  (3b – 1) (3b + 1) =,[object Object],5)  (4n – 2) (4n + 2),[object Object]
Ejercicios,[object Object],Nombre:,[object Object],Grupo:,[object Object],N°L.:,[object Object],Fecha:,[object Object],Tema: factorización de una diferencia de cuadrados,[object Object], x2 – y2 =			2)   a2 –  1 =,[object Object],3)   a2 – 4 = 			4)   9 – b2 =,[object Object],5)   16x2 – 25n2 =		6)   49m2n2 – 169 =,[object Object],7)   121 – 36x4y2z =		8)   144x10 – 100y12 =,[object Object],9)    196b6c2 – a2 =		10)  9x2 – 225y2 =,[object Object]
11) ( x – y) (x + y)       12)  (a + 1) (a – 1),[object Object],13)   (a + 2) (a – 2)      14)  (3 + b) (3 – b),[object Object],15)   (4x+5n) (4x – 5n)	 ,[object Object],16)  (7mn + 13)(7mn - 1)  ,[object Object],17)  (11 + 6x2yz)(11 – 6x2yz),[object Object],18)  (12x5+ 10y6 ) (12x5 - 10y6),[object Object],19)  (14b3c + a) (14b3c – a) ,[object Object],20)  (3x + 5y) (3x – 5y),[object Object]
Factorización de ,[object Object],Trinomios de la forma,[object Object],x2 + bx + c.,[object Object]
Son ejemplos de trinomios de la forma ax2 + bx + c.,[object Object],x2 + 5x + 6,[object Object],Tercer término,[object Object],(Término independiente),[object Object],Primer término,[object Object],Elevado al cuadrado,[object Object],(término cuadrático),[object Object],Segundo  término,[object Object],La misma letra y una cantidad cualquiera.,[object Object],(término lineal),[object Object]
Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c.,[object Object], Se descompone en dos factores (abrir dos paréntesis) cuyo primer término en ambos será la raíz cuadrada del término cuadrático.,[object Object],	(x		) (x		) ,[object Object],2)  En el primer factor, después de la raíz se escribe el signo  del término lineal y en el segundo paréntesis después de la raíz, el signo que resulte de la multiplicación del lineal con el término independiente. ,[object Object],(x	      +	) (x	+	) ,[object Object],Se buscan dos números que multiplicados den el término independiente pero que sumados o restados den el término lineal.,[object Object]
Ejemplo 1,[object Object],X2 + 5x + 6 =   ,[object Object],3,[object Object],( X         ) ( x         )   ,[object Object],+,[object Object],+,[object Object],2,[object Object],X2  – 7x + 12 =   ,[object Object],( X           ) ( x           )   ,[object Object],– ,[object Object],–,[object Object],3,[object Object],4,[object Object]
Ejemplo 3,[object Object],X2 + 2x – 15 =   ,[object Object],5,[object Object],( X         ) ( x         )   ,[object Object],3,[object Object],– ,[object Object],+ ,[object Object],X2  – 5x – 14 =   ,[object Object],( X   –   7  ) ( x  +  2  )   ,[object Object]
Ejercicios,[object Object],Nombre:,[object Object],Grupo:,[object Object],N°L.:,[object Object],Fecha:,[object Object],Tema: factorización de la forma x2 + bx + c    ,[object Object],1)  m2 + 5m – 14 =2)   y2–  9y + 20 =,[object Object],3)   x2– x – 6  = 		4)   x2 – 9x + 8 =,[object Object],5)   c2 + 5c – 24 =		6)   x2  – 3x + 2 =,[object Object],7)   a2 + 7a + 6 =		8)   y2– 4y + 3 =,[object Object],9)    n2  – 8n + 12 =		10)  x2 + 10x + 21 =,[object Object]
EJERCICIOS EN BINAS PERO CADA QUIEN ENTREGA SU TRABAJO,[object Object],NOMBRE:,[object Object],GRUPO:,[object Object],N°. L.:,[object Object],FECHA:,[object Object],TEMA: Factorización de un trinomio de la forma   x2 + bx + c,[object Object],1)		x2 – 13x + 40 =,[object Object],2)		X2 – 11x – 12 =,[object Object],3)		X4 – 5x2 – 50 =,[object Object],4)		X6 + 7x3 – 44 =,[object Object],5)		X4 + 5x2 + 4 =,[object Object]
6) 		x2 +7x + 10 =,[object Object],7)			X4 – 5x2 + 6 =,[object Object],8)		X2  + 3x – 10 =,[object Object],9)		X6 + x3 – 2 =,[object Object],10)		X4 + 4x2 + 3 =,[object Object]
Factorización de ,[object Object],Trinomios de la forma,[object Object],ax2 + bx + c.,[object Object]
Factorizar : ,[object Object],6x2 – 7x – 3 = ,[object Object],Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x2,[object Object],6*6x2 – 7(6)x – (6) 3 = ,[object Object],(6x)2 – 7(6)x – 18 = ,[object Object],Procedemos a factorizar como en los ejercicios anteriores,[object Object],(6x)2 – 7(6)x – 18 =,[object Object],(		) (		   )  ,[object Object],6x,[object Object], +,[object Object], 9,[object Object], 2,[object Object],6x,[object Object], –,[object Object]
	Como al principio multiplicamos por 6, ahora tendremos que dividir entre 6, para no alterar el trinomio.,[object Object],(6x – 9) (6x + 2)  = ,[object Object],       3  x   2,[object Object],(2x – 3) (3x + 1) ,[object Object],6x2 – 7x – 3 = ,[object Object],(2x – 3) (3x + 1) ,[object Object]
Ejercicios,[object Object],Nombres:				Grupo:		N°L.:,[object Object],__________________        	________		____,[object Object],Fecha:,[object Object],Tema: factorización de la forma ax2 + bx + c,[object Object], 2x2 + 3x – 2 =		2)   3x2 – 5x – 2 =,[object Object],3)   6x2 + 7x +2 = 		4)   5x2 + 13x – 6 =,[object Object],5)   6x2 – 6 – 5x =		6)   12x2 – x – 6 =,[object Object],7)   4a2 +15a + 9 =		8)   3 + 11a + 10a2 =,[object Object],9)    12m2 – 13m - 35 =	10)  20y2 + y – 1 =,[object Object]
EJERCICIOS,[object Object],[object Object]
Integrarse en tríos y entregar un solo trabajo.Anotando los siguientes datos:,[object Object],Nombres						Nº. L.,[object Object],________________________		_____,[object Object],________________________		_____,[object Object],Grupo:	_____	Fecha: ____________,[object Object],Tema: Factorización: ax2 + bx + c,[object Object]
1)		4a2 + 15a + 9 =,[object Object],2)		3 + 11a + 10a2 =,[object Object],3)		12m2 – 13m – 35 =,[object Object],4)	20y2 + y – 1 =,[object Object],5)			8a2 – 14a – 15 =,[object Object],7x2 – 44x – 35 =,[object Object],7)			 16m + 15m2 – 15 = 	,[object Object]
8)		2a2 + 5a + 2 =,[object Object],9)		12x2 – 7x – 12 =,[object Object],10)		9a2 + 10a + 1 =,[object Object],11)	20n2 – 9n – 20 =,[object Object],12)		m – 6 + 15m2 =,[object Object],13)	15a2 – 8a – 12 =,[object Object],14)		 9x2 + 37x + 4 = 	,[object Object]

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